Guía de Números Racionales

INSTITUCION EDUCATIVA ALFONSO ZAWADZKY
Resolución de aprobación No. 0523 de marzo 30 de 2010
Nit. 890311128-8 – DANE: 176890000305
ÁREA: MATEMÁTICAS
ASIGNATURA: ARITMETICA
PROFESOR: FERNANDO GÓMEZ G
PERIODO: 3
AÑO LECTIVO:2015
GUIA: NUMEROS RACIONALES
ESTUDIANTE:
GRADO: 7º
FECHA:
 ¿Cuántos vasos
1
5
de litro se pueden llenar con una botella de refresco de
3
2
litros?
 Una botella llena de agua se reparte en vasos
logran llenar 2
1
2
1
6
de litro de refresco. Si se
vasos ¿cuantos litros de agua le caben a la botella?
A. COMPETENCIA
Aplica las propiedades y características de las diferentes operaciones con los números racionales en la solución
analítica y deductiva de problemas de diversos contextos.
B. INDICADORES DE DESEMPEÑO
 Identifica, define, clasifica, amplifica, simplifica y representa gráficamente los números fraccionarios.
 Identifica y define los números racionales, los ordena, los representa en la recta numérica y determina el
opuesto y el recíproco de ellos.
 Resuelve las diferentes operaciones básicas con números racionales: suma, resta, multiplicación y división.
 Resuelve las operaciones de potenciación y radicación con números racionales.
 Aplica las diferentes operaciones con los números racionales en la solución de problemas prácticos.
 Identifica los números decimales como la expresión de un número racional con ciertas características y aplica las
diferentes operaciones en la solución de problemas prácticos.
C. CONTENIDOS
 Ampliación del conjunto de los números
enteros.

Sustracción de números racionales y propiedades.

Concepto de fracción.

Multiplicación de números racionales y
propiedades.

Clases de fracciones.

División de números racionales.

Representación gráfica de una fracción.

Polinomios aritméticos en los racionales.

Fracciones equivalentes.

Expresiones compuestas de números racionales.

Amplificación y simplificación de fracciones.

Potenciación de números racionales y
propiedades.

Conjunto de los números racionales.

Radicación de números racionales y propiedades.

Representación de los números racionales en la
recta numérica.

Fracciones decimales.

Reducción de fracciones a un común
denominador.

Representación decimal de un número
fraccionario.

Orden de los números racionales.

Representación fraccionaria de número decimal.

Opuesto de un número racional.

Adición y sustracción de números decimales.

Recíproco de un número racional.

Multiplicación y división de números decimales.

Adición de números racionales y propiedades.

