Texto guia de ingenieria antisismica1.1

Texto Guía
de
Ingeniería Antisísmica
Facultad:
Ciencias y Tecnología
Carrera:
Ingeniería Civil
Autores:
Ivan Richard Goytia Torrez
Rolando Villanueva Inca
Tutor:
Ingeniero Felipe Ramiro Saavedra A.
Agradecimientos
A Dios.
A nuestras familias por su cariño y respaldo
incondicional.
Al ingeniero Ramiro Saavedra por su apoyo
durante la elaboración y culminación del
proyecto.
FICHA TECNICA
TÍTULO
FECHA
“Modernización de la Enseñanza
Aprendizaje en la Asignatura de
Ingeniería Antisísmica”
AUTORES
Agosto, 2001
CARRERA
Ivan Richard Goytia Torrez
Rolando Villanueva Inca
Ingeniería Civil
COMPENDIO
Se cubren los conceptos generales de sismología, dinámica estructural y diseño. Se
desarrollan métodos de cálculo sobre algunos casos prácticos. Se desarrolla el cálculo
dinámico lineal y el análisis modal para estudiar su aplicación dentro del contexto de
la Norma sísmica, haciendo hincapié en su aplicación práctica. Plasmando la
información necesaria para diseño de estructuras sismorresistentes, que engloba los
aspectos más prácticos y didácticos. Se tiene también una serie de ejercicios al final de
cada capítulo los cuales ayudan una mejor comprensión de cada unidad.
CONTENIDO
Capítulo 1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
Conceptos Básicos de Sismología
Causas de los Sismos
1.2.1 Tectónica de Placas
1.2.2
Sismos de Origen Tectónico
Fallas Geológicas
1.3.1
Definición
1.3.2
Tipos de Falla
Ondas Sísmicas
1.4.1 Ondas de Cuerpo
1.4.2 Ondas Superficiales
Instrumentos de Medición y Registros Sísmicos
1.5.1 Sismómetro
1.5.2 Acelerómetro
Medidas de los Sismos
1.6.1 Magnitud
1.6.2 Intensidad
1.6.3 Relación entre Escala de Intensidad y Medida
Capítulo 2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
SISMICIDAD Y AMENAZA REGIONAL
Actividad Sísmica de una Región
2.1.1 Geología Regional
2.1.2 Mapas de Eventos Sísmicos
2.1.3 Estudios de Liberación de Energía
2.1.4 Estudios de Probabilidad Sísmica
Efectos de los Sismos
Respuesta del Sitio a Sismos
Historia de los Sismos
Consecuencias de los Sismos
Estudios de Riesgo Sísmico Local y Nacional
Sismo de Diseño
Capítulo 3
3.1
3.2
3.3
3.4
CARACTERÍSTICAS DE LOS SISMOS
CONCEPTOS GENERALES EN EL ANÁLISIS DINÁMICO
Estructura Simple
Grados de Libertad
Sistema Linealmente Elástico
Amortiguamiento
3.4.1 Mecanismos de Disipación
3.4.2 Fuerza de Amortiguamiento
1
1
2
2
5
6
6
7
8
8
9
10
11
11
12
12
12
12
14
14
14
14
15
16
16
16
17
17
19
23
24
24
24
25
26
26
26
3.5
3.6
Ecuación de Movimiento
3.5.1 Segunda ley de Newton
3.5.2 Equilibrio Dinámico
3.5.3 Componentes de Masa, Amortiguamiento y Rigidez
Ecuación de Movimiento: Excitación Sísmica
Capítulo 4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Teoría General de Vibraciones
Definición
Vibración Libre no Amortiguada
Vibración Libre con Amortiguamiento Viscoso
4.4.1 Tipos de Movimiento
4.4.2 Sistema Subamortiguado
Ejemplos
Capítulo 5
5.1
5.2
5.3
5.4
RESPUESTA A CARGA DINÁMICA GENERAL
Integral de Duhamel.
Integral de Duhamel para un Sistema no Amortiguado.
Integral de Duhamel para un Sistema Amortiguado.
Evaluación Numérica de la Respuesta Dinámica
Ejemplos
Capítulo 8
8.1
MOVIMIENTO FORZADO CARGA IMPULSIVA
Introducción
Carga Impulsiva Rectangular
Carga Impulsiva Triangular
Carga Impulsiva Tipo Sinoidal
Respuesta al Movimiento del Suelo.
Análisis Aproximado de Respuesta para Carga Impulsiva.
Ejemplos
Capítulo 7
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
VIBRACIÓN FORZADA CARGA ARMÓNICA
Justificación
Sistema no Amortiguado con Carga Armónica
5.2.1 Ecuación de Movimiento
5.2.2 Resonancia
Sistema Amortiguado con Carga Armónica
5.3.1 Ecuación de Movimiento
5.3.2 Resonancia
5.3.3 Deformación Máxima
5.3.4 Factores de Respuesta Dinámica
5.3.5 Frecuencia Resonante y Respuesta Resonante
Ejemplos
Capítulo 6
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
VIBRACIÓN LIBRE
RESPUESTA SÍSMICA A SISTEMAS LINEALES
Movimiento del Suelo.
26
27
27
27
28
30
30
31
31
33
33
34
36
41
41
41
41
43
45
45
46
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51
56
56
56
58
59
61
62
64
71
71
72
73
73
76
82
82
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
Respuesta Dinámica de la Estructura
Ecuación de Movimiento
Espectro de Respuesta
8.4.1 Cantidades de Respuesta
8.4.2 Histograma de Respuesta
8.4.3 Concepto del Espectro de Respuesta
8.4.4 Espectro de Respuesta de Deformación
8.4.5 Espectro de Respuesta de Seudo Velocidad
8.4.6 Espectro de Respuesta de Seudo Aceleración
8.4.7 Espectro de Respuesta Combinado D-V-A
8.4.8 Construcción del Espectro de Respuesta
Características del Espectro de Respuesta
Espectro Elástico de Diseño
8.6.1 Construcción del Espectro de Diseño
Capítulo 9
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
9.8
RESPUESTA SÍSMICA A SISTEMAS NO LINEALES
82
82
83
83
83
86
86
86
87
87
88
88
90
92
94
Introduccion.
94
Relación Fuerza-Deformación
95
9.2.1 Idealización Elastoplástica
95
9.2.2 Sistema Lineal Correspondiente
96
Esfuerzo de Fluencia Normalizado, Factor de Reducción de Fluencia y Factor de Ductilidad. 97
Ecuación de Movimiento y Parámetros de Control
97
Efectos de Fluencia
99
Espectro de Respuesta para Deformación de Fluencia y Esfuerzo de Fluencia
103
9.6.1 Definiciones
103
9.6.2 Esfuerzo de Fluencia para una Ductilidad Especifica
103
9.6.3 Construcción del Espectro de Respuesta con Ductilidad Constante
103
Esfuerzo de Diseño y Deformación a partir del Espectro de Respuesta
105
Esfuerzo de Fluencia de Diseño
105
Capítulo 10
SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
10.1
10.2
10.3
10.4
Introducción
Ecuación de Movimiento
Respuesta Dinámica: Análisis Modal
Método Matricial
10.4.1 Matriz Modal y Espectral
10.4.2 Ortogonalidad de los Modos
10.4.3 Normalización de los Modos
10.4.4 Factor de Participación
10.5 Método Numérico
10.6 Método Iterativo
10.7 Ejemplos
Capítulo 11
107
107
107
109
109
111
112
113
113
114
115
117
CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN SISMO RESISTENTE EN EDIFICIOS 135
11.1 Introducción
11.2 Requisitos de Configuración
11.2.1 Configuración en Elevación
11.2.2 Configuración en Planta
11.2.3 Poco Peso
11.2.4 Hiperestaticidad
135
135
136
137
139
139
11.2.5 Columna Fuerte, Viga Débil
11.3 Sistemas Estructurales
11.3.1 Sistema de Muros Portantes
11.3.2 Sistemas de Estructuras de Edificación
11.3.3 Sistema de Pórtico Resistente a Momentos
11.3.4 Sistema Doble (Dual)
11.4 Selección del Método de Análisis
Capítulo 12
MÉTODO DE LA FUERZA HORIZONTAL EQUIVALENTE
140
140
140
141
141
141
141
143
12.1 Determinación de las Fuerzas Laterales
12.1.1 Factor de Zona Sísmica
12.1.2 Coeficiente de Respuesta del Terreno
12.1.3 Tipo de Perfil del Suelo
12.1.4 Tipo de Lugar de Origen del Sismo
12.1.5 Factor de Cercanía a la Fuente de Origen
12.1.6 Periodo Fundamental
12.1.7 Amortiguamiento y Ductilidad
12.1.8 Factor de Modificación de Respuesta
12.1.9 Factor de Importancia
12.1.10 Coeficiente de Respuesta Sísmica
12.1.11 Carga Muerta Sísmica
12.1.12 Procedimiento de la Fuerza Lateral Equivalente
12.2 Estructuras de Varios Niveles
12.2.1 Distribución Vertical de la Fuerza Sísmica
12.2.2 Volcamiento
12.2.3 Efecto P-Delta
12.2.4 Desplazamientos de Piso
12.2.5 Cargas en los Diafragmas
12.3 Fuerza Cortante Basal para el Diseño Simplificado
12.3.1 Fuerza Cortante Basal
12.3.2 Distribución Vertical
12.3.3 Calculo de los Desplazamientos de Piso
12.3.4 Determinación de la Carga Sobre los Diafragmas
12.4 Combinaciones de Carga
12.4.1 Combinaciones de Carga Utilizando el Diseño por Resistencia
12.4.2 Combinaciones de Carga Utilizando el Diseño de Esfuerzo Admisible
12.5 Torsión
12.5.1 Momento Torsor
12.5.2 Centro de Masas y Centro de Rigideces
12.5.3 Efectos de la Torsión
12.6 Tablas
12.7 Ejemplos
143
143
144
144
144
144
144
146
147
147
147
148
148
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149
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154
154
154
155
155
155
158
159
159
160
161
162
168
Capítulo 13
175
13.1
13.2
13.3
13.4
MÉTODO DINÁMICO SUPERPOSICIÓN MODAL
Introducción
Ventajas del Análisis Modal
Procedimiento del Análisis Modal
Análisis Espectral
13.4.1 Numero de Modos
13.4.2 Combinación de Modos
13.4.3 Efectos de Dirección
13.4.4 Torsión
13.4.5 Sistemas Dobles
13.5 El Análisis por Historia del Tiempo (Cronológico)
175
175
175
177
177
178
178
178
178
178
13.6 Simulador Estructural.
13.6.1 Análisis de Eigenvectores
13.6.2 Análisis del Vector de Ritz
13.6.3 Resultados del Análisis Modal
13.6.4 Análisis del Espectro de Respuesta
13.6.5 Resultados del Análisis del Espectro de Respuesta
13.7 Ejemplos
Capítulo 14
DISEÑO SÍSMICO DE ESTRUCTURAS DE CONCRETO
179
179
181
181
182
184
186
198
14.1 Introducción
14.2 Cargas de Diseño
14.3 Pórticos Especiales Resistentes a Momentos
14.3.1 Diseño por el Método de la Resistencia
14.3.2 Resistencia y Ductilidad de Secciones a Flexión
14.3.3 Detalles Sismorresistentes para Vigas
14.3.4 Detalles Sismorresistentes para Columnas
14.3.5 Unión Viga-Columna
14.4 Muros de Corte
14.4.1 Resistencia al Corte
14.4.2 Muros de Corte para Cargas a Flexión y Axiales
14.5 Ejemplos
198
198
199
199
204
208
210
212
213
213
213
216
Referencias
Direcciones de Internet
Direcciones de Universidades en Internet
232
Apéndice
229
231
233
NOTACIÓN
Capítulo
3
c
DOF
fD
fI
fS
k
m
p(t)
peff(t)
u
ú
ü
u’(t)
ug(t)
üg(t)
Coeficiente de amortiguamiento, [fuerza · tiempo/longitud].
Grado de libertad, definido como el número de enlaces de un nudo que se puede mover dentro
de una estructura espacial.
Fuerza de amortiguamiento.
Fuerza de inercia.
Fuerza elástica.
Factor de rigidez, [fuerza/longitud].
Masa, [fuerza/aceleración]
Fuerza externa.
Fuerza sísmica efectiva.
Desplazamiento.
Velocidad.
Aceleración.
Desplazamiento total de la masa.
Desplazamiento del suelo.
Aceleración del suelo.
Capítulo
4
ccr
fn
j
TD
Tn
u(0)
ú(0)
u0
δ
ωD
ωn
ξ
φ
Coeficiente de amortiguamiento critico.
Frecuencia cíclica natural, expresada en ciclos por segundo, [Hertz].
Número de ciclos.
Período natural de vibración amortiguada, [seg.].
Período natural de vibración.
Desplazamiento en tiempo cero.
Velocidad en tiempo cero.
Amplitud de movimiento.
Decremento logarítmico de desplazamiento.
Frecuencia natural de vibración amortiguada, [rad/seg].
Frecuencia circular natural, [rad/seg].
Razón o relación de amortiguamiento.
Ángulo de fase
Capítulo
5
p0
Rd
Rv
Ra
ust(t)
Amplitud de fuerza.
Factor de respuesta de deformación.
Factor de respuesta de velocidad.
Factor de respuesta de aceleración.
Deformación estática en cada instante de tiempo.
(ust)0
uj
ω
Máximo valor de la deformación estática, deformación estática debido a la amplitud de fuerza.
Desplazamiento pico después de j ciclos de vibración del sistema.
Frecuencia de excitación, [rad/seg].
Capítulo
6
I
Rd
t1
Δú
ω
Magnitud del impulso
Factor de respuesta de deformación.
Tiempo de duración de la fase de excitación, [seg]
Variación de la velocidad
Frecuencia de excitación, [rad/seg].
Capítulo
7
I
Rd
t1
Δú
ω
Magnitud del impulso
Factor de respuesta de deformación.
Tiempo de duración de la fase de excitación, [seg]
Variación de la velocidad
Frecuencia de excitación, [rad/seg].
Capítulo
8
A
D
Mb
ug0
úg0
üg0
V
Vb
αA, αV,αD
Aceleración espectral
Deformación máxima, similar a u0
Momento volcador
Desplazamiento pico del suelo durante un sismo
Velocidad pico del suelo durante un sismo
Aceleración pico del suelo durante un sismo
Velocidad espectral o seudo velocidad pico
Cortante basal
Factores de amplificación
Capítulo
9
ay
Dy
f0
fS
fy
⎯fy
Ry
u0
um
up
uy
μ
Aceleración de la masa para producir la fuerza de fluencia fy.
Deformación de fluencia, (uy), de un sistema elastoplástico distinto a um.
Fuerza resistente del sistema lineal correspondiente, similar a fs0.
Fuerza elástica.
Fuerza de fluencia.
Esfuerzo de fluencia normalizado.
Factor de reducción de fluencia.
Deformación pico del sistema lineal correspondiente.
Desplazamiento máximo del sistema elastoplástico.
Deformación permanente.
Deformación de fluencia
Factor de ductilidad.
Capítulo
10
[C]
{FD}
{FI}
{FS}
[K]
Matriz de amortiguamiento.
Vector de fuerzas de amortiguamiento.
Vector de fuerzas de inercia.
Vector de fuerzas elásticas.
Matriz de rigidez.
[M]
MDF
ME
Mi
P
{U}
{Ú}
{Ü}
V
WE
[Φ]
[Ω2]
φn
Matriz de masas.
Sistema de varios grados de libertad.
Masa efectiva.
Masa correspondiente al nivel i.
Factor de participación.
Vector de desplazamiento.
Vector de velocidad.
Vector de aceleración.
Cortante basal.
Peso efectivo.
Matriz modal.
Matriz espectral.
Forma modal o eigenvector correspondiente al modo n.
Capítulo
12
Ca, Cv
Cs
fi
Ft
Fx
hn
I
Mpi
Msi
Na, Nv
R
ri
SA, SB, SC,
SD, SE, y SF
V
V’
VE
VS
W
wi
Z
Coeficientes de respuesta del suelo.
Coeficiente de respuesta sísmica.
Fuerza lateral en el nivel i.
Fuerza en la parte superior de la estructura que considera el efecto de los modos altos.
Fuerza lateral que actúa sobre un nudo en particular.
Altura en metros, medida desde la base, del piso más alto del edificio.
Factor de importancia.
Momento primario del nivel en consideración.
Momento secundario del nivel en consideración.
Factor de cercanía a la fuente de origen.
Factor de modificación de respuesta.
Relación del esfuerzo cortante del elemento - piso.
δi
φi
θi
ρ
Tipos de perfil de suelo.
Cortante basal.
Cortante basal modal.
Cortante basal desarrollada en una estructura ideal completamente elástica.
Cortante basal de diseño.
Carga muerta sísmica.
Carga muerta del nivel i.
Factor de zona sísmica.
Desplazamiento horizontal en el nivel i debido a la fuerza fi.
Componente de la forma modal en el nivel i para un modo dado.
Índice de estabilidad.
Factor de confiabilidad o redundancia.
Capítulo
13
Sa
Sv
Aceleración espectral
Velocidad espectral
Capítulo
14
Ach
Área transversal de un elemento estructural, medida de extremo a extremo del acero de refuerzo
transversal, [cm2].
Área total de la sección, [cm2].
Área efectiva de la sección transversal dentro de la unión, en un plano paralelo al plano de
refuerzo que genera cortante en la unión.
Ag
Aj
Ash
b
bw
D
d
db
E
f’c
fy
hc
hw
L
ld
ldh
lo
lw
Mpr
s
Vc
Ve
Vn
Vu
W
ρ
φ
Área total transversal del acero de refuerzo transversal (incluyendo horquillas) dentro del
espaciamiento, s, y perpendicular a la dimensión hc.
Ancho efectivo del patín de compresión de un elemento estructural, [cm]
Ancho del alma o diámetro de la sección circular, [cm]
Carga muerta.
Peralte efectivo de la sección.
Diámetro del refuerzo longitudinal.
Carga sísmica.
Resistencia especificada a la compresión del concreto, [kg/cm2].
Resistencia especificada a la fluencia del acero de refuerzo, [kg/cm2].
Dimensión transversal del núcleo de la columna medida centro a centro del refuerzo confinante.
Altura del muro considerado.
Carga viva.
Longitud de desarrollo de una varilla recta.
Longitud de desarrollo de un varilla con gancho estándar.
Longitud mínima, medida desde la cara de la unión a lo largo del eje del elemento estructural,
sobre la que debe proporcionarse refuerzo transversal, [cm].
Longitud de todo el muro considerado en dirección de la fuerza cortante.
Momento probable resistente del elemento, con o sin carga axial determinada usando las
propiedades de los elementos en las caras de las uniones, suponiendo una resistencia a la
tensión en el refuerzo longitudinal de al menos 1.25 fy, y un factor de reducción de resistencia φ
de 1.0
Espaciamiento del refuerzo transversal medido a lo largo del eje longitudinal del elemento
estructural, [cm].
Resistencia nominal al cortante, proporcionada por el concreto.
Fuerza cortante de diseño.
Resistencia nominal al cortante.
Fuerza cortante factorizada en la sección.
Carga de viento.
Cuantía de refuerzo de tensión = As / bd.
Factor de reducción de resistencia.
Capítulo 1
CARACTERÍSTICAS DE LOS SISMOS
1.1
CONCEPTOS BÁSICOS DE SISMOLOGÍA
Las definiciones siguientes corresponden a algunos de los términos más utilizados en sismología:
Sismo, temblor o terremoto: Vibraciones de la corteza terrestre inducidas por el paso de las ondas sísmicas
provenientes de un lugar o zona donde han ocurrido movimientos súbitos de la corteza terrestre (disparo sísmico
o liberación de energía).
Sismología: Es la ciencia y estudio de los sismos, sus causas, efectos y fenómenos asociados.
Sismicidad: Es la frecuencia de ocurrencia de sismos por unidad de área en una región dada. A menudo esta
definición es empleada inadecuadamente, por lo que se define en forma más general como “la actividad sísmica
de una región dada”, esta última definición implica que la sismicidad se refiere a la cantidad de energía liberada
en un área en particular.
Amenaza Sísmica: Es el valor esperado de futuras acciones sísmicas en el sitio de interés y se cuantifica en
términos de una aceleración horizontal del terreno esperada, que tiene una probabilidad de excedencia dada en un
lapso de tiempo predeterminado.
Microzonificación sísmica: División de una región o de un área urbana en zonas más pequeñas, que presentan un
cierto grado de similitud en la forma como se ven afectadas por los movimientos sísmicos, dadas las
características de los estratos de suelo subyacente.
Fallas geológicas: Ruptura, o zona de ruptura, en la roca de la corteza terrestre cuyos lados han tenido
movimientos paralelos al plano de ruptura.
Ondas sísmicas: Son vibraciones que se propagan a través de la corteza terrestre causadas por la repentina
liberación de energía en el foco.
Acelerograma: Descripción en el tiempo de las aceleraciones a que estuvo sometido el terreno durante la
ocurrencia de un sismo real.
Sismograma: Es un registro del movimiento sísmico y mide la magnitud de los sismos.
Aceleración pico del suelo: Es la aceleración máxima de un punto en la superficie alcanzada durante un sismo,
expresada como fracción de la gravedad (g).
2
Características de los sismos
Licuación: Respuesta de los suelos sometidos a vibraciones, en la cual estos se comportan como un fluido denso
y no como una masa de suelo húmeda.
Epicentro: Punto que se encuentra en la superficie de la tierra inmediatamente por encima del foco.
Hipocentro: Foco sísmico o fuente, es el punto o grupo de puntos subterráneos desde donde se origina el sismo.
Distancia epicentral (D): Es la distancia horizontal desde un punto en la superficie al epicentro, ver la Figura
1.1.
Distancia focal (R): Es la distancia desde un punto en la superficie al foco, hipocentro o fuente, ver la Figura 1.1.
Profundidad focal (H): Es la distancia entre el foco y el epicentro.
Sismo de diseño: Es la caracterización de los movimientos sísmicos en un sitio dado que deben utilizarse en la
realización del diseño sismo resistente.
Sitio
D
Epicentro
H
R
Fuente
Hipocentro
Foco
Figura 1.1
1.2
Relación geométrica entre foco y sitio [ref. 8]
CAUSAS DE LOS SISMOS
Varios fenómenos son los causantes de que la tierra tiemble, dependiendo de éstos actualmente se reconocen tres
clases de sismos: los sismos de origen tectónico, los de origen volcánico y los artificialmente producidos por el
hombre. Siendo más devastadores los sismos de origen tectónico, y por ende los de mayor interés dentro la
ingeniería.
1.2.1 Tectónica de Placas
El origen de la mayoría de los sismos es explicado satisfactoriamente por la teoría de la tectónica de placas. La
idea básica es que la corteza terrestre, la litosfera, está compuesta por un mosaico de doce o más bloques grandes
y rígidos llamados placas, que se mueven uno respecto de otro. La corteza terrestre se encuentra dividida en seis
placas continentales (África, América, Antártida, Australia, Europa y la placa del Pacífico), y cerca de catorce
placas subcontinentales (placa de Nazca, del Caribe, etc.) 1 como se puede apreciar en la Figura 1.2.
La validez de la teoría de la tectónica de placas recibió un fuerte apoyo de los datos sísmicos reunidos a través de
los años mediante la red sísmica mundial, que fue establecida hacia el final de la década de 1950. Los datos
demostraron que las zonas en donde ocurren la mayor parte de los terremotos del mundo son muy estrechas y
muy bien definidas, sugiriendo que la mayoría de los sismos registrados resultan de los movimientos de las placas
en las zonas donde chocan unas contra otras.
1
F. Achabal, pp 12 [ref. 1]
3
Características de los sismos
L
oce omo
áni
co
Una explicación plausible 2 para la causa del movimiento de las placas se basa en el equilibrio térmico de los
materiales que componen la Tierra. Nuestro planeta se formó por la unión de meteoritos. El incremento en la
masa ha aumentado la radioactividad. Consecuentemente, el planeta se ha calentado y su núcleo crece a costa de
la fusión del manto. La parte superior del manto, que está en contacto con la corteza, se encuentra a una
temperatura relativamente baja, mientras que la parte inferior que está en contacto con el núcleo a una
temperatura mucho más alta. Es evidente que el material caliente (en las profundidades) posee una densidad
menor al material frío (cerca de la corteza), lo que hace que tienda a subir, mientras que el material de la
superficie una vez frío tiende a bajar por la acción de la gravedad. Este proceso cíclico se denomina convección.
Las corrientes convectivas generan esfuerzos de corte en la base de las placas, provocando su movimiento en
distintas direcciones.
Placa
Euro - asiática
Placa
Euro - asiática
Placa
Norteamericana
P
Fi laca
lip d
in e
as
Placa
Juan de la
fuca
Placa
del Pacífico
Placa
del Caribe
Placa
Africana
Placa
de Cocos
Placa
Sudamericana
Placa
de Nazca
Placa Australiana
Lomo oc
eánico
o
mo
Lo
Figura 1.2
o
nic
ceá
Placa Antártica
Placa Antártica
Zona de subducción
Borde de placa probable
Fallas por desgarradura
Lomo oceánico
Principales zonas tectónicas, lomos oceánicos y zonas de subducción [ref. 5]
Estas corrientes también hacen que la lava ascienda continuamente en los llamados lomos oceánicos. La roca
formada se mueve lentamente por ambos lados del lomo como nuevo piso o base oceánica, desplazando las
placas a velocidad constante. Estas zonas son denominadas zonas de expansión.
Las placas se mueven libremente con respecto a la Astenósfera subyacente, y también pueden moverse una con
respecto de la otra de tres formas: a) una placa se desliza pasando frente a la otra a lo largo de su margen, b) dos
placas se mueven alejándose mutuamente, c) dos placas se mueven de tal forma que una se desliza por debajo de
la otra.
El primero de estos movimientos tiene su expresión en la superficie de la tierra, como sucede en la falla de San
Andrés. El segundo tipo de movimiento da origen a los lomos oceánicos. El tercero tiene su acción en las
profundas trincheras oceánicas donde el borde de una placa se mueve por debajo de la otra, este proceso se
conoce como subducción. La Figura 1.3 ilustra los conceptos expuestos en los párrafos anteriores. [ref 3]
2
E. Rosenblueth, pp 15-16 [ref. 2]
4
Características de los sismos
Litósfera
Continente
Océano
Astenósfera
Manto
(a)
Lomo
oceánico
Corteza
Litósfera
Astenósfera
(b)
Corteza
Litósfera
Astenósfera
Figura 1.3
Movimiento de las placas, (a) zona de expansión, (b) subducción [ref. 3]
La formación de nuevo piso oceánico en los lomos de expansión implica la separación de los continentes
aumentando de esta manera el área del piso oceánico. Este aumento es equilibrado por la destrucción de la placa
por medio de la subducción cuando la corteza oceánica es transportada al manto, en donde se consume.
Teoría de placas
5
Características de los sismos
1.2.2 Sismos de origen tectónico
Se producen por el desplazamiento súbito de las placas tectónicas a lo largo de las fracturas llamadas fallas. Estos
movimientos bruscos liberan el esfuerzo al que están sometidas las rocas corticales. El esfuerzo se acumula
localmente por varias causas hasta que supera la resistencia de las rocas, que es cuando ocurre la ruptura y
deslizamiento a lo largo de las fracturas. El choque o disparo sísmico se traduce en una gran liberación de
energía, seguido algunas veces de un rebote elástico, hasta que las placas involucradas alcanzan nuevas
posiciones de equilibrio.
Muchos de los centros activos de terremotos actuales se localizan a lo largo de dos fajas situadas en la superficie
terrestre: la circumpacífica y la alpìna o alpinohimalaya. También ocurren numerosos choques más pequeños en
las zonas de fallas marinas asociadas con los lomos oceánicos. Bolivia se encuentra en el área de influencia de la
banda circumpacífica.
Figura 1.4
Localización del sismo de Loma Prieta [ref 4]
El sismo de Loma Prieta de Octubre de 1989 ocurrido en la falla de San Andrés es un ejemplo ilustrativo de esta
clase de sismo como se muestra en la Figura 1.4, y la dirección del movimiento de las placas es ilustrada en la
Figura 1.5.
6
Características de los sismos
De las dos clases de sismos no tectónicos, los del origen volcánico son raramente muy grandes o destructivos.
Ellos son de interés principalmente porque anuncian las erupciones volcánicas inminentes. Los temblores se
originan a causa de la subida del magma, llenando las cámaras internas del volcán.
Figura 1.5
Movimiento de la falla de San Andrés durante el sismo de Loma Prieta [ref 4]
El hombre puede inducir sismos mediante una variedad de actividades, tal como el relleno de nuevos depósitos,
la detonación subterránea de explosivos atómicos, o el bombeo profundo de fluidos en la tierra mediante pozos.
1.3
FALLAS GEOLÓGICAS 3
1.3.1 Definición
Las fallas son fracturas en las cuales ha tenido lugar el
desplazamiento relativo de los dos lados de la ruptura. La
longitud de las fallas puede alcanzar desde varios metros
hasta cientos de kilómetros y extenderse desde la superficie a
varias decenas de kilómetros de profundidad.
La presencia de fallas en la superficie no necesariamente
implica que el área tiene actividad sísmica, así como la
inexistencia de las mismas no implica que el área sea
asísmica, ya que muchas veces las fracturas no alcanzan a
aflorar en la superficie.
Si bien la superficie en una falla puede ser irregular, esta
puede ser representada aproximadamente como un plano, el
cual está descrito por su rumbo y buzamiento. El rumbo es la
línea de intersección del plano de falla con un plano horizontal; el azimut del rumbo es utilizado para describir su
orientación respecto al Norte y el buzamiento es el ángulo de inclinación desde el plano horizontal hasta el plano
de falla.
3
D. Verástegui, 17-18 [ref. 6]
7
Características de los sismos
1.3.2 Tipos de falla
Según su movimiento, existen tres tipos de falla: normal, inversa y de desgarradura. Las fallas normales son
propias de las zonas en tracción; se produce un desplazamiento hacia abajo de la porción inferior. Las fallas
inversas corresponden a zonas de compresión, se produce un desplazamiento hacia arriba de la porción inferior.
Las fallas por desgarramiento implican grandes desplazamientos laterales entre dos placas en contacto, la falla de
San Andrés es un ejemplo ilustrativo de este tipo (Figura 1.7). Y la Figura 1.6 muestra claramente la naturaleza
del desplazamiento en cada caso.
Figura 1.6
Figura 1.7
Tipos de falla geológica según su desplazamiento [ref. 3]
Falla de San Andrés (falla por desgarramiento ) [ref. 3]
8
Características de los sismos
1.4
ONDAS SÍSMICAS
La repentina liberación de energía en el foco o hipocentro del sismo, cuando éste ocurre, se propaga en forma de
vibraciones elásticas u ondas elásticas de deformación. Se asume que las deformaciones generadas por el paso de
una onda son elásticas, de esta manera, las velocidades de propagación son determinadas sobre la base del
módulo elástico y la densidad de los materiales a través de los cuales viaja la onda. Las ondas sísmicas se
clasifican según su naturaleza en ondas de cuerpo y ondas de superficie.
1.4.1 Ondas de cuerpo
Figura 1.8
Deformaciones producidas por las ondas de cuerpo (a) onda P, (b) onda S [ref. 5]
Reciben el nombre de ondas de cuerpo porque pueden viajar a través del cuerpo del material. Un cuerpo elástico
puede estar sujeto a dos tipos de deformación: compresión - dilatación y cortante, por lo tanto las ondas que se
generan son de compresión o de corte, respectivamente.
ƒ
Las ondas P, llamadas también primarias, longitudinales,
compresionales o dilatacionales; producen un movimiento
de partículas en la misma dirección de la propagación,
alternando compresión y dilatación del medio.
ƒ
Las ondas S, llamadas también ondas secundarias,
transversales o de cortante; producen un movimiento de
partículas en sentido perpendicular a la dirección de
propagación, como se puede observar en la Figura 1.8.
Por lo general cuando ocurre un sismo, las ondas P se registran
primero, segundos más tarde llegan las ondas S, con su
movimiento de arriba hacia abajo y lado a lado, causando
graves daños en las estructuras, como se puede observar en la Figura 1.9. Las ondas P pueden propagarse a través
de medios sólidos y líquidos, en cambio las ondas S se propagan únicamente a través de medios sólidos debido a
que los líquidos no presentan rigidez al corte.
9
Características de los sismos
Figura 1.9
Tipos de Ondas (Ondas P y Ondas S) [ref. 3]
1.4.2 Ondas superficiales
Figura 1.10
Deformaciones producidas por las ondas superficiales: (a) onda Rayleigh, (b) onda Love [ref. 5]
Este grupo se denomina de esta manera debido a que su movimiento se restringe a las cercanías de la superficie
terrestre. Las ondas superficiales pueden subdividirse en
dos tipos: las ondas Love (ondas L) y las ondas Rayleigh
(ondas R).
ƒ
El movimiento de las ondas L, es similar al de las
ondas S que no tienen componente vertical ya que
mueven la superficie del suelo de lado a lado sobre un
plano horizontal y en sentido perpendicular a la
dirección de propagación, como se puede observar en
la Figura 1.10.
10
Características de los sismos
ƒ
El movimiento de las partículas en las ondas R es elíptico y tiene lugar en planos perpendiculares a la
superficie libre.
En general, las ondas Love son más veloces que las ondas Rayleigh, pero ambas se propagan a menor velocidad
que las ondas de cuerpo. El intervalo de llegada entre las diferentes ondas puede observarse en forma práctica en
algunos acelerogramas, este es el caso del acelerograma del terremoto de Kermadec representado en la Figura
1.11 donde se ha señalado el momento de la llegada de cada tipo de onda. Sin embargo, se tiene evidencia acerca
del efecto de la topografía y las condiciones del suelo sobre las ondas sísmicas, es decir que las ondas pueden
amplificarse o reducirse a medida que viajan hacia la superficie, dependiendo del medio de propagación.
Figura 1.11
1.5
Terremoto de Kermadec de 11 de Junio de 1957 [ref. 11]
INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN Y REGISTROS SÍSMICOS 4
Las características de las ondas sísmicas y su propagación han podido estudiarse gracias a instrumentos que
registran las vibraciones sísmicas conocidos como sismógrafos. Dependiendo del tipo de instrumento utilizado se
puede obtener el desplazamiento, velocidad o aceleración del suelo; lo cual está determinado por el rango útil de
frecuencias a medir (ω), con respecto a la frecuencia natural del instrumento (ωn).
Figura 1.12
4
M. Moreno, pp 6-11 [ref. 7]
Sismógrafo [ref. 3]
11
Características de los sismos
Los sismógrafos registran el movimiento respecto al tiempo de un péndulo que oscila libremente dentro de un
marco sujeto al suelo; este movimiento es registrado por un estilete o pluma sobre un tambor rotatorio. En la
Figura 1.12 se muestra una fotografía de un sismógrafo. En los sismógrafos modernos, el movimiento del
péndulo se convierte en señales electrónicas que se registran en la memoria de una computadora.
1.5.1 Sismómetro
[ωn<ω] Registra amplitudes de onda: Sismograma.
Los sismogramas permiten a los sismólogos localizar el epicentro de un sismo y calcular su magnitud. Midiendo
la amplitud máxima del registro y calculando la diferencia entre los tiempos de llegada de las ondas S y P, con
ayuda de fórmulas sencillas, se obtiene la magnitud del sismo y con un mínimo de tres instrumentos colocados en
diferentes lugares, por triangulaciones, se puede localizar el epicentro.
Sin embargo, la interpretación exacta de un sismograma y la distinción de los distintos tipos de ondas que se
superponen en el registro es un problema bastante delicado. Existe una desventaja adicional: los valores de
desplazamiento o velocidad no se obtienen directamente del registro, sino que están en función de la
amplificación, voltaje y frecuencia natural del instrumento.
1.5.2 Acelerómetro
Comp(1):N-S
0.6
0.4
0.2
a
0
-0.4
-0.6
0
2
4
6
8
t
10
12
14
16
10
12
14
16
10
12
Comp(2):E-W
0.6
0.4
0.2
a
0
-0.2
-0.4
-0.6
0
2
4
6
8
t
Comp(3):Vertical
0.6
0.4
a
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
0
Figura 1.13
2
4
6
8
t
14
16
Acelerogramas correspondientes a las tres componentes de un sismo [ref. 7]
[ωn>ω] Registra aceleraciones: Acelerograma.
Los acelerómetros, también conocidos como sismógrafos de movimiento fuerte, se diseñan para registrar
directamente movimientos del suelo cercanos y producen un registro conocido como acelerograma. Los
Características de los sismos
12
instrumentos se orientan de tal forma que registren la aceleración del suelo en función del tiempo para tres
direcciones o componentes normales. En la Figura 1.13 se muestran los acelerogramas registrados en una
estación durante un sismo en Friuli (Italia), el 5 de mayo de 1976.
El análisis sísmico requiere de la digitalización numérica de los acelerogramas, es decir convertir el registro en
una serie de datos de aceleración - tiempo. Los acelerogramas dan una información directa del movimiento
sísmico, especialmente apta para estimar la respuesta de las estructuras y edificios. La aceleración como medida
instrumental de la intensidad se ha constituido así en el parámetro base para el análisis estructural sísmico.
1.6
MEDIDAS DE LOS SISMOS
Comúnmente existen dos sistemas para cuantificar el tamaño y la fuerza de un sismo, los cuales son la magnitud
y la intensidad. A pesar de ser parámetros ampliamente utilizados y conocidos, desde el punto de vista de la
ingeniería sísmica ninguno de ellos es completamente satisfactorio.
1.6.1 Magnitud
Es una medida cuantitativa de un sismo, independiente del lugar de observación y está relacionada con la
cantidad de energía liberada. Se calcula a partir de la amplitud registrada en sismogramas y se expresa en una
escala logarítmica en números arábigos y decimales. La escala de magnitudes que más se usa es la de Richter,
que tiene 10 grados de medida y se denota por M.
Es importante notar que en la escala de magnitudes no se menciona nada a cerca de la duración y frecuencia del
movimiento, parámetros que tienen gran influencia en los efectos destructivos de los sismos. Por esta razón aún
no se tiene una aplicación práctica en la ingeniería sísmica a los valores de magnitud y es un parámetro propio de
los sismólogos.
1.6.2 Intensidad
Es una medida subjetiva de los efectos de un sismo, se refiere al grado de destrucción causada por un sismo en un
sitio determinado, que generalmente es mayor en el área cercana al epicentro. La escala adoptada más
ampliamente es la de Mercalli Modificada y se denota por MM, que tiene doce grados identificados por los
números romanos del I al XII. En la Tabla 2.1 se da una descripción detallada de esta escala de intensidad.
1.6.3 Relación entre Escala de Intensidad y Medida
Para llevar a cabo un análisis realista del comportamiento de estructuras sometidas a temblores, el ingeniero debe
conocer suficientes características dinámicas del movimiento del suelo, que son obtenidas con la ayuda de
acelerómetros, y la falta de éstos como es el caso de Bolivia, supone la carencia de registros de aceleración,
fundamentales para el análisis estructural sísmico. Por esta razón y con el afán de deducir valores útiles para
diseño, aún a partir de intensidades referidas a escalas subjetivas, se han desarrollado diversos estudios que
correlacionan los valores de intensidad en diversas escalas, con las características dinámicas de los sismos como
la velocidad y aceleración del suelo, que tienen la ventaja de ser magnitudes instrumentales.
En la Tabla 1.1 se expone como Medida de Intensidad la Aceleración Máxima del suelo y como Escala de
Intensidad la Mercalli Modificada, las cuales han sido correlacionadas 5 . Es necesario señalar que las
apreciaciones de las aceleraciones están basadas en la experiencia de quien propuso la correlación, basándose
principalmente en observaciones de eventos sísmicos pasados y ensayos de laboratorio que permitieron
correlacionar las roturas producidas en diferentes modelos a escala construidos sobre mesas vibrantes con las
aceleraciones en ellas aplicadas. De este modo se puede hacer una analogía entre los daños de los modelos
5
Tabla comparativa de escalas sísmicas y aceleraciones máximas según J.M. Mune, Extractada de A. Beles, pp. 65 [ref 14]
13
Características de los sismos
construidos a escala con el nivel del daño en las estructuras reales, especificados en grados de intensidad según
sea la escala utilizada y relacionarlos con la aceleración correspondiente que los provocó.
Medida de
Intensidad
Acel. Máx.
Suelo (% g)
Grado
Sísmico
0,001 g
I
0,002 g
II
0,005 g
III
Se siente en el interior de los edificios y especialmente en las plantas
superiores; los objetos colgantes se mecen; se puede estimar la duración.
0,015 g
IV
Los carros estacionados se mecen; las ventanas, la vajilla y las puertas
vibran; en el rango más alto de IV los muros y marcos de madera crujen.
0,030 g
V
Se siente en el exterior de los edificios; los objetos pequeños e inestables se
desplazan o se vuelcan; los relojes de péndulo se detienen.
0,061 g
VI
0,132 g
VII
0,306 g
VIII
0,637 g
IX
1,121 g
X
2,548 g
XI
>3,567 g
XII
Efectos sobre las personas, objetos y construcciones
El sismo lo sienten unas pocas personas en circunstancias excepcionalmente
favorables.
Lo sienten las personas en reposo, en los pisos superiores o favorablemente
situadas.
Lo sienten todas las personas; muchos se asustan y corren al exterior; los
enyesados caen, las chimeneas sufren averías; los árboles y arbustos se
agitan.
Es difícil estar de pie;oleaje en los estanques; el agua se enturbia con fango;
averías ligeras y hasta moderadas en las estructuras normales; averías
importantes en los edificio mal construidos.
Averías ligeras en las construcciones antisísmicas; averías considerables en
las construcciones normales; caen as chimeneas y estatuas; fallan columnas;
grietas en el terreno húmedo y en las pendientes muy empinadas.
Pánico general; averías de importancia en estructuras antisísmicas; caen las
estructuras mal ejecutadas; se rompen las tuberías subterráneas; aparecen
grietas en la superficie terrestre.
La mayoría de las construcciones antisísmicas son destruidas; grandes
deslizamientos de tierra; los rieles se doblan ligeramente.
Las tuberías subterráneas se destruyen completamente; los rieles se doblan
mucho; aparecen fallas en la superficie de la tierra.
Destrucción total; se desplazan grandes masas de rocas; objetos arrojados al
aire; se observan las ondas sísmicas en la superficie de la tierra.
Tabla 1.1
Escala de Intensidad Mercalli Modificada [ref. 8]
Capítulo 2
SISMICIDAD Y AMENAZA REGIONAL
2.1
ACTIVIDAD SÍSMICA DE UNA REGIÓN
Debido a que el riesgo sísmico de un proyecto depende de la actividad sísmica de la región, debe realizarse una
evaluación previa de ésta. Las fuentes de estos antecedentes pueden ser las autoridades locales, ingenieros,
sismólogos y otros. Sin embargo los datos disponibles en muchas regiones son escasos o bien no muy confiables,
por lo cual la literatura especializada recomienda realizar un estudio básico de la sismicidad del área de interés,
que comprende los siguientes puntos:
2.1.1
ƒ
Geología regional.
ƒ
Preparación de mapas de eventos sísmicos
ƒ
Estudios de deformación – liberación de energía
ƒ
Estudios de probabilidad sísmica
Geología Regional
El conocimiento, desde el punto de vista geológico, de la actividad sísmica de una región es útil al estimar las
probables magnitudes, localización y frecuencia de eventos sísmicos.
El aspecto de la geología sísmica regional incluye el estudio de las deformaciones tectónicas. Principalmente se
debe estudiar la ubicación y actividad de las fallas geológicas, ya que éstas proporcionan el foco de liberación de
energía en la mayoría de los sismos.
2.1.2
Mapas de Eventos Sísmicos
El tipo más práctico de mapa de eventos sísmicos para el diseño de una estructura particular es como el que se
muestra en la Figura 2.1. Este mapa indica las localizaciones en planta, el orden de profundidades, y las
magnitudes de todos los sismos registrados con M ≥ 5.0 dentro de un radio de 300 Km. con centro en el sitio
(Djakarta) desde 1900. Las magnitudes menores que 5.0 son generalmente de poca importancia en el diseño, en
virtud de que tales sismos causan daños estructurales ligeros. En consecuencia los eventos de M < 5.0 han sido
excluidos de la notación. Sin embargo, en áreas de baja sismicidad puede ser importante trazar eventos de M ≥
4.0, con objeto de subrayar la importancia del patrón de actividad sísmica, y en consecuencia ayudar a delinear
las zonas de mayor riesgo.
15
Sismicidad y amenaza regional
104ºE
106ºE
108ºE
110ºE
4ºS
SUMATRA
6ºS
DJAKARTA
JAVA
8ºS
100
0
100 km.
CLAVE
MAGNITUD: ESCALA DE RICHTER
5 - 5.9
6 - 6.9
7-
0 - 70 km
PROFUNDIDAD
FOCAL
71 - 150 km
más de 151 km
desconocida
Figura 2.1
2.1.3
Mapa de eventos sísmicos para Djakarta (1900-1972) [ref. 8]
Estudios de Liberación de Energía
La deformación liberada durante un sismo se considera proporcional a la raíz cuadrada de la energía liberada. La
relación entre energía (ergs), y magnitud M para sismos superficiales, ha sido proporcionada por Richter como:
log E = 11.4 + 1.5M
La energía de deformación liberada, U, para una región puede sumarse y representarse por el número equivalente
de sismos de M=4.0 en esa región, N(U4). El número equivalente de sismos N(U4) dividido entre el área de la
región proporciona el cálculo de la deformación liberada en un período dado para esa región, que puede usarse
para efectuar comparaciones entre varias regiones o entre varios períodos.
