OPERACIONES CON DESIGUALDADES La proposiciones que utilizan los símbolos de comparación > Mayor que < Menor que ≥ Mayor o igual que ≤ Menor o igual que Se llaman desigualdades. 𝒂>𝟓 𝟑𝒂 ≤ 𝟏𝟐 𝒂+𝟕>𝟐 Las desigualdades cumplen con las siguientes propiedades de operación: 1. Se puede sumar un numero real a ambos lados de la desigualdad. 1.1 Si 𝒂 < 𝒃 y 𝒄 ∈ ℝ entonces 𝒂 + 𝒄 < 𝒃 + 𝒄 Ejemplo: 𝒂+𝟕<𝟒 Desigualdad 𝒂 + 𝟕 − 𝟕 < 𝟒 − 𝟕 Sumamos el número real −𝟕 𝒂 + 𝟎 < −𝟑 Se realizaron las operaciones aritméticas 𝒂 < −𝟑 Desigualdad equivalente o solución de la desigualdad 1.2 Si 𝒂 > 𝒃 y 𝒄 ∈ ℝ entonces 𝒂 + 𝒄 > 𝒃 + 𝒄 Ejemplo: 𝒂−𝟐>𝟗 𝒂 − 𝟐 + 𝟐 > 𝟗 +2 Desigualdad Sumamos el número real 2 𝒂 + 𝟎 > 𝟏𝟏 Se realizaron las operaciones aritméticas 𝒂 > 𝟏𝟏 Desigualdad equivalente o solución de la desigualdad 1.3 Si 𝒂 ≥ 𝒃 y 𝒄 ∈ ℝ entonces 𝒂 + 𝒄 ≥ 𝒃 + 𝒄 Ejemplo: 𝒂 − 𝟐 ≥ 𝟏𝟒 𝒂 − 𝟐 + 𝟐 ≥ 𝟏𝟒 +2 𝒂 + 𝟎 ≥ 𝟏6 𝒂 ≥ 𝟏𝟑 Desigualdad Sumamos el número real 𝟐 Se realizaron las operaciones aritméticas Desigualdad equivalente o solución de la desigualdad 1.4 Si 𝒂 ≤ 𝒃 y 𝒄 ∈ ℝ entonces 𝒂 + 𝒄 ≤ 𝒃 + 𝒄 Ejemplo: 𝒂+𝟖≤𝟏 𝒂+𝟖−𝟖≤𝟏−𝟖 Desigualdad Sumamos el número real −𝟖 𝒂 + 𝟎 ≤ −𝟕 Se realizaron las operaciones aritméticas 𝒂 ≤ −𝟕 Desigualdad equivalente o solución de la desigualdad 2. Se pueden sumar desigualdades que tiene el mismo sentido: < con <, > con >, ≥ con ≥ y ≤ con ≤. Nota: Por ejemplo, no se puede sumar < con ≥. 2.1 Si 𝒂 < 𝒃 y 𝒄 < 𝒅 entonces 𝒂 + 𝒄 < 𝒃 + 𝒅 Ejemplo: 𝒂 + 𝟑 < 𝟏𝟑 ; 𝒃+𝟏<𝟐 𝒂 + 𝟑 + 𝒃 + 𝟏 < 𝟏𝟑 + 𝟐 𝒂 + 𝒃 + 𝟒 < 𝟏𝟓 𝒂 + 𝒃 < 𝟏𝟏 Desigualdades Sumamos las desigualdades Se realizaron las operaciones aritméticas Se usó la propiedad 1.1 2.2 Si 𝒂 > 𝒃 y 𝒄 > 𝒅 entonces 𝒂 + 𝒄 > 𝒃 + 𝒅 Ejemplo: 