Potenciación y radicación de números decimales.
2
CONCEPTO DE FRACCIÓN
"Falta un cuarto de hora para que termine la película", "la mesa mide metro y medio de largo",
"he comprado media libra de queso", "a las tres y cuarto empieza la película", "la mitad de los
estudiantes del grupo son niñas"; todas estas frases y otras muchas las hemos oído sin pensar
que estamos empleando fracciones. Pero, ¿sabes qué son?
Una fracción es un número, que se obtiene de dividir una totalidad en partes iguales. Por
ejemplo cuando decimos un cuarto de hora o una cuarta parte de una torta, estamos
dividiendo la hora y la torta en cuatro partes y consideramos una de ellas.
Una fracción se representa matemáticamente por dos números que están escritos uno sobre
otro y que se hallan separados por una línea recta horizontal llamada raya fraccionaria.
3
8
La fracción está formada por dos términos: el numerador y el denominador. El numerador es el número que está
sobre la raya fraccionaria y el denominador es el que está bajo la raya fraccionaria.
El Numerador indica el número de partes iguales que se han tomado o considerado de un entero.
El Denominador indica el número de partes iguales en que se ha dividido un entero.
Por ejemplo, la fracción 3/4 (se lee tres cuartos) tiene como numerador al 3 y como denominador al 4. El 3 significa
que se han considerado 3 partes de un total de 4 partes en que se dividió el entero o el todo.
Por ejemplo, la fracción 1/7 (se lee un séptimo) tiene como numerador al 1 y como denominador al 7. El numerador
indica que se ha considerado 1 parte de un total de 7 (el denominador indica que el entero se dividió en 7 partes
iguales).
ACTIVIDAD 1.
Expresar en palabras cada una de las siguientes fracciones.
5
6
25
12
13
8
9
47
7
2
137
100
3
10
13
1000
CLASES DE FRACCIONES
A. Fracciones propias
Las fracciones propias son aquellas
cuyo numerador es menor que el denominador.
Ejemplos.
NÚMEROS RACIONALES
B. Fracciones impropias
Las fracciones impropias son aquellas
cuyo numerador es mayor que el denominador.
Ejemplos.
PROFESOR: FERNANDO GÓMEZ G
3
Observación.
Las fracciones propias son menores que la unidad, y
en la recta numérica se ubican entre cero y uno.
C. Fracción igual a la unidad
Es aquella fracción donde el numerador y el
denominador son iguales.
Observación.
Las fracciones propias son mayores que la unidad, y
en la recta numérica no se ubican entre cero y uno.
Observaciones
 Las fracciones impropias se pueden expresar como
números mixtos o fracción mixta.
Ejemplos.
 las fracciones mixtas se pueden expresar como
fracciones impropias.
 Las fracciones mixtas, son aquellas expresiones que constan de una parte entera y una fracción
propia.
 Para transformar una fracción impropia a número mixto, se debe dividir el numerador entre el
denominador, el cociente será la parte entera y el residuo será el numerador de la fracción propia.
 Para transformar un número mixto a fracción impropia debes multiplicar el entero por el
denominador y sumar el numerador, este resultado se escribe en el numerador y el denominador
se mantiene igual.
ACTIVIDAD 2.
Expresar cada una de las siguientes fracciones como números mixtos.
13

8

48

5
75

4

169

7
ACTIVIDAD 3.
Expresar cada una de los siguientes números mixtos como fracciones impropias.
2
5

6
3
4

9
1
8

15
7
1

3
PRACTICA 1.
NÚMEROS RACIONALES
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4
1.
2.
3.
4.
Escribir cinco fracciones propias positivas.
Escribir cinco fracciones propias negativas.
Escribir cinco fracciones iguales a la unidad.
Expresar cada una de las siguientes fracciones como fracciones mixtas.
a)
13
5
b) 
31
4
c)
67
9
d) 
54
7
e)
234
11
5. Expresar cada una de los siguientes números mixtos como fracciones impropias.
a) 3
7
8
b)  1
2
5
c) 12
5
7
d)  9
4
13
e) 5
1
20
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FRACCIÓN
Cuando se quiere representar una fracción mediante un dibujo, se pueden utilizar dos formas: se puede representar
con un diagrama (un círculo, un cuadrado, etc.) o mediante subconjuntos en un conjunto.
Ejemplos.
Representar gráficamente cada una de las siguientes fracciones.
5
6
3
10
7
9
Ejemplos.
Representar gráficamente cada una de las siguientes fracciones.
9
4
10
3
8
5
PRACTICA 2.
NÚMEROS RACIONALES
PROFESOR: FERNANDO GÓMEZ G
5
1. Representar gráficamente cada una de las siguientes fracciones.
a)
2
5
b)
3
4
c)
1
2
d)
7
8
e)
3
7
d)
25
8
e)
37
6
2. Representar gráficamente cada una de las siguientes fracciones.
a)
7
4
b)
11
5
c)
14
3
FRACCIONES EQUIVALENTES
Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma parte de una unidad o cuando tienen el mismo valor
decimal. Si las representamos en la recta numérica, corresponden al mismo punto.
Ejemplo:
Si lo graficamos tenemos:
ACTIVIDAD 4.
Hallar tres fracciones equivalentes a cada una de las siguientes fracciones.
3

8

4

5
5

4

6

7
ACTIVIDAD 5.
Determinar el valor que debe tomar la X en cada uno de los siguientes pares de fracciones, para que sean fracciones
equivalentes.
a)
5
X