Los sismos grandes representan los principales incrementos en las gráficas de liberación de energía de
deformación acumulada. En el estudio de las velocidades de liberación de energía de deformación relativa se
requiere amplia información sobre la actividad de bajas magnitudes. La suma de muchos sismos con baja energía
en una región puede ser comparable a la de pocos sismos grandes en otra región.
Una gráfica de liberación de deformación con relación al tiempo es una función a partir de la cual puede
obtenerse una envolvente que da una idea de la tendencia de la liberación de energía en esa región. Si un
aplanamiento de la curva tiende a ser asintótico a un valor de deformación constante en un tiempo significativo,
entonces las fallas en la región pueden tender a tener una configuración más estable. La causa de esta estabilidad
temporal puede ser un bloqueo mecánico de la liberación de energía, que solamente podría ser liberada por un
gran sismo futuro.
16
Sismicidad y amenaza regional
Este tipo de información es más de carácter cualitativo, por lo tanto las curvas de liberación de deformación no
pueden usarse por sí mismas para predicción sísmica, pero podrían usarse junto con gráficas de frecuencia –
magnitud y el conocimiento de los movimientos de fallas locales.
2.1.4
Estudios de Probabilidad Sísmica
Mediante un conjunto apropiado de datos, tal como los utilizados para preparar mapas de sismicidad, pueden
hacerse varios estudios de probabilidad usando métodos estadísticos estándar para estimar parámetros de diseño.
Uno de los más valiosos consiste en estimar el mayor sismo probable que podría ocurrir cerca del sitio durante la
vida de la estructura que está diseñándose, es decir períodos de retorno para la magnitud y aceleración de las
cargas sísmicas de diseño.
2.2
EFECTOS DE LOS SISMOS
Los sismos producen diversos efectos en regiones sísmicamente activas. Ellos pueden ocasionar la pérdida de
gran cantidad de vidas humanas, pueden ser los causantes del colapso de muchas estructuras tales como edificios,
puentes, presas, etc. Otro efecto destructivo de los
sismos es la generación de olas de gran tamaño,
comúnmente causada por temblores subterráneos
(maremotos). Estas olas son también llamadas
Tsunami, las cuales al llegar a la costa pueden
causar la destrucción de poblaciones enteras.
La licuefacción de suelos es otro peligro sísmico.
Cuando el suelo es sometido al choque de las
ondas sísmicas puede perder virtualmente toda su
capacidad portante, y se comporta, para tal efecto,
como arena movediza. Los edificios que
descansan sobre estos materiales han sido
literalmente tragados.
Licuefacción: El sismo de Niigata, Japón, 16 de Junio de 1964 (M=7.5):
Inclinación de edificios de departamentos.
2.3
RESPUESTA DEL SITIO A SISMOS
El movimiento del suelo en la base de la fundación de las estructuras durante un sismo causa daño estructural, las
fuerzas dinámicas actuantes en la estructura se deben a la inercia de los elementos en vibración. La magnitud de
la aceleración pico alcanzada por la vibración del suelo tiene efecto directo sobre las fuerzas dinámicas
observadas en la estructura, es así que la respuesta de la estructura excede al movimiento del suelo y la
amplificación dinámica depende de la duración y frecuencia de las vibraciones del suelo, de las propiedades del
suelo, de la distancia epicentral y de las características dinámicas de la estructura.
El contenido de agua del suelo es un factor importante en la respuesta del sitio, debido a que el sismo produce la
licuefacción de suelos no cohesivos saturados; cuando estos suelos están sometidos a vibraciones intensas
experimentan un incremento en la presión de poros debido a la redistribución de sus partículas, dando como
resultado una reducción en la resistencia al corte del suelo. Esto produce condición rápida en la arena con pérdida
de capacidad portante causando asentamiento y colapso de la estructura.
Existen una serie de métodos para prevenir la licuefacción como ser la instalación de drenajes para bajar el nivel
freático y remover el agua de los poros, sin embargo el asentamiento causado afectaría a estructuras adyacentes.
17
Sismicidad y amenaza regional
Se puede aplicar técnicas de vibroflotación para conseguir la preconsolidación del suelo, pero esto también
afectaría las estructuras adyacentes. A fin de incrementar la resistencia al corte del suelo se recomienda diversas
técnicas de mejoramiento del suelo. Alternativamente se puede remover y reemplazar el suelo deteriorado por
material seguro; o finalmente recurrir al empleo de pilotes de fundación, los cuales penetrarían hasta un estrato
firme y estable.
2.4
HISTORIA DE LOS SISMOS
Los registros históricos de sismos antes de mediados del siglo XVIII generalmente carecen de veracidad. Entre
los temblores antiguos que provienen de fuentes razonablemente confiables está el que ocurrió en la costa de
Grecia en el año 425 A.C., que causó el surgimiento de la isla de Euboea; otro en el año 17 D.C. que destruyó la
ciudad de Ephesus en Asia Menor; y una serie de sismos que destruyeron parcialmente Roma en el año 476 y
Constantinopla (ahora Estambul) en el año 557 y nuevamente en 936. En la Edad Media, los temblores severos
ocurrieron en Inglaterra en 1318, Naples en 1456, y Lisboa en 1531.
El sismo de 1556 en Shaanxi (Shensi) la Provincia de China, que mató alrededor de 800.000 personas fue uno de
los más grandes desastres naturales en la historia. En 1693, un sismo en Sicilia ocasionó la pérdida de 60,000
vidas humanas; y en el siglo XVIII la ciudad japonés de Edo (el sitio del moderno Tokio) se destruyó a causa de
un sismo, con la pérdida de alrededor de 200,000 vidas. En 1755 la ciudad de Lisboa fue devastada por un
temblor y murieron 60,000 personas. Quito, ahora la capital de Ecuador, fue sacudida por un sismo en 1797, y
más de 40,000 personas murieron.
En América del Norte, la serie de sismos que golpearon el Sudeste de Missouri en 1811-12 fueron probablemente
los más poderosos experimentados en la historia de los Estados Unidos. El sismo de EE.UU. más famoso, sin
embargo, fue el que sacudió la ciudad de San Francisco en 1906, ocasionando daño extensivo y tomando
alrededor de 700 vidas.
En septiembre de 1985 un terremoto azotó a la ciudad de México D.F. causando daño severo y destruyendo
muchos edificios de la ciudad, el sismo dejó al menos a 30.000 personas sin hogar y 7.000 muertos (Figura 2.2).
Figura 2.2
2.5
Sismo de 1985 en la ciudad de México [ref. 3]
CONSECUENCIAS DE LOS SISMOS
El desarrollo de este punto es ilustrado en la Tabla 2.1 a partir de los sismos más representativos ocurridos en el
tiempo:
18
Sismicidad y amenaza regional
Fecha
Magnitud Ciudades o Región
Consecuencias
1906, abril 18
8.3
Estados
Unidos:California
700 muertos, llamado "Temblor de San Francisco". Ocasionó grandes danos; se
observaron desplazamientos en el suelo. Después del temblor ocurrieron grandes
incendios. Este fue el primer terremoto estudiado con detalle.
1906, agosto 16
8.6
Chile
Valparaiso, Santiago
20.000 muertos
1908, diciembre 28
7.5
Italia: Regio
29.980 muertos
1920, diciembre 16
8.5
China
Kansu y Stransi
200.000 muertos
1923, septiembre 1
8.3
Tokio
Yokojawa
99.330 muertos, conocido como el terremoto de Kwanto. Tuvo desplazamientos de
hasta 4.5 m y le sucedieron grandes incendios.
1927, mayo 22
8.0
China
Nan Shan
200.000 muertos, grandes fallas, se sintió hasta Pekin.
1935, mayo 30
7.5
Paquistan
Quetta
30.000 muertos, la ciudad de Quetta fue totalmente destruida.
1939, junio 25
8.3
Chile
28.000 muertos
1939, diciembre 26
7.9
Turquia
Erzincan
30.000 muertos, se detectaron movimientos oscilatorios de 3.7 m de desplazamiento
con movimientos trepidatorios menores.
1960, febrero 29
5.8
Marruecos
Agadir
De 10.000 a 15.000 muertos, es uno de los temblores que más muertes ha ocasionado
a pesar de ser baja su magnitud.
1960, mayo 22
8.5
Chile
Concepcion Valparaiso
De 6.000 a 10.000 muertos, causó muchas víctimas y grandes daños en Concepción y
áreas circunvecinas, dejando cerca de 2.000.000 de damnificados y daños
cuantificados en mas de 300 millones de dólares. Produjo un maremoto que causo
daños en Hawai y Japón.
1964, marzo 28
9.2
Alaska
Anchorage
173 muertos, destrucción en Alaska. Se abrieron grietas en las carreteras y los
vehículos en movimiento fueron sacados de su curso. Se estimó en 129 500
kilómetros cuadrados el área de daños y produjo un maremoto registrado en las costas
de Hawai. Se quebrantó seriamente la economía de Alaska (Figura 2.3).
1970, mayo 31
7.7
Peru:
Huara,Chimbote,Yungay
De 50.000 a 70.000 víctimas, derrumbes e inundaciones. La peor catástrofe registrada
en Perú por un terremoto en este siglo.
1972, diciembre 23
5.6
6.2
Nicaragua
Managua
De 4.000 a 6.000 muertos, miles de heridos. La ciudad de Managua fue casi
totalmente destruida.
1976, febrero 4
6.2
7.5
Guatemala
Guatemala
3.000 muertos y se calculan 76.000 heridos.
1976, agosto 27
6.3
7.9
1978, septiembre 16
7.7
Iran
De 11.000 a 15.000 muertos, muchos heridos y daños considerables en Bozonabad y
áreas circunvecinas.
1984, octubre
7.1
Estados Unidos
San francisco
El sismo azotó el área de la Bahía entera de San Francisco causando daños tremendos
en las edificaciones del distrito de Marina (Figura 2.4). el sismo causó el colapso de
la autopista de Oakland y parte del puente de la Bahía de San Francisco.
1994, enero 17
6.6
Estados Unidos
Aprox. 76 muertos, sentido en el sureste de Estados Unidos y noroeste de Mexico.
Grandes danos en obras civiles y particulares. La ciudades más dañadas fueron los
Angeles y Santa Mónica, California.
China
Noreste
Tabla 2.1
655.237 muertos cerca de 800.000 heridos y danos en el área de Tanshan. Este
terremoto fue probablemente el más mortífero de los últimos 4 siglos y el 2º más
fuerte que registra la historia moderna.
Sismos más representativos de la historia [ref. 3]
19
Sismicidad y amenaza regional
Figura 2.3
Figura 2.4
2.6
Sismo de Alaska de 1964 [ref. 3]
Sismo de Loma Prieta en el sur de San Francisco [ref. 3]
ESTUDIOS DE RIESGO SÍSMICO LOCAL Y NACIONAL 1
El observatorio San Calixto desde 1913 hasta la fecha viene monitoreando la actividad sísmica en el territorio
nacional. Las investigaciones realizadas señalan que Bolivia es una región sísmica de intensidad moderada;
siendo las zonas de actividad permanente el valle de Cochabamba y el norte de La Paz.
En Bolivia se tienen registros de eventos sísmicos desde el año 1871, lo cual evidencia la actividad sísmica en la
región. Según los registros actuales pocos sismos han sido de magnitud considerable, pero han ocurrido en gran
cantidad; según el observatorio San Calixto se aproximan a 1.000 sismos que cada año se pueden localizar en
Bolivia.
La actividad sísmica en Bolivia tiene su origen en la tectónica de placas, específicamente en la presión que ejerce
la placa de Nazca por debajo de la placa Sudamericana. Este movimiento se conoce como subducción y produce
sismos de foco profundo (351-700 km.) debajo del continente en el sector de Bolivia, y de foco intermedio (71350 km.) en la frontera con Perú y Chile. Sin embargo, por la presencia de innumerables fallas geológicas en
1
Resumen de estudios realizados por Salvador del Pozo [ref. 9], Ramón Cabré y Angel Vega [ref. 10]: F. Achabal, pp 26-28 [ref. 1]
20
Sismicidad y amenaza regional
Bolivia y particularmente en Cochabamba, este movimiento genera una actividad sismo – tectónica local o
secundaria de foco superficial (0-70 km.), por donde se disipa la energía acumulada. Este fenómeno puede tener
consecuencias distintas: si la liberación de energía es lenta, no ocasionará grandes sismos; si por el contrario la
disipación es violenta, puede dar lugar a un sismo de magnitud considerable, mas aún si se considera que la
actividad sísmica de tipo superficial es la más destructiva.
Las fallas más importantes en el sector de Cochabamba son: la falla del Tunari, al borde de la cordillera que
rodea la ciudad por el sector norte; la segunda en importancia es la falla de Sipe – Sipe, la cual tiene una
alineación que empieza en la costa chilena, atraviesa Oruro, pasa por Cochabamba y termina en Santa Rosa en el
Beni; otra falla activa es la falla cercana a la laguna de Colomi (Sillar); la falla en el sector de Aiquile, activa
cada cierto tiempo. Esta última localidad fue sometida a un sismo de magnitud 6.6 en la escala de Richter el 22
de Mayo de 1998, el cual dejó a muchas familias sin hogar.
El mapa de intensidades máximas (Figura 2.5), conocido como mapa de isositas, publicado por el Centro
Regional de Sismología para Sudamérica (CERESIS), marca cuatro zonas que definen bien la sismicidad en
Bolivia. El mapa de magnitudes máximas (Figura 2.6) publicado por el Observatorio San Calixto complementa la
información que se presenta en la Tabla 2.2, acerca de las zonas sísmicas en el territorio boliviano.
La intensidad máxima esperada en la ciudad de Cochabamba está entre VI y VII en la escala de Mercalli
Modificada. Si bien es un valor moderado, los efectos pueden ser mayores considerando las condiciones
geotécnicas locales. En general, se puede decir que la mayor parte del terreno es un relleno aluvional no
consolidado de baja calidad, lo cual tendría efectos impredecibles al ocurrir un sismo fuerte.
ZONA
SÍSMICA
LOCALIDAD
ACTIVIDAD
INTENSIDAD
MM
Casi inexistente
<IV
0
Todo el sector adyacente al Brasil y al Paraguay.
1
Región sub-andina, sector N-O de La Paz y N-E de
Cochabamba.
Reducida
V
2
Lago Titicaca y provincia Cercado de Cochabamba
Moderada
VI
3
Sector Comsata (La Paz), Chapare y Aiquile
(Cochabamba), Samaipata (Santa Cruz) y algunas
provincias de Potosí y Sucre.
Peligrosa
VII
Tabla 2.2
Zonas sísmicas en Bolivia, Localización parcial [ref. 9]
21
Sismicidad y amenaza regional
68º
66º
64º
62º
60º
BOLIVIA
ZONAS SÍSMICAS
BRASIL
10º
0
1
2
3
4
< IV
V
VI
VII
VIII
10º
ESCALA MERCALLI MODIFICADA
PANDO
12º
12º
Fuente : CERESIS
Ing. S. del Pozo G.
14º
14º
TRINIDAD
16º
16º
PERÚ
LA PAZ
Villa Tunari
COCHABAMBA
SANTA CRUZ
18º
ORURO
18º
Aiquile
SUCRE
POTOSÍ
20º
20º
PARAGUAY
TARIJA
22º
22º
CHILE
ARGENTINA
68º
Figura 2.5
66º
64º
62º
60º
Mapa de Intensidades máximas de Bolivia [ref. 10]
22
Sismicidad y amenaza regional
70
65
60
SISMICIDAD DE BOLIVIA
10
10
MAPA DE MAGNITUDES MÁXIMAS
ESCALA DE RICHTER
PANDO
Fuente: OBS. SAN CALIXTO
ANGEL VEGA B.
4
TRINIDAD
15
15
3
6
LA PAZ
4
COCHABAMBA
5
SANTA CRUZ
ORURO
6
SUCRE
POTOSÍ
20
5
20
5
4
6
TARIJA
70
65
Figura 2.6
60
Mapa de magnitudes de Bolivia [ref. 10]
23
Sismicidad y amenaza regional
2.7
SISMO DE DISEÑO
PLANTA
A
B
traza de la falla
traza d
EB
DB=30
km
lla
e la fa
X
S
DA=50 km
EA X
B`
A`
CORTE X - X
EB
S
pla
no
de
fall
a
HA=20 km
Hipocentro B
plano de falla
HB=15 km
EA
Hipocentro A
Figura 2.7
Ejemplo hipotético de la relación con dos sismos de diseño A y B, con epicentros EA y EB, respectivamente.
Las principales variables necesarias para definir el sismo de diseño son: magnitud, período de retorno, distancia
epicentral, profundidad focal, posiciones de la falla, tipos de falla, aceleración máxima del suelo, desplazamiento
máximo del suelo, período dominante de la vibración y longitud activa de la falla.
Los datos acerca de sismos sobre los aspectos descritos con anterioridad son variables, poco precisos y escasos,
esto significa que la interpretación de los datos se la puede realizar de forma subjetiva.
Con el propósito de ilustrar la definición de sismo de diseño para un sitio dado se hará referencia a la Figura 2.7.
Supóngase que los estudios de la historia de sismos de la región han sugerido el uso de dos sismos de diseño, A y
B, con las características indicadas en la Figura 2.7. Es bastante común considerar dos sismos de diseño diferentes
con magnitudes y período de retorno; normalmente, el sismo mayor, menos frecuente, debería considerarse la
peor condición de diseño para usarse como carga última, mientras el sismo menor, más frecuente debería ser
usado como el criterio para controlar daño no estructural. Sin embargo, en la situación ilustrada en la Figura 2.7,
los tipos de falla asociados podrían hacer inapropiada esta forma de usar los sismos de diseño.
Debido a que el plano inclinado para el sismo B aflora cerca del sitio, la intensidad del movimiento vibratorio en S
debido a este sismo puede ser tan intensa como en los sectores cercanos al epicentro EB. Si la traza de la falla BB’
no ha sido detectada, o no se toma en cuenta al diseñar, la intensidad del movimiento del suelo en el sitio se
subestimaría al suponer una atenuación normal desde un epicentro ubicado a 30 km.
De este modo resulta bastante incierta la definición adecuada de un sismo de diseño, aun antes de la
consideración de las condiciones del sitio, debido a las dificultades en definir el comportamiento ante sismos
pasados, y las dificultades para predecir eventos sísmicos futuros. Es así que se adopta una metodología para el
cálculo y diseño de estructuras, la cual se basa en estudios geológicos, probabilísticos y numéricos para llegar a
adoptar parámetros confiables que si bien no representan exactamente el evento sísmico, permiten una mejor
percepción del acontecimiento y sus consecuencias 2 .
2
Para mejor comprensión referirse al capítulo 8 y posteriores
Capítulo 3
CONCEPTOS GENERALES
EN EL ANÁLISIS DINÁMICO
3.1
ESTRUCTURA SIMPLE
Una estructura simple es aquella que se puede idealizar como un sistema que está constituido por una masa
concentrada en la parte superior soportada por un elemento estructural de rigidez k en la dirección considerada.
Este concepto es ilustrado por la Figura 3.1 en la cual se muestra un ejemplo de estructura simple.
Figura 3.1
Torre de Telecomunicación, Frankfurt (estructura simple)
Es importante el entender la vibración de este tipo de estructuras, las cuales están sometidas a fuerzas laterales en
el tope o a movimientos horizontales del suelo debidos a sismos, para así facilitar la comprensión de la teoría
dinámica.
3.2
GRADOS DE LIBERTAD
El grado de libertad es definido como el número de desplazamientos independientes requerido para definir las
posiciones desplazadas de todas las masas relativas a sus posiciones originales.
25
Conceptos generales en el análisis dinámico
Por ejemplo si se considera despreciable la deformación axial de la columna en la estructura simple de la Figura
3.1 entonces el sistema es de un grado de libertad (el desplazamiento horizontal del tanque). Ahora considerar el
pórtico de la Figura 3.2 el cual está restringido a moverse sólo en la dirección de la excitación; para el análisis
estático de esta estructura el problema tiene que ser planteado con tres grados de libertad (3DOF: lateral y dos
rotaciones) al determinar la rigidez lateral del pórtico. Sin embargo la estructura tiene 1DOF (desplazamiento
lateral) para el análisis dinámico si ésta es idealizada con una masa concentrada en el nivel superior, a este tipo de
estructuras en adelante se las designará como estructuras de simple grado de libertad (SDF).
masa
u'
u
u
p(t)
p(t)
amortiguamiento
ug
(a)
Figura 3.2
(b)
Sistema SDF: (a) fuerza aplicada p(t) (b) movimiento del suelo inducido por sismo [ref. 12]
Cada miembro del sistema (viga, columna, muro, etc.) contribuye con las propiedades de la estructura: inercia
(masa), elasticidad (rigidez o flexibilidad) y energía de disipación (amortiguamiento). Estas propiedades serán
consideradas por separado como componentes de masa, rigidez y amortiguamiento respectivamente.
3.3
SISTEMA LINEALMENTE ELÁSTICO
u
fuerza externa
fs
fs
fs
fuerza resistente
(a)
(b)
Figura 3.3
Sistema linealmente elástico [ref. 12]
Para comprender el concepto de estructura linealmente elástica es necesario entender la relación existente entre la
fuerza y el desplazamiento, para lo cual considerar el sistema mostrado en la Figura 3.3; el sistema está sujeto a
una fuerza estática fS, la cual es equilibrada por una fuerza inercial resistente al desplazamiento u que es igual y
opuesta a fS. Existe una relación entre la fuerza fS y el desplazamiento relativo u asociado con la deformación de
la estructura que es de carácter lineal para pequeñas deformaciones y no lineal para grandes deformaciones.
Para un sistema linealmente elástico la relación entre la fuerza lateral fS y la deformación resultante u es:
f S = k ⋅u
Donde k es la rigidez lateral del sistema y su unidad es [fuerza/longitud].
(3.1)
26
Conceptos generales en el análisis dinámico
3.4
AMORTIGUAMIENTO
El amortiguamiento es el proceso por el cual la vibración libre disminuye en amplitud; en este proceso la energía
del sistema en vibración es disipada por varios mecanismos los cuales pueden estar presentes simultáneamente.
3.4.1
Mecanismos de Disipación
En sistemas simples como el de la Figura 3.4, la mayor parte de la disipación de la energía proviene de efectos
térmicos causados por repetidos esfuerzos elásticos del material y de la fricción interna cuando el sólido es
deformado.
u
fuerza externa
fD
fD
fD
fuerza resistente
fD
(a)
Figura 3.4
(b)
fuerza de amortiguamiento [ref. 12]
En las estructuras actuales existen mecanismos adicionales que contribuyen a la disipación de la energía; algunos
de éstos son: las uniones de acero, el abrirse y cerrarse de las micro - fisuras del concreto, la fricción entre la
“estructura misma” y los elementos no estructurales como son los muros de partición.
3.4.2
Fuerza de Amortiguamiento
En las estructuras actuales el amortiguamiento es representado de forma idealizada; para efectos prácticos el
amortiguamiento actual en estructuras SDF puede ser idealizado satisfactoriamente por un amortiguamiento
lineal viscoso.
La Figura 3.4 muestra un sistema amortiguado sujeto a una fuerza fD aplicada en la dirección del desplazamiento,
la cual es equilibrada por la fuerza interna en el amortiguamiento que es igual y opuesta a la fuerza externa fD. La
fuerza de amortiguamiento fD está relacionada con la velocidad ú a través del coeficiente de amortiguamiento c
mediante:
f D = c ⋅ u&
(3.2)
A diferencia de la rigidez, el coeficiente de amortiguamiento no puede ser calculado a partir de las dimensiones
de la estructura y del tamaño de los elementos estructurales, debido a que no es factible el identificar todos los
mecanismos disipadores de energía vibracional en las estructuras actuales.
3.5
ECUACIÓN DE MOVIMIENTO 1
La Figura 3.5 ilustra el modelo matemático de un sistema SDF sujeto a la acción de una fuerza dinámica p(t)
aplicada en la dirección del desplazamiento u(t) las cuales varían con el tiempo. La ecuación diferencial que
1
Anil K. Chopra, pp 14-16 [ref. 12]
27
Conceptos generales en el análisis dinámico
gobierna el desplazamiento u(t) puede ser derivada utilizando dos métodos: la 2ª ley de Newton y el principio de
equilibrio dinámico.
m
u
m
fS
(a)
fD
p(t)
fS
(b)
Figura 3.5
3.5.1
fI
p(t)
p(t)
fD
(c)
Sistema SDF, ecuación de movimiento [ref. 12]
Segunda ley de Newton
Todas las fuerzas que actúan en la masa son mostradas en la Figura 3.5(b). La fuerza externa es considerada
positiva en la dirección del eje de desplazamiento u(t), la velocidad ú(t) y la aceleración ü(t) son también
consideradas positivas en esa dirección. La fuerza elástica y de amortiguamiento actúan en dirección opuesta
debido a que son fuerzas internas que resisten la deformación y la velocidad respectivamente.
La fuerza resultante a lo largo del eje de desplazamiento es p(t) – fS – fD; aplicando la segunda ley de Newton se
tiene:
p (t ) − f S − f D = m ⋅ u&&
m ⋅ u&& + f S + f D = p (t )
(3.3)
Reemplazando las ecuaciones 3.1 y 3.2 en la ecuación 3.3 se tiene:
m ⋅ u&& + c ⋅ u& + k ⋅ u = p (t )
(3.4)
La ecuación 3.4 es la que gobierna la deformación u(t) de la estructura idealizada en la Figura 3.5 considerando
que la elasticidad es lineal.
3.5.2
Equilibrio Dinámico
El principio de equilibrio dinámico de D’Alembert está basado en el sistema de equilibrio de fuerzas. Es
considerada una fuerza de inercia ficticia que es igual al producto de la masa por la aceleración y actúa en
dirección opuesta a la aceleración; este estado, incluida la fuerza de inercia, es un sistema equilibrado en todo
instante. Es así que el diagrama de cuerpo libre (DCL) de la masa en movimiento puede ser dibujado para poder
utilizar los principios de estática y desarrollar la ecuación de movimiento.
El DCL en el tiempo t es representado en la Figura 3.5(c) con la masa reemplazada por la fuerza de inercia que es
dibujada con trazo punteado para ser distinguida como fuerza ficticia de las fuerzas reales. Estableciendo la suma
de todas las fuerzas igual a cero se tiene como resultado la ecuación 3.3.
3.5.3
Componentes de masa, amortiguamiento y rigidez
La ecuación que gobierna el movimiento para el sistema SDF puede ser formulada desde un punto de vista
alternativo:
28
Conceptos generales en el análisis dinámico
Bajo la acción de la fuerza externa p(t) el estado del sistema está descrito por u(t), ú(t) y la ü(t) como se muestra en
la Figura 3.6(a). Visualizar el sistema como la combinación de los tres componentes: (1) rigidez, (2)
amortiguamiento y (3) masa. La fuerza externa fS en el componente de rigidez está relacionada con el
desplazamiento por la ecuación 3.1 si el sistema es linealmente elástico. La fuerza fD está relacionada con la
velocidad por la ecuación 3.2; y la fuerza externa fI en el componente de masa está relacionada con la
aceleración por f I = m ⋅ u&& . La fuerza externa p(t) aplicada al sistema completo puede por tanto ser visualizada
como una cantidad distribuida en los tres componentes de la estructura, y entonces:
fS + fD + fI = p(t)
La cual es similar a la ecuación 3.3.
p(t)
fS
=
3.6
+
desplazamiento u
velocidad
u·
aceleración
ü
desplazamiento u
(a)
(b)
Figura 3.6
fD
fI
+
velocidad u·
aceleración ü
(d)
(c)
(a) Sistema (b) componente de rigidez (c) componente de amortiguamiento (d) componente de masa [ref. 12]
ECUACIÓN DE MOVIMIENTO: EXCITACIÓN SÍSMICA
El problema que concierne al ingeniero estructurista es el comportamiento de la estructura que está sujeta a
movimiento sísmico en su base, es debido a ello que a continuación se explica la ecuación de movimiento que
gobierna este fenómeno.
u'
f
u
I
f
fD
s
ug
(a)
(b)
Figura 3.7
En la Figura 3.7 el desplazamiento del suelo (ug), el desplazamiento total del la masa (u’) y el desplazamiento
relativo entre la masa y el suelo (u) están relacionadas por la expresión:
u ' (t ) = u (t ) + u g (t )
Se obtiene la ecuación de equilibrio dinámico del diagrama de cuerpo libre de la Figura 3.7(b):
(3.5)
29
Conceptos generales en el análisis dinámico
fI + fD + fS = 0
(3.6)
La fuerza elástica y de amortiguamiento son producidas por el movimiento relativo, u, entre la masa y la base, es
así que para el sistema lineal continúan siendo válidas las ecuaciones 3.1 y 3.2; entre tanto la fuerza de inercia fI
es relacionada a la aceleración de la masa, ü’, por:
f I = m ⋅ u&&'
(3.7)
Sustituyendo las ecuaciones 3.1, 3.2 y 3.7 en la ecuación 3.6 se tiene:
m ⋅ u&& + c ⋅ u& + k ⋅ u = −m ⋅ u&&g (t )
(3.8)
La ecuación 3.8 es la que gobierna el desplazamiento relativo ,u(t), del sistema lineal de la Figura 3.7 sujeto a la
aceleración del suelo, üg(t).
Comparando las ecuaciones 3.4 y 3.8 se observa que la ecuación de movimiento para el mismo sistema sujeto a
dos excitaciones por separado (üg y p(t)) es una y la misma. De este modo el desplazamiento relativo debido a la
aceleración del suelo, üg(t), será idéntico al desplazamiento de la estructura con base estacionaria sometida a la
acción de una fuerza externa igual a –m·üg. Por lo tanto el movimiento del suelo puede ser reemplazado por una
fuerza sísmica efectiva.
p eff (t ) = −m ⋅ u&&g (t )
(3.9)
Es importante reconocer que esta fuerza actúa en sentido opuesto a la aceleración y sobre todo que es
proporcional a la masa de la estructura.
Capítulo 4
VIBRACIÓN LIBRE
4.1
TEORÍA GENERAL DE VIBRACIONES
El análisis de vibraciones es un tema muy amplio al cual se han dedicado estudios completos, esta introducción
expone de forma resumida algunos aspectos teóricos de las vibraciones de los sistemas elásticos, que ayudarán a
comprender los métodos de cálculo de la acción de los sismos sobre las estructuras basados en sus efectos
dinámicos.
El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos de los cuerpos y a las fuerzas asociadas con ellos.
Todos los cuerpos que poseen masa y elasticidad, son capaces de vibrar. Una vibración mecánica es el
movimiento de una partícula o cuerpo que oscila alrededor de una posición de equilibrio. La mayoría de las
máquinas y estructuras experimentan vibraciones hasta cierto grado por lo que su diseño requiere la
consideración de este efecto dinámico debido a que ocasiona un aumento en los esfuerzos y tensiones.
Una vibración se produce cuando el sistema en cuestión es desplazado desde una posición de equilibrio estable, el
sistema tiende a retornar a dicha posición, bajo la acción de fuerzas de restitución elásticas o gravitacionales,
moviéndose de un lado a otro hasta alcanzar su posición de equilibrio. El intervalo de tiempo necesario para que
el sistema efectúe un ciclo completo de movimiento se llama periodo de vibración, el número de ciclos por
unidad de tiempo define la frecuencia y el desplazamiento máximo del sistema desde su posición de equilibrio se
denomina amplitud de vibración.
Los sistemas oscilatorios pueden clasificarse como lineales o no lineales. Para los sistemas lineales rige el
principio de superposición y las técnicas matemáticas para su tratamiento están bien desarrolladas (Ley de
Hooke). Por el contrario las técnicas para el análisis de sistemas no lineales son más complicadas y no muy
conocidas.
Existen dos clases de vibraciones, las libres y las forzadas. Cualquier sistema elástico puede tener una vibración
libre a consecuencia de un impulso inicial, donde el movimiento es mantenido únicamente por las fuerzas de
restitución inherentes al mismo. El sistema bajo vibración libre vibrará en una o más de sus frecuencias naturales,
dependientes de la distribución de su masa y rigidez.
Cuando al sistema se le aplica fuerzas perturbadoras externas, el movimiento resultante es una vibración forzada.
Cuando la excitación es oscilatoria, ya sea periódica o no, como la de un sismo, el sistema es obligado a vibrar a
la frecuencia de excitación, si ésta coincide con una de las frecuencias naturales del sistema se produce
resonancia, en este estado tienen lugar oscilaciones peligrosamente grandes; así la falla por resonancia de
estructuras como puentes o edificios es una dramática posibilidad que debe tenerse muy en cuenta. Por este
motivo el cálculo de las frecuencias naturales de vibración es de gran importancia en el diseño sísmico de
estructuras.
31
Vibración libre
4.2
DEFINICIÓN
Una estructura está en vibración libre cuando es perturbada de su posición estática de equilibrio y comienza a
vibrar sin la excitación de fuerza externa alguna (p(t) = 0).
4.3
VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA
u
T n = 2π/ωn
u· (0)
b
u(0)
Amplitud u0
a
(a)
c
e
t
φ
ωn
d
u0
u0
(b)
a
Figura 4.1
b
c
e
d
Sistema SDF: vibración libre sin amortiguamiento [ref. 12]
La ecuación que representa el movimiento de un sistema lineal SDF sin amortiguamiento y que no está sometido
a la acción de una fuerza externa es:
(4.1)
m ⋅ u&& + k ⋅ u = 0
u&& + ω n2 ⋅ u = 0
(4.2)
donde ωn es la frecuencia natural en vibración libre del sistema y es igual a:
ωn = k m
(4.3)
El desarrollo de la ecuación diferencial 4.1 se expone en el Apéndice A-1, y su solución es:
u (t ) = A ⋅ cos ω n t + B ⋅ senω n t
Las constantes A y B se hallan a partir de las condiciones iniciales:
velocidad iniciales respectivamente. Obteniéndose por lo tanto:
u (t ) = u (0) ⋅ cos ω n t +
u& (0)
ωn
(4.4)
u (0) y
senω n t
u& (0) , el desplazamiento y la
(4.5)
32
Vibración libre
Las Figuras 4.1(a) y 4.1(b) ilustran el movimiento de la masa durante un ciclo de vibración libre del sistema para la
ecuación 4.5. A partir de estas figuras se observa que el tiempo requerido de un sistema no amortiguado para
completar un ciclo de vibración libre es denominado periodo natural de vibración, Tn, y es:
Tn =
2π
(4.6)
ωn
La frecuencia cíclica natural de vibración, fn, es definida como el número de ciclos que se repiten en 1 [s] de
tiempo y su valor es:
1
(4.7)
fn =
Tn
Las propiedades de vibración natural, ωn, Tn y fn, dependen de la masa y rigidez de la estructura, y el término
“natural” es utilizado para enfatizar el hecho de que éstas son propiedades naturales del sistema cuando éste esta
en estado de vibración libre.
El movimiento representado por la ecuación 4.5 puede también ser expresado en la forma:
u (t ) = u 0 cos(ω n t − φ )
(4.8)
Imaginario
u0 cos(ωnt-φ)
u· (0) senωnt
u(0) cosωnt
ωn
ωn
u(0)
ωnt
φ
Real
ωnt
u0
u· (0)
ωn
Figura 4.2
Vibración libre, representación vectorial [ref. 13]
Donde u0 es la magnitud del desplazamiento máximo y es llamada amplitud de movimiento, la cual esta dada por:
⎡ u& (0) ⎤
u 0 = u (0) 2 + ⎢
⎥
⎣⎢ ω n ⎦⎥
2
(4.9)
Y el ángulo de fase φ esta dado por:
φ = artg
u& ( 0)
ω n u ( 0)
(4.10)
33
Vibración libre
En la Figura 4.2 esta representada vectorialmente la ecuación de movimiento, donde la respuesta esta dada por la
parte real o proyección horizontal de los dos vectores de rotación; y el ángulo de fase representa la distancia
angular de retraso en la respuesta del término del coseno.
VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO
4.4
La ecuación de movimiento para un sistema lineal amortiguado en vibración libre es:
m ⋅ u&& + c ⋅ u& + k ⋅ u = 0
(4.11)
dividiendo la ecuación 4.11 por la masa se obtiene:
u&& + 2ξω n u& + ω n 2 u = 0
ξ=
donde:
(4.12)
c
c cr
(4.13)
c cr = 2mω n = 2 km =
2k
(4.14)
ωn
El coeficiente de amortiguamiento crítico, ccr, y la razón o relación de amortiguamiento crítico, ξ, son parámetros
que determinan el tipo de movimiento del sistema.
4.4.1
Tipos de Movimiento
1
criticamente amortiguado, ξ=1
u(t)/u(0)
sobreamortiguado, ξ=2
0
subamortiguado, ξ=0.1
-1
1
2
3
1 /T n
Figura 4.3
Vibración libre de un sistema críticamente amortiguado, sobreamortiguado y subamortiguado [ref. 12]
La Figura 4.3 ilustra el desarrollo de este punto; ésta es una gráfica del movimiento u(t) debido a un
desplazamiento inicial u(0) para tres valores distintos de ξ :
ƒ
Si c=ccr ó ξ=1
El sistema retorna a su posición inicial de equilibrio sin oscilar, por tal razón es
llamado sistema críticamente amortiguado o sistema con amortiguamiento crítico.
34
Vibración libre
ƒ
Si c>ccr ó ξ>1
El sistema no oscila pero retorna a su posición de equilibrio lentamente, por tal motivo
es denominado sistema sobreamortiguado.
ƒ
Si c<ccr ó ξ<1
El sistema oscila alrededor de la posición de equilibrio con una amplitud que decrece
progresivamente, y es llamado sistema subamortiguado.
El coeficiente de amortiguamiento crítico, ccr, llamado así debido a que es un valor pequeño de c que inhibe
completamente la oscilación y representa la línea de división entre el movimiento oscilatorio y mono oscilatorio.
Las estructuras civiles (puentes, edificios, embalses, etc.) poseen una relación de amortiguamiento ξ<1 la cual las
cataloga como sistemas subamortiguados, es por esta razón que dichos sistemas se estudian con mayor
preferencia.
4.4.2
Sistema subamortiguado
Para un sistema subamortiguado (ξ<1) el desarrollo de la ecuación 4.12 se encuentra en el Apéndice A-2, y su
solución es:
⎡
⎤
⎛ u& ( 0) + ξω n u ( 0) ⎞
⎟ senω D t ⎥
(4.15)
u (t ) = e −ξω nt ⎢u ( 0) cos ω D t + ⎜⎜
⎟
ωD
⎝
⎠
⎣⎢
⎦⎥
Donde ωD es la frecuencia natural de vibración amortiguada y su valor es:
ω D = ω n 1−ξ 2
u
u· (0)
ρ e−ξωnt
(4.16)
estructura no amortiguada
u(0)
estructura
amortiguada
t
−ξωnt
−ρe
Figura 4.4
Tn
TD
Efecto del amortiguamiento en Vibración libre
Nótese que la ecuación 4.15 aplicada a un sistema no amortiguado (ξ=0) se reduce a la ecuación 4.5. La Figura
4.4 ilustra una comparación entre un sistema subamortiguado y uno sin amortiguamiento; se observa que la
amplitud del sistema no amortiguado es la misma en todos los ciclos de vibración, en cambio para el sistema
amortiguado la amplitud decrece y lo hace en forma exponencial.
35
Vibración libre
El valor del periodo natural de vibración amortiguado es:
TD =
2π
ωD
(4.17)
y está relacionado con el periodo natural sin amortiguamiento de la siguiente forma:
TD =
Tn
1−ξ 2
(4.18)
La relación entre dos desplazamientos pico en un intervalo de tiempo TD es constante, y el decremento
logarítmico está definido como el logaritmo natural de esta cantidad y está dado por:
δ = ln
ui
2πξ
= ξω n T D =
≈ 2πξ
u i +1
1−ξ 2
(4.19)
y la relación entre dos desplazamientos cuales quiera es:
δ=
u
1
ln 1 ≈ 2πξ
j u j +1
(4.20)
El amortiguamiento tiene el efecto de reducir la frecuencia natural de ωn a ωD y aumentar el periodo natural de Tn
a TD; este efecto es despreciable para una relación de amortiguamiento ξ debajo del 20%, un rango en el cual
están incluidas la mayoría de las estructuras; y, valga la redundancia, para la mayoría de las estructuras ωD y TD
son aproximadamente iguales a ωn y Tn
36
Vibración libre
4.5 EJEMPLOS
Determinación de las propiedades dinámicas
Ejemplo 4.1
En la Figura 4.5 se muestra una cubierta metálica, considerar el entramado infinitamente rígido y con una carga
muerta total de 120 [kg/m2]. Todas las columnas son perfiles metálicos W10x30, considerarlas axialmente
indeformables. Determinar las propiedades de la estructura considerando que no existe amortiguamiento.
1.2 m
4m
elevación
20 m
N
planta
20 m
20 m
Figura 4.5
Estructura para el ejemplo 4.1
Solución
El peso del sistema es:
w = 120 × 20 × 40
w = 96 [T ]
La rigidez total de las dos columnas del Este es:
kE = ∑
kE =
12 EI
l3
2 × 12 × 2100000 × 7075.93
k E = 5572.29
La rigidez total de las columnas centrales es:
kC = 0
400 3
[ ]
kg
cm
37
Vibración libre
La rigidez total de las dos columnas del Oeste es:
3EI
kO = ∑
kO =
l3
2 × 3 × 2100000 × 7075.93
400 3
k O = 1393.07
[ ]
kg
cm
La rigidez total en la dirección Este-Oeste es:
k = k E + kC + kO
k = 6965.36
[ ]
kg
cm
La frecuencia circular natural es:
ωn = k m
ωn =
k⋅g
w
6965.36 × 980
96000
ω n = 8.43 [rad s ]
ωn =
La frecuencia cíclica natural es:
fn =
1 ωn
=
Tn 2π
f n = 1.34 [hertz]
El periodo natural esta dado por:
Tn =
1
fn
Tn = 0.74 [s]
38
Vibración libre
Sistema en vibración libre no amortiguado
Ejemplo 4.2
Una plancha es soportada por barras de acero (Figura 4.6), su periodo natural en vibración lateral es 0.5 [s].
Cuando una placa de 22 [kg] es sujeta a su superficie el periodo natural en vibración lateral es prolongado a 0.75
[s]. ¿Cual es la rigidez lateral efectiva y cual es el peso de la plancha?
T n=0.5 s.
T n=0.75 s.
Figura 4.6
Gráfica para el ejemplo 4.2
Solución
En la primera fase de vibración el periodo natural del sistema es:
2π
2π
=
Tn =
ωn
0.5 =
m
2π
k
m=
k
m
k
(a)
(4π )2
En la segunda fase de vibración el periodo natural del sistema es:
2π
Tn =
k
m + mp
2π
0.75 =
(b)
k
m + 22 g
Reemplazando (a) en (b) y resolviendo para la rigidez k:
2π
0.75 =
k
k = 2.84
El peso de la plancha es:
k
22
(4π )2 + 980
[ ]
kg
cm
39
Vibración libre
k
w = m⋅g =
w = 17.62
Ejemplo 4.3
(4π )2
[kg ]
g
Determinación de las características de amortiguamiento
Un tanque de agua elevado está sujeto a un cable en la parte superior, el cual le aplica una fuerza horizontal de 7
[T] y desplaza al tanque 5 [cm] de su posición de equilibrio, el cable es cortado repentinamente y el tanque entra
en vibración libre, al final de 4 ciclos el tiempo es de 2 [s] y la amplitud es de 2.5 [cm]. Calcular la relación de
amortiguamiento, el periodo natural de vibración no amortiguado, la rigidez efectiva, el peso efectivo, el
coeficiente de amortiguamiento y el número de ciclos requeridos para que la amplitud de desplazamiento
decrezca a 0.5 [cm].
Solución
La relación de amortiguamiento es:
δ=
u
1
ln 1 ≈ 2πξ
j u j +1
1
5
ln
= 2πξ
4 2. 5
ξ = 2.75 %
El periodo natural de vibración no amortiguada es:
T D = 2 4 = 0.5 [s]
Tn
TD =
≈ Tn
1−ξ 2
Tn = 0.5 [s ]
La rigidez efectiva es calculada a partir de:
fs = k ⋅u
7000 = k × 5
k = 1400
[ ]
kg
cm
Para el peso efectivo se tiene:
ωn =
2π 2π
=
= 12.57
Tn 0.5
ωn =
k
ωn =
k ⋅g
[rad s ]
m
w
Sustituyendo los valores de k y ωn en la última ecuación se obtiene el peso efectivo:
w = 8.68 [T ]
El coeficiente de amortiguamiento se obtiene de:
40
Vibración libre
ξ=
ξ=
c
c cr
c
2k
ωn
0.0275 =
c = 6.13
c
2k
12.57
kg ⋅s
cm
[
]
El número de ciclos que se requiere para que la amplitud decrezca al valor de 0.5 [cm] se obtiene de:
u
1
ln 1 = 2πξ
j u j +1
1
5
ln
= 2π * 0.0275
j 0.5
j = 13.33 ≈ 13 ciclos
Capítulo 5
VIBRACIÓN FORZADA
CARGA ARMÓNICA
5.1
JUSTIFICACIÓN
El estudio de la respuesta del sistema de un solo grado de libertad (SDF) a la acción de una carga armónica
establece bases para el entendimiento de la respuesta de estructuras más complejas a excitaciones externas.
