Índice Parte 1 ........................................................................................................................................................... 2 Bombardeos Atómicos de Hiroshima y Nagasaki ..................................................................................... 2 ¿Qué Pasó? ........................................................................................................................................... 2 ¿Cómo afecto este evento al planeta tierra? ....................................................................................... 2 Parte II ........................................................................................................................................................... 5 Temarios ................................................................................................................................................... 5 Tema 1: Fracciones. .............................................................................................................................. 5 Operaciones con fracciones .................................................................................................................. 5 Sumas y Restas ...................................................................................................................................... 5 Multiplicación y división ....................................................................................................................... 6 Ejercicios ............................................................................................................................................... 6 Tema 2: Ecuaciones de Primer grado.................................................................................................... 8 Ejercicios ............................................................................................................................................... 9 Tema 3: Ecuaciones de segundo grado............................................................................................... 12 Ejercicios ............................................................................................................................................. 13 Tema 4: Teorema de Pitágoras. ......................................................................................................... 18 Ejercicios ............................................................................................................................................. 18 Tema 5: Sistema de Ecuaciones. ......................................................................................................... 23 Ejercicios: ............................................................................................................................................ 24 Anexos......................................................................................................................................................... 35 Parte 1 Bombardeos Atómicos de Hiroshima y Nagasaki ¿Qué Pasó? 6 de agosto de 1945, “Little Boy” una bomba de Uranio es soltada a más de 9000 m de altura por el bombardero B-29 Enola Gay. 40 Segundos después explota a una altura de 600 metros sobre la ciudad de Hiroshima, creando una bola de fuego que alcanza una temperatura de 1 millon de grados centígrados. 70 mil personas mueren y otras 70 mil morirán en los meses siguientes por la radiación, 200 mil sobreviven y serán conocidos como los “Hibakusha” (Persona bombardeada). 9 de agosto de 1945, a las 11:00 am, “Fat man” una bomba de Plutonio, mas potente y eficaz que Little Boy, es transportada por el bombardero bautizado como “Necessary Evil” (Mal Necesario), al llegar a Nagasaki es soltada, matando 80 mil habitantes al instante de explotar. Días más tarde, el 15 de agosto de 1945, Japón se rendirá ante el poder de la bomba atómica, finalizando asi la segunda guerra mundial. ¿Cómo afecto este evento al planeta tierra? Los bombardeos atómicos de Hiroshima y Nagasaki, cambiaron para siempre el mundo, dando inicio a la era nuclear, y posteriormente a la guerra fría, llamada asi porque los países participantes tenían miedo de atacarse a sí mismos directamente, por miedo a una aniquilación nuclear. 