6 12
X
b)
2 18

5
X
X
c)
12 X

18 3
X
d)
3
X

4 20
X
e)
3 21

7
X
X
f)
36 6

48 X
X
PRACTICA 3.
1. Hallar tres fracciones equivalentes a cada una de las siguientes fracciones.
a)
2
5
NÚMEROS RACIONALES
b)
3
4
c)
1
2
d)
7
8
e)
3
7
PROFESOR: FERNANDO GÓMEZ G
6
2. Determinar el valor que debe tomar la X en cada uno de los siguientes pares de fracciones, para que sean
fracciones equivalentes.
a)
8
X

3 12
b)
4
X

9 45
c)
3
24

11
X
d)
20 X

15 3
e)
48 4

60
X
AMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
Amplificar una fracción es expresarla en cantidades mayores, y para ello se debe multiplicar el numerador y
el denominador de la fracción por un mismo número. Este número permite que la fracción aumente de valor tantas
veces como veces se amplifica.
ACTIVIDAD 6.
Amplificar cada una de las siguientes fracciones.
a)
2

5
b)
3

4
c)
1

2
d)
7

8
e)
3

7
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
Simplificar una fracción es expresarla en cantidades menores, y para ello se debe dividir el numerador y
el denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero. Este número permite que la fracción disminuya
de valor tantas veces como veces se simplifica.
Sólo se podrán simplificar fracciones cuando el numerador y denominador sean divisibles por un número común.
Cada vez que se simplifique una fracción se debe llegar hasta la fracción irreductible, es decir, aquella fracción que
no se puede simplificar más.
ACTIVIDAD 7.
Simplificar cada una de las siguientes fracciones.
a)
24

72
b)
18

60
c)
210

350
d)
360

400
e)
54

486
f)
105

735
NÚMEROS RACIONALES
PROFESOR: FERNANDO GÓMEZ G
7
PRACTICA 4.
1. Amplificar cada una de las siguientes fracciones.
a)
3
5
b)
1
3
4
9
c)
d)
3
10
e)
13
15
e)
420
630
2. Simplificar cada una de las siguientes fracciones.
a)
48
18
b) 
36
81
c)
108
180
d) 
75
300
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES
Los números racionales es el conjunto formado por la unión de los números enteros con los números fraccionarios,
es decir, son los números de la forma p/q, y se representan con la letra Q
Q  Z U Fraccionar ios
REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS RACIONALES EN LA RECTA NUMÉRICA
Como los números racionales es el conjunto formado por la unión de los números enteros con los números
fraccionarios, entonces para su representación en la recta numérica debemos considerar la representación de los
números enteros ( que fue considerado en la guía anterior) y la representación de los números fraccionarios.
A.
Ubicación en la recta de los racionales enteros.
Recordemos que el conjunto de los números enteros se denota por Z y se define de la manera siguiente:
Z  { . . . . - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . .}
Para representar los números enteros en la recta numérica, se traza una línea recta con flechitas en los extremos
para indicar que puede prolongarse indefinidamente en ambos sentidos. Luego marcamos un punto cualquiera al
que hacemos corresponder el número cero, y a partir de dicho punto y utilizando espacios iguales marcamos
puntos a la izquierda y a la derecha en la recta. A la izquierda del cero se ubican los números enteros negativos y
a la derecha del cero se ubican los números enteros positivos.
B. Ubicación en la recta de los racionales fraccionarios.
Para representar los números fraccionarios en la recta numérica, dividimos los trazos unitarios de la recta
numérica (o los enteros) en tantas partes como indica el denominador, y la fracción se ubica tantos lugares, a la
derecha o a la izquierda según el signo de la facción, como indica el numerador. Cuando la fracción es propia,
NÚMEROS RACIONALES
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8
esta se ubica entre el cero y uno ( 0 y 1 ), si es positiva, o entre cero y menos uno ( 0 y -1 ), si es negativa. Pero
cuando la fracción es impropia se debe ubicar adelante del 1, si es positiva, o atrás del -1, si es negativa, y para
ubicarla en la recta numérica más fácilmente, en recomendable transformarla en número mixto.
ACTIVIDAD 8.
1. Ubicar en la recta numérica los siguientes números racionales.
5
8

