"Lógica y Estructuras Discretas",
Primera Semana Febr. 2011, modelo A
Instrucciones: Responda al test en la plantilla impresa que se le facilita. Si responde al desarrollo,
hágalo en una hoja aparte (con su nombre escrito). Sólo escanee las respuestas del test y la
hoja de desarrollo, si la entrega, no el enunciado..
Si considera que hay erratas, indíquelas en la hoja para desarrollo (y escanéela).
Datos
X1
X2
X3
X4
:
:
:
:
p → (q → r)
(p ∨ q) → r
(p ∧ q) → r
p → (r ∨ q)
Y1
Y2
Y3
Y4
:
:
:
:
∀x(P x → Qx)
¬∃z(Rz → Qz)
∀x(¬∃ySxy → ¬P x)
∀x∃y((Sxy ∨ Syx) ∧ x 6= y)
Test
1. Sea el conjunto A = {a, b, c}, y P(A) el conjunto potencia de A:
c) antisimétrica ⇐
6. p = 1, q = 0, r = 0 hace verdaderas
a) {a} ∈ A
a) X1 y X2
b) ∅ ∈ A
b) X1 y X3 ⇐
c) {∅, {a, c}} ⊂ P (A) ⇐
c) X3 y X4
2. Complete ∼ (A∪ ∼ B) = ?
7. X3 es equivalente a:
a) ∼ A ∩ B ⇐
a) X1 ⇐
b) ∼ A ∪ B
b) X2
c) A ∩ B
c) X4
8. (X1 6|= X2 ): "de X1 no es consecuencia X2 ",
como demuestra
3. La relación R = {(1, 2), (3, 2)} sobre E =
{1, 2, 3} es:
a) p = 0, q = 0, r = 0
a) reflexiva
b) p = 0, q = 1, r = 0 ⇐
b) simétrica
c) p = 1, q = 1, r = 1
c) antisimétrica ⇐
9. Es tautología:
4. Complete B ∪ (A ∩ ∼ A) = ?
a) X2 → X4 ⇐
a) ∼ B
b) X4 → X2
b) ∅
c) X1 → X2
c) B ⇐
10. Forma Normal Conjuntiva de X2 :
5. Una relación R de equivalencia no es:
a) (p ∨ r) ∧ (q ∨ r)
a) reflexiva
b) (p ∨ q) ∧ (r)
b) transitiva
c) (¬p ∨ r) ∧ (¬q ∨ r) ⇐
1
a) ∀x∃yM xy → ∃x∃yM xy ⇐
11. En toda interpretación que satisface tanto
Y1 como Y2 :
b) ∃x∃yM xy → ∃x∀yM xy
a) Q = ∅ y P = ∅ ⇐
c) ∃x∀yM xy → ∀x∃yM xy
b) Q 6= ∅ y P = ∅
16. Si un grafo contiene aristas paralelas se denomina:
c) Q 6= ∅ y P 6= ∅
12. Y3 es verdadera para la interpretación: E =
{1, 2, 3}, P = {1, 2} y
a) grafo con bucles
b) grafo acíclico
a) S = {(1, 1), (1, 2)}
c) multigrafo ⇐
b) S = {(1, 1), (2, 3)} ⇐
17. La longitud de un camino, en un grafo, es:
c) S = ∅
a) el grado de entrada del último nodo del
camino
13. Y2 es equivalente a:
b) el número de aristas que aparecen en
la sucesión del camino ⇐
a) ∃xRx ∨ ¬∀yQy
b) ∀zRz ∧ ∀y¬Qy ⇐
c) el número de nodos que aparecen en la
sucesión del camino
c) ∀x(Rz ∨ ¬Qz)
14. Y4 es verdadera para la interpretación: E =
{1, 2, 3}, con
18. Un grafo no dirigido es conexo si:
a) desde cualquiera de sus nodos se puede
llegar a cualquier otro ⇐
a) S = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}
b) S = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}
b) el grado de entrada de todo nodo es
igual a 1
c) S = {(1, 2), (3, 2), (1, 1)} ⇐
15. Señale la expresión válida (siempre verdadera):
c) permite bucles en cada uno de sus nodos
Nota sobre la pregunta 5: Del enunciado que se pretendía escribir faltó la última palabra: “Una
relación de equivalencia no es necesariamente:” En este caso, la respuesta correcta sería ’antisimétrica’
porque la pregunta se puede codificar como
¬∀x(RelacEquiv(x) → RelacAntisim(x))
o, equivalentemente
∃x(RelacEquiv(x) ∧ ¬RelacAntisim(x))
y es verdad que hay relaciones de equivalencia que no son antisimétricas, p. ej., sobre el universo
{1, 2} con {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
Desafortunadamente, el enunciado de la pregunta 5, tal y como apareció en el examen, se entiende
como: “sea x una relación de equivalencia cualquiera, entonces no es ... antisimétrica”. Es decir:
∀x(RelacEquiv(x) → ¬RelacAntisim(x))
y esto no es correcto. P. ej., la relación (1, 1), (2, 2)} es de equivalencia y es también antisimétrica.