5.2
SISTEMA NO AMORTIGUADO CON CARGA ARMÓNICA
5.2.1
Ecuación de Movimiento
Estableciendo p(t)=p0 · senωt en la ecuación 3.4 se obtiene la ecuación diferencial 1 que gobierna el movimiento
forzado por carga armónica para un sistema no amortiguado:
m ⋅ u&& + k ⋅ u = p 0 senωt
(5.1)
Donde p0 es la amplitud o valor máxima de la fuerza (Figura 5.1) y ω es la frecuencia de excitación. La solución
particular a la ecuación diferencial 5.1 es:
p
1
u p (t ) = 0 ⋅
senωt
(5.2)
k 1 − (ω ω n )2
La solución complementaria de la ecuación 5.1 es:
u c (t ) = A ⋅ cos ω n t + B ⋅ senω n t
(5.3)
La solución total es la suma de ambas ecuaciones:
u (t ) = A ⋅ cos ω n t + B ⋅ senω n t +
1
La solución de esta ecuación se encuentra en el Apéndice A-3
p0
1
senωt
⋅
k 1 − (ω ω n )2
(5.4)
42
Vibración forzada, carga armónica
p
T = 2π/ω
Amplitud p0
t
Figura 5.1
Fuerza armónica
Las constantes A y B son determinadas aplicando las condiciones iniciales u(0) y ú(0), es así que se tiene:
⎡ u& (0) p 0
p
ω ωn ⎤
1
−
⋅
u (t ) = u (0) cos ω n t + ⎢
senωt
⎥ senω n t + 0 ⋅
2
k
k
ω
1 − (ω ω n )2
1 − (ω ω n ) ⎥⎦
⎢⎣ n
424444
3
144444444
42444444444
3 1444
Estado Permanente
Estado Transitorio
(5.5)
Esta ecuación contiene dos componentes de vibración distintas:
ƒ
El término “senωt” para la oscilación en frecuencia de excitación; representa el estado permanente de
vibración debido a que siempre está presente porque la fuerza aplicada no depende de las condiciones
iniciales.
ƒ
Los términos “sen ωnt” y “cos ωnt” para la oscilación en frecuencia natural del sistema; representan el
estado transitorio de vibración que depende de u(0) y ú(0), el cual existe a pesar de que estos valores sean
nulos. El término “estado transitorio de vibración” se debe a que el amortiguamiento, siempre presente en
sistemas reales, hace que la vibración libre decrezca en el tiempo.
u / (u )
(t)
st 0
Respuesta Total
2
1
t
0
-1
Respuesta
del Estado Permanente
-2
0
Figura 5.2
0.5
1.0
1.5
2.0
Respuesta para un sistema no amortiguado sujeto a carga armónica: ω/ωn=0.2; u(0)=0 y ú(0)=ωnp0/k
43
Vibración forzada, carga armónica
La ecuación 5.5 para condiciones iniciales en reposo u(0)=ú(0)=0 es expresada de la siguiente forma:
u (t ) =
5.2.2
p0
1
[senωt − (ω ω n )senω n t ]
k 1 − (ω ω n )2
(5.6)
Resonancia
Ignorando el efecto dinámico de la aceleración en la ecuación 5.1 se obtiene como resultado la deformación
estática en cada instante de tiempo:
p
(5.7)
u st (t ) = 0 senωt
k
El máximo valor de esta deformación es:
p
(5.8)
(u st ) 0 = 0
k
Por lo tanto la respuesta dinámica del estado permanente, una oscilación sinoidal en frecuencia de excitación,
puede ser expresada como:
⎡
⎤
1
(5.9)
u (t ) = (u st ) 0 ⎢
⎥ senωt
2
⎢⎣1 − (ω ω n ) ⎥⎦
El factor entre corchetes de la ecuación 5.9 es graficado contra la relación de frecuencias en la Figura 5.3, de la
cual se observa que:
ƒ
Para ω/ωn < 1 ó ω<ωn el factor es positivo indicando que u(t) y p(t) tienen el mismo signo, lo que significa que
el desplazamiento está en fase con la fuerza aplicada. (el sistema está desplazado en la misma dirección de la
fuerza)
ƒ
Para ω/ωn > 1 ó ω>ωn el factor es negativo indicando que u(t) y p(t) tienen signos opuestos, lo que significa
que el sistema estará fuera de fase con la fuerza aplicada. (el sistema está desplazado en dirección opuesta a
la fuerza)
5
4
3
2
1
1
1-(ω/ω )2
n
0
-1
-2
-3
-4
-5
0
1
2
Relación de Frecuencias
ω/ω
n
Figura 5.3
Rd versus relación de frecuencias
3
44
Vibración forzada, carga armónica
La ecuación 5.9 puede ser reescrita en términos de la amplitud u0 y el ángulo de fase φ:
u (t ) = u 0 ⋅ sen(ωt − φ ) = (u st ) 0 ⋅ R d ⋅ sen(ωt − φ )
(5.10)
De donde se tiene que:
Rd =
ω < ωn
⎧0°
⎩180° ω > ω n
u0
1
=
(u st ) 0 1 − (ω ω )2
n
φ⎨
(5.11)
Donde el factor de deformación Rd es la relación de amplitud de deformación vibratoria u0 y la deformación
estática (ust)0 debido a la fuerza p0.
Consiguientemente se define la frecuencia resonante como aquella frecuencia de excitación para la cual Rd es
máximo. Para un sistema no amortiguado la frecuencia resonante es ωn siendo Rd infinito para esta frecuencia y la
deformación vibratoria crece indefinidamente, pero ésta se vuelve infinita sólo después de un tiempo infinito.
Para ω=ωn la ecuación 5.6 no es más válida; en este caso la función C·senωt, como elección de una solución
particular a la ecuación diferencial 2 , falla debido a que ésta ya forma parte de la solución complementaria, por
tanto la solución particular ahora es:
u p (t ) = −
p0
ω n t ⋅ cos ω n t
2k
ω = ωn
(5.12)
Y la solución total es:
u (t ) = A ⋅ cos ω n t + B ⋅ senω n t −
p0
ω n t ⋅ cos ω n t
2k
(5.13)
Las constantes A y B son determinadas aplicando las condiciones iniciales en reposo u(0)=ú(0)=0 es así que se tiene
la ecuación de respuesta:
p
(5.14)
u (t ) = 0 (senω n t − ω n t ⋅ cos ω n t )
2k
ó:
u (t )
= − 12 2Tπ t ⋅ cos 2Tπ t − sen 2Tπ t
(5.15)
n
n
n
(u st ) 0
(
)
30
Curva Envolvente
20
π
st 0
0
(t)
u / (u )
10
-10
t
u
π
-20
j
u
j+1
-30
0
Figura 5.4
2
2
4
6
8
Respuesta para un sistema no amortiguado sujeto a carga armónica de ω=ωn
El desarrollo de esta expresión se encuentra en el Apéndice A-3.
45
Vibración forzada, carga armónica
En la Figura 5.4 está graficada la ecuación 5.15, de donde se observa que el tiempo requerido para completar un
ciclo de vibración es Tn. En cada ciclo el incremento de la amplitud 3 está dado por:
u j +1 − u j =
(u st ) 0
[2π ( j + 1) − 2πj ] = π p 0
k
2
(5.16)
La interpretación de este resultado académico para estructuras reales es que a medida que la deformación se
incrementa, el sistema en algún punto en el tiempo fallará si es frágil o cederá si es dúctil.
5.3
SISTEMA AMORTIGUADO CON CARGA ARMÓNICA
5.3.1
Ecuación de movimiento
Respuesta Total
2
u(t) / (ust) 0
1
0
-1
Respuesta
del Estado Permanente
-2
0
0.5
Figura 5.5
1.0
t
1.5
2.0
Respuesta para un sistema amortiguado sujeto a carga armónica
Incluyendo el amortiguamiento viscoso en la ecuación 5.1 la ecuación diferencial 4 que gobierna este sistema es:
m ⋅ u&& + c ⋅ u& + k ⋅ u = p 0 senωt
(5.17)
u p (t ) = C ⋅ senωt + D ⋅ cos ωt
(5.18)
La solución particular de esta ecuación es:
Donde:
C=
1 − (ω ω n )2
p0
k 1 − (ω ω )2 2 + [2ξ (ω ω )]2
n
n
[
]
[
]
− 2ξ (ω ω n )
p
D= 0
k 1 − (ω ω )2 2 + [2ξ (ω ω )]2
n
n
3
4
Anil K. Chopra, pp 66 [ref. 12]
La solución de esta ecuación se encuentra en el Apéndice A-4
(5.19)
46
Vibración forzada, carga armónica
La solución complementaria de la ecuación 5.17 es:
u c (t ) = e −ξω nt ( A ⋅ cos ω D t + B ⋅ senω D t )
(5.20)
Y la solución completa es:
⋅ senωt + D ⋅ cos ωt
u (t ) = e −ξω nt ( A ⋅ cos ω D t + B ⋅ senω D t ) + C
144444
42444444
3 144424443
Estado
Permanente
Estado Temporal
(5.21)
Donde las constantes A y B pueden determinarse mediante procedimientos estándar en términos del
desplazamiento u(0) y la velocidad ú(0).
La Figura 5.5 muestra la ecuación 5.21 graficada para ω/ωn = 0.2 ξ = 0.05 u(0) = 0 y ú(0) =ωn p0 / k. La respuesta
total es representada por una línea de trazo continuo y la respuesta del estado permanente por una línea
discontinua, la diferencia entre ambas es la respuesta transitoria, la cual decae exponencialmente con el tiempo en
un valor que depende de ω/ωn y ξ ; quedando únicamente la respuesta forzada y es por esta razón que es llamada
respuesta del estado permanente.
5.3.2
Resonancia
Para ω=ωn las constantes C y D de la ecuación 5.19 son:
C =0
D=−
(u st ) 0
2ξ
Las constantes A y B se obtienen a partir de las condiciones iniciales en reposo u(0)=ú(0)=0 y para ω=ωn:
A=
(u st ) 0
2ξ
B=
(u st ) 0
2 1−ξ 2
Entonces la respuesta para un sistema amortiguado sujeto a carga armónica para ω=ωn es:
u (t ) = (u st ) 0
⎤
⎡
⎛
⎞
ξ
1 ⎢ −ξω nt ⎜
⎟
⎥
+
e
cos
ω
t
sen
ω
t
cos
ω
t
−
D
D ⎟
n
⎜⎜
⎥
2
2ξ ⎢
⎟
−
1
ξ
⎝
⎠
⎦⎥
⎣⎢
(5.22)
Esta ecuación de respuesta es graficada en la Figura 5.6, se observa que la magnitud de los desplazamientos es
menor que los presentados por la Figura 5.4, y que el límite de respuesta está dado por:
u0 =
(u st ) 0
2ξ
(5.23)
Para amortiguamientos pequeños el término del seno en la ecuación 5.22 es pequeño y ω D ≈ ω n , por lo que la
ecuación 5.22 toma la forma de:
1 −ξω nt
(5.24)
u (t ) ≈ (u st ) 0
e
− 1 ⋅ cos ω n t
2ξ
144424443
(
)
función
envolvente
La deformación varía con el tiempo como una función coseno, la amplitud se incrementa en función del tiempo
de acuerdo a la envolvente mostrada en la Figura 5.6 como una línea de trazo discontinuo. Es importante el notar
47
Vibración forzada, carga armónica
que la amplitud del estado permanente de deformación del sistema es influenciada fuertemente por el
amortiguamiento.
El desplazamiento pico uj después de j ciclos de vibración es determinado sustituyendo t=jTn en la ecuación 5.24,
estableciendo cosωnt=1 y utilizando la ecuación 5.23, de donde se tiene:
uj
= 1 − e − 2πξj
u0
(5.25)
20
Curva Envolvente
1/2ξ
10
u(t) / (ust) 0
Amplitud
del Estado Permanente
0
1/2ξ
-10
-20
0
2
4
6
8
t
Figura 5.6
5.3.3
Respuesta para un sistema amortiguado de ξ=0.05 sujeto a carga armónica ω=ωn
Deformación Máxima
La deformación en el estado permanente del sistema debida a una carga armónica descrita en la ecuación 5.18 y
la 5.19 puede ser reescrita como:
u (t ) = u 0 ⋅ sen(ωt − φ ) =
p0
R d sen(ωt − φ )
k
(5.26)
Donde u 0 = C 2 + D 2 y φ = artg − D C sustituyendo por C y D :
Rd =
u0
=
(u st ) 0
[1 − (ω ω ) ]
2 2
n
φ = artg
1
+ [2ξ (ω ω n )]2
2ξ (ω ω n )
1 − (ω ω n )2
(5.27)
(5.28)
Rd es graficada en función de ω/ωn en la Figura 5.7(a) para algunos valores de ξ, notar que todas las curvas están
por debajo de la curva correspondiente a ξ =0. El amortiguamiento reduce Rd y por consiguiente la amplitud de
deformación también reduce. La magnitud de esta reducción depende de la frecuencia de excitación de la
siguiente manera:
48
Vibración forzada, carga armónica
ƒ
Si ω/ωn << 1 (la fuerza está variando lentamente) Rd es sólo levemente más grande que 1 y es esencialmente
independiente del amortiguamiento.
p
(5.29)
u 0 ≅ (u st ) 0 = 0
k
Este resultado implica que la respuesta dinámica es esencialmente la misma que la deformación estática y es
controlada por la rigidez del sistema.
ƒ
Si ω/ωn >> 1 (la fuerza está variando rápidamente) Rd tiende a cero y no es afectada por el amortiguamiento.
Para valores grandes de ω/ωn el término (ω/ωn)4 es dominante en la ecuación 5.27, la cual puede ser
aproximada por:
u 0 ≅ (u st ) 0
ωn2
ω
=
2
p0
mω 2
(5.30)
Este resultado implica que la respuesta es controlada por la masa del sistema.
ƒ
Si ω/ωn ≈ 1 (la frecuencia de excitación se acerca a la frecuencia natural del sistema) Rd es sensible al
amortiguamiento, implicando que la deformación dinámica puede ser más grande que la estática. Si ω=ωn la
amplitud máxima es la expresada por la ecuación 5.23:
u0 =
(u st ) 0
p
= 0
2ξ
cω n
(5.31)
Este resultado implica que la respuesta es controlada por el amortiguamiento de la estructura.
5.3.4
Factores de Respuesta Dinámica
En este punto se introducen factores de respuesta de deformación, velocidad y aceleración que definen la
amplitud de estas tres cantidades de respuesta. La ecuación 5.10 se puede escribir de la siguiente forma:
u (t ) =
p0
R d sen(ωt − φ )
k
(5.32)
Derivando la ecuación 5.32 se obtiene la respuesta para la velocidad:
u& (t ) =
p0
km
Rv cos(ωt − φ )
(5.33)
Donde el factor de respuesta para la velocidad esta relacionado con Rd mediante:
Rv = ωω Rd
n
(5.34)
Derivando la ecuación 5.33 se obtiene la respuesta para la aceleración:
u&&(t ) = −
p0
R a sen(ωt − φ )
m
(5.35)
Donde el factor de respuesta para la aceleración esta relacionado con Rd mediante:
Ra = ( ωω ) 2 Rd
n
(5.36)
49
Vibración forzada, carga armónica
En la Figura 5.7 están graficados los tres factores de respuesta dinámica en función de ω/ωn. Estas cantidades
están relacionadas de la siguiente forma:
Ra
ω
ωn
= Rv = ωω R d
(5.37)
n
que hace posible el presentar estas tres gráficas en una sola utilizando un papel tetralogarítmico.
5
ξ=0.01
4
ξ=0.1
3
(a)
Rd
ξ=0.2
2
ξ=0.7
1
ξ=1
0
5
ξ=0.01
4
ξ=0.1
3
Rv
(b)
ξ=0.2
2
1
ξ=1
ξ=0.7
0
5
ξ=0.01
4
ξ=0.1
ξ=0.2
3
Ra
2
(c)
ξ=0.7
1
0
Figura 5.7
5.3.5
ξ=1
0
1
2
Relación de Frecuencias ω/ωn
3
Factores de respuesta de desplazamiento, velocidad y aceleración para un sistema amortiguado sujeto a la acción de una
carga armónica.
Frecuencia Resonante y Respuesta Resonante
La frecuencia Resonante está definida como la frecuencia de excitación en la cual ocurre la amplitud máxima de
respuesta. La frecuencia resonante es determinada estableciendo la primera derivada igual a cero de Rd Rv y Ra
con respecto de ω/ωn para ξ < 1 :
2
50
Vibración forzada, carga armónica
Frecuencia resonante para el desplazamiento:
ω = ω n 1 − 2ξ 2
Frecuencia resonante para la velocidad:
ω = ωn
Frecuencia resonante para la aceleración:
ω=
ωn
1 − 2ξ 2
Para un sistema no amortiguado las tres frecuencias son iguales a ωn. Los tres factores de respuesta dinámica en
sus respectivas frecuencias resonantes son:
Rd =
1
2ξ 1 − ξ
2
Rv =
1
2ξ
Ra =
1
2ξ 1 − ξ 2
(5.38)
51
Vibración forzada, carga armónica
5.4
EJEMPLOS
Ejemplo 5.1
Determinación de las propiedades dinámicas (resonancia)
La masa m, la rigidez k y la frecuencia natural ωn de un sistema de 1DOF son desconocidas. Estas propiedades
son determinadas mediante un ensayo de excitación armónica. Bajo una frecuencia de excitación de 4 [hertz] la
respuesta tiende a incrementarse sin límite. Luego se añade un peso adicional de 2.5 [kg] a la masa m y se repite
el ensayo, esta vez la resonancia sucede para f = 3 [hertz]. Determinar la masa y la rigidez del sistema.
Solución
Para f=4 [hertz] se tiene:
f =
4=
1 ω
=
T 2π
ω
2π
ω = ω n = 8π = 25.13
[rad s ]
se tiene que la frecuencia natural es:
ωn =
k
8π =
k
m
m
k = 64π m
2
Para f=3 [hertz] se tiene:
(a)
ω
2π
ω = ω n = 6π = 18.85
3=
ωn =
k
m + 2.5 g
6π =
k
m + 2.5 g
[rad s ]
Reemplazando la ecuación (a) en (b) y resolviendo para m:
64π 2 m
= 6π
m + 2.5 g
m = 3.21
[ ]
kg
g
g
Reemplazando el valor de la masa en la ecuación (b) se obtiene el valor de la rigidez:
k = 64π 2 *
k = 2.07
3.21
g
[ ]
kg
cm
(b)
52
Vibración forzada, carga armónica
Ecuación de movimiento sistema amortiguado sujeto a carga armónica
Ejemplo 5.2
Determinar el desplazamiento del sistema de la Figura 5.8 para un
tiempo 1.2 [s] considerando el estado transitorio y el permanente
para condiciones iniciales en reposo.
w=450 [T]
a) Si ω = ω n
b) La amplitud máxima para ω ≠ ω n
ξ=0.1
8 sen ωt
k T=11 [T/cm]
Figura 5.8
Solución
La ecuación de movimiento para el sistema amortiguado sujeto a carga armónica es:
u (t ) = e −ξω nt ( A ⋅ cos ω D t + B ⋅ senω D t ) + C ⋅ senωt + D ⋅ cos ωt
(5.15)
La frecuencia natural, de amortiguamiento y las constantes de la ecuación 5.15 se obtienen de:
ωn =
k
m
=
1100 * g
= 4.89
450
[rad s ]
ω D = ω n 1 − ξ 2 = 4.89 1 − 0.12 = 4.87
C=
[rad s ]
p0
1 − (ω ω n )2
=0
k 1 − (ω ω )2 2 + [2ξ (ω ω )]2
n
n
[
]
[
]
p
− 2ξ (ω ω n )
D= 0
= −3.63 [cm]
k 1 − (ω ω )2 2 + [2ξ (ω ω )]2
n
n
Las constantes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales u(0)=0 y ú(0)=0:
A = 3.63 [cm]
B = 0.36 [cm]
Por tanto la ecuación de movimiento es:
u (t ) = e −0.1×4.89t (3.63 cos 4.87t + 0.36 sen 4.87t ) − 3.63 cos 4.89t
El tiempo en el cual finaliza el estado transitorio es hallado igualando la respuesta total a la respuesta en el
estado permanente, lo que conduce a la siguiente ecuación:
e −ξω n t ( A ⋅ cos ω D t + B ⋅ senω D t ) + C ⋅ senωt + D ⋅ cos ωt = C ⋅ senωt + D ⋅ cos ωt
De donde se tiene que:
t=
⎛
A
arcsen⎜
⎜
2
2
⎝ A +B
ωD
⎞
⎟
⎟
⎠
(5.29)
53
Vibración forzada, carga armónica
⎛
3.63
arcsen⎜
⎜
2
2
⎝ 3.63 + 0.36
t=
4.87
t = 0.302 [s ]
⎞
⎟
⎟
⎠
Por lo tanto para el tiempo de 1.2 [s] el desplazamiento del sistema está dado por:
u (1.2) = −3.63 cos 4.89t
u (1.2) = −3.32 [cm]
La frecuencia de excitación en la cual la respuesta máxima tiene lugar es:
ω = ω n 1 − 2ξ 2 = 4.89 1 − 2 * 0.12 = 4.84
[rad s ]
El factor de respuesta de desplazamiento para esta frecuencia es:
Rd =
1
2ξ 1 − ξ
=
2
1
2 * 0.1 1 − 0.12
= 5.02
La amplitud máxima es:
p0
8
= 5.02
k
11
u 0 = 3.65 [cm]
u 0 = Rd * (u st )0 = R d
54
Vibración forzada, carga armónica
Respuesta máxima
Ejemplo 5.3
Determinar la respuesta máxima del sistema de la Figura
5.9, la carga dinámica actúa durante un tiempo de 20 [s] y la
frecuencia de excitación es ω = 0.5ω n
w=60 [T]
ξ=0.2
10 sen ωt
k T=10 [T/cm]
Figura 5.9
Solución
El movimiento del sistema se divide en dos fases: la fase 1 comprende el movimiento debido a la excitación
externa y la fase 2 abarca el tiempo durante el cual el sistema se encuentra en vibración libre.
ƒ
Fase 1
La ecuación de movimiento para un sistema amortiguado sujeto a una carga armónica es:
u (t ) = e −ξω nt ( A ⋅ cos ω D t + B ⋅ senω D t ) + C ⋅ senωt + D ⋅ cos ωt
La frecuencia natural, de excitación y de amortiguamiento son:
1000 * g
= 12.79 [rad s ]
60
ω = 0.5ω n = 0.5 *12.79 = 6.39 [rad s ]
ωn =
k
m
=
ω D = ω n 1 − ξ 2 = 12.79 1 − 0.2 2 = 11.07
[rad s ]
Las constantes C y D se calculan según la ecuación 5.13 y las constantes A y B a partir de las condiciones
iniciales u(0)=0 y ú(0)=0, y sus valores son:
C = 1.25
[cm]
D = −0.33 [cm]
A = 0.33 [cm]
B = −0.64 [cm]
Por tanto la ecuación de movimiento para esta fase es:
u (t ) = e −0.2*12.79t (0.33 cos 11.07t − 0.64 sen11.07t ) + 1.25 sen6.39t − 0.33 cos 6.39t
Y la amplitud máxima se calcula mediante:
p
u0 = 0
k
[1 − (ω ω ) ]
n
u0 =
10
10
1
2 2
(1 − 0.5 )
2 2
+ [2ξ (ω ω n )]2
1
+ (2 * 0.2 * 0.5)2
u 0 = 1.29 [cm]
(a)
55
Vibración forzada, carga armónica
ƒ
Fase 2
La ecuación de movimiento para un sistema subamortiguado (ξ = 0.2 < 1) en vibración libre es:
⎡
⎛ u& (0) + ξω n u (0)
u (t ) = e −ξω nt ⎢u ( 0) cos ω D t + ⎜⎜
ωD
⎢⎣
⎝
⎤
⎞
⎟ senω D t ⎥
⎟
⎥⎦
⎠
(b)
Para la cual las condiciones iniciales son el desplazamiento y la velocidad evaluados para un tiempo de 20 [s]
en la ecuación (a) de la fase 1:
u (0) = u ( 20) = 1.23 [cm]
u& (0) = u& ( 20) = −2.50 [cm]
La amplitud máxima es:
u 0 = u (0)
2
⎛ u& (0) + ξω n u (0)
+ ⎜⎜
ωD
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
2
⎛ − 2.5 + 0.2 *12.79 *1.23 ⎞
u 0 = 1.23 2 + ⎜
⎟
11.07
⎠
⎝
u 0 = 1.23 [cm]
2
Por tanto comparando las amplitudes máximas de ambas fases se tiene que la respuesta máxima del sistema es:
u 0 = 1.29 [cm]
Capítulo 6
MOVIMIENTO FORZADO
CARGA IMPULSIVA
6.1
INTRODUCCIÓN
Una carga impulsiva consta esencialmente de un impulso principal, el cual generalmente es de corta duración
como el que se muestra en la Figura 6.1. Las explosiones y las ráfagas de viento son excitaciones de este tipo, que
pueden ser idealizados por formas simples como se verá en párrafos posteriores.
La respuesta del sistema sujeto a carga impulsiva no llega a alcanzar el estado permanente de vibración; debido a
que la respuesta máxima es alcanzada en un lapso corto de tiempo, antes de que la fuerza de amortiguamiento
pueda absorber gran parte de la energía de vibración del sistema, solo se considera la respuesta no amortiguada
en esta sección.
Utilizando ecuaciones diferenciales se determina la respuesta de un sistema sujeto a carga impulsiva en dos fases:
la fase de vibración forzada, que abarca el tiempo de excitación, y la fase en vibración libre, que continua al
finalizar la acción de la carga impulsiva.
p(t)
t
Figura 6.1
6.2
Excitación del tipo carga impulsiva
CARGA IMPULSIVA RECTANGULAR
El primer caso en analizar es la respuesta de la estructura sujeta a una carga impulsiva de tipo rectangular como la
que se muestra en la Figura 6.2. La ecuación a resolver es:
57
Vibración forzada, carga impulsiva
t ≤ t1
⎧ p0
⎨
⎩0
mu&& + ku = p (t )
( 6.1)
t ≥ t1
p(t)
p0
t
t1
t-t1
Fase I
Fase II
Figura 6.2
Impulso Rectangular
Con las condiciones iniciales en reposo u (t ) = u& (t ) = 0 , el análisis es realizado en dos fases:
Fase I La fuerza es aplicada instantáneamente y permanece constante durante esta fase. La solución particular
para la ecuación diferencial es:
u p (t ) =
p0
k
(6.2)
Y la solución complementaria es:
uc (t ) = A ⋅ cosω nt + B ⋅ senω nt
(6.3)
Y la solución total es la suma de ambas soluciones:
u(t ) = A ⋅ cos ω nt + B ⋅ senω nt +
p`0
k
(6.4)
Aplicando las condiciones iniciales a la ecuación 6.4 se determinan las constantes A y B, y la ecuación de
respuesta para esta fase es:
Para:
0 ≤ t ≤ t1
u (t ) =
p0
(1 − cos ω n t )
k
(6.5)
Fase II La ecuación de respuesta para la fase de vibración libre esta dada por la ecuación 4.5:
u (t ) = u (0) ⋅ cos ω n t +
Para:
t − t1 ≥ 0
u& (0)
u(t ) = u(t1 ) ⋅ cos ω n (t − t1 ) +
ωn
senω n t
u&(t1 )
ωn
senω n (t − t1 )
(6.6)
(6.7)
Vibración forzada, carga impulsiva
58
Para este impulso rectangular es evidente que la respuesta máxima ocurrirá siempre en la fase I, si t1 ≥
Tn
2
correspondiente a cargas de duración larga 1 y el factor de respuesta en este caso es Rd=2:
u0 = 2
p0
k
(6.8)
Para cargas de duración corta, la respuesta máxima ocurre en la fase de vibración libre y está dada por:
2
⎡ u& (t ) ⎤
u 0 = ⎢ 1 ⎥ + u (t1 ) 2
⎢⎣ ω n ⎥⎦
Con la velocidad final de la fase I u& (t1 ) =
Para:
t1 ≤
p0
ω n ⋅ senω n t1 y ω n =
k
u0 = 2
Tn
2
(6.9)
2π
Tn
en la ecuación 6.9 se tiene:
p0
π ⋅ t1
⋅ sen
k
Tn
R d = 2 ⋅ sen
(6.10)
π ⋅ t1
(6.11)
Tn
Por tanto se observa que el factor de respuesta dinámica varía como una función seno de la duración del impulso
T
para t1 ≤ 2n , ver Figura 6.5.
6.3 CARGA IMPULSIVA TRIANGULAR
El segundo caso a analizar es el impulso triangular decreciente de la Figura 6.3, el análisis de la respuesta se
realiza análogamente al análisis de la carga impulsiva rectangular.
p(t)
p0
t
t1
t-t1
Fase I
Fase II
Figura 6.3
1
Referirse a la sección 6.6
Impulso Triangular
59
Vibración forzada, carga impulsiva
Fase I La función que describe la carga durante esta fase es p (t ) = p 0 ⋅ (1 − tt ) . La solución particular a la
1
ecuación de movimiento para esta carga es:
u p (t ) =
p0
(1 − tt )
1
k
(6.12)
Aplicando en la solución general las condiciones iniciales en reposo se determinan las constantes de integración
A y B obteniendo la ecuación de respuesta para esta fase:
u (t ) =
p0
k
⎛ senω n t
⎞
t
⎜
⎟
⎜ ω t − cos ω n t − t + 1⎟
1
⎝ n1
⎠
(6.13)
Fase II Evaluando la ecuación 6.13 para el desplazamiento y la velocidad en t=t1 (fin de la primera fase) se
tiene:
⎞
p ⎛ senω n t1
u (t1 ) = 0 ⎜⎜
− cos ω n t1 ⎟⎟
k ⎝ ω n t1
⎠
(6.14)
u& (t1 ) =
p0 ⋅ ω n
k
⎛ cos ω n t1
1 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
+ senω n t1 −
ω
t
ω
n 1
n t1 ⎠
⎝
Y sustituyendo en la ecuación 6.6 se obtiene la respuesta en vibración libre para la fase II. El máximo valor de
desplazamiento, u0, es calculado evaluando la ecuación de respuesta para el tiempo en el cual la velocidad es
cero.
Para cargas de corta duración (t1<0.4Tn) la respuesta máxima ocurre durante la fase II de vibración libre, de lo
contrario ocurre durante la fase I. El valor del factor de deformación Rd está tabulado para varias duraciones de
carga en la Tabla 6.1.
t1/T
0.20
0.40
0.50
0.75
1.00
1.50
2.00
Rd
0.60
1.05
1.19
1.38
1.53
1.68
1.76
Tabla 6.1
Factor de Deformación para carga Impulsiva Triangular
6.4 CARGA IMPULSIVA TIPO SINOIDAL
La Figura 6.4 ilustra este tipo de carga (impulso de onda sinoidal). El análisis de la respuesta es también realizado
en dos fases:
Fase I Durante esta fase la estructura esta sujeta a una carga armónica, empezando desde el reposo. La
respuesta no amortiguada, que incluye tanto el estado transitorio como permanente, está dada por la ecuación
5.6:
Para
0 ≤ t ≤ t1
u (t ) =
p0
1
[senωt − (ω ω n )senω n t ]
k 1 − (ω ω n )2
(6.15)
60
Vibración forzada, carga impulsiva
p(t)
p(t)=p0 sen ωt
p0
t
Figura 6.4
t1
t-t1
Fase I
Fase II
Impulso de una mitad de onda Sinoidal
Fase II El movimiento en vibración libre que tiene lugar en esta fase depende del desplazamiento u (t1 ) y de la
velocidad u& (t1 ) presentes al final de la fase I y puede ser expresado como:
Para:
t − t1 ≥ 0
u(t ) = u(t ) ⋅ cos ω n (t − t1 ) +
u&(t1 )
ωn
senω n (t − t1 )
(6.16)
Para el ingeniero estructural la respuesta máxima producida por la carga impulsiva es de mayor interés que el
histograma completo. El tiempo en el cual ocurre el desplazamiento máximo es calculado igualando a cero la
primera derivada de la ecuación 6.15:
p
∂u
1
=0= 0 ⋅
⋅ (ω ⋅ cos ωt − ω ⋅ cos ω n t )
∂t
k 1 − (ω ω n ) 2
de donde:
cos ωt = cos ω n t
y por tanto:
ωt = 2πn ± ω n t
n = 0,±1,2,3...
(6.17)
esta expresión es válida sólo mientras ω·t≤π, es decir la respuesta máxima ocurre mientras la carga impulsiva esta
actuando. Para la condición de carga en la que la frecuencia de excitación se aproxima a la frecuencia natural, el
tiempo en el cual la respuesta máxima ocurre está dado adoptando n=1 y utilizando el signo negativo en la
ecuación 6.17, lo cual da:
ωt =
2π
1 + (ω n ω )
(6.18)
la amplitud de respuesta máxima es obtenida reemplazando la ecuación 6.18 en la ecuación 6.15, el resultado es
válido sólo para ωt≤π, para el cual ω ω n < 1 .
Para ω ω n > 1 la respuesta máxima ocurre en la fase de vibración libre. El desplazamiento inicial y la velocidad
inicial para esta fase se calcula reemplazando ω·t1=π en la ecuación 6.15:
61
Vibración forzada, carga impulsiva
p0
1
ω
π
⋅
⋅ (0 −
⋅ sen
)
k 1 − (ω ω n ) 2
ωn
ω ωn
u (t1 ) =
(6.19)
u& (t1 ) =
p0
ω
π
⋅
⋅ (−1 − cos
)
2
k 1 − (ω ω n )
ω ωn
la amplitud de esta fase esta dada por la ecuación 6.9, y sustituyendo los valores u ( t1 ) y u&( t1 ) en ésta se tiene:
p0
uo =
k
1 − (ω ω n )
2
⋅
ω
π
⋅ 2 + 2 cos
ωn
ω ωn
(6.20)
para ω ω n > 1 , t > t1 el factor de respuesta de desplazamiento es:
Rd =
u0
p0
k
=
2 ⋅ω ω n
1 − (ω ω n )
2
⋅ cos
π
2 ⋅ω ω n
(6.21)
6.5 RESPUESTA AL MOVIMIENTO DEL SUELO.
La respuesta máxima, como se observa en párrafos anteriores, depende de la relación de duración del impulso
con el periodo natural de la estructura. Debido a esto es conveniente el graficar el factor de respuesta Rd en
función de t1 Tn para varios tipos de carga impulsiva (Figura 6.5); este tipo de grafica es conocida como
espectro de repuesta de desplazamiento o espectro de respuesta para cargas impulsivas. Generalmente este tipo de
gráficas son útiles para predecir los efectos máximos causados por cargas impulsivas que actúan en una estructura
simple.
Factor de magnificacion dinamica, D
2.4
2.0
1.6
1.2
0.8
0.4
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
Razon de impulso, t 1 /T
Figura 6.5
Espectro de respuesta de desplazamiento para tres tipos de impulso (espectro de choque).
62
Vibración forzada, carga impulsiva
Este tipo de espectro de respuesta también sirve para indicar la respuesta de la estructura a un impulso de
aceleración aplicada en su base. Si la aceleración aplicada en la base es üg(t), ésta produce una carga impulsiva
efectiva de peff(t) = -m·üg(t). Si la aceleración máxima en la base es denotado por üg0 el impulso efectivo máximo es
p0eff = -m·üg0. El factor de deformación toma la forma de:
Rd =
u0
u
= p0
0
(u st ) 0
k
reemplazando por p 0eff :
Rd =
ω 2 ⋅ u0
u0
= n
m ⋅ u&&g 0 k
u&&g 0
(6.22)
alternativamente esta ecuación puede ser reescrita como:
Rd =
u&&0′
u&&g 0
(6.23)
donde u&&0′ es la aceleración máxima total de la masa 2 . Es evidente que el espectro de respuesta de la Figura 6.5
puede ser usado para predecir la respuesta de aceleración máxima de la masa, m, a un impulso de aceleración
aplicada en la base, también como la respuesta de desplazamiento máxima debido a carga impulsiva. Cuando es
utilizada la Figura 6.5 para este propósito es generalmente designada como espectro de choque.
6.6 ANÁLISIS APROXIMADO DE RESPUESTA PARA CARGA IMPULSIVA.
El análisis del espectro de respuesta presentado en la Figura 6.5 conduce a dos conclusiones generales acerca de
la repuesta de una estructura sujeta a carga impulsiva:
1.
Para cargas de larga duración, por ejemplo, t1 Tn > 1 , el factor de respuesta depende principalmente del
valor del incremento de la carga hasta su valor máximo.
2.
Para cargas de corta duración, por ejemplo, t1 Tn <
1
4
, la amplitud del desplazamiento máximo u0
t1
depende principalmente de la magnitud del impulso aplicado I =
∫p
(t ) dt
y no es influenciada
0
fuertemente por la forma de la carga impulsiva. El factor de respuesta Rd sin embargo, es completamente
independiente de la forma de la carga debido a que es proporcional a la relación del área del impulso con
la amplitud máxima de la carga. Por tanto u0 es la medida mas significativa de la respuesta y esta ocurre
durante la fase de vibración libre.
A continuación es desarrollado un procedimiento aproximado para evaluar la respuesta máxima de un sistema
sujeto a una carga impulsiva de corta duración. De acuerdo a la segunda ley de Newton si una fuerza p actúa en el
cuerpo de masa m, el valor del cambio de momento del cuerpo es igual al valor de la fuerza aplicada, esto es:
∂ (m ⋅ u& )
=p
∂t
2
Para mayor referencia ver ecuación 3.5
(6.24)
63
Vibración forzada, carga impulsiva
para una masa constante esta ecuación es:
m ⋅ u&& = p
(6.25)
integrando ambos lados con respecto de t:
t2
∫ pdt = m ⋅ (u&
2
− u&1 ) = m ⋅ Δu&
(6.26)
t1
la integral en el lado izquierdo de esta ecuación es la magnitud del impulso, y el producto de la masa por la
velocidad es el momento, esta ecuación establece que la magnitud del impulso es igual al cambio de momento.
Este resultado es aplicable a un sistema simple, y debido a que la fuerza actúa por un infinitésimo periodo de
tiempo los componentes de elasticidad y amortiguamiento no tienen tiempo de responder; es así que se tiene la
respuesta después de la fase de excitación, es decir la respuesta en vibración libre:
u (t ) = u (t1 ) ⋅ cos ω n (t − t1 ) +
u& (t1 )
ωn
senω n (t − t1 )
en la cual el termino u (t1 ) es despreciable por ser extremadamente pequeño y la velocidad u& (t1 ) = Δu& , por tanto la
ecuación anterior se puede escribir como:
u (t )
1
=
m ⋅ω n
⎛ t1
⎞
⋅ ⎜⎜ p (t ) dt ⎟⎟ ⋅ senω n (t − t1 )
⎜
⎟
⎝0
⎠
∫
(6.27)
64
Vibración forzada, carga impulsiva
6.7 EJEMPLOS
Respuesta máxima
Ejemplo 6.1
Hallar la respuesta máxima para la carga impulsiva tipo sinoidal, Figura 6.4, en los siguientes casos:
a) La carga es un impulso de larga duración, considerando que: ω /ω n = 2/3 ó t1=3/4 Tn.
b) La carga es un impulso de corta duración con: ω /ω n = 4/3 ó t1=3/8 Tn.
c) La carga impulsiva resonante: ω =ω n.
Solución
a) La respuesta máxima ocurre durante la fase de excitación, para este caso la ecuación 6.18 da:
2π
ω ⋅t =
= 45 π
1 + (3 / 2)
con este valor sustituyendo en la ecuación 6.15 tenemos:
u (t )
= Rd =
p
0
k
1
1 − (4 / 3) 2
( sen 4 5 π − 2 3 sen 6 5 π ) = 1.77
b) La respuesta ocurre en la fase de vibración libre, para este caso la ecuación 6.21 da:
2 ⋅ ( 43 )
π
Rd =
⋅ cos
= 1.31
2
2 ⋅ ( 43 )
1 − ( 43 )
c) Con similar procedimiento, la máxima respuesta a la carga resonante, ω =ωn, se puede hallar de la ecuación
6.14 (ecuación de resonancia). En este caso la máxima respuesta ocurre al final de la carga impulsiva:
2π
Tn =
1
t1 = 2 T n
ωn
de estas dos ecuaciones se tiene: ω ⋅ t1 = π , reemplazado este valor en la ecuación 6.14:
u (t )
p0
k
= R d = 12 ( senπ − π ⋅ cos π )
Rd =
π
2
= 1.57
65
Vibración forzada, carga impulsiva
Espectro de choque
Ejemplo 6.2
Como un ejemplo del uso del espectro de choque para evaluar la respuesta máxima en sistemas simples sujetos a
cargas impulsivas considerar el sistema mostrado en la Figura 6.6 lo cual representa una estructura simple
sometida una carga explosiva.
Peso total W=270 [ton]
p(t)
450 [ton]
Rigidez lateral total:
k=1700 [ton/cm]
Carga explosiva p(t)
t1=0.05 [seg]
Resistencia elástica:
fs=kv
t
Figura 6.6
Solución:
Tn =
2π
ωn
= 2π
W
270
= 2π
= 0.0799
kg
1700 ⋅ 981
La razón de impulso es:
t1
0.05
=
= 0.625
Tn 0.0799
De la Figura 6.5 el factor de respuesta de deformación es: R d = 1.31 por tanto el desplazamiento máximo es:
u 0 = Rd
p0
450
= 1.31 ⋅
= 0.347
k
1700
y la fuerza elástica máxima que se desarrolla es:
f s ,max = k ⋅ u 0 = 1700 ⋅ 0.347 = 590
[t]
Si el impulso debido a la explosión fuese de una duración t1=0.005 seg., El factor de deformación, Rd para esta
razón de impulso, t1/Tn = 0.062 es: Rd = 0.24 y por tanto la fuerza elástica resistente: fs=198 [t]. Evidentemente
para cargas impulsivas de muy corta duración, gran parte de la fuerza aplicada es resistida por la inercia de la
estructura y el esfuerzo producido es muy pequeño que aquel debido a cargas de larga duración.
66
Vibración forzada, carga impulsiva
Respuesta máxima
Ejemplo 6.3
Considerar el pórtico de la Figura 6.7, que esta constituido por columnas metálicas de sección W8x18 y una viga
rígida, el cual tiene un periodo natural Tn=0.5 seg.
Despreciando el amortiguamiento determinar la máxima respuesta del pórtico sujeto a una carga impulsiva
rectangular de amplitud 1800 kg. y una duración t1=0.2 seg.
V iga rígida
p(t)
u0
6847.2 [kg m ]
W 8x18
W8x18
W8x18
4m
2749 [kg/cm 2]
fs =k u
Resistencia elástica
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 6.7
Solución:
t1 0.2
=
= 0.4
Tn 0.5
R d = 2 sen
k tot =
∑k
col
= 2⋅
3EI
=
3
L
( u st )0 =
π ⋅ t1
Tn
= 2 sen π ⋅ 0.4 = 1.902
2 ⋅ 2100000 ⋅ 2576.47
400 3
= 507.24
p0
1800
=
= 3.55
k
507.24
u 0 = R d ⋅ ( u st )0 = 3.55 ⋅1.902 = 6.75
[kg/cm]
[cm]
[cm]
El momento flexionante se encuentra a partir de la fuerza estática equivalente:
f s0 = k ⋅ u 0 = k ⋅ R d ⋅
p0
= R d ⋅ p 0 = 1.902 ⋅1800 = 3423.6
k
[kg]
debido a que las columnas son idénticas en sección y longitud se puede obtener el momento flexionante en la
parte superior de las columnas.
M =
fs
3423.6
⋅h =
⋅ 4 = 6847.2 [kg·m]
2
2
el esfuerzo flexionante es grande en las fibras extremas del perfil de las columnas en la parte superior:
σ=
M ⋅ y M M M 6447.2
= I = I =
=
= 27.49
I
s
249.08
y
c
[kg/cm2]
67
Vibración forzada, carga impulsiva
Respuesta máxima
Ejemplo 6.4
Determinar la respuesta máxima, y su respectivo tiempo para el sistema de la Figura 6.8a, sujeto a una carga
impulsiva mostrada en la Figura 6.8b.
üg
1.15 g
Peso W = 30 [ton]
k=3 [ton/cm]
0.3 seg
0.2 seg
Fase I
(a)
Fase II
t
Fase III
(b)
Figura 6.8
Solución
La respuesta máxima es la mayor de las respuestas de las tres fases:
0 ≤ t1 ≤ 0.25 seg.
FASE I
0.2 ≤ t1 ≤ 0.5 seg.
FASE II
t1 ≥ 0.5 seg.