2
3
3
4

1
5
2. Ubicar en la recta numérica los siguientes números racionales.
13
4

32
3
45
8

73
5
PRACTICA 5.
Ubicar en la recta numérica los siguientes números racionales.
a)
3
5
b) 
1
3
c)
4
9
d) 
3
10
e)
7
8
f)
17
6
g) 
11
4
h)
43
8
i) 
75
9
j)
67
5
REDUCCIÓN DE FRACCIONES A UN COMÚN DENOMINADOR
¿Qué es reducir fracciones a común denominador?
Es encontrar otras fracciones equivalentes a las originales, de forma que tengan todas igual denominador.
¿Cómo se hace?
Seguimos estos pasos:
1. Calculamos el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores
2. Como denominador de las nuevas fracciones ponemos el mcm calculado antes.
3. Como numerador de cada nueva fracción, ponemos el resultado de dividir el mcm entre el denominador y
multiplicar por el
numerador.
NÚMEROS RACIONALES
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9
5
3
y
6
4
 Ejemplo 1. Reducir a común denominador las fracciones
 Ejemplo 2. Reducir a común denominador las fracciones 
mcm
2 7
5
,
y 
3 12
8
mcm
PRACTICA 6.
Reducir a un común denominador cada uno de los siguientes conjuntos de números racionales.
a)
5
3
y
8
4
b) 
7
5
y
9
6
c)
2
y 2
3
d)
1
7
5
, 
y
2
4
6
e)
3 1 9
4
, ,
y
5 6 10
15
f) 
9 5
3
3
, ,  y
14 6
7
2
ORDEN DE LOS NÚMEROS RACIONALES
Existen diversas maneras de establecer el orden de dos o más racionales. A continuación mostraremos algunas de
ellas:
A. Orden con fracciones de igual denominador
De dos fracciones que tienen el mismo denominador es menor la que tiene menor numerador.
 Por ejemplo:
5
2
y
9
9
como 5 > 2 , entonces
5
2

9
9
 Por ejemplo: 
3
4
y 
7
7
como - 3 > - 4 , entonces 
 Por ejemplo:
3
2
y
7
7
como - 3 < 2 , entonces 

3
4
 
7
7
3
2

7
7
B. Orden con fracciones de diferente denominador
Cuando se tienen dos fracciones de distinto denominador, se deben buscar fracciones equivalentes a cada una de
las fracciones dadas cuyos denominadores sean iguales, es decir reducirlas a un común denominador, y se
procede como en el caso anterior.
NÚMEROS RACIONALES
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10
Ejemplos.
Escribir el símbolo >, < o = entre cada una de las siguientes parejas de números.

5
(
6
7
9
)
m.c.m
se reducen a un común denominador.
 
3
(
4
) 
15
16
se reducen a un común
denominador. m.c.m
Otra manera.
Escribir el símbolo >, < o = entre cada una de las siguientes parejas de números.

5
(
6
7
9
)
se reducen a un común denominador.
 
3
(
4
) 
15
16
se reducen a un común
denominador.
PRACTICA 7.
1. Escribir el símbolo >, < o = entre cada una de las siguientes parejas de números.
a)
5
3
 7
e)
3
7
b) 
4
8
 62
5
f)
2
3
2
3
 
