UNIDADI

Universidad nacional de
Ingeniería
Facultad de ingeniería
mecánica
MÁQUINAS
ELÉCTRICAS
ML 202
Área académica de electricidad y electrónica
Profesor: Ing. Javier Franco Gonzáles
Bibliografía
Circuitos magnéticos y transformadores.
MIT
Teoría y análisis de Máquinas eléctricas.
Fitzyerald
Transformadores y máquinas eléctricas.
Chapman
Maquinas Electromagnéticas y
Electromecánicas. Lander W. Matsch
UNIDAD 1
 MATERIALES FERROMAGNETICOS. CIRCUITOS
MAGNETICOS EXITADOS CON FLUJO MAGNETICO
CONSTANTE ( CON DC ). CIRCUITOS MAGNETICOS
EXITADOS CON FLUJO ALTERNO SENOIDAL( CON AC )
Conceptos fundamentales del
magnetismo. Clasificación magnética
de los materiales
1.1 Conceptos fundamentales del
magnetismo
FUENTES MAGNÉTICAS
IMANES PERMANENTES
CORRIENTE ELECTRICA QUE
FLUYE POR UN CONDUCTOR
Campo Magnético
Es un campo vectorial de propiedades
magnéticas, producido por imanes y cargas
en movimiento
Company Logo
Propiedades de las líneas de campo
 Siempre
forman lazos cerrados
 Tienen dirección y sentido
 Las líneas magnéticas nunca se cruzan
 Siempre buscan cerrarse por el medio o material que
ofrece menor “resistencia magnética”
 Se atraen y repelen mutuamente
 Son tensionables
Densidad de flujo Magnético (B)
Matemáticamente, es el
numero de líneas de flujo
magnético medidas por
unidad de área
B
 weber 
 
Am
2
Esta cantidad magnética
no depende de la corriente
que genera el campo sino
únicamente de las
características
magnéticas del medio
donde se encuentre
Flujo Magnético
 Generalmente representado con
la letra griega Φ, es una medida
de la cantidad de magnetismo, a
partir de la fuerza y la extensión
de un campo magnético.
 El flujo (Φ) a través de un área
perpendicular a la dirección del
campo magnético, viene dado por
el producto de la densidad de
campo magnético (B) por la
superficie (A).
 De forma más general, el flujo
magnético elemental, cuando el
campo no es uniforme, viene
definido por:
Intensidad de campo magnético (H)
El valor de esta cantidad magnética
no depende de las características magnéticas
del medio, sino de la corriente eléctrica que
produce al campo ( se basa en la ley de Ampere)
H se relaciona con B mediante:
B=μH
… ecuación vectorial
Donde μ es la permeabilidad magnética del medio,
en el punto donde se miden B y H
1.2. Clasificación magnética de los materiales
Malos Materiales
Magnéticos o No
Ferromagnéticos
Contribuyen muy
débilmente a
reforzar o debilitar
el flujo magnético
externo
Estos materiales debilitan muy
ligeramente el campo magnético
externo.
Ejemplo: Cu, Au, Ag, Hg Bi, Zn,
aire, etc.
Normalmente tienen μr ligeramente
menor a 1
Materiales
Diamagnéticos
Materiales Paramagnéticos
Estos materiales refuerzan muy débilmente
el campo magnético externo. Ejemplo: Al, Pt, Mg, etc.
Normalmente tienen μr ligeramente menor o igual 1
  o
(Permeabilidad
magnética
(Del aire libre)
Tesla ·m
 o  4 ·10
A·V
7
Para estos materiales se cumple:
La relación B vs H es una recta de pendiente μO
Buenos materiales Magnéticos o Ferromagnéticos
Estos materiales aumentan en gran medida
el campo magnético externo(Øm)
debido al alto µ que poseen
. Ejemplo: Fe, Co, Ni, aleaciones Almico, etc.
Tienen grandes valores de μr, normalmente
entre 4000 y 6000
* Un
material ferromagnético solamente contribuye
a reforzar el Øm externo, hasta llegar a la saturación
Materiales Ferromagnéticos
 En la naturaleza son solo 3: el hierro, el cobalto y el níquel; de
los cuales el de mayor uso es el hierro y sus aleaciones con
otros metales.
 La aleación más importante es el Hierro-Silicoso (Fe-Si), por su
proceso de fabricado esta aleación posee buena permeabilidad y
alta resistencia eléctrica.
 Existen otras aleaciones que se dividen en materiales blandos
(pierden fácilmente su magnetismo) y materiales duros (no
pierden su magnetismo, se usan en imanes permanentes). Entre
estas destaca el Alnico, así como el Permalloy y el Numetal que
tienen una permeabilidad muy elevada.
 Llegan a magnetizarse fuertemente en la misma dirección del
campo magnético donde están colocados
 La densidad de flujo en los materiales Ferromagnéticos varía en
forma no lineal con la intensidad magnética, a excepción de
pequeños rangos.
 Los materiales ferromagnéticos presentan saturación, histéresis
y retentividad.
Permeabilidad magnética relativa del
medio
Se define en base a la permeabilidad
del espacio libre (vacío)
Permeabilidad Magnética del
material
Permeabilidad del aire libre
 Para materiales no ferromagnéticos µr ≈ 1
 Para materiales ferromagnéticos µr >> 1,
llegando en algunos casos al orden de los miles
Algunos valores de
permeabilidad relativa
Materiales
Permeablidad m r
PARAMAGNÉTICOS
Aluminio
1.000.021
Magnesio
1.000.012
Paladio
100.082
Titanio
100.018
DIAMAGNÉTICOS
Bismuto
0.99983
Oro
0.99996
Plata
0.99998
Cobre
0.99999
FERROMAGNÉTICOS
Niquel
250
Cobalto
600
Hierro (puro)
4000
Mumetal
100000
1.2. Ley de Ampere
Esta ley relaciona los campos magnéticos
con las corrientes que los producen
n
H
·
d
l