2 Aunque fueron eventos catastróficos, y considerado por algunos como un crimen contra la humanidad, y por otros como un mal necesario, lo cierto es que, gracias a estos eventos se pudo aprender más sobre la radiación, y sus efectos sobre las personas, como que enfermedades produce, o los límites del cuerpo ante esta. Tambien se aprendió que, al contrario de un desastre de una central nuclear como Chernóbil o Fukushima, las ciudades bombardeadas sí pudieron ser repobladas después de la guerra. Al ser armas creadas para crear liberar la mayor energía posible de la reacción de una fisión nuclear en el menor tiempo posible, los isótopos radioactivos que se crean en una explosión atómica tienen un periodo de vida relativamente corto. Ademas que al haber sido detonadas a cientos de metros en el aire, como resultado los depósitos radioactivos se dispersaron por el efecto de la nube creada por la explosión, por estas razones Hiroshima y Nagasaki son, hoy en dia ciudades habitadas por 1.174.000 en Hiroshima y 450.000 en Nagasaki. Aunque ambientalmente sus efectos sobre la tierra directamente no fueron prolongados, a nivel político perduran hasta la actualidad, y seguramente lo harán en las siguientes generaciones, ya que, la creación de un arma capaz de destruir ciudades cambio totalmente la forma en la que los países y en especial, sus líderes políticos, interactúan entre sí. El miedo a la destrucción mutua asegurada o MAD por sus siglas en inglés, una doctrina concebida por John Von Neumann, uno de los matemáticos más importante del siglo XX, asegura que, en caso de iniciarse una guerra nuclear, lo único que se lograría con esta sería una guerra nuclear total, que 3 implicaría el fin del mundo. Como se demostró en la guerra fría, las armas nucleares llevaron a una “paz” entre las potencias que lograron crearlas, para evitar un conflicto que lleve a la humanidad a la extinción, solo queda esperar que, por el bien de la humanidad, nunca lleguen a ser usadas. 4 Parte II Temarios Tema 1: Fracciones. Una fracción es un número que expresa una cantidad determinada de porciones que se toman de un todo dividido en partes iguales; se representa con una barra oblicua u horizontal que separa la primera cantidad (numerador) de la segunda (denominador). Operaciones con fracciones Sumas y Restas Para sumar 2 fracciones se debe multiplicar el numerador con el denominador de la fracción opuesta, luego sumar (o restar) el resultado de las 2 multiplicaciones, eso daría el numerador de la suma (o resta) de fracciones; luego se debe multiplicar los 2 denominadores, y finalmente se debe simplificar la fracción por divisores comunes, hasta que ya no queden más, es decir se haga irreductible. 5 Multiplicación y división Para la multiplicación, solo se debe multiplicar el numerador y el denominador por su respectivo de la fracción opuesta. Y para la división, se multiplica el numerador por el denominador opuesto. Ejercicios 1.- 2.- 3.- 4.- 5.- 6 6.- 7.- 8.- 9. - 10.- 7 Tema 2: Ecuaciones de Primer grado. Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones separadas por el signo igual (=), en las que aparecen elementos conocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Una ecuación de primer grado, es un tipo de ecuación que involucra una o más variables(incógnitas) de exponente 1. En una ecuación ambos lados del signo igual deben valer lo mismo, por lo tanto, el objetivo de resolver una ecuación es conseguir el valor de la incógnita. 5+x=9 X=9–5 X=4 Para resolver la ecuación, se debe aislar la incógnita en uno de los lados, por lo general el izquierdo. Para hacer esto, se deben mover las operaciones de un lado a otro, y, al hacerlo su operación cambia a la opuesta, es decir, sumas pasan a ser restas, y viceversa, y multiplicaciones pasan a ser divisiones, y viceversa. 8 Ejercicios 1.- 4x = 28 x=28 / 4 x=7 2.- 3x - 2= 16 3x = 16 + 2 3x = 18 x = 18/3 x=6 3.- 6x + 8 = 4 6x + 8 – 4x = 18 2x + 8 = 18 2x = 18 – 8 2x = 10 9 x = 10/2 x=5 4.7x = 28 x = 28/7 x=4 5.2-x = x-8 2-x+8 = x 2+8 = x+x 10 = 2x 10/2 = x 5=x 6.16x = 32 x = 32/16 x=2 10 7.22 + x = 18 . 2 x = 12 . 2 – 22 x= 36 – 22 x = 14 8.37 – x = x + 20 37 – x – 20 = x 37 – 20 = x + x 17 = 2x 17/2 = x 9.38 – 2x = 42 -2x = 42-38 x = 4/-2 x = -2 11 10.2x – 1 = 5x + 8 2x – 5x = 8 + 1 -3x = 8 + 1 x= 9/-3 x = -3 Tema 3: Ecuaciones de segundo grado. Se le llama ecuación de segundo grado o ecuaciones cuadradas, a las ecuaciones que poseen un término incognito que posee un exponente cuadrado (2). Para resolver una ecuación de segundo grado se debe escribir de la forma general. a.x2+bx+c = 0 En el que a es el término que acompaña la incógnita cuadrada, b acompaña el termino sin exponente (o de exponente 1, mejor dicho) y c el termino sin incógnita. Ejemplo a.x2+bx+c = 0 2.x2+2x+-4 = 0 |a: 2|b: -2|c: -4| Al asegurarnos que está escrita de la forma general, se procede a resolver usando la fórmula de la ecuación de segundo grado. 