  10
15
9
10
c)
1
3
 5
d)
8
g)  4
2
7
   30
7
6
7
h) 8
  6
7
  48
6
2. Escribir en orden creciente cada uno de los siguientes conjuntos de números.
a)
2 5 4
3
,
,
y
3 6 5
4
b) 
7
13
2
5
, 
,  y 
10
20
5
8
3. Escribir en orden decreciente cada uno de los siguientes conjuntos de números.
a)
7
5 9
13
11
,  ,
, 
y
3
2 4
5
6
b)
5 17
11
, 3, 
y 3
6 8
5
2 ,
4. Escribir en orden decreciente cada uno de los siguientes conjuntos de números.
c)
7
5 9
13
11
,  ,
, 
y
3
2 4
5
6
NÚMEROS RACIONALES
d)
5 17
11
, 3, 
y 3
6 8
5
2 ,
PROFESOR: FERNANDO GÓMEZ G
11
OPUESTO DE UN NÚMERO RACIONAL (inverso aditivo)
Para cada número racional n, existe otro número racional –n, que llamaremos opuesto de n. Al opuesto de un numero
se le conoce tambien como inverso aditivo.
Ejemplos.
 El opuesto de
5
es
6
 El opuesto de 
-
5
6
13
es
20
 El opuesto de 15 es
 El inverso aditivo de 
 El opuesto de -24 es
 El inverso aditivo de
2
es
3
4
es
5
Observaciones.
 El número racional n, y su opuesto - n, se representan en la recta numérica a la misma distancia de cero, en
sentidos opuestos.
 Si n es un número racional, entonces se cumple que -(-n) = n
RECÍPROCO DE UN NÚMERO RACIONAL (inverso multiplicativo)
En matemática, el inverso multiplicativo o recíproco de un número racional
a
b
con b≠o , es el número .
b
a
Observaciones
 Todos los números racionales tienen inverso multiplicativo, excepto el cero “0”
 El inverso multiplicativo de 1 es 1.
Ejemplos.
 El recíproco
5
es
6
 El recíproco de 
-
5
6
13
es
20
 El recíproco 15 es
 El inverso multiplicativo de 
 El recíproco de -24 es
 El inverso multiplicativo de
PRACTICA 7.
Completar la tabla.
NUMERO
5
NÚMEROS RACIONALES
INVERSO
ADITIVO
INVERSO
MULTIPLICATIVO
2
es
3
4
es
5
Completar la tabla.
INVERSO
INVERSO
NUMERO
ADITIVO
MULTIPLICATIVO
1
PROFESOR: FERNANDO GÓMEZ G
12
5
3
9
10
-8
-1

4
7

2
5
ADICIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Para sumar números racionales existen dos casos diferentes con los cuales podemos tratar, el primero es cuando los
sumandos poseen igual denominador y cuando los sumandos tienen distinto denominador.
 Suma de números racionales de igual denominador
Para resolver una suma de números racionales con igual denominador, se sumamos los numeradores (en la parte
superior de la fracción), y se mantiene el mismo denominador (que es el valor ubicado en la parte inferior de la
fracción).
Ejemplos.
Resolver cada una de las siguientes sumas.
a)
4 6
 
7 7
b)
1
3 1

 
8 8 8
4
2
1
3




11 11 11 11
c)
 Suma de números racionales de distinto denominador
Para resolver una suma de números racionales con distinto denominador, se reducen a un común denominador, y de
procede como en el caso anterior.
Ejemplos.
Resolver cada una de las siguientes sumas.
a)
2 5
 
3 6
b)
5 3 1

 
8 4 2
c)
1 1
3

 
6 4 2
d)
4 5 3
  
9 6 4
e)
3
7
2  
5
2
f)
5
2
9
3 
1
8
5 20
g)
3
1 
5
NÚMEROS RACIONALES
h)
5
1 
8
i)
1 
7

2
PROFESOR: FERNANDO GÓMEZ G
13
j)
2
2 
3
k)
1
3 
4
m)
1 
5

9
n)
2
l)
7

10
4 
o) 1 
1

6
13

41
PRACTICA 8.
Resolver cada una de las siguientes sumas.
a)
2 5
 
3 3
b)
5
3


13 13
c)
1 8 6
  
7 7 7
d)
5 2 9
  
8 8 8
e)
5 1


6 3
f)
1 3
 
6 4
g)
2
1 
3
h) 1 
i)
3 7 1
  
5 2 4
j)
5 3 1 2
   
8 4 6 3
k)
8
7
11 9


 
15 12 20 4
l)
1
3
4 
8
8
m)
1
2
3
2 
3
4
n)
2
7
4

9
12
o)
5
1
7
1   2

8
6
12
p)
3
7
1



8 24 12
5

7
PROPIEDADES DE LA SUMA DE NÚMEROS RACIONALES
En los números racionales existen propiedades para las diferentes operaciones que nos permitirán realizarlas con
mayor facilidad, y en la suma se cumplen las siguientes propiedades:
PROPIEDAD
EJEMPLOS
1. Propiedad clausurativa (propiedad interna).
El resultado de sumar dos o más números racionales,
es otro número racional.
Si,
a
c
y Q 
b
d
a
c