FASE III
FASE I. La ecuación de equilibrio es:
m ⋅ u&& + k ⋅ u = p( t )
2
Dividiendo entre la masa m y reemplazado ω n =
u&& + ω n 2 ⋅ u =
k
m
se tiene:
p( t ) ⋅ ω n 2
k
De la ecuación de la recta ascendente se tiene: p( t ) = p o
t
t1
ecuación tenemos:
u&& + ω n 2 ⋅ u =
Resolviendo esta ecuación se tiene:
La solución complementaria es:
p0 ⋅ω n 2 ⋅ t
k ⋅ t1
u c = A cos ω n t + B sen ω n t
La solución particular es:
up =
p0 t
k t1
, reemplazando este valor en la anterior
68
Vibración forzada, carga impulsiva
La solución total es la suma de ambas:
u ( t ) = A cos ω n t + B sen ω n t +
p0 t
k t1
Las constantes son determinadas a partir de las condiciones iniciales en reposo: u ( 0 ) = u& ( 0 ) = 0 :
A=0
u&( t ) = − Aω n sen ω nt + Bω n cos ω nt +
B=−
p0 1
=0
k t1
p0 1
k ω n ⋅ t1
Por tanto:
u( t ) = −
u( t ) =
p0 1
p t
sen ω n t + 0
k ω n ⋅ t1
k t1
p0
k ⋅ t1
⎛
⎞
1
⎜t −
⎟
⎜ ω sen ω n t ⎟
n
⎝
⎠
Para hallar la máxima respuesta:
sen ω n t = −1
3
2
ω nt = π
t=
3 ⋅π
3 ⋅π
=
= 0.476
2 ⋅ ω n 2 ⋅ 9.905
[seg]
t > t1
0.476 > 0.2 seg. La respuesta máxima se da en le tiempo t=0.2 seg.
p0 ⎛
p
1
⎞
u ( 0. 2 ) =
sen 9.905 ⋅ 0.2 ⎟ = 0.537 0
⎜ 0. 2 −
9.905
k ⋅ 0. 2 ⎝
k
⎠
u&( t ) =
⎞
p0 ⎛ ω n
⎜1 −
cos ω nt ⎟⎟
k ⋅ t1 ⎜⎝ ω n
⎠
u& ( 0.2 ) =
p0
p
(1 − cos 9.905 ⋅ 0.2) = 6.994 0
k ⋅ 0. 2
k
FASE II. La ecuación de equilibrio:
u&& + ω n ⋅ u =
2
p( t ) ⋅ ω n 2
k
De la ecuación de la recta descendente se tiene: p( t ) = − p 0
t
t2
anterior ecuación tenemos:
u&& + ω n 2 ⋅ u =
Resolviendo esta ecuación se tiene:
La solución complementaria es:
p0 ⋅ω n 2
k
⎛
t
⎜⎜1 −
t
2
⎝
u c = A cos ω n t + B sen ω n t
⎞
⎟⎟
⎠
+ p 0 , reemplazando este valor en la
69
Vibración forzada, carga impulsiva
La solución particular es:
up =
p0 ⋅ ⎛
t
⎜⎜1 −
k ⎝ t2
⎞
⎟⎟
⎠
La solución total es la suma de ambas:
u ( t ) = A cos ω n t + B sen ω n t +
p0
k
⎛
t
⎜⎜1 −
⎝ t2
⎞
⎟⎟
⎠
Las constantes son determinadas a partir de las condiciones iniciales, condiciones de la FASE I
p
u ( 0) = u (t1 ) = 0.537 0
k
p
u& ( 0) = u& (t1 ) = 6.994 0
k
p
p
p
u (0) = A + 0 = 0.537 0 → A = −0.463 0
k
k
k
p0
p0
= 6.994
u& ( 0) = B ⋅ ω n −
k ⋅t2
k
B=
Resolviendo para ωn·t:
u max = u ( 0.178) =
p0
p0 ⎛
1 ⎞
⎜ 6.994 +
⎟ → B = 1.043
k
k ⋅ 9.905 ⎝
0. 3 ⎠
u (t ) =
p0
k
⎛
t
⎜⎜ − 0.463 cos ω n t + 1.043senω n t + 1 −
t2
⎝
u& (t ) =
p0
k
⎛
1
⎜⎜ 0.463 ⋅ ω n senω n t + 1.043 ⋅ ω n cos ω n t −
t
2
⎝
ωnt= 0.729
ω t=-0.190
→
→
⎞
⎟⎟
⎠
t=0.0761 seg.
t=0.178 seg
p0 ⎛
0.178 ⎞
⎜ − 0.463 cos 9.905 ⋅ 0.178 + 1.043sen9.905 ⋅ 0.178 + 1 −
⎟
k ⎝
0. 3 ⎠
p
u max = 1.519 0
k
FASE III. Vibración libre:
⎛ u& ( 0)
u 0 = ⎜⎜
⎝ ωn
2
⎞
⎟ + u ( 0) 2
⎟
⎠
de la fase anterior:
u ( 0 ) = u ( 0.3 ) = 0.633
p0
k
u& ( 0 ) = u& ( 0.3 ) = −12.739
2
p0
k
2
p ⎞
p
⎛ − 12.739 p 0 ⎞ ⎛
⎟⎟ + ⎜⎜ 0.633 0 ⎟⎟ = 1.433 0
u 0 = ⎜⎜
k ⎠
k
⎝ 9.905 k ⎠ ⎝
⎞
⎟⎟ = 0
⎠
70
Vibración forzada, carga impulsiva
Para hallar la máxima respuesta:
u max = 1.519
m ⋅ u&&g 0
u&&g 0
p0
0.15 ⋅ g
= 1.519
= 1.519 2 = 1.519
k
k
9.905 2
ω
u max = 2.278 [cm]
t = 0.178 + 0.2 = 0.378 [seg]
Capítulo 7
RESPUESTA A CARGA
DINAMICA GENERAL
7.1
INTEGRAL DE DUHAMEL
p(t)
p(τ)
t
τ
dτ
(t-τ)
Respuesta du(t)
Figura 7.1
Derivación de la integral de Duhamel (no amortiguado)
El procedimiento descrito en el Capítulo 6 para evaluar la respuesta de la estructura a impulsos de corta duración
sirve de base para evaluar la respuesta a carga dinámica general. Considerar la carga dinámica general p(t) de la
Figura 7.1, mas específicamente la intensidad de carga p(τ) actuando en el tiempo t=τ. Esta carga que actúa
durante el intervalo corto de tiempo dτ produce un impulso de corta duración p(τ)dτ sobre la estructura y la
ecuación 6.27 puede usarse para evaluar la respuesta de este impulso, se debe notar que aunque este
procedimiento es aproximado se vuelve exacto cuando la duración de la carga se aproxima a acero. Por tanto para
un intervalo de tiempo dτ, la respuesta producida por la carga p(τ) es:
Para t >τ
du(t ) =
p(τ ) dτ
mω n
senω n ⋅ (t − τ )
(7.1)
72
Conceptos generales en el análisis dinámico
En esta expresión el término du(t) representa la respuesta diferencial al impulso diferencial y no la variación de u
durante el intervalo de tiempo dt.
El histograma de carga completo consiste de una sucesión de impulsos cortos, cada uno de ellos produce su
propia respuesta diferencial. La respuesta total a la carga arbitraria es la suma de todos los impulsos de duración
dτ, es decir:
u( t ) =
1
mω n
t
∫ p τ senω (t − τ )dτ
( )
(7.2)
n
0
esta es una expresión exacta llamada integral de Duhamel. Debido a que esta basada en el principio de
superposición solamente es aplicable a estructuras linealmente elásticas.
En la ecuación 7.2 se asume tácitamente que la carga se inicia en el tiempo t=0 cuando la estructura esta en
reposo; para condiciones iniciales distintas del reposo u (0) ≠ 0 y u& (0) ≠ 0 se añade la respuesta en vibración
libre a la solución, entonces se tiene:
u& ( 0)
u (t ) =
ωn
senω n t + u ( 0) cos ω n t +
t
1
mω n
∫ p τ senω
( )
n (t
− τ ) dτ
(7.3)
0
usando la integral de Duhamel para un SDF no amortiguado la repuesta se determina asumiendo condiciones
iniciales en reposo para una fuerza p(t)=p0 y t>0, entonces la ecuación 7.2 es:
t
t
u( t ) =
7.2
p0
p ⎡ cos ω n (t − τ ) ⎤
p0
senω n (t − τ )dτ = 0 ⎢
(1 − cos ω nt )
⎥ =
mω n ⎣
ωn
k
mω n
⎦
0
0
∫
INTEGRAL DE DUHAMEL PARA UN SISTEMA NO AMORTIGUADO.
Si la función de carga es integrable, la respuesta dinámica de la estructura puede ser evaluada por integración
formal de la ecuación 7.2 ó 7.3; sin embargo en muchos casos la carga es conocida solo de datos experimentales,
y la respuesta debe ser evaluada por procesos numéricos. Para el análisis es práctico utilizar la identidad
trigonométrica sen(ω n t − ω nτ ) = senω n t ⋅ cos ω nτ − cos ω n t ⋅ senω nτ para reformular la ecuación 7.2:
u (t ) = senω n t
1
mω n
t
∫pτ
( )
⋅ cos ω nτ ⋅ dτ − cos ω n t
0
1
mω n
t
∫pτ
( )
⋅ senω nτ ⋅ dτ
0
ó
u (t ) = A(t ) ⋅ senω n t − B (t ) ⋅ cos ω n t
(7.4)
donde:
A(t ) =
1
mω n
t
∫pτ
( )
⋅ cos ω nτ ⋅ dτ
0
(7.5)
B (t ) =
1
mω n
t
∫ p τ senω τ ⋅ dτ
( )
0
n
73
Conceptos generales en el análisis dinámico
7.3
INTEGRAL DE DUHAMEL PARA UN SISTEMA AMORTIGUADO.
El análisis para obtener la integral de Duhamel que expresa la respuesta de un sistema amortiguado a una carga
general es similar al análisis para un sistema no amortiguado, con la única variante que la respuesta en vibración
libre iniciada por un impulso diferencial p(τ)·dτ esta sujeta a un decremento exponencial. De este modo
estableciendo u(0)=0 y u& (0) = ( p (τ ) dτ ) / m en la ecuación 4.15 da:
⎡ p (τ ) dτ
⎤
du (t ) = e −ξω n (t −τ ) ⎢
senω D (t − τ )⎥
⎢⎣ mω D
⎥⎦
(7.6)
la respuesta de la carga total arbitraria es:
u (t ) =
t
1
mω D
∫pτ e
( )
−ξω n ( t −τ )
senω D (t − τ )dτ
(7.7)
0
para una evaluación numérica de la respuesta del sistema amortiguado la ecuación 7.7 puede ser escrita en forma
similar a la ecuación 7.4:
u (t ) = A(t ) ⋅ senω D t − B(t ) ⋅ cos ω D t
(7.8)
donde en este caso:
A(t ) =
B(t ) =
t
1
mω D
1
mω D
∫
p (τ )
0
t
∫pτ
( )
0
e ξω nτ
e ξω nt
e
ξω nτ
e ξω n t
cos ω Dτ ⋅ dτ
(7.9)
senω Dτ ⋅ dτ
Para la excitación dinámica debida a la aceleración del suelo, la fuerza p(τ) toma el valor de:
p (τ ) = m ⋅ u&&g (τ )
7.4
(7.10)
EVALUACIÓN NUMÉRICA DE LA RESPUESTA DINÁMICA 1
La solución analítica de la ecuación de movimiento para un sistema simple no es posible si la excitación (fuerza
aplicada p(t) o aceleración del suelo u&&g (t ) ) varía arbitrariamente con el tiempo, o si el sistema no es lineal.
Un método más general de solución consiste en el cálculo iterativo de la respuesta a través de una serie de
cálculos utilizando interpolación lineal, el cual es un procedimiento numérico altamente eficiente que puede ser
desarrollado para sistemas lineales.
La Figura 7.2 muestra una función de excitación en forma general, la cual es aproximada a través de una serie de
líneas rectas suficientemente cercanas, de tal forma que se asume una discrepancia muy pequeña, es decir, si el
intervalo de tiempo es muy pequeño la interpolación lineal es satisfactoria. La función de excitación para el
intervalo de tiempo t i ≤ t ≤ t i +1 está dada por:
p (τ ) = p i +
1
Anil K. Chopra, pp 155-185 [ref. 12]
Δp i
τ
Δt i
(7.11)
74
Conceptos generales en el análisis dinámico
donde:
Δp i = p i +1 − p i
(7.12)
y la variable de tiempo τ varía de 0 a Δti. Para simplificar algebraicamente se considera primero a un sistema sin
amortiguamiento. Para este caso la ecuación a ser resuelta es:
m ⋅ u&& + k ⋅ u = p i +
Δp i
τ
Δt i
(7.13)
p(t)
pi+1
Real
pi
Interpolado: p(τ)
Δti
ti
ti+1
t
τ
Figura 7.2
Interpolación lineal
La respuesta u(τ) para 0 ≤ τ ≤ Δt i es la suma de tres partes: (1) la vibración libre debido al desplazamiento inicial
ui y velocidad u& i para τ=0. (2) la respuesta para la fuerza pi con condiciones iniciales de cero. (3) la respuesta
para (Δpi/Δti)·τ con condiciones iniciales de cero. Adoptando las soluciones disponibles de los párrafos
precedentes para estos tres casos la respuesta total es:
u (τ ) = u i ⋅ cos ω nτ +
u& i
ωn
senω nτ +
Δp
pi
(1 − cos ω nτ ) + i
k
k
⎛ τ
senω nτ
⎜
⎜ Δt − ω ⋅ Δt
n
i
⎝ i
⎞
⎟
⎟
⎠
y
(7.14)
u& (τ )
ωn
= −u i ⋅ senω nτ +
u& i
ωn
cos ω nτ +
pi
Δp
1
senω nτ + i
(1 − cos ω nτ )
k
k ω n ⋅ Δt i
Evaluando estas ecuaciones para τ=Δti proporciona el desplazamiento ui+1 y la velocidad u& i +1 en el tiempo i+1:
u i +1 = u i cos(ω n ⋅ Δt i ) +
u& i
ωn
sen(ω n ⋅ Δt i ) +
pi
[1 − cos(ω n ⋅ Δt i )] + Δp i 1 [ω n ⋅ Δt i − sen(ω n ⋅ Δt i )]
k
k ω n ⋅ Δt i
(7.15)
u& i +1
ωn
Δp
p
1
= −u i sen(ω n ⋅ Δt i ) +
cos(ω n ⋅ Δt i ) + i sen(ω n ⋅ Δt i ) + i
[1 − cos(ω n ⋅ Δt i )]
ωn
k
k ω n ⋅ Δt i
u& i
75
Conceptos generales en el análisis dinámico
Estas ecuaciones se pueden replantear después de sustituir la ecuación 7.12 como fórmulas recurrentes:
u i +1 = A ⋅ u i + B ⋅ u& i + C ⋅ p i + D ⋅ p i +1
(7.16)
u& i +1 = A′ ⋅ u i + B ′ ⋅ u& i + C ′ ⋅ p i + D ′ ⋅ p i +1
estas fórmulas también son aplicables para sistemas amortiguados, las cuales tienen sus respectivas expresiones
para los coeficientes A, B,..., D’; y éstas están dadas en la Tabla 2 5.2.1 [ref .12] para sistemas subamortiguados;
cuyo título es: “Coeficientes para las fórmulas recurrentes (ξ < 1)”.
2
Anil K. Chopra, pp 159 [ref. 12]
76
Conceptos generales en el análisis dinámico
7.5
EJEMPLOS
Ejemplo 7.1 3
Integral de Duhamel para un sistema sin amortiguamiento
Calcular la respuesta dinámica del tanque de agua de la Figura 7.3, el cual está sujeto a una carga explosiva cuyo
histograma de fuerza se muestra en la misma figura.
histograma de carga
w=96.6 k
p(t)
p(t)
96.6 k
k=2700 k/ft
0.025 s
0.025 s
t
fs
Figura 7.3
Solución
Para la resolución de este problema se utiliza a continuación “Mathcad 2000”, el cual es un programa de
análisis matemático que hace más fácil la resolución de integrales de este tipo.
Cálculos adicionales
Gravedad [ft/s2]:
g := 32.3
Frecuencia natural:
ω n :=
k⋅g
w
Periodo natural:
Tn := 2 ⋅
π
ωn
Primera fase, para 0<t<0.025
El histograma de carga para esta fase está definido por la recta, de coordenadas [a,b] y [c,d], para la
evaluación de la carga en función del tiempo.
a := 0
b := 0
c := 0.025
d := 96.6
la ecuación de la recta resultante es:
⎡d −b⎤
p ( x ) := ⎢
⎥ ⋅ ( x − a ) + b → 3864.0 ⋅ x
⎣c−a⎦
Evaluación de A(t) y B(t) para el cálculo de la integral de Duhamel:
A(t ) :=
3
∫
t
0
p ( x ) ⋅ cos(ω n ⋅ x)dx
Ejemplo comparativo con: Joseph Penzien, pp 104-110 [ref. 13]
B(t ) :=
t
∫p
0
( x)
⋅ sen(ω n ⋅ x)dx
77
Conceptos generales en el análisis dinámico
La respuesta de desplazamiento es:
u (t ) :=
(
32.3
A(t ) ⋅ sen(ω n ⋅ t ) − B(t ) ⋅ cos(ω n ⋅ t )
w ⋅ω n
)
La respuesta de fuerza elástica es:
f (t ) := k ⋅ u (t )
4
La respuesta de velocidad es:
v (t ) :=
d
dt
u (t ) →
Segunda fase, para 0.025<t<0.05
El histograma de carga para esta fase está definido por la recta, de coordenadas [e,g] y [h,i], para la evaluación
de la carga en función del tiempo.
e := 0
g := 96.6
h := 0.025
i := 0
la ecuación de la recta resultante es:
⎡i − g ⎤
p (τ ) := ⎢
⎥ ⋅ (τ − e) + g → 3864.0 ⋅ τ + 96.6
⎣h − e⎦
las condiciones iniciales para esta fase son:
tiempo inicial [s]:
desplazamiento inicial[ft]:
tr := 0.025
u (tr ) = 3.271 ⋅10 −3
velocidad inicial [ft/s]:
v (tr ) = 0.385
Evaluación de 5 C(t) y D(t) para el cálculo de la integral de Duhamel:
C ( j ) :=
∫
j
0
p (τ ) ⋅ cos(ω n ⋅ τ )dτ
D( j ) :=
La respuesta de desplazamiento es:
v (tr )
⎛ 32.3
res ( j ) :=
⋅ sen(ω n ⋅ j ) + u (tr ) ⋅ cos(ω n ⋅ j ) + ⎜⎜
ωn
⎝ w ⋅ω n
∫
j
0
p (τ ) ⋅ sen(ω n ⋅ τ )dτ
⎞
⎟ ⋅ C ( j ) ⋅ sen(ω n ⋅ j ) − D( j ) ⋅ cos(ω n ⋅ j )
⎟
⎠
(
La respuesta de fuerza elástica es:
fuerza( j ) := k ⋅ res ( j )
La respuesta de velocidad es:
vel ( j ) :=
d
dj
res ( j ) →
Tercera fase, para vibración libre t>0.05
las condiciones iniciales para esta fase son:
tiempo inicial [s]:
desplazamiento inicial[ft]:
velocidad inicial [ft/s]:
4
5
ù(t)=v(t)
C(t)=C(j)
to := 0.05
res (0.05−tr ) = 0.017
vel (0.05−tr ) = 0.563
)
78
Conceptos generales en el análisis dinámico
La respuesta de desplazamiento para vibración libre es:
⎛ vel (0.05−tr ) ⎞
⎟ ⋅ sen(ω n ⋅ s) + res (0.05−tr ) ⋅ cos(ω n ⋅ s )
reslib( s ) := ⎜⎜
⎟
ωn
⎝
⎠
La respuesta de fuerza elástica para la vibración libre es:
flib( s ) := k ⋅ reslib( s )
las graficas de respuesta en las tres fases son:
Respuesta de Fuerza Elástica
100
75
fueza elástica [k]
50
25
0
25
50
75
100
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.2
0.25
tiempo [s]
Respuesta máxima:
Fuerza[k]=69.214
en un tiempo [s]=0.0772
Respuesta de Desplazamiento
0.04
0.03
desplazamiento [ft]
0.02
0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0
0.05
0.1
0.15
tiempo [s]
Respuesta máxima:
Desplazamiento[ft]=0.025635
en un tiempo [s]=0.0772
79
Conceptos generales en el análisis dinámico
Ejemplo 7.2 6
Integral de Duhamel para un sistema con amortiguamiento
Calcular la respuesta dinámica del tanque de agua de la Figura 7.4 que tiene una razón de amortiguamiento
ξ=5%, el cual está sujeto a una carga explosiva cuyo histograma de fuerza se muestra en la misma figura.
histograma de carga
w=96.6 k
p(t)
p(t)
96.6 k
k=2700 k/ft
0.025 s
0.025 s
t
fs
Figura 7.4
Solución
Cálculos adicionales
Gravedad [ft/s2]:
g := 32.3
Frecuencia natural:
ω n :=
k⋅g
w
Razón de amortiguamiento:
π
ωn
ξ := 0.05
Frecuencia de amortiguamiento:
ω D := ω n ⋅ 1 − ξ 2
Tn := 2 ⋅
Periodo natural:
Primera fase, para 0<t<0.025
El histograma de carga para esta fase está definido por la recta, de coordenadas [a,b] y [c,d], para la
evaluación de la carga en función del tiempo.
a := 0
b := 0
c := 0.025
d := 96.6
la ecuación de la recta resultante es:
⎡d −b⎤
p ( x ) := ⎢
⎥ ⋅ ( x − a ) + b → 3864.0 ⋅ x
⎣c−a⎦
Evaluación de A(t) y B(t) para el cálculo de la integral de Duhamel:
A(t ) :=
6
∫
t
0
p ( x) ⋅
e ξ ⋅ω n ⋅ x
e ξ ⋅ω n ⋅t
⋅ cos(ω D ⋅ x) dx
Ejemplo comparativo con: Joseph Penzien, pp 104-110 [ref. 13]
B (t ) :=
∫
t
0
p ( x) ⋅
e ξ ⋅ω n ⋅ x
e ξ ⋅ω n ⋅t
⋅ sen(ω D ⋅ x) dx
80
Conceptos generales en el análisis dinámico
La respuesta de desplazamiento es:
u (t ) :=
(
32.3
A(t ) ⋅ sen(ω D ⋅ t ) − B(t ) ⋅ cos(ω D ⋅ t )
w ⋅ω D
)
La respuesta de fuerza elástica es:
f (t ) := k ⋅ u (t )
7
La respuesta de velocidad es:
v (t ) :=
d
dt
u (t ) →
Segunda fase, para 0.025<t<0.05
El histograma de carga para esta fase está definido por la recta, de coordenadas [e,g] y [h,i], para la evaluación
de la carga en función del tiempo.
e := 0
g := 96.6
h := 0.025
i := 0
la ecuación de la recta resultante es:
⎡i − g ⎤
p (τ ) := ⎢
⎥ ⋅ (τ − e) + g → 3864.0 ⋅ τ + 96.6
⎣h − e⎦
las condiciones iniciales para esta fase son:
tiempo inicial [s]:
desplazamiento inicial[ft]:
tr := 0.025
u (tr ) = 3.211 ⋅10 −3
v (tr ) = 0.376
velocidad inicial [ft/s]:
Evaluación de 8 C(t) y D(t) para el cálculo de la integral de Duhamel:
C ( j ) :=
∫
j
0
p (τ ) ⋅
e ξ ⋅ω n ⋅τ
e ξ ⋅ω n ⋅ j
cos(ω D ⋅ τ ) dτ
D ( j ) :=
∫
j
0
p (τ ) ⋅
e ξ ⋅ω n ⋅τ
e ξ ⋅ω n ⋅ j
sen(ω D ⋅ τ ) dτ
La respuesta de desplazamiento es:
⎡
⎤ 32.3
⎡ v (tr ) + ξ ⋅ ω n ⋅ u (tr ) ⎤
res ( j ) := e −ξ ⋅ω n ⋅ j ⎢u (tr ) cos(ω D ⋅ j ) + ⎢
⋅ C ( j ) sen(ω D ⋅ j ) − D( j ) cos(ω D ⋅ j )
⎥ sen(ω D ⋅ j ) ⎥ +
ωD
⎥⎦
⎢⎣
⎥⎦ w ⋅ ω D
⎣⎢
(
La respuesta de fuerza elástica es:
fuerza ( j ) := k ⋅ res ( j )
La respuesta de velocidad es:
vel ( j ) :=
d
dj
res ( j ) →
Tercera fase, para vibración libre t>0.05
las condiciones iniciales para esta fase son:
tiempo inicial [s]:
desplazamiento inicial[ft]:
velocidad inicial [ft/s]:
7
8
ù(t)=v(t)
C(t)=C(j)
to := 0.05
res (0.05−tr ) = 0.017
vel(0.05−tr ) = 0.52
)
81
Conceptos generales en el análisis dinámico
La respuesta de desplazamiento para vibración libre es:
vel (0.05−tr ) + ξ ⋅ ω n ⋅ res (0.05−tr )
⎡
⎤
reslib( s ) := e −ξ ⋅ω n ⋅s ⋅ ⎢res (0.05−tr ) ⋅ cos(ω D ⋅ s) +
⋅ sen(ω D ⋅ s)⎥ →
ωD
⎣⎢
⎦⎥
La respuesta de fuerza elástica para la vibración libre es:
flib( s ) := k ⋅ reslib( s )
las graficas de respuesta en las tres fases son:
Respuesta de Fuerza Elástica
100
75
fueza elástica [K]
50
25
0
25
50
75
100
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
tiempo [s]
Respuesta máxima:
Fuerza[k]=64.1402
en un tiempo [s]=0.0758
Respuesta de Desplazamiento
0.03
0.0225
desplazamiento [ft]
0.015
0.0075
0
0.0075
0.015
0.0225
0.03
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
tiempo [s]
Respuesta máxima:
Desplazamiento[ft]=0.023756
en un tiempo [s]=0.075
Capítulo 8
RESPUESTA SÍSMICA
A SISTEMAS LINEALES
8.1
MOVIMIENTO DEL SUELO
Las vibraciones del suelo producidos por movimiento sísmico en un sitio específico dependen de la proximidad
de éste a la fuente de origen, de las características del sitio y de la atenuación de la aceleración pico. La amplitud,
frecuencia y el tiempo de duración son requeridos para clasificar el movimiento, y estos parámetros se obtienen a
partir de acelerogramas registrados en diferentes puntos. Estos registros son utilizados para demarcar áreas o
zonas con similar potencial de riesgo sísmico, tomando en cuenta la frecuencia de ocurrencia, la predicción de la
magnitud máxima del sismo, la probabilidad de excedencia de esta magnitud, la distancia al origen, la
localización de la falla de origen y los detalles geológicos del área. Estas demarcaciones son presentadas como
mapas de riesgo sísmico que contienen zonas correspondientes a aceleraciones pico del suelo.
8.2
RESPUESTA DINÁMICA DE LA ESTRUCTURA
Las cargas gravitatorias que actúan sobre la estructura son fuerzas estáticas, las cuales son independientes del
tiempo; en cambio las fuerzas sísmicas que actúan en la estructura, por efecto de la vibración variable del suelo
causan una respuesta dependiente del tiempo.
La respuesta generada depende de la magnitud y duración de la excitación, de las propiedades dinámicas de la
estructura y de las características de los depósitos de suelo en el lugar. La vibración del suelo se amplifica en la
estructura dependiendo del periodo fundamental de ésta, en mayor o menor medida. El efecto del
amortiguamiento o resistencia a la fricción de la estructura en la vibración impuesta influye en la magnitud y
duración del movimiento inducido, y usualmente se asume para edificios normales un amortiguamiento del 5 %
(ξ=0.05).
8.3
ECUACIÓN DE MOVIMIENTO
La ecuación que gobierna el movimiento de un sistema simple (Figura 8.1) sujeto a la aceleración del suelo üg(t)
es la ecuación 3.8; dividiendo esta ecuación por la masa se obtiene:
u&& + 2ξ ⋅ ω n ⋅ u& + ω n 2 ⋅ u = −u&&g (t )
(8.1)
83
Respuesta sísmica a sistemas lineales
u'
u
m
ug
u'
c
c
k
k
ug
(a)
(b)
Figura 8.1
Sistema simple de un grado de libertad (SDF)
Está claro que para una üg(t) dada, la respuesta u(t) del sistema depende solo de la frecuencia natural, ωn, o del
periodo natural del sistema, Tn, y del amortiguamiento, es decir u ≡ u (t , Tn , ξ ) .
La aceleración del suelo durante un sismo varía irregularmente, por tal motivo la solución analítica de la ecuación
de movimiento debe ser descartada, por tanto es necesario el empleo de métodos numéricos para determinar la
respuesta estructural.
8.4
ESPECTRO DE RESPUESTA
8.4.1
Cantidades de Respuesta
La deformación del sistema o el desplazamiento relativo u(t) de la masa es la respuesta de mayor interés por estar
relacionada linealmente a las fuerzas internas (momentos flexionantes, cortantes en vigas y columnas).
8.4.2
Histograma de Respuesta
Para una üg(t) del suelo, la respuesta de deformación u(t) de un SDF depende sólo de Tn y del amortiguamiento del
sistema. La Figura 8.2(a) muestra la respuesta de deformación de tres diferentes sistemas debido a la aceleración
del suelo de El Centro 1 , notándose la deformación pico en cada caso; se observa que de estos tres sistemas, aquel
que tiene el Tn mayor también tiene la deformación pico más grande.
La Figura 8.2(b) muestra la respuesta de deformación de tres sistemas sujetos al mismo movimiento; en ésta se
hace variar el amortiguamiento y el Tn se mantiene constante, se observa que la respuesta del sistema con mayor
amortiguamiento es menor que la del sistema con amortiguamiento leve.
Una vez que se ha evaluado la respuesta de deformación u(t) por análisis dinámico de la estructura, las fuerzas
internas pueden determinarse mediante un análisis estático de la estructura en cada instante de tiempo. Basado en
el concepto de la Fuerza Estática Equivalente fs:
f s (t ) = k ⋅ u (t )
(8.2)
Donde k es la rigidez lateral del sistema, y expresada la ecuación anterior en términos de la masa se tiene:
f s (t ) = m ⋅ ω n 2 ⋅ u (t ) = m ⋅ A(t )
1
Componente N-S del movimiento del suelo registrado durante el sismo del Centro, California; 18 de Mayo de1940
(8.3)
84
Respuesta sísmica a sistemas lineales
donde:
A(t ) = ω n 2 ⋅ u (t )
ξ = 0.02
T n = 0.5 [s]
ξ=0
T n = 2 [s]
9.91 in
10
10
0
0
2.67 in
-10
-10
ξ = 0.02
T n = 1 [s]
0
5.97 in
-10
10
0
-10
10
0
0
10
5.37 in
-10
7.47 in
0
20
Tiempo, [s]
30
10
0
(a)
Figura 8.2
ξ = 0.05
T n = 2 [s]
10
-10
7.47 in
ξ = 0.02
T n = 2 [s]
ξ = 0.02
T n = 2 [s]
10
Deformación
Deformación u [in]
(8.4)
20
Tiempo, [s]
30
(b)
Respuesta de deformación de un sistema SDF para el sismo del Centro
A(t) es llamada seudo aceleración o aceleración espectral del sistema, cuya respuesta puede ser calculada a partir
de la respuesta de desplazamiento, u(t); dicho concepto es ilustrado en la Figura 8.3.
ξ = 0.02
T n = 0.5 [s]
1.2
0
Seudoaceleración, A·g
-1.2
1.09 ·g
ξ = 0.02
T n = 1 [s]
1.2
0
0.610 ·g
-1.2
ξ = 0.02
T n = 2 [s]
1.2
0
0.191 ·g
-1.2
0
Figura 8.3
10
20
Tiempo, [s]
30
Respuesta de seudo aceleración de un sistema SDF al sismo del Centro
85
Respuesta sísmica a sistemas lineales
Para un pórtico simple las fuerzas internas de corte y momento en las columnas y vigas pueden ser determinadas
mediante análisis estático sujeta a una fuerza lateral estática equivalente, fs(t), en un instante de tiempo
seleccionado. Por tanto el análisis estático de la estructura será necesario en cada instante de tiempo de la
respuesta.
De este modo la cortante basal, Vb(t), y el momento volcador, Mb(t), se pueden determinar a partir de:
Vb ( t ) = f s ( t )
M b (t ) = h ⋅ f s (t )
(8.5)
f s (t)
h
Vb (t)
M b (t)
üg (t) / g
Figura 8.4
0.4
0
-0.4
0
T n = 0.5 [s]
Fuerza estática equivalente
10
20
Tiempo, [s]
(a)
30
ξ = 0.02
10
m
0
2.67 in
m
5.97 in
-10
10
10
5
0
-10
7.47 in
ξ = 0.02
15
0
5.97 in
T n = 2 [s]
10
2.67 in
m
20
[in]
ξ = 0.02
D = uo
T n = 1 [s]
Deformación u [in]
-10
7.47 in
0
0
10
20
Tiempo, [s]
(b)
Figura 8.5
30
0
1
2
T n, [s]
3
(c)
(a) Aceleración del suelo (b) Respuesta de deformación de tres sistemas SDF con ξ=2% y Tn=0.5; 1; 2 seg. (c) Espectro de
Respuesta de Deformación para ξ=2%
86
Respuesta sísmica a sistemas lineales
8.4.3
Concepto del Espectro de Respuesta
En ingeniería sísmica, el espectro de respuesta da un significado conveniente al sumario de respuestas pico de
todos los posibles sistemas simples (SDF) sujeto a un componente particular de movimiento del suelo, también
provee aproximaciones prácticas para aplicar los conocimientos de dinámica estructural.
Una gráfica de valores pico de respuesta de una cantidad como función del periodo natural de vibración del
sistema o cualquier parámetro relacionado como ωn o fn es llamado espectro de respuesta para esa cantidad.
8.4.4
Espectro de Respuesta de Deformación
Este espectro es una gráfica de u0 contra Tn para un ξ fijo. La Figura 8.5 ayuda a entender el procedimiento para
determinar el espectro, dicho espectro es desarrollado para el movimiento sísmico de El Centro, Figura 8.5(a). La
variación de la deformación inducida por el movimiento del suelo es mostrada en la Figura 8.5(b). Para cada
sistema el valor pico de deformación es determinado del histograma de deformación. El valor de la amplitud u0
determinado para cada sistema provee una coordenada o punto en el espectro de respuesta de deformación.
Repitiendo estos cálculos para un rango de valores de Tn, mientras ξ se mantiene constante, provee el espectro de
respuesta de deformación, Figura 8.5(c).
8.4.5
Espectro de Respuesta de Seudo Velocidad
20
5
0
0
7.47
5.97
10
2.67
D, [in]
15
1
2
3
33.7
50
23.5
V , [in/s]
40
37.5
T n, [s]
(a)
30
20
10
0
0
1
2
3
T n, [s]
(b)
1.09
1
0.610
A·g
1.5
0
0.191
0.5
0
1
2
3
T n, [s]
(c)
Figura 8.6
Espectro de respuesta (ξ=2%) para el sismo de El Centro: (a) Espectro de respuesta de Deformación (b) Espectro de
respuesta de Seudo Velocidad (c) Espectro de respuesta de Seudo Aceleración.
87
Respuesta sísmica a sistemas lineales
Considerar una cantidad V para un sistema simple con una frecuencia natural, ωn, relacionado con su deformación
pico D ≡ u 0 debido al movimiento del suelo por:
V = ωn ⋅ D =
2π
D
Tn
(8.6)
Donde V es llamada seudo velocidad pico, el prefijo seudo es usado porque V ≠ u& 0 aunque tengan las mismas
unidades. Debido a esta relación es posible trazar el espectro de respuesta de seudo velocidad, como se muestra
en la Figura 8.6.
8.4.6
Espectro de Respuesta de Seudo Aceleración
Considerar una cantidad A para un sistema simple con una frecuencia natural, ωn, relacionado con su deformación
pico D ≡ u 0 debido al movimiento del suelo por:
⎛ 2π
A = ω n 2 ⋅ D = ⎜⎜
⎝ Tn
2
⎞
⎟ D
⎟
⎠
(8.7)
Donde A es llamada seudo aceleración pico; el prefijo seudo es usado porque A ≠ u&&0′ . El espectro de respuesta
de la seudo aceleración es trazado en función de Tn en la Figura 8.6.
8.4.7
Espectro de Respuesta Combinado D-V-A
100
0
10
ξ = 0.02
10
50
23.5
20
1·
g
19
in
D
,
1
0.
1
0.
47
·g
5
7.
A
V , [in/s]
10
10
0.
0.
01
2
1
1
0.
01
0.
00
1
0.5
0.2
0.02
0.05 0.1
0.2
0.5
1
2
5
10
20
50
Periodo natural de vibración T n, [s]
Figura 8.7
Espectro de respuesta combinado D-V-A para el sismo de El Centro, ξ=2%
Los tres espectros proveen directamente cantidades físicas significativas, es por esta razón que son necesarios. El
espectro de deformación provee la deformación pico del sistema; el espectro de seudo velocidad está relacionado
88
Respuesta sísmica a sistemas lineales
directamente con la energía pico almacenada en el sistema durante un sismo; el espectro de seudo aceleración
está relacionado directamente con el valor pico de la fuerza estática equivalente y el cortante basal.
Para propósitos prácticos de diseño las tres cantidades espectrales pueden ser representados en un solo gráfico;
esta representación es posible gracias a que las tres cantidades están interrelacionadas por las ecuaciones 8.6 y
8.7.
Tn
2π
A =V =
D
2π
Tn
(8.8)
Debido a esta interrelación estas cantidades se pueden graficar en un papel tetralogarítmico 2 , como se ve en la
Figura 8.7.
8.4.8
Construcción del Espectro de Respuesta
El espectro de respuesta para un componente üg(t) de movimiento del suelo puede ser desarrollado a partir de los
siguientes pasos:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Definición numérica de la aceleración del suelo, üg(t): típicamente, las ordenadas del movimiento del
suelo son definidas cada 0.02 segundos.
Seleccionar el periodo natural de vibración Tn y la relación de amortiguamiento ξ de un sistema SDF.
Calcular la respuesta de deformación u(t) de este sistema debido al movimiento del suelo üg(t) por
cualquier método numérico.
Determinar la amplitud máxima, u0.
Las ordenadas espectrales son: D=u0, V=(2π/Tn)D, y A=(2π/Tn)2D.
Repetir los pasos del 2 al 5 para un rango de valores Tn y ξ.
Presentar los resultados de los pasos 2 al 6 gráficamente, ya sea por separado o combinados.
CARACTERÍSTICAS DEL ESPECTRO DE RESPUESTA
8.5
En la Figura 8.8 se muestra el espectro de respuesta para el movimiento sísmico de El Centro junto con los
valores pico de u g 0 , u& g 0 , u&&g 0 del suelo correspondientes a dicho movimiento sísmico; dichos parámetros serán de
utilidad para la construcción del espectro de diseño. La Figura 8.9 muestra el espectro de respuesta para 5 % de
D
V
A
,
y
, junto con una versión idealizada del mismo.
amortiguamiento usando escalas normalizadas:
u g 0 u& g 0
u&&g 0
Sobre la base de las Figuras 8.8 y 8.9 se estudian las propiedades del espectro de respuesta para varios rangos de
periodos de vibración, los cuales están delimitados por valores de periodos en a, b, c, d, e y f.
ƒ
ƒ
2
Para sistemas de periodos de muy corta duración Tn<Ta la aceleración espectral o seudo aceleración, A,
para cualquier valor de amortiguamiento se aproxima a üg0 y D es muy pequeño. Se puede entender esta
tendencia sobre la base del siguiente razonamiento; para una masa fija, un sistema de periodo muy corto
es esencialmente rígido, es de esperarse que dicho sistema sufra pequeñas deformaciones y que su masa
se mueva rígidamente con el sistema.
Para sistemas con periodos de muy larga duración Tn>Tf el desplazamiento D para cualquier valor de
amortiguamiento se aproxima a ug0 y A es muy pequeño. Se puede entender esta tendencia sobre la base
del siguiente razonamiento; para una masa fija, un sistema con periodo largo de vibración es
extremadamente flexible, es de esperarse que la masa permanezca esencialmente estacionaria, mientras
que el suelo que está por debajo se encuentra en movimiento.
Anil K. Chopra, pp 113-114 [ref. 12]
89
Respuesta sísmica a sistemas lineales
ƒ
ƒ
ƒ
Para sistemas con periodos cortos Ta<Tn<Tc la aceleración espectral, A, excede a ü0 con una
amplificación que depende de Tn y ξ. A, se puede idealizar constante en el rango de periodo Tb<Tn<Tc
amplificado por un factor que depende de ξ.
Para sistemas con periodos de larga duración Td<Tn<Tf, D, generalmente excede a ug0 con una
amplificación que depende de Tn y ξ. En el rango de periodo Td<Tn<Te, D, se puede idealizar como
constante y correspondiente a un valor de ug0 amplificado por un factor que depende de ξ.
Para sistemas con periodos intermedios Tc<Tn<Td, V, exceda a u& g 0 , y V se puede considerar constante e
igual a un valor de la u& g 0 amplificado por un factor que depende de ξ.
100
10
0
10
50
20
o
1
0.
1
ug
,
g
D
0.
31
9·
0.
01
=
o
üg
1
0.
1
40
8.
·g
2
=
1
in
5
A
V , [in/s]
10
u·go = 13.04
10
01
0.
0.
00
1
0.5
0.2
0.02
0.05 0.1
0.2
0.5
1
2
5
10
20
50
Periodo natural de vibración T n, [s]
Figura 8.8
Espectro de repuesta (ξ=0; 2; 5; 10 %) y valores pico de la aceleración, velocidad y desplazamiento del suelo para el sismo
de El Centro.
En base a estas observaciones el espectro es dividido en tres rangos de periodo: La región en la cual Tn>Td es
llamada región sensitiva de desplazamiento, debido a que la respuesta estructural esta más directamente
relacionada con el desplazamiento del suelo. La región en la cual Tn<Tc es llamada región sensitiva de
aceleración porque la respuesta esta relacionada directamente con la aceleración del suelo. Y la región intermedia
en la cual Tc<Tn<Td es llamada región sensitiva de velocidad debido a que la respuesta parece relacionarse mejor
con la velocidad del suelo que con otros parámetros de movimiento. Para un movimiento particular del suelo los
periodos Ta, Tb, Te y Tf en el espectro idealizado son independientes del amortiguamiento, pero Tc y Td varían con
éste. El gran beneficio del espectro idealizado, aunque se note su imprecisión con relación al espectro de
respuesta, esta en la construcción del espectro de diseño representativo de muchos movimientos del suelo.
Los valores de periodos asociados con los puntos Ta, Tb, Te, Td, Te y Tf y los factores de amplificación para los
segmentos b-c, c-d y d-e no son únicos debido a que varían para cada movimiento del suelo.
El amortiguamiento, como es de esperarse, reduce la respuesta de la estructura y esta reducción es diferente en las
tres regiones espectrales. En el limite en el cual Tn → 0 el amortiguamiento no afecta a la respuesta debido a que
la estructura se mueve rígidamente con el suelo. En el límite contrario donde Tn → ∞ el amortiguamiento
tampoco afecta la respuesta porque la masa estructural permanece inmóvil mientras el suelo se mueve. El efecto
del amortiguamiento tiende a ser grande en la región sensitiva de velocidad, en ésta dicho efecto depende de las
características del movimiento del suelo. Si el movimiento del suelo se asemeja a una carga armónica de muchos
90
Respuesta sísmica a sistemas lineales
ciclos, el efecto del amortiguamiento es grande para sistemas próximos a la resonancia; y si el movimiento del
suelo es de corta duración con solo unos pocos ciclos, la influencia del amortiguamiento es pequeño y hasta
despreciable, como es el caso de cargas impulsivas.
Regiones Espectrales
Aceleración
Velocidad
Desplazamiento
Sensitiva
Sensitiva
Sensitiva
10
0
10
5
10
c
T d = 3.0
1
e
in
,
D
T e = 10
0.
1
T b = 0.125
0.
01
T a = 0.035
0.05
01
0.
0.1
1
0.
·g
0.2
f
T f = 15
b
A
V , [in/s]
0.5
1
1
d
T c = 0.5
10
2
a
1
00
0.
0.02
0.02
0.05
0.1
0.2
0.5
1
2
5
10
20
50
Periodo natural de vibración T n, [s]
Figura 8.9
8.6
Espectro de respuesta para el sismo de El Centro mostrado por una línea continua, junto con una versión idealizada mostrada
por una línea discontinua, para un ξ=5 %
ESPECTRO ELÁSTICO DE DISEÑO
Para propósitos de diseño el espectro de respuesta es inapropiado; la forma dentada en el espectro de respuesta es
característico de una sola excitación, el espectro de respuesta para otro movimiento del suelo registrado en el
mismo sitio durante un sismo diferente es también dentado, pero los picos y valles no son necesariamente en los
mismos periodos; igualmente no es posible predecir el espectro de respuesta con todos sus detalles para un
movimiento del suelo que pueda ocurrir en el futuro. De este modo el espectro de diseño debe consistir de un
grupo de curvas suavizadas o una serie de curvas rectas con una curva para cada nivel de amortiguamiento. El
espectro de diseño debe ser representativo de movimientos del suelo registrados en el sitio durante sismos
pasados, sino existe registros sísmicos en el lugar entonces el espectro de diseño se debe basar en movimientos
del suelo registrados en otros sitios bajo condiciones similares. Los factores que influyen en esta selección son: la
magnitud del sismo, la distancia del sitio a la falla sísmica, el mecanismo de falla, la geología presente en la
trayectoria del viaje de las ondas sísmicas y las condiciones locales del suelo en el sitio.
El espectro de diseño se basa en un análisis estadístico del espectro de respuesta para un conjunto de
movimientos del suelo. Para una serie de registros sísmicos a cada periodo natural le correspondería un número i
de valores espectrales igual al número de registros de movimientos del suelo. El análisis estadístico de estos datos
provee la distribución de probabilidades para las ordenadas espectrales, el valor de la media y la desviación
estándar para cada periodo Tn. Conectando todos lo valores medios se obtiene el espectro de respuesta medio en
forma normalizada, y el espectro de respuesta de la media mas una desviación estándar es obtenida de forma
91
Respuesta sísmica a sistemas lineales
similar. En la Figura 8.10 se observa que estos dos espectros son mas suavizados que el espectro de respuesta
para un solo movimiento del suelo (Figura 8.8).
