EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR
PROBABILIDAD Y
ESTADÍSTICA
DINÁMICA
Enfoque por competencias
Catalina Castillo Yescas y Ana Iris Martínez Hernández
Aprende de forma
autónoma
Trabaja de Forma
CATEGORÍAS
2011
Colaborativa
COMPETENCIAS DISCIPLINARES
COMPETENCIAS EXTENDIDAS
Formula
y
resuelve
problemas
matemáticos,
aplicando
diferentes
enfoques
Argumenta la solución obtenida de un
problema, con métodos numéricos,
gráficos, analíticos y variacionales,
mediante el lenguaje verbal, matemático
y el uso de las tecnologías de la
información y la comunicación.
Construye e interpreta problemas para el
estudio de un proceso y argumenta su
pertinencia.
Emplea MTC y MD en la construcción
teórica y la simulación dinámica en un
proyecto de investigación
Elige, construye y relaciona enfoques
probabilísticos mediante el uso de la
tecnología
COMPETENCIA GENÉRICA
Aprende por iniciativa e
interés propio a lo largo
de la vida.
Participa y colabora de
manera efectiva en
equipos diversos.
UNIDAD II MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
U N I DA D I
CONCEPTOS BÁSICOS DE
ESTADÍSTICA DINÁMICA
APRENDE DE
CATEGORÍAS
FORMA AUTÓNOMA
Aprende por iniciativa e
interés propio a lo largo
de la vida
Construye e interpreta
problemas para el estudio de
un proceso y argumenta su
pertinencia.
Adquiere la noción de
estadística y su utilidad
Argumenta la importancia de
la estadística en la
investigación
Cuantifica, representa y
contrasta la obtención de
datos
TRABAJA DE FORMA
COLABORATIVA
COMPETENCIA GENÉRICA
Participa y colabora de
manera efectiva en equipos
diversos
Emplea MTC en la construcción
teórica y la simulación dinámica
en un proyecto de investigación
COMPETENCIA EXTENDIDA
Elige, construye y relaciona
enfoques probabilísticos
mediante el uso de la tecnología
Argumenta la MTC
Construye e interpreta
problemas
ATRIBUTOS
Conoce diferentes enfoques de
probabilidad
Construye e interpreta sucesos
de conteo
UNIDAD I
CONCEPTOS BÁSICOS DE
ESTADÍSTICA DINÁMICA
(
INTRODUCCIÓN A LA
CONCEPTOS
ESTADÍSTICA
FUNDAMENTALES
C
O
N
C
E
P
T
O
S
C
L
A
S
I
F
I
C
A
C
I
Ó
N
A
R
E
A
S
D
E
A
P
L
I
C
A
C
I
O
N
P
O
B
L
A
C
I
Ó
N
V
A
R
I
A
B
L
E
S
Y
Y
M
U
E
S
T
R
A
C
L
A
S
I
F
I
C
A
C
I
Ó
N
F
U
E
N
T
E
S
D
E
A
D
Q
U
I
S
I
C
I
Ó
N
REPRESENTACIÓN
DE DATOS
S
E
L
E
C
C
I
Ó
N
D
E
L
A
M
U
E
S
T
R
A
R
E
P
R
E
S
E
N
T
A
C
I
Ó
N
T
A
B
U
L
A
R
D
E
D
A
T
O
S
D
I
S
T
R
I
B
U
C
I
Ó
N
O
T
A
B
L
A
D
E
F
R
E
C
U
E
N
C
A
I
A
S
R
E
P
R
E
S
E
N
T
A
C
I
Ó
N
G
R
Á
F
I
C
A
INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA
“Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo"
Galileo Galilei
Conceptos de Estadística y su Utilidad
Probablemente, al inicio de este semestre, te habrás formulado cuestionamientos
tales como ¿porqué estudiar estadística?, ¿cuál es su utilidad en mi vida
cotidiana? ¿tendrá trascendencia en alguna carrera universitaria?, siendo una
rama de las matemáticas ¿tendrá el mismo nivel de complejidad?. Todos en
alguna época hemos tenido las mismas interrogantes, por tal razón en esta
primera unidad te proporcionaremos un análisis detallado de la importancia y el
campo de utilidad de la estadística.
Como se cuestiona en el párrafo anterior, la estadística sí es una rama de las
matemáticas pero tiene como característica singular el estudio y análisis de
fenómenos reales en todas las áreas de conocimiento; las herramientas que
proporciona permiten el fácil manejo e interpretación en cantidades ilimitadas de
datos de fenómenos naturales o sociales.
De tal forma que definir a la estadística implica segmentarla; por un lado de un
estudio descriptivo y por el otro de un estudio inferencial o no descriptivo.
Es así como la disciplina estadística, por su propia aplicación y diversidad, posee
varias connotaciones tales como:
Es aquella rama de las matemáticas que se ocupa de reunir, analizar,
caracterizar e interpretar conjunto de datos.
Es una de las herramientas de las matemáticas cuya función es recopilar,
organizar y analizar los hechos numéricos u observaciones.
Es una rama de las matemáticas que está ligada con los métodos
científicos en la toma, organización, recopilación, representación y análisis
de datos, tanto para la deducción de conclusiones como para la toma de
decisiones razonables de acuerdo con tales análisis.
Para efecto de este libro y como aportación de las autoras, “la estadística es la
rama de las matemáticas que reúne, organiza, registra, calcula, analiza e
interpreta para proponer planes de acción responsable, consciente y congruente
en el entorno social que influye en la formación integral de los discentes y en su
nivel de concreción de pensamiento crítico y reflexivo”.
La estadística tiene sus inicios en los imperios de la antigüedad como
los
babiloneos utilizando tablas de arcillas para registrar sus bienes, a sus esclavos,
etc.
Tuvo un gran desarrollo cuantitativo a mediados del siglo XVII ya que los imperios
del viejo continente tuvieron la necesidad de llevar un buen control administrativo
de sus actividades comerciales y bélicas.
Gustavo Romelín separó a la estadística Diferencial en parte teórico-metodológico
y parte aplicada, existiendo:
a) Estadística metodológica: método general de estudio generado por ciertos
fenómenos, Su representante fue Cournot.
b) Estadística social: ciencia que estudia desde el punto de vista cuantitativo
las leyes de la sociedad y en parte las de la población. Su principal
representante Sussmilch
c) Estadística cuantitativa: Estudia cuantitativamente los hechos salientes del
estado. Su representante Conring y Achenwall.
Clasificación de la Estadística
La estadística para su mayor utilidad en las diversas áreas en las que se
desarrolla el ser humano se ha dividido en dos enfoques su estudio:
Estadística descriptiva o deductiva: trata de establecer las características y sus
relaciones entre un conjunto de datos sin obtener conclusiones o inferencias cobre
un grupo mayor. Esta rama de la estadística consiste en organizar, resumir y
simplificar la información compleja.
Estadística inferencial pretende, mediante el análisis de los datos, tomados como
una parte de un grupo más amplio, obtener características atribuibles a la
población mayor. Como bien se define, su gran utilidad es analizar situaciones en
las que intervienen los eventos de azar.
Áreas de aplicación de la estadística
Hablar de las aplicaciones de la estadística en la vida actual, obligaría a
considerarla desde varios enfoques disciplinares para recolectar y organizar los
datos que conducirían al estudio preciso del fenómeno social o natural, obtenido
mediante la realización de experimentos en los diferentes campos estudiados por:
a) Ciencias físicas
b) Ciencias biológicas
c) Químicas
d) Sociales
e) Médicas
f) Entre otros
Actividades de aprendizaje
Recuperación de información. Investiga lo siguiente:
1. Tres definiciones más de estadística
2. Proporciona 5 ejemplos de cada tipo de estadística: descriptiva e
inferencial.
3. En tu cuaderno labora un mapa mental de la estadística y su relación con
otras disciplinas.
4. Aplica el siguiente cuestionario al personal docente de la institucional
(incluyendo al personal administrativo y directivos) para indagar sobre las la
utilidad de la estadística.
LA ESTADÍSTICA, SUS APLICACIONES E IMPLICACIONES
Nombre:
Función:
Cuestionario:
1. Consideras que la estadística tiene campo de aplicación en la funciones
que desempeñas?
Si/No, ¿porqué? ______________________________________________
2. La estadística te facilita el manejo de datos o interpretación de los
mismos?
3. ¿Cuál es la utilidad de la estadística desde el campo de formación en el
que te desempeñas?
4. ¿Qué indicadores estadísticos son los que empleas en tus actividades
profesionales?
5. ¿Te ayudaría conocer más herramientas de la estadística?
Interpretación de la información. Realiza un escrito de media cuartilla sobre el
análisis de la utilidad de la estadística derivada de las respuestas proporcionadas
por los entrevistados y compártelos con tus compañeros de grupo.
Aplicación de la información. Con el equipo de psicopedagogía de tu institución
(orientadores) investiga los promedios obtenidos por grupo y turno de los tres
grados e intenta escribir cinco puntos de análisis y aplicación de la estadística en
la toma de decisiones del cuerpo docente de la institución, derivados de estos
resultados.
Conceptos fundamentales
Los principales conjuntos de símbolos básicos y conceptos usados en la
estadística son los siguientes:
Operadores matemáticos:
Símbolo
≠
>
<
≥
≤
√
𝑋𝑎
n!
|x|
µ
σ
σ2
Me
Mo
𝑋̅
𝑔̅
𝑑̅
W
CV
S
f
Aplicación y significado
4≠5
4 es diferente de 5
10 > 2
10 mayor que 2
8 < 15
8 menor que 15
x ≥y
x mayor o igual que y
x≤y
x menor o igual que y
√9
Raíz cuadrada de 9
3 elevado a la
32
potencia 2.
Factorial de un número
8!
Factorial de 8
Valor absoluto
| -5 |
Valor absoluto de 5
Miu (símbolo griego) significa
promedio o media aritmética
Desviación Estándar
Varianza
Mediana
Moda
Media
Media geométrica
Desviación media
Media Ponderada
Coeficiente de Variación
Desviación
Frecuencia
Significado
Diferente de
Mayor que
Menor que
Mayor o igual que
Menor o igual que
Raíz cuadrada
Potencia de un número
Encuesta: proceso de obtener información de la muestra.
Parámetro estadístico: se refiere a las características de una población
Estadístico: se refiere a las características de una muestra de la población.
Población y muestra
Población: conjunto de todos los individuos que son objeto del estudio.
Muestra: parte de la población en la que miden las características estudiadas.
Muestreo: proceso seguido para la extracción de una muestra.
1. Muestreo no probabilístico: no se usa el azar, sino el criterio del
investigador.
2. Muestreo probabilístico o aleatorio:
2.1.- Muestreo aleatorio simple: se asigna un número a cada uno de los individuos
de la población, y seguidamente se van eligiendo al azar los componentes de la
muestra. La elección de un individuo no debe afectar a la del siguiente, por tanto
debe reemplazarse el nº, una vez extraído.
2.2.- Muestreo sistemático: se ordenan previamente los individuos de la población,
después se elige uno al azar y a continuación, a intervalos constantes, se eligen
todos los demás hasta completar la muestra.
2.3.- Muestreo estratificado: se divide la población total en clases homogéneas
(estratos). La muestra se escoge aleatoriamente en número proporcional al de los
componentes de cada estrato.
UNIDAD II
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
(MTC)
(
MODA
MEDIANA
DATOS AGRUPADOS Y NO
AGRUPADOS
GEOMÉTRICA
MEDIA
ARITMÉTICA
PONDERADA
U N I DA D I I
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Y MEDIDAS DE DISPERSIÓN
APRENDE DE
CATEGORÍAS
FORMA AUTÓNOMA
Aprende por iniciativa e
interés propio a lo largo
de la vida
Construye e interpreta
problemas para el estudio de
un proceso y argumenta su
pertinencia.
Adquiere la noción de
estadística y su utilidad
Argumenta la importancia de
la estadística en la
investigación
Cuantifica, representa y
contrasta la obtención de
datos
TRABAJA DE FORMA
COLABORATIVA
COMPETENCIA GENÉRICA
Participa y colabora de
manera efectiva en equipos
diversos
Emplea MTC en la construcción
teórica y la simulación dinámica
en un proyecto de investigación
COMPETENCIA EXTENDIDA
Elige, construye y relaciona
enfoques probabilísticos
mediante el uso de la tecnología
Argumenta la MTC
Construye e interpreta
problemas
ATRIBUTOS
Conoce diferentes enfoques de
probabilidad
Construye e interpreta sucesos
de conteo
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
PARA DATOS NO AGRUPADOS
¿Cómo se logra mediante el conocimiento y aplicación de las Medidas de
Tendencia Central (MTC) una correcta descripción e interpretación de la nutrición
del ser humano?
En México, como en muchas partes del mundo, los nuevos estándares de belleza
y salud impuestos por el índice de masa corporal (IMC) y la satanización por
nuestro peso han generado entre otras cosas, que hombres y mujeres vivan
sistemáticamente insatisfechas con su aspecto.
Como ya habrán escuchado, datos de organizaciones mundiales y de salud en
México desde 2006 nos han situado entre el primero y segundo lugar mundial de
obesidad en adultos, estas estadísticas se basan principalmente en dos medidas:
el IMC y la medida de la circunferencia de nuestra cintura.1
A la fecha no se ha encontrado datos que carezcan de menos lógica que éstos;
por ello y debido a la clara manipulación en la que estamos inmersos con respecto
a este tema (sumándose también los efectos sociales que ahora padecemos
gracias esto) es que es importante investigar un poco sobre la realidad, veracidad
y confiabilidad del IMC como un indicador de grasa y riesgo para la salud. Te has
preguntado ¿cuál es el promedio de edad, peso y estatura de tus compañeros?
¿Cuál es la diferencia de los promedios de estas variables entre hombres y
mujeres? ¿Cómo podrías calcularlo? ¿Existe algún índice confiable que te permita
comparar estos resultados? ¿En qué te ayudaría el conocimiento de éstos datos?