Q
b
d
2. Propiedad conmutativa
El resultado de sumar dos o más números racionales,
no depende del orden de los sumandos.
Si,
a
c
y Q 
b
d
a
c
c a



b
d
d b
3. Propiedad asociativa.
El resultado de sumar dos o más números racionales,
no depende de la manera en que se agrupen los
diferentes sumandos.
Si,
a c
e
,
y Q 
b d
f
NÚMEROS RACIONALES
a
 b

a  c e
c e
 


d
 f b  d f 
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14
4. Propiedad modulativa ( elemento neutro).
Todo número racional sumado con el cero es igual al
mismo número racional. Es decir, el cero es el modulo o
elemento neutro de la suma de números racionales.
Si,
a
Q 
b
a
a
 0
b
b
5. Propiedad anulativa ( elemento opuesto).
Todo número racional sumado con su opuesto es igual
a cero “0”.
Si,
a
Q 
b
a  a
  0
b  b
SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
En la sustracción de números racionales se presentan dos casos.
 Sustracción de números racionales de igual denominador
Para resolver una resta de números racionales con igual denominador, se restan los numeradores, y se deja el mismo
denominador común.
Ejemplos.
Resolver cada una de las siguientes restas.
a)
7 5
 
9 9
b)
5 1
 
8 8
c)
4 3
 
7 7
d)
5 1
 
8 8
 Sustracción de números racionales de distinto denominador
Para resolver una resta de números racionales con distinto denominador, se reducen a un común denominador, y de
procede como en el caso anterior.
Ejemplos.
Resolver cada una de las siguientes restas.
a)
2 5
 
3 6
b)
5 3
 
8 4
c)
1
6
1
d)
4 5
 
9 6
e)
3 5
 
8 6
f)
2
9


12 20
4

NÚMEROS RACIONALES
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15
g)
1 
5

9
h)
1 
7

4
i)
11
1 
5
j)
2
1 
3
k)
2
1

6
l)
4 
m)
11
1 
4
n)
13
3 
5
o)
2
7

5
2
3
1 
3
4
PRACTICA 9.
Resolver cada una de las siguientes restas.
a)
7 5
 
3 3
b)
5
1


13 13
c)
1 6
 
7 7
d)
e)
5 1


6 3
f)
1 3
 
6 4
g)
2
1 
3
h) 1 
i)
3 7
 
5 2
j)
5 2
 
8 3
k)
8
11


15 20
m)
1
n)
4
7

12
o)
1 2
2
 2
3
1
6
7

12
5 9
 
8 8
5

7
l)
1
 2
8
p)
3
1


8 12
PROPIEDADES DE LA SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
En los números racionales existen propiedades para las diferentes operaciones que nos permitirán realizarlas con
mayor facilidad, y en la resta se cumplen las siguientes propiedades:
PROPIEDAD
EJEMPLOS
1. Propiedad clausurativa (propiedad interna).
El resultado de restar dos o más números racionales,
es otro número racional.
Si,
a
c
y Q 
b
d
a
c
 Q
b
d
2. Propiedad modulativa ( elemento neutro).
Todo número racional restado con el cero es igual al
mismo número racional. Es decir, el cero es el modulo o
elemento neutro de la suma de números racionales.
Si,
a
Q 
b
a
a
 0 
b
b
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
El producto de dos números racionales es un número racional cuyo numerador es el producto de los numeradores y
cuyo denominador es el producto de los denominadores. Es decir, que para multiplicar números racionales se
NÚMEROS RACIONALES
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16
multiplican los numeradores entre si y los denominadores entre sí, y se simplifica el resultado si es posible.
Obviamente debemos aplicar primero la ley de los signos.
a.c
a
c
x

