TEORIA DE LAS PROBABILIDADES

ARITMETICA
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R
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TEORIA DE LAS PROBABILIDADES
Se refiere al estudio de azar y la incertidumbre en
cualquier situación que exista posibles sucesos
que puedan ocurrir. Se encarga de estudiar los
fenómenos aleatorios estocásticos, es decir un
comportamiento no determinístico.
DEFINICIONES BÁSICAS DE PROBABILIDAD
Antes de comenzar a calcular la probabilidad de
una situación cotidiana, es necesario definir
algunos términos importantes.
Experimentos aleatorios:
Llamamos experimentos aleatorios a aquellos
cuyos resultados no pueden predecirse antes de
su realización. Son experimentos que no dan
siempre el mismo resultado al repetirlos en las
mismas condiciones. Por ejemplo:
A: Tirar al aire un dado o una moneda
B: Predecir la duración de una conversación
telefónica.
C: Lanzar un proyectil hacia un blanco
determinado.
Los resultados de los ejemplos anteriores se
conocen como sucesos al azar o aleatorios, pero
hay sucesos que no son aleatorios o al azar, se
conocen como sucesos determinísticos o no
aleatorios. Por ejemplo:
a: Si se calienta suficientemente el agua, ésta
hierve.
b: Un cuerpo que se suelta a una cierta altura,
cae
c: El corcho flota en el agua
d: Una esfera maciza de plomo se hunde en el
agua.
A partir de ahora los sucesos aleatorios se
llamarán sucesos elementales, dado que solo se
hace referencia a experimentos aleatorios.
Suceso elemental: es el resultado de cada una de
las realizaciones del experimento aleatorio.
Sirviendo al pueblo de todo corazón ….
Espacio muestral (): es el conjunto de todos los
sucesos elementales.
Veamos los siguientes ejemplos:
1. Si se lanza una moneda al aire, el
experimento aleatorio consiste en tomar
nota de los resultados. Los sucesos
elementales son cara (c) o sello (s). Y el
espacio muestral se escribe:  = { c, s }.
n()=2
2. Al lanzar un dado y anotar el resultado de la
cara superior, se puede obtener los
siguientes sucesos elementales:
s1  
1 ; s2  2; s3  3;
s4  4; s5  5 ; s6  6
Por tanto, el espacio muestral
n()= 6
  1, 2,3, 4,5,6 .
es:
3. Se tiran dos monedas al aire y se anotan los
resultados. Los sucesos elementales son:
“obtener cara y cara” s1  c, c
“obtener cara y sello” s2  c, s 
“obtener sello y cara” s3  s, c 
“obtener sello y sello” s4  s, s 
Y
el
espacio
muestral
es:
   c, c  ;  c, s  ;  s, c  ;  s, s  . n()=4
Suceso: llamamos suceso a cualquier
subconjunto del espacio muestral.
Se dice que se ha producido el suceso A si el
resultado del experimento es un elemento de A.
Por ejemplo:
1. Al lanzar un dado, algunos sucesos son:
A: “obtener un número par”
B: “obtener un número primo”
C: “obtener un número impar menor que 5”
2. Al lanzar tres monedas, son sucesos:
A: “obtener al menos una cara”
B: “obtener como máximo un sello”
C: “obtener exactamente dos caras”
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Por tanto, cada suceso está compuesto por
varios sucesos elementales.
uno cuando es seguro que ocurra, si no va a
ocurrir su probabilidad es igual a cero.
0  P  A  1
Suceso imposible: es cualquier suceso que sea
igual al conjunto vacío   , es decir; un suceso
que no se produce nunca.
Suceso seguro: es cualquier suceso que sea igual
al espacio muestral; es decir, es el suceso que
ocurre siempre.
Algunos ejemplos de suceso imposible y suceso
seguro son:
1. En el lanzamiento de un dado es un suceso
imposible el obtener un número negativo; y
es un suceso seguro obtener un número
menor que 8.
2. En el lanzamiento de una moneda, obtener
cara y sello es un suceso imposible, y es un
suceso seguro el obtener cara o sello.
PROBABILIDAD
La probabilidad es un número que se asigna a
cada suceso.
La probabilidad de que ocurra un suceso A o un
evento A, viene dada por el número de veces en
que éste se repite (n(A)) entre el número de
casos posibles ( n() )
P  A 
n( A)
n ( )
Ejemplo: La probabilidad de que salga 2 al lanzar
1
 0.16
un dado es:
6
Ejemplo: La probabilidad de lanzar una moneda
1
y que caiga cara es:  0.5
2
PROPIEDADES BÁSICAS DE LA PROBABILIDAD
1.
La probabilidad de un suceso se encuentra
entre los valores cero y uno; toma este valor
Sirviendo al pueblo de todo corazón ….
P(A) = 0 ; si A es un evento imposible
P(A) = 1 ; si el evento A es un evento seguro
2.
Sea A un evento de un espacio muestral 
entonces; AC (complemento de A) se
conoce el evento de que no ocurra A
 
P AC  1  P A
P  A   P  AC   1
;
Ejemplo: Si el evento P(A) la probabilidad de que
un alumno apruebe el examen de matemáticas,
¿Cuál es la probabilidad de dicho alumno no
apruebe el examen de matemáticas?
P( A)  0.56  P( AC )  1  P( A)  1  0.56  0.44
Además se sabe que:
A  AC  
P  A  AC   P   