Por supuesto, las dos opciones restantes, (a) y (b), eran inmediatamente descartables, en cualquier
caso. Así, esta errata a lo sumo podía inhibir de marcar la (c) a quien tuviera un buen conocimiento
de la asignatura.
2
Pregunta de desarrollo
Demuestre, mediante un tableau, que es correcto el siguiente argumento:
∀x∃y(Sxy ∨ Syx) |= ∃x(∃ySxy ∨ ∃ySyx)
∀x∃y(Sxy ∨ Syx) premisa
[1]
[2]
[3]
¬∃x(∃ySxy ∨ ∃ySyx) neg. conclus.
¬(∃ySay ∨ ∃ySya) de
[4]
¬∃ySay de
[3]
[5]
¬∃ySya de
[3]
∃y(Say ∨ Sya) de
[6]
[7]
[8]
[10]
Sab de
Sab ∨ Sba de
¬Sab de
[11]
[4]
[1]
[6]
[9]
[7]
[2]
Sba de
[7]
¬Sba de
[5]
Estratégicamente es preferible instanciar cuanto antes los nodos existenciales, que producen necesariamente términos constantes nuevos. Ni [1] ni [2] lo son. Optamos por expandir [2] (universal,
negación de existencial) en [3]. Y [3] (negación de disyunción), en [4] y [5].
Aquí es preferible parar de momento. Tanto [4] como [5] son universales (negación de existencial).
Expandimos entretanto el nodo [1] (universal) en [6]. El nodo [6] es existencial: estamos obligados a
usar una constante no utilizada previamente. Así se produce [7].
Como [7] es una disyunción, se produce una bifurcación del árbol en [8] y [9]. La rama de [8]
se cierra expandiendo allí [4] para producir [10]: como [4] era universal se puede instanciar en la
constante que se desee. Lo mismo ocurre con el nodo [11], instanciación del [5].
3
"Lógica y Estructuras Discretas",
Segunda Semana Febr. 2011, modelo C
Instrucciones: Responda al test en la plantilla impresa que se le facilita. Si responde al desarrollo,
hágalo en una hoja aparte (con su nombre escrito). Sólo escanee las respuestas del test y la hoja
de desarrollo, si la entrega, no el enunciado..
Si considera que hay erratas, indíquelas en la hoja para desarrollo (y escanéela).
Datos
X1
X2
X3
X4
:
:
:
:
¬(p ∧ q) ∨ ¬r
(p ∨ r) → (p ∨ q)
¬r ∨ p ∨ q
r → (q → ¬p)
Y1
Y2
Y3
Y4
:
:
:
:
∃x(P x ∧ Qx)
∀x(¬Rx → ¬Qx)
∃x∃y(Qy → Sxy)
∀x∀y((Sxy ∧ Syx) → x = y))
Test
1. Complete (A ∩ ∼ B) ⊆ ?
b) f no es función
c) f es sobreyectiva
a) ∼ A
5. ¿Cuántas filas (ordenadas, distintas) de 4 personas se pueden hacer escogiéndolas entre un
conjunto de 4 personas?
b) A ∩ B
c) ∼ B ⇐
2. Notamos por P(A) el conjunto potencia de A.
Una relación de A en B es
a) 4 × 3
b) 4! ⇐
c) 4!/3!