b
d b.d
Recuerda:
Recuerda:
Para definir el signo del resultado de una multiplicación,
se cuentan la cantidad de factores negativos.
 Si la cantidad de factores negativos es impar, el
resultado de la multiplicación es una cantidad
negativa.
 Si la cantidad de factores negativos es par, el resultado
de la multiplicación es una cantidad positiva.
Ejemplos.
Resolver cada una de las siguientes multiplicaciones.
a)
 3  .  5  
2 4
b)
  5  .   4  
 8   15 
c)
  1  .  6  
 3 7
d)
 2  .   9  
3  4
e)
 5  . 6  
3
f)
  1  . - 12  
 8
g)
 2  .   9  .  3  .  5  
3  4 2 6
i)
  4  .   5  . - 12 .   9  
 3  2
 5
h)
  3  .  5  .   3  .  2  
 2   4   10   9 
PRACTICA 10.
Resolver cada una de las siguientes multiplicaciones.
a)
 2  .   9  
3  4
b)
  5  .   3  
 6   10 
c)
  7  .  8  
 8   21 
d)
 1 2  .   2 9  
 3  4
e)
 4  .  15  
5  8 
f)
  4  .   9  .  10  
 3  5  3 
g)
  3  .   5  .   2  .  9  
 4   6   3   10 
h)
i)
  9  .   2  .   5  
 10   3   3 
  1  . 2.   3  .  2  
 6
 4 9
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
En la multiplicación de números racionales se cumplen las siguientes propiedades:
NÚMEROS RACIONALES
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17
PROPIEDAD
EJEMPLOS
1. Propiedad clausurativa (propiedad interna).
El resultado de multiplicar dos o más números racionales, es
otro número racional.
Si,
a
b
c
y
d
a
Q 
b
x
c
d
Q
2. Propiedad conmutativa
El resultado de multiplicar dos o más números racionales, no
depende del orden de los factores.
Si,
a
b
y
c
d
a
Q 
b
x
c
d
c

d
x
a
b
3. Propiedad asociativa.
El resultado de multiplicar dos o más números racionales, no
depende de la manera en que se agrupen los diferentes
factores.
Si,
a
b
,
c
d
y
e
f
Q 
a
 b
x
a
c e
x 
x
d
f
b

 c x e
 d f 
4. Propiedad modulativa ( elemento neutro).
Todo número racional multiplicar por la unidad “1” es igual al
mismo número racional. Es decir, el uno “1” es el modulo o
elemento neutro de la multiplicación de números racionales.
Si,
a
b
Q 
a
b
x 1
a
b
5. Propiedad anulativa ( elemento opuesto).
Todo número racional multiplicado por cero “0” es igual a cero
“0”.
Si,
a
b
Q 
a
b
x 0 0
6. Propiedad distributiva.
La multiplicación de números racionales es distributiva
respecto a la suma y respecto a la resta.
Si,
a c
e
,
y Q 
b d
f
a x c  e  
 b  d f 


 a  c e
 b x  d  f  
a
 b
x
c  a e
 x 
d
 b f 
a
 b
x
c  a e
 x 
d
 b f 
PRACTICA 11.
1) Hacer tres ejemplos de cada una de las propiedades de la multiplicación de números racionales.
2) Aplicar la propiedad distributiva para resolver:
NÚMEROS RACIONALES
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18
a)
3 1 5
 
43 6
 

d)
2  10
 6 3
4
3 3
b) 
 

2  3 10
 
3
5 8
 

2  10 15 5
  
4 6
5 3
e)
 

c)
5 4
 6
8  15 5
f)

 