𝒂 + 𝟐𝟎 > 𝟏𝟎 ; 𝒃−𝟓>𝟒 𝒂 + 𝟐𝟎 + 𝒃 − 𝟓 > 𝟏𝟎 + 𝟒 𝒂 + 𝒃 + 𝟏𝟓 > 𝟏𝟒 𝒂 + 𝒃 > −𝟏 Desigualdades Sumamos las desigualdades Se realizaron las operaciones aritméticas Se usó la propiedad 1.2 2.3 Si 𝒂 > 𝒃 y 𝒄 ≥ 𝒅 entonces 𝒂 + 𝒄 > 𝒃 + 𝒅 Ejemplo: 𝒂−𝟑>𝟓 ; 𝒃+𝟏≥𝟐 Desigualdades 𝒂−𝟑+𝒃+𝟏>𝟓+𝟐 Sumamos las desigualdades 𝒂+𝒃−𝟐>𝟕 Se realizaron las operaciones aritméticas 𝒂+𝒃>𝟓 Se usó la propiedad 1.2 2.4 Si 𝒂 < 𝒃 y 𝒄 ≤ 𝒅 entonces 𝒂 + 𝒄 < 𝒃 + 𝒅 Ejemplo: 𝒂+𝟗<𝟕 ; 𝒃 − 𝟏𝟒 ≤ −𝟕 Desigualdades 𝒂 + 𝟗 + 𝒃 − 𝟏𝟒 < 𝟕 − 𝟕 𝒂+𝒃−𝟓<𝟎 𝒂+𝒃<𝟓 Sumamos las desigualdades Se realizaron las operaciones aritméticas Se usó la propiedad 1.1 3. Se puede multiplicar una desigualdad por un número real positivo. 3.1 Si 𝒂 < 𝒃 y 𝒄 > 𝟎 entonces 𝒂𝒄 < 𝒃𝒄 Ejemplo: 𝒂<𝟕 𝟐 𝒂< 𝟐 𝟕 𝟐𝒂 < 𝟏𝟒 Desigualdad Se multiplicó por el número positivo 𝟐 Se realizaron las operaciones aritméticas 3.2 Si 𝒂 > 𝒃 y 𝒄 >0 entonces 𝒂𝒄 > 𝒃𝒄 Ejemplo: 𝒂 + 𝟑𝟎 > 𝟒𝟎 𝟓 𝒂 + 𝟑𝟎 > 𝟓 40 𝟓𝒂 + 𝟏𝟓𝟎 > 𝟐𝟎𝟎 𝟓𝒂 + 𝟏𝟓𝟎 − 𝟏𝟓𝟎 > 𝟐𝟎𝟎 − 𝟏𝟓𝟎 𝟓𝒂 > 𝟓𝟎 Desigualdad Se multiplicó por el número positivo 5 Se realizaron las operaciones aritméticas Propiedad 1.2 3.3 Si 𝒂 ≥ 𝒃 y 𝒄 > 𝟎 entonces 𝒂𝒄 ≥ 𝒃𝒄 Ejemplo: 𝒂 ≥ 𝟏𝟔 Desigualdad 𝟒 𝒂 ≥ 𝟒 16 Se multiplicó por el número positivo 4 𝟒𝒂 ≥ 𝟔𝟒 Se realizaron las operaciones aritméticas 3.4 Si 𝒂 ≤ 𝒃 y 𝒄 > 𝟎 entonces 𝒂𝒄 ≤ 𝒃𝒄 Ejemplo: 𝒂+𝟐≤𝟔 𝟑 𝒂+𝟐 ≥ 𝟑 6 𝟑𝒂 + 𝟔 ≥ 𝟔𝟒 𝟑𝒂 + 𝟔 − 𝟔 ≥ 𝟔𝟒 − 𝟔 𝟑𝒂 ≥ 𝟓𝟖 Desigualdad Se multiplicó por el número positivo 4 Se realizaron las operaciones aritméticas Propiedad 1.3 Desigualdad equivalente 4. Si se multiplica una desigualdad por un número real negativo se invierte el sentido de la desigualdad. 