12 Al resolver una ecuación de segundo grado, se obtienen 2 resultados posibles, que son validos para comprobar la ecuación. (X1 y X2) Ejercicios 1.- x2-2x + 1 = 0 |a:1|b: -2|c: 1| 2.- 5x2-10x-15 = 0 x2-2x-3 = 0 -Se divide entre cinco |a:1|b: -2|c: -3| 13 3.- x2 + 4x + 3 = 0 |a:1|b: 4|c: 3| 4.- x2+ 4x + 4 = 0 |a:1|b: 4|c: 4| 14 5.- x2 + 5x + 6 = 0 |a:1|b: 5|c: 6| 6.- x2 + 4x + 3 = 0 |a:1|b: 4|c: 3| 15 7.- x2 + 8x + 16 = 0 |a:1|b: 8|c: 16| 8.- 10x2 – 7x + 1 = 0 |a:10|b: -7|c: 1| 16 9.- x2 – 2x – 15 = 0 |a:1|b: -2|c: -15| 10.- x2 -3x – 10 = 0 |a:1|b: -3|c: -10| 17 Tema 4: Teorema de Pitágoras. Es un concepto matemático que establece que en todo triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. La fórmula es: C2 = a2 +b2 Se usa para descubrir la medida de la hipotenusa usando sus catetos, o la medida de alguno de los catetos, despejando la formula. Ejercicios 1.- C2 = a2 +b2 52 = 32 +42 252 = 9 +16 25 = 25 2.- C2 = a2 +b2 C2 = 62+52 C2 = 36 + 25 C2 = 61 C = √61 18 C = 7.81 3.- C2 = a2 +b2 C2 - b2 = a2 102 – 82 = a2 100 - 64 = a2 a = √36 a=6 4.- C2 = a2 +b2 C2 - a2 = b2 152 – 122 = b2 225 – 144 = b2 b = √81 19 b=9 5.- C2 = a2 +b2 C2 = 52+122 C2 = 25 + 144 C2 = 169 C = √169 C = 13 6.- C2 = a2 +b2 C2 - b2 = a2 172 – 152 = a2 289 - 225 = a2 a = √64 20 a=8 7.C2 = a2 +b2 C2 - a2 = b2 102 – 82 = b2 100 – 64 = b2 b = √36 b=6 8.C2 = a2 +b2 C2 - b2 = a2 52 – 32 = a2 25 - 9 = a2 a = √16 21 a=4 9.C2 = a2 +b2 C2 = 62+82 C2 = 36 + 64 C2 = 100 C = √100 C = 10 10.C2 = a2 +b2 C2 = 252+652 C2 = 625 + 4225 C2 = 4850 C = √4850 22 C = 69,64 Tema 5: Sistema de Ecuaciones. Es un conjunto de dos o más ecuaciones, que comparten sus incógnitas. Ejemplo: Para resolver un sistema de ecuaciones, se debe encontrar los valores de “x” y “y”, usando alguno de los 3 métodos, Sustitución, igualación y reducción. Método de Sustitución: Se debe rescribir la ecuación, sustituyendo la incógnita con paréntesis (), y dentro de ellos, colocar el valor de x de la segunda ecuación, luego realizar las operaciones para conseguir el valor de y. Al haber obtenido el valor de y, se remplaza este con la segunda ecuación, obteniendo así el valor de x al realizar la operación. Método de Igualación: Se debe tomar el valor de x (o y) de cada una de las ecuaciones y se deben igualar. Al hacer esto, lo siguiente que se debe hacer es colocar los números del lado derecho, y las letras del lado izquierdo. Asi, al obtener el valor de y, realizando las operaciones, se puede encontrar el valor de x usando alguna de las ecuaciones, o ambas como comprobación. Método de Reducción: En este método, el objetivo es eliminar de las 2 ecuaciones una de las incógnitas, para, al final solo tener que sumar. Para poder realizar este método, uno de los términos acompañantes debe poderse multiplicar por cualquier número que dé como resultado el acompañante de la ecuación opuesta. Si es asi, toda la ecuación debe ser multiplicada por ese número. 23 Ejercicios: Sustitución: 1.- (5y) + y = 42 6y = 42 y = 42 / 6 y=7 x + 7 = 42 x = 42 – 7 x = 35 (35,7) Comprobación: x + y = 42 35 + 7 = 42 24 2.- (y+5) + y = 41 2y+5 = 41 2y = 36 y = 36 / 2 y = 18 x + 18 = 41 x = 18 + 5 x = 23 (23,18) Comprobación: x=y+5 23 = 18 + 5 25 3.- x = 14/2 x=7 (7) + y = 25 y = 25 – 7 y = 18 (7,18) Comprobación: 2x=14 2 . 7 = 14 26 4.- 2x + y = 4 y = 4 -2 x x+y=3 x + (4-2x) = 3 x–2x=3–4 x – 2 x = -1 -x = -1 x=1 y = 4 -2 x y = 4 -2 . 1 y=2 ( 1, 2 ) Comprobación: x+y=3 | 1+2=3 27 Igualación: 5.- 5y + 10 = 2y + 16 5y = 2y + 16 – 10 5y – 2y = 16 – 10 3y = 6 y=6/3 y= 2 x = 5y + 10 x = 5 . 2 + 10 x = 10 + 10 x = 20 (20,2) 28 6.- 3x – 4y = -6 3x = -6 + 4y 2x + 4y = 16 2x = 16-4y 2(-6+4y) = 3 (16-4y) -15+8y = 45-12y 8y = 48-12y+12 20y = 60 y = 60 / 20 29 y=3 3x–4y=-6 3x – 4 . 3 = - 6 3x – 12 = - 6 3x = -6 + 12 3x=6 x=6/3 x=2 (2, 3) comprobación: 2 x + 4y = 16 2 . 2 + 4 . 3 = 16 4 + 12 = 16 16 = 16 30 7.- x+y=3 y=3–x y = 2x 2x – y = 0 2x = y 3 – x = 2x 3/3 = x 1=x y = 2x y=2.1 y=2 (1,2) comprobación x+y=3 | 1+2=3 | 3=3 31 Reducción: 8.- (4) 9x = 27 x = 27 / 9 x=3 2x + y = 8 2.3+y=8 6+y=8 y=8–6 y=2 (3,2) Comprobación: 2x +y=8 | 2.3+2=8| 8=8 32 9.- (3) 11 x = 55 x = 55 / 11 x=5 2x – 6 y = 4 2.5-6y=4 10 – 6 y = 4 4y = 4 y = 4/4 y=1 (5,1) Comprobación: 3x+2y=17 | 3.5+2.1=17 | 15 + 2 = 17 | 17 = 17 33 10.- (-2) 4y = 32 y = 32/4 y=8 x-y = 0 x–8=0 x=0+8 x=8 (8 , 8) Comprobación: 2x + 2y = 32 | 2 . 8 + 2 . 8 = 32 | 16 + 16 = 32 | 32 = 32 34 Anexos Bomba de Hiroshima Bomba de Nagasaki 35 Hiroshima en 1945, Hiroshima en la actualidad 36 Prueba “Apache” realizada por Estados Unidos en el Pacífico de un arma nuclear. 37