I

i

C
i 1
 Si θ es el ángulo entre

CÁLCULO DE H DENTRO DE UN NÚCLEO FERROMAGNÉTICO:
- Como
tienen la misma dirección entonces θ
es igual a cero.
- Como el flujo de dispersión es mucho menor que el flujo
magnético entonces se desprecia.
Por lo tanto la ley de Ampere se expresaría como:
Características de los materiales
ferromagnéticos. Circuitos
magnéticos.
2.1 Características de los materiales
magnéticos
RELUCTANCIA MAGNÉTICA (Rm)
Oposición del material al paso de las
líneas de campo magnético
(es equivalente a la resistencia eléctrica)
RmDiamagnéticos>RmParamagnéticos>RmFerromagnéticos
PERMEANCIA MAGNÉTICA (Pm)
Indica cuan buen conductor magnético es el
material. Se calcula como el inverso de la
reluctancia magnética (es equivalente a la
conductancia eléctrica).
PERMEABILIDAD MAGNÉTICA (μ)
Como su nombre lo indica, mide con cuanta facilidad
el material permite el paso de las líneas de campo
magnético. Es equivalente a la conductividad eléctrica.
μD < μP < μF
RELUCTIVIDAD MAGNÉTICA (v)
Es el inverso de la permeabilidad magnética,
y en contraposición mide cuan mal conductor
del magnetismo es el material. Es equivalente
a la resistividad eléctrica
v D < vP < vF
RETENTIVIDAD MAGNÉTICA
Es la tendencia del material a retener algo
de magnetismo aún después de quitar
la exitación.
Curva de saturación
Núcleo de material
ferromagnético
I
Sección S
Eg
N espiras
Longitud línea media (l)
B varía linealmente con H,
para valores pequeños de
H, si H tiende a
incrementarse la variación
de B gradualmente
decrecerá; es decir aunque
H crezca rápidamente B se
mantendrá casi constante.
Curva de saturación
B
Material
Ferromagnético
Zona
lineal
CARACTERÍSTICA
MAGNÉTICA
“Codo”
Zona de saturación
Aire
El material magnético, una
vez que alcanza la
saturación, tiene un
comportamiento idéntico al
del aire, no permitiendo que
la densidad de flujo siga
aumentando a pesar de que
la intensidad del campo si lo
haga
H
Ciclo de histéresis
Magnetismo remanente:
estado del material en B
m
ausencia del campo
magnético
B
BR
Campo coercitivo: el
necesario para anular BR
H
Hc
-Hm
Hm
CICLO DE HISTÉRESIS
-Bm
Curva de magnetización
Para un material
ferromagnético se pueden
obtener muchos ciclos de
histéresis, lo que permite
obtener la curva de
saturación o curva B-H o
curva de Magnetización del
material.
Curva de magnetización y μr del hierro
recocido
1.2. Circuitos magnéticos
Conjunto de reluctancias
magnéticas donde
existen flujos magnéticos
generados por la fmm de
las bobinas, por lo tanto
toda máquinas eléctrica
(estática o rotativa)
resultan ser un circuito
magnético
Núcleo de material
ferromagnético
I
Sección S
Eg
N espiras
Longitud línea media (l)
Ley de Ampere aplicada a un núcleo ferro
magnético
 H ·dl   J ·d A
C
A
NI  Hl m
 H ·dl  NI
NI 
B