2 1 5
    10  1
6
5 4 8
 

DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Para dividir dos números racionales, se multiplica al dividendo (primera fracción) por el inverso multiplicativo del
divisor (segunda fracción), es decir, la primera fracción se la multiplica por la segunda fracción invertida. Veamos un
ejemplo:
Ejemplos.
Resolver cada una de las siguientes divisiones.
a)
 3    8  
5 9
b)
  3     2  
 4  9
c)
 4     3  
9  8
d)
  1    10  
 5  3 
e)
 8    12  
9
f)
6     83  


Ejemplos.
Resolver cada una de las siguientes divisiones.
a)
3
5
8
9
d)
4
5
3

10


b)
3
8
5
6

c)
6

9
2
e)

1
4
1

3


3
8 
12

f)
PRACTICA 12.
Resolver cada una de las siguientes divisiones.
a)
1
4
5
e)
10 
6

5

6
NÚMEROS RACIONALES
b) 
f)
3
8

1
3
4
8
9

c)

 18 
g)
1
6
 4
3
3
4

 1 1
6

d)
9
10
 3
h)
2
5
2
5

 13
10

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19

i)
1
6
3
2
j)

4
9
2
3
6
5
4

3

k)


l)
15

3
10
POLINOMIOS ARITMÉTICOS EN LOS RACIONALES
Un polinomio aritmético es una expresión matemática en la que se encuentran indicadas varias operaciones
matemáticas que pueden o no tener signos de agrupación.
Ejemplos.
Resolver cada una de las siguientes polinomios aritméticos.
a)
2 1 5 3
   
3 2 6 4
c)
3
5 1 3
   
8
6 3 4
d)
2
f)
1 
g)

2
5
1
6
1
3
4

3
8

b)
5
6

e)
1 1 3 1 5 3
     
6 4 2 4 6 4
1
6

21

34

3 1
   6  5  3  
2 4
6 4
5 2
1

 
9 3
6
2
1
4


NÚMEROS RACIONALES
3
1  3 3 1

      1  2  
3
 2 10  4 2  6
2
5

 4  4  5
15 5  6

3  1 
1
3 
1
   2  
 1  
4 4 
3 10 
2
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20
PRACTICA 13.
Resolver cada una de las siguientes polinomios aritméticos.
e)
5  1 3 3  7 3
       
6  3 2 4  2 4
5 1 2 3
   
9 6 3 2
f)
1  1  5 3   1 3 
          
6 
 4  6 4   4 2 
1 5
3
2


1 
4 8 10
5
g)
a)
1 2 5 1
   
2 3 4 6
b)

c)
2
d)
2 5
7
 2

5 4
10
h)
1
9



 
1 3

4 4
1 4 1
   
6 3 6
 4   1 1  5
15  3 6
 3 1  1
    

 4 2  3

 1 2
3   1
    2 
  
10  
 4 3
 2
EXPRESIONES COMPUESTAS DE NÚMEROS RACIONALES
Si en una fracción en su numerador y denominador aparecen fracciones la llamamos una fracción compleja o
compuesta. Remarcar la raya principal ayuda entender la expresión, viendo quién es el numerador y quién el
denominador.
Las fracciones complejas son fracciones en las que el numerador, el denominador o ambos términos contienen
fracciones a su vez. Por este motivo, hay quien las llama "fracciones compuestas". Remarcar la raya principal ayuda
entender la expresión, viendo quién es el numerador y quién el denominador.
Simplificar fracciones complejas es un proceso que puede ser sencillo o difícil, según el número de términos que haya
en el numerador y en el denominador. Lo recomendable es ir resolviendo aparte cada una de las operaciones, hasta
que al final quede una fracción irreducible.
Ejemplos.
Resolver cada una de las siguientes fracciones compuestas.
a)
31
5 2 
21
3 6
Operaciones
b)
53
6 4 
1 x1
6 2
NÚMEROS RACIONALES
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21
Operaciones
c)
3  2 2
4 3

2 3  1
8 6
Operaciones
d)
1
1

1 1
12
3
Operaciones
e)
 2  6    6  1 
5 5


6
3
 1     1   
5 
4


Operaciones
NÚMEROS RACIONALES
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22
PRACTICA 14.
Resolver cada una de las siguientes polinomios aritméticos.
NÚMEROS RACIONALES
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