Universidad Metropolitana de las Ciencias de la Educación
Departamento De Matemática
Primer semestre 2016
Prueba 3 ? Álgebra II
Prof. Iván Correa - Kuo-Shou Chiu
1) Sean a, b ∈ Q. Pruebe solo usando la definición de Q que:
(a) Si a, b 6= 0, entonces (ab)−1 = a−1 b−1 .
(b) Si a < b, entonces existe x ∈ Q tal que a < x < b.
2) Considere un grupo (Q∗ , •) y la función φ : Q∗ → Q∗ , definida por φ(x) = x2 .
(a) Demuestre que φ es homomorfismo de grupos.
(b) Encuentre el conjunto K = {a ∈ Q∗ | φ(a) = 1}.
(c) Demuestre que K ≤ Q∗ .
3)
(a) Pruebe que si H y N son subgrupos normales de un grupo G, donde N es normal
T
en G, entonces H N es normal en H.
L
(b) Encontrar todos los subgrupos de (Z8 , )
4) Pruebe o refute cada afirmación (V o F ):
J
(a) (Z∗7 , ) es un grupo cı́clico
L
(b) (Z∗7 , ) es un grupo cı́clico
(c) Si p es primo, entonces los únicos subgrupos de (Zp ,
L
) son los subgrupos triviales.