a) un subconj. de A ∪ B
b) un subconj. de A × B ⇐
6. p = 1, q = 0, r = 0 hace verdaderas
c) un subconj. de P (A) ∪ P (B)
a) X1 y X2 ⇐
b) X1 y ¬X3
c) ¬X3 y X4
3. Toda función de A en B es:
a) un subconj. de A ∪ B
7. X1 es equivalente a:
b) una relación de A en B ⇐
a) X3
b) X2
c) X4 ⇐
c) un subconj. de P (A) ∪ P (B)
4. Sea f una función de A={1,2} en B={a,b},
tal que f (1) = a, f (2) = a
8. (X1 6|= X2 ): "de X1 no es consecuencia X2 ",
como demuestra
a) no es inyectiva ⇐
1
14. Y4 es verdadera para la interpretación: E =
{1, 2, 3}, con
a) p = 0, q = 0, r = 0
b) p = 1, q = 0, r = 0
c) p = 0, q = 0, r = 1 ⇐
a) S = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}
b) S = {(1, 1), (2, 1)} ⇐
9. Es tautología:
c) S = {(3, 2), (2, 3)}
a) X1 → X2
15. Complete ¬A, B → A |= ?:
b) X2 → X3 ⇐
c) X4 → X2
a) B
10. No es una contradicción:
b) ¬B ⇐
c) A ∧ B
a) X4 ∧ ¬X1
b) X1 ∧ ¬X2 ⇐
16. Un árbol libre:
c) X2 ∧ ¬X3
a) no es conexo
11. En toda interpretación que satisface tanto Y1
como Y2 :
b) no es un grafo
c) es acíclico ⇐
a) R = ∅
17. Un camino en un digrafo en el que todas sus
aristas son distintas se denomina:
b) Q 6= ∅, R = ∅
c) P ∩ R 6= ∅ ⇐
a) bucle
12. Y3 es falsa para la interpretación: E = {1, 2},
Q = {1, 2} y
b) sencillo ⇐
c) elemental
a) S = {(1, 1)}
18. El grado total de un nodo
b) S = {(1, 2)}
c) S = ∅ ⇐
a) es el número de caminos distintos que
parten de él
13. Y3 es equivalente a:
b) el el número de caminos distintos que
llegan a él
a) ∃yQy → ∃xSxy
b) ∃yQy → ∃x∃ySxy
c) es la suma de sus grados de entrada y de
salida⇐
c) ∀yQy → ∃x∃ySxy ⇐
2
Pregunta de desarrollo
Demuestre, mediante un tableau, que es correcto el siguiente argumento:
∃xSxx |= ¬∀x∀y(Sxy → ¬Syx)
[1]
¬¬∀x∀y(Sxy → ¬Syx) neg. conclus.
[2]
∀x∀y(Sxy → ¬Syx) de
[3]
[4]
[5]
Saa de
¬Saa de
(Saa → ¬Saa) de
[8]
[6]
3
[2]
[1]
∀y(Say → ¬Sya) de
[6]
[7]
∃xSxx premisa
[3]
[5]
¬Saa de
[6]
Febrero 2011
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
TIPO A
C
A
C
C
C
B
A
B
A
C
A
B
B
C
A
C
B
A
TIPO B
C
C
C
A
C
B
C
A
B
A
A
C
B
B
A
A
C
B
TIPO C
C
B
B
A
B
A
C
C
B
B
C
C
C
B
B
C
B
C
TIPO D
B
C
B
B
A
C
C
B
A
B
C
C
D
B
B
C
C
B
TIPO E
C
B
C
A
B
A
B
C
A
B
C
C
A
B
B
C
B
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Soluciones del test del examen de Septiembre de 2011 de Lógica y Estructuras Discretas
Cada columna corresponde a las respuestas de cada modelo de examen (A, B, C, etc.)
PREGUNTAS
A
B
C
D
1
c
a
b
c
2
a
c
a
a
3
b
c
c
c
4
b
b
b
b
5
b
b
b
b
6
b
b
c
b
7
c
c
c
c
8
c
b
b
b
9
c
c
c
c
10
a
c
c
b
11
b
b
a
c
12
c
b
b
a
13
a
a
c
b
14
b
b
a
c
15
b
c
b
c
16
c
a
c
a
17
c
b
c
c
18
c
c
b
b
Lógica y Estructuras Discretas
Material permitido: ninguno
Febrero 2012, modelo A
Instrucciones Puede quedarse con estas hojas de enunciado (no las entregue para escanear). Responda
al test en la plantilla que le facilitan. Si decide responder al desarrollo, hágalo sobre una hoja blanca aparte,
con su nombre; nunca en el reverso del test. Si considera que hay erratas, indı́quelas en la hoja de desarrollo,
no sobre la plantilla del test.