4.1 Si 𝒂 < 𝒃 y 𝒄 < 𝟎 entonces 𝒂𝒄 > 𝒃𝒄 Ejemplo: 𝒂−𝟏<𝟖 Desigualdad −𝟔 𝒂 − 𝟏 > −𝟔 8 Se multiplicó por el número negativo -6 −𝟔𝒂 + 𝟔 > −𝟒𝟖 Se realizaron las operaciones aritméticas −𝟔𝒂 + 𝟔 − 𝟔 > −𝟒𝟖 − 𝟔 −𝟔𝒂 > −𝟓4 Propiedad 1.2 Desigualdad equivalente 4.2 Si 𝒂 > 𝒃 y 𝒄 <0 entonces 𝒂𝒄 < 𝒃𝒄 Ejemplo: 𝒂 + 𝟐𝟓 >5 Desigualdad −𝟐 𝒂 + 𝟐𝟓 < −𝟐 5 Se multiplicó por el número negativo - 2 −𝟐𝒂 − 𝟓𝟎 < −𝟏𝟎 Se realizaron las operaciones aritméticas −𝟐𝒂 − 𝟓𝟎 + 𝟓𝟎 < −𝟏𝟎 +50 −𝟐𝒂 < 𝟒𝟎 Propiedad 1.1 Desigualdad equivalente 4.3 Si 𝒂 ≥ 𝒃 y 𝒄 < 𝟎 entonces 𝒂𝒄 ≤ 𝒃𝒄 Ejemplo: 𝒂+𝟖≥𝟒 Desigualdad −𝟕 𝒂 + 𝟖 ≤ −𝟕 4 Se multiplicó por el número negativo - 7 −𝟕𝒂 − 𝟓𝟔 ≤ −𝟐𝟖 Se realizaron las operaciones aritméticas −𝟕𝒂 − 𝟓𝟔 + 𝟓𝟔 ≤ −𝟐𝟖 + 𝟓𝟔 −𝟕𝒂 ≤ 𝟐𝟖 Propiedad 1.1 Desigualdad equivalente 4.4 Si 𝒂 ≤ 𝒃 y 𝒄 < 𝟎 entonces 𝒂𝒄 ≥ 𝒃𝒄 Ejemplo: 𝒂 + 𝟔𝟔 ≤ 𝟔 Desigualdad −𝟐 𝒂 + 𝟔𝟔 ≥ −𝟐 6 Se multiplicó por el número negativo - 2 −𝟐𝒂 − 𝟏𝟑𝟐 ≥ −𝟏𝟐 Se realizaron las operaciones aritméticas −𝟐𝒂 − 𝟏𝟑𝟐 + 𝟏𝟑𝟐 ≥ −𝟏𝟐 + 𝟏𝟑𝟐 −𝟐𝒂 ≥ 𝟏𝟐𝟎 Propiedad 1.4 Desigualdad equivalente 5. Desigualdad de inverso de números positivos. 𝟏 𝒂 Si 𝒂 > 𝟎 y 𝒃 > 𝟎 y 𝒂 < 𝒃, entonces > Ejemplo: 𝟓<𝟗 𝟏 𝟏 𝟓< 𝟗 𝟓 𝟓 𝟗 𝟏< 𝟓 𝟏 𝟏 𝟗 𝟏< 𝟗 𝟗 𝟓 𝟏 𝟏 < 𝟗 𝟓 𝟏 𝒃 Desigualdad Propiedad 3.1 Se realizaron las operaciones aritméticas Propiedad 3.1 Se realizaron las operaciones aritméticas 6. Desigualdad de inverso de números negativos. 𝟏 𝒂 Si 𝒂 < 𝟎 y 𝒃 < 𝟎 y 𝒂 < 𝒃, entonces > Ejemplo: −𝟖 < −𝟐 𝟏 𝟖 𝟏 −𝟖 < 𝟖 Desigualdad −𝟐 𝟐 −𝟏 < − 𝟖 𝟏 𝟐 𝟏 −𝟏 < 𝟐 𝟏 𝟏 < −𝟐 −𝟖 𝟏 𝒃 Propiedad 3.1 Se realizaron las operaciones aritméticas 𝟐 − 𝟖 Propiedad 3.1 Se realizaron las operaciones aritméticas 7. Dividir una desigualdad entre otra con números positivos y signo opuesto. 𝒂 𝒄 Si 𝒂 < 𝒃 y 𝒄 > 𝒅 > 𝟎 entonces < Ejemplo: A. 𝒂 < 𝟗 ; 𝐜>𝟐 𝒂 𝟗 < 𝒄 𝟐 B. 𝒂 > −𝟓 ; 𝒂 𝟓 >− 𝒄 𝟒 𝟎<𝒄<𝟒 𝒃 𝒅