lm

H dl  NI


Am 

H lm   NI NI   lm

1 lm
NI  ·
 Am
 NI  ·Rm
Esta ecuación se conoce como
la LEY DE OHM para circuitos
magnéticos.
La cantidad NI es llamada
FUERZA MAGNETOMOTRIZ o
f.m.m., lm/uA es denominado
RELUCTANCIA
MAGNÉTICA
(Rm) del núcleo magnético.
Este circuito magnético es
análogo al circuito eléctrico
mostrado en la vista anterior
Analogía Entre Circuitos Eléctricos Y Magnéticos
Circuito Magnético
<-> Circuito Eléctrico
Fuerza magnetomotriz
<-> Voltaje
Flujo (Φ)
<-> Corriente
Reluctancia (Rm)
<-> Resistencia
Permeabilidad (μ)
<-> Conductividad
Consideraciones a tomar en cuenta
Al emplear la ecuación NI=H·lm=ΦRm,
se hacen las siguientes consideraciones:
 Φ=B·Am
 El Φ pasa por la longitud media (lm)
 Se cumplen la primera y segunda leyes de kirchhoff
Circuito magnético simple de sección rectangular
alimentado con corriente continua
 Sin entrehierro:
• Núcleo ferromagnético
laminado.
•Comúnmente el
aislamiento que se
utiliza es CARLITE
como película aislante
 Longitud media del núcleo lm:
lm=(p-a)*2+(q+a)*2
 Sección transversal efectiva o útil de fierro(Am):
Am=ab*fa,
fa=factor de apilamiento
 Para aislante Carlite el fa que se utiliza en el
diseño varía entre 0.9 a 0.95
 Si: N = número de láminas
t = espesor de lámina
entonces: Am=a*N*t ,
N*t=befectivo
Circuito eléctrico correspondiente, despreciando Φd:
NI=ΦmRm
NI=Hmlm
 Con entrehierro:
 Se deduce:
 Aa >Ag = >
Φm=Φa (porque las líneas magnéticas son cerradas)
Para esta consideración se tiene expresiones empíricas para e cálculo de Aa
Aa=(a+la)(b+la)
 Circuito eléctrico correspondiente, despreciando Φd:
NI=ΦmRm+ ΦmRa
NI=Hmlm + ΦmRa
Circuito magnético de sección rectangular con rama en
paralelo exitado con corriente continua
 Circuito eléctrico correspondiente, despreciando Φd:
lmA
RmA 
1 AmA
RaA
l
 aA
 0 AaA
RmB 
lmB
 2 AmB
laB
RaB 
 0 AaB
RmC 
lmC
3 AmC
En general para cualquier Circuito Magnético
se aplica las “leyes de Kirchoff magnéticos”.
1) ΣΦm en cualquier nodo = 0
Para el circuito anterior:
ΦmB=ΦmA+ΦmC
2) Σvoltajes magnéticos en cualquier trayectoria cerrada=0
NI=ΦmBRaB+ ΦmBRmB+ ΦmARmA+ ΦmARaA
NI=ΦmBRaB+ HmBlmB+ HmAlmA+ ΦmARaA
o también
ΦmARmA +ΦmARaA = ΦmCRmC
HmAlmA +ΦmARaA = HmClmC
CIRCUITOS MAGNÉTICOS
CON CORRIENTE ALTERNA
CIRCUITOS MAGNÉTICOS ALIMENTADOS CON
VOLTAJE ALTERNO
Φ(t)
Φ E