Puntuación En el test, cada respuesta correcta suma 0’5 y cada incorrecta resta 0’25. Las respuestas
en blanco no restan. El desarrollo suma 1 punto (como máximo).
Datos
U1
U2
U3
U4
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
= {1, 3, 4}
= {1, 4, 6}
=∅
R1
R2
R3
R4
Y1
Y2
Y3
Y4
: {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (3, 1)}
: {(1, 1), (3, 2), (2, 2), (3, 3)}
: {(4, 2), (3, 2), (5, 4), (6, 5)}
: {(1, 3), (2, 1), (3, 2), (4, 2)}
: (p ∧ q) ∨ (¬r ∧ s)
: (p ∧ r) ∨ (¬q ∧ s)
: (p ∧ s)
: (p ∧ q ∧ ¬r ∧ ¬s)
Z1
Z2
Z3
Z4
S1
S2
S3
S4
: {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 4)}
: {(4, 5), (5, 6), (6, 2), (6, 4)}
: {(1, 2), (1, 1), (2, 2), (6, 2)}
: {(1, 2), (1, 1), (2, 2), (6, 2)}
: ∀x(P x → ∃yQxy)
: ∀x(P x → ∀yQxy)
: ∀x(P x → Qxx)
: ∀x(P x → ¬Qxx)
U1 es siempre la referencia: conjunto universal. Las relaciones lo son sobre U1 ; las funciones, de U1 en U1 .
Es el universo de discurso en las interpretaciones para las fórmulas lógicas. Los grafos y árboles se suponen
siempre con esos seis nodos.
Test
a) R1 ∪ {(1, 1), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6),
(2, 1), (3, 1), (2, 3), (3, 2)} ⇐
1. Marque la respuesta falsa:
a) 1 ∈ (U2 ∪ U3 )
b) R1 ∩ R2
b) {1} ⊆ (U2 ∩ U3 )
c) R1 ∪ R2 ∪ {(4, 4), (5, 5), (6, 6)}
c) U2 ⊆ (U3 ∩ U1 ) ⇐
d ) R2
d ) U4 ⊆ U2
5. R3 ∪ R4
2. Marque la respuesta falsa
a) es función no inyectiva de U1 en U1 ⇐
a) (U1 ∩ U3 ) ∪ U2 = (U1 ∪ U2 ) ∩ (U3 ∪ U2 )
b) no es función de U1 en U1
b) ∼ (U2 ∩ U3 ) = (∼ U2 ∩ ∼ U3 ) ⇐
c) es función sobreyectiva de U1 en U1
c) ∼∼ U4 = U4
d ) es función biyectiva de U1 en U1
d ) El conj. potencia de U2 tiene 8 elementos
6. (R3 ∪ R4 )−
3. Marque la respuesta falsa
a)
b)
R1−
R1−
a) es función no inyectiva de U1 en U1
∩ R1 = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}
b) no es función de U1 en U1 ⇐
⊆ (R1− ∪ R1 )
c) es función sobreyectiva de U1 en U1
d ) es función biyectiva de U1 en U1
c) (1, 2) ∈ R1 ◦ R2
d ) R1 es simétrica ⇐
7. Y1 es falsa en la interpretación:
a) p = 1, q = 0, r = 1, s = 1 ⇐
4. Es relación de equivalencia sobre U1
1
b) p = 1, q = 1, r = 1, s = 1
a) ∃y∀x(¬P x ∨ Qxy)
c) p = 1, q = 0, r = 0, s = 1
b) ∀x∀y(¬P x ∨ Qxy)
d ) p = 1, q = 1, r = 0, s = 1
c) ∀x∃y(¬P x ∨ Qxy) ⇐
d ) ∀x∃y(P x ∨ Qxy)
8. Marque la respuesta falsa:
14. Es consecuencia, se deduce:
a) Y1 → Y2 ≡ ¬Y2 → ¬Y1
b) Y1 → Y2 ≡ ¬Y1 ∨ Y2
a) Z4 |= ¬Z4
c) Y1 → Y2 ≡ ¬Y1 → ¬Y2 ⇐
b) Z2 |= Z3 ⇐
d ) Y1 → Y1 es tautologı́a
c) Z1 |= Z3
d ) Z4 |= Z2
9. La tabla de Y2 , es verdadera en:
15. Universo U1 . La fórmula ∀x∃y(Qxy ∧ x 6= y) es
verdadera en:
a) 7 lı́neas ⇐
b) 4 lı́neas
a) R1
c) 3 lı́neas
b) R3
d ) 1 lı́nea
c) R1 ∪ R2
10. De Y4 se deduce, es consecuencia:
d ) R3 ∪ R4 ⇐
a) Y2
16. El grafo dirigido (S1 ∪ S2 )
b) Y1 ⇐
a) tiene un nodo con grado de entrada 3
c) ¬Y4
b) es acı́clico
d ) Y3
c) tiene un ciclo sencillo que recorre todos los
nodos ⇐
11. Universo U1 , donde U3 representa P y R1 representa Q. Ahı́ son verdaderas las fórmulas:
d ) tiene un ciclo elemental que recorre todos
los nodos
a) ¬Z1 y ¬Z3 ⇐
17. Es unilateralmente conexo:
b) ¬Z1 y Z3
c) Z1 y Z3
a) S1 ∪ S3
d ) Z1 y ¬Z3
b) S1 ∪ S2 ⇐
c) S3
12. Universo U1 , donde U2 representa P y R2 representa Q. Ahı́ son verdaderas las fórmulas:
d ) S4
18. Un árbol libre:
a) ¬Z2 y ¬Z4 ⇐
b) Z2 y Z4
a) tiene ciclos elementales
c) ¬Z2 y Z4
b) es inconexo
d ) Z2 y ¬Z4
c) es acı́clico ⇐
d ) tiene ciclos sencillos
13. Z1 es equivalente a:
Desarrollo
Desarrolle un tableau que confirme la relación de consecuencia que marcó en la pregunta 14
2
Lógica y Estructuras Discretas
Material permitido: ninguno
Febrero 2012, modelo C
Instrucciones Puede quedarse con estas hojas de enunciado (no las entregue para escanear). Responda
al test en la plantilla que le facilitan. Si decide responder al desarrollo, hágalo sobre una hoja blanca aparte,
con su nombre; nunca en el reverso del test. Si considera que hay erratas, indı́quelas en la hoja de desarrollo,
no sobre la plantilla del test.
Puntuación En el test, cada respuesta correcta suma 0’5 y cada incorrecta resta 0’25. Las respuestas
en blanco no restan. El desarrollo suma 1 punto (como máximo).
Datos
U1
U2
U3
U4
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
= {1, 2, 4}
= {2, 3, 6}
= {1, 4}
R1
R2
R3
R4
Y1
Y2
Y3
Y4
: {(1, 2), (1, 3), (3, 4), (2, 6)}
: {(1, 6), (1, 4), (3, 5), (1, 5)}
: {(4, 2), (3, 1), (1, 4), (6, 3)}
: {(5, 5), (2, 6), (3, 1), (4, 2)}
: (p ∨ ¬q) → (r ∧ s)
: ¬p ∧ ¬q ∧ r ∧ ¬s
: (p ∨ r) → (¬r ∧ s)
: (p ∨ s) → (q ∧ s)
Z1
Z2
Z3
Z4
S1
S2
S3
S4
: {(1, 2), (3, 1), (4, 1), (1, 6)}
: {(2, 1), (1, 3), (1, 4), (6, 1)}
: {(1, 3), (3, 5), (2, 4), (5, 6)}
: {(5, 6), (6, 2), (1, 3), (4, 1)}
: ∀x(P x ∧ ∃yQxy)
: ∀x(¬P x ∧ ∃yQxy)
: ∀x(¬P x → ¬Qxx)
: ∀x(Qxx → P x)
U1 es siempre la referencia: conjunto universal. Las relaciones lo son sobre U1 ; las funciones, de U1 en U1 .
Es el universo de discurso en las interpretaciones para las fórmulas lógicas. Los grafos y árboles se suponen
siempre con esos seis nodos.
Test
a) es una función no inyectiva de U1 en U1 ⇐
1. Marque la respuesta falsa:
b) es biyectiva
a) U4 ⊆ (U2 ∪ U3 )
c) es sobreyectiva
b) U4 ∈ U2 ⇐
d ) su inversa es función de U1 en U1
c) U4 ⊆ (U2 ∩ U1 )
5. Si en la definición de R1 se cambia el orden de
enumeración de esos 4 pares, sigue siendo el mismo R1 ¿De cuántas formas distintas puede ocurrir esto?
d ) El conj. potencia de U4 tiene 4 elem.
2. U2 ∩ (∼(U3 ∩ U4 )) es igual a:
a) (U2 ∩ ∼U3 ) ∪ (U2 ∩ ∼U4 )
a) 12
b) (U2 ∩ ∼U3 ) ∩ (U2 ∩ ∼U4 )
b) 24 ⇐
c) (U2 ∩ U3 ) ∪ (U2 ∩ ∼U4 )
c) 6
d ) (U2 ∩ ∼U3 ) ∩ (U2 ∩ U4 )
d) 8
3. (R1 ∪ R2 ) es:
6. ¿Cuantos conjuntos distintos de tres elementos
pueden formarse con los de U1 ?
a) una relación de equivalencia
b) una relación simétrica
a) 20⇐
c) una relación de orden total
b) 720
d ) una relación de orden parcial estricto⇐
c) 120
d ) 24
4. Marque la opción falsa. (R3 ∪ R4 ):
1
b) Z2
7. Cuando p=0,q=1,r=1,s=0, son verdaderas:
a) ambas: Y2 e Y3
c) Z1 ∨ Z2
b) ambas: Y2 e Y1
d ) Z3 ∨ Z4 ⇐
c) ambas: Y3 e Y4
14. De Z1 es consecuencia, se deduce:
d ) ambas: Y1 e Y4 ⇐
a) ¬Z1
8. Es equivalente a Y3 :
b) Z2
a) (¬p ∧ ¬r) ∨ ¬(r ∨ ¬s)⇐
c) Z4 ⇐
b) ¬(p ∧ r) ∨ ¬(r ∨ ¬s)
d ) (Z3 ∧ Z4 )
c) (p ∨ ¬r) ∨ ¬(r ∨ ¬s)
15. ∀x(Qxx → ∃y(P y ∧ x =
6 y)). Sobre el universo U1 , si R4 representa Q, sólo es falsa cuando
representa a P:
d ) (p ∨ r) ∨ (¬r ∧ s)
9. Es una tautologı́a:
a) U2
a) (Y2 ∨ Y3 ) → (Y4 ∨ Y2 )
b) ∅⇐
b) (Y2 ∨ Y3 ) → (Y2 ∧ Y3 )
c) U3
c) (Y2 ∧ Y3 ) → (Y4 ∨ Y2 )⇐
d ) U4
d ) ¬(Y4 → Y4 )
16. El grafo dirigido de la relación S1 ∪ S2 (sobre el
universo U1 )
10. De Y2 es consecuencia, se deduce:
a) Y1
a) tiene un nodo con grado de entrada 5
b) ¬Y2
b) es acı́clico
c) Y3
c) es unilateralmente conexo
d ) Y4
d ) tiene un ciclo sencillo que recorre cinco
nodos⇐
11. Universo U1 , donde U3 representa P y R1 representa Q. Ahı́ son verdaderas:
17. El grafo dirigido de la relación S3 ∪ S4 (sobre el
universo U1 )
a) ambas: Z3 y Z4 ⇐
a) :tiene un camino elemental que recorre todos los nodos⇐
b) ambas: Z1 y Z3
c) ambas: Z2 y Z4
b) no tiene un camino sencillo que recorre todos los nodos
d ) ambas: Z1 y Z2
12. Universo U1 , donde ∅ representa P. La fórmula
Z4 es falsa cuando representa a Q la relación:
c) todos sus nodos tienen grado de salida 2
d ) es un árbol libre
a) R1
18. Un árbol libre:
b) R2
c) R3
a) tiene igual número de aristas que de nodos
d ) R4 ⇐
b) no tiene porqué ser conexo
c) es acı́clico ⇐
13. Es equivalente a Z4 :
d ) contiene ciclos elementales que recorren todos los nodos
a) Z1
Desarrollo
Desarrolle un tableau que confirme la relación de consecuencia que marcó en la pregunta 14
2
