TEOREMAS DE PAPPUS-GULDIN

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FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL, SISTEMAS Y
ARQUITECTURA
Escuela Profesional de Ingeniería civil
TEOREMAS DE PAPPUS-GULDINUS
ASIGNATURA:
ESTÁTICA
DOCENTE:
BERNILLA GONZALES JANNYNA
INTEGRANTES:
BECERRA RAMIREZ JOEL
BUSTAMANTE CAMPOS ÁNTONY
FERNÁNDEZ RUBIO ALEX SHAMIR
HERRERA FERNÁNDEZ EDGAR
LAMBAYEQUE, AGOSTO DEL 2014.
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INDICE
TEOREMA DE PAPPUS GULDINUS
A.CENTROIDE--------------------------------------------------3
1. DEFINICIÓN-----------------------------------------------3
2. CENTROIDES----------------------------------------------3
a. ÁREAS---------------------------------------------------3
b. LÍNEAS--------------------------------------------------4
c. VOLÚMENES------------------------------------------6
B. TEOREMA 1: PARA AREAS Y SUPERFICIES-----------6
DEMOSTRACIÓN-------------------------------------------7
C. TEOREMA 2: PARA VOLUMENES----------------------8
DEMOSTRACIÓN-------------------------------------------8
D. EJERCICIOS--------------------------------------------------9
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TEOREMAS DE PAPPUS-GULDINUS
Estos teoremas fueron formulados primero por el geómetra griego Pappus durante el siglo III
después de Cristo y que fueron replanteados posteriormente por el matemático suizo
Guldinus, se refieren a superficies y cuerpos de revolución.
Se usan los teoremas de Pappus y Guldinus para encontrar las superficies, los volúmenes y el
centroide de cualquier objeto de revolución, siempre y cuando al ser giradas las curvas
generadoras no crucen por el eje de rotación.
Pero antes de ir a ver el teorema con sus dos postulados, nos detendremos un momento
hablando de centroide, ya que es de mucha utilidad tener conocimientos sobre este tema.
A. CENTROIDE
1. Definición: El centroide viene a ser la representación del centro geométrico de un
cuerpo, coincidiendo este punto con el centro de masa o centro de gravedad solo
si el material que compone el cuerpo es uniforme u homogéneo, es por esta razón
que los métodos usados para determinar el centroide y centro de gravedad son los
mismos.
2. Centroides:
a) Áreas:
En el caso de una placa homogénea de espesor uniforme, la magnitud de ∆W del
peso de un elemento de la placa puede expresarse como
∆𝑊 = 𝛾𝑡∆𝐴
Donde γ = peso específico del material
t = espesor de la placa
∆A = área del elemento
Similarmente, se puede expresar la magnitud W del peso de toda la placa como
𝑊 = 𝛾𝑡𝐴
Donde A es el área total de la placa.
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Al remplazar ∆𝑊 y 𝑊 en las ecuaciones de momento usadas para determinar el
centro de gravedad y dividiendo a todos los términos entre 𝛾𝑡, se obtiene.
Σ𝑀𝑌 : 𝑥̅ 𝐴 = 𝑥1 ∆𝐴1 + 𝑥2 ∆𝐴2 + ⋯ + 𝑥𝑛 ∆𝐴𝑛
Σ𝑀𝑋 : 𝑦̅𝐴 = 𝑦1 Δ𝐴1 + 𝑦2 Δ𝐴2 + ⋯ + 𝑦𝑛 ∆𝐴𝑛
Si incrementamos el número de elementos en el cual está dividida el área A y de
forma simultanea disminuimos el tamaño de cada elemento, se obtiene:
𝑥̅ 𝐴 = ∫ 𝑥𝑑𝐴
𝑦̅𝐴 = ∫ 𝑦𝑑𝐴
(𝐼)
De estas ecuaciones se determinan las coordenadas 𝑥̅ y 𝑦̅ del centro de gravedad
de una placa homogénea,
este punto también se le
conoce con el nombre de
centroide C del área A de
la placa, en caso la placa
no sea homogénea estas
fórmulas
no
determinaran el centro de gravedad pero si al centroide de la misma.
b) Líneas:
En el caso de un alambre homogéneo de sección transversal uniforme la
magnitud ∆𝑊 del peso de un elemento de alambre puede expresarse como:
∆𝑊 = 𝛾𝑎∆𝐿
Donde 𝛾=peso específico del material
𝑎= área de la sección transversal del alambre
∆𝐿= longitud del elemento
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Similarmente, se puede expresar la magnitud W del peso de toda la placa como
𝑊 = 𝛾𝑎𝐿
Donde L es la longitud total del elemento.