e
t
Φ E
e(cte)
ΔΦ
Δt
Φ
t
t
CIRCUITOS MAGNÉTICOS ALIMENTADOS CON
VOLTAJE ALTERNO
Φ
+
Φ(t)
N
+
V(t)
e
-
-
d
e  N
dt
Inductancia propia y fuerza electromotriz
IDC
+
Φ
N
L
I
N
VDC
B
B
Núcleo ferromagnético
H
H
L=tgθ=NΦ/I
Con corriente variable:
L
 I
N
L
d  dI
N
d
eN
dt
L
eN
dI
Ndt
i(t)
+
Φ
N
+
V(t)
e
-
-
dI
e  L
dt
Reactor de núcleo ferromagnético alimentado
con corriente alterna
 (t)
i0(t)
V(t)
d (t)
e(t)
A: sección.
Transversal
N
Corriente de
excitación
V (t )  e(t )  Rb ·io (t )
V (t )  e(t )
El reactor es una bobina
ideal, es decir, no tiene flujo
de dispersión ni resistencia
eléctrica (Rb=0 ).
Reactor de núcleo ferromagnético alimentado
con corriente alterna
Suposición:
d
eN

dt
(t )   máx sen(t )
e(t )  N · máx ··cos(t )
e(t )  2 · f ·N · máx ·sen(t  90º )
 e(t )  emáxsen(t  90º )
emáx
eeficaz 
2
2 · f ·N · máx
eeficaz 
2
 eeficaz  4.44· f ·N · máx
Φ E
Fasorialmente
E
90º
Φ
E
t
Φ
Energía Almacenada en el campo
magnético
V (t )  e(t )  Rb ·io (t )
 Potencia::
V (t )·io (t )  e(t )·io (t )  Rb ·io2 (t )
dW
 Energía:
V (t )·io (t )dt  e(t )·io (t )dt  R ·i (t )dt
2
b o
Energía que
entrega la fuente
Energía
almacenada en el
campo magnético
Pérdidas
de
energía
Energía Almacenada en el campo magnético
 dWcampo  N ·io (t )d
N ·io (t )  H ·lm
dWcampo  e(t )·io (t )dt
 dWcampo  H ·lm d
  B·A
Sabemos:
 dWcampo  H ·lm AdB
d
e(t )  N
dt
 dWcampo  H ·VvolumendB
B2
Wcampo  Vvol  HdB
B1
Energía Almacenada en el campo magnético
B
B
W
Coenergía
B
dB
W’
H
H
H
dH
B
dWcampo  Vvol  HdB
H
dW '  Vvol  BdH
0
campo   '  BH
0
Pérdidas de energía en los circuitos ferromagnéticos
alimentados con corriente alterna (ac)
Cuando la bobina con núcleo de hierro se excita con corriente
continua la única pérdida que se presenta es la que se produce en la
resistencia propia de la bobina. Se ha de notar que el núcleo no sufre
calentamiento alguno.

Cuando la bobina del núcleo se excita con AC, el núcleo, sí sufrirá
calentamiento y por consiguiente se producirán unas nuevas pérdidas
llamadas “Pérdidas en el Núcleo” que son debidas a la variación del
campo magnético (y flujo magnético).

Estas pérdidas son:
Pérdidas por histéresis (Ph)
Pérdidas por corrientes parásitas (Pf ) llamadas perdidas de Foucault
Las pérdidas totales en el núcleo es la
suma de ambas:
PT  Ph  Pf
Pérdidas por histéresis
Estas pérdidas son producidas por un fenómeno
afín a la fricción molecular, ya que las partículas
más pequeñas del núcleo tienden a alinearse
primero en un sentido y después en el otro, a medida
que el flujo magnético varía periódicamente.
 (t)
Φ(t)= Φmáxsen(ωt)
i0(t)
V(t)
e(t)
t
T
Pérdidas por histéresis
Cálculo de la energía almacenada
en el ciclo de histéresis:
Fórmula empírica deducida por
Steinmetz(1892) después de un
gran número de observaciones y
mediciones experimentales:
W  Vvol
 HdB
histéresis
n
HdB


