59884540-Ejercicios-de-Movimiento-Armonico-simple

Ejercicios del libro
Sección 13.1: Descripción de la oscilación
Ejercicio 13.1:
Una cuerda de piano produce un la medio vibrando primordialmente a 220 Hz.
a) Calcule su periodo y frecuencia angular. b) Calcule el periodo y la frecuencia angular
de una soprano que canta un “La alto”, dos octavas más arriba, que es cuatro veces la
frecuencia de la cuerda de piano.
a)
T=
1
f
1
220 s −1
T = 0.00455 s.
T=
ω = 2* π*f
ω = 2 * π * 220 s −1
ω = 1382.30 rad s
b)
T=
1
4*f
1
4 * 220 s −1
T = 0.00114 s.
T=
ω = 2* π *4*f
ω = 2 * π * 4 * 220 s −1
ω = 5529.20 rad s
Ejercicio 13.2:
Si un objeto en una superficie horizontal sin fricción se une a un resorte, se
desplaza y después se suelta, oscilará. Si se desplaza 0.120 m. de su posición de
equilibrio y se suelta con rapidez inicial cero, después de 0.800 s. su desplazamiento es
de 0.120 m. en el lado opuesto, habiendo la posición de equilibrio una vez. Calcule: a)
la amplitud; b) el periodo; c) la frecuencia.
a)
1
A = 0.120 m.
b)
T = 1.600 s.
c)
1.600 s. → 1 ciclo
1.000 s. → x ciclo
1.000 s. *1 ciclo
0.800 s.
x ciclo = 1.25 ciclo
x ciclo =
f = 1.25 ciclo s = 1.25 s −1 = 1.25 Hz
Ejercicio 13.3:
La punta de un diapasón efectúa 440 vibraciones completas en 0.500 s. Calcule
la frecuencia angular y el periodo del movimiento.
0.500 s. → 440 ciclo
1.000 s. → x ciclo
1.000 s. * 440 ciclo
0.500 s.
x ciclo = 880.000 ciclo
x ciclo =
f = 880.000 ciclo s = 880.000 s −1 = 880.000 Hz
ω = 2π * f
ω = 2π * 880.000 s −1
ω = 5529.200 rad s
T=
1
f
1
880.000 s −1
T = 0.00114 s.
T=
Ejercicio 13.4:
En la figura 13.29 se muestra el desplazamiento en función del tiempo. Calcule:
a) la frecuencia; b) la amplitud y c) el periodo.
2
a)
f=
1
T
1
2.00 s.
f = 0.500 ciclo s = 0.500 s −1 = 0.500 Hz
f=
b)
La amplitud es más que vista en la gráfica: 0.20 m.
A = 0.20 m.
c)
T = 2.00 s.
Sección 13.2: Movimiento armónico simple
Ejercicio 13.5:
Una pieza de una máquina está en MAS con frecuencia de 5.00 Hz y amplitud
de 1.80 cm. ¿Cuánto tarda la pieza en ir de x = 0 a x = -1.80 cm?
A = 1.80 cm.
1
2A = ciclo
2
1 ciclo = 4A
ciclo
A=
4
3
2π
ω
2π
=
ω*4
π
=
ω*2
π
=
2* π*f *2
1
=
4*f
1
=
4 * 5.00 s −1
T=
T
4
T
4
T
4
T
4
T
4
T
= 0.05 s.
4
La pieza tarda en ir de x = 0 a x = -1.80 cm. 0.05 s.
Ejercicio 13.6:
En un laboratorio de física, se conecta un deslizador de riel de aire de 0.200 kg
al extremo de un resorte ideal de masa despreciable y se pone a oscilar. El tiempo entre
la primera vez que el deslizador pasa por la posición de equilibrio y la segunda vez que
pasa por ese punto es de 2.60 s. Determine la constante de fuerza del resorte.
0.75 T → 2.60 s.
1.00 T → x s.
1.00 T * 2.60 s.
0.75 T
x s. = 3.47 s.
T = 3.47 s.
x s. =
f=
1
T
f=
1
3.47 s.
f = 0.290 ciclo s = 0.290 s −1 = 0.290 Hz
ω = 2π * f
ω = 2π * 0.290 s −1
ω = 1.82 rad s
ω=
k
m
4
1.82 rad s =
k
0.200 kg.
k = (1.82 rad s ) * 0.200 kg.
2
k = 0.660 kg. s 2
Ejercicio 13.7:
Un cuerpo de masa desconocida se une a un resorte ideal con constante de fuerza
de 120 s 2 . Se observa que vibra a una frecuencia de 6.00 Hz. Calcule: a) el periodo; b)
la frecuencia angular; c) la masa del cuerpo.
kg
a)
T=
1
f
1
6.00 s −1
T = 0.17 s.
T=
b)
ω = 2π * f
ω = 2π * 6.00 s −1
ω = 37.70 rad s
c)
ω=
k
m
120 kg. s 2
37.70 s =
m
−1
 (37.70 rad s )2 
m=

