"Lógica y Estructuras Discretas", Primera Semana Febr. 2011, modelo A Instrucciones: Responda al test en la plantilla impresa que se le facilita. Si responde al desarrollo, hágalo en una hoja aparte (con su nombre escrito). Sólo escanee las respuestas del test y la hoja de desarrollo, si la entrega, no el enunciado.. Si considera que hay erratas, indíquelas en la hoja para desarrollo (y escanéela). Datos X1 X2 X3 X4 : : : : p → (q → r) (p ∨ q) → r (p ∧ q) → r p → (r ∨ q) Y1 Y2 Y3 Y4 : : : : ∀x(P x → Qx) ¬∃z(Rz → Qz) ∀x(¬∃ySxy → ¬P x) ∀x∃y((Sxy ∨ Syx) ∧ x 6= y) Test 1. Sea el conjunto A = {a, b, c}, y P(A) el conjunto potencia de A: c) antisimétrica ⇐ 6. p = 1, q = 0, r = 0 hace verdaderas a) {a} ∈ A a) X1 y X2 b) ∅ ∈ A b) X1 y X3 ⇐ c) {∅, {a, c}} ⊂ P (A) ⇐ c) X3 y X4 2. Complete ∼ (A∪ ∼ B) = ? 7. X3 es equivalente a: a) ∼ A ∩ B ⇐ a) X1 ⇐ b) ∼ A ∪ B b) X2 c) A ∩ B c) X4 8. (X1 6|= X2 ): "de X1 no es consecuencia X2 ", como demuestra 3. La relación R = {(1, 2), (3, 2)} sobre E = {1, 2, 3} es: a) p = 0, q = 0, r = 0 a) reflexiva b) p = 0, q = 1, r = 0 ⇐ b) simétrica c) p = 1, q = 1, r = 1 c) antisimétrica ⇐ 9. Es tautología: 4. Complete B ∪ (A ∩ ∼ A) = ? a) X2 → X4 ⇐ a) ∼ B b) X4 → X2 b) ∅ c) X1 → X2 c) B ⇐ 10. Forma Normal Conjuntiva de X2 : 5. Una relación R de equivalencia no es: a) (p ∨ r) ∧ (q ∨ r) a) reflexiva b) (p ∨ q) ∧ (r) b) transitiva c) (¬p ∨ r) ∧ (¬q ∨ r) ⇐ 1 a) ∀x∃yM xy → ∃x∃yM xy ⇐ 11. En toda interpretación que satisface tanto Y1 como Y2 : b) ∃x∃yM xy → ∃x∀yM xy a) Q = ∅ y P = ∅ ⇐ c) ∃x∀yM xy → ∀x∃yM xy b) Q 6= ∅ y P = ∅ 16. Si un grafo contiene aristas paralelas se denomina: c) Q 6= ∅ y P 6= ∅ 12. Y3 es verdadera para la interpretación: E = {1, 2, 3}, P = {1, 2} y a) grafo con bucles b) grafo acíclico a) S = {(1, 1), (1, 2)} c) multigrafo ⇐ b) S = {(1, 1), (2, 3)} ⇐ 17. La longitud de un camino, en un grafo, es: c) S = ∅ a) el grado de entrada del último nodo del camino 13. Y2 es equivalente a: b) el número de aristas que aparecen en la sucesión del camino ⇐ a) ∃xRx ∨ ¬∀yQy b) ∀zRz ∧ ∀y¬Qy ⇐ c) el número de nodos que aparecen en la sucesión del camino c) ∀x(Rz ∨ ¬Qz) 14. Y4 es verdadera para la interpretación: E = {1, 2, 3}, con 18. Un grafo no dirigido es conexo si: a) desde cualquiera de sus nodos se puede llegar a cualquier otro ⇐ a) S = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)} b) S = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)} b) el grado de entrada de todo nodo es igual a 1 c) S = {(1, 2), (3, 2), (1, 1)} ⇐ 15. Señale la expresión válida (siempre verdadera): c) permite bucles en cada uno de sus nodos Nota sobre la pregunta 5: Del enunciado que se pretendía escribir faltó la última palabra: “Una relación de equivalencia no es necesariamente:” En este caso, la respuesta correcta sería ’antisimétrica’ porque la pregunta se puede codificar como ¬∀x(RelacEquiv(x) → RelacAntisim(x)) o, equivalentemente ∃x(RelacEquiv(x) ∧ ¬RelacAntisim(x)) y es verdad que hay relaciones de equivalencia que no son antisimétricas, p. ej., sobre el universo {1, 2} con {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}. Desafortunadamente, el enunciado de la pregunta 5, tal y como apareció en el examen, se entiende como: “sea x una relación de equivalencia cualquiera, entonces no es ... antisimétrica”. Es decir: ∀x(RelacEquiv(x) → ¬RelacAntisim(x)) y esto no es correcto. P. ej., la relación (1, 1), (2, 2)} es de equivalencia y es también antisimétrica. Por supuesto, las dos opciones restantes, (a) y (b), eran inmediatamente descartables, en cualquier caso. Así, esta errata a lo sumo podía inhibir de marcar la (c) a quien tuviera un buen conocimiento de la asignatura. 2 Pregunta de desarrollo Demuestre, mediante un tableau, que es correcto el siguiente argumento: ∀x∃y(Sxy ∨ Syx) |= ∃x(∃ySxy ∨ ∃ySyx) ∀x∃y(Sxy ∨ Syx) premisa [1] [2] [3] ¬∃x(∃ySxy ∨ ∃ySyx) neg. conclus. ¬(∃ySay ∨ ∃ySya) de [4] ¬∃ySay de [3] [5] ¬∃ySya de [3] ∃y(Say ∨ Sya) de [6] [7] [8] [10] Sab de Sab ∨ Sba de ¬Sab de [11] [4] [1] [6] [9] [7] [2] Sba de [7] ¬Sba de [5] Estratégicamente es preferible instanciar cuanto antes los nodos existenciales, que producen necesariamente términos constantes nuevos. Ni [1] ni [2] lo son. Optamos por expandir [2] (universal, negación de existencial) en [3]. Y [3] (negación de disyunción), en [4] y [5]. Aquí es preferible parar de momento. Tanto [4] como [5] son universales (negación de existencial). Expandimos entretanto el nodo [1] (universal) en [6]. El nodo [6] es existencial: estamos obligados a usar una constante no utilizada previamente. Así se produce [7]. Como [7] es una disyunción, se produce una bifurcación del árbol en [8] y [9]. La rama de [8] se cierra expandiendo allí [4] para producir [10]: como [4] era universal se puede instanciar en la constante que se desee. Lo mismo ocurre con el nodo [11], instanciación del [5]. 3