B
máx

histéresis
Donde:
η= coeficiente de Steinmetz
n= exponente de Steinmetz
Ph es independiente de la forma
de onda de la fuente de
excitación o de la forma de onda
de flujo, depende únicamente de
la amplitud de la densidad de
flujo, la frecuencia de la fuente y
la
naturaleza
del
material
magnético
 Ph  Vvol fB
n
máx
 Ph  K h fB
n
máx
Medido en Watt
Pérdidas por histéresis
Bm
El ciclo de histéresis
se repite cada periodo
BR
H
Hc
-Hm
Hm
Para
determinar
las
pérdidas es suficiente medir
con un planímetro el área
encerrada por el lazo de
histéresis
-Bm
Pérdidas por Corrientes parásitas
(Foucault)
Es la energía disipada en el núcleo debido a pérdidas óhmicas, es decir
el campo magnético variable en el tiempo induce corrientes parásitas
en el núcleo, como el núcleo tiene resistencia finita éste disipará
energía por efecto joule.
Las corrientes inducidas forman anillos semejando un remolino, realmente
hay un número infinito de anillo de corriente cubriendo completamente
la sección transversal del núcleo
Flujo magnético
Corrientes parásitas
Sección
transversal
del núcleo
Según la Ley de
Lenz reaccionan
contra el flujo que
las crea
reduciendo la
inducción
magnética,
además, ocasionan
pérdidas y, por
tanto,
calentamiento
Sección transversal
del núcleo
Aislamiento entre chapas
Flujo magnético
Chapas magnéticas apiladas
Los núcleos magnéticos de todas las
máquinas se cons-truyen con chapas
aisladas y apiladas
Menor
sección
para el
paso de la
corriente
Pérdidas por Corrientes parásitas
(Foucault)
Vvol t f B
Pf 
6
2 2
2
Donde:
t: espesor de plancha
Vvol t
Kf 
6
2 2
Ρ: resistividad
 Pf  K f f B
2
2
máx
2
máx
Pérdidas totales en el núcleo (PFe)
PFe  PT  Ph  Pf
n
2
PFe  Kh fBmáx
 k f f 2 Bmáx
B
f1
f2
PFe= P1M
Bmáx
P1
P2
P(Watt/Kg)
M= masa del núcleo
P1=pérdidas específicas
Separación de las pérdidas Pf y Ph
 (t)
A
I0(t)
W  io2 (t ) Rbobina  PFe
W
W  PFe
V
V(t)
Prueba 1:
Prueba 2:
V1
V2
f1
f2
PFe1
PFe2
I1
I2
Bmax1
Bmax2
2 2
n
Ph1  K h f1 Bmáx
Pf 1  K f f1 Bmáx
1
 Bmáx1  Bmáx2
Pf 2  K f f 2 B
2
2
máx
n
Ph 2  K h f 2 Bmáx
2
Separación de las pérdidas Pf y Ph
PFe  Kh fB
n
máx
PFe1  Kh f1B
n
máx
 kf f B
PFe1  af1  bf
2
1
2
1
2
máx1
kf f B
2
2
máx
n
2
PFe2  Kh f 2 Bmáx
 k f f 22 Bmáx
2
PFe2  af 2  bf
Hallando las constantes a y b determinamos las
perdidas por corrientes parásitas y por
histéresis en cada prueba
2
2
Corriente de excitación del Reactor
 (t)
N ·io  ·Rm  H ·lm
i0(t)
·Rm H ·lm
io 

N
N
1 lm
:::: Rm 
 Am
e(t)
V(t)
Φ e
V (t )  io (t ) Rb  e
e
Φ
reactor  Rb  0
io
t
V (t )  e
Representación matemática de io
La forma de onda de io(t) no es senoidal cuando V(t) es
senoidal en el núcleo ferromagnético.