kg.
 120 s 2 
m = 0.080 kg.
rad
Ejercicio 13.8:
Se crea un oscilador armónico usando un bloque de 0.600 kg, que se desliza
sobre una superficie sin fricción y un resorte ideal con constante de fuerza desconocida.
Se determina que el oscilador tiene un periodo de 0.150 s. Calcule la constante de fuerza
del resorte.
5
T=
2π
ω
T = 2π *
m
k
−2
T
k =   *m
 2π 
−2
 0.150 s. 
k =
 * 0.600 kg.
 2π 
k = 1052.76 kg. s 2
Ejercicio 13.9:
Un oscilador armónico tiene una masa de 0.500 kg y un resorte ideal con
k = 140 kg s 2 . Calcule: a) el periodo; b) la frecuencia; c) la frecuencia angular.
a)
T=
2π
ω
m
k
0.500 kg.
T = 2π *
140 kg. s 2
T = 2π *
T = 0.38 s.
b)
f=
1
T
f=
1
0.38 s.
f = 2.630 ciclo s = 2.630 s −1 = 2.630 Hz
c)
ω = 2π * f
ω = 2π * 2.630 s −1
ω = 16.52 rad s
Ejercicio 13.10:
6
Sustituya las siguientes ecuaciones, en las que A, ω y β son constantes, en la
ecuación (13.4) para ver si describen un MAS. De ser así, ¿cuánto debe valer ω ? a)
x = A * sen (ω * t + β ). b) x = A * ω * t 2 + β. c) x = A * e i*(ω*t +β ) , donde i = − 1 .
ax = −
k
*x
m
(Ecuación 13.4)
a)
k
*x
m
k
a x = − * [A * sen (ω * t + β )]
m
ax = −
Ejercicio 13.11:
Una cuerda de guitarra vibra con una frecuencia de 440 Hz. Un punto en su
centro se mueve en MAS con amplitud de 3.0 mm y ángulo de fase cero. a) Escriba una
ecuación para la posición del centro de la cuerda en función del tiempo. b) ¿Qué
magnitud máxima tienen: la velocidad y la aceleración del centro de la cuerda? c) La
derivada de la aceleración respecto al tiempo es un cantidad llamada tirón. Escriba una
ecuación para el tirón del centro de la cuerda en función del tiempo, y calcule el valor
máximo de la magnitud del tirón.
a)
x = A * cos(φ + ω * t )
x = A * cos(φ + 2π * f * t )
x = 0.003 m. * cos(0 + 2π * 440 Hz * t )
x = 0.003 m. * cos (2764.60 Hz * t )
b)
v máx = ± ω * A
v máx = ±2π * f * A
v máx = ±2π * 440 s −1 * 0.003 m.
v máx = ±8.29 m s
a máx = ±ω 2 * A
2
a máx = ±(2π * f ) * A
(
)
2
a máx = ± 2π * 440 s −1 * 0.003 m.
a máx = ±22929.06 m s 2
c)
7
Ejercicio 13.12:
Un bloque de 2.00 kg. que se desliza sin fricción, se conecta a un resorte ideal
con k = 300 N m . En t = 0, el resorte no está estirado ni comprimido y el bloque se
mueve en la dirección negativa a 12.00 m s . Calcule: a) la amplitud; b) el ángulo de fase.
c) Escriba una ecuación para la posición en función del tiempo.
a)
m
* 2π
k
2.00 kg
T=
* 2π
300 kg. s 2
T=
T = 0.51 s.
f=
1
T
f=
1
0.51 s.
f = 1.96 Hz = 1.96 ciclo s = 1.96 s −1
ω = 2π * f
ω = 2π *1.96 s −1
ω = 12.32 rad s
− Vmáx = −ω * A
− Vmáx
A=
−ω
Vmáx
A=
ω
12.00 m s
A=
12.32 rad s
A = 0.97 m.
b)

V0 

 x0 *ω 


12.00 m s

φ = tan −1  −
 0.00 m. *12.32 rad s 
φ = tan −1 (∞ )
φ = tan −1  −
φ=
π
2
8
c)
x = A * cos (ω * t + φ )
π

x = 0.97 m. * cos 12.32 rad s * t + 
2

Ejercicio 13.13:
Repita el ejercicio 13.12, pero suponga que, en t = 0, el bloque tiene un
velocidad de − 4.00 m s y un desplazamiento de +0.200 m.
a)
m
* 2π
k
2.00 kg
T=
* 2π
300 kg. s 2
T=
T = 0.51 s.
f=
1
T
f=
1
0.51 s.
f = 1.96 Hz = 1.96 ciclo s = 1.96 s −1
ω = 2π * f
ω = 2π *1.96 s −1
ω = 12.32 rad s
2
A = x 0x +
2
A=
v 0x
ω2
m 2
(0.200 m.)2 + (− 4.00rad s )2
(12.32 s )
A = 0.380 m.
b)