Al remplazar ∆𝑊 y 𝑊 en las ecuaciones de momento usadas para determinar el
centro de gravedad y dividiendo a todos los términos entre 𝛾𝑎, se obtiene.
Σ𝑀𝑌 : 𝑥̅ 𝐿 = 𝑥1 ∆𝐿1 + 𝑥2 ∆𝐿2 + ⋯ + 𝑥𝑛 ∆𝐿𝑛
Σ𝑀𝑋 : 𝑦̅𝐿 = 𝑦1 Δ𝐿1 + 𝑦2 Δ𝐿2 + ⋯ + 𝑦𝑛 ∆𝐿𝑛
Las coordenadas 𝑥̅ y 𝑦̅ del centroide C de la línea 𝐿 se obtienen a partir de las
ecuaciones:
𝑥̅ 𝐿 = ∫ 𝑥𝑑𝐿
𝑦̅𝐿 = ∫ 𝑦𝑑𝐿
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c) Volumen:
De forma análoga se puede calcular el centroide de un volumen
𝑥̅ 𝑉 = ∫ 𝑥𝑑𝑉
𝑦̅𝑉 = ∫ 𝑦𝑑𝑉
𝑧̅𝑉 = ∫ 𝑧𝑑𝑉
Estas ecuaciones representan un equilibrio de los momentos del volumen del
cuerpo.
Si el volumen posee dos planos de simetría, entonces su centroide se encuentra
en la intersección de estos planos.
Ahora si entraremos de lleno a presenciar los dos teoremas de PAPPUSGULDINUS y veremos algunos ejercicios:
TEOREMAS DE PAPPUS-GULDINUS
B. TEOREMA 1: PARA ÁREAS DE SUPERFICIES
“El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generatriz
multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de dicha curva al momento de generar
la superficie.”
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DEMOSTRACIÓN:
Consideremos un elemento dL de la línea L, de la figura, que rota alrededor del eje
“x”.
1. El área dA generado por el elemento dL es igual a 2𝜋𝑦. 𝑑𝐿:
∫ 𝑑𝐴 = ∫ 2𝜋𝑦. 𝑑𝐿
Por lo tanto, el área generada por L es:
𝐴 = ∫ 2𝜋𝑦. 𝑑𝐿
2. Tenemos que:
𝑦̅ =
∫ 𝑦𝑑𝐿
∫ 𝑑𝐿
𝑦̅𝐿 = ∫ 𝑦𝑑𝐿
3. Entonces concluimos que la fórmula es:
𝐴 = 2𝜋𝑦.
̅𝐿
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C. TEOREMA 2: PARA VOLÚMENES.
“El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generatriz multiplicada por la
Distancia recorrida por el centroide del área al momento de generar el cuerpo.”
DEMOSTRACIÓN.
Sea un área A, la cual rota con respecto al eje x, considérese un elemento dA de dicha área.
1. El volumen dV generado por el elemento dA es igual a
∫ 𝑑𝑉 = ∫ 2𝜋𝑦. 𝑑𝐴
Donde y es la distancia del elemento dA al eje x.
Por tanto, el volumen total generado por A es
𝑉 = ∫ 2𝜋𝑦. 𝑑𝐴
2. Tenemos que:
𝑦̅ =
∫ 𝑦𝑑𝐴
∫ 𝑑𝐴
𝑦̅𝐴 = ∫ 𝑦𝑑𝐴
3. Entonces concluimos que la fórmula es:
𝑉 = 2𝜋𝑦.
̅𝐴
Donde 2𝜋𝑦̅ es la distancia recorrida por el centroide de A.
Nota. Es importante señalar que el teorema no puede aplicarse si el eje de rotación interseca
al área Generatriz.
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D. Ejercicios:
a. PROBLEMA 1: Calcular el área de la superficie generada por la circunferencia cuyo
radio mide 3m, si gira 360° alrededor de una recta tangente a la circunferencia.
SOLUCION:
1. 𝐿 = 2𝜋(3) = 6𝜋
2. Aplicamos el teorema de Pappus y Guldin para el
calculo del area:
̅𝐿
𝐴 = 2𝜋𝑘.
𝐴 = 2𝜋(3). (6𝜋)
𝐴 = 36𝜋 2
b. PROBLEMA 2: Calcular el centroide del alambre semicircular de radio R, al girar
alrededor del eje x.
1.
𝐴 = 2𝜋𝑦.
̅𝐿
2.
Sabemos que el área generada es:
𝐴 = 4𝜋𝑅2
3.
También sabemos que L es:
𝐿 = 𝑅𝜋
4.
Entonces
reemplazamos
los
valores en el teorema:
4𝜋𝑅2 = 2𝜋𝑦.
̅ 𝑅𝜋
𝑦̅ =
2𝑅
𝜋
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c. PROBLEMA 3: Si se tienes dos
cuadrados ABCD y EFGH; CD=L
unidades . calcule el volumen
del solido generado al rotar la
region sombreada , alrededor
de CD .
Resolución:
Por papus nos danos cuenta que el centroide estará en el centro de cada cuadrado
esto indica que para el cuadrado grande su distancia de su centroide estará dado por
la mitad de su lado, eso también pasaría para el cuadrado menor.
V
pedido
= V cuadrado mayor - V cuadrado menor
𝑉 = 2𝜋𝑦.
̅𝐴
V cuadrado mayor
1. Tenemos que:
𝑦̅ = 𝑙/2
𝐴 = 𝑙2
𝑙
2. Ahora 𝑉 = 2𝜋 (2) 𝑙 2 = 𝜋𝑙 3
V cuadrado menor
1. Tenemos que:
1
𝑦̅ = ( ) 𝑙/2
3
𝑙 2
𝐴=( )
3
2. Ahora
Luego V
𝑙
𝑙 2
𝜋𝑙3
6
3
27
𝑉 = 2𝜋 ( ) ( ) =
pedido
= 𝜋𝑙 3 −
𝜋𝑙3
27
=
26
27
πL3
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d. PROBLEMA 4: Un rectángulo descansa sobre la recta L, se inclina el rectángulo con un
ángulo que mide 60. Si la diagonal determina con el lado mayor un ángulo que mide
30° y además el mayor lado mide “a”
Calcule el volumen del solido generado al rotar alrededor de L.
Resolución
Trazando los gráficos geométricamente tenemos:
Sen60° =
𝑎
2x̅
x̅ =
𝐴=(
𝑎√3
3
𝑎√3
3
)𝑎
𝑉 = 2𝜋𝑦.
̅𝐴
Ya deducida la distancia al eje del centroide
x
aplicamos pappus goldin
𝑎√3
V= 2π(
V=
3
)(
𝑎√3
3
)𝑎
2𝜋 3
a
3
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e. PROBLEMA 5: Un hexágono regular cuyo lado mide “a” gira alrededor de uno de sus
lados. Halle el volumen del solido generado (en u3)
Solución
En vista que el polígono es regular, caso particular es que su centro geométrico
coincide con el centroide.
𝑎
Por geometría plana encontramos la distancia del centroide al eje X= 2 √3
𝑎
V= 2π(2 √3)(6a2
√3
)
4
9
V=2πa3
f. PROBLEMA 6: Obtener el área del solido de revolucion formado al girar respecto al eje
AB el alambre circular.
1. Utilizamos el teorema de PappusGuldin:
̅𝐿
𝐴 = 2𝜋𝑘.
2. La L del alambre circular y el
centroide es:
𝐿 = 2𝜋𝑟
𝑘̅ = 𝑅
3. Reemplazamos:
𝐴 = (2𝜋𝑅)(2𝜋𝑟)
𝐴 = 4𝜋 2 𝑟𝑅
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g. PROBLEMA 7: Obtener el volumen del solido de revolución formado al girar respecto
al eje L el área siguiente.
Tenemos que hallar 𝑦̅ y A:
𝑦̅ = 4
𝐴 = 20𝑥15/2
Entonces por el teorema de pappus- guldin
hallamos su volumen:
𝑉 = 2𝜋(4) (
2𝑥15
) = 120𝜋
2
h. PROBLEMA 8: Obtener el volumen del solido de revolución formado al girar respecto
al eje L el área siguiente.
Tenemos que hallar 𝑦̅ y A:
Como
vemos que
es un
cuadrado, el centroide se
encuentra en el centro o a la
mitad de cada cara, y a=3
Entonces:
𝑦̅ = 1.5
𝐴 = 𝑎2 = 32 = 9
Entonces por el teorema de
pappus-guldin
hallamos
su
volumen:
𝑉 = 2𝜋(1.5)(9) = 27𝜋
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