La forma de onda de io tiene las siguientes características:

Es simétrica respecto al eje de tiempo; el medio ciclo positivo y el medio
ciclo negativo son semejantes y de igual área, esto a causa de la simetría
del anillo de histéresis con respecto a los ejes coordenados y de la simetría
de la forma de onda del voltaje con respecto al tiempo

La forma de onda de io satisface la condición:
io(t)=-io(t+T/2)

La función io(t) no es impar ni par

Satisface las condiciones de Dirichlet
1.
io(t) tiene un numero finito de máximos y mínimos en [a,b]
2.
io(t) está acotada
3.
io(t) tiene sólo un número finito de discontinuidades finitas en [a,b]
Representación matemática de io
Por lo tanto, la forma de onda de io(t) puede expresarse como una serie de
Fourier; pero ésta sólo contendrá armónicas impares. El término constante
es suprimido, estando presentes únicamente los términos senos y cosenos.
Luego:
'
'
'
'
io (t )  I máx
sen
(

t
)

I
sen
(
3

t
)

I
sen
(
5

t
)

I
1
máx3
máx5
máx7 sen (7t )  ...
''
''
''
''
...  ...  I máx
cos(

t
)

I
cos(
3

t
)

I
cos(
5

t
)

I
1
máx3
máx5
máx7 cos(7t )  ..
 I ef' 1sen(t )  I ef' 3 sen(3t )  I ef' 5 sen(5t )  I ef' 7 sen(7t )  ...

io (t )  2 

''
''
''
''
...  I ef 1 cos(t )  I ef 3 cos(3t )  I ef 5 cos(5t )  I ef 7 cos(7t )  ...
V (t )  Vmáx cos(t )
P(t )  V (t )·io (t )
 I ef' 1sen(t ) cos(t )  I ef' 3 sen(3t ) cos(t )  I ef' 5 sen(5t ) cos(t )  ... 
P(t )  2Vmáx 

''
2
''
2
''
2
''
2
...  I ef 1 cos (t )  I ef 3 cos (3t )  I ef 5 cos (5t )  I ef 7 cos (7t )  ...
Representación matemática de io
La potencia promedio está dada por:
Pprom
1
 PFe 
T

T
0
1
Pt dt 
T

T
0
2Vef I ef'' 1 cos 2 t dt
Solamente la componente I’’ef1cos(ωt) de io(t) contribuye a la potencia promedio,
ya que todos los demás términos son cero al evaluar la integral
La única componente de excitación que contribuye a la potencia es aquella que
esta en fase con el voltaje aplicado y tiene la misma frecuencia.
Éste término es llamado componente de las pérdidas en el núcleo de la
corriente de excitación. Los términos restantes establecen el flujo y por lo tanto
constituyen la componente de magnetización de io(t). Entonces:
io (t )  ir (t )  im (t )
i0 (t )  2 I ef'' 1 cos(t )
io (t ) 
 I ef' 1sen(t )  I ef' 3 sen(3t )  I ef' 5 sen(5t )  ...
2

''
''
...  I ef 3 cos(3t )  I ef 5 cos(5t )  ...

Representación vectorial de io
io (t )  4  8% I N
io (t )  ir (t )  im (t )
'
ir (t )  I máx
sen(t )
''
''
im (t )  I máx
cos(t )  I máx
sen(t  90º )
E
im (t )  2 I ef' 1sen(t )  I ef' 3 sen(3t )  ...
io
i ef m (t ) 
ir
im
Φm
I   I   I 
2
'
ef 1
2
'
ef 3
2
'
ef 5
 ...
Determinación práctica de io(t)
B
f1
f2
P1 ·G
ir 
V
Bmáx
P1
P2
P(Watt/Kg)
s1 ·G
im 
V
P1:
Potencia específica W/Kg
G:
Masa del núcleo
V: Tensión de diseño
s1:
Luego:
potencia reactiva específica
io i  i
2
r
2
m
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Circuito equivalente del reactor
io(t)
 (t)
i0(t)
V(t)
+
ir(t)
e(t)
V(t)
-
g: conductancia de pérdidas
b: susceptancia de magnetización
g
im(t)
b
Circuito equivalente del reactor considerando
resistencia en la bobina
 (t)
i0(t)
V(t)
io(t)
Rb
+
e(t)
V(t)
-
g: conductancia de pérdidas
b: susceptancia de magnetización
ir(t)
g
im(t)
b
Determinación de parámetros del circuito
de equivalente del reactor
 (t)
i0(t)
A
W
V(t)
e(t)
V
Rb
Pfe
io(t)
io
im(t)
ir(t)
V(t)
V
g
b
g
Pfe
Y
io
V
V2
Y  g  jb
2
 io 
b     g2
V 
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