V0 

 x0 *ω 


− 4.00 m s
φ = tan −1  −

rad
 0.200 m. *12.32 s 
φ = tan −1  −
9
φ = 1.02 rad
c)
x = A * cos (ω * t + φ )
x = 0.38 m.* cos (12.32 rad s * t + 1.02 rad )
Ejercicio 13.14:
La punta de la aguja de una máquina de coser se mueve en MAS sobre el eje x
con una frecuencia de 2.5 Hz. En t = 0, sus componentes de posición y velocidad son
+1.1 cm. y − 15.00 cm s . a) Calcule la componente de aceleración de la aguja en t = 0. b)
Escriba ecuaciones para las componentes de posición, velocidad y aceleración de la
punta en función del tiempo.
a)
ω = 2π * f
ω = 2π * 2.50 s −1
ω = 15.71 rad s

V0 x 

x
*
ω
 0x



−
15
.00 cm s
φ = tan −1  −

 1.10 cm. *15.71 rad s 
φ = tan −1  −
φ = 0.71 rad
2
A = x 0x
A=
2
v
+ 0x2
ω
(1.100 cm.)2 + (− 15.00rad s 2)
(15.71 s )
cm
2
A = 1.46 cm.
a x = −ω 2 * A * cos(φ + ω * t )
2
a x = −(15.71 rad s ) *1.46 cm. * cos(0.71 rad + 15.71 rad s * 0.00 s.)
a x = −273.26 cm. s 2
b)
x = A * cos (ω * t + φ )
x = 1.46 cm.* cos (15.71 cm. s * t + 0.71 rad )
10
Vx = −ω * A * sen (ω * t + φ )
Vx = −(15.71 rad s )*1.46 cm. * sen (15.71 rad s * t + 0.71 rad )
Vx = −22.94 cm. s * sen (15.71 rad s * t + 0.71 rad )
a x = −ω 2 * A * cos (ω * t + φ )
2
a x = −(15.71 rad s ) *1.46 cm. * cos (15.71 rad s * t + 0.71 rad )
a x = −360.33 cm. s 2 * cos (15.71 rad s * t + 0.71 rad )
Ejercicio 13.15:
Un objeto está en movimiento armónico simple con periodo de 1.200 s y
amplitud de 0.600 m. En t = 0, el objeto está en x = 0. ¿A qué distancia está de la
posición de equilibrio cuando t = 0.480 s?
f=
1
T
f=
1
1.200 s.
f = 0.83 Hz = 0.83 ciclo s = 0.83 s −1
ω = 2π * f
ω = 2π * 0.83 s −1
ω = 5.22 rad s
x = A * cos (ω * t + φ )
π

x = 0.600 m. * cos  5.22 rad s * 0.480 s. + 
2

x = −0.360 m.
Está de la posición de equilibrio cuando t = 0.480 s a 0.360 m.
Ejercicio 13.16:
Una silla de 42.5 kg se sujeta a un resorte y se le permite oscilar. Cuando la silla
está vacía, tarda 1.30 s en efectuar una vibración completa. Cuando una persona se
sienta en ella, sin tocar el piso con los pies, la silla tarda 2.54 s en efectuar un ciclo.
Calcule la masa de la persona.
m
* 2π
k
42.5 kg
1.30 s. =
* 2π
k
T=
11
−2
 1.30 s. 
k =
 * 42.5 kg
 2π 
k = 992.80 kg. s 2
m
* 2π
k
42.5 kg + x
2.54 s. =
* 2π
992.80 kg s 2
T=
2
 2.54 s. 
x=
 * 992.80 kg s 2 − 42.5 kg
π
2


x = 119.74 kg.
Ejercicio 13.17:
Un objeto de 0.400 kg en MAS tiene a x = −2.70 m s 2 cuando x = 0.300 m.
¿Cuánto tarda una oscilación?
ax = −
k
*x
m
− 2.70 m s 2 = −
k
* 0.300 m.
0.400 kg
− 2.70 m s 2
* 0.400 kg
0.300 m.
k = 3.60 kg. s 2
k=−
m
* 2π
k
0.400 kg.
T=
* 2π
3.60 kg. s 2
T=
T = 2.09 s.
Ejercicio 13.18:
La velocidad de una masa de 0.500 kg en un resorte está dada en función del
π

tiempo por v x (t ) = (3.60 cm. s ) * sen  4.71 s −1 * t −  . Calcule: a) el periodo; b) la
2

amplitud; c) la aceleración máxima de la masa.
(
)
a)
12
ERROR: syntaxerror
OFFENDING COMMAND: --nostringval-STACK:
false