¿Te resulta alarmante el lugar que ocupa nuestro país con relación a la obesidad y
otros problemas de nutrición?
1
http://clubdelilith.com/imc-y-la-psicosis-de-la-obesidad
El símbolo de suma (Σ)
Recuerda que en la unidad anterior conociste, manejaste y ejercitaste conceptos
básicos sobre estadística: población, muestra, variables, suma, etc. Uno de los de
los conceptos básicos que se utilizarán es el de suma (Σ) ya que se requerirá para
obtener el número de elementos que determinará el tamaño de “muestra
o
población” y de esta forma obtener las medidas de tendencia central y
posteriormente las medidas de dispersión.
Es así como en esta unidad reforzarás la aplicación de los anteriores al mismo
tiempo que lograrás construir e interpretar nuevos estadísticos aplicados a
problemas de tu entorno institucional y social.
MODA
n ≥ 30
Con base a lo anterior, alguna vez te has preguntado ¿cuál es la talla más común
entre tus compañeros de la escuela? Esta pregunta la lograrás responden
mediante la MTC llamada moda.
Dicha de otra manera en estadística la moda (Mo) es el dato que más se repite
dentro de un estudio poblacional, por ejemplo en los siguientes pesos de una
muestra de 10 elementos (n=10) en kilogramos: 70, 56, 64, 64, 51, 42, 50, 54, 70,
70 y 58.
¿Cuál es la moda de los datos anteriores? Efectivamente, es 70 kg, porque es el
dato que se repite en más ocasiones. ¿Qué pasaría si el dato 64 kg se repitiera
también tres veces? 70, 56, 64, 64, 51, 64, 42, 50, 54, 70, 70 y 58, en este caso,
estaríamos hablando de una situación bimodal, lo que significa que nuestra
muestra tiene dos modas. ¿Existirán casos donde aparezcan más de dos modas o
ninguna moda?, por supuesto, en el primer caso el término que utilizaremos será
polimodal (poli del latín muchos, modal que significa moda, muchas modas), y en
el segundo estamos hablando de una situación amodal (recordemos que prefijo
a=sin o ausencia, y modal=moda) lo que significa que no hay moda.
Actividad de Aprendizaje
Cuantifica, representa y contrasta la obtención de datos
Recuperación de la información. Investiga la definición etimológica de los
siguientes términos.
Moda: _________________________________________________
Amodal: _______________________________________________
Bimodal: ______________________________________________
Polimodal: ____________________________________________
Interpretación de la Información. En la vida cotidiana vives con formas repetidas
y que se hacen comunes en la sociedad en la que vives, escribe ejemplos de
moda en algunos aspectos que rodean tu vida cotidiana.
Aspecto
Ropa
Ejemplos
Lenguaje
Tecnología
Música
Baile
Comida
Tribus urbanas
Resuelve los siguientes ejercicios de moda.
1. Identifica y menciona la moda y su tipo en los siguientes ejercicios.
a. 5,5,6,7,7,7,7,7,8,9,10,11,11,12
Mo= ______
b. 32, 200, 40, 40, 45, 300, 55, 50
Mo= ______
c. 21, 22, 25, 28, 29, 24, 27, 25?
Mo= ______
d. 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.
Mo= ______
e. 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18
Mo= ______
2.
La siguiente tabla presenta la muestra de diez elementos de un grupo de 55
alumnos del cuarto semestre de preparatoria.
N° LISTA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
SEXO
H/M
M
H
M
M
H
M
M
M
H
H
EDAD
(años)
16
15
16
16
15
15
15
15
19
18
TALLA
(estatura)
1.57
1.65
1.64
1.57
1.65
1.58
1.60
1.79
1.64
1.74
PESO
(kg)
50
69
53
51
60
66
52
60
71
59
Tabla 1
De la tabla anterior ¿Cómo obtendríamos la moda por sexo?.
Si contamos el número de hombres y el número de mujeres obtenemos lo
siguiente: La Moda (Mo) es M (mujer), porque hay más mujeres (6) que hombres
(4). Al igual que la moda del sexo, obtener:
a. La moda de Edad
b. La moda Talla
c. La moda Peso
3. Apoyándote en el ejemplo anterior, elabora una tabla recopilando y registrando
los datos de tu grupo; elige de manera aleatoria una muestra de quince
compañeros (as), obtén las modas de las variables y comenta con tus
compañeros (as) y profesor (a) los resultado obtenidos.
MEDIANA
En el tema anterior, consideramos a la moda como el dato más repetitivo en los
ejercicios presentados; recordemos que en caso de la variable peso para la
muestra de diez elementos: 70, 56, 64, 64, 51, 42, 50, 54, 70, 70 y 58 la Mo fue
70. Retomando el ejemplo, ¿Cuál sería la MTC denominada mediana?,
Justamente es el dato que se encuentra exactamente a la mitad una vez
ordenados (de mayor a menor o viceversa), cuando se trata de una serie de datos
impares y cuando n datos es par, el procedimiento es el siguiente:
Me =
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠
2
Veamos el ejemplo de la variable peso, para determinar la mediana, cuando n =
11
70, 56, 64, 64, 51, 42, 50, 54, 70, 70 y 58.
Primer paso: Ordenamiento de datos (Mayor a menor)
70, 70, 70, 64, 64, 58, 56, 54, 51, 50, 42
Segundo paso: determinar si los datos son pares o impares
Tercer paso: para este caso, n es impar, por lo tanto, la mediana (Me) es el
número que está justo en medio de la serie. Es decir, para la muestra
anterior el número central es 58.
Ahora veamos un caso en el que n = 10
70, 56, 64, 64, 51, 42, 50, 54, 70, 70
Primer paso: Ordenamiento de datos (Mayor a menor)
70, 70, 70, 64, 64, 56, 54, 51, 50, 42
Segundo paso: determinar si los datos son pares o impares, en este caso
n = 10 por lo tanto es par.
Tercer paso: Aplicamos la fórmula Me =
𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠
2
Cuarto paso: sustitución de datos:
𝑀𝑒 =
64 + 56
2
Me = 55
Actividad de Aprendizaje
Cuantifica, representa y contrasta la obtención de datos
Recuperación de la información. Conteste correcto (C),
Incorrecto (I) o
Incompleto (x) en las siguientes proposiciones y concluyelas.
Enunciado afirmativo
(C) / (I) /
(X)
1. La mediana es el valor que se encuentra exactamente a
la mitad una serie de datos.
2. La medina se representa con Me.
3. Uno de los pasos para obtener la mediana es ordenar
los datos.
4. La mediana solo se obtiene en variables cuantitativas.
5. Cuando el tamaño de la muestra es par no se puede
obtener la mediana.
Aplicación de la información. Encuentra la Mediana (Me) en las siguientes
series de datos
1. Los precios $20, $16, $17, $16 y $21
2. El número de hijos en 5 familias: familia A=1, B=3, C=4, D=6 y E=2
3. Las velocidades de los automóviles en periférico: 110, 85, 60, 90, 80,
120, 40, 55, 70, 80
4. 100, 60,10, 90, 95, 5, 50 y 40
5. El coeficiente intelectual de alumnos de sexto semestre de preparatoria
95, 80, 70, 65, 110, 130, 115, 75, 90, 85, 88, 76, 102, 121, 84, 94, 100,
78, 98, 66.
MEDIA
La última medida de tendencia central, se clasifica en tres.
̅)
GEOMÉTRICA ( 𝒈
̅ = 𝒏√𝒙𝟏 ∗ 𝒙𝟐 ∗ 𝒙𝟑 ∗ … ∗ 𝒙𝒏
𝒈
MEDIA
PONDERADA ( w )
ARITMÉTICA
̅)
PROMEDIO (𝒙
W =w1*x1 +w2*x2 + …+wn*xn
𝒙 + 𝒙 + 𝒙 +⋯+𝒙𝒏
O 𝒙
̅=
̅= 𝟏 𝟐 𝟑
, es decir, 𝑿
∑𝑿
𝒏
𝒏
MEDIA GEOMÉTRICA
Se obtiene calculando la raíz n – ésima de la multiplicación de n datos, se utiliza
para promediar porcentajes, índices y cifras relativas, para determinar incrementos
porcentuales de ventas, de producción o series económicas.2
EJEMPLO:
Las calificaciones obtenidas de un grupo de 7 alumnos de segundo grado de
secundaria en matemáticas son:
6,7,8,9,7,5,4
Nuestro planteamiento de la media geométrica (𝑔̅ ) es el siguiente:
̅ = 𝒏√𝒙𝟏 ∗ 𝒙𝟐 ∗ 𝒙𝟑 ∗ … ∗ 𝒙𝒏
𝒈
𝑛
𝑔̅ = √(6 ∗ 7 ∗ 8 ∗ 9 ∗ 7 ∗ 5 ∗ 4)
𝑔̅ = 7√423,360 = 6.37
Me = 55
Actividad de Aprendizaje
Argumenta la MTC, construye e interpreta problemas
Recuperación de la información. Elabora un diagrama de Venn donde
identifiques diferencias y similitudes entre la moda, mediana y media geométrica.
2
INITE. UNITEC. México (2005), pág 57
Moda
Media
Media
Geométrica
Aplicación de la información. Calcula la media geométrica de los siguientes
datos:
1. 20,25,32,22,27,32.5,21.7,12.80,13
2. 21,18,15,11,17,6,17
3. 1.49,1.63,1.77,1.53,1.55,1.49,1.65,1.66
4. 8,3,5,12,10,7.6
5. 1.0, 1.99, 2.0, 2.99, 4.0, 4.9, 5.0, 5.9
MEDIA PONDERADA
Se aplica cuando los datos tienen diferente importancia relativa. Ésta media se
calcula sumando los productos de cada dato por su importancia relativa.3
Ejemplo
Calcula la media ponderada de los siguientes datos: En la materia de Historia de
México, la maestra planteo la siguiente evaluación 30% investigación de campo,
3
Idem, pág 60
20% actividades y tareas, 30% examen y 20% performance. Si Ana Guadalupe,
obtuvo 8, 10, 6 y 9 respectivamente, ¿cuál es su promedio final en la materia?
Planteamiento:
1. Identifica la variable (x) y la ponderación (w)
2. Sustituye valores, convirtiendo la ponderación a términos relativos.
Donde:
X = calificaciones x1 = 8, x2 =10, x3= 6 y x4 =9)
W = ponderaciones w1=30%, w2 =20%, w3= 30% y w4=20%
W =w1*x1 +w2*x2 + …+wn*xn
Ponderación en términos relativos:
30/100=0.30, 20/100=0.20, 30/100=0.30 y 20/100=0.20 por lo tanto:
W =w1*x1 +w2*x2 + …+wn*xn
Sustituyendo obtenemos:
W =[(8*0.30)+(10*0.20)+(6*0.30)+(9*0.20)]
W = (2.4 + 2.0+1.8+1.8)
W= 8.0
Actividades de Aprendizaje
a.
El restaurante Calico Pizza vende refrescos de tres tamaños: pequeño, mediano y grande. El
tamaño pequeño cuesta $0.50 (en dólares), el mediano $0.75, y el grande $1.00. Ayer se
vendieron 20 pequeños, 50 medianos y 30 grandes. ¿Cuál fue el precio medio ponderado por
refresco?
b.
¿Si el examen final de un curso cuenta tres veces más que una evaluación parcial, y un
estudiante tiene calificación 85 en el examen final, y 70 y 90 en los dos parciales, ¿cómo
calcularías la media ponderada?
MEDIA ARITMÉTICA O PROMEDIO (𝑥̅ )
̅=
𝒙
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 +⋯+𝒙𝒏
𝒏
∑𝑋
o 𝑋̅ =
𝑛
Ésta se obtiene sumando todos los datos y dividiendo la suma total (∑ n) de los
datos entre el número de datos (n). Y es el valor central de una serie de datos
dispersos.
Ejemplo
¿Cómo calcularía Lupita el promedio de sus calificaciones en el caso anterior si
obtuvo 8, 10, 6 y 9 en, proyecto, actividades y tareas, examen y performance
respectivamente?
Sustituyendo valores:
𝑥̅ =
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 +⋯+𝑥𝑛
𝑛
𝑥̅ =
∑𝑋
o 𝑋̅ = 𝑛
∑(8 + 10 + 6 + 9)
4
𝑥̅ =
33
4
= 8.25
Recuperación de la información
1. Elabora modelo cognitivo, donde establezcas la relación entre Media
Geométrica y Media aritmética.
2. Elabora una red semántica, donde muestre la relación entre Media
Aritmética, con el resto de las medidas de tendencia central.
Aplicación de la información. Resuelve los siguientes ejercicios de Media
Aritmética
1. Un grupo de 25 bachilleres hicieron el examen para ingresar al Nivel
Superior, obteniendo las siguientes puntuaciones de un total de 120
reactivos:
Alumnos
Puntuación
Alumnos
Puntuación
Pedro
Javier
Nancy
Mayra
Ernesto
Patricia
Martín
Dafne
Iván
Claudia
Ana
Manuel
Hilda
Mauricio
Ángeles
Ana María
Daniel
Bertha
Alejandro
Karen
Maximina
Santos
Ricardo
Verónica
Rodrigo
80
95
94
100
65
55
55
98
70
68
64
79
96
65
90
50
50
70
50
89
89
78
105
85
50
Tabla 2
Considerando que solo serán aceptados los alumnos que hayan obtenido una
puntuación arriba de la media, ¿Quiénes serán los aceptados al nivel superior?
2. El crecimiento de la población desde 1950 hasta el 2000 ha sido de 25.8,
34.9, 48.2, 66.8, 81.2 y de 85.4 respectivamente, ¿cuál es la tasa promedio
de crecimiento por décadas en los últimos 60 años?
3. Calcula la media aritmética de cuatro empleados que cobran $6.50, $6.95,
$7.53 y $8.50 la hora.
4. Hallar la media de la siguiente serie de números: 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6.
5. Un matrimonio tuvo 7 hijas cuyos nombres y estaturas se proporcionan a
continuación: Ana 1.31 mts, Bety 1.25 mts. Caty 1.78 mts. Daniela 1.15 mts.
Emma 1.54 mts, Francisca 1.48 mts y Guadalupe 1.67 mts, ¿Cuál es la
estatura promedio de las chicas?
6. El costo por litro de gasolina durante cuatro años ha sido $7.15, $8.20,
$8.40 y $8.92 ¿Cuál es el precio promedio en todo este tiempo?
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
PARA DATOS AGRUPADOS
Cuando se presentan casos de estudio estadístico donde la cantidad de números
es mayor a 30 y por lo tanto es una serie poblacional, es muy difícil trabajar para
determinar los estadísticos de tendencias centrales como la moda, media y la
media aritmética. Para solucionar este tipo de casos es necesario elaborar grupos
de datos llamados intervalos, tema visto en la unidad anterior cuando aprendimos
a elaborar tabla de frecuencias.
MODA
N > 30
Como se mencionó anteriormente, la utilidad de la estadística radica en
comprender el estudio de una serie de datos. En los ejemplos anteriores como se
pudo observar que la muestra fue menor a 30 elementos, ¿Cómo determinar la
moda si se realiza un estudio con más de 30 datos?
Veamos el siguiente caso: Un grupo de 60 alumnos obtuvieron las siguientes
calificaciones
50
61
54
58
74
54
58
58
64
54
56
63
51
52
50
66
66
63
65
65
76
46
61
61
71
68
69
72
67
67
70
70
56
71
68
67
67
61
65
60
53
63
56
54
56
55
63
66
59
65
60
52
57
67
67
63
55
61
64
65
CALIFICACIONES
57 66 60 48 59
63 53 60 52 69
57 66 46 60 56
62 50 72 58 60
58 59 61 51 61
70 59 62 51 68
72 62 61 68 59
68 63 53 59 61
65 64 66 59 65
55 64 60 66 53
56
56
62
55
68
59
61
64
61
64
Tabla 3
Fuente: Estadística, Portilla.
62
71
57
60
58
70
63
55
64
60
63
52
62
54
66
57
55
62
66
65
57
69
54
62
62
60
61
67
64
60
63
62
68
59
69
58
57
64
67
53
71
68
57
54
52
69
63
59
65
69
48
62
58
58
62
74
51
55
64
74
El primer paso a realizar es encontrar el dato mayor y el dato menor, para éste
ejemplo, los números son: 46 y 76 respectivamente; una vez localizados restamos
el dato menor del mayor (a esto se le conoce como rango o recorrido, tema que
veremos en la siguiente unidad).
76 – 46 = 30
El segundo paso consiste en formar subgrupos o intervalos de clase, en este caso
conformaremos 7 grupos con 5 series de datos. Sin embargo se pueden elaborar
tablas con 5 intervalos de 6 series, esto se obtiene dividiendo el rango (30) entre
el número de clases que se deseen.
30 / 7 = 4.5 y recordemos que en la técnica del redondeo (vista en la primera
unidad), pasamos al entero inmediato, es decir, 5, este número indica la distancia
de ca intervalo, es decir, el ancho de clase. Con base a lo anterior, la tabla
queda de la siguiente manera:
Número de
clase
1
2
3
4
5
6
7
Intervalos
de clase Frecuencias
42 – 46
47 – 51
52 – 56
57 – 61
62 – 66
67 – 71
72 – 76
∑f
2
9
31
50
51
30
7
180
Tabla 4
La moda corresponde a la clase número 5 con el intervalo 62 – 66, teniendo la
frecuencia mayor con 51 elementos.
MEDIANA
Recordarás que en los casos anteriores, la mediana se definió como el dato que
se encuentra justo en medio del total de una muestra; en el caso de datos
agrupados, la mediana se obtiene con un procedimiento distinto y más detallado,
aquí se le denomina clase mediana, la fórmula es:
Mdn = L + (
𝑁
− fa
2
𝑓
) i
Donde:
Mdn = Clase mediana
L = límite real inferior de la clase de la mediana
N = Número total de datos (población)
fa= Frecuencia acumulada en la clase inmediata inferior a la clase de la mediana,
la cual es la misma que la frecuencia acumulada correspondiente a L.
f = Frecuencia en la clase de la mediana.
i = Longitud del intervalo o clase de la mediana (anchura de clase)
Utilizando la tabla del ejemplo anterior.
Número de
clase
1
2
3
4
5
6
7
Intervalos
de clase Frecuencias
42 - 46
47 - 51
52 - 56
57 - 61
62 - 66
67 - 71
72 - 76
∑f
2
9
31
50
51
30
7
180
Tabla 5
Primer paso: Obtenemos los límites reales inferiores; para obtenerlos hay que
restar 0.5 de los límites aparentes o intervalo de clase y el límite real superior se
obtiene sumando 0.5 al límite superior aparente. Cabe mencionar que cuando se
trabaja con variable continua, es decir, con decimales, la forma de obtener los
límites reales es restando 0.005 y sumando 0.005.
Ejemplo:
Primer paso: Resolvemos N / 2 = 180 / 2 = 90
Segundo paso: Ubicamos el 90 en la fa (frecuencia acumulada >) y esa es la
clase mediana.
Número de Límite Real
clase
Inferior
1
2
3
4
5
6
7
Intervalos
de clase
41.5
46.5
51.5
56.5
61.5
66.5
71.5
Límite Real
Superior Frecuencias
42 - 46
47 - 51
52 - 56
57 - 61
62 - 66
67 - 71
72 - 76
46.5
51.5
56.5
61.5
66.5
71.5
76.5
Tabla 6
Fuente: Estadística. Portilla.
Tercer paso: sustituimos valores en la fórmula
𝑁
Mdn = L +( 2
Mdn = 56.5 +(
Mdn = 56.5 +(
− fa
𝑓
)i
180
− 42
2
50
90−42
50
48
)5
)5
Mdn = 56.5 +( 50 ) 5
Cuarto paso, encontramos la mediana
Mdn = 56.5 + 4.8
Mdn = 61.3
2
9
31
50
51
30
7
180
fa >
2
11
42
92
143
173
180
fa <
178
169
138
88
37
7
0
MEDIA ARITMÉTICA O PROMEDIO
Para poder calcular el valor central aritmético de una serie de datos agrupados, se
utiliza la misma distribución de frecuencias que para la mediana y la moda. En el
ejemplo que hemos estado utilizando de las calificaciones, la forma de obtener la
media aritmética es:
̅=
µ𝐨𝐗
∑(𝐟 ∗ 𝐱)
𝐍
Donde:
µ = (miu) Media aritmética para una población.
F = frecuencia
x = Marca de clase
N = Total de datos de una población.
Paso uno: Obtenemos la marca de clase (x) o también llamada punto medio
(ojiva).
La forma de obtenerla es la siguiente: Sumamos los límites inferior y superior
(aparentes) y se dividen entre dos. Apliquemos la media aritmética en el ejercicio
anterior.
Número de
clase
1
2
3
4
5
Intervalos Frecuencias
de clase
(f)
42 - 46
47 - 51
52 - 56
57 - 61
62 - 66
2
9
31
50
51
x
fa >
44
49
54
59
64
2
11
42
92
143
fa <
178
169
138
88
37
6
7
67 - 71
72 - 76
30
7
180
69
74
173
180
7
0
Tabla 6.1
Paso dos: calculamos fx, que indica multiplicar la columna de frecuencias ( f ) por
la marca de clase ( x ) y obtenemos la suma de los productos.
Número de
clase
Intervalos Frecuencias
de clase
(f)
1
2
3
4
5
6
7
42 - 46
47 - 51
52 - 56
57 - 61
62 - 66
67 - 71
72 - 76
∑f
2
9
31
50
51
30
7
180
x
fx
fa >
44
49
54
59
64
69
74
∑(f*x)
88
441
1674
2950
3264
2070
518
2
11
42
92
143
173
180
fa <
178
169
138
88
37
7
0
11005
Tabla 6.2
Sustituyendo en la fórmula:
µ=
µ=
∑(𝐟 ∗ 𝐱)
𝐍
∑(𝟏𝟏𝟎𝟎𝟓)
𝟏𝟖𝟎
µ = 𝟔𝟏. 𝟏𝟒
El promedio de calificaciones en el grupo es de 61.14, la mediana fue de 61.3 y la
moda de 51, por lo que la tendencia central indica un bajo rendimiento de este
grupo de alumnos.
Actividad de Aprendizaje.
Completa los siguientes enunciados
palabras clave elabora una sopa de letras.
y con las
1. El __________ se conoce también como el recorrido entre los datos
extremos.
2. Es
la
longitud
del
intervalo
o
clase
de
la
mediana:
______________________.
3. Para calcular esta medida de tendencia central se considera N, F y la
marca de clase: ________________.
4. La ____________________ es el promedio de los límites de los intervalos y
se representa con Xi.
5. Se le llama así a la medida de tendencia central que muestra el dato con
mayor frecuencia: ________________
6. La __________________ es la suma de las frecuencias absolutas de todos
los valores inferiores o iguales al valor considerado.
7. Son los subgrupos que se forman con la finalidad de simplificar un estudio
estadístico: _______________________.
Aplicación de la información.
1. En un estudio realizado en una Escuela Oficial del nivel medio superior en
el Estado de México, sobre Coeficiente Intelectual (CI), se obtuvieron los
siguientes datos:
60
60
61
61
60
75
75
76
62
84
62
60
60
66
61
92
84
67
76
70
66
82
75
66
72
60
76
60
77
63
COEFICIENTE INTELECTUAL
72 68 81 68 72 60
64 98 82 60 85 60
72 60 60 72 75 65
68 60 72 78 60 91
68 88 60 62 72 60
65 60 72 60 72 82
64 60 73 88 95 60
60 65 63 63 62 95
64 72 68 60 60 75
60 62 71 78 60 60
60
71
60
60
60
60
60
60
106
67
74
67
60
60
63
76
76
60
60
74
71
60
80
64
89
78
69
60
60
60
Tabla 7
Obtener la Moda, Mediana, Media (promedio) e interpreta los
resultados. ¿Será el conocimiento del coeficiente intelectual, un factor
determinante en la orientación vocacional del estudiante? ¿Por qué?
2. En una colonia del Municipio de Nicolás Romero, se realizó un estudio
socioeconómico a personas adultas para otorgarles un apoyo del programa
gubernamental Oportunidades, las edades de las personas encuestadas
fueron las siguientes:
EDADES
73
48
63
48
60
47
57
75
44
69
58
77
64
51
73
49
66
49
47
61
72
59
56
79
52
68
57
58
54
71
65
61
56
66
45
62
53
44
56
61
62
54
74
55
49
77
53
73
52
65
66
57
44
60
54
55
60
57
51
64
Tabla 8
Obtener: Media, Mediana y Moda de las Edades.
Si el gobierno considera otorgarle la ayuda a todas aquellas personas
que estén por arriba del promedio de edad, ¿cuántas personas de esta
colonia serán las beneficiadas?
3. La Profesora Ana Iris, educadora de preescolar preocupada por la conducta
de sus pequeños alumnos, realizó una encuesta a todas las madres de
familia para ver cuántas horas a la semana dedicaban a conversar, convivir
y realizar actividades de índole académica con sus niños, los resultados son
los siguientes:
21
21
20
20
19
18
MADRES E HIJOS
(Horas / Semana)
18 15 11 17 6
6 16 9 16 4
5 17 8 12 20
5 14 5 11 12
17 13 5 5 17
17 12 17 5 17
Tabla 9
17
20
5
4
11
16
Obtener, promedio de horas que las mamás pasan a la semana con sus
niños, cuál es el tiempo que aparece con mayor frecuencia (moda), así
mismo calcula la mediana de los datos.
¿A que conclusión llegó la maestra?
¿Es un factor determinante en la conducta de los niños, el tiempo que
los padres les dedican a la convivencia, pláticas y apoyos académicos a
sus hijos? ¿Por qué?.
4. En un municipio del Estado de México se realizó una encuesta (no oficial)
sobre el número de hombres que son padres de familia y los resultados ya
agrupados fueron:
Edad de padres
de familia (años)
Número
15 - 24
22
25 - 34
40
35 - 44
50
45 - 54
104
55 - 64
94
65 - 74
66
75 - 84
41
Tabla 10
¿Cuál es la edad promedio de los padres de familia?, ¿cuál es la
mediana?, ¿Cuál la moda?, ¿Cuál es la tendencia de edad de los
hombres que son papás en este municipio?
Actividad integradora
COMPETENCIA GENÉRICA: Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Recuperación, Aplicación e Interpretación de la Información
ESCENARIO DIDÁCTICO
Cuadrante
Didáctico UNO
Pregunta
Generadora
¿Y cómo fue que el IMC transformó a México un país de
gordos?
Cibergrafías Ejemplo:
Cuadrante Didáctico
DOS
Búsqueda y evaluación
de fuentes de
información
http://www.imss.gob.mx/
http://clubdelilith.com/imc-y-la-psicosis-de-la-obesidad
Hemerografías:
Revista Médica IMSS
Noticias sobre Obesidad en Diarios Nacionales
Bibliografías
Marco Stiefel, B. Historia de la Ciencia. Los científicos y sus
descubrimientos. Narcea s.a. de Ediciones (Ministerio de Educación y
Ciencia). 1992.
Watson, J. La doble hélice. Alianza Editorial. El libro de bolsillo/Biología.
Madrid, 2000
Rico, Cesari López, Javier. Rodríguez, Héctor. Salazar, Zayil. Ciencias 1
Biología, Editorial Esfinge, México 2009.
Para comenzar a dar respuesta a la pregunta
Cuadrante Didáctico
TRES
Acceso a fuentes de
información, arreglo de
datos y referencias
generadora,
es
necesario
delimitar
la
población,
identificación de variables, censo de datos para
recopilar información de las variables: Sexo, Edad,
Talla, peso y cálculo del IMC (índice de masa corporal)
de la comunidad estudiantil de una Preparatoria Oficial
del Estado de México.
Cuadrante Didáctico
CUATRO
Construcción de
Estrategias de
resolución.
Una vez identificadas las variables y registrados los
datos, se generan las tablas de frecuencias para el
cálculo de los estadísticos.
Las tablas de frecuencias de cada variable queda de la siguiente manera:
PESO CORPORAL
(kilogramos)
ESTATURA
(metros)
Limite real
inferior
INTERVALOS
Limite real
superior
40.5
45.5
50.5
55.5
60.5
65.5
70.5
75.5
80.5
41-45
46-50
51-55
56-60
61-65
66-70
71-75
76-80
81-85
45.5
50.5
55.5
60.5
65.5
70.5
75.5
80.5
85.5
∑
f
x
f(x)
1
5
5
10
4
5
3
0
1
34
43
48
53
58
63
68
73
78
83
43
240
265
580
252
340
219
0
83
2022
INTERVALOS
16.5
18.5
17-18
19-20
INTERVALOS
Límite real
superior
1.455
1.505
1.555
1.605
1.655
1.705
1.755
1.46-1.50
1.51-1.55
1.56-1.60
1.61-1.65
1.66-1.70
1.71-1.75
1.76-1.80
1.505
1.555
1.605
1.655
1.705
1.755
1.805
f
2
10
8
3
8
2
1
34
∑
x
f(x)
1.5 2.96
1.5 15.30
1.6 12.64
1.6 4.89
1.7 13.44
1.7 3.46
1.8 1.78
54.47
IMC
(kg/m2)
Edad
(años)
Límite real
inferior
Límite real
inferior
Límite real
superior
f
18.5
20.5
x
INTERVALOS
Límite real
superior
9.5
10-18
18.5
18.5
19-25
25.5
25.5
26-30
30.5
30.5
31-40
40.5
f
f(x)
33 17.5 577.50
1 19.5 19.50
34
597.00
∑
Límite real
inferior
∑
x
f(x)
2
22
9
1
14 28.00
22 484.00
28 252.00
36 35.50
34
799.50
Tabla11-14
Fuente: Preparatoria Oficial del Estado de México, región III. 2008
La obtención de los estadísticos con el apoyo de una hoja
Cuadrante Didáctico
CINCO
Solución del Problema
(Cálculo de los
estadísticos)
de cálculo para darle solución a la pregunta generadora de
manera procedimental. En ella se agregan las frecuencias
acumuladas > y < para calcular las MTC.
PESO CORPORAL
(kilogramos)
L. R. I.
INTERVALOS
L. R. S
ESTATURA
(metros)
f
x
f(x)
fa
>
fa
<
40.5
41-45
45.5
1
43
43
1
33
45.5
46-50
50.5
5
48
240
6
28
L. R. I.
INTERVALOS
L. R. S
f
x
f(x)
fa
>
fa
<
1.455
1.46-1.50
1.505
2
1.5
2.96
2
32
50.5
51-55
55.5
5
53
265
11
23
1.505
1.51-1.55
1.555
10 1.5
15.30
12
22
55.5
56-60
60.5
10
58
580
21
13
1.555
1.56-1.60
1.605
8
1.6
12.64
20
14
60.5
61-65
65.5
4
63
252
25
9
1.605
1.61-1.65
1.655
3
1.6
4.89
23
11
1.66-1.70
1.705
8
1.7
13.44
31
3
1.71-1.75
1.755
2
1.7
3.46
33
1
1.76-1.80
1.805
1
1.8
1.78
34
0
65.5
66-70
70.5
5
68
340
30
4
1.655
70.5
71-75
75.5
3
73
219
33
1
1.705
1.755
75.5
76-80
80.5
0
78
0
33
1
80.5
81-85
85.5
1
83
83
34
0
∑
34
INTERVALOS
L. R. S
34
2022
IMC
(kg/m2)
Edad
(años)
L. R. I.
∑
f
x
f(x)
fa
>
fa
<
L. R. I.
INTERVALOS
L. R. S
f
x
f(x)
fa
>
fa
<
9.5
10-18
18.5
2
14
28.00
2
32
16.5
17-18
18.5
33 17.5 577.50
33
1
18.5
19-25
25.5
22
22
484.00
24
10
18.5
19-20
20.5
1
34
0
25.5
26-30
30.5
9
28
252.00
33
1
30.5
31-40
40.5
1
36
35.50
34
0
∑
19.5
34
19.50
597.00
∑
34
799.50
Tabla 15 - 18
Las tablas anteriores nos permiten el cálculo de los estadísticos vistos en esta
unidad; para el escenario planteado, nuestros resultados son:
Estadísticos
Mo.
Mdn
Edad
(años)
Peso
(kg)
Talla
(metros)
IMC
(kg/m2)
17-18
f= 33
56-60
f=10
1.51-1.55
f=10
19-25
f=22
17.55
59.40
1.60
23.51
16.49
58.50
1.59
24.60
Tabla 19
El índice de masa corporal (IMC) es la relación
Cuadrante Didáctico
SEIS
Formular la respuesta y
generar el reporte.
matemática que en los últimos 10 años ha determinado
quiénes nos encontramos bajos de peso, quiénes nos
encontramos en un peso saludable, quiénes tenemos
sobrepeso y quiénes somos obesos.
El IMC relaciona el peso con la talla del individuo, y según nos han dicho “es un
muy confiable indicador de la cantidad de grasa”, además de ser también un
indicador de la cantidad de grasa dañina, la cual implica un riesgo para nuestra
salud.
El IMSS proporciona una tabla que permite comparar los IMC de los mexicanos y
determinar su situación de nutrición y por consiguiente de salud y de esta manera
ubicarlos en el indicador de la cantidad de grasa corporal y determinar el grado de
riesgo en el que se encuentra. La tabla con los índices y resultados del estudio
realizado en la comunidad estudiantil de la preparatoria oficial del Estado de
México es la siguiente:
INDICE DE M AS A
CORPORAL
Mayor que 30
kg/m2
Entre 25 y 30
kg/m2
Entre 18.5 y
24.9 kg/m2
Menor
que
18.5 kg/m2
RESULTADOS DEL ESTUDIO
FRECUENCIA (f)
FRECUENCIA
RELATIVA (f%)
Obesidad
56
11.20%
Sobre peso
387
77.40%
Normal
52
10.40%
Bajo peso
5
1%
Tabla 20
ESTADÍSTICOS DE TENDENCIA CENTRAL
Estadísticos
Mo.
Mdn
Edad
(años)
Peso
(kg)
Talla
(metros)
IMC
(kg/m2)
17-18
f= 33
56-60
f=10
1.51-1.55
f=10
19-25
f=22
17.55
59.40
1.60
23.51
16.49
58.50
1.59
24.60
Tabla 19
INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS
Existe una incidencia de la población estudiantil en el sobrepeso, sin embargo, los
datos que se muestran en la tabla 19 nos indican que la tendencia central del peso
corporal está en los estándares normales pero con tendencia al sobrepeso,
representado por un 77.40%, situación que consideramos preocupando si
tomamos como referente el dato Nacional que se mencionó en el escenario
general; aunado a esto los hábitos alimenticios, los productos que se ofrecen en
las cafeterías y a su proceso metabólico la población estudiantil de la preparatoria
está en riesgo de caer en problemas de salud como: colesterol, triglicéridos
elevados, presión arterial, glucosa, etc.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE INTEGRADORA PROPUESTA
CATEGORÍAS: APRENDE DE FORMA AUTÓNOMA Y TRABAJA DE FORMA
COLABORATIVA
Recuperación de la información. Con tu propia terminología describe los
siguientes términos.
Término
Media
Descripción
Mediana
Moda
Clases
Ojiva
COMPETENCIAS EXTENDIDAS:
Emplea MTC en la construcción teórica y la simulación dinámica en un proyecto de investigación
Elige, construye y relaciona enfoques probabilísticos mediante el uso de la tecnología
Aplicación de la información. Organízate en equipos y realiza un estudio
similar en tu institución, de ésta forma conocerás y reafirmarás la importancia de la
SA (Salud en el adolescente) con el apoyo de las MTC en estadística y la
distribución de frecuencias vistas en la Unidad I
Nota: Para que el estudio esté más completo te sugerimos que sea
Interdisciplinaria y con contenidos transversales, es decir, pídele a tus profesores
de Biología, Informática, Educación para la Salud, Psicología, Activación Física, e
Inglés (si es que desean publicar o presentar su trabajo de forma bilingüe) que te
apoyen en la interpretación y justificación del proyecto y de ésta forma realizarán
un estudio colaborativo.
Interpretación de la Información. Elaboren un blogg grupal, donde cada equipo
escriba y suba un artículo derivado de los resultados obtenidos, donde se
muestren gráficos y tablas del análisis de las Medidas de Tendencia Central en la
Actividad Propuesta.
PROYECTO ESTADÍSTICO DE SALUD
RÚBRICA DE VALORACIÓN
Muy Alto
Alto
Medio
Bajo
(10-9)
(8-7)
(6)
(5)
Variables
Todas las variables
están
descritas
claramente con todos
los detalles relevantes.
Todas las variables
están
descritas
claramente con la
mayoría
de
los
detalles relevantes.
La mayoría de las
variables
están
descritas
claramente con la
mayoría
de
los
detalles relevantes.
Las variables no
son descritas o a la
mayoría le falta
suficiente detalle.
Cálculos
Se muestra todos los
cálculos
y
los
resultados
son
correctos
y
están
etiquetados
apropiadamente.
Se muestra algunos
cálculos
y
los
resultados
son
correctos y están
etiquetados
apropiadamente.
Se muestra algunos No
se muestra
cálculos
y
los ningún cálculo.
resultados
están
etiquetados
apropiadamente.
Terminología
La
terminología
y
Matemática y notación
correctas
Notación
fueron siempre usadas
haciendo
fácil
de
entender lo que fue
hecho.
La terminología y
notación correctas
fueron,
por
lo
general,
usadas
haciendo fácil de
entender lo que fue
hecho.
La terminología y
notación correctas
fueron usadas, pero
algunas veces no es
fácil entender lo que
fue hecho.
Hay poco uso o
mucho
uso
inapropiado de la
terminología y la
notación.
Errores
Matemáticos
90-100% de los pasos Casi todos (85-89%)
y soluciones no tienen los
pasos
y
errores matemáticos.
soluciones no tienen
errores
matemáticos.
La mayor parte (7585%) de los pasos y
soluciones no tienen
errores
matemáticos.
Más del 75% de los
pasos y soluciones
tienen
errores
matemáticos.
Datos
Una
representación
profesional y precisa
de los datos en tablas
y/o
gráficas.
Las
gráficas y las tablas
están etiquetadas y
tituladas.
PROYECTO
DE SALUD
Una representación Una representación Los datos no son
precisa de los datos precisa de los datos demostrados o no
en
tablas
y/o en forma escrita.
son precisos.
gráficas.
Las
gráficas y tablas
están etiquetadas y
tituladas.
Diagramas
e Los
diagramas
e
Ilustraciones
ilustraciones
son
ordenados, precisos y
añaden
al
entendimiento
del
tema.
Los diagramas e
ilustraciones
son
precisos y añaden al
entendimiento
del
tema.
Etiquetando el El eje X tiene un
Eje X
etiquetado
claro
y
ordenado que describe
las unidades usadas
para
las
variables
independientes
(por
ejemplo, días, meses,
los nombres de los
participantes).
El eje X tiene un El eje X
etiquetado claro que etiquetado.
describe
las
unidades
usadas
para la variable
independiente.
está El eje X no está
etiquetado.
Etiquetando el El eje Y tiene un
Eje Y
etiquetado
claro
y
ordenado que describe
las unidades y la
variable dependiente
El eje Y tiene un El eje Y
etiquetado claro que etiquetado.
describe
las
unidades
y
la
variable
dependiente
está El eje Y no está
etiquetado.
Los diagramas e
ilustraciones
son
ordenados
y
precisos y algunas
veces añaden al
entendimiento
del
tema.
Los diagramas e
ilustraciones no son
precisos
o
no
añaden
al
entendimiento del
tema.
Puntaje
obtenido
Explicación
La
explicación
detallada y clara.
Trabajando
con Otros
Casi siempre escucha,
comparte y apoya el
esfuerzo de otros.
Trata de mantener la
unión de los miembros
trabajando en grupo.
es La explicación
clara.
es La explicación es un La explicación es
poco
difícil
de difícil de entender y
entender,
pero tiene
varios
incluye
componentes
componentes
ausentes o no fue
críticos.
incluida.
Usualmente
escucha, comparte
y apoya el esfuerzo
de otros. No causa
"problemas" en el
grupo.
A veces escucha,
comparte y apoya el
esfuerzo de otros,
pero algunas veces
no es un buen
miembro del grupo.
Raramente
escucha, comparte
y apoya el esfuerzo
de
otros.
Frecuentemente no
es
un
buen
miembro del grupo.
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
PARA DATOS NO AGRUPADOS
En el capítulo anterior aprendiste sobre las Medidas de Tendencia Central que
fueron abordadas en dos secciones: Datos no Agrupados y Datos no Agrupados.
Recuerda que los datos no agrupados son aquellas series de datos sin orden que
determinan los valores de una variable y los datos agrupados son aquellos datos
ordenados en intervalos.
Para efectos del tema de Medidas de Dispersión, se considera el siguiente
ejemplo.
En Cuernavaca y Monterrey se registraron cuatro temperaturas en °C a las 12:00
a.m. en las diferentes estaciones del año, obteniendo los siguientes resultados:
Estación
Día
Cuernavaca
Monterrey
Primavera
Verano
Otoño
Invierno
3 de Abril
5 de Julio
10 de Octubre
15 de Enero
19
24
21
16
15
39
25
1
Tabla 21
Si calculamos la temperatura promedio (media aritmética) de las dos ciudades
obtendríamos que:
19+24+21+16
̅ = 15+39+25+1= 20°C,
Cuernavaca 𝑋̅=
= 20°C y para Monterrey 𝑋
4
4
entonces:
¿Porqué no llamar a Monterrey la ciudad de la “eterna primavera” si tiene la misma
temperatura promedio que Cuernavaca?
En el ejemplo anterior se observa que el Promedio (media aritmética) para
Cuernavaca y Monterrey es el mismo; sin embargo, si se comparan las
temperaturas en cada ciudad, se puede notar que en la primera las temperaturas
son parecidas y para la segunda existe mucha variabilidad (dispersión) entre ellas,
tema que se abordará en ésta unidad.
Las medidas de Variabilidad o Dispersión de los datos es el grado en que éstos
tienden a extenderse alrededor del valor medio; para efectos de este programa se
considerará la siguiente clasificación:
Por intervalos
Absolutas
Medidas de
variabilidad
Por desviaciones
Relativas
Rango (R)
Rango Medio (𝑅̅ )
Desviación media
(𝑑̅ )
Varianza (S2)
Desviación
estándar (S)
Coeficiente de variación
̅)
Rango (R) y Rango Medio (𝑹
Para empezar se define el rango como la distancia que existe entre el valor
máximo y el
mínimo de un grupo de datos, para este apartado, datos no
agrupados.
Ejemplo: El rango de los números 7, 16, 14, 19, 31, 35, 42, 55, 0.5 se obtiene:
valor máximo = 55
valor mínimo = 0.5;
y el rango se obtiene R = valor máximo – valor mínimo
sustituyendo los valores, R = 55 – 0.5 = 54.5
Una vez encontrado el Rango, obtenemos el Rango Medio (𝑅̅ ) de la siguiente
manera:
̅ = 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐−𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐
𝑹
𝟐
Sustituyendo los valores en la fórmula del Rango Medio (𝑅̅ ):
𝑅̅ =
55 −0.5
2
= 27.25
Actividad de aprendizaje
Competencia Extendida: Construye e interpreta problemas para el estudio de un
proceso y argumenta su pertinencia.
Recuperación de la información. Con tu propia terminología describe los
siguientes términos.
Término
Dispersión
Descripción
Absoluto
Intervalos
Desviación
Rango
Coeficiente
Aplicación de la información. Calcula el Rango Medio de los siguientes
planteamientos
1. "El hombre vivo más alto del mundo" en el Libro de los Records Guinness
2011, con 2,465 metros de altura, mientras que el más pequeño del mundo
mide 70 centímetros de estatura”
2. El salario mínimo en México se clasifica en A, B y C, siendo de 59.82, 58.13
y 56.70 respectivamente.
3. La temperatura más alta jamás registrada en la Tierra fue de 57’3º C en el
desierto de Libia y la más baja fue de -89’2 ºC en la Antártica.
4. El monte Everest es la montaña más alta sobre el nivel del mar, con
8.848 msnm localizada en el Himalaya y la cueva más profunda del mundo
ubicada en Krubera-Voronya tiene casi 2 kilómetros de profundidad.
5. El estado de San Luis Potosí es considerado el más grande de México;
tiene una superficie de 62,848 kilómetros, mientras que el más pequeño es
Tlaxcala con 3,391kilómetros.
6. América Central está constituida por siete países que, ordenados de mayor
a menor, son: Nicaragua (130,700 km2), Honduras (112,080 km2),
Guatemala (108,889 km2), Panamá (75,517 km2), Costa Rica (51,100 km2),
Belice (22,965 km2) y El Salvador (20,749 km2). ¿Cuál es el rango de las
superficies?
̅)
Desviación Media (𝒅
Otra medida estadística para medir la variabilidad de un conjunto de datos es
la Desviación Media, que es la desviación de un dato con respecto a la media.
𝑋−𝑋̅
𝑑̅=
𝑛
Obtener la desviación media para los siguientes datos: 2,8,17,19,3,5.
Paso uno: Calcular la media
2+8+17+19+3+5
𝑋̅ =
=9
6
Paso dos: Calcular las desviaciones con respecto a la media de cada dato.
(2−9 )+(8−9)+(17−9)+(19−9)+(3−9)+(5−9)
0
𝑑̅ =
= , ∴ el resultado es 0.
6
6
Para evitar el resultado anterior se debe considerar el uso de valores
absolutos4 |𝑋|; al sustituir la operación anterior para obtener la desviación
media se tiene:
4
Ver anexo – para resolver ejercicios con valores absolutos
𝑑̅ =
|2 − 9| + |8 − 9| + |17 − 9| + |19 − 9| + |3 − 9| + |5 − 9| 36
=
6
6
=𝟔
Actividades de Aprendizaje
1. Las ventas al término del día en una cafetería en una escuela en una
semana muestra fueron de: $8,100, $9,000, $4,580, $5,820 $7,680,
$10,645, $5,617; obtener la desviación media de los ingresos anteriores.
2. Los Autos más robados en México hasta julio 2011 fueron los siguientes:
Vehículos
Total
1. Nissan Tsuru.
1. 14,544
2. Nissan Pick Up.
2. 3,743
3. Nissan Sentra.
3. 2,544
4. Volkswagen Jetta Clásico. 4. 2,428
5. Honda Moto 125.
5. 1,841
6. Volkswagen Bora.
6. 1,627.
7. Chevrolet Pick Up.
7. 1,236
8. Ford Pick Up.
8. 994
9. Honda CRV.
9. 812.
10. Chevrolet Chevy.
10. 800
11. Nissan X-Trail.
11. 791
12. Chevrolet Silverado.
12. 781
13. Volkswagen Pointer.
13. 777
14. Honda Civic.
14. 759
15. Honda Accord.
15. 743
Obténgase la desviación media del número de autos robados.
3. Los 11 municipios con mayor población en el Estado de México son:
1.
2.
3.
4.
5.
MUNICIPIOS
Ecatepec de Morelos
Netzahualcóyotl
Naucalpan de Juárez
Toluca
Tlalnepantla de Baz
HABITANTES
1 656 107
1 110 565
833 779
819 561
664 225
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Chimalhuacán
Tultitlan
Cuautitlán Izcalli
Atizapán de Zaragoza
Ixtapaluca
Nicolás Romero
614 453
524 074
511 675
489 937
467 361
366 602
¿Cuál es la desviación media del número de habitantes de los 11
municipios más poblados del Estado de México?
4. Las estaturas de los estudiantes del Grupo 1° I de la EPO 250 son: 1.62,
1.75, 1.62, 1.67, 1.55, 1.60, 1.66, 1.70, 1.61, 1.60, 1.68, 1.55, 1.57, 1.61,
1.54, 1.50, 1.62, 1.62, 1.60. ¿Cuál es la desviación media?
5. El peso de los mismos estudiantes fue de: 52, 61, 52, 65, 55, 50, 63, 50,
50, 42, 58, 50, 55, 53, 52, 45, 60, 73, 50. ¿Cuál es la desviación media de
los pesos?
Varianza (
En el tema anterior, para eliminar el resultado 0 en la obtención de la desviación
media, se recurrió al uso de valores absolutos; sin embargo, existe otra de volver
positivas las diferencias de los datos respecto a la media; ésta consiste en elevar
las diferencias al cuadrado, a ésta operación se le conoce como Varianza.
Varianza es el promedio de las desviaciones (valor – promedio) elevadas al
cuadrado.
̅ )𝟐
𝚺(𝑿 − 𝑿
𝝈 =
𝒏
𝟐
Ejemplo: calcular la varianza de los siguientes datos 48,49, 50, 50, 50, 51,52.
Paso uno: Obtener la media aritmética
𝑋̅ =
48 + 49 + 50 + 50 + 50 + 51 + 52
= 50
7
Paso dos obtener la varianza mediante la sustitución de datos en la fórmula.
1. Sustitución directa
𝝈𝟐
=
𝚺[(𝟒𝟖 − 𝟓𝟎)𝟐 + (𝟒𝟗 − 𝟓𝟎)𝟐 + (𝟓𝟎 − 𝟓𝟎)𝟐 + (𝟓𝟎 − 𝟓𝟎)𝟐 + (𝟓𝟎 − 𝟓𝟎)𝟐 + (𝟓𝟏 − 𝟓𝟎)𝟐 + (𝟓𝟐 − 𝟓𝟎)𝟐 ]
𝟕
𝝈𝟐 =
𝚺[(−𝟐)𝟐 + (−𝟏)𝟐 + 𝟎𝟐 + 𝟎𝟐 + 𝟎𝟐 + 𝟏𝟐 +𝟐𝟐 ]
𝟕
𝝈𝟐 =
𝚺[𝟒 + 𝟏 + 𝟎 + 𝟎 + 𝟎 + 𝟏 + 𝟒]
𝟕
𝝈𝟐 =
𝟏𝟎
𝟕
𝝈𝟐 = 𝟏. 𝟒𝟑
2. Elaboración de una tabla
Valores
(X)
48
Desviaciones Cuadráticos Resultados
̅)
̅ )2
cuadráticos
(X-𝑿
(X-𝑿
(48-50) = -2
(-2) 2
4
49
(49-50) = -1
(-1) 2
1
50
(50-50) = 0
(0) 2
0
50
(50-50) = 0
(0) 2
0
50
(50-50) = 0
(0) 2
0
51
(51-50) = 1
(1) 2
1
52
(52-50) = 2
(2) 2
4
10
Suma ()
Sustituyendo en la fórmula:
𝝈𝟐 =
𝟏𝟎
𝟕
= 1.43
Actividades de Aprendizaje:
1.Encuentra la varianza de los siguientes grupos de datos: 25, 30, 32, 43, 25,
37, 17, 43, 23, 25, 23, 39, 43 y 100, 0, 10, 90, 95, 5, 50, 3, 50, 25, 50, 50, 4,
25.
¿Cuál de ellos tiene la mayor varianza? ______________
¿A qué se debe esto? ________
2.Una urban en el Estado de México realizó 15 recorridos por su ruta,
transportando en cada viaje el siguiente número de pasajeros: 17, 13, 14, 9,
5, 9, 16, 15, 11, 6, 10, 14, 12, 2, 7. Obtener Media, moda, mediana,
desviación media y varianza.
3.El financiamiento en ingresos totales (millones de pesos) para partidos
políticos en el 2003 fue asignado de la siguiente manera:
Financiamiento político del IFE
PARTIDO PRESUPUESTO
PAN
1,378
PRI
1,417
PRD
559
PT
283
PVEM
352
PCONV
243
Fuente: CIDE ¿Cómo se financian los partidos políticos
en México?, Javier Aparicio, 2006.
Obtener media, moda, mediana, desviación media y varianza
4.Datos del INEGI, indican el total de matrimonios (miles) de 1990 a 2007 y el
total de divorcios (miles) de los mismos años.
Total de Matrimonios y Divorcios en México
Años Matrimonios Divorcios
(miles)
1990 642.2
46.5
2000 707.4
52.4
2002 616.7
60.6
2004 600.6
67.6
2005 595.7
70.2
2006 587.0
72.4
2007 595.2
77.3
Fuente: INEGI, Estadísticas vitales, 2007
Obtener la varianza para cada variable.
5.En los puentes del segundo piso en el Distrito Federal, los radares de
velocidad registraron las siguientes velocidades. 88, 96, 110, 130, 99, 140,
85, 115, 100, 95, 145, 105, 98, 102, 75, 80, 70, 72, 98, 120, 110, 79, 104,
79, 88, 116, 150.
¿Cuál es el índice de variabilidad entre las velocidades de los autos que
circulan en el segundo piso?
Desviación Estándar (
Si se analiza el resultado de la varianza, se tiene en unidades cuadrática,
ejemplo cm2, m2, etc, ¿Cómo eliminar esos resultados cuadráticos? Pues
sacando la raíz cuadrada a dichos resultados, a ésta nueva medida se le
conoce como Desviación Estándar que es la raíz cuadrada de la varianza.
𝝈= √
𝝈= √
̅ )𝟐
∑(𝑿−𝑿
𝑵
̅ )𝟐
∑(𝑿−𝑿
𝒏−𝟏
para n ≥30 (muestra)
para n < 30 (muestra)
Ejemplo: En el tema anterior se obtuvo la varianza de los datos 48,49, 50, 50, 50,
51,52 y el resultado fue de 1.43; pero como al inicio de éste apartado se especifico
que el valor está dado en términos cuadráticos por lo tanto, se debe calcular la
desviación estándar para éste valor.
Sustituyendo en la fórmula n≥ 30
𝝈
=√
𝚺[(𝟒𝟖 − 𝟓𝟎)𝟐 + (𝟒𝟗 − 𝟓𝟎)𝟐 + (𝟓𝟎 − 𝟓𝟎)𝟐 + (𝟓𝟎 − 𝟓𝟎)𝟐 + (𝟓𝟎 − 𝟓𝟎)𝟐 + (𝟓𝟏 − 𝟓𝟎)𝟐 + (𝟓𝟐 − 𝟓𝟎)𝟐 ]
𝟕−𝟏
𝚺[(−𝟐)𝟐 + (−𝟏)𝟐 + 𝟎𝟐 + 𝟎𝟐 + 𝟎𝟐 + 𝟏𝟐 +𝟐𝟐 ]
𝝈= √
𝟔
𝚺[𝟒 + 𝟏 + 𝟎 + 𝟎 + 𝟎 + 𝟏 + 𝟒]
𝝈= √
𝟔
𝟏𝟎
𝝈= √
𝟔
𝝈 = √𝟏. 𝟔
𝝈 = 𝟏. 𝟐𝟖
Actividades de Aprendizaje
1. Determina la desviación estándar de las ventas de dos pequeños negocios
cuyos datos se presentan a continuación:
Negocio 1= $20, $16, $17, $16 y $21
Negocio 2 = $18, $17, $18, $19 y $18
Compara los resultados y analízalos
2.Una urban en el Estado de México realizó 15 recorridos por su ruta,
transportando en cada viaje el siguiente número de pasajeros: 17, 13, 14, 9,
5, 9, 16, 15, 11, 6, 10, 14, 12, 2, 7. Encuentra la Desviación Estándar
3.En los puentes del segundo piso en el Distrito Federal, los radares de
velocidad registraron las siguientes velocidades. 88, 96, 110, 130, 99, 140,
85, 115, 100, 95, 145, 105, 98, 102, 75, 80, 70, 72, 98, 120, 110, 79, 104,
79, 88, 116, 150.
4.Encuentra la Desviación Estándar de los siguientes grupos de datos: 25, 30,
32, 43, 25, 37, 17, 43, 23, 25, 23, 39, 43 y 100, 0, 10, 90, 95, 5, 50, 3, 50,
25, 50, 50, 4, 25.
¿Cuál de ellos tiene la mayor Desviación Estándar? ______________
¿A qué se debe esto? ________
5. Encuentra la Desviación Estándar de las temperaturas en Cuernavaca y
Monterrey
Estación
Día
Primavera
3 de Abril
Verano
5 de Julio
Otoño
10 de Octubre
Cuernavaca Monterrey
19
24
21
15
39
25
Invierno
15 de Enero
16
1
¿Porqué, si mantienen un mismo promedio de temperaturas, Monterrey no es
considerado el estado de la Eterna Primavera como Cuernavaca?
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
PARA DATOS AGRUPADOS
En este apartado se revisarán las medidas utilizadas para calcular la variabilidad
de los datos e identificar las diferencias entre los sucesos.
Al igual que en los datos no agrupados, las medidas de dispersión más utilizadas
son:
Por intervalos
Absolutas
Por desviaciones
Medidas de
variabilidad
Rango (R)
Rango Medio (𝑅̅ )
Desviación media
(𝑑̅ )
Varianza (S2)
Desviación
estándar (S)
Coeficiente de variación
Relativas
̅)
Rango (R) y Rango Medio (𝑹
En la siguiente tabla se muestran las edades de personas adultas en un Municipio
del Estado de México.
EDADES
73
48
63
48
60
47
57
75
44
69
58
77
64
51
73
49
66
49
47
61
72
59
56
79
52
68
57
58
54
71
65
61
56
66
45
62
53
44
56
61
62
54
74
55
49
77
53
73
52
65
66
57
44
60
54
55
60
57
51
64
Para éste efecto el rango se obtiene restando del dato mayor el dato menor en
el total de la población, es decir 77 – 44 = 33.
Rango Medio
Una vez obtenido el rango, se procede a calcular el rango medio como se vio en el
apartado anterior (datos no agrupados).
̅=
𝑹
valor máximo − valor mínimo
2
̅ = 77−44 = 16.5
𝑹
2
La importancia del rango radica en que una vez calculado, podemos hacer la
distribución de clases o intervalos de clase como se en los siguientes temas de
Dispersión.
Desviación Media
̅=
𝒅
∑[𝒇 ∗ (|𝑿𝒊 − µ|)]
∑𝒇 𝒐𝑵
En los datos no agrupados, se definió como la desviación de un dato con respecto
a la media; para los datos agrupados es la desviación de los valores medios
(marcas de clase u ojiva) respecto a la media poblacional. En la tabla siguiente se
presenta un conjunto de datos agrupados en clases de un conjunto de datos
referente a calificaciones de un grupo determinado en una preparatoria.
Número de
clase
1
2
3
4
5
6
7
Intervalos
Frecuencias
de clase
(f)
(puntaje)
42 - 46
2
47 - 51
9
52 - 56
31
57 - 61
50
62 - 66
51
67 - 71
30
72 - 76
7
Xi
fx
44
49
54
59
64
69
74
88
441
1674
2950
3264
2070
518
∑f
11005
∑(f*x)
180
Paso uno: Obtenemos la media aritmética
µ=
µ=
∑(𝐟 ∗ 𝐱)
𝐍
∑(𝟏𝟏𝟎𝟎𝟓)
𝟏𝟖𝟎
µ = 𝟔𝟏. 𝟏𝟒
Paso dos: Obtener las desviaciones de los valores medios (Xi) respecto a la media
obtenida (61.14). Sin olvidar que en las desviaciones medias, siempre se trabaja
con valores absolutos para evitar el 0 o los valores negativos.
|d|= |Xi - 𝑋̅| ésta operación se realiza por intervalos de clase, ejemplo: 44 – 61.14 =
-17.14, pero como trabajamos en valores absolutos, el resultado es 17.14.
Número de
clase
Intervalos
de clase
(puntaje)
Frecuencias
(f)
Xi
fx
1
2
3
42 - 46
47 - 51
52 - 56
2
9
31
44
49
54
88
441
1674
4
5
6
7
57 - 61
62 - 66
67 - 71
72 - 76
∑
50
51
30
7
59
64
69
74
∑(f*x)
2950
3264
2070
518
180
̅|
|d|=|Xi - 𝑿
|44 – 61.14| = |17.14| = 17.14
12.14
7.14
2.14
2.86
7.86
12.86
11005
Paso tres: Multiplicar la frecuencia por los valores absolutos obtenidos en cada
clase: F*|d|.
Número de
clase
1
2
Intervalos
Frecuencias
de clase
(f)
(puntaje)
42 - 46
2
47 - 51
9
Xi
fx
̅|
|d|=|Xi - 𝑿
F*|d|
44
49
88
441
17.14
2 x 17.14 = 34.28
12.14
109.26
3
4
5
6
7
52 - 56
57 - 61
62 - 66
67 - 71
72 - 76
∑
31
50
51
30
7
180
54
59
64
69
74
∑(f*x)
7.14
2.14
2.86
7.86
12.86
1674
2950
3264
2070
518
221.34
107.00
145.86
235.80
90.02
11005
943.56
Paso tres: obtener la desviación media mediante la fórmula.
̅=
𝒅
∑[𝒇 ∗ (|𝑿𝒊 − µ|)]
∑𝒇 𝒐 𝑵
Sustituyendo los valores obtenidos en la tabla:
̅=
𝒅
943.56
= 𝟓. 𝟐𝟒
180
Varianza (2)
∑[𝒇 ∗ (𝑿𝒊 − 𝝁)𝟐 ]
𝝈 =
∑𝒇𝒐 𝑵
𝟐
Como en los datos no agrupados, otra forma de obtener las desviaciones en
valores positivos, es elevando al cuadrado las desviaciones del valor medio
respecto a su media.
Ejemplo: Tomando el caso anterior se tiene.
Paso uno: Se calcula la media (). Se obtienen las desviaciones de los valores
medios respecto a su media y se elevan al cuadrado: (Xi -
Ejemplo:
Número de
clase
1
2
3
4
Intervalos
Frecuencias
de clase
(f)
(puntaje)
42 - 46
2
47 - 51
9
52 - 56
31
57 - 61
50
Xi
fx
(Xi -
44
49
54
59
88
441
1674
2950
(-17.14)2 = 293.78
147.38
50.98
4.58
5
6
7
62 - 66
67 - 71
72 - 76
∑
51
30
7
64
69
74
∑(f*x)
180
8.18
61.78
165.38
3264
2070
518
11005
Paso dos: Se multiplica los valores elevados al cuadrado por su frecuencia: f* (Xi
Número de
clase
1
2
3
4
5
6
7
Intervalos
Frecuencias
de clase
(f)
(puntaje)
42 - 46
47 - 51
52 - 56
57 - 61
62 - 66
67 - 71
72 - 76
∑
2
9
31
50
51
30
7
180
Xi
fx
44
49
54
59
64
69
74
∑(f*x)
88
441
1674
2950
3264
2070
518
(Xi -
f*(Xi -
(-17.14)2 =
293.78
293.78*2=
587.56
147.38
50.98
4.58
8.18
61.78
165.38
1326.42
1580.38
229
417.18
1853.4
1157.66
7151.60
11005
Paso tres: Sustituyendo en la fórmula
𝜎2 =
𝝈𝟐 =
∑[𝑓 ∗ (𝑋𝑖 − 𝜇)2 ]
∑𝑓 𝑜 𝑁
7151.60
= 𝟑𝟗. 𝟕𝟑
180
Desviación Estándar (
∑[𝒇 ∗ (𝑿𝒊 − 𝝁)𝟐 ]
𝟐
√
√
𝝈= 𝝈 =
∑𝒇𝒐𝑵
La Desviación Estándar se define como la raíz cuadrada de la varianza.
Ejemplo: considerando el caso que se ha trabajado desde el comienzo de éste
tema (medidas de dispersión para datos agrupados) se presenta la siguiente tabla
Número de
clase
1
2
3
4
5
6
7
Intervalos
Frecuencias
de clase
(f)
(puntaje)
42 - 46
47 - 51
52 - 56
57 - 61
62 - 66
67 - 71
72 - 76
∑
2
9
31
50
51
30
7
Xi
fx
44
49
54
59
64
69
74
∑(f*x)
180
88
441
1674
2950
3264
2070
518
(Xi -
f*(Xi -
(-17.14)2 =
293.78
293.78*2=
587.56
147.38
50.98
4.58
8.18
61.78
165.38
1326.42
1580.38
229
417.18
1853.4
1157.66
7151.60
11005
Paso uno: Se siguen los pasos de la varianza
Paso dos: Se sustituye en la fórmula.
∑[𝒇 ∗ (𝑿𝒊 − 𝝁)𝟐 ]
𝝈 = √𝝈𝟐 = √
∑𝒇𝒐𝑵
𝛔 = √39.73 = √
7151.60
= 𝟔. 𝟑𝟎
180
Coeficiente de Variación (CV)
𝑪𝑽 =
𝑺
(𝟏𝟎𝟎)
̅
𝑿
Muchas veces una desviación estándar no dice mucho mientras no se compara
con otras medidas, ejemplo: No es lo mismo un 6.30 al porcentaje que representa
ese 6.30, es decir, no hay ninguna representación relativa.
El coeficiente de variación es el porcentaje que representa la desviación estándar
del promedio. La regla principal para interpretar el CV, es no olvidar que a mayor
coeficiente de variación es mayor la dispersión de los datos.
Ejemplo: Con una media de 61.14 para el caso anterior, una desviación estándar
de 6.30 se tiene que el coeficiente de variación es:
Sustituyendo en la fórmula
𝐂𝐕 =
6.30
(100) = 𝟏𝟎. 𝟑𝟎%
61.14
Éste resultado indica que para efectos de la población estudiada la variación
obtenida es del 10%.
Actividades de Aprendizaje
Atributo: Cuantifica, representa y contrasta la obtención de datos.
De la siguiente serie de ejercicios, obtener la Media poblacional, Desviación
Media, rango, varianza, Desviación Estándar y Coeficiente de Variación.
Interpretar el grado de dispersión relativa.
a. En un estudio realizado en una Escuela Oficial del nivel medio superior en el
Estado de México, sobre Coeficiente Intelectual (CI), se obtuvieron los
siguientes datos:
60
60
61
61
60
75
75
76
62
84
62
60
60
66
61
92
84
67
76
70
66
82
75
66
72
60
76
60
77
63
COEFICIENTE INTELECTUAL
72 68 81 68 72 60
64 98 82 60 85 60
72 60 60 72 75 65
68 60 72 78 60 91
68 88 60 62 72 60
65 60 72 60 72 82
64 60 73 88 95 60
60 65 63 63 62 95
64 72 68 60 60 75
60 62 71 78 60 60
60
71
60
60
60
60
60
60
106
67
74
67
60
60
63
76
76
60
60
74
71
60
80
64
89
78
69
60
60
60
Tabla 7
b.
En una colonia del Municipio de Nicolás Romero, se realizó un estudio
socioeconómico a personas adultas para otorgarles un apoyo del programa
gubernamental Oportunidades, las edades de las personas encuestadas
fueron las siguientes:
EDADES
73
48
63
48
60
47
57
75
44
69
58
77
64
51
73
49
66
49
47
61
72
59
56
79
52
68
57
58
54
71
65
61
56
66
45
62
53
44
56
61
62
54
74
55
49
77
53
73
52
65
66
57
44
60
54
55
60
57
51
64
Tabla 8
c.
La Profesora Pepita, educadora de preescolar preocupada por la
conducta de sus pequeños alumnos, realizó una encuesta a todas las
madres de familia para ver cuántas horas a la semana dedicaban a
conversar, convivir y realizar actividades de índole académica con sus
niños, los resultados son los siguientes:
21
21
20
20
19
18
MADRES E HIJOS
(Horas / Semana)
18 15 11 17 6
6 16 9 16 4
5 17 8 12 20
5 14 5 11 12
17 13 5 5 17
17 12 17 5 17
17
20
5
4
11
16
Tabla 9
d.
En un municipio del Estado de México se realizó una encuesta (no
oficial) sobre el número de hombres que son padres de familia y los
resultados ya agrupados fueron:
Edad de padres
de familia (años)
Número
15 - 24
22
25 - 34
40
35 - 44
50
45 - 54
104
55 - 64
94
65 - 74
66
75 - 84
41
Tabla 10
UNIDAD III
NOCIONES PRELIMINARES DE
PROBABILIDAD
(
INTRODUCCIÓN A LA
PROBABILIDAD
DEFINICIÓN DE
PROBABILIDAD
APLICACIONES ACTUALES DE
PROBABILIDAD
PROBABILIDAD
FRECUENCIAL
PROBABILIDAD
RELATIVA
PROBABILIDAD
ABSOLUTA
NOCIONES BÁSICAS DE
CONTEO
PRINCIPIO
FUNDAMENTAL
DE CONTEO
ESPACIO
MUESTRAL
U N I DA D I I I
NOCIONES PRELIMINARES DE
PROBABILIDAD
APRENDE DE
CATEGORÍAS
FORMA AUTÓNOMA
Aprende por iniciativa e
interés propio a lo largo
de la vida
Elige, construye y relaciona
enfoques probabilísticos
mediante el uso de la
tecnología
TRABAJA DE FORMA
COLABORATIVA
COMPETENCIA GENÉRICA
Participa y colabora de
manera efectiva en equipos
diversos
Conoce diferentes enfoques de
probabilidad
COMPETENCIA EXTENDIDA
Construye e interpreta sucesos
de conteo
Conforma conceptos
Cuantifica, representa y
contrasta sucesos distintos
Construye relaciones
Infiere y compara enfoques
probabilísticos
ATRIBUTOS
Construye diagramas, listas u
otras formas de espacio
muestral.
UNIDAD III
NOCIONES PRELIMINARES DE PROBABILIDAD
INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD
“Los sabios tienen las mismas ventajas sobre los ignorantes que los vivos sobre
los muertos”
Aristóteles (384 a.C. – 322 a.C.) Filósofo griego
En este apartado de la unidad III, conocerás, aprenderás y resolverás los
conceptos básicos de probabilidad, evento y las leyes que lo rigen en sucesos de
incertidumbre, en el contexto de la resolución de problemas y escenarios
didácticos aplicados en el área.
Definición de Probabilidad
El concepto de probabilidad refiere al medio por el cual las personas toman
decisiones sin la certeza de que ocurran sucesos (eventos para probabilidad), por
lo tanto se define como el estudio sistemático que permite incrementar el grado de
confianza que se puede tener en una decisión [Octavio Sánchez: 2004 p.164].
El objetivo de esta unidad, en donde se aborda el tema de Probabilidad, consiste
en cuantificar la incertidumbre que generan la mayoría de los eventos cotidianos.
Partiendo de la teoría del Inglés Lord Kelvin (1824 – 1907), poco se sabría de las
aplicaciones de la probabilidad si no se pudiera medir. Entre otros teóricos de la
probabilidad se tiene también a Pascal, Fermat, Leibniz, Laplace, Euler, Bernoulli,
entre otros.
Para medir la probabilidad (P) de los eventos (S) se utiliza la siguiente fórmula.
𝑃=
𝑛
𝑁
Donde:
P = Probabilidad
n = Número de eventos ocurridos
N = Total de eventos
Tipos de Probabilidad
El estudio de la probabilidad tiene varios enfoques, sin embargo, en la relación
que existe entre el número de resultado de éxito y el total de los resultados solo
puede ser estudiado de manera objetiva o subjetiva.
Probabilidad Objetiva (Po), supone que todos los eventos tienen la misma
probabilidad de ocurrencia, por ejemplo si en una bolsa ponemos 10 monedas de
$5.00, 3 monedas de $10.00 y 8 monedas de $2.00, la probabilidad de sacar una
moneda de $10.00 es:
𝑃𝑜($10.00) =
3
1
= = 0.1429
10 + 3 + 8 7
La regla para éste tipo de probabilidad indica que:
0 < P(S) > 1, es decir, la Probabilidad de un suceso debe estar entre 0 y 1, por lo
tanto los resultados siempre serán expresados en decimales.
Probabilidad Subjetiva (Ps), también llamada de juicio personal es una forma de
cuantificar la probabilidad de que ocurra cierto evento cuando ésta no es posible
de cuantificar de otra manera más confiable; la fórmula para ésta probabilidad de
eventos exitosos puede ser 0, 1, 2, … etc. por lo que la probabilidad siempre será
mayor que cero, es decir, P ≥ 0.
𝑃𝑠 =
𝑃𝑠($10.00) =
Por lo tanto 14.29 es > 0
𝑛
∗ 100
𝑁
3
∗ 100 = 14.29%
21
Regla General de Suma y multiplicación de probabilidades
Regla general de la suma de probabilidades
1. Para eventos mutuamente excluyentes:
P(A o B) = P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
2. Para eventos no excluyentes entre sí:
P(A o B) = P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A y B)
= P (A) + P (B) – P (A ∩ B)
3. Para eventos complementarios: P(A´ ) = 1 – P (A)
Regla general de la Multiplicación de Probabilidades
1. Para eventos independientes
P(A y B) = P (A ∩ B) = P (A) • P (B)
2. Para eventos dependientes
P(A y B) = P (A ∩ B) = P (A) • P (B⃒A)
P(A y B) = P (A ∩ B) = P (A) • P (A | B)
Eventos y tipos
Los eventos son importantes para el estudio de la probabilidad pues permite
cuantificar el grado de incertidumbre, es decir, obtener la probabilidad de
ocurrencia; y, por lo tanto, los eventos se convierten en una rama de la
probabilidad.
Un evento es el conjunto de resultados de un experimento, y por lo tanto un
subconjunto del espacio muestral.
Dentro de los conocimientos previos en el nivel medio superior se encuentra el
estudio del espacio muestral, conjuntos, subconjuntos de eventos aclarados y
abordados en la materia de Lógica y Aritmética, en los que se derivan otros
sucesos utilizando las operaciones indicadas.
Ejemplo:
¿Cuál es la probabilidad de un evento, de sacar una mula en unas fichas de
dominó?
La expresión del evento es:
P(E) = {0,0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 2,2; 2,3; 2,4; 2,5;
2,6; 3,3; 3,4; 3,5; 3,6; 4,4; 4,5; 4,6; 5,5; 5,6; 6,6}
El evento de ocurrencia de mulas en las fichas de dominó es:
P(E) = {0,0;1,1; 2,2; 3,3; 4,4; 5,5; 6,6}
Por lo tanto, la probabilidad de éste suceso es:
n = número de mulas = 7
N =número de fichas = 28
Sustituyendo en la fórmula
𝑃𝑜 =
𝑃𝑜 =
7
= 0.25
28
𝑃𝑠 =
𝑃𝑠 =
𝑛
𝑁
𝑛
∗ 100
𝑁
7
∗ 100 = 25%
28
Actividad de Aprendizaje
Infiere y compara enfoques probabilísticos
Recuperación de la información. Con tu propia terminología describe los
siguientes términos.
Término
Probabilidad
Incertidumbre
Relativo
Descripción
Evento
Parámetro
Interpretación de la Información. Las aportaciones a la teoría de la probabilidad
de los autores mencionados y elabora un cuadro comparativo donde expliques
sus aportaciones y la trascendencia de las mismas a nuestros tiempos.
Teórico
Aportación
Trascendencia
Agrega otros teóricos que han contribuido al fortalecimiento de la teoría
probabilística en la actualidad y compáralos con las posturas anteriores.
Aplicación de la información.
1) Investiga las aportaciones a la teoría de la probabilidad de los autores
mencionados.
2) Agrega otros teóricos que han contribuido al fortalecimiento de la teoría
probabilística en la actualidad.
Aplicaciones Actuales a la Probabilidad
Una de las primeras aplicaciones de la probabilidad fue en las ciencias actuariales,
que comprenden el estudio de seguros de vida, fondos de pensiones y problemas
relacionados. Otro uso importante de la probabilidad está en la estadística, la cual
penetra en una multitud de campos, tales como finanzas, economía, biología,
psicología y las ciencias sociales en general. El cálculo de probabilidades también
se emplea en la física y química modernas y en muchas ingenierías.5
Uno de los objetivos de éste libro en cuestiones de probabilidad está enfocado al
estudio de los trastornos alimenticios tales como la Bulimia, Anorexia o en el caso
extremo la Obesidad y Desnutrición; temas estudiados, analizados en estudios
Antropométricos en grupos de las Escuelas Preparatorias como se muestra en el
siguiente ejemplo.
RESULTADOS DEL CENSO DEL IMC EN LA EPOEM 148
Límite real inferior INTERVALOS Límite real superior
9.5
10-18
18.5
18.5
19-25
25.5
25.5
26-30
30.5
30.5
31-40
40.5
∑
f
2
22
9
1
34
Aplicando la probabilidad
Si obtenemos la probabilidad de alumnos con problemas de bajo peso tenemos
que:
El número de alumnos que presentan la ocurrencia de éste evento (n) es de 2 de
un total (N) de 34.
Sustituyendo en la fórmula
𝑃=
2
= 0.0588 ∗ 100 = 5.88%
34
El resultado anterior en decimales se multiplica por 100 para efecto de estudios
relativos, es decir, términos porcentuales. Para el caso de los alumnos de bajo
peso de la muestra tomada en la Tabla anterior, se tiene que el 5.88% de la
población estudiada presentan un IMC de bajo peso; la probabilidad de
5
Tomado de Lehmann, Charles H. Algebra. Editorial Limusa. México: 1986
desnutrición, trastornos alimenticios de estos alumnos es significativa aunque el
mayor porcentaje está en los parámetros normales.
Probabilidad Absoluta y Relativa
La probabilidad absoluta se define como el de veces que se presenta un evento al
realizar n pruebas, es decir, es el número de veces que aparece un suceso
cuando se repite un experimento aleatorio determinada cantidad de veces.
La probabilidad Relativa es la probabilidad absoluta entre el número de pruebas
realizadas y como se vio al inicio de la unidad es un tipo de la probabilidad objetiva
que al convertirse en términos porcentuales recibe el nombre de probabilidad
subjetiva.
Actividad de aprendizaje
Infiere y compara enfoques probabilísticos
Recuperación de la información. Completa el cuadro comparativo de los
diferentes tipos de probabilidad y su aportación en casos cotidianos.
Similitudes
diferencias
Aplicaciones
Relativa
Absoluta
Tipo de
Probabilidad
Aplicación de la Información. Expresa el evento y calcula las probabilidades de
los siguientes ejercicios.
1. El lanzamiento de dos dados:
a) Aparece al menos un 5 en la suma de los puntos
b) La suma de los puntos son números primos
c) La suma de los puntos es par
d) Las caras son iguales
e) El producto de los puntos es divisible entre 3
2. Que al extraer dos cartas de una baraja de 52 sean ases.
3. Las edades, sexo, al elegir una persona al azar del cuerpo docente o
personal de apoyo de tu escuela.
a) Menor de 35 años, y sea hombre
b) No sea miembro del cuerpo docente, mayor de 20 años.
c) Sea del personal de apoyo y tenga 40 – 45 años.
4. En una encuesta (no oficial) realizada a 200 adolescentes sobre
herramientas tecnológicas de almacenamiento, 110 tenían IPOD, 85 IPAD y
34 poseían ambas. ¿Qué tan probable es:
a) Tener solamente IPOD?
b) Tener solamente IPAD?
c) Contar con alguna fuente de almacenamiento?
d) No contar con alguna fuente?
5. Con los siguientes datos que se te presentan de las temperaturas más altas
registradas en una ciudad durante el mes de julio: 32, 31, 28, 29, 33, 32, 31,
30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33,
33, 29, 29, construye la tabla de frecuencias y frecuencias relativas.
xi
fi
fr
NOCIONES BÁSICAS DE CONTEO
Se define como técnicas de conteo a todas aquellas formas probabilísticas de
simplificación en el cálculo de elementos combinatorios.
En éste apartado te presentaremos de manera integrada las distintas técnicas que
permiten el cálculo de eventos con cierto grado de incertidumbre.
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO
Es aquél que establece que todos los posibles resultados en una situación dada
se pueden encontrar multiplicando el número de formas en la que puede suceder
cada evento.
Entre las diferentes formas que componen éste principio fundamental se
encuentra el Diagrama de árbol, el principio multiplicativo, aditivo, factoriales,
permutaciones y combinaciones.
Diagrama de árbol
Te has puesto a pensar ¿Cuántas palabras se pueden derivar de la palabra
MUSA?
Para obtener las posibles palabras derivadas es necesario ramificar o
descomponer la palabra raíz:
M
U
S
A
M
S
U
A
M
S
U
S
A
U
A
U
S
S
A
M
A
M
A
S
A
U
S
U
A
S
A
M
S
MUSA
MUAS
MSUA
MSAU
MAUS
MASU
UMSA
UMAS
USMA
USAM
UAMS
S
M
UASM
U
A
M
A
A
U
A
M
SMUA
SMAU
SUMA
SUAM
A
M
U
A
S
1ª Rama
2ª Rama
M
U
U
S
M
S
M
U
M
S
U
S
M
U
SAMU
SAUM
AMUS
AMSU
AUMS
AUSM
ASMU
U
M
ASUM
3er Rama
4ª Rama
En el ejemplo anterior, de la primera rama se obtienen 4 ramificaciones; en la
segunda 3 ramificaciones en la tercera 2 y en la cuarta 1; si multiplicamos las
cuatro ramas por las tres de la segunda, las dos de la tercera y una de la cuarta se
tiene: 4 x 3 x 2 x 1= 24 que coincide con la suma de las palabras derivadas en la
última columna del diagrama anterior.
Actividad de Aprendizaje
Construye diagramas, listas u otras formas de espacio muestral.
Recuperación de la información.
Elabora un comic, donde expliques la construcción de un Diagrama de Árbol
Aplicación de la Información.
Resuelve las actividades siguientes:
1) Elabora el diagrama de árbol con las cinco primeras letras de tu nombre y/o
apellido.
2) Los cuatro dígitos de tu número telefónico
3) La inicial de cada nombre de 5 compañeros
4) De las vocales de la palabra PREPARATORIA
5) Si en una caja hay 4 canicas, azúl, negra, roja y verde. Si se extraen de la
caja dos de ellas, ¿de cuántas formas pueden aparecer?
Principio Multiplicativo
El principio multiplicativo es el derivado del diagrama de árbol sin la elaboración
del diagrama y permite contar el numero de maneras en que se pueden realizar
dos eventos si el primero de ellos se puede efectuar de n maneras y el segundo
de m maneras, es decir, tener de “n x m” maneras.
Ejemplo:
¿cuántos números de tres dígitos se pueden formar con los números 1, 2, 3, 4, 5?
5
4
3
1ª forma
2ª forma
3ª forma
=
5x4x3= 60 maneras
posibles
C
d
u
Otro ejemplo sería cuando tenemos más de una manera de efectuar el principio
multiplicativo. Una persona tiene tres playeras: una blanca, una azul y una
amarilla, y dos pantalones uno de mezclilla y otro de mezclilla negro ¿De cuántas
formas posibles se puede vestir la persona?
Solución: para cada playera (total 3) se tienen dos pantalones por lo que se tiene:
3 x 2 = 6 maneras distintas de vestirse.
Principio Aditivo
Si se desea llevar a efecto una actividad, la cual tiene formas alternativas para ser
realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de m
maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de n maneras o formas
y la última de las alternativas puede ser realizada de w maneras o formas,
entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,
m + n + ………+ w maneras o formas
Ejemplo:
Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cual ha pensado que
puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando
acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta
en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede
ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se
presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y
puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta
en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo
hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una
lavadora?
Solución:
m = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool
n= Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy
w = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric
m = 2 x 4 x 2 = 16 maneras
n = 3 x 2 x 2 = 12 maneras
w = 1 x 2 x 1 = 2 maneras
m + n + w = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora.
Actividades de aprendizaje
Recuperación de la Información: Construye un algoritmo de 5 proposiciones
entre las que aparezca dos si (para continuar) y tres no para regresar a la
indicación de origen. Deben aparecer los pasos a seguir en el principio
multiplicativo y otro del principio aditivo por separado.
Aplicación de la información
Principio Aditivo y Multiplicativo
1. ¿Cuántas palabras de tres letras se pueden formar con cinco consonantes
y tres vocales de modo que cada palabra comience y termine en
consonante?
2. Determine el número de enteros de seis dígitos (que no comiencen con
cero) en los que
a. ningún dígito se pueda repetir.
b. se pueden repetir los dígitos.
3. Ana y María vieron a dos hombres alejarse en automóvil frente a una
joyería, justo antes de que sonara una alarma contra robos. Cuando fueron
interrogadas por la policía, las dos jóvenes dieron la siguiente información
acerca de la placa (que constaba de dos letras seguidas de cuatro dígitos).
María estaba segura de que la segunda letra de la placa era una O o una
Q, y que el último dígito era un 3 o un 8. Ana dijo que la primera letra de la
placa era una C o una G y que el primer dígito era definitivamente un 7.
¿Cuántas placas diferentes tendrá que verificar la policía?
4. Se tienen tres ciudades: Guadalajara, Guanajuato y Querétaro, donde se
puede ir de la primera a la segunda de cuatro maneras distintas, y de la
segunda a la tercera de tres maneras distintas. ¿De cuántas maneras
diferentes se puede ir de la ciudad A a la C
5. Se lanzan tres monedas ¿De cuántas maneras diferentes pueden caer?
6. Rafael Luna desea ir a las Vegas o a Disneylandia
en las próximas
vacaciones de verano, para ir a las Vegas él tiene tres medios de transporte
para ir de Chihuahua al Paso Texas y dos medios de transporte para ir del
Paso a las Vegas, mientras que para ir del paso a Disneylandia él tiene
cuatro diferentes medios de transporte, a) ¿Cuántas maneras diferentes
tiene Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia?, b) ¿Cuántas maneras
tiene Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia en un viaje redondo, si no se
regresa en el mismo medio de transporte en que se fue?.
7. Una persona desea construir su casa, para lo cuál considera que puede
construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto
o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe,
adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por
último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas
maneras tiene esta persona de construir su casa?
8. ¿Cuántas placas para automóvil pueden ser diseñadas si deben constar de
tres letras seguidas de cuatro números, si las letras deben ser tomadas del
abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9?, a. Si es posible
repetir letras y números, b. No es posible repetir letras y números, c.
Cuántas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D y
empiezan por el cero, d. Cuantas de las placas diseñadas en el inciso b
empiezan por la letra D seguida de la G.
9. ¿Cuántos números telefónicos es posible diseñar, los que deben constar de
seis dígitos tomados del 0 al 9?, a. Considere que el cero no puede ir al
inicio de los números y es posible repetir dígitos, b. El cero no debe ir en la
primera posición y no es posible repetir dígitos, c. ¿Cuántos de los números
telefónicos del inciso b empiezan por el número siete?, d. ¿Cuántos de los
números telefónicos del inciso b forman un número impar?
10. Una persona desea viajar a Morelia o Apatzingan, el tiene 2 medios para ir
de Lázaro a Uruapan y un medio para ir a Morelia, mientras que para ir a
Apatzingan hay otros 2 medios.
11. Una persona quiere comprar una tele de 2 marcas diferentes Panasonic y
Sony, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la tele Panasonic
esta en tres tipos de tamaño 32, 42,50 pulgadas, en dos colores diferentes
y puede ser en plasma o cristal liquido mientras que la tele Sony tiene dos
tipos de tamaño de pantalla 42,50 pulgadas, en un solo color y puede ser
en plasma o cristal liquido.
Factoriales
El factorial de un número ya sea entero o positivo es el producto de todos los
números naturales menores e iguales que él y se expresa como 𝑛! y se define
por:
𝑛! = 𝑛 (𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … 1
Ejemplo: Factorial de 4
4! = 4 x 3 x 2 x 1= 24
3!
Factorial de 7! =
6
5040
= 1.19 𝑥 10−3
Actividades de Aprendizaje
1. 2!
2. 8! =
9.
9!
4!(7−4)!
3. 7! 4! =
4.
5.
6.
7.
8.
10.
8!
=
0!
12!
(8−4)!
5!6!
(2!+4!)
6!7!
(3!+5!)
20
4!
=
10!
(10−9)!
1!
=
=
=
11. 0! =
=
=
Permutaciones (𝒏𝑷𝒓) y combinaciones (nCr)
Dentro del análisis de técnicas de conteo, aparecen dos conceptos clave: permutaciones y
combinaciones; el no entender la diferencia lleva a la confusión con mucha facilidad; por lo
tanto, es necesario definir lo que es una combinación y una permutación de tal forma que
entender la diferencia ayuda a decidir cuándo utilizar una combinación y cuando una
permutación al momento de querer cuantificar los elementos de algún evento.
La permutación es todo arreglo (r) de elementos en donde nos interesa el lugar o posición
que ocupa cada uno de ellos.
𝐧𝐂𝐫 =
𝑛!
(𝑛 − 𝑟)!
Donde:
n = total de elementos
r= arreglos
Combinación son aquellos arreglos (r) donde el orden de aparición es irrelevante y solo
interesan qué elementos están y cuáles no.
𝐧𝐂𝐫 =
𝑛!
𝑟! (𝑛 − 𝑟)!
Ejemplo: En una Preparatoria del Estado de México integrada por 12 grupos (1° A al 3° D), se
ha decidido con base a reglamento conformar la Sociedad de Alumnos que tiene como
principales representantes al Presidente, Secretario y Tesorero. Si en la asamblea se ha
acordado que los jefes de grupo sean los candidatos a conformar la terna, entonces:
a. ¿Cuántas mesas directivas con presidente, secretario y tesorero se pueden formar
entre ellos?
b. ¿Cuántos comités de trabajo de tres personas se pueden formar en la sociedad de
alumnos?
En el primer inciso se presenta un problema permutacional porque la sociedad de alumnos se
debe arreglar de manera diferente y si importa el orden de los tres cargos, es decir, la mesa
directiva puede quedar con 1A 1B 1C, que sería muy diferente a 1C 1A 1B.
Sustituyendo en la fórmula:
𝟏𝟎 𝐏𝟑
𝟏𝟎 𝐏𝟑
=
=
10!
(10 − 3)!
10! 3,628,800
=
= 720 𝑚𝑒𝑠𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠
7!
5040
O bien,
𝟏𝟎 𝐏𝟑
10! 10𝑥9𝑥8𝑥7!
=
= 10𝑥9𝑥8 = 720 𝑚𝑒𝑠𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠
7!
7!
=
Por principio multiplicativo
n=10
10 •
9 •
8
r=3
P
S
T
1 0 x 9 x 8 =720
Con la calculadora
Pasos:
1. Escribir el número total de elementos: 10
2. Shift
nPr
que en algunas calculadoras está encima de las teclas y en otras sobre el
tablero.
3. Escribir el número de arreglos: 3
4. La estructura en la pantalla de la calculadora se debe ver de la siguiente manera:
5. Finalmente oprimimos
la tecla
10P3
y el resultado dará
=
720
Combinaciones
Para dar respuesta al inciso b del planteamiento anterior, se trata de un problema
combinatorio. Sustituyendo en la fórmula.
𝐧𝐂𝐫 =
𝑛!
𝑟! (𝑛 − 𝑟)!
10C3=
10!
10!
10 𝑥 9 𝑥 8 𝑥 7!
=
=
3!(10-3)! 3! 7!
6 ∙ 7!
10C3=
720
6
= 120 combinaciones
Pasos para la calculadora
1. Escribir el número total de elementos: 10
2. Shift
nCr
que en algunas calculadoras está encima de las teclas y en otras sobre el
tablero.
3. Escribir el número de arreglos: 3
4. La estructura en la pantalla de la calculadora se debe ver de la siguiente manera:
5. Finalmente oprimimos
la tecla
10C3
y el resultado dará
=
120
Actividad de aprendizaje
Competencia Extendida Construye e interpreta sucesos de conteo
Recuperación de la información. Resuelve el siguiente vertigrama.
1. Técnica de conteo donde no importan los arreglos de elementos
2. Está representado por r y son los acomodos de un número de elementos.
3. Es el producto de todos los números naturales iguales que un número entero positivo.
4. Técnica de conteo donde si importan los arreglos de elementos
5. Representación simbólica de la permutación
6. Representación simbólica de la combinación
7. Este total es representada por la letra n
1
2
3
4
5
6
7
Aplicación de la información. Resolver los siguientes casos y comprobar resultados con la
calculadora.
Atributo: Cuantifica, representa y contrasta sucesos distintos
PERMUTACIONES
1. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?
2. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?
3. ¿Cuántos arreglos se obtiene de los números 1, 5, 7, 9, si sólo se consideran dos?
4. ¿De cuántas formas se arreglan tres cifras de los números 1, 2, 3, 4 y 5?
5. ¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares?
¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?
6 . Una mesa presidencial está formada por ocho personas, ¿de cuántas formas distintas se
pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?
7. Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de
química se colocan en un estante. De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si:
1. Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.
2. Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.
COMBINACIONES
1.
¿Cuántos abrazos se darán cinco personas reunidas?
2.
¿Cuántas combinaciones de parejas se obtienen de cuatro personas?
3.
En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos.
¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
4.
De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres
en tres?
5.
A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos
saludos se han intercambiado?
6.
¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para
asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?
Permutaciones con Repetición
Existen casos en el que el total de elementos contienen objetos repetidos por lo que dificulta
la determinación de las permutaciones. Para éstos casos se emplea la siguiente fórmula.
n𝑃𝑋1, 𝑋2…𝑋k
=
𝑛!
𝑋1! 𝑋2! … 𝑋k!
donde:
n =total de elementos
X = Objeto o variable repetida
k = último objeto repetido
Ejemplo:
Obtener las permutaciones de la palabra ESTUDIANTE
n = 10
X1 = E = 2
X2 = S = 1
X3 = T = 2
X4 = U = 1
X5 = D = 1
X6 = I = 1
X7 = A = 1
X8 = N = 1
Sustituyendo:
10𝑃𝑋1, 𝑋2…𝑋k
=
10!
2!1!2!1!1!1!1!1!
=
10!
2∙2
=
3,628,800
4
= 907,200
Permutaciones Circulares
En las permutaciones de
n elementos, son consideradas también las permutaciones
circulares, como por ejemplo ¿cómo acomodar a los jugadores en un partido de basquetbol
cuando uno de cada cuadro va a brincar por la pelota?
••
Para este tipo de problemas circulares se resuelve con la siguiente fórmula:
nPn
= (n - 1) !
Donde:
n = número de elementos
1 = elemento reemplazable
En este caso n = 8 porque son los jugadores por acomodar alrededor de dos centrales que
van a brincar.
Sustituyendo en la fórmula:
8P8
8P8
= (8 - 1) !
=7! = 5040 acomodos de los 8 jugadores alrededor de los centrales.
Actividad de aprendizaje
Competencia Extendida Construye e interpreta sucesos de conteo
Recuperación de la información. Elabora un cómic de todos los conceptos aprendidos en el
tema técnicas de conteo. Recuerda que los diálogos deben ser claros, precisos y concisos.
Aplicación de la información. Resolver los siguientes casos y comprobar resultados con la
calculadora.
Permutaciones con repetición
1. Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden
formar?
2. En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y
cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las
nueve banderas?
3. Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de
igual color no se distinguen entre sí, ¿de cuántas formas posibles pueden ordenarse?
4. En una urna hay 9 bolas, 3 blancas, 2 rojas y 4 negras. ¿De cuantas formas distintas
se pueden extraer las bolas de la urna?
5. En una competición deportiva participan 4 equipos de 3 atletas cada uno. ¿De cuántas
formas diferentes pueden llegar los equipos? A la hora de elaborar la clasificación por
equipos los atletas se consideran idénticos.
Permutaciones circulares
1. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa
redonda
2. Calcular las permutaciones circulares de 7 elementos.
3. ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar 6 personas en una mesa circular?
4. En la última cena Jesús cenó en una mesa circular con sus discípulos, ¿de cuantas
formas se sentaron?
ANEXOS
VALORES ABSOLUTOS
Obtenga los valores absolutos de:
1. |16-20|=
2. |-20+13|=
3. |-27+18|=
4. |-42-23|=
5. |16-4|=
6. |36-20|=