 
P A  AC  P A  P AC  1
Por tanto, P () = 1
ÁLGEBRA DE SUCESOS
Unión de dos sucesos:
Sean A y B dos
sucesos asociados a un determinado
experimento aleatorio. Llamaremos suceso
unión de A y B, simbólicamente A  B, al que se
verifica cuando, al menos se verifica uno de los
dos. Está formado por todos los sucesos
elementales de A y por todos los sucesos
elementales de B.
Intersección de dos sucesos: Sean A y B dos
sucesos asociados a un determinado
experimento aleatorio. Llamaremos suceso
intersección de A y B, simbólicamente AB, al
que se verifica cuando se verifican
simultáneamente los sucesos A y B. Está formado
por los sucesos elementales que están, a la vez,
en A y en B.
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Sucesos
incompatibles
(mutuamente
excluyentes): Dos sucesos A y B se dicen
incompatibles cuando A  B = Ø.
Designaremos por P () al conjunto de todos los
subconjuntos de , es decir al conjunto de todos
los posibles sucesos del espacio muestral.
Propiedades de la unión de sucesos:
1.-  A, B P ()  A  B  P ()
2.-  A, B, C  P()  A  ( B  C )  ( A  B)  C
3.-  A, B P ()  A  B  B  A
4.-  A  P ()  A  Ø = A
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B) Calcule la probabilidad que salga 2 y 3
P  A  B  = 0, ya que al ser conjuntos
mutuamente excluyentes la intersección no
existe, es imposible que salga 2 y 3 al mismo
tiempo.
2.- P( AC )  1  P( A)
Ejemplo: En el evento A (día nublado), P(A) = 0.3,
la probabilidad de tener un día despejado será 1P(A)=0.7
3.- Si A y B no son incompatibles, entonces:
5.-  A  P ()  A  A  
Propiedades de la intersección de sucesos:
1.-  A, B P ()  A  B  P ()
2.-  A, B, C  P ()  A  ( B  C )  ( A  B)  C
3.-  A, B P ()  A  B  B  A
4.-  A  P ()  A   = 
5.-  A  P ()  A  A  Ø
DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD
Dado un experimento aleatorio de espacio
muestral , se llama probabilidad a una
P : P ()  Ў que verifica los
aplicación:
axiomas siguientes:
1.  A P()  0  p ( A)  1
2.- p () = 1
3.-  A, B  P() tales que A∩B=Ø, se verifica
que P(A U B) = P(A) + P(B)
Consecuencias de la definición:
1.- Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes
se verifica que:
P( A  B)  P( A)  P( B)
Ejemplo: Al lanzar un dado:
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
Ejemplo: Se escoge una carta al azar de una
baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de
sacar :
A) un diamante
B) un diez
C) un diez de diamantes
D) un diamante o un diez
P ( A) 
13
;
52
P( B) 
P(C )  P( A  B) 
1
52
P( D)  P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)

13 4 1 16
 

 0.30769
52 52 52 52
5.- Si A  B  p(A)  p(B)
PROBABILIDAD CONDICIONADA
Sean A, B  P(), con p(A) ≠ 0. Llamaremos
probabilidad condicionada del suceso B respecto
del suceso A, y la denotaremos por P(B|A ), al
cociente siguiente:
a) cual es la probabilidad de que salga 2 o 3?
P  A  B 
1 1 1
   0.33
6 6 3
Sirviendo al pueblo de todo corazón ….
4
52
P( B | A) 
P( A  B)
P( A)
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Ejemplo: Si el evento A (lluvia) = 0.2 y el evento
B (nublado) = 0.3, cual es la probabilidad de que
llueva en un día nublado? Nota: no puede llover
si no hay nubes
P  A B 
P  A  B
P  B
=
0.2
 0.67
0.3
Propiedades de la probabilidad condicionada:
1.- P(A|A) = 1
2.- Si P(A) ≠ 0 y P(B) ≠ 0,
P(A∩B) = P(B|A)·P(A) =P(A|B)·P(B)
3.- Si A y B son incompatibles y no imposibles
P(A|B) = P(B|A) = 0
Sucesos estocásticamente independientes: Dos
sucesos A y B son independientes si y sólo si la
ocurrencia de uno de ellos no afecta los
resultados del otro; entonces se cumple:
P( A  B)  P( A)  P( B)
Ejemplo:
Se selecciona una muestra aleatoria n = 2 de un
lote de 100 unidades, se sabe que 98 de los 100
artículos están en buen estado. La muestra se
selecciona de manera tal que el primer artículo
se observa y se regresa antes de seleccionar el
segundo artículo (con reemplazo),
a) calcule la probabilidad de que ambos artículos
estén en buen estado
b) si la muestra se toma sin reemplazo, calcule la
probabilidad de que ambos artículos estén en
buen estado.
A: El primer artículo está en buen estado.
B: El segundo artículo está en buen estado.
a) Al ser eventos independientes el primero del
segundo:
Sirviendo al pueblo de todo corazón ….
 98   98 
P  A  B   P  A  P  B  = 

  0.9604
 100   100 
b) Si la muestra se toma “sin reemplazo” de
modo que el primer artículo no se regresa antes
de seleccionar el segundo entonces:
 98   97 
P  A  B   P  A  P  B A = 
     0.9602
 100   99 
Se observa que los eventos son dependientes ya
que para que para obtener el evento B, se tiene
que haber cumplido antes el evento A.