5
10
0
10
Media + 1 σ
d
D
10
/ü
c
/u
go
10
A
2
T d = 3.135
01
0.
0.1
T b = 1/ 8
T a = 1/ 33
1
0.
0.2
f
0.
01
a
0.05
T f = 33
e
T e = 10
0.5
Media
0.
1
V / ugo
·
b
1
1
T c = 0.349
go
1
1
00
0.
0.02
0.02
0.05
0.1
0.2
0.5
1
2
5
10
20
50
Periodo natural de vibración T n, [s]
Figura 8.10
Espectro de respuesta medio y medio mas una desviación estándar con una distribución de probabilidad para V en Tn=0.25;1
y 4 seg. y ξ=5%. La línea discontinua muestra un espectro de diseño idealizado.
Como se muestra en la Figura 8.10 la curva suavizada del espectro puede ser idealizada por una serie de líneas
rectas mucho mejor que el espectro correspondiente a un movimiento individual (Figura 8.9).
Espectro de diseño elástico
c
αV · u·go
d
αD
·u
·ü
αA
üg
o
o
Seudovelocidad, (escala log.)
go
go
ug
b
e
u· go
f
Aceleración pico del suelo,
velocidad y desplazamiento
a
1/ 33 [s]
33 [hz]
1/ 8 [s]
33 [hz]
10 [s]
1/10 [hz]
Periodo natural de vibración T n, (escala log.)
Figura 8.11
Construcción del espectro de diseño elástico
33 [s]
1/33 [hz]
92
Respuesta sísmica a sistemas lineales
Se han desarrollado varios procedimientos para construir dicho espectro de diseño a partir de parámetros de
movimiento del suelo. Uno de estos procedimientos se ilustrado en la Figura 8.11. los valores recomendados de
periodos Ta, Tb, Te y Tf y los factores de amplificación para las tres regiones espectrales se desarrollan a partir de
un análisis de un conjunto de movimientos del suelo registrados en terreno firme (roca, roca suave, y sedimentos
competentes). Los factores de amplificación para dos diferentes probabilidades de no excedencia: 50% y 84.1%
se dan en la Tabla 8.1 para varios valores de amortiguamiento y en la Tabla 8.2 como una función de la relación
de amortiguamiento. La probabilidad del 50% de no excedencia representa el valor medio de las ordenadas
espectrales, y el 84.1% representa el valor de la media mas una desviación estándar asumiendo una distribución
de probabilidad log-normal para las ordenadas espectrales 3 .
αA
αV
αD
αA
αV
αD
1
2
5
10
20
3.21
2.74
2.12
1.64
1.17
2.31
2.03
1.65
1.37
1.08
1.82
1.63
1.59
1.20
1.01
4.38
3.66
2.71
1.99
1.26
3.38
2.92
2.30
1.84
1.37
2.73
2.42
2.01
1.69
1.38
Tabla 8.1
Factores de Amplificación: Espectro de Diseño Elástico
Media
(50%)
Desviación estándar, 1 σ
(84.1 %)
αA
3.32 – 0.68 ln ξ
4.38 – 1.04 ln ξ
αV
2.31 – 0.41 ln ξ
3.38 – 0.67 ln ξ
αD
1.82 – 0.27 ln ξ
2.73 – 0.45 ln ξ
Tabla 8.2
8.6.1
Desviación estándar, 1 σ
(84.1 %)
Media
(50%)
Amortiguamiento
ξ
(%)
Factores de Amplificación: Espectro de Diseño Elástico
Construcción del espectro de diseño
A partir de la Figura 8.11 se desarrolla el siguiente procedimiento para la construcción del espectro de diseño:
1.
Graficar la línea discontinua correspondiente a los valores pico del suelo: u g 0 , u& g 0 , u&&g 0 para el
2.
3.
movimiento del suelo de diseño.
Obtener a partir de las tablas 8.1 y 8.2 los valores para αA, αV y αD para un ξ seleccionado.
Multiplicar u&&g 0 por el factor de amplificación αA para obtener la línea recta b-c, que representa un valor
4.
constante de seudo aceleración, A.
Multiplicar u& g 0 por el factor de amplificación αV para obtener la línea recta c-d, que representa un valor
5.
constante de seudo velocidad, V.
Multiplicar u g 0 por el factor de amplificación αD para obtener la línea recta d-e, que representa un valor
constante de deformación, D.
3
Anil K. Chopra, pp 217-224 [ref. 12]
Respuesta sísmica a sistemas lineales
93
6.
Dibujar la línea A = u&&g 0 para periodos menores que Ta y la línea D = u g 0 para periodos mayores que Tf.
7.
Las líneas de transición a-b y e-f completan el espectro.
Observar que los valores de periodos asociados con los puntos a ,b, e, f en el espectro son fijos, los valores de la
Figura 8.11 son para suelo firme. Los puntos c y d se encuentran a partir de la intersección de las constante-A,
constante-V, constante-D del espectro. La localización de estos puntos de intersección varia con la relación de
amortiguamiento, ξ, porque estos dependen de los factores de amplificación αA, αV y αD.
Capítulo 9
RESPUESTA SÍSMICA
A SISTEMAS NO LINEALES
9.1
INTRODUCCION.
Se ha visto que para un sistema linealmente elástico la cortante basal pico inducida por el movimiento del suelo
es: Vb=(A/g)·w donde w es el peso del sistema, A, es la aceleración espectral correspondiente a un periodo de
vibración natural y un amortiguamiento determinado. Sin embargo la mayoría de los edificios son diseñados para
cortantes basales menores que la cortante basal asociada con un temblor fuerte que puede ocurrir en el sitio. A
partir de la Figura 9.1, donde el coeficiente de cortante basal, A/g, es graficada para el espectro de diseño
correspondiente a la aceleración pico del suelo de 0.4g, además es comparado con el coeficiente de cortante basal
especificado en el Código Uniforme de la Edificación de 1997 (UBC 97). Se observa una gran disparidad, que
implica que los edificios diseñados a partir de las fuerzas propuestas por el código se deformarán más allá del
límite elástico cuando estén sujetos a movimientos del suelo representados por el espectro de diseño para 0.4g.
1.2
Coeficiente de Cortante Basal
1.0
Espectro de Diseño Elástico
ügo = 0.4·g
0.8
0.6
0.4
Código Uniforme de la Edificación
R = 4 a 12
0.2
0.0
1
2
3
Periodo natural de vibración T n, [s]
Figura 9.1
Comparación entre coeficientes de cortante basal a partir del espectro de diseño y UBC
De este modo no es de sorprenderse que los edificios sufran daños durante un movimiento intenso del suelo. El
reto para el ingeniero es de diseñar las estructura de tal forma que el daño sea controlado dentro un rango
95
Respuesta sísmica a sistemas no lineales
aceptable; obviamente el diseño fracasará si el sismo causa daños severos los cuales no pueden ser reparados, o si
se produce el colapso de la estructura.
De este modo la importancia central en ingeniería sísmica es comprender la respuesta de las estructuras
deformadas dentro el rango inelástico durante un movimiento intenso del suelo. Este capítulo trata sobre este
importante punto. Se hace una introducción al sistema elastoplástico y se describen los parámetros
correspondientes a dicho sistema, se presenta la ecuación de movimiento y se identifican varios parámetros que
describen el sistema y la excitación. Entonces se comparan la respuesta de sistemas elásticos e inelásticos con el
objeto de comprender como la fluencia influye en la respuesta estructural.
9.2
RELACIÓN FUERZA-DEFORMACIÓN
Los resultados experimentales indican que el comportamiento cíclico de la relación fuerza-deformación de una
estructura depende principalmente del material y del sistema estructural.
9.2.1
Idealización elastoplástica
fs
Real
f
y
Idealizado
uy
Figura 9.2
um
u
Curva fuerza deformación durante la carga inicial: real e idealización elastoplástica.
Considerar la relación fuerza-deformación para una estructura durante su carga inicial mostrada en la Figura 9.2.
Resulta conveniente idealizar esta curva por una relación fuerza-deformación elastoplástica debido a que esta
aproximación permite desarrollar el espectro de respuesta en forma similar a un sistema linealmente elástico. La
aproximación elastoplástica a la curva real de fuerza-deformación esta representada en la Figura 9.2, de tal forma
que las áreas bajo las dos curvas son las mismas para un valor de desplazamiento máximo, um. En el proceso
inicial de carga este sistema idealizado es linealmente elástico con una rigidez k mientras la fuerza no exceda fy.
La fluencia comienza cuando la fuerza alcanza el valor de fy, esfuerzo de fluencia. La deformación en la cual la
fluencia comienza es uy, deformación de fluencia. En la fluencia la fuerza es constante (la rigidez es cero).
En la Figura 9.3 se muestra un típico ciclo de carga, descarga y recarga para un sistema elastoplástico, en el cual
se observa claramente que cuando el sistema alcanza el estado elastoplástico existen deformaciones permanentes
que se incrementan en cada ciclo.
96
Respuesta sísmica a sistemas no lineales
f
s
fy
k
1
uy
um
k
1
u
k
1
-f y
Figura 9.3
9.2.2
Relación fuerza-deformación elastoplástica.
Sistema lineal correspondiente
f
s
Sistema Lineal Correspondiente
f0
Sistema Elastoplástico
fy
u
uy u0
Figura 9.4
um
Sistema elastoplástico y su sistema lineal correspondiente
Se desea evaluar la deformación pico de un sistema elastoplástico debido a un movimiento sísmico del suelo y
comparar esta deformación con la deformación pico causada por la misma excitación en el sistema lineal
correspondiente. Este sistema elástico esta definido de tal forma que tiene la misma rigidez del sistema
elastoplástico durante su fase de carga inicial; ver Figura 9.4. Ambos sistemas tienen la misma masa y
amortiguamiento. De este modo el periodo natural de vibración del sistema lineal correspondiente y del sistema
elastoplástico bajo oscilaciones pequeñas (u≤uy) es el mismo.
97
Respuesta sísmica a sistemas no lineales
9.3
ESFUERZO DE FLUENCIA NORMALIZADO, FACTOR DE REDUCCIÓN
DE FLUENCIA Y FACTOR DE DUCTILIDAD.
El esfuerzo de fluencia normalizado f y , de un sistema elastoplástico esta definido como:
fy =
fy
f0
=
uy
u0
(9.1)
donde f0 y u0 son valores pico de fuerza resistente y deformación en el sistema lineal correspondiente, inducidos
por un sismo. Se puede interpretar f0 como la fuerza requerida para que la estructura permanezca con su límite
linealmente elástico durante un movimiento del suelo. Si el esfuerzo normalizado del sistema es menor que uno,
el sistema se deformará mas allá de su límite linealmente elástico, por ejemplo si ⎯fy = 0.5 implica que el esfuerzo
de fluencia del sistema es la mitad de la fuerza requerida para que el sistema permanezca elástico durante el
movimiento del suelo. El esfuerzo normalizado del sistema que no se deforma más allá de su límite linealmente
elástico es igual a la unidad, porque dicho sistema se puede interpretar como un sistema elastoplástico con fy=f0.
Alternativamente fy puede relacionarse con f0 a través de el factor de reducción de fluencia definido por:
Ry =
f 0 u0
=
fy uy
(9.2)
obviamente Ry es el reciproco de f y ; Ry es igual a la unidad para sistemas lineales y es mayor que uno para
sistemas que se deforman en el rango inelástico.
El pico o máximo absoluto de deformación del sistema elastoplástico debido al movimiento del suelo es denotado
por um. Es significativo normalizar um relacionado con la deformación de fluencia del sistema de la siguiente
manera:
u
(9.3)
μ= m
uy
esta relación adimensional es llamada factor de ductilidad. Para sistemas que se deforman en el rango inelástico,
por definición, um excede a uy y el factor de ductilidad es mayor que la unidad. Para el sistema lineal
correspondiente el factor de ductilidad es uno si este sistema es interpretado como un sistema elastoplástico con
fy=f0. y sus relaciones pueden expresarse como:
um
μ
= μ⋅ fy =
u0
Ry
9.4
(9.4)
ECUACIÓN DE MOVIMIENTO Y PARÁMETROS DE CONTROL
La ecuación que gobierna el sistema inelástico es:
m ⋅ u&& + c ⋅ u& + f s (u, u& ) = −m ⋅ u&&g (t )
(9.5)
98
Respuesta sísmica a sistemas no lineales
fs
fs
1
1
μ
u
uy
1
(a)
Figura 9.5
(b)
Relación fuerza-deformación en forma normalizada
donde la fuerza resistente f s (u , u& ) para un sistema elastoplástico es mostrado en la Figura 9.3. La ecuación 9.5 es
resuelta por un procedimiento numérico 1 . Para identificar los parámetros del sistema que tienen influencia en la
respuesta de deformación, la ecuación anterior es dividida por m para obtener:
u&& + 2 ⋅ ξ ⋅ ω n ⋅ u& + ω n 2 ⋅ u y ⋅ f s (u, u& ) = −u&&g (t )
(9.6)
donde:
ωn =
k
m
ξ=
c
2 ⋅ m ⋅ω n
f s (u , u& ) =
f s (u , u& )
fy
(9.7)
La cantidad ωn es la frecuencia natural del sistema inelástico vibrando dentro el rango linealmente elástico
(u≤uy); ésta también es la frecuencia natural del sistema lineal correspondiente. Similarmente, ξ es la razón de
amortiguamiento del sistema basado en el amortiguamiento crítico 2·m·ωn del sistema inelástico vibrando en su
rango linealmente elástico; es también la razón de amortiguamiento del sistema lineal correspondiente. La
función f s (u, u& ) describe la relación fuerza-deformación en forma parcialmente adimensional como se muestra
en la Figura 9.5(a). La ecuación 9.6 indica que para üg(t), u(t) depende de tres parámetros del sistema: ωn, ξ y uy.
La ecuación 9.6 es reescrita en términos de μ(t) ≅ u(t)/uy para identificar la influencia que tiene el factor de
ductilidad μ; de la ecuación 9.3 sustituyendo u(t)=uy·μ(t), u& (t ) = u y ⋅ μ& (t ) y u&&(t ) = u y ⋅ μ&&(t ) en la ecuación 9.6 y
dividiendo por uy se tiene:
μ&& + 2 ⋅ ξ ⋅ ω n ⋅ μ& + ω n 2 ⋅ f s ( μ , μ& ) = −ω n 2 ⋅
u&&g (t )
ay
(9.8)
donde ay=fy/m puede ser interpretada como la aceleración de la masa para producir la fuerza de fluencia y
f s ( μ , μ& ) es mostrada en la Figura 9.5(b). La relación de aceleraciones üg(t)/ay es la razón entre la aceleración del
suelo y la medida del esfuerzo de fluencia de la estructura.
Para üg(t) dada, el factor de ductilidad depende de tres parámetros del sistema: ωn, ξ y f y
1
Anil K. Chopra, pp 249 [ref. 12]
99
Respuesta sísmica a sistemas no lineales
9.5
EFECTOS DE FLUENCIA
f s / w = -ü' / g
Deformación u
Para entender como la respuesta de un sistema SDF es afectada por la acción inelástica o la fluencia a
continuación se compara la respuesta de un sistema elastoplástico con su sistema lineal correspondiente a través
de las Figuras 9.6 y 9.7.
4
0
-4
u0=3.34 in
2
0
f
-2
0
10
20
0
/ w=1.37
30
Tiempo, [s]
Figura 9.6
Respuesta de un sistema lineal con Tn=0.5 [s] y ξ=0 para el movimiento del suelo de El Centro
A diferencia de un sistema estático, el sistema inelástico después de que empieza afluir no oscila alrededor de su
posición inicial de equilibrio. La fluencia provoca que el sistema se desplace de su posición inicial de equilibrio y
hace que éste oscile alrededor de una nueva posición de equilibrio hasta que éste sea afectado por otro ciclo de
fluencia. Por lo tanto una vez que el movimiento del suelo se ha detenido, el sistema entra en reposo en una
posición diferente de la inicial (existe deformación permanente). De este modo una estructura que ha sufrido
fluencia significativa durante un sismo puede no permanecer recta después de éste.
A continuación se examina como la respuesta de un sistema elastoplástico es afectado por su esfuerzo de
fluencia. Considerar cuatro sistemas SDF todos con las mismas propiedades en el rango linealmente elástico:
Tn=0.5 [s] y ξ=5% pero estas difieren en sus esfuerzos de fluencia: ⎯fy = 1,0.5,0.25 y 0.125. ⎯fy = 1 implica un
sistema linealmente elástico; y éste es el sistema lineal correspondiente para los tres sistemas elastoplásticos. La
repuesta de deformación de éstos cuatro sistemas para el movimiento de El Centro es presentada en la Figura 9.8.
Como se puede ver intuitivamente, se espera que sistemas de bajo esfuerzo de fluencia, fluyen más
frecuentemente y por intervalos de tiempo mayores. Con mayor fluencia, la deformación permanente, up, de la
estructura tiende a incrementarse. Para valores de Tn y ξ dados, la deformación pico, um, de los tres sistemas
elastoplásticos es menor que la deformación pico, u0, del sistema lineal correspondiente.
El factor de ductilidad para un sistema elastoplástico puede ser calculado usando la ecuación 9.4. Por ejemplo la
deformación pico de un sistema elastoplástico con ⎯fy = 0.25 y del sistema lineal correspondiente son: um=1.75
[in.] y u0=2.25 [in.] respectivamente. Sustituyendo los anteriores valores en la ecuación 9.4 da el factor de
ductilidad μ=(1.75/2.25)·(1/0.25)=3.11. Ésta es la demanda de ductilidad impuesta en el sistema elastoplástico
por el movimiento del suelo. Esto representa un requisito importante en el diseño del sistema en el sentido de que
la capacidad de ductilidad (habilidad de deformarse más allá del límite elástico) debe exceder a la demanda de
ductilidad.
100
Respuesta sísmica a sistemas no lineales
A continuación se examina como el periodo natural de vibración Tn tiene influencia en: (1) La demanda de
ductilidad μ en un sistema elastoplástico; (2) Los valores relativos de la deformación pico um y u0 del sistema
elastoplástico y del sistema lineal correspondiente, respectivamente; (3) Los valores relativos del esfuerzo de
fluencia fy del sistema elastoplástico y la fuerza pico f0 impuesta en el sistema elástico.
u, [in]
2
c
d
e
b
0
a
g
f
f s / w = -ü' / g
-2
um=1.71 in
(a)
0.3
b c
a
0
f y / w=0.17
g
d
e f
- f y / w=-0.17
-0.3
(b)
c
g
b
+ Fluencia
ad
- Fluencia
e f
0
5
Tiempo, [s]
10
(c)
fs/w
0.3
c
b
a
g
0
d
e
f
-0.3
-2
-1
0
1
2
Deformación, u, [in]
(d)
Figura 9.7
Respuesta de un sistema elastoplástico con Tn=0.5 [s] y ξ=0, y ⎯fy = 0.125 para el movimiento del suelo de El Centro (a)
Deformación; (b) Fuerza resistente y aceleración; (c) Intervalos de tiempo de fluencia; (d) Relación fuerza-deformación
La Figura 9.9 es una grafica de um como una función de Tn para cuatro valores de ⎯fy = 1,0.5,0.25 y 0.125; u0 es el
mismo que um para ⎯fy = 1. En la Figura 9.10 esta graficado el factor de ductilidad versus Tn para los mismos
cuatro valores de ⎯fy; μ=1 si ⎯fy = 1. El histograma de respuesta presentado en la Figura 9.8 provee valores para
u0=2.25 [in.] y um=1.62, 1.75 y 2.07 [in.] para ⎯fy = 0.5,0.25 y 0.125 respectivamente. Dos de estos cuatro datos
son identificados en la Figura 9.9. La demanda de ductilidad μ para los tres sistemas elastoplásticos es 1.44, 3.11
y 7.36 respectivamente. Estos tres datos se identifican en la Figura 9.10, en estas graficas también se identifican
los valores de los periodos Ta, Tb, Tc, Td, Te y Tf, que definen la regiones espectrales.
Respuesta sísmica a sistemas no lineales
Figura 9.8
101
Respuesta de deformación y fluencia de cuatro sistemas para el movimiento del suelo de El Centro; Tn=0.5 [s] y ξ=5%, y
f y = 1, 0.5, 0.25, 0.125
Las Figuras 9.9 y 9.10 demuestran que para una excitación dada la demanda de ductilidad y la relación entre um y
u0 dependen de Tn y de ⎯fy. Para sistemas de periodos grandes (Tn>Tf) en la región sensitiva de desplazamiento
del espectro, la deformación um de un sistema elastoplástico es independiente de ⎯fy y es igual a u0. Cuando el
sistema es muy flexible (la masa permanece fija) la masa es estacionaria mientras el suelo se mueve; la masa
experimenta una deformación pico igual al desplazamiento pico del suelo independiente de⎯fy. De este modo
um≅u0≅ug0 y la ecuación 9.4 da μ ≅ 1 / f y o μ=Ry. Esto implica que para un μ dado el esfuerzo de fluencia de
diseño para un sistema elastoplástico con Tn>Tf es 1/μ veces el esfuerzo requerido para que el sistema
permanezca elástico.
Para sistemas en la región sensitiva de aceleración, lo cual implica sistemas de periodos muy pequeños, la
demanda de ductilidad puede ser muy grande. Entonces los sistemas con periodos extremadamente pequeños
(Tn>Ta) deben ser diseñados para un esfuerzo de fluencia fy igual a f0 requerida para que el sistema permanezca
en el rango elástico, de otra forma la deformación inelástica y la demanda de ductilidad pueden ser excesivas.
102
Respuesta sísmica a sistemas no lineales
Regiones Espectrales
Aceleración
Velocidad
Desplazamiento
Sensitiva
Sensitiva
Sensitiva
2
2
1
1
0.5
_
f y=0.125
1.62/8.4=0.19
um /u g 0
u0 /u g 0 o um /u g 0
0.5
2.25/8.4=0.27
0.1
0.1
_
f y=0.25
0.05
_
f y=0.5
0.05
_
uo /u go f y=1
0.01
0.01
0.005
T f = 15
T e= 10
T d= 3
T c= 0.5
T b=0.125
T a=0.035
0.005
0.001
0.001
0.02
0.05
0.1
0.5
1
5
10
50
Periodo natural de vibración T n, s
Figura 9.9
Deformación pico de sistemas elastoplásticos y sistema lineal correspondiente debido al movimiento de El Centro; Tn esta
variando; ξ=5% y f y = 1, 0.5, 0.25, 0.125 y ug0=8.4 in. Para un ug0=8.4 in.
Regiones Espectrales
Aceleración
Velocidad
Desplazamiento
Sensitiva
Sensitiva
Sensitiva
100
c
d
e
f
T
T
T
T
20
_
f y = 0.125
10
7.36
_
f y = 0.25
5
_
f y = 0.5
b
_
fy=1
T
2
a
3.11
T
Demanda de ductilidad, μ
50
1.44
1
0.02
0.05
0.1 0.2
0.5
1
2
5
10
20
50
Periodo natural de vibración Tn, [s]
Figura 9.10
Demanda de ductilidad para sistema elastoplásticos debido al movimiento de El Centro; Tn esta variando; ξ=5% y
f y = 1, 0.5, 0.25, 0.125
103
Respuesta sísmica a sistemas no lineales
ESPECTRO DE RESPUESTA PARA DEFORMACIÓN DE FLUENCIA Y
ESFUERZO DE FLUENCIA
9.6
Para propósitos de diseño se desea determinar el esfuerzo de fluencia fy (o deformación de fluencia uy) del
sistema, necesario para limitar la demanda de ductilidad, impuesta por el movimiento del suelo, a un valor
especifico.
9.6.1
Definiciones
El espectro de respuesta es trazado par las cantidades:
Vy = ωn ⋅ u y
Dy = u y
A y = ω n2 ⋅ u y
(9.9)
notar que Dy es la deformación de fluencia uy del sistema elastoplástico, no es igual a la deformación pico. La
grafica de Dy versus Tn para valores fijos de ductilidad μ es llamada espectro de respuesta de fluenciadeformación. Análogamente al capítulo anterior similares graficas de Ay y Vy son llamadas espectro de respuesta
de seudoaceleración y espectro de respuesta de seudovelocidad respectivamente.
Las cantidades de Dy, Vy, y Ay pueden ser presentadas en una grafica tetralogarítmica en la misma forma que para
un sistema lineal. Esto es posible por que estas cantidades están relacionadas a través de:
Ay
ωn
= Vy = ωn ⋅ Dy
(9.10)
el esfuerzo de fluencia de un sistema elastoplástico es:
fy =
Ay
g
w
(9.11)
donde w es el peso del sistema.
9.6.2
Esfuerzo de fluencia para una ductilidad especifica
El esfuerzo de fluencia fy de un sistema elastoplástico para un factor de ductilidad específico μ se puede obtener
utilizando ⎯fy y la ecuación 9.1. Para tener mayor precisión en este calculo, ⎯fy es obtenido a partir de un
procedimiento iterativo. A partir de pares de datos disponibles (⎯fy, μ ) se asume una relación lineal entre log(⎯fy )
y log (μ), y a través de una interpolación se obtiene⎯fy correspondiente a un μ especifico. Se calcula el histograma
de respuesta del sistema con este⎯fy para determinar el factor de ductilidad. Si este factor es suficientemente
cercano, con un error del 1 %, al μ especificado; el valor de⎯fy se considera satisfactorio, de otra forma es
modificado hasta que lo sea.
9.6.3
Construcción del espectro de respuesta con ductilidad constante
A continuación se presenta en una serie de pasos el procedimiento para construir el espectro de respuesta para un
sistema elastoplástico correspondiente a niveles de ductilidad específicos:
1.
Definir numéricamente el movimiento del suelo .üg(t)
2.
Seleccionar una razón de amortiguamiento ξ para la cual el espectro será trazado
3.
Seleccionar un valor para Tn
104
Respuesta sísmica a sistemas no lineales
4.
Determinar la respuesta u(t) del sistema lineal con los valores de Tn y ξ seleccionados. A partir de u(t)
determinar la deformación pico u0 y la fuerza pico f0=k·u0. Estos resultados se muestran para Tn=0.5 en
la Figura 9.8(a)
5.
Determinar la respuesta u(t) de un sistema elastoplástico con los mismos valores de Tn y ξ y la fuerza de
fluencia fy =⎯fy · f0, con un valor de⎯fy < 1 seleccionado. A partir de u(t) determinar la deformación pico
um y el factor de ductilidad asociado a partir de la ecuación 9.4. Repetir dicho análisis para valores de⎯fy
suficientes para desarrollar una serie de puntos (⎯fy,μ) que cubran el rango de ductilidad de interés. Estos
resultados se muestran para ⎯fy = 0.5, 0.25 y 0.125
6.
a. Para una μ seleccionada determinar⎯fy a partir de los resultados del paso 5 usando el procedimiento
de interpolación descrito en la sección 9.6.2. Si más de un valor de⎯fy corresponde a un valor particular
de μ se elegirá el mayor.
b. Determinar la correspondiente ordenada espectral para el valor de⎯fy calculado en el paso 6(a). La
ecuación 9.1 da uy a partir del cual Dy, Vy y Ay pueden ser calculados utilizando la ecuación 9.9. Estos
datos proveen un punto en el espectro de respuesta graficado en las Figuras 9.11 y 9.12
7.
Repetir los pasos del 3 al 6 para un rango de valores de Tn validos para el valor de μ seleccionado en el
paso 6(a)
8.
Repetir los pasos del 3 al 7 para varios valores de μ
En las Figuras 9.11 y 9.12 se presenta el espectro de respuesta construido por este procedimiento para un sistema
elastoplástico con ξ=5% para el movimiento del suelo de El Centro para μ=1,1.5,2,4 y 8.
1
f y /w = A y /g
0.8
0.6
μ=1
0.4
1.5
2
4
0.2
8
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Periodo natural de vibración Tn, [s]
Figura 9.11
Espectro de respuesta para un sistema elastoplástico para el movimiento de El Centro: μ=1, 1.5, 2, 4 y 8; ξ=5%
105
Respuesta sísmica a sistemas no lineales
0
10
10
50
μ=1
20
1
4
5
0.
1
8
1
V , [in/s]
1.5
2
10
10
01
00
0.
·g
0.
u
1
y
y,
0.5
A
in
1
0.
1
0.
01
2
0.2
0.02
0.05 0.1
0.2
0.5
1
2
5
10
20
50
Periodo natural de vibración T n, [s]
Figura 9.12
9.7
Espectro de respuesta para un sistema elastoplástico para el movimiento de El Centro: μ=1, 1.5, 2, 4 y 8; ξ=5%
ESFUERZO DE DISEÑO Y DEFORMACIÓN A PARTIR DEL ESPECTRO
DE RESPUESTA
Considerar un sistema SDF a ser diseñado para una ductilidad, μ, admisible, basado en una deformación
admisible y en una capacidad de ductilidad que se pueden alcanzar para los materiales y materiales de diseño
seleccionados.
Se desea determinar el esfuerzo de fluencia de diseño y la deformación de diseño para el sistema sujeto a una
excitación dada. El valor Ay/g se lee del espectro de respuesta para el valor admisible de μ y los valores conocidos
de Tn y ξ . La ecuación 9.11 proporciona el esfuerzo de fluencia, fy, necesario para limitar la demanda de
ductilidad a la ductilidad admisible. La deformación pico es:
um = μ ⋅u y
(9.12)
donde: uy=fy/k=Ay/(ωn)2
El factor de ductilidad μ y la deformación pico um representan los requisitos de diseño asociados con la fuerza de
diseño fy. De este modo el ingeniero deberá diseñar y detallar la estructura de acuerdo a la capacidad de ductilidad
y la capacidad de deformación que ésta posee.
9.8
ESFUERZO DE FLUENCIA DE DISEÑO
El esfuerzo de fluencia de diseño fy que permite a un sistema SDF tener una deformación en el rango inelástico
es menor que el esfuerzo requerido por la estructura para permanecer en el rango elástico. El esfuerzo de fluencia
de diseño se reduce con el incremento del factor de ductilidad, esta aseveración es mostrada con mayor claridad
en la Figura 9.13, que no es otra cosa que las Figuras 9.11 y 9.12 graficadas en forma diferente.
106
Respuesta sísmica a sistemas no lineales
La implicación practica de estas observaciones es que la estructura puede ser diseñada para ser sismorresistente
haciéndola fuerte o dúctil; o diseñándola económicamente combinando ambas propiedades. Considerar de nuevo
un sistema SDF con Tn=0.5 [s] y ξ=5% a ser diseñado para el movimiento de El Centro. Si este sistema es
diseñado para una fuerza f0=0.919·w o mayor, permanecerá dentro el rango linealmente elástico durante esta
excitación; de este modo no necesita ser dúctil. Por otro lado si ésta puede desarrollar un factor de ductilidad de
8, solo necesita ser diseñada para 12% de la fuerza f0 requerida para un comportamiento elástico.
Alternativamente puede ser diseñada para una fuerza igual al 37% de f0 y una capacidad de ductilidad de 2. Para
algunos tipos de materiales y miembros estructurales la ductilidad es difícil de alcanzar; para otras el proveerles
ductilidad es mucho más fácil que proveerles resistencia lateral y el diseño práctico refleja esto.
1
μ=1
1
μ = 1.5
0.5
μ=2
_
fy
μ=4
0.2
μ=8
2
5
e
f
d
1
T
0.5
T
0.1 0.2
T
c
b
0.05
T
0.05
0.02
T
T
a
0.1
10
20
2
Ry
5
10
50
Periodo natural de vibración T n, [s]
Figura 9.13
Esfuerzo normalizado f y de un sistema elastoplástico como función de Tn
La resistencia normalizada para un factor de ductilidad especifico depende de la relación del amortiguamiento ξ,
pero esta dependencia no es fuerte; es usualmente ignorada en aplicaciones de diseño.
Capítulo 10
SISTEMAS DE VARIOS
GRADOS DE LIBERTAD
10.1
INTRODUCCIÓN
Resulta complejo elegir entre el análisis dinámico plano o tridimensional, éste último representado por sus dos
componentes horizontales (cargas reversibles), lo cual no es posible en el plano. El análisis dinámico
tridimensional, requerirá la evaluación de la estructura con varios grados de libertad por medio de métodos
sofisticados como el de los elementos finitos, que ayudaría a resolver las ecuaciones diferenciales de movimiento
existentes por cada grado de libertad, es una herramienta poderosa, sin embargo su modelación e interpretación
de resultados no es sencilla y sólo se justificaría su uso en obras de magnitud.
En una estructura tridimensional xyz tipo edificios, es útil y suficiente asumir la hipótesis del diafragma rígido de
piso, lo cual acepta que las plantas o losas de entrepiso son indeformables en el plano xy, de esta forma el
problema global se reduce a tres grados de libertad por piso, dos traslaciones horizontales (ux,uy) y una rotación
vertical (rz), a estos se conocen como desplazamientos maestros de piso. Normalmente estos grados de libertad se
concentran en un nudo denominado maestro, al cual están constringidos o conectados rígidamente los nudos
restantes, a estos nudos se los denomina dependientes y tienen los grados de libertad opuestos a los nudos
maestros, es decir dos rotaciones horizontales (rx, ry) y una traslación vertical (uy)
10.2
ECUACIÓN DE MOVIMIENTO
Una estructura de varios niveles mostrada en la Figura 10.1, se puede idealizar como un pórtico de varios niveles
con diafragma de cuerpo rígido asumiendo que la masa está concentrada en cada nivel, las columnas se suponen
axialmente inextensibles pero lateralmente flexibles. La respuesta dinámica del sistema está representada por el
desplazamiento lateral de las masas con el número de grados de libertad dinámica o n modos de vibración que
son iguales al número de masas. La vibración resultante del sistema esta dada por la superposición de las
vibraciones de cada masa. Cada modo individual de vibración tiene su propio periodo y puede ser representado
por un sistema simple del mismo periodo.
La Figura 10.1 muestra tres modos de un sistema aporticado de tres niveles. El modo de vibración con periodo
mayor (frecuencia baja) es llamado modo fundamental de vibración; modos con periodos cortos son llamados
modos armónicos (frecuencias altas).
Para ilustrar el análisis correspondiente a varios grados de libertad considerar un edificio de tres pisos. Cada masa
de piso representa un grado de libertad con una ecuación de equilibrio dinámico para cada una:
108
Sistemas de varios grados de libertad
f Ia + f Da + f Sa = p a (t )
f Ib + f Db + f Sb = p b (t )
(10.1)
f Ic + f Dc + f Sc = p c (t )
Pórtico
Sistema
Equivalente
Modo
1
Figura 10.1
Modo
2
Modo
3
Modo
4
Modo
5
Estructura de varios niveles
Las fuerzas de inercia en la ecuación 10.1 son simplemente:
f Ia = m a ⋅ u&&a
f Ib = mb ⋅ u&&b
f Ic
(10.2)
= m c ⋅ u&&c
En forma matricial:
⎧ f Ia ⎫ ⎡m a
⎪ ⎪ ⎢
⎨ f Ib ⎬ = ⎢ 0
⎪f ⎪ ⎢ 0
⎩ Ic ⎭ ⎣
0
mb
0
⎤ ⎧u&&a ⎫
⎥ ⋅ ⎪u&& ⎪
⎥ ⎨ b⎬
m c ⎥⎦ ⎪⎩u&&c ⎪⎭
0
0
(10.3)
O más generalmente:
{FI } = [M ]⋅ {U&&}
(10.4)
Donde {FI} es el vector de fuerzas de inercia, [M] es la matriz de masa y {Ü} es el vector de aceleraciones. Debe
notarse que la matriz de masa es diagonal para un sistema de sumas agrupadas, sin considerar acoplamiento entre
las masas. En sistemas de coordenadas de forma más generalizada, usualmente hay acoplamiento entre las
coordenadas lo que complica la solución. Esta es una razón primordial para usar el método de masas
concentradas.
Las fuerzas de la ecuación 10.1 dependen de los desplazamientos y usando coeficientes de influencia de rigidez
pueden expresarse como:
f Sa = k aa ⋅ u a + k ab ⋅ u b + k ac ⋅ u c
f Sb = k ba ⋅ u a + k bb ⋅ u b + k bc ⋅ u c
f Sc = k ca ⋅ u a + k cb ⋅ u b + k cc ⋅ u c
(10.5)
109
Sistemas de varios grados de libertad
En forma matricial:
⎧ f Sa ⎫ ⎡k aa
⎪ ⎪ ⎢
⎨ f Sb ⎬ = ⎢k ba
⎪ f ⎪ ⎢k
⎩ Sc ⎭ ⎣ ca
k ab
k bb
k cb
k ac ⎤ ⎧u a ⎫
⎪ ⎪
k bc ⎥⎥ ⋅ ⎨u b ⎬
k cc ⎥⎦ ⎪⎩u c ⎪⎭
(10.6)
O más generalmente:
{Fs } = [K ]⋅ {U }
(10.7)
Donde {Fs} es el vector de fuerzas elásticas, [K] es la matriz de rigidez y {U} es el vector de desplazamientos.
Por analogía, las fuerzas de amortiguamiento en la ecuación 10.1 pueden expresarse como:
{FD } = [C ]⋅ {U& }
(10.8)
{}
Donde {FD} es el vector de fuerzas de amortiguamiento, [C] es la matriz de amortiguamiento y U& es el vector
de velocidades. En general no es práctico determinar c y el amortiguamiento es expresado en términos del
coeficiente de amortiguamiento (ξ).
Aplicando las ecuaciones 10.4, 10.7 y 10.8 las ecuaciones de equilibrio dinámico (10.1) pueden escribirse
generalmente como:
{FI}+{FD}+{FS}={p(t)}
(10.9)
Lo cual es equivalente a:
{M }⋅ {U&&}+ {C}⋅ {U& }+ {K }⋅ {U } = {p (t ) }
10.3
(10.10)
RESPUESTA DINÁMICA: ANÁLISIS MODAL
Para determinar la respuesta dinámica de una estructura de varios grados de libertad se puede utilizar el
procedimiento de análisis modal. Se obtiene la respuesta máxima por separado para cada modo, modelando cada
uno de ellos como un sistema de simple grado de libertad. Debido a que los valores máximos no pueden ocurrir
simultáneamente, estos valores son combinados estadísticamente para obtener la respuesta total.
1
El método de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados, SRSS, es aplicable para estructuras bidimensionales
cuando la relación entre los periodos de cualquier modo alto con cualquier modo bajo es 0.75 o menor, y la
relación de amortiguamiento no excede el 5%. El análisis modal puede ser enfocado mediante métodos
matriciales, numéricos o métodos iterativos.
10.4
MÉTODO MATRICIAL
Como la respuesta dinámica de una estructura depende de la frecuencia o periodo de vibración y de la forma
desplazada (forma modal), el primer paso en un análisis de un sistema de varios grados de libertad es encontrar
las frecuencias y las formas modales de vibración libre. En este caso no existen fuerzas externas y el
amortiguamiento es considerado cero.
1
Alan Williams, pp 21 [ref. 4]
110
Sistemas de varios grados de libertad
Cada grado de libertad dinámico provee una ecuación de equilibrio dinámico, la vibración resultante del sistema
consiste de n de éstas ecuaciones, y puede ser expresado en forma matricial para vibración libre no amortiguada
como:
[M ]⋅ {U&&}+ [K ]⋅ {U } = 0
(10.11)
La vibración libre descrita gráficamente por las Figuras 10.2 y 10.3 de un sistema no amortiguado en uno de sus
modos de vibración natural puede describirse matemáticamente por:
{u (t ) }= { q n(t ) }⋅ {φ n }
(10.12)
2
q1
t
0
-2
(c)
T1 =2π/ω1
a b c d e
2
m
u2
e d c b a
u2
φ 21
k
2m
t
0
-2
2
φ 11
u1
u1
t
0
-2
2k
0
(a)
T1
(b)
2T1
3T1
(d)
Figura 10.2
Vibración libre de un sistema no amortiguado en su primer modo natural de vibración: (a) Pórtico de dos niveles; (b) Forma
de la deformada en los instantes de tiempo a, b, c, d y e; (c) Coordenada modal q1(t); (d) Histograma de desplazamiento
Donde φn, forma de la deformada o amplitud relativa de movimiento, no varia con el tiempo, y la variación del
desplazamiento con el tiempo es descrita por una función armónica:
q n(t ) = An ⋅ cos ω n t + Bn ⋅ senω n t
(10.13)
Donde An y Bn son constantes de integración que pueden ser calculadas a partir de las condiciones iniciales.
Combinando las ecuaciones 10.12 y 10.13 se tiene:
B
u (t ) = φ n ⋅ ( An ⋅ cos ω n t + Bn ⋅ senω n t )
(10.14)
Donde φn y ωn son desconocidos. Sustituyendo esta forma de u(t) en la ecuación 10.11 da:
([K ] − [M ]⋅ω )⋅ {U } = 0
(10.15)
({φ
(10.16)
2
n
o
n
}⋅ [K ] − ω n2 ⋅ {φ n }⋅ [M ])⋅ {q n } = 0
Esta expresión es una representación de la ecuación de eigenvalores; la cual tiene una solución no trivial sólo si
el determinante de los coeficientes es igual a cero, es decir las frecuencias naturales ωn (escalar) y los modos φn
(vector) deben satisfacer la siguiente ecuación:
([K ] − ω
2
n
)
⋅ [M ] ⋅ {φ n } = 0
(10.17)
111
Sistemas de varios grados de libertad
1
q2
t
0
-1
(c)
T2 =2π/ω2
a bcde
1
u2
m
u2
k
ed c b a
φ 21
Nudo
2m
u1
1
u1
φ 11
t
0
-1
t
0
-1
2k
0
T2
0
(a)
3T2
T1
(b)
5T2
2T1
3T1
(d)
Figura 10.3
Vibración libre de un sistema no amortiguado en su segundo modo natural de vibración: (a) Pórtico de dos niveles; (b)
Forma de la deformada en los instantes de tiempo a, b, c, d y e; (c) Coordenada modal q2(t); (d) Histograma de desplazamiento
[K ] − ω n2 ⋅ [M ] = 0
(10.18)
El desarrollo del determinante conduce a un polinomio de grado n en (ωn)2, las raíces del cual son los
eigenvalores. Sustituyendo éstos en la ecuación de eigenvalores (ecuación 10.17) se obtienen los eigenvalores
para cada modo. A partir de los eigenvalores se obtienen los periodos naturales correspondientes y se pueden
obtener las aceleraciones espectrales a partir de una curva de respuesta apropiada.
10.4.1 Matriz modal y espectral
Los N eigenvalores y los N modos pueden ser acoplados en forma matricial. El modo natural o eigenvector φn
correspondiente a la frecuencia natural ωn tiene elementos φjn, donde j indica el DOF. De este modo los N
eigenvectores pueden presentarse o disponerse en una matriz cuadrada, de la cual cada columna es un modo:
[Φ ] = [φ jn ]
⎡ φ11 φ12
⎢φ
φ 22
= ⎢ 21
⎢ M
M
⎢
⎣φ N 1 φ N 2
L φ1N ⎤
L φ 2 N ⎥⎥
O
M ⎥
⎥
L φ NN ⎦
Donde [Φ] es llamada matriz modal. Los N eigenvalores ωn2 pueden ser acoplados en una ,matriz diagonal Ω2, la
cual es conocida como matriz espectral.
[Ω ]
2
⎡ω 12
⎢
=⎢
⎢
⎢
⎢⎣
ω 22
⎤
⎥
⎥
⎥
O
⎥
2
ω N ⎥⎦
112
Sistemas de varios grados de libertad
Cada eigenvalor y eigenvector satisfacen la ecuación 10.17 la cual puede ser reescrita como:
[K ]⋅ {φ n } = [M ]⋅ {φ n }⋅ ω n2
(10.19)
Utilizando la matriz modal y espectral es posible representar esta ecuación en una ecuación matricial simple:
[K ]⋅ [Φ ] = [M ]⋅ [Φ ]⋅ [Ω 2 ]
(10.20)
Esta ecuación presenta en forma compacta las ecuaciones relacionando todos los eigenvalores y eigenvectores.
10.4.2 Ortogonalidad de los modos
Los modos naturales correspondientes a diferentes frecuencias naturales se muestran a continuación para
satisfacer la siguiente condición de ortogonalidad. Cuando ωn≠ωr (entiéndase que ωr también es una frecuencia
natural).
φ nT ⋅ k ⋅ φ r = 0
(10.21a)
φ nT ⋅ m ⋅ φ r = 0
(10.21b)
La demostración de esta propiedad es la siguiente: la enésima frecuencia natural y el modo que satisfacen la
ecuación 10.19 multiplicados por φrT, la transpuesta de φr, da:
φ rT ⋅ k ⋅ φ n = ω n2 ⋅ φ rT ⋅ m ⋅ φ n
(10.22)
Análogamente se realiza lo mismo con la erésima frecuencia natural y el modo que satisface la ecuación 10.19;
de esta manera k·φr = ωr2·m·φr multiplicando por φnT da:
φ nT ⋅ k ⋅ φ r = ω r2 ⋅ φ nT ⋅ m ⋅ φ r
(10.23)
La transpuesta de la matriz en el lado izquierdo de la ecuación 10.22 es igual a la transpuesta de la matriz en el
lado derecho de la ecuación; de esta forma:
φ nT ⋅ k ⋅ φ r = ω n2 ⋅ φ nT ⋅ m ⋅ φ r
(10.24)
Donde se ha utilizado la propiedad de simetría de la matriz de masa y rigidez. Restando la ecuación 10.23 de la
ecuación 10.24 se tiene:
(ω n2 − ω r2 ) ⋅ φ nT ⋅ m ⋅ φ r = 0
De esta manera la ecuación 10.21(b) es verdadera cuando ωn2≠ωr2 los cuales para sistemas con frecuencia natural
positiva implica que ωn≠ωr. Sustituyendo la ecuación 10.21(b) en la 10.23 señala que la ecuación 10.21(a) es
verdadera cuando ωn≠ωr.
Se ha establecido la relación de ortogonalidad entre modos con distintas frecuencias. La ortogonalidad de los
modos naturales implica que las siguientes matrices cuadradas son diagonales:
113
Sistemas de varios grados de libertad
[K ] ≡ [Φ]T ⋅ [K ]⋅ [Φ]
[M ] ≡ [Φ]T ⋅ [M ]⋅ [Φ]
(10.25)
m n = {φ n }T ⋅ [M ]⋅ {φ n }
(10.26)
Donde los elementos de la diagonal son:
k n = {φ n }T ⋅ [K ]⋅ {φ n }
Debido a que m y k son definidos positivos, los elementos de la diagonal de K y M son positivos, y están
relacionados por:
k n = ω n2 ⋅ m n
(10.27)
10.4.3 Normalización de los modos
Si el vector {φn} es un modo natural, cualquier vector proporcional es en esencia el mismo modo natural porque
satisface la ecuación 10.17. algunas veces se aplica factores de escala a los modos naturales para estandarizar sus
elementos asociándolos con sus amplitudes en varios grados de libertad. Este proceso es llamado normalización;
algunas veces es conveniente normalizar cada modo de tal forma que el elemento mayor sea la unidad. Otras
veces es más ventajoso el normalizar cada modo de tal forma que el elemento correspondiente a algún grado de
libertad en particular sea la unidad. En teoría y programas computacionales es común normalizar los modos de tal
manera que mn tenga valores unitarios:
M n = [φ n ]T ⋅ [M ]⋅ [φ n ] = 1
o
[Φ]T ⋅ [M ]⋅ [Φ] = [I ]
(10.28)
Donde la matriz [I] es la matriz de identidad. Los componentes de la matriz modal normalizada están dados por:
φ jn =
(Σm
u jn
jj
⋅ u 2jn
)
1
(10.29)
2
donde: φjn= es el componente para el nudo j, de la forma modal normalizada asociada al modo n.
mjj= masa concentrada en el nudo j.
ujn= el componente, para el nudo j, del eigenvector asociado con el nudo n.
10.4.4 Factor de participación
Las ecuaciones de movimiento para cada grado de libertad no dependen de los modos de vibración y tienen forma
similar a la ecuación de movimiento de un sistema de un solo grado de libertad. El factor de participación, para
sistemas de varios grados de libertad esta definida en forma matricial por 2 :
T
[P] = [Φ]T ⋅ [M ]⋅ {1}
[Φ ] ⋅ [M ]⋅ [Φ ]
2
Alan Williams, pp 22-23 [ref. 4]
(10.30)
114
Sistemas de varios grados de libertad
donde
[P]= vector de coeficientes de participación para todos los modos considerados
{1}= vector unitario.
Para un sistema en especifico, los factores de participación tienen las propiedades de:
ΣPn ⋅ φ1n = 1
donde
(10.31)
Pn = es el factor de participación asociado con el modo n.
φ1n = es el componente, para el primer nudo del sistema del eigenvector asociado con el modo n.
La matriz de máximos desplazamientos esta definida por:
[U ] = [Φ ]⋅ [P]⋅ [D ]
[U ] = [Φ ]⋅ [P]⋅ [V ]⋅ [Ω]−1
−1
[U ] = [Φ ]⋅ [P]⋅ [A]⋅ [Ω 2 ]
donde
(10.32)
[D] = matriz diagonal de desplazamiento espectral.
[V] = matriz diagonal de velocidad espectral.
[A] = matriz diagonal de aceleración espectral.
La matriz de fuerzas laterales en cada nudo del sistema esta dada por la segunda ley de Newton:
[F ] = [K ]⋅ [U ]
(10.33)
El vector de fuerzas cortantes en la base esta dada por:
[V ] = [F ]T ⋅ {1}
10.5
(10.34)
MÉTODO NUMÉRICO
Para facilitar el procedimiento del análisis modal se puede utilizar métodos numéricos. Para un modo de
vibración dado el factor de participación está definido por:
P=
ΣM i ⋅ φ i
M
(10.35)
Donde Mi = masa correspondiente al nivel i.
φi = componente de la forma modal para el nudo i para un modo dado.
M = masa modal = ΣMi·φi2
Cuya sumatoria se extiende sobre todos los nudos de la estructura.
La masa efectiva está definida por:
ME =
(ΣM i ⋅ φ i )2
ΣM i ⋅ φ i2
(10.36)
115
Sistemas de varios grados de libertad
De forma similar el peso efectivo es definido por:
WE =
donde
(ΣWi ⋅ φ i )2
ΣWi ⋅ φ i2
(10.37)
Wi = peso correspondiente al nivel i
La aceleración pico en el nudo está definida por:
u&& = φ i ⋅ P ⋅ A
(10.38)
El desplazamiento máximo en el nudo está definido por:
ui = φi ⋅ P ⋅ D
(10.39)
La fuerza lateral en el nudo está dada por la ley de Newton:
Fi = M i ⋅ u&&
(10.40)
La cortante basal esta dada por:
V = ΣFi
V = P ⋅ A ⋅ ΣM i ⋅ φ i
V = P2 ⋅M ⋅ A
(10.41)
V = M E ⋅A
La fuerza lateral en cada nudo puede también determinarse mediante la distribución de la cortante basal del modo
siguiente:
Fi = M i ⋅ φ i ⋅ P ⋅ A
Fi = ( M i ⋅ φ i / P ⋅ M ) ⋅ V
(10.42)
Fi = ( M i ⋅ φ i / ΣM i ⋅ φ i ) ⋅ V
Para eigenvectores normalizados estas expresiones se reducen a:
M = ΣM i ⋅ φ i2 = 1
(10.43)
M = masa modal.
10.6
MÉTODO ITERATIVO
Para edificios de pocos niveles, que no excedan a cinco plantas, el análisis modal puede limitarse al modo
fundamental. El sistema estructural puede ser modelado como un pórtico con losas de entre piso rígidas. Los
desplazamientos laterales de los nudos son entonces el resultado de la flexión de las columnas sin incluir rotación
en los nudos. La rigidez de un nivel en particular esta dada por:
k i = 12 ⋅ E ⋅
ΣI
h3
(10.44)
La masa en cada nivel se asume concentrada en las losas de entre piso como se muestra en la Figura 10.4.
utilizando estos supuestos se han desarrollado técnicas iterativas 3 basadas en métodos propuestos por Rayleigh,
Stodola y Holzer. A continuación se presenta una adaptación del método de Holzer. El modelo dinámico describe
3
Alan Williams, pp 35-40 [ref. 4]
116
Sistemas de varios grados de libertad
que: cuando un nudo alcanza su desplazamiento lateral máximo ui, la velocidad es cero y la fuerza de inercia en
el nudo está dada por:
FI = mi ⋅ u&&i
(10.45)
FI = m i ⋅ ω 2 ⋅ u i
m 3 ω2 x3
m 1 ω2 x1
m 2 ω2 x2
x3
m3
m 3 ω2 x3
k3
k2
m1
k3 Δ 3
x2
m2
m 2 ω2 x2
k2Δ 2
x1
m 1 ω2 x1
k1
k 1Δ 1
Δ 1 Δ2 Δ3
Sistema
estructural
equivalente
Modelo
dinámico
equivalente
Desplazamiento
del nudo
y deriva
Figura 10.4
Fuerzas
laterales en
los nudos
Esfuerzos
de corte
de piso
Análisis modal de una estructura resistente a fuerza lateral
La fuerza cortante en cualquier nivel es igual al producto de la rigidez del nivel por el desplazamiento del mismo.
El incremento en la fuerza de corte en el nudo es producido por la fuerza de inercia en ese nivel. El incremento de
la fuerza cortante esta dado por:
FS = k i ⋅ Δ i − k i +1 ⋅ Δ i +1
(10.46)
Donde ki·Δi = fuerza cortante total en el nivel i.
Igualando la fuerza de inercia y el incremento de la fuerza cortante se tiene:
F I = FS
mi ⋅ ω 2 ⋅ u i = k i ⋅ Δ i − k i +1 ⋅ Δ i +1
(10.47)
La solución de esta ecuación se puede obtener asumiendo una forma modal inicial con un desplazamiento
unitario en el nivel superior; a partir del cual se calcula la fuerza de inercia o el incremento de fuerza cortante en
términos de la frecuencia natural, en cada nivel. Sumando el incremento de fuerza cortante a partir del nivel
superior hacia abajo se tiene la fuerza cortante total en cada piso. Dividiendo este valor por la rigidez apropiada
de cada nivel se obtiene el desplazamiento (deriva) de cada piso. Dividiendo estos desplazamientos por el
desplazamiento en la parte superior de la estructura se obtiene la forma modal corregida. Esta forma modal
corregida puede ser usada como una nueva forma modal inicial en el proceso de iteración hasta que coincidan la
forma modal corregida con la inicial.
117
Sistemas de varios grados de libertad
10.7
EJEMPLOS
Sistemas de varios grados de libertad
Ejemplo 10.1
Un pórtico de dos niveles tiene las propiedades mostradas en la Figura 10.5 y una relación de amortiguamiento de
5%, está localizado sobre un sitio rocoso cerca del origen del sismo de Loma Prieta. Determinar las fuerzas
laterales y desplazamientos de cada nivel usando el espectro de respuesta de la Figura 10.6.
w2 = 70 [t]
w2 = 70 [t]
4 m.
k2 = 3 [t/cm]
w1 = 70 [t]
k2 = 3 [t/cm]
w1 = 70 [t]
k1 = 7 [t/cm]
4 m.
k1 = 7 [t/cm]
Figura 10.5
1.5
Aceleración espectral, g
Roca, derca de la fuente
1.0
ξ=0.05
Roca blanda, sur de San
Francisco
0.5
Roca suave, Oackland
Roca, San Francisco
1.0
0.0
2.0
3.0
Periodo natural de vibración T n, s
Figura 10.6
Espectros de respuestas registrados para varios sitios
Solución:
El desplazamiento de cada nudo es:
[K ] = ⎡⎢
k11
⎣k 21
k12 ⎤ ⎡7 + 3 − 3⎤ ⎡ 10 − 3⎤
=
=
k 22 ⎥⎦ ⎢⎣ − 3
3 ⎥⎦ ⎢⎣− 3 3 ⎥⎦
4.0
118
Sistemas de varios grados de libertad
la matriz diagonal de masa es:
w = m⋅ g ⇒ m =
[M ] = ⎡⎢
([K ] − ω
2
n
]
0 ⎤
0.071⎥⎦
0.071
⎣ 0
la ecuación de eigenvalores es:
[
w 70
=
= 0.071 t ⋅ s 2 / cm
g 981
)
⋅ [M ] ⋅ {φ n } = 0
⎛ ⎡ 10 − 3⎤
0 ⎤ ⎞ ⎧φ1n ⎫
2 ⎡0.071
⎜⎢
⎥ ⎟⎟ ⋅ ⎨φ ⎬ = 0
⎜ − 3 3 ⎥ −ω n ⋅ ⎢ 0
0
.
071
⎣
⎦
⎣
⎦ ⎠ ⎩ 2n ⎭
⎝
el determinante a resolver es:
10 − 0.071⋅ ω n2
−3
−3
=0
3 − 0.071⋅ ω n2
30 − 0.71 ⋅ ω n2 − 0.213 ⋅ ω n2 + 0.005 ⋅ ω n4 − 9 = 0
0.005 ⋅ ω n4 − 0.923 ⋅ ω n2 + 21 = 0
resolviendo el polinomio se obtiene las frecuencias naturales correspondientes a los modos de vibración:
ω 1 = 5.15 [rad / s ]
ω 2 = 12.57 [rad / s ]
el periodo natural correspondiente es:
T1 = 1.22 [s ]
T 2 = 0. 5
[s ]
A partir del espectro de respuesta, Figura 10.6, la aceleración espectral es:
[ ]
= 0.83 ⋅ g = 814.23 [cm / s ]
A1 = 0.23 ⋅ g = 225.63 cm / s 2
A2
2
Sustituyendo estos valores en la ecuación de eigenvalores y estableciendo el primer componente de cada modo
igual a la unidad se obtiene cada uno de los eigenvectores:
Para ω1=5.15
⎡10 − 0.71(5.15) 2
⎢
−3
⎢⎣
⎤ ⎧φ11 ⎫ ⎧0⎫
−3
=
2 ⎥ ⎨φ ⎬ ⎨0⎬
3 − 0.071(5.15) ⎥⎦ ⎩ 21 ⎭ ⎩ ⎭
⎧ 8.1129 ⋅ φ11 − 3 ⋅ φ 21 = 0
⎨
⎩− 3 ⋅ φ11 + 1.1169 ⋅ φ 21 = 0
⎧ 1 ⎫
⎨
⎬
⎩2.706⎭
⎧ 1 ⎫
Para ω2=12.57 se resuelve análogamente y se obtiene el eigenvector: ⎨
⎬
⎩− 0.406⎭
si φ11 = 1 → φ 21 = 2.706 y se tiene el eigenvector:
119
Sistemas de varios grados de libertad
De este modo se obtiene la matriz de eigenvectores:
1 ⎤
⎡ 1
⎢2.706 − 0.406 ⎥
⎦
⎣
los componentes de la matriz modal normalizada están dados por:
φ jn =
u jn
(Σm
jj
⋅ u 2jn
)
1
2
Para el modo 1:
(Σm
jj
⋅ u 2j1
) = [0.071⋅ (1 + 2.706 )]
(Σm
jj
⋅ u 2j 2
) = [0.071⋅ (1 + 0.406 )]
1
2
2
1
2
= 0.768
Para el modo 2:
1
2
2
1
2
= 0.288
Entonces la matriz modal normalizada es:
⎡ 1
⎢
[Φ ] = ⎢ 02..768
706
⎢
0
.
⎣ 768
1 ⎤
0.288 ⎥ = ⎡1.302 3.477 ⎤
− 0.406 ⎥ ⎢⎣3.520 − 1.413⎥⎦
⎥
0.288 ⎦
El vector de coeficiente de participación esta definido por:
T
[P] = [Φ]T ⋅ [M ]⋅ {1}
[Φ ] ⋅ [M ]⋅ [Φ ]
T
como [Φ ] ⋅ [M ]⋅ [Φ ] = [I ] para la matriz modal normalizada, entonces [P] se reduce a:
[P] = [Φ]T ⋅ [M ]⋅ {1}
[P ] = ⎡⎢
3.520 ⎤ ⎡0.071
0 ⎤ ⎧1⎫ ⎧0.342 ⎫
⋅⎢
⋅⎨ ⎬ = ⎨
⎬
⎥
0.071⎥⎦ ⎩1⎭ ⎩0.147 ⎭
⎣3.477 − 1.413⎦ ⎣ 0
1.302
Asumiendo que la estructura se comporta elásticamente, la matriz de desplazamiento esta dada por:
[U ] = [Φ]⋅ [P]⋅ [D] = [Φ]⋅ [P]⋅ [A] [Ω 2 ]
[U ] = ⎡⎢
1.302 3.477 ⎤ ⎡0.342
0 ⎤ ⎡225.63
0 ⎤
⋅⎢
⋅⎢
⎥
⎥
0.147 ⎦ ⎣ 0
814.23⎥⎦
⎣3.520 − 1.413⎦ ⎣ 0
⎡5.15 2
0 ⎤
⎢
⎥
12.57 2 ⎥⎦
⎢⎣ 0
[U ] = ⎡⎢
3.78
2.616 ⎤
⎥
⎣10.219 − 1.063⎦
Los desplazamientos máximos resultantes de cada nudo se obtienen a través de la raíz cuadrada de la suma de
los cuadrados, SRSS, de la fila respectiva a cada nudo y esta dado por:
[U c ] = ⎡⎢
4.60 ⎤
⎥
10
⎣ .27 ⎦
120
Sistemas de varios grados de libertad
La matriz de fuerzas laterales en cada nudo esta dado por.
[Fs ] = [K ]⋅ [U ]
[Fs ] = ⎡⎢
29.349 ⎤
⎥
⎣19.317 − 11.037 ⎦
7.143
Utilizado la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados la fuerza lateral en cada nudo es:
[Fsc ] = ⎡⎢
30.20 ⎤
⎥
⎣22.25⎦
El vector de cortante basal es:
[V ] = ([F ]T ⋅ {1})
T
[Vb ] = [26.46
18.312]
Utilizado la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados la cortante basal es:
(
Vb = V112 + V122
)
1
2
= 32.178
[t ]
121
Sistemas de varios grados de libertad
Sistemas de varios grados de libertad
Ejemplo 10.2
La Figura 10.7 representa un edificio de tres niveles. Las cargas muertas efectivas se muestran en cada piso y se
dan como datos las siguientes propiedades dinámicas:
w3 = 35 [ t ]
4m
k3 = 3 [ t/cm ]
1.0
4m
Aceleración espectral, g
w2 = 55 [ t ]
k2 = 3 [ t/cm ]
w1 = 55 [ t ]
0.6
0.4
0.2
k1 = 7 [ t/cm ]
4m
0.8
0
0.2
0.4
5m
Estructura
0.6
0.8
1.0
1.2
Periodo, s
Modelo dinámico
Espectro de respuesta
Figura 10.7
Eigenvectores:
⎡0.939
3.135 ⎤
2.871 − 4.084⎥⎥
⎢⎣ 3.491 − 3.129 1.226 ⎥⎦
[Φ] = ⎢⎢ 2.181
3.159
[Φ]T ⋅ [M ]⋅ [Φ] = [I ]
Eigenvalores:
⎡ 8.5788 ⎤
{ω } = ⎢⎢19.3911⎥⎥[rad / s]
⎢⎣29.1391⎥⎦
Se requiere:
a)
b)
c)
Calcular los factores de participación y verificar si son correctos dichos factores.
Calcular los desplazamientos de cada nivel basados en el espectro dado.
Calcular la deriva entre cada piso
Solución:
a)
los factores de participación para un sistema de varios grados de libertad están definidos por:
T
[P] = [Φ]T ⋅ [M ]⋅ {1}
[Φ ] ⋅ [M ]⋅ [Φ ]
122
Sistemas de varios grados de libertad
como la matriz modal es normalizada, entonces el vector de coeficientes de participación es:
[P] = [Φ]T ⋅ [M ]⋅ {1}
La matriz de masa es.
⎡55 0 0 ⎤
[M ] = ⎢⎢ 0 35 0 ⎥⎥ ⋅1 g
⎢⎣ 0 0 35⎥⎦
[
g = 981 cm/s 2
]
realizando los cálculos necesarios se tiene el vector correspondiente a los factores de participación para los tres
modos:
T
3.135 ⎤ ⎡55 0 0 ⎤
⎡0.939 3.159
⎧1⎫ ⎧250.165⎫
⎢
⎥
⎢
⎥
{P} = ⎢ 2.181 2.871 − 4.084⎥ ⋅ ⎢ 0 35 0 ⎥ ⋅1 g ⎪⎨1⎪⎬ = ⎪⎨164.715 ⎪⎬ ⋅1 g
⎪1⎪ ⎪ 72.395 ⎪
⎢⎣ 3.491 − 3.129 1.226 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 35⎥⎦
⎩⎭ ⎩
⎭
Como los factores de participación tienen la propiedad de:
ΣPn ⋅ φ1n = 1
(250.165 ⋅ 0.939 + 164.715 ⋅ 3.159 + 72.395 ⋅ 3.135) g = 1
por tanto los factores son correctos.
b)
Los periodos naturales para cada uno de los tres modos se obtienen a partir de los eigenvalores usando la
expresión:
Tn =
2 ⋅π
ωn
T1 = 0.7324 [s ]
T2 = 0.3240 [s ]
T3 = 0.2156 [s ]
Se obtiene la aceleración espectral para cada uno de los modos, del espectro de respuesta:
A1 = 0.15 ⋅ g
A2 = 0.60 ⋅ g
A3 = 0.77 ⋅ g
La matriz de desplazamiento esta dado por:
[U ] = [Φ]⋅ [P]⋅ [D] = [Φ]⋅ [P]⋅ [A] [Ω 2 ]
0.20579 ⎤
− 0.26811⎥⎥
⎢⎣1.77999 − 0.82241 0.08049 ⎥⎦
⎡0.47872
[U ] = ⎢⎢1.11189
0.83044
0.75471
123
Sistemas de varios grados de libertad
Los desplazamientos máximos resultantes de cada nudo se obtienen a través de la raíz cuadrada de la suma de
los cuadrados, SRSS, de la fila respectiva a cada nudo y esta dado por:
⎡0.98038⎤
[U c ] = ⎢⎢1.37032⎥⎥
⎢⎣1.96245 ⎥⎦
c)
El desplazamiento entre pisos de los tres modos se obtiene por restas sucesivas de las filas de vectores de
matriz a partir de los desplazamientos del nivel superior. La matriz de los deslizamientos de los niveles es
entonces.
0.4739 ⎤
⎡− 0.63317 0.07573
⎢
[Δ] = ⎢ − 0.6681 1.57712 − 0.3486⎥⎥
⎢⎣ 1.7799
− 0.82241 0.08049 ⎥⎦
⎡0.7945⎤
[Δ c ] = ⎢⎢1.7479⎥⎥
⎢⎣1.9624 ⎥⎦
124
Sistemas de varios grados de libertad
Sistemas de varios grados de libertad. Método numérico
Ejemplo 10.3
La Figura 10.8 representa un edificio de tres niveles con losas de entrepiso de 3 m. x 3 m. Las cargas muertas en
cada piso se muestran en la figura.
[k/ m2]
w3 =5. 31
k 3 =5
q2 =880
[t / cm]
[k/ m2]
w2 =7. 92
Nivel 2
k 2 =7
q1 =880
[k/ m2]
w1 =7. 92
k 1 =10
[t ]
[t / cm]
Nivel 1
90
[t ]
[t ]
Seu d o velo cid ad , in /s
q3 =590
Nivel 3
80
70
60
40
0.02
0.05
30
0.10
20
10
[t / cm]
0
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
Periodo, s
30 mx30 m
Est ruct ura
ξ=0.00
50
Espect ro de respuest a
Modelo mat emát ico
Figura 10.8
Determinar:
a) La cortante basal de cada modo, usando el espectro de respuesta de diseño con ξ=5%.
b) La carga lateral para cada nivel, para cada modo.
c) Cual es la cortante basal más probable.
Solución:
Las masas respectivas para cada nivel son:
w1 = 880 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅
1
= 7.920
1000
[t ]
w 2 = 880 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅
1
= 7.920
1000
[t ]
w3 = 590 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅
1
= 5.310
1000
[t ]
Determinación de [ω]:
La matriz de rigidez es:
⎡ 17 − 7 0 ⎤
[K ] = ⎢⎢− 7 12 − 5⎥⎥
⎢⎣ 0 − 5 5 ⎥⎦
125
Sistemas de varios grados de libertad
La matriz diagonal de masa es:
0
0 ⎤
0
0 ⎤
⎡0.00807
⎡7.92
1 ⎢
⎥
⎢
0.00807
0 ⎥⎥
[M ] = ⎢ 0 7.92 0 ⎥ ⋅ = ⎢ 0
g
⎢⎣ 0
⎢⎣ 0
0
5.31⎥⎦
0
0.00541⎥⎦
De la ecuación 10.18: [K ] − ω 2 [M ] = 0 tenemos:
17 − ω 2 ⋅ 0.00807
0
−7
2
−7
12 − ω ⋅ 0.00807
−5
=0
−5
0
5 − ω 2 ⋅ 0.00541
resolviendo el determinante:
3.528 ⋅10 −7 ⋅ ω 6 − 1.593 ⋅10 −3 ⋅ ω 4 + 1.808 ⋅ ω 2 − 350 = 0
resolviendo el polinomio:
⎧15.580 ⎫
{ω } = ⎪⎨38.016⎪⎬
⎪53.179⎪
⎭
⎩
los periodos correspondientes son:
T1 =
2 ⋅π
= 0.403 [rad/s ]
15.58
T2 =
2 ⋅π
= 0.165 [rad/s ]
38.016
T3 =
2 ⋅π
= 0.118 [rad/s ]
53.179
Determinación de [Φ]:
Para ω1=15.58
⎡17 − 15.58 2 ⋅ 0.00807
⎤ ⎧φ11 ⎫
0
−7
⎢
⎥ ⎪ ⎪
2
−7
12 − 15.58 ⋅ 0.00807
−5
⎢
⎥ ⋅ ⎨φ 21 ⎬ = 0
2
⎢
−5
0
5 − 15.58 ⋅ 0.00541⎥ ⎪⎩φ 31 ⎪⎭
⎣
⎦
15.0404 ⋅ φ11 − 7 ⋅ φ 21 = 0
− 7 ⋅ φ11 + 10.0404 ⋅ φ 21 − 5 ⋅ φ 31 = 0
− 5 ⋅ φ 21 + 3.3831⋅ φ 31 = 0
si : φ11 = 1
φ 21 = 2.149
φ 31 = 2.915
126
Sistemas de varios grados de libertad
Para ω2=38.016
⎡17 − 38.016 2 ⋅ 0.00807
⎤ ⎧φ12 ⎫
0
−7
⎢
⎥ ⎪ ⎪
2
−7
12 − 38.016 ⋅ 0.00807
−5
⎢
⎥ ⋅ ⎨φ 22 ⎬ = 0
2
⎢
−5
0
5 − 38.016 ⋅ 0.00541⎥ ⎪⎩φ 32 ⎪⎭
⎣
⎦
5.3328 ⋅ φ12 − 7 ⋅ φ 22 = 0
− 7 ⋅ φ12 + 0.3328 ⋅ φ 22 − 5 ⋅ φ 32 = 0
− 5 ⋅ φ 22 − 2.8230 ⋅ φ 32 = 0
si : φ12 = 1
φ 22 = 0.762
φ 32 = −1.349
Para ω3=53.179
⎡17 − 53.179 2 ⋅ 0.00807
⎤ ⎧φ13 ⎫
0
−7
⎢
⎥ ⎪ ⎪
2
−7
12 − 53.179 ⋅ 0.00807
−5
⎢
⎥ ⋅ ⎨φ 23 ⎬ = 0
2
⎢
−5
0
5 − 53.179 ⋅ 0.00541⎥ ⎪⎩φ 33 ⎪⎭
⎣
⎦
−5.8305 ⋅ φ13 − 7 ⋅ φ 23 = 0
− 7 ⋅ φ13 − 10.8305 ⋅ φ 23 − 5 ⋅ φ 33 = 0
− 5 ⋅ φ 21 − 10.3080 ⋅ φ 31 = 0
si : φ13 = 1
φ 23 = −0.833
φ 33 = 0.404
[φ jn ]
1
1 ⎤
⎡ 1
⎢
= ⎢2.149 0.762 − 0.833⎥⎥
⎢⎣2.915 − 1.349 0.404 ⎥⎦
Realizamos la normalización: φ jn =
u jn
(∑ m ⋅ u )
) = [0.00807 ⋅ (1 + 2.149
jj
(Σm
11
⋅ u 2j1
1
2
2
jn
1
2
2
+ 2.915 2
(Σm
22
⋅ u 2j 2
) = [0.00807 ⋅ (1 + 0.762
(Σm
33
⋅ u 2j 3
) = [0.00541⋅ (1 + (− 0.833)
1
1
2
2
2
)]
1
2
+ (− 1.349)2
2
+ 0.404 2
= 0.338
)]
2
= 0.166
)]
2
= 0.100
1
1
127
Sistemas de varios grados de libertad
entonces la matriz normal normalizada es:
10 ⎤
⎡2.959 6.024
⎢
[Φ] = ⎢6.358 4.590 − 8.33⎥⎥
⎢⎣8.624 − 8.127 4.040 ⎥⎦
A partir de estos cálculos se procede a resolver los incisos:
a)
b)
Cortante basal y
La carga lateral para cada nivel.
Primer modo.Para T1=0.403 se obtiene la seudovelocidad del espectro de respuesta de la Figura 10.8:
v1 = 24 [in/s ] → v1 = 60.96 [cm/s]
A1 = ω 1 ⋅ v1 = 15.58 ⋅ 60.96
[
A1 = 949.757 cm/s 2
el peso efectivo es definido por: W E =
]
(ΣWi ⋅ φ i )2
ΣWi ⋅ φ i2
para tal efecto se realiza la siguiente tabla:
Nivel
1
2
3
Sumatoria
φI
Wi
7.92
7.92
5.31
WE =
2.959
6.358
8.624
Wi·φI
23.432
50.355
45.795
119.582
119.582 2
= 18.230
784.430
el cortante basal esta dado por: V = W E ⋅
A
g
V = 18.230 ⋅ 949.757 ⋅
1
981
V = 17.649 [t ]
La fuerza lateral en cada nivel esta dado por: Fi = V ⋅ (Wi ⋅ φ i Σ Wi ⋅ φ i )
Wi·φi2
69.325
320.158
394.946
784.430
Fi
3.458
7.432
6.759
128
Sistemas de varios grados de libertad
Nivel 1
F1 = 17.649 ⋅
23.432
= 3.458 [t ]
119.582
Nivel 2
F2 = 17.649 ⋅
50.355
= 7.432 [t ]
119.582
Nivel 3
F3 = 17.649 ⋅
45.795
= 6.759 [t ]
119.582
Segundo modo.Para T2=0.165 se obtiene la seudovelocidad del espectro de respuesta de la Figura 10.8:
v 2 = 8 [in/s ] → v 2 = 20.32 [cm/s]
A2 = ω 2 ⋅ v 2 = 38.016 ⋅ 20.32
[
A2 = 772.485 cm/s 2
el peso efectivo es definido por: W E =
]
(ΣWi ⋅ φ i )2
ΣWi ⋅ φ i2
para tal efecto se realiza la siguiente tabla:
Nivel
1
2
3
Sumatoria
φI
Wi
7.92
7.92
5.31
WE =
6.024
4.590
-8.127
Wi·φI
47.710
36.353
-43.154
40.909
Wi·φi2
287.406
166.859
350.716
804.980
40.909 2
= 2.079
804.980
el cortante basal esta dado por: V = W E ⋅
A
g
V = 2.079 ⋅ 772.485 ⋅
1
981
V = 1.637 [t ]
La fuerza lateral en cada nivel esta dado por: Fi = V ⋅ (Wi ⋅ φ i Σ Wi ⋅ φ i )
Nivel 1
F1 = 1.637 ⋅
47.710
= 1.909 [t ]
40.909
Fi
1.909
1.455
-1.727
129
Sistemas de varios grados de libertad
Nivel 2
F2 = 1.637 ⋅
36.353
= 1.455 [t ]
40.909
Nivel 3
F3 = 1.637 ⋅
−43.154
= −1.727 [t ]
40.909
Tercer modo.Para T3=0.118 se obtiene la seudovelocidad del espectro de respuesta de la Figura 10.8:
v 3 = 5 [in/s ] → v 3 = 12.7 [cm/s]
A3 = ω 3 ⋅ v 3 = 53.179 ⋅12.7
[
A1 = 675.373 cm/s 2
el peso efectivo es definido por: W E =
]
(ΣWi ⋅ φ i )2
ΣWi ⋅ φ i2
para tal efecto se realiza la siguiente tabla:
Nivel
1
2
3
Sumatoria
φI
Wi
7.92
7.92
5.31
WE =
10
-8.33
4.04
Wi·φi
79.200
-65.974
21.452
34.679
Wi·φi2
792.000
549.560
86.668
1428.228
34.679 2
= 0.842
1428.228
el cortante basal esta dado por: V = W E ⋅
A
g
V = 0.842 ⋅ 675.373 ⋅
1
981
V = 0.580 [t ]
La fuerza lateral en cada nivel esta dado por: Fi = V ⋅ (Wi ⋅ φ i Σ Wi ⋅ φ i )
Nivel 1
F1 = 0.580 ⋅
79.200
= 1.325 [t ]
34.679
Nivel 2
F2 = 0.580 ⋅
−65.974
= −1.103 [t ]
34.679
Fi
1.325
-1.103
0.359
130
Sistemas de varios grados de libertad
F3 = 0.580 ⋅
Nivel 3
c)
21.452
= 0.359 [t ]
34.679
El cortante basal más probable:
Como
T3
= 0.715 < 0.75
T2
y
T2
= 0.41 < 0.75
T1
por tantos es posible aplicar el método SRSS y el cortante basal mas probable esta dado por:
(
Vc = 17.649 2 + 1.637 2 + 0.580 2
Vc = 17.734 [t ]
)
1
2
131
Sistemas de varios grados de libertad
Sistemas de varios grados de libertad. Método iterativo
Ejemplo 10.4
970 k/m2
peso tipo
de un piso
2
vigas rígidas
75 k/m
peso tipo de
una columna
de acero
1
3.5 m
50 k/m2
paredes no
estructurales
3.5 m
Aceleración esp ectral, g
Considere el pórtico de acero de dos pisos que se muestra en la Figura 10.9. La estructura tiene una razón de
amortiguamiento ξ=7%, se conoce que cada piso de deflecta 0.3 [cm] debido a una esfuerzo cortante del piso de
4.5 [t].
0.5
0.4
0.3
2%
5%
7%
0.2
0.1
0
6m
Losa cuadrada
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
Periodo, s
Estructura
Espectro de respuesta
Figura 10.9
Determinar:
a)
b)
c)
d)
El modelo matemático para el análisis dinámico y resumir éste en un dibujo indicando masas y
rigideces por piso.
Dibujar la primera forma modal aproximada y calcular el periodo fundamental de vibración del modelo
matemático.
Para el primer modo asumir T1=0.5 [s] y que la forma modal es φ2=1.0 y φ1=0.66, calcular la primera
fuerza modal por piso.
Cual es la aceleración pico del suelo
Solución:
La carga muerta tributaria al nivel de cada losa se obtiene sumando las contribuciones de la losa misma, las
columnas y los muros, de la siguiente manera:
Piso 1
1
= 34.920 [t ]
1000
1
4 muros = 50 ⋅ 6 ⋅ 3.5 ⋅ 4 ⋅
= 4.20 [t ]
1000
1
4 columnas = 75 ⋅ 3.5 ⋅ 4 ⋅
= 1.05 [t ]
1000
Losa = 970 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅
peso total
w1 = 40.17 [t ]
132
Sistemas de varios grados de libertad
Piso 2
1
= 34.920 [t ]
1000
3. 5
1
4 muros = 50 ⋅ 6 ⋅
⋅4⋅
= 2.10 [t ]
2
1000
3.5
1
4 columnas = 75 ⋅
⋅4⋅
= 0.525 [t ]
2
1000
w2 = 37.545 [t ]
Losa = 970 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅
peso total
la rigidez de cada piso es la fuerza de corte requerida para producir un desplazamiento unitario en éste piso y
es dado por:
k1 = k2 = Esfuerzo cortante de piso / desplazamiento
k1 = k 2 =
a)
4. 5
= 15 [t/cm ]
0. 3
El modelo dinámico del pórtico de pisos puede considerarse una estructura resistente a corte con todas las
masas concentradas en las losas rígidas de entrepiso y teniendo un grado de libertad, una traslación
horizontal, para cada losa de entre piso. El modelo matemático se ilustra en la Figura 10.10.
1.00
m2 =37.545/g
k2 =15
m1 =40.170/g
0.64
k1 =15
Estructura
Modelo dimámico
Forma modal
Figura 10.10
b)
La forma modal y el periodo fundamental de vibración se obtiene mediante una técnica de iteración. El
procedimiento es ilustrado a continuación en una tabla con la forma modal inicial, primeros valores para
la iteración, definido por:
u 2 = 1.00
u1 = 0.66
37.545/g
40.17/g
Rigidez
del piso
ki
15
15
Modo
Inicial
ui
1.00
0.66
Fuerza de Fuerza de Deriva del Desplaz.
inercia
corte
piso
de piso
mi ω2 ui
Ki Δi
Δi
ΣΔi
37.545·ω2/g 37.545·ω2/g 2.503·ω2/g 6.773·ω2/g
26.512·ω2/g 64.057·ω2/g 4.270·ω2/g 4.270·ω2/g
2
1
37.545/g
40.17/g
15
15
1.00
0.63
37.545·ω2/g 37.545·ω2/g 2.503·ω2/g 6.693·ω2/g
25.307·ω2/g 62.852·ω2/g 4.190·ω2/g 4.190·ω2/g
1.00
0.64
2
1
37.545/g
40.17/g
15
15
1.00
0.64
37.545·ω2/g 37.545·ω2/g 2.503·ω2/g 6.720·ω2/g
25.709·ω2/g 63.254·ω2/g 4.217·ω2/g 4.217·ω2/g
1.00
0.64
Nivel de
piso i
Masa del
piso mi
2
1
Modo
revisado
1.00
0.63
133
Sistemas de varios grados de libertad
La ultima forma modal revisada es idéntica a su anterior en la ultima iteración. La forma modal final es
mostrada en la figura anterior.
La frecuencia circular natural del primer modo se obtiene por la ecuación del valor final del componente de
desplazamiento mas grande para su valor inicial:
6.720 ⋅
ω2
g
= 1.00
⎛ 1.00 ⋅ 981 ⎞
⎟
⎝ 6.720 ⎠
ω =⎜
1
2
ω = 12.082 [rad/s]
el periodo fundamental esta dado por:
T=
2 ⋅π
ω
=
2 ⋅π
12.082
T = 0.52 [s]
c)
Las fuerzas laterales se obtienen de la siguiente manera.
Para T1 = 0.52 [s] y para un coeficiente de amortiguamiento ξ=7% la correspondiente aceleración espectral es
obtenido del espectro de respuesta como:
A=0.18·g
El factor de participación es definido como: P =
ΣM i ⋅ φ i
M i ⋅ φ i2
para tal efecto se realiza la siguiente tabla:
Nivel
2
1
base
Sumatoria
φI
Wi
37.545
40.170
1.00
0.64
P=
Wi·φi
37.545
25.709
Wi·φi2
37.545
16.454
63.254
53.999
Fi
7.914
5.419
63.254
= 1.171
53.999
las fuerzas laterales para los respectivos niveles están dadas por:
Fi = Wi ⋅ φ i ⋅ P ⋅
Nivel 2
A
g
F2 = 37.545 ⋅ 1.171 ⋅
0.18 ⋅ g
= 7.914 [t ]
g
Vi
7.914
13.333
134
Sistemas de varios grados de libertad
Nivel 1
F1 = 25.709 ⋅1.171⋅
0.18 ⋅ g
= 5.419 [t ]
g
El cortante basal esta dado por: Σ Fi = V
d)
Nivel 1
V1 = 7.914 [t ]
Nivel 2
V 2 = 7.914 + 5.419 = 13.333 [t ]
La aceleración pico del suelo ocurre en el tiempo t = 0 y se obtiene del espectro de respuesta como:
A = 0.2 ⋅ g
Capítulo 11
CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN
SISMO RESISTENTE EN EDIFICIOS
11.1
INTRODUCCIÓN
La forma del edificio, tamaño, naturaleza y localización de los elementos resistentes, es decir: muros, columnas,
pisos, núcleos de servicio, escaleras; y elementos no estructurales como: cantidad y tipo de divisiones interiores,
la forma en que los muros exteriores se disponen sólidos o con aberturas para iluminación natural y ventilación;
es a lo que se denomina configuración. Predominan también: geometría, geología y clima del lugar de
construcción, reglamentos de diseño urbano y aspectos arquitectónicos de estilo.
Estas decisiones arquitectónicas, tal como se ha podido observar en las edificaciones dañadas por los efectos de
los terremotos, unidas a decisiones de diseño estructural y a las técnicas constructivas influyen
determinantemente en el comportamiento sismo resistente de las edificaciones. Una adecuada selección del
sistema estructural, del material y de los componentes no estructurales es de mayor importancia que un análisis
complejo. A pesar, e independientemente de todo lo sofisticado que sea el método de análisis utilizado por el
ingeniero, no se puede hacer que un sistema estructural may concebido se comporte satisfactoriamente en un
terreno severo.
Si se trabaja conjuntamente desde el inicio de esquema en un proyecto de edificación entre arquitecto e ingeniero,
entendiendo de qué manera las decisiones pueden afectar el comportamiento sismo resistente de ésta, escogiendo
apropiadamente los materiales básicos a utilizarse, la configuración y la estructuración del edificio. El ingeniero
estructural no tendrá que pasar por la desagradable situación de escoger entre proponer revisiones que pueden
llevar hasta la reformulación del proyecto inicial, o tratar de usar soluciones estructurales muy complicadas para
resolver el problema producido, a causa de concepciones arquitectónicas inadecuadas. Es decir, que se deben
conocer los aspectos críticos a ser considerados para garantizar la seguridad sísmica del proyecto.
11.2
REQUISITOS DE CONFIGURACIÓN
Cada estructura debe designarse como regular o irregular desde el punto de vista estructural:
Estructuras regulares. Las estructuras regulares no tienen discontinuidades físicas considerables en su
configuración en planta y configuración vertical o en sus sistemas resistentes a las fuerzas laterales.
Estructuras irregulares. Las estructuras irregulares tienen discontinuidades físicas considerables en su
configuración o en sus sistemas resistentes a las fuerzas laterales. Las características irregulares incluyen, sin
estar limitadas a ello, las descritas en la Tabla 11.1 y la Tabla 11.2.
136
Criterios de estructuración sismorresistente en edificios
11.2.1 Configuración en Elevación
F
Tipo 1A - Irregularidad de rigidez (piso blando)
E
D
Rigidez KC < 0.70 Rigidez KD
o
Rigidez KC < 0.80 (KD + KE + KF)/3
C
B
A
F
Tipo 2A - Irregularidad de peso (masa)
E
D
mD > 1.50 mE
o
mD > 1.50 mC
C
B
A
b
F
E
Tipo 3A - Irregularidad vertical geométrica
D
C
a > 1.30 b
B
A
a
F
Tipo 4A - Discontinuidad en el plano de los
elementos verticales resistente a las fuerzas
laterales
E
D
C
b
a
B
b>a
A
F
E
Tipo 1A - Discontinuidad en capacidad (piso débil)
D
C
Resistencia Piso B < 0.70 Resistencia Piso C
B
A
Figura 11.1
Irregularidades en elevación
La Tabla 11.1 define posibles irregularidades verticales, y requerimientos adicionales de detalle, que deben
satisfacerse si las irregularidades están presentes. Cinco diferentes tipos de irregularidad estructural vertical están
definidos: Irregularidad de rigidez (piso blando); Irregularidad de peso (masa); Irregularidad vertical geométrica;
Discontinuidad en el plano de los elementos verticales resistentes a las fuerzas laterales y Discontinuidad en
capacidad (piso blando)., puede considerarse de que no existen irregularidades de rigidez y de peso cuando para
todos los pisos, la deriva de cualquier piso es menor de 1.3 veces la deriva del piso siguiente hacia arriba.
Es conveniente que no existan cambios bruscos en las dimensiones, masas, rigideces y resistencias del edificio,
para evitar concentraciones de esfuerzos en determinados pisos que son débiles con respecto a los demás. Los
cambios bruscos en elevación hacen también que ciertas partes del edificio se comporten como apéndices, con el
riesgo de que se produzca el fenómeno de amplificación dinámica de fuerzas conocido como chicoteo. En la
Figura 11.1 se muestran las diferentes irregularidades con más detalle.
137
Criterios de estructuración sismorresistente en edificios
Tipo
1A
2A
3A
4A
5A
Definición de irregularidad
Irregularidad de rigidez (piso blando)
Un piso blando es aquel cuya rigidez lateral es menor del 70% de la rigidez del piso
superior o menor del 80% de la rigidez promedio de los 3 pisos superiores al piso blando,
en tal caso se considera irregular.
Irregularidad de peso (masa)
Debe considerarse que existe irregularidad de masa cuando la masa efectiva de cualquier
piso es mayor del 150% de la masa efectiva de uno de los pisos contiguos. No es necesario
considerar un techo que sea más liviano que el piso inferior.
Irregularidad vertical geométrica
Se considera que existe irregularidad vertical geométrica cuando la dimensión horizontal
del sistema de resistencia a las fuerzas laterales en cualquier piso es mayor del 130% de la
de un piso colindante. No es necesario considerar los pisos de azotea de un solo nivel.
Discontinuidad en el plano de los elementos verticales resistente a las fuerzas laterales
Se considera este tipo de irregularidad, cuando existe un desplazamiento en el plano de los
elementos resistentes a las cargas laterales mayor que la longitud de esos elementos.
Discontinuidad en capacidad (piso débil)
Un piso débil es aquel en que la resistencia del piso es menor del 80% de la resistencia del
piso inmediatamente superior, en tal caso se considera irregular.
La resistencia del piso es la resistencia total de todos los elementos resistentes a las fuerzas
sísmicas que comparten el esfuerzo cortante del piso en la dirección bajo consideración.
Tabla 11.1
Irregularidades verticales estructurales
11.2.2 Configuración en Planta
Tipo
1P
2P
3P
4P
5P
Definición de irregularidad
Irregularidad Torsional por considerarse cuando los diafragmas no son flexibles
Se debe considerar que existe irregularidad torsional cuando el máximo desplazamiento
relativo del piso (deriva), calculado incluyendo la torsión accidental, en un extremo de la
estructura transversal a un eje es más de 1.2 veces el promedio de los desplazamientos
relativos del piso de los dos extremos de la estructura.
Esquinas reentrantes
La configuración del plano de una estructura y su sistema resistente a las fuerzas laterales
que contienen esquinas reentrantes, se considera irregular, cuando ambas proyecciones de
la estructura, más allá de una esquina reentrante son mayores del 15% de la dimensión en
el plano de la estructura en dicha dirección,
Discontinuidad de diafragma
Se considera irregular, cuando los diafragmas con discontinuidades abruptas o variaciones
de rigidez, incluyendo las causadas por áreas recortadas o abiertas mayores del 50% del
área bruta encerrada del diafragma o cambios en la rigidez efectiva del diafragma mayores
del 50% de un piso al siguiente
Desviaciones fuera del plano
Se considera irregularidad, cuando existen discontinuidades en una trayectoria de fuerza
lateral, como desviaciones fuera del plano de los elementos verticales
Sistemas no paralelos
Se considera irregular, cuando los elementos verticales resistentes a las cargas laterales no
son paralelos ni simétricos con respecto a los ejes ortogonales principales del sistema que
resiste las fuerzas laterales.
Tabla 11.2
Irregularidades estructurales en planta
138
Criterios de estructuración sismorresistente en edificios
La Tabla 11.2 define posibles irregularidades en planta y requerimientos adicionales de detalles, que deben
satisfacerse si las irregularidades están presentes. Cinco diferentes tipos de irregularidades en planta son
definidos: Irregularidad torsional a ser considerado cuando los diafragmas no son flexibles; Esquinas reentrantes;
Discontinuidad de diafragma; Desviación fuera del plano y Sistemas no paralelos. Las estructuras regulares son
definidas como aquellas que no tienen discontinuidades físicas significativas en su configuración en planta y
vertical o en su sistema resistente a las fuerzas laterales.
En la Figura 11.2 se muestra en forma gráfica detallada las irregularidades mencionadas en la Tabla 11.2.
Tipo 1P - Irregularidad Torsional
Δ1
Δ 1 > 1.2 (Δ 1 + Δ 2 )/2
Δ2
Tipo 2P - Esquinas Reentrantes
A > 0.15 B
y
C > 0.15 D
Tipo 3P - Discontinuidad de Diafragma
C
B
A
B
C
D
D
A
B
D
A
C
E
C · D > 0.5 A · B
y
(C · D + C · E) > 0.5 A · B
Dirección bajo
estudio
Tipo 4P - Desviaciones Fuera del Plano
Desplazamineto del
plano de acción
Sistemas No Paralelos
Tipo 5P - Sistemas No Paralelos
Figura 11.2
Irregularidades en planta
Es importante la simplicidad para un mejor comportamiento sísmico de conjunto de una estructura, y resulta más
sencillo proyectar, dibujar, entender y construir detalles estructurales. Otro factor importante es la simetría
respecto a sus dos ejes en planta, es decir su geometría es idéntica en ambos lados de cualquiera de los ejes que se
esté considerando. La falta de regularidad por simetría, masa, rigidez o resistencia en ambas direcciones en planta
produce torsión, que no es fácil de evaluar con precisión. Es necesario mencionar que a pesar de tener una planta
simétrica, puede haber irregularidades debido a una distribución excéntrica de rigideces o masas ocasionando
también torsión.
139
Criterios de estructuración sismorresistente en edificios
En caso de que se tuviera entrantes y salientes, es decir plantas en forma de T, L, H, U, etc. es aconsejable utilizar
juntas de dilatación, dividiendo la planta global en varias formas rectangulares y como segunda opción se puede
restringir las mismas con limites máximos, como se indica en la Figura 11.2
Es preferible no concentrar elementos rígidos y resistentes, tales como muros de corte, en la zona central de las
plantas, porque son menos efectivos para resistir torsión, si bien los muros ubicados en la zona central tienen un
comportamiento aceptable, las columnas estarán sujetas a un cortante por torsión mayor que aquél proporcionado
por la ubicación de los muros en la periferia. No es nada recomendable colocar las escaleras y elevadores en las
partes externas del edificio ya que tienden a actuar aisladamente ante los sismos, con concentraciones de fuerzas
y torsiones difíciles de predecir sin llevar a cabo un análisis complicado.
11.2.3 Poco Peso
Las fuerzas producidas por los sismos son de inercia, que es el producto de la masa por la aceleración, así las
fuerzas de inercia son proporcionales a la masa, por tanto al peso del edificio; por ello debe procurarse que la
estructura y los elementos no estructurales tengan el menor peso posible y además sean resistentes. No se
recomiendan voladizos debido a que producen fuerzas de inercia verticales de magnitud apreciable que sumadas
a las fuerzas de gravedad llegarían a causar serios problemas.
Debido al aumento de las cargas laterales la falla de los elementos verticales como columnas y muros podría ser
por pandeo, es ahí que la masa ejerce un rol importante; cuando la masa, empuja hacia abajo debido a la
gravedad, ejerce su fuerza sobre un miembro flexionado o desplazado lateralmente por las fuerzas laterales, a este
fenómeno se conoce como el efecto P-delta. Cuando mayor sea la fuerza vertical mayor será el momento debido
al producto de la fuerza P y la excentricidad delta.
11.2.4 Hiperestaticidad
Articulaciones
Plásticas
Figura 11.3
Si existe continuidad y monolitismo en un sistema estructural, es decir, que sea hiperestático, entonces mayor
será la posibilidad de que, sin convertirse en un mecanismo inestable, se formen articulaciones plásticas, con alta
capacidad de absorción de la energía proveniente del sismo. Se evitan también fallas locales serias, debidos a
grandes esfuerzos locales engendrados por lo grandes desplazamientos y rotaciones causadas por el sismo
presentes en uniones entre vigas y losas, y entre vigas y columnas.
140
Criterios de estructuración sismorresistente en edificios
Puede convenir diseñar estructuras que durante un sismo intenso los daños se concentren en zonas previstas para
servir como disipadores, mediante deformaciones inelásticas, sin que se produzcan daños graves en el resto de la
estructura. Así, es preferible utilizar una serie de muros acoplados por trabes que se diseñen para que en ellas se
formen articulaciones plásticas, ver Figura 11.3.
11.2.5 Columna Fuerte, Viga Débil
En estructuras de edificios aporticados es requisito que los miembros horizontales fallen antes que los verticales,
permitiendo de esa manera el retraso del colapso total de una estructura. Las vigas y las losas generalmente no
fallan aún después de un daño severo en aquellos lugares que se hayan formado las articulaciones plásticas, en
cambio las columnas colapsan rápidamente bajo su carga vertical, cuando haya ocurrido aplastamiento del
hormigón. Esto conduce a que las vigas peraltadas sobre columnas ligeras, no son apropiadas en regiones
sísmicas.
11.3
SISTEMAS ESTRUCTURALES
Los sistemas estructurales deben clasificarse como uno de los tipos enunciados en la Tabla 12.7 y se definen en
esta sección:
(a) Pórtico Resistente a Momentos
(c) Sistema Doble (Dual)
Figura 11.4
(b) Sistema de Muros Portantes
(d) Sistemas de Estructuras de
Edificación
Sistemas estructurales
11.3.1 Sistema de muros Portantes
Es un sistema estructural sin una estructura espacial de soporte de cargas verticales. Los muros de carga o
sistemas de arriostramiento proporcionan el soporte a todas o a la mayoría de las cargas por gravedad. La
resistencia a las cargas laterales la proporcionan los muros de corte o las estructuras arriostradas.
Criterios de estructuración sismorresistente en edificios
141
11.3.2 Sistemas de Estructuras de Edificación
Es un sistema estructural con una estructura espacial esencialmente completa que proporciona soporte a las
cargas por gravedad. La resistencia a las cargas laterales la proporcionan los muros de corte o las estructuras
arriostradas que no cumplen con los requisitos de un sistema doble.
11.3.3 Sistema de Pórtico Resistente a Momentos
Es un sistema estructural con una estructura espacial esencialmente completa que proporciona soporte a las
cargas por gravedad. Los pórticos resistentes a momentos proporcionan resistencia a las cargas laterales
principalmente por la acción de flexión de sus elementos
11.3.4 Sistema Doble (Dual)
Es un sistema estructural con las siguientes características:
1.
Estructura espacial esencialmente completa que proporciona apoyo a las cargas por gravedad.
2.
La resistencia a las cargas laterales la proporcionan los muros de corte o las estructuras arriostradas y
pórticos resistentes a momentos (SMRF, IMRF, MMRWF, o OMRF en acero). Los pórticos resistentes a
momentos deben diseñarse para resistir independientemente por lo menos el 25% del esfuerzo cortante
basal máximo admisible de diseño.
3.
Los dos sistemas deben diseñarse para resistir el esfuerzo cortante basal máximo admisible total de
diseño en proporción a sus rigideces relativas considerando la interacción del sistema doble en todos los
niveles.
11.4
SELECCIÓN DEL MÉTODO DE ANÁLISIS
En base a los requisitos de configuración y los sistemas estructurales descritos anteriormente, se elige el método
de análisis entre los que se tiene:
El método de la fuerza lateral estática puede utilizarse para las siguientes estructuras:
1
1.
Todas las estructura regulares e irregulares, en la Zona Sísmica 1 y clasificadas como Categorías de
Destino 4 (destinos estándar) y 5 (destinos misceláneos) de la Zona Sísmica 2.
2.
Estructuras regulares menores de 73 m. (240 ft) de altura cuya resistencia a las fuerzas laterales la
proporcionan los sistemas enunciados en la Tabla 12.7 1 , excepto edificaciones localizadas en lugares
que tengan un perfil tipo de suelo SF y que tengan un periodo mayor de 0.7 segundos.
3.
Estructuras irregulares de no mas de 5 pisos o 20 m. (65 ft) de altura.
4.
Estructuras que tienen una parte superior flexible apoyada en una parte inferior rígida donde ambas
partes de la estructura consideradas separadamente pueden clasificarse como regulares, la rigidez del
piso promedio de la parte inferior es por lo menos 10 veces la rigidez del piso promedio de la parte
superior y el periodo de la estructura total no es mayor de 1.1 veces el periodo de la parte superior
considerada como una estructura separada fija en la base.
Referirse a la Tabla 12.7, pp. 165
Criterios de estructuración sismorresistente en edificios
142
El método de las fuerzas laterales dinámicas debe utilizarse para todas las demás estructuras, incluyendo las
siguientes:
1.
2.
3.
4.
2
Estructuras de 73 m. (240 ft) o más de altura con excepción de estructuras en la Zona Sísmica 1 y en
estructuras de destinos estándar y estructuras misceláneas como se define en la Tabla 12.8 2 de la Zona
Sísmica 2.
Estructuras que tienen una irregularidad de rigidez, peso o irregularidad vertical geométrica de los Tipos
1, 2 ó 3 como se define en la Tabla 11.1 u 11.2
Estructuras de más de 5 pisos o 20 m. (65 ft) de altura en las Zonas Sísmicas 3 y 4 que no tengan el
mismo sistema estructural a través de toda su altura.
Estructuras, regulares o irregulares, ubicadas en el Tipo de Perfil de Suelo SF que tengan un periodo
mayor de 0.7 segundos. El análisis debe incluir los efectos del suelo en el sitio
Referirse a la Tabla 12.8, pp. 166
Capítulo 12
MÉTODO DE LA FUERZA
HORIZONTAL EQUIVALENTE
12.1
DETERMINACIÓN DE LAS FUERZAS LATERALES
12.1.1 Factor de Zona Sísmica
Cada lugar o región está dividida en diferentes zonas sísmicas, las cuales están demarcadas según la aceleración
pico del suelo expresada en función de la constante de gravedad (g). Toda estructura a ser diseñada debe tener
asignada un factor de zona sísmica Z de acuerdo con la Tabla 12.1. Estos valores se basan en registros históricos
y datos geológicos y son también ajustados para proveer criterios de diseño consistentes con la región. Estos
factores de zona sísmica son usados, conjuntamente con el tipo de perfil de suelo, para determinar el coeficiente
de respuesta sísmica Ca y Cv dados en la Tabla 12.2. los cuales se utilizan para graficar el espectro de respuesta
ilustrado en la Figura 12.1.
PERIODOS DE CONTROL
Aceleración espectral, g
2.5 C a
T s = C v / 2.5 C a
T 0 = 0.2.5 T s
Cv / T
Ca
T
0
T
s
Figura 12.1
Periodo [s]
Espectros de respuesta de diseño
Método de la fuerza horizontal equivalente
144
12.1.2 Coeficiente de Respuesta del Terreno
Los coeficientes de respuesta del suelo Ca y Cv se asignan a cada estructura de acuerdo con la Tabla 12.2, son
parámetros que reflejan la amplificación de la vibración del terreno causada por diferentes tipos de suelo; estos
coeficientes están en función del factor de zona Z, del tipo de perfil de suelo y, cuando sea necesario, del factor
de cercanía a la fuente de origen Na y Nv. El periodo fundamental de la estructura determina cual de los dos
coeficientes Ca o Cv gobierna el diseño sísmico de ésta.
12.1.3 Tipo de Perfil del Suelo
Las vibraciones del terreno causadas por un sismo tienden a ser mayores en suelos suaves que en suelos firmes o
roca. Como las vibraciones se propagan a través del material presente debajo de la estructura éstas pueden ser
amplificadas o atenuadas dependiendo del periodo fundamental del material. De este modo se identifican seis
tipos diferentes de perfil de suelos (Tabla 12.3); la clasificación se la realiza determinando en el sitio la velocidad
promedio de las ondas de corte a 100 [ft] de profundidad; alternativamente, para los tipos de perfil de suelo C, D
y E esta clasificación se realiza midiendo la resistencia al corte no drenada en el material o mediante el ensayo de
penetración standard. El tipo de perfil de suelo SF requiere una evaluación especifica del lugar, la cual es
realizada según la división V, sección 1636 del código UBC. Cuando se desconocen las propiedades del suelo
necesarias para determinar el tipo de perfil de suelo se debe emplear el tipo SD.
12.1.4 Tipo de Lugar de Origen del sismo
Para clasificar el tipo de origen sísmico se toma en consideración la magnitud del momento máximo de la falla y
su proporción de deslizamiento, se distinguen 5 tipos, desde el tipo o clase de origen más activo (tipo A) hasta el
menos activo (tipo C) en la Tabla 12.4.
12.1.5 Factor de Cercanía a la Fuente de Origen
En regiones sujetas a magnitudes sísmicas considerables, como las que tienen lugar en la zona sísmica 4, regiones
cerca de la falla de ruptura pueden experimentar una elevación en la aceleración del suelo del doble en una
distancia de 10 [km] a la redonda del origen. De acuerdo a esto, el código UBC introduce dos factores de
amplificación en la Tabla 12.5, Na, el factor basado en la aceleración, para estructuras de periodo corto; y Nv, el
factor basado en la velocidad para periodos que exceden 1 [s]. El código UBC 1 limita a 1.1 el valor de Na para
estructuras regulares localizadas en tipos de perfil de suelo SA, SB, SC, o SD, con un factor de redundancia de 1
(ρ=1).
12.1.6 Periodo fundamental
Cada estructura posee un único periodo natural o fundamental de vibración, el cual es el tiempo requerido para
completar un ciclo de vibración libre. La rigidez, la altura de la estructura son factores que determinan o influyen
en el periodo fundamental, y éste puede variar desde 0.1 [s], para sistemas simples, hasta varios segundos para
sistemas de varios niveles. Como primera aproximación el periodo fundamental puede ser asumido igual al
numero de niveles dividido por 10.
El valor del periodo fundamental de la edificación debe obtenerse a partir de las propiedades de su sistema de
resistencia sísmica, en la dirección a considerar; este requisito se puede suplir siguiendo los métodos presentados
por el código UBC:
1
UBC, Sección 1629.4.2 [ref.15]
145
Método de la fuerza horizontal equivalente
Método A:
Para todas las edificaciones el valor de T puede aproximarse mediante la siguiente fórmula:
T = C t ⋅ ( hn )
3
(12.1)
4
donde:
hn= altura 2 en m. (ft), medida desde la base, del piso más alto del edificio.
Ct= 0.0853 (0.035) para pórticos de acero resistentes a momento
Ct= 0.0731 (0.030) para pórticos de hormigón armado resistente a momentos y estructuras arriostradas
excéntricamente
Ct= 0.0488 (0.20) para todas las demás edificaciones
Método B:
El periodo fundamental puede calcularse utilizando el procedimiento de Rayleigh:
⎛
T = 2π ⋅ ⎜
⎜
⎝
donde:
n
∑
i =1
⎞ ⎛
wi ⋅ δ i2 ⎟ ÷ ⎜ g ⋅
⎟ ⎜
⎠ ⎝
n
∑f
i
i =1
⎞
⋅δi ⎟
⎟
⎠
(12.2)
δi= desplazamiento horizontal en el nivel i debido a la fuerza fi
fi= fuerza lateral en el nivel i
wi= carga muerta del nivel i
Nivel n
Nivel n-1
Nivel i
Nivel 2
Nivel 1
Pórtico
δn
wn
δn-1
wn-1
δi
wi
w2
w1
Peso de los pisos
Figura 12.2
δ2
δ1
Desplazamientos
fn
f n-1
fi
f2
f1
Fuerza Lateral
Procedimiento de Rayleigh
Los valores de fi representan cualquier fuerza lateral distribuida en forma racional como muestra la Figura 12.2;
esta distribución en forma de triangulo invertido corresponde a la distribución de la cortante basal. Las
deflexiones elásticas δi, deben calcularse utilizando las fuerzas laterales aplicadas fi.
Si la contribución de los elementos no estructurales a la rigidez de la estructura es subestimada, el calculo de las
deflexiones y el periodo natural son sobreestimados, dando valores demasiado bajos para los coeficientes de
2
Los coeficientes entre paréntesis son para unidades inglesas
146
Método de la fuerza horizontal equivalente
fuerza. Para reducir el efecto de este error el código UBC 3 especifica que el valor de T del método B no debe
exceder de un valor de 30% mayor que el de T obtenido del método A en la zona sísmica 4 y del 40% en las
zonas sísmicas 1, 2 y 3.
12.1.7 Amortiguamiento y Ductilidad
Los niveles de amortiguamiento son naturalmente dependientes del nivel de deformación o esfuerzo en una
estructura, de los materiales empleados, la naturaleza del subsuelo, la forma de la estructura, la naturaleza de la
vibración. La gran cantidad de valores de amortiguamiento determinados experimentalmente han sido obtenidos
por lo general, ya sea de componentes estructurales individuales o a partir de vibraciones de baja amplitud. De
ahí que para estructuras de conjunto sujetas a movimiento fuerte del suelo, será necesaria alguna extrapolación de
los datos de amortiguamiento existentes. La Tabla 12.6 indica valores representativos del amortiguamiento para
varios tipos de construcción.
Fuerza
La ductilidad es una medida de la habilidad del sistema estructural de deformarse mas allá de su límite elástico
sin colapsar. Esto le permite a la estructura absorber energía y seguir soportando las cargas y resistiendo las
fuerzas. En el caso de una carga sísmica cíclica, la estructura sufre sucesivas cargas y descargas y la relación
fuerza-desplazamiento toma una secuencia histerética. Para un sistema elastoplástico idealizado esta relación es
ilustrada en la Figura 12.3 donde el área encerrada es una medida de la energía disipada por el sistema.
Energia disipada
Fuerza
VE
Desplazamiento
VM
VS
Elástica
Real
Diseño
ΔS
ΔM
ΔE
Desplazamiento
(a)
Figura 12.3
(b)
(a) Energía de disipación histerética. (b) Curva de fuerza-deformación asumida
Cuando una estructura es sujeta a un movimiento sísmico, ésta tiene la capacidad de absorber gran parte de la
energía sísmica; una parte sustancial de energía es almacenada temporalmente por la estructura en forma de
energía de deformación y energía cinética. Después de corto tiempo el movimiento sísmico puede ser tan fuerte
que el punto de fluencia se excede en ciertas partes de la estructura y principia la disipación permanente de
energía en forma de deformación inelástica (histerética). A través de todo el sismo la energía es disipada por
amortiguamiento, el cual es, por supuesto, el medio por el cual la energía elástica es disipada una vez que cesa el
movimiento del suelo. Es evidente que se requiere de una gran ductilidad para disipar en gran proporción la
energía histerética generada por un sismo.
3
UBC, Sección 1630.2.2 [ref.15
147
Método de la fuerza horizontal equivalente
Los factores de ductilidad para estructuras se utilizan en forma tal que implican una reducción en los valores
espectrales de respuesta, por consiguiente se requiere una estimación razonable del factor de ductilidad
permisible. Para este propósito se debe estar conciente de las diferencias entre los diferentes tipos de factores de
ductilidad involucrados en la respuesta de las estructuras a carga dinámica. A este respecto debe hacerse una
distinción entre el factor de ductilidad de un miembro, el factor de ductilidad de un entrepiso en un edificio y el
factor de ductilidad global del edificio, para usarse en el cálculo del cortante basal a partir de los valores
espectrales de respuesta.
El factor de ductilidad de un miembro, de un entrepiso o el factor de ductilidad global, están todos gobernados
por el desarrollo de una relación fuerza-desplazamiento, en la que el desplazamiento es la deformación
longitudinal en un miembro a tensión o a compresión, la rotación de una junta o conexión en un miembro a
flexión o la deformación por cortante en un muro de corte. El factor de ductilidad de entrepiso se define
esencialmente por medio de una relación en la que el desplazamiento es la deflexión relativa entre el piso por
encima y el piso por debajo del entrepiso que se trata. El factor de ductilidad global es, en general, un promedio
ponderado de los factores de ductilidad de entrepiso, y la mejor manera de definirlo es considerando un patrón
particular de desplazamiento que corresponda al modo preferible de deformación de la estructura, en una
condición de respuesta que la energía inelástica sea absorbida de manera tan general como sea posible para
desarrollar tal deformación por toda la estructura.
El factor de ductilidad de miembro puede ser considerablemente más grande que el factor de ductilidad de entre
piso, que a su vez puede ser algo más grande que el factor de ductilidad global. La asignación del factor de
ductilidad global de la estructura deberá realizarse de manera conservadora y teniendo en cuenta que las
posibilidades de disipación de energía por deformaciones inelásticas dependen de muchos factores como por
ejemplo: configuración estructural, distribución de rigideces y resistencia, características de los componentes
estructurales y uniones, materiales y otros.
12.1.8 Factor de Modificación de Respuesta
Como resulta antieconómico el diseñar una estructura que permanezca dentro de su rango elástico durante un
sismo; la capacidad de absorción de energía no lineal del sistema es una ventaja que permite limitar el daño
estructural sin disminuir la capacidad de la estructura de soportar carga vertical. En adición, como ocurre la
fluencia, el periodo natural y el coeficiente amortiguamiento se incrementan reduciendo de este modo la fuerza
sísmica desarrollada en la estructura.
El factor R de modificación de la respuesta es el coeficiente de la cortante basal sísmica, el cual debe
desarrollarse en un sistema linealmente elástico, y es una medida de la capacidad del sistema para absorber
energía y mantener un comportamiento cíclico de deformación sin colapsar. El código UBC proporciona una
serie de valores para R, los cuales están tabulados en la Tabla 12.7; el valor de R se incrementa a medida que la
ductilidad de la estructura aumenta y su capacidad de disipación de energía aumenta; R es un coeficiente
numérico representativo de la capacidad de ductilidad global de los sistemas resistentes a fuerzas laterales.
12.1.9 Factor de Importancia
Para propósitos de diseño resistente a movimientos sísmicos, cada estructura debe clasificarse de acuerdo a una
de las categorías de destino enunciadas en la Tabla 12.8, la cual asigna factores de importancia I.
12.1.10Coeficiente de Respuesta Sísmica
El coeficiente de respuesta esta definido por:
Cs =
Cv ⋅ I
R ⋅T
(12.3)
148
Método de la fuerza horizontal equivalente
La forma de esta expresión indica que el coeficiente de respuesta se incrementa a medida que se incrementa el
factor de importancia y a medida que se reducen el factor de modificación de repuesta y el periodo natural.
Las estructuras de amortiguamiento bajo construidas de material quebradizo son incapaces de tolerar
deformaciones apreciables y para ellas se recomienda un valor bajo de R; en cambio a las estructuras altamente
amortiguadas construidas de materiales dúctiles se les asigna un valor mayor de R.
Para periodos fundamentales que exceden aproximadamente al segundo de tiempo (1.0 s), la respuesta de
aceleración de la estructura se atenúa proporcionalmente a su periodo, como se advierte en la forma de la
expresión del coeficiente de respuesta sísmica.
El coeficiente de respuesta sísmica no debe ser mayor que:
Cs ≤
2.5 ⋅ C a ⋅ I
R
(12.4)
Esta expresión es valida para periodos cortos de hasta 1 [s] aproximadamente. Para periodos mayores, la ecuación
12.4 da valores conservadores. Para prevenir que valores demasiado bajos del coeficiente de respuesta sísmica
sean adoptados para estructuras de periodos grandes, este coeficiente no debe ser menor que:
C s ≥ 0.11 ⋅ C a ⋅ I
(12.5)
Además, para la zona sísmica 4, el valor mínimo del valor del coeficiente de respuesta sísmica es:
Cs ≥
0.8 ⋅ Z ⋅ N v ⋅ I
R
(12.6)
12.1.11Carga Muerta Sísmica
La carga muerta sísmica W, es la carga muerta total y las partes correspondientes a otras cargas que se enuncian a
continuación:
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
En las bodegas y destinos de almacenamiento se debe aplicar un mínimo de 25% de la carga viva del
piso.
Cuando se utilice una carga de tabiques en el diseño del piso, se debe incluir una carga no menor de 0.48
kN/m2 (10 psf).
La carga de diseño de nieve debe incluirse cuando ésta exceda los 1.44 kN/m2 (30 psf), pero puede
reducirse hasta el 75 % dependiendo de la configuración del techo, las condiciones del lugar, duración
de la carga.
Debe incluirse el peso total del equipo permanente y accesorios.
12.1.12Procedimiento de la Fuerza Lateral Equivalente
Las fuerzas laterales producidas en la estructura por la vibración del terreno pueden determinarse mediante la
estática o el procedimiento de la fuerza lateral equivalente, la cual utiliza la segunda ley de Newton para estimar
la fuerza cortante en la base de la estructura.
Cv ⋅ I
⋅W
R ⋅T
V = Cs ⋅W
V =
(12.7)
149
Método de la fuerza horizontal equivalente
esta fórmula esta basada en la suposición de que la estructura sufrirá varios ciclos de deformación inelástica y
disipación de energía sin llegar a colapsar. Las fuerzas y desplazamientos en la estructura se calculan asumiendo
un comportamiento linealmente elástico.
La relación fuerza-desplazamiento idealizada es mostrada en la Figura 12.3(b). Ésta ilustra que la cortante basal
desarrollada en una estructura ideal completamente elástica es:
VE =
Cv
⋅W
T
(12.8)
con un valor máximo de:
V E = 2.5 ⋅ C a ⋅ W
(12.9)
La cual es modificada por el factor de modificación de respuesta y el coeficiente de importancia para el calculo
de la cortante basal de diseño:
VS = V E ⋅
I
R
(12.10)
Si el desplazamiento calculado para este valor de diseño es ΔS y el factor de amplificación es 0.7·R se asume que
el desplazamiento real es:
Δ M = 0.7 ⋅ R ⋅ Δ S
(12.11)
esta expresión representa un valor promedio para el desplazamiento inelástico; sin embargo varios estudios
indican que la ecuación 12.11 puede subestimar el valor real de algunas estructuras. En otros casos ΔM puede
calcularse por análisis de historia de tiempo (cronológico) no lineal; correspondiente al análisis dinámico de
estructuras.
12.2
ESTRUCTURAS DE VARIOS NIVELES
12.2.1 Distribución Vertical de la Fuerza Sísmica
La distribución de la cortante basal sobre la altura de la edificación se obtiene como la superposición de todos los
modos de vibración de un sistema de varios grados de libertad. La magnitud de la fuerza lateral que actúa sobre
un nudo en particular depende de la masa del nudo, de la distribución de la rigidez sobre la altura de la estructura
y del desplazamiento nodal en un modo dado, y esta dada por:
Fx =
V ′ ⋅ wx ⋅φ x
Σwi ⋅ φ i
(12.12)
donde:
V’ = Cortante basal modal
wi = Carga muerta sísmica localizada en el nivel i
φi = Componente de la forma modal en el nivel i para un modo dado
wx = Carga muerta sísmica localizada en el nivel x
φx = Componente de la forma modal en el nivel x para un modo dado
Para una estructura con una distribución de masas sobre su altura y asumiendo una forma modal lineal, como se
observa en la Figura 12.4, la expresión anterior se reduce a:
Fx =
V1 ⋅ w x ⋅ h x
Σwi ⋅ hi
(12.13)
150
Método de la fuerza horizontal equivalente
donde:
hi = Altura sobre la base hasta el nivel i
hx = Altura sobre la base hasta el nivel x
Nivel n
Nivel n-1
Nivel x
Nivel 2
hx
Nivel 1
wn
Ft
w n-1
Fn
F n-1
wx
Fx
H
Ø x= hx /H
w2
w1
F2
F1
V
Pórtico
Peso de
los pisos
Figura 12.4
Desplazamiento
de los pisos
Fuerza
lateral
Cortante
lateral
Distribución vertical de la fuerza sísmica
Si sólo se considera la forma modal fundamental, V1 representa la cortante basal de diseño para el modo
fundamental y la distribución de la fuerza es lineal. Para tomar en cuenta el efecto de los modos altos en las
edificaciones con periodos grandes, esto es cuando T excede a los 0.7 segundos, se debe añadir una fuerza Ft en
la parte superior de la estructura, la cual esta dada por:
Ft = 0.07 ⋅ T ⋅ V
(12.14)
donde:
V = Ft + V1
V = Ft + ΣF x
(12.15)
donde :
V = Cortante basal total de diseño que incluye la fuerza total adicional para tomar en cuenta el efecto de
los modos altos
Entonces la fuerza lateral de diseño en el nivel x esta dado por:
Fx =
(V − Ft ) ⋅ w x ⋅ h x
Σw i ⋅ h i
(12.16)
12.2.2 Volcamiento
De acuerdo al código UBC 4 las estructuras deben ser diseñadas para resistir los efectos de volcamiento causados
por las fuerzas sísmicas, las cuales deben transmitirse hasta la cimentación. Cuando se hacen presentes
discontinuidades verticales en los elementos resistentes a fuerzas laterales, los elementos que soportan dichos
4
UBC, Sección 1630.8 [ref.15]
151
Método de la fuerza horizontal equivalente
sistemas discontinuos deben tener la resistencia de diseño para soportar las cargas combinadas que resultan de las
combinaciones de cargas sísmicas, las cuales son:
1.2 ⋅ D + f 1 ⋅ L + 1.0 ⋅ Ω 0 ⋅ E h
(12.17)
0.9 ⋅ D ± 1.0 ⋅ E m
donde:
D = Carga muerta
L = Carga viva, con excepción de la carga viva de techo
f1 = 1.0 para pisos de reunión publica, para cargas vivas que exceden de 4.79 kN/m2 (100 psf) y para
cargas vivas de garajes
f1 = 0.5 para otras cargas vivas
Em = Fuerza sísmica máxima que puede desarrollarse en la estructura
Eh = Fuerza sísmica horizontal de diseño
Ω0 = Factor de amplificación de la fuerza sísmica que se requiere para tomar en cuenta la
sobreresistencia estructural en el rango inelástico, esta tabulado en la Tabla 12.7
S = Carga de nieve
Cuando se determinan los esfuerzos en la interfase suelo-fundación puede omitirse la fuerza Ft en las estructuras
regulares al determinar el momento de volcamiento, debido a que Ft representa la fuerza lateral debido a los
modos altos y las fuerzas en todos los niveles no alcanzan su punto máximo simultáneamente 5 . Adicionalmente
puede incrementarse una tercera parte en la presión admisible del suelo 6 . La presión del suelo se debe obtener de
la combinación de carga:
D + L + S + E / 1.4
(12.18)
12.2.3 Efecto P-delta
El efecto P-delta en un piso dado es causado por la excentricidad de la carga gravitatoria presente por encima del
piso, la cual produce momentos secundarios aumentando las deflexiones horizontales y las fuerzas internas. Este
efecto debe tenerse en cuenta cuando el índice de estabilidad (θi) excede a 0.1, ó en zonas sísmicas 3 y 4 cuando
la relación de desplazamiento de piso excede a 0.02/R. El índice de estabilidad esta dado por:
θi =
M si
M pi
(12.19)
donde:
Msi = Momento secundario del nivel en consideración
Mpi = Momento primario del nivel en consideración
El índice de estabilidad de cualquier piso no debe ser mayor a 0.3, si lo es, entonces la estructura es
potencialmente inestable y debe rigidizarse. El momento secundario de un piso se define como el producto de la
carga muerta total, carga viva y la carga de nieve por encima del piso multiplicada por el desplazamiento de piso.
El momento primario de un piso se define como la cortante sísmica en el piso multiplicada por la altura del piso.
Como se muestra en la Figura 12.5 el momento primario y secundario esta dado por:
5
6
Nivel
Mpi
Msi
θI
1
(F1 + F2)·hs1
2·(P1 + P2)·Δ1
Ms1/Mp1
2
F2·hs2
2·P2·Δ2
Ms2/Ms2
UBC, Sección 1809.4 [ref.15]
UBC, Sección 1612.3.2 y 1802 y Tabla 18-I-A[ref.15]
152
Método de la fuerza horizontal equivalente
Δ2
P2
P2
F2
h s2
Δ1
P1
P1
F1
h s1
Figura 12.5
Efecto P-delta
El efecto P-delta puede incluirse en el análisis elástico mediante el factor de amplificación, el cual esta dado por:
ad =
θi
1−θ i
(12.20)
La cortante de nivel de cada piso es multiplicada por el factor (1-ad) correspondiente para ese nivel y las fuerzas
internas y desplazamientos deben ser recalculados para la estructura.
El efecto P-delta debe evaluarse utilizando las cargas de diseño, es decir las fuerzas que producen los
desplazamientos Δs, es decir las fuerzas derivadas de la estática o fuerza lateral equivalente.
12.2.4 Desplazamientos de Piso
El desplazamiento de piso es el desplazamiento lateral de un piso relativo al piso inferior de una estructura de
varios niveles. Para edificaciones con periodo natural menor a 0.7 segundos, la sección 1630.10.2 del código
UBC limita el desplazamiento relativo o la deriva a una máximo de 0.025 veces la altura del piso. Y para
estructuras que tengan un periodo fundamental de 0.7 segundos o mayor, el desplazamiento relativo calculado del
piso no debe exceder de 0.02 veces la altura del piso. El propósito de estas limitaciones es el asegurar un mínimo
de rigidez para así controlar la deformación inelástica y la posible inestabilidad.
Los desplazamientos relativos de piso o derivas deben calcularse utilizando el desplazamiento de respuesta
inelástica máxima dado como:
Δ M = 0.7 ⋅ R ⋅ Δ s
(12.21)
donde:
Δs = Desplazamiento de respuesta del nivel de diseño
Para el cálculo del desplazamiento del nivel de diseño se debe preparar un análisis elástico estático del sistema
resistente a las fuerzas laterales utilizando las fuerzas sísmicas de diseño; el modelo matemático debe cumplir con
la sección 1630.1.2 del código UBC:
153
Método de la fuerza horizontal equivalente
ƒ
ƒ
Las propiedades de rigidez de los elementos de hormigón y de mampostería reforzados deben considerar
los efectos de las secciones agrietadas, y de acuerdo con la sección 1633.2.4 las propiedades de rigidez
pueden asumirse igual a la mitad de las propiedades de la sección bruta a menos que se realice un
análisis racional de la sección agrietada.
En los sistemas de pórticos de acero resistentes a momentos, debe incluirse la contribución de las
deformaciones de la franja de tablero al desplazamiento total del piso.
Adicionalmente se debe considerar el efecto P-delta en el cálculo del desplazamiento de respuesta inelástica
máxima cuando el caso así lo requiera.
El valor del periodo fundamental calculado por el método B (ecuación 12.2) es más realista que aquel calculado
por el método A (ecuación 12.1); en pero la sección 1630.10.3 del código UBC afloja el requisito, para el cálculo
de la deriva, en el cual TB puede no exceder el valor de TA por un 30% en la zona sísmica 4, y por un 40% en zona
sísmica 1,2,3. Y no debe imponerse límite de desplazamiento para estructuras de acero de un solo piso
clasificados como destinos de los grupos B, F y S o del grupo H división 4 o 5 7 .
B
Cuando se diseña una estructura mediante el análisis dinámico, se debe utilizar el espectro de respuesta apropiado
del terreno sin reducción por el factor de modificación de respuesta R. Esto da resultados de desplazamiento
iguales a los valores elásticos correspondientes al espectro de respuesta elástico. Para estructuras de periodo
grande con un periodo fundamental dentro de la región sensitiva de velocidad del espectro de respuesta, este
desplazamiento de respuesta elástico es aproximadamente igual al desplazamiento total inelástico. Para
estructuras de periodo corto con un periodo fundamental dentro la región sensitiva de aceleración del espectro de
respuesta, este desplazamiento de respuesta elástico usualmente subestima el desplazamiento inelástico total.
Cuando el análisis dinámico, aplicado a una estructura regular, utiliza el espectro de respuesta construido de
acuerdo a la Figura 12.1, la sección 1631.5.4 del código UBC permite que la respuesta de desplazamiento elástico
se reduzca a un valor correspondiente a la cortante basal equivalente del 90% de la cortante basal derivada del
análisis estático. Cuando el análisis dinámico, aplicado a una estructura regular utiliza el espectro de respuesta
especifico del lugar, el código permite que la respuesta de desplazamiento elástico se reduzca a una valor
correspondiente a la cortante basal equivalente del 80% de la cortante basal derivada del análisis estático. En
ningún caso los desplazamientos pueden ser menores a los desplazamientos de respuesta elástica divididos por el
factor de modificación de respuesta.
12.2.5 Cargas en los Diafragmas
Los diafragmas de piso y techo deben diseñarse para resistir las fuerzas determinadas según la siguiente formula:
F px =
Ft + ΣFi
⋅ w px
Σ wi
(12.22)
0..5 ⋅ C a ⋅ I ⋅ w px ≤ F px ≤ 1.0 ⋅ C a ⋅ I ⋅ w px
donde:
Ft = Fuerza lateral concentrada en la parte superior de la estructura
Fi = Fuerza lateral en el nivel i
ΣFi = Fuerza cortante total en el nivel i
wi = Carga muerta sísmica total localizada en el nivel i
Σwi = Carga muerta sísmica total en el nivel i y por encima
wpx = El peso del diafragma y el elemento tributario al mismo en el nivel x, no incluye muros paralelos
a la dirección de la carga sísmica
7
UBC, Sección 1630.10.2 [ref.15]
154
Método de la fuerza horizontal equivalente
Para una estructura simple ésta se reduce a:
Fp =
V ⋅wp
W
⎛C ⋅I ⎞
F p = ⎜⎜ v ⎟⎟ ⋅ w p
⎝ R ⋅T ⎠
12.3
(12.23)
FUERZA CORTANTE BASAL PARA EL DISEÑO SIMPLIFICADO
Para pequeñas estructuras, la sección 1630.2.3 del código UBC permite un método de diseño alternativo. Este
método provee resultados conservadores en comparación con el otro método disponible, pero permite un rápido y
simple cálculo de la cortante basal sísmica. El método es aplicable a estructuras cuya categoría de destino
corresponde a la 4 o 5 de la Tabla 12.8, de pórticos ligeros que no excedan los 3 niveles, o de cualquier
construcción que no exceda los 2 pisos de altura.
12.3.1 Fuerza Cortante Basal
La fuerza cortante basal de diseño en una dirección determinada debe calcularse según:
V=
3.0 ⋅ C a
⋅W
R
(12.24)
Cuando se desconoce los parámetros del suelo, para determinar el valor de Ca, debe utilizarse el tipo de perfil de
suelo SD en zonas sísmicas 3 y 4, y el tipo SE en las demás. Para estructuras regulares ubicadas en la zona sísmica
4 el factor de cercanía a la fuente no necesita ser mayor de 1.3.
12.3.2 Distribución Vertical
Las fuerzas en cada nivel deben calcularse utilizando la siguiente formula:
3 .0 ⋅ C a
wi
R
V
Fx =
wi
W
Fx =
(12.25)
12.3.3 Calculo de los Desplazamientos de Piso
El efecto P-delta y los desplazamientos de piso no son normalmente requeridos cuando se utilice el método
simplificado. Si es necesario, en sistemas estructurales relativamente flexibles, se puede considerar los efectos Pdelta y los desplazamientos, y para ello el desplazamiento de respuesta inelástica máxima esta dada por:
Δ M = 0.01 ⋅ h s
donde:
hs = La altura de piso
(12.26)
155
Método de la fuerza horizontal equivalente
12.3.4 Determinación de la Carga Sobre los Diafragmas
De acuerdo a la sección 1630.2.3.4 del código UBC, la carga actuante en el diafragma horizontal se determina a
partir de la expresión:
donde
12.4
F px =
3.0 ⋅ C a
⋅ w px
R
(12.27)
F px =
V
⋅ w px
W
(12.28)
: 0.5 ⋅ C a ⋅ w px ≤ F px ≤ 1.0 ⋅ C a ⋅ w px
COMBINACIONES DE CARGA
12.4.1 Combinaciones de Carga Utilizando el Diseño por Resistencia
Llamado también diseño por factores de carga y de resistencia. Cuando se utiliza el principio de resistencias de
diseño, el requerimiento básico es de asegurarse que la resistencia de diseño de un miembro no sea menor que la
resistencia ultima requerida. Para la resistencia requerida se considera las cargas de servicio multiplicadas por un
factor de carga apropiado como los que indica el reglamento ACI y se presentan en la Tabla 12.9.
No es necesario asumir que el viento y las cargas debidas al sismo actúan simultáneamente. La carga sísmica E es
una función de ambas fuerzas sísmicas, horizontal y vertical, y esta dada por:
E = ρ ⋅ Eh + Ev
(12.29)
donde:
Eh = carga sísmica debida al esfuerzo cortante en la base
Ev = fuerza vertical debida a los efectos de la aceleración vertical del suelo
Ev = es igual a añadir 0.5·Ca·I·D al efecto de la carga muerta para el diseño por resistencia
Ev = 0, para el diseño por esfuerzos admisibles
ρ = factor de confiabilidad o redundancia.
y
ρ = 2−
ρ = 2−
6 .1
rmax ⋅ AB
20
rmax ⋅ AB
[SI]
[unidades ingleasas]
(12.30)
1.0 ≤ ρ ≤ 1.5
donde:
AB = area de la estructura en el nivel del suelo en m2 (ft2)
rmax = máxima relación del esfuerzo cortante del elemento-piso
B
El valor asumido para Ev representa la magnitud de la respuesta vertical debida a la aceleración vertical del suelo,
la cual es considerada que tiene gran probabilidad de ocurrir simultáneamente con la respuesta horizontal
máxima.
156
Método de la fuerza horizontal equivalente
Para una dirección determinada de carga, la relación del esfuerzo cortante del elemento-piso es la relación del
esfuerzo cortante del piso de diseño en el elemento individual de mayor carga dividido por el esfuerzo cortante
total de diseño del piso. Para cualquier nivel esta relación se denomina ri. La relación máxima del esfuerzo
cortante del elemento-piso rmax se define como la mayor de las relaciones ri que se da en cualquiera de los niveles
de piso a un nivel igual a las 2/3 partes de la altura de la edificación o a una altura inferior.
Para proporcionar en la estructura varias trayectorias de resistencia a cargas laterales se provee de un cierto grado
de redundancia al sistema. La fluencia de un elemento del sistema deriva en una redistribución de la carga en los
elementos que todavía permanecen, de este modo se controla los desplazamientos y la deterioración de la
estructura y además se retarda la formación de mecanismos de colapso. De este modo para mejorar el
rendimiento sismo resistente de las edificaciones es necesario proporcionar múltiples trayectorias de carga para
hacer de este modo el sistema resistente a fuerzas laterales lo mas redundante posible. Es así que el factor de
redundancia ρ penaliza a las estructuras que tiene un grado de redundancia bajo con un incremento hasta del 50%
de la fuerza horizontal de diseño. Y cuando se calcula el desplazamiento o cuando la estructura esta ubicada en
las zonas sísmicas 0, 1 ó 2, ρ debe considerarse igual a 1.0
Para estructuras arriostradas, el valor de ri se determina como se muestra en la Figura 12.6. asumiendo que cada
tirante o abrazadera resiste igual cortante sísmica, la máxima relación del esfuerzo cortante del elemento-piso es:
rmax = 0.5
El factor de redundancia esta dado por:
ρ = 2−
6.1
0.5 ⋅ 10 ⋅ 20
ρ = 1.14
10 m
Arriostre
20 m
V/2
V/2
Figura 12.6
Pórtico arriostrado
Para pórticos resistentes a momentos, ri debe tomarse como el máximo de la suma de las fuerzas cortantes en
dos columnas contiguas cualquiera en una nave del pórtico resistente a momentos dividida por el esfuerzo
cortante del piso, como muestra la Figura 12.7 para una estructura de un nivel y 4 naves. Para una columna
común a dos niveles se utiliza el 70% del esfuerzo cortante en esa columna en la suma. Asumiendo que cada nave
resiste una fuerza sísmica como indica la Figura 12.7, rmax es:
rmax = 0.33
157
Método de la fuerza horizontal equivalente
20 m
Pórtico resistente
a momentos
10 m
V/6
V/3
V/3
Figura 12.7
V/6
Pórtico resistente a momentos
El factor de redundancia esta dado por:
ρ = 2−
6.1
0.33 ⋅ 20 ⋅10
ρ = 0.69
ρ = 1.0 mínimo
En los pórticos especiales resistentes a momentos ρ no debe ser mayor que 1.25.
En los muros de corte, ri se determina como en la Figura 12.8, el cual es el valor máximo del producto del
esfuerzo cortante del muro multiplicado por 3.05/lw (para unidades inglesas 10/lw) y dividido por el esfuerzo
cortante total del piso, donde lw es la longitud del muro en metros (ft). Asumiendo que cada muro de corte resiste
la mitad de la cortante sísmica como indica la Figura 12.8, rmax es:
rmax = 0.5 ⋅
3.05
lw
rmax = 0.5 ⋅
3.05
30
rmax = 0.05
60 m
Muro de
Corte
30 m
V/2
V/2
Figura 12.8
Estructura con muros de corte
158
Método de la fuerza horizontal equivalente
El factor de redundancia esta dado por:
ρ = 2−
ρ = 1.0
6.1
0.05 ⋅ 30 ⋅ 60
mínimo
En sistemas dobles (dual), ri se determina como se muestra en la Figura 12.9 y se toma como el valor máximo
definido en párrafos anteriores, considerando todos los elementos resistentes a cargas laterales. El factor de
redundancia se toma como el 80% del valor calculado normalmente. Asumiendo que la cortante es distribuida
entre los elementos como se indica en la Figura 12.9, rmax es:
rmax = 0.375
El factor de redundancia esta dado por:
⎛
ρ = 0.8 ⋅ ⎜⎜ 2 −
⎝
⎞
⎟
⎟
0.375 ⋅ 30 ⋅ 60 ⎠
6. 1
ρ = 1.29
60 m
30 m
Arriostre
3V/8
3V/8
Pórtico Resistente a
Momentos
V/8
V/8
Figura 12.9
Sistema doble
Las combinaciones de carga presentes en la Tabla 12.9 no se aplican para elementos de concreto cuando en las
combinaciones no esta incluida la carga sísmica; para esta situación la sección 1909.2 del código UBC especifica
las combinaciones de carga a ser utilizadas. Las combinaciones de carga factorizadas deben multiplicarse por 1.1
para hormigón y mampostería cuando en las combinaciones de carga esta incluida la carga sísmica.
12.4.2 Combinaciones de Carga Utilizando el Diseño de Esfuerzo Admisible
El requisito básico para el diseño por esfuerzos admisibles es que, los esfuerzos en los elementos no deben
exceder a los limites permisibles cuando están sujetos a las cargas de servicio. Se debe permitir que las
estructuras y parte de las mismas se diseñen para los efectos más críticos que resulten de las siguientes
combinaciones de carga. Para las combinaciones de carga incluyendo viento y sismo se permite un incremento de
1/3 parte de los esfuerzos admisibles.
159
Método de la fuerza horizontal equivalente
Para el diseño por esfuerzos admisibles Ev , la respuesta vertical debida a los efectos de la aceleración vertical, se
toma igual a cero. Además las cargas de viento y sismo no necesitan asumirse simultáneamente
12.5
TORSIÓN
Para transferir las fuerzas sísmicas al suelo, se deben utilizar los elementos resistentes verticales y horizontales
para proporcionar trayectorias de cargas continuas a partir del tope de la estructura hacia las fundaciones. Los
componentes verticales consisten de muros de corte, pórticos arriostrados y pórticos resistentes a momentos. Los
componentes horizontales consisten de techos y diafragmas de piso, los cuales distribuyen las fuerzas laterales a
los elementos verticales.
Los diafragmas se consideran flexibles cuando la deformación lateral máxima del diafragma, bajo carga lateral,
es mas del doble del desplazamiento promedio por piso del piso asociado. Esto puede determinarse comparando
el punto medio calculado en la deflexión en planta del diafragma mismo con el desplazamiento por piso de los
elementos colindantes resistentes a las fuerzas verticales tal como ilustra la Figura 12.10. el diafragma puede
modelarse como una viga simple entre soportes y la distribución de la carga a éstos es independiente de sus
rigideces relativas y proporcional al área tributaria correspondiente.
δM
δA
δM> 2δA
Muro de
Corte
Diafragma
Carga Sísmica
Figura 12.10
Diafragma flexible
Cuando la deformación lateral máxima del diafragma es menor del doble del desplazamiento promedio de piso, el
diafragma se considera rígido. Se deben considerar los incrementos del esfuerzo cortante que resulta de la torsión
horizontal cuando los diafragmas no son flexibles. La distribución de la carga a los soportes es proporcional a sus
rigideces relativas y es independiente del área tributaria soportada.
12.5.1 Momento Torsor
El centro de rigideces es aquel punto alrededor del cual la estructura tiende a rotar cuando esta sujeta a una fuerza
excéntrica. En el caso de la fuerza sísmica, ésta actúa en el centro de masas de la estructura y el momento torsor
es el producto de la fuerza sísmica y la excentricidad del centro de masas con respecto al centro de rigideces. La
ubicación del centro de masas calculado no es exacta debido a la distribución imprecisa del peso de la estructura,
lo cual conduce a una torsión accidental; y acontece algo similar con el centro de rigideces calculado debido a la
rigidez despreciada de los componentes no estructurales.
Para tomar en cuenta estas incertidumbres debe asumirse que la masa en cada nivel se ha desplazado del centro
de masas calculado en cada dirección una distancia igual al 5% de la dimensión de la edificación en ese nivel
perpendicular a la dirección de la fuerza bajo consideración. Esta excentricidad accidental se amplifica cuando
160
Método de la fuerza horizontal equivalente
existe una irregularidad torsional, como se define en la Tabla 11.2, multiplicándola por un coeficiente de
amplificación Ax determinado de acuerdo a la siguiente ecuación:
2
⎛ δ max
Ax = ⎜
⎜ 1.2 ⋅ δ avg
⎝
donde:
⎞
⎟ ≤ 3.0
⎟
⎠
(12.31)
δavg = el promedio de los desplazamientos en los puntos extremos de la estructura en el nivel x
δmax = el desplazamiento máximo en el nivel x
12.5.2 Centro de Masas y Centro de Rigideces
V=Fuerza Sísmica N-S
ex
R
r
CM (calculada)
CR
R
N
R
W
ea
B
E
ea
rS
N
R
r
N
S
r =L·R /(R +R )
E
W
W
W
E
L
ea = Excentricidad accidental = 0.05·L
V
Fuerzas en el
Plano
R V/(R +R )
W
W
R V/(R +R )
E
E
W
E
R r V(ex+e a)/ΣR r 2
N
_
T=V(e x+e a)
N
Efectos de la
Torsión
R r V(ex+e a)/ΣR r 2
S
-R r V(ex-ea)/ΣR r 2
W
R r V(ex+e a)/ΣR r 2
W
Figura 12.11
S
E
Efecto de la torsión
E
161
Método de la fuerza horizontal equivalente
La ubicación del centro de rigideces se obtiene a partir de momentos estáticos alrededor de un origen
conveniente. De la Figura 12.11 para la carga sísmica en la dirección Norte-Sur, los muros Norte y Sur, los cuales
no tienen rigidez en esa dirección, se desprecian y sólo se consideran los muros Este y Oeste, es así que la
ubicación del centro de rigideces con referencia al muro Este esta dada por:
rE =
ΣR y ⋅ x
ΣR y
rE =
RW ⋅ L + R E ⋅ 0
RW + R E
rE =
RW ⋅ L
RW + R E
La ubicación del centro de rigideces con referencia al muro Sur esta dado por:
rS =
ΣR x ⋅ y
ΣR x
rS =
R N ⋅ B + RS ⋅ 0
R N + RS
rS =
RN ⋅ B
R N + RS
El momento de inercia polar de los muros esta dado por:
J = Σr 2 ⋅ R
J = rN2 ⋅ R N + rS2 ⋅ R S + rE2 ⋅ R E + rW2 ⋅ RW
De forma similar se calcula la ubicación del centro de masas, ⎯x, ⎯y. Y la fuerza cortante total en la base de los
muros Este y Oeste esta dada entonces por la suma de la cortante debida a las fuerzas en ese plano y los
momentos torsores. Es importante que el momento torsor de diseño en un piso determinado debe ser el momento
resultante de las excentricidades entre las fuerzas laterales de diseño aplicadas en los niveles por encima de ese
piso y los elementos resistentes a las cargas verticales en ese piso más una torsión accidental.
12.5.3 Efectos de la Torsión
La excentricidad entre el centro de masas y el centro de rigideces esta ilustrada en la Figura 12.11 como:
e x = rE − x
La excentricidad accidental esta dada por:
e a = 0.05 ⋅ L
La excentricidad máxima es:
e maz = e x + e a
La excentricidad mínima es:
e min = e x − e a
El momento torsor máximo para la carga sísmica Norte-Sur esta dado por:
Tmax = V ⋅ e max
Tmax = V ⋅ (e x + e a )
162
Método de la fuerza horizontal equivalente
El momento torsor mínimo para la carga sísmica Norte-Sur esta dado por:
Tmin = V ⋅ e min
Tmin = V ⋅ (e x − e a )
La fuerza total en el muro Este, para la carga sísmica Norte-Sur es:
F = FS + FT (max)
donde la fuerza cortante en la dirección considerada es:
FS =
RE
⋅V
R E + RW
La fuerza cortante debido al momento torsor más critico en el muro Este es:
FT (max) =
Tmax ⋅ rE ⋅ R E
J
Para el muro Oeste, debido a que el momento torsor actúa en sentido opuesto al plano de acción de las fuerzas, la
fuerza cortante debido al momento torsor mas critico es:
FT (min) =
Tmin ⋅ rW ⋅ RW
J
Y la fuerza total de diseño es:
F = FS − FT (min)
12.6
TABLAS
Zona
1
2ª
2B
3
4
Z
0.075
0.15
0.20
0.30
0.40
Nota.- La zona sísmica debe determinarse del mapa de zonas sísmicas
Tabla 12.1
Perfil del
Zona 1
Zona 2A
Factor de zona sísmica Z
Zona 2B
Zona 3
Zona 4
suelo
Ca
Cv
Ca
Cv
Ca
Cv
Ca
Cv
Ca
Cv
SA
0.06
0.06
0.12
0.12
0.16
0.16
0.24
0.24
0.32·Na
0.32·Nv
SB
0.08
0.08
0.15
0.15
0.20
0.20
0.30
0.30
0.40·Na
0.40·Nv
SC
0.09
0.13
0.18
0.25
0.24
0.32
0.33
0.45
0.40·Na
0.56·Nv
SD
0.12
0.18
0.22
0.32
0.28
0.40
0.36
0.54
0.44·Na
0.64·Nv
B
SE
SF
0.19
0.26
0.30
0.50
0.34
0.64
0.36
0.84 0.36·Na 0.96·Nv
Se deben realizar investigaciones geotécnicas y análisis de respuesta dinámica del
lugar para determinar los coeficientes de sismicidad
Tabla 12.2
Coeficientes de respuesta del terreno
163
Método de la fuerza horizontal equivalente
Tipo de
perfil de
suelos
Descripción
SA
Roca dura
SB
Roca
B
SC
SD
SE1
SF
Propiedades del suelo promedio para los 30 m. (100 ft.) superiores
del perfil del suelo
Ensayo estándar de Resistencia a corte no
Velocidad de onda de
penetración, N
drenado, Su psf
corte, ⎯vs, ft/s (m/s)
(golpes/ft)
(kPa)
>5000
⎯
⎯
(1500)
2500 a 5000
⎯
⎯
(760 a 1500)
Suelo muy
1200 a 2500
>2000
>50
denso y roca
(360 a 760)
(100)
blanda
Perfil de suelo
600 a 1200
1000 a 2000
15 a 50
(180 a 360)
(50 a 100)
rígido
Perfil de suelo
<600
<1000
<15
(180)
(50)
sólido
Suelo que requiere evaluación especifica del lugar. véase UBC 1629.3.1
1
El suelo del perfil Tipo SE también incluye cualquier perfil de suelo con mas de 3048 mm (10 ft) de arcilla blanda definida como
un suelo con un índice de plasticidad, PI>20, wme≥40% y su<24 kPa (500psf). El índice de plasticidad, PI, y el contenido de
humedad, wme, deben determinarse de acuerdo a la norma ASTM
Tabla 12.3
Tipos de perfile de suelo
Definición a la fuente del sismo1
Magnitud del
Proporción de
momento
deslizamiento, SR
máximo M
(mm/año)
Tipo de
lugar de
origen del
sismo
Descripción a la fuente del sismo
A
Fallas que pueden producir eventos de gran magnitud y
que tienen una alta relación de actividad sísmica.
M ≥ 7.0
SR ≥ 5
B
Otras fallas además de los tipos A y C
M ≥ 7.0
M < 7.0
M ≥ 6.5
SR < 5
SR > 2
SR < 2
C
Fallas que no pueden producir eventos de gran
magnitud y que tienen una relación de actividad
sísmica relativamente baja.
M < 6.5
SR ≤ 2
1
Tanto las condiciones de magnitud del momento máximo como de proporción de deslizamiento deben ser satisfechas simultáneamente
cuando se determina el tipo de lugar de origen del sismo.
Tabla 12.4
Tipo de lugar de origen del sismo
Distancia más próxima a la fuente del sismo conocido
Tipo de lugar
de origen del
sismo
≤ 2 km
5 km
≥ 15 km
10 km
Na
Nv
Na
Nv
Na
Nv
Na
Nv
A
1.5
2.0
1.2
1.6
1.0
1.2
1.0
1.0
B
1.3
1.6
1.0
1.2
1.0
1.0
1.0
1.0
C
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
Nota.- Los factores de cercanía a la fuente pueden basarse en la interpolación lineal de valores para distancias diferentes a las que se muestran
en la Tabla.
Tabla 12.5
Factores de cercanía a la fuente
164
Método de la fuerza horizontal equivalente
Amortiguamiento ξ
Descripción del tipo de Construcción
Pórtico de acero, soldado, con todos los muros de construcción flexible
Pórtico de acero, soldado o apernado, con revestimiento rígido y con todos los muros
interiores flexibles
Pórtico de acero soldado o apernado, con muros de cortante de hormigón
Pórtico de hormigón con todos los muros de construcción flexible
Pórtico de hormigón, con revestimiento rígido y todos los muros interiores flexibles
Pórtico de hormigón, con muros de cortante de hormigón o mampostería
Edificios con muros de cortante de hormigón y/o mampostería
Construcción de muros de cortante de madera
Tabla 12.6
Sistema
estructural
básico
2.
1.
Sistemas de
muros de
carga
3.
4.
1.
2.
2.
Sistemas de
estructura de
la edificación
3.
4.
5.
3.
Sistema de
1.
estructuras
resistente a
los momentos 2.
3.
0.05
0.07
0.05
0.07
0.10
0.10
0.15
Relaciones de amortiguamiento típico para estructuras
Descripción de los sistemas resistentes
1.
0.02
Muros de estructuras ligeras con paneles de corte
a. Muros de paneles estructurales de madera para
estructuras de 3 pisos o menos.
b. Todos los demás muros con estructuras livianas
Muros de corte
a. Hormigón.
b. Albañilería.
Muros de carga de estructuras de acero ligero con
arriostramiento solo para tensión.
Estructuras arriostradas donde los arriostres transmiten
cargas por gravedad
a. Acero
b. Hormigón.
c. Maderos estructurales.
Estructuras de acero arriostradas excéntricamente (EBF)
Muros de estructuras ligeras con paneles de cortante:
a. Muros de paneles estructurales de madera para
estructuras de 3 pisos o menos
b. Todos los demás muros con estructuras livianas
Muros de cortante
a. Hormigón.
b. Albañilería
Estructuras comunes arriostradas
a. Acero
b. Hormigón
c. Maderos estructurales
Estructuras especiales arriostradas concéntricamente
a. Acero
Estructuras especiales resistente a los momentos (SMRF)
a. Acero
b. Hormigón
Estructuras de muros de albañilería resistente a los
momentos (MMRWF)
Estructuras intermedias de hormigón resistente a los
momentos (IMRF)
R
Ωo
Altura límite
para las zonas
sísmicas 3 y 4
(ft) ×304.8
para mm.
5.5
2.8
65
4.5
2.8
65
4.5
4.5
2.8
2.8
160
160
2.8
2.2
65
4.4
2.8
2.8
7.0
2.2
2.2
2.2
2.8
160
⎯
65
240
6.5
2.8
65
5.0
2.8
65
5.5
5.5
2.8
2.8
240
160
5.6
5.6
5.6
2.2
2.2
2.2
160
⎯
65
6.4
2.2
240
8.5
8.5
2.5
2.5
N.L
N.L.
6.5
2.8
160
5.5
2.8
⎯
165
Método de la fuerza horizontal equivalente
4.
5.
1.
4.
Sistema
doble (dual)
2.
3.
4.
Sistemas de
edificación
1.
de columnas
en voladizo
6. Sistema de
interacción
de estructuras 1.
y muros de
cortante
7. Sistemas
1.
indefinidos
Estructuras comunes resistentes a los momentos (OMRF)
a. Acero
b. Hormigón
Estructuras de acero con cerchas especiales para
momentos (STMF)
Muros de cortante
a. Hormigón con SMRF
b. Hormigón con OMRF en Acero
c. Hormigones con IMRF en hormigón
d. Albañilería con SMRF
e. Albañilería con OMRF en acero
f. Albañilería con IMRF en hormigón
g. Albañilería con MMRWF en albañilería
EBF en acero
a. Con SMRF en acero
b. Con OMRF en acero
Estructuras comunes arriostradas
a. Acero con SMRF en acero
b. Acero con OMRF en acero
c. Hormigón con SMRF en hormigón
d. Hormigón con IMRF en hormigón
Estructuras especiales arriostradas concéntricamente
a. Acero con SMRF en acero
b. Acero con OMRF en acero
4.5
3.5
2.8
2.8
160
⎯
6.5
2.8
240
8.5
4.2
6.5
5.5
4.2
4.2
6.0
2.8
2.8
2.8
2.8
2.8
2.8
2.8
N.L.
160
160
160
160
⎯
160
8.5
4.2
2.8
2.8
N.L.
160
6.5
4.2
6.5
4.2
2.8
2.8
2.8
2.8
N.L.
160
⎯
⎯
7.5
4.2
2.8
2.8
N.L.
160
Elementos de columnas en voladizo
2.2
2.0
35
Hormigón
5.5
2.8
160
Véase las secciones 1629.6.7 y 1629.9.2 UBC
⎯
⎯
⎯
5.
Tabla 12.7
Sistemas estructurales
166
Método de la fuerza horizontal equivalente
Categoría de
tenencia
1.
Instalaciones
esenciales
2.
Instalaciones
peligrosas
3.
Estructuras
para destinos
especiales
4.
Estructuras
para destinos
estándar
5. Estructuras
misceláneas
Destino o funciones de la estructura
Destinos del grupo I, División 1 que tienen áreas
para cirugías y tratamientos de emergencia
Estaciones de bomberos y policías
Garajes y cocheras para vehículos y naves aéreas de
emergencia.
Estructuras y refugios en centros de preparación
para emergencias
Torres de control de aviación
Estructuras y equipos en centros de comunicación
del gobierno y otras instalaciones requeridas para
respuestas de emergencia
Equipos de generación de energía de reserva para
instalaciones de la Categoría 1
Tanques u otras estructuras que albergan, contienen
o soportan agua u otros materiales para combatir
incendios o equipos requeridos para protección de
estructuras de las Categorías 1, 2 ó 3
Destinos del grupo H, Divisiones 1, 2, 6 y 7 y las
estructuras de las mismas que albergan o contienen
productos químicos o sustancias toxicas o
explosivas
Estructuras que no forman parte de edificaciones
que albergan, soportan o contienen cantidades de
sustancias toxicas o explosivas de las cuales, si
estuvieran contenidas dentro de una edificación,
harían que dicha edificación se clasificara como
Destino del Grupo H, Divisiones 1, 2 ó 7
Destinos del Grupo A, Divisiones 1, 2 y 2.1
Edificaciones que contienen destinos del Grupo E,
Divisiones 1 y 3 con capacidad mayor de 300
estudiantes.
Edificaciones que contienen destinos del Grupo B
utilizadas para educación superior o de adultos con
capacidad mayor de 500 estudiantes.
Destinos del Grupo I, Divisiones 1 y 2 con 50 o más
pacientes residentes incapacitados, pero no
incluidos en la categoría I.
Destinos del Grupo I, División 3
Todas las estructuras con un número de ocupantes
mayor de 5000 personas.
Estructuras y equipo en estaciones de generación de
energía y otras instalaciones de servicios públicos
no incluidos en las categorías 1 ó 2 anteriores, pero
requeridas para operación continua.
Todas las estructuras que contiene destinos o tienen
funciones no indicadas en las Categorías 1, 2 ó 3 y
las torres de destinos del Grupo U
Destinos del Grupo U excepto las torres
Factor de
Factor de
Factor de
importancia importancia importancia
sísmica, I
sísmica, Ip
sísmica, Iw
1.25
1.50
1.15
1.25
1.5
1.15
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
Ip Coeficiente de importancia para elementos no estructurales
Iw Coeficiente de importancia cuando se diseña por cargas de viento.
Tabla 12.8
Categoría de destino (coeficientes de importancia)
167
Método de la fuerza horizontal equivalente
Factores de carga
Combinación de carga
D + L + Lr (ó S)
D + L + Lr (ó S)
D + Lr (ó S) + W
D + L + Lr (ó S) + W
D+L
D+L+E
D+L+S+E
D+W
D+E
D
L
Lr
W
S
E
1.2
1.2
1.2
1.2
1.4
1.05
1.2
0.9
0.9
1.6
f1
⎯
f1
1.7
1.275
f1
⎯
⎯
0.5
1.6
1.6
0.5
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
0.8
1.3
⎯
⎯
⎯
± 1.3
⎯
(0.5)
(1.6)
(1.6)
(0.5)
⎯
⎯
f2
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
± 1.4025
1.0
⎯
± 1.43
D = Carga muerta, L = Carga viva, Lr = carga viva de techo, W = carga de viento, S = carga de nieve, E = carga sísmica,
f1 = 1.0 para garajes, áreas ocupadas como lugares públicos de reunión y todas las áreas donde la carga viva sea mayor de 48 kN/m2 (100 psf),
f1 = 0.5 para otras cargas vivas.
f2 = 0.2 para configuraciones de techo que soportan nieve = 0. 7 para otras configuraciones
E = ρEh + Ev
Para concretos y estructuras de mampostería, los factores de carga mencionados arriba son multiplicados por 1.1, donde las combinaciones de
carga incluyen fuerza sísmica. Para estructuras de concreto, donde las combinaciones de carga no incluyen fuerzas sísmicas, las
combinaciones de carga del código UBC sección 1909.2 son aplicables.
Tabla 12.9
Combinación de
carga
D + L + Lr (ó S)
D+L+W
D+L+E
D+L+S+W
D+L+S+W
D+L+S+E
Factores de carga para el método de diseño por resistencia
Factores de carga
D
L
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
Lr
1.0
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
W
S
E
Esfuerzo >
⎯
1.0
⎯
1.0
0.5
⎯
(1.0)
⎯
⎯
0.5
1.0
1.0
⎯
⎯
1/1.4
⎯
⎯
1/1.4
0.0
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
D = Carga muerta, L = Carga viva, Lr = carga viva de techo, W = carga de viento, S = carga de nieve, E = carga sísmica,
Para cargas de nieve que no exceden 14.5 kN/m2 (30 psf) no necesitan comobinarse con cargas sismicas
E = ρEh
Tabla 12.10
Factores de carga para el método de diseño por esfuerzos admisibles
168
Método de la fuerza horizontal equivalente
12.7
EJEMPLOS
Ejemplo 12.1
Determinación del coeficiente de respuesta sísmica
El pórtico de acero resistente a momentos, cuyas propiedades se muestran en la Figura 12.12, tiene una altura de
12 m. y un coeficiente de amortiguamiento de 5%; está ubicado en un sitio, el cual pertenece a una zona sísmica
de 3 con un perfil indeterminado de suelo. Calcular el valor del coeficiente de respuesta sísmica.
w3 =400 [t]
3
k3=50 [t/cm]
w2 =400 [t]
2
k2=70 [t/cm]
w1 =400 [t]
1
k1=100 [t/cm]
Figura 12.12
Solución:
Los coeficientes de respuesta del suelo se obtienen a partir de la Tabla 12.2, utilizando el perfil del tipo de suelo
SD para perfiles de suelo indeterminados:
Ca = 0.36
Cv = 0.54
El período natural de la estructura, utilizando el método A, es:
T A = C t ⋅ hn3 / 4
donde:
entonces el periodo natural es:
Ct = 0.0853
hn = 12 [m]
para pórticos de acero resistentes a momentos
altura del techo
T A = 0.0853 ⋅ (12) 3 / 4 = 0.55 [s]
El coeficiente de respuesta sísmica está dado por:
C ⋅I
Cs = v
R ⋅T
donde el valor del factor de modificación de respuesta R, para pórtico resistente a momentos, se obtiene a partir
de la Tabla 12.7, de este modo se tiene que:
0.54 ⋅1
Cs =
= 0.115
8.5 ⋅ 0.55
El valor mínimo permitido para el coeficiente de respuesta sísmica es:
C s ≥ 0.11 ⋅ C a ⋅ I
C s ≥ 0.11 ⋅ 0.36 ⋅1 = 0.04
169
Método de la fuerza horizontal equivalente
El valor máximo permitido para el coeficiente de respuesta sísmica es:
2. 5 ⋅ C a ⋅ I
Cs ≤
R
2.5 ⋅ 0.36 ⋅1
Cs ≤
= 0.106 ... el que gobierna
8. 5
Determinación de la cortante basal
Ejemplo 12.2
El pórtico de acero resistente a momentos de la Figura 12.12 está ubicado en un sitio correspondiente a una zona
sísmica 4, con un tipo de perfil de suelo SB; el sitio está ubicado a 7.5 km del origen sísmico tipo A. Calcular el
valor de la cortante basal sísmica.
B
Solución:
De las Tablas 12.2 y 12.5 se obtienen los coeficientes requeridos para el cálculo, correspondientes al tipo de
perfil de suelo SB para un sitio ubicado a 7.5 km del origen sísmico tipo A:
B
N a = 1.1
N v = 1.4
C a = 0.4 ⋅ N a = 0.44
C v = 0.4 ⋅ N v = 0.56
Los valores de T correspondientes a la Figura 12.1 son:
Cv
0.56
Ts =
=
= 0.509
2.5 ⋅ C a 2.5 ⋅ 0.44
Ta = 0.2 ⋅ Ts = 0.102
[s]
[s]
El periodo natural utilizando el método A está resuelto en el ejemplo 12.1, el cual es:
TA = 0.55 [s]
TA > Ts
De la Tabla 12.7 se obtiene el factor de modificación de respuesta R = 8.5 para el pórtico de acero resistente a
momentos; entonces la cortante basal está dada por:
C ⋅I
V = C s ⋅W = v ⋅W
R ⋅T
0.56 ⋅1
V =
⋅ W = 0.12 ⋅ W = 143.74 [t ]
8.5 ⋅ 0.55
170
Método de la fuerza horizontal equivalente
Distribución vertical de la fuerza sísmica
Ejemplo 12.3
La estructura mostrada en la Figura 12.13 es de muros portantes de mampostería, tiene una cubierta y un segundo
piso que pesan 100 [kg/m2], los muros pesan alrededor de 500 [kg/m2]. La edificación está localizada en una zona
sísmica 3 con un perfil de suelo desconocido. Determinar la distribución vertical de la fuerza.
30 x 30 [m]
4m
nivel 2
4m
nivel 1
estructura
de muros portantes
Figura 12.13
Solución:
El período natural de la estructura, utilizando el método A, es:
T = C t ⋅ hn3 / 4 = 0.0488 ⋅ (8) 3 / 4 = 0.23
T < 0.7
[s]
[s]
Por tanto el valor de la fuerza Ft=0, y la ecuación 12.16 para la distribución de la fuerza sísmica se reduce a:
w ⋅h
Fx = V ⋅ x x
Σwi ⋅ hi
Para ello, la carga muerta sísmica localizada en el nivel 1 es:
0.100·30·30 = 90 [t]
2º piso :
muros :
4·0.5·30·4 = 240 [t]
w1 = 330 [t]
La carga muerta sísmica localizada en el nivel 2 es:
techo :
muros :
w1 = 210 [t]
0.100·30·30 = 90 [t]
4·0.5·36·4/2 = 120 [t]
El coeficiente de respuesta sísmica está dado por:
C v ⋅ I 2. 5 ⋅ C a ⋅ I
≤
R ⋅T
R
0.54 ⋅1
2.5 ⋅ 0.36 ⋅1
Cs =
≤
5.5 ⋅ 0.23
5. 5
C s = 0.420 ≤ 0.164
Cs =
C s = 0.164 ... gobierna
171
Método de la fuerza horizontal equivalente
La cortante basal está dada por:
V = C s ⋅ W = 0.164 ⋅ 540 = 88.56
[t ]
y
F x = 88.56 ⋅
wx ⋅ hx
= 0.02952 ⋅ w x ⋅ h x
3000
La distribución vertical de la fuerza sísmica está dada en la siguiente tabla:
Nivel
2
1
Total
wx
210
330
540
hx
8
4
-
wx·hx
1680
1320
3000
Fx
49.59
38.97
88.56
Efecto P-Δ
Ejemplo 12.4
Del pórtico de acero detallado en el ejemplo 10.1, determinar si es necesario considerar el efecto P-Δ.
w2 =70 [t]
10.27 [cm]
4m
2
k2=3 [t/cm]
w1 =70 [t]
4.60 [cm]
1
4m
22.25 [t]
30.20 [t]
k1=7 [t/cm]
Figura 12.14
Solución:
El momento primario para el primer piso es:
M p1 = ( F1 + F2 ) ⋅ hs1 = (22.25 + 30.20) ⋅ 4 = 209.80
El momento secundario para el primer piso es:
M s1 = ( w1 + w 2 ) ⋅ x1 = 2 ⋅ 70 ⋅
4.60
= 6.44
100
El índice de estabilidad está dado por:
θ1 =
M s1
6.44
=
= 0.031 < 0.1
M p1 209.80
Por tanto no es necesario considerar el efecto P-Δ
[t ⋅ m]
[t ⋅ m]
172
Método de la fuerza horizontal equivalente
Desplazamiento de entrepiso
Ejemplo 12.5
Dado el pórtico especial resistente a momentos como se ilustra en la Figura 12.15. El módulo de elasticidad
E=2038900 [kg/cm2]. Todas las columnas están fijas en la parte superior. La viga continua es infinitamente
rígida.
viga infinitamente rígida
40 [t]
+7.60 m
D
C
I = 74920
E
I = 124870
I = 74920
I = 62435
B
I = 87400
A
+3.30 m
+2.50 m
empotramiento
+1.00 m
articulación
0.00 m
articulación
empotramiento
Figura 12.15
Se requiere:
1.
2.
3.
Calcular el desplazamiento de piso debido a la carga sísmica de 40 [t]
Determinar si los desplazamientos calculados están en conformidad con los requisitos del código UBC.
Si se rellenan cada uno de los tramos con muros de mampostería no estructural, cuales son los
espaciamientos mínimos recomendados entre el muro y la columna para estar de acuerdo con los
requisitos del código UBC.
Solución:
La rigidez del pórtico se obtiene a partir de la sumatoria de las rigideces individuales de cada columna.
La rigidez de la columna A está dada por:
E⋅I
2038.900 ⋅ 62435
k A = 12 ⋅
= 12 ⋅
= 19.21 [t/cm ]
3
l
(4.3 ⋅ 100) 3
La rigidez de la columna B está dada por:
2038.900 ⋅ 74920
E⋅I
k B = 3⋅ 3 = 3⋅
= 3.45 [t/cm ]
(5.1 ⋅100) 3
l
La rigidez de la columna C es cero, puesto que tiene dos articulaciones:
k C = 0.00
[t/cm]
173
Método de la fuerza horizontal equivalente
La rigidez de la columna D está dada por:
k D = 3⋅
E⋅I
l
3
= 3⋅
2038.900 ⋅ 87400
(6.6 ⋅ 100) 3
= 1.86
[t/cm]
= 6.96
[t/cm ]
La rigidez de la columna E está dada por:
k E = 12 ⋅
E⋅I
l
3
= 12 ⋅
2038.900 ⋅124870
(7.6 ⋅100) 3
La rigidez total del pórtico, para la carga lateral, es:
kT = k A + k B + k C + k D + k E
k T = 31.49
1.
El desplazamiento lateral del pórtico debido a una carga sísmica V de 40 [t] es:
Δs =
2.
[t/cm ]
V
40
=
= 1.27
k T 31.49
[cm]
Desplazamiento lateral admisible. Asumiendo que la edificación tiene un periodo fundamental menor a
0.7 [s], la relación del desplazamiento admisible está limitado a:
Δ R = 0.025
La respuesta de desplazamiento del nivel de diseño es:
Δ RS =
Δs
1.27
=
= 0.002953
hs
4.3 ⋅100
Para pórticos especiales de acero resistentes a momentos, el factor de modificación de respuesta R es
8.5, de este modo la relación de respuesta de desplazamiento inelástico es:
Δ RM = 0.7 ⋅ R ⋅ Δ RS = 0.7 ⋅ 8.5 ⋅ 0.002953 = 0.0176 < Δ R
Por tanto la relación de desplazamiento calculado está de acuerdo con los requisitos del código UBC.
3.
Separación de la edificación. Es un requisito el que todas las partes de la edificación estén separadas
una distancia suficiente de tal modo que les permita un movimiento sísmico independiente sin dar lugar
al impacto entre partes adyacentes. Considerando despreciable el desplazamiento de los muros de
mampostería y tomando en cuenta sólo el desplazamiento del pórtico de acero. La separación admisible
entre los elementos estructurales está dada por el desplazamiento de respuesta inelástica:
Δ M = 0.7 ⋅ R ⋅ Δ s
Δ M = 0.7 ⋅ 8.5 ⋅1.27
Δ M = 7.56
[cm]
174
Método de la fuerza horizontal equivalente
Cargas en los diafragmas
Ejemplo 12.6
Determinar las cargas sobre los diafragmas para la estructura de dos niveles detallada en el ejemplo 12.3.
Solución:
Debido a que la fuerza lateral en el nivel superior es cero, la ecuación 12.22 se reduce a:
F px = w px ⋅
ΣFi
Σw i
La carga muerta sísmica tributaria sobre el diafragma correspondiente al nivel 2 es:
0.100·30·30 = 90 [t]
cubierta :
muros :
2·0.5·30·4/2 = 60 [t]
wp2 = 90+60 = 150 [t]
La carga muerta sísmica tributaria sobre el diafragma correspondiente al nivel 1 es:
2º piso :
0.100·30·30 = 90 [t]
muros :
2·0.5·30·4 = 120 [t]
wp1 = 90+120 = 210 [t]
Los valores máximos y mínimos estipulados son:
F p min ≥ 0.5 ⋅ C a ⋅ I ⋅ w px = 0.5 ⋅ 0.36 ⋅1 ⋅ w px = 0.18 ⋅ w px
F pmáx ≤ 1.0 ⋅ C a ⋅ I ⋅ w px = 1.0 ⋅ 0.36 ⋅1 ⋅ w px = 0.36 ⋅ w px
Los valores correspondientes a las fuerzas están dados en la siguiente tabla:
Nivel
Σwi
ΣFi
2
210
49.59
1
540
88.56
ΣFi
Máx.
Mín.
wpx
Fpx
0.236
0.36
0.18
150
35.40
0.164
0.36
0.18
210
37.80
Σw i
Capítulo 13
MÉTODO DINÁMICO
SUPERPOSICIÓN MODAL
13.1
INTRODUCCIÓN
El análisis debe basarse en una representación apropiada del movimiento del suelo y debe realizarse utilizando
los principios aceptados de la dinámica.
13.2
VENTAJAS DEL ANÁLISIS MODAL
El procedimiento de análisis modal es apropiado para calcular la respuesta de estructuras complejas de varios
grados de libertad a movimientos sísmicos. La respuesta estructural es modelada como la máxima respuesta de un
número de oscilaciones de un simple grado de libertad, cada uno representando un modo específico de vibración
de la estructura real. Combinando la respuesta de los modos individuales se obtienen las fuerzas externas
equivalentes, la cortante basal y el cortante de piso, que pueden usarse de la misma forma como en el
procedimiento de fuerza lateral estática. El procedimiento de análisis modal tiene la ventaja de determinar la
distribución real de las fuerzas laterales, de las masas y una distribución de rigideces a lo largo de la altura de una
estructura irregular, que puede diferir apreciablemente de la distribución lineal simplificada asumida en el
método de la fuerza lateral estática. Además, considera los efectos de los modos más altos de la respuesta de una
estructura, alguno de los cuales puede contribuir significativamente en la respuesta global de la estructura.
13.3
PROCEDIMIENTO DEL ANÁLISIS MODAL
Las fases necesarias en el procedimiento del análisis modal se basan en seleccionar un espectro de respuesta
sísmica apropiado, aplicando una técnica de análisis dinámico para un modelo matemático de la estructura,
combinando la respuesta de un número suficiente de modos para asegurar de que por lo menos el 90% de la masa
participante de la estructura esté incluido en el cálculo de respuesta para cada dirección horizontal principal.
El espectro de diseño presentado en el código UBC e ilustrado en la Figura 13.1, puede utilizarse después de
aplicarse valores apropiados de Ca y Cv consistentes con el lugar específico. Las ordenadas de aceleración del
espectro de diseño deben multiplicarse por la aceleración de la gravedad. Alternativamente, se pueden utilizar
espectros de diseño de lugares específicos como el ilustrado en la Figura 10.6. El espectro de diseño debe
suavizarse para eliminar reducciones de respuesta para periodos específicos, debe tener como mínimo 10% de
probabilidad de ser excedido en 50 años, además, el espectro debe desarrollarse para una relación de
176
Método dinámico, superposición modal
amortiguamiento de 5%, a menos que se demuestre que un valor diferente sea consistente con el comportamiento
estructural anticipado a la intensidad de vibración establecida para el sitio.
PERIODOS DE CONTROL
T s = C v / 2.5 C a
T 0 = 0.2.5 T s
Aceleración espectral, g
2.5 C a
Cv / T
Ca
T
T
0
s
Periodo [s]
Figura 13.1
Espectro de respuesta de diseño
Como se dijo anteriormente es necesario una cantidad suficiente de modos para asegurar que el 90% de la masa
participante de la estructura este incluida en el cálculo. De este modo el peso total de la estructura está dado por:
W = Σwi
(13.1)
y el peso efectivo para un modo dado esta definido por:
WE =
(Σwi ⋅ φ i ) 2
Σwi ⋅ φ i2
(13.2)
W E = P ⋅ Σwi ⋅ φ i
W E = P 2 ⋅ Σwi ⋅ φ i2
(13.3)
W E = g ⋅V Sa
donde:
P = Factor de participación para un modo dado = (Σwi·φi)/Σwi·φi2
Para una forma modal normalizada, el factor de participación se reduce a:
P=
Σwi ⋅ φ i
g
(13.4)
Por tanto la ecuación 13.2 se reduce a:
WE =
(Σwi ⋅ φ i ) 2
g
La relación entre el peso efectivo y el peso total de la estructura está dado por:
(13.5)
177
Método dinámico, superposición modal
ΣW E = W
donde:
(13.6)
ΣWE = es la suma de los pesos efectivos para todos los modos.
Por consiguiente, debe definirse un número suficiente de modos para asegurar que la suma de sus pesos efectivos
sea:
Σ W E ≥ 0 .9 ⋅ W
(13.7)
Para asegurar consistencia con los principios básicos de diseño adoptados en el procedimiento de fuerza lateral
estática, el código UBC estipula un valor mínimo del cortante basal calculado por un análisis dinámico, y todos
los parámetros correspondientes de respuesta deben estar de acuerdo con:
ƒ
Para una estructura regular, usando el espectro de respuesta que presenta el código UBC, el cortante
basal determinado por un análisis dinámico no debe ser menor que 90% del obtenido por el
procedimiento de fuerza lateral estática.
ƒ
Para una estructura regular, usando un espectro de respuesta específico de un sitio, el cortante basal
determinado por un análisis dinámico no debe ser menor que 80% del obtenido por el procedimiento de
fuerza lateral estática.
ƒ
Para una estructura irregular, el cortante basal adoptado no debe ser menor que el obtenido por el
procedimiento de fuerza lateral estática.
ƒ
Para cualquier estructura, el cortante basal adoptado no debe ser menor que el obtenido por un análisis
dinámico dividido entre un valor apropiado de R.
El código UBC proporciona dos métodos de análisis dinámico: el análisis espectral y el análisis por historia del
tiempo, que se describen a continuación.
13.4
ANÁLISIS ESPECTRAL 1
Es un análisis dinámico elástico de una estructura que utiliza la respuesta dinámica máxima de todos los modos
que tienen una contribución importante a la respuesta estructural total. Las respuestas modales máximas se
calculan utilizando las ordenadas de la curva de espectro de respuesta apropiada que corresponda a los periodos
modales. Las contribuciones modales máximas se combinan de manera estadística para obtener una respuesta
estructural total aproximada.
Los parámetros de respuesta correspondientes incluyendo fuerzas, momentos y desplazamientos, deben
denominarse Parámetros de Respuesta Elástica.
13.4.1 Numero de Modos
Debe satisfacerse el requisito de incluir todos los modos importantes, demostrando que en los modos
considerados, por lo menos el 90% de la masa participante de la estructura este incluida en el cálculo de respuesta
para cada dirección horizontal principal, ver la ecuación 13.7.
Los modos de vibración deben obtenerse utilizando metodologías establecidas de dinámica estructural, tales
como: el Análisis de Eigenvectores o el Análisis de los Vectores de Ritz
1
UBC, Sección 16331.5 [ref.15]
Método dinámico, superposición modal
178
13.4.2 Combinación de Modos
Las fuerzas máximas del elemento, desplazamientos, fuerzas cortantes por piso y reacciones de base para cada
modo, deben combinarse mediante métodos reconocidos, tales como: El método CQC, Combinación Cuadrática
Completa, método descrito por Wilson, Der Kiureghian, y Bayo. (1981). El método GMC, Combinación Modal
General, método descrito por Gupta (1990). El método SRSS, Raíz Cuadrada de la Suma de los Cuadrados. El
método de La suma de valores absolutos, ABS
Cuando se utilicen modelos tridimensionales para el análisis, los efectos de interacción modal deben considerarse
cuando se combinen las máximas modales
13.4.3 Efectos de Dirección
En las zonas sísmicas 2, 3 y 4, deben considerarse los efectos de las fuerzas sísmicas que actúan en direcciones
diferentes a los ejes principales en cada una de las siguientes circunstancias:
ƒ
ƒ
ƒ
La estructura tiene irregularidad de planta del Tipo 5 como se indica en la Tabla 11.2
La estructura tiene irregularidad de planta del Tipo 1 en ambos ejes principales como se indica en la
Tabla 11.2
Cuando una columna de una estructura forma parte de dos o más sistemas interceptantes de resistencia a
las fuerzas sísmicas
Los efectos ortogonales pueden tenerse en cuenta suponiendo la concurrencia simultanea del 100% de las fuerzas
sísmicas en una dirección y el 30% de las fuerzas sísmicas en la dirección perpendicular. Debe utilizarse la
combinación que requiera la mayor resistencia del elemento. Alternativamente, los efectos de las dos direcciones
ortogonales pueden combinarse basándose en la Raíz Cuadrada de la Suma de los Cuadrados, SRSS. Cuando se
utilice el método SRSS en la combinación de los efectos direccionales, a cada término calculado se le debe
asignar el signo del resultado más conservador.
13.4.4 Torsión
El análisis debe considerar los efectos torsionales, incluyendo los efectos torsionales accidentales como se
describe en la sección 12.5.1. Cuando se utilicen modelos tridimensionales para el análisis, los efectos de torsión
accidental deben incluirse haciendo los ajustes apropiados en el modelo, como ajustes de ubicaciones de masas o
mediante los procedimientos estáticos equivalentes.
13.4.5 Sistemas Dobles
Cuando las fuerzas laterales son resistidas por un sistema doble, tal como se define en la sección 11.3.4, el
sistema combinado debe tener capacidad para resistir el esfuerzo de corte basal que se obtiene por medio del
análisis dinámico. El pórtico resistente a momentos debe diseñarse para resistir independientemente por lo menos
el 25% del esfuerzo cortante basal máximo admisible de diseño, y puede llevarse a cabo por medio de un análisis
dinámico apropiado o por medio de un análisis de fuerza horizontal equivalente.
13.5
EL ANÁLISIS POR HISTORIA DEL TIEMPO (CRONOLÓGICO) 2
Determina la respuesta de la estructura a través de una integración numérica sobre pequeños incrementos de
tiempo, cuando la base está sujeta a una cronología específica del movimiento del suelo.
2
UBC, Sección 16331.6 [ref.15]
179
Método dinámico, superposición modal
La metodología de un análisis dinámico cronológico puede ser utilizada cuando a juicio del ingeniero diseñador
ella describe adecuadamente las propiedades dinámicas de la estructura y conduce a resultados representativos de
los movimientos sísmicos de diseño. El modelo matemático empleado puede ser linealmente elástico o inelástico.
13.6
SIMULADOR ESTRUCTURAL.
Esta sección describe los tipos básicos de análisis disponibles en el Programa SAP2000
Diferentes tipos de análisis son disponibles en el Programa:
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Análisis estático
Análisis P-delta
Análisis Modal para los modos de vibración, usando eigenvectores o vectores de Ritz
- Análisis del espectro de respuesta para una respuesta sísmica
- Análisis dinámico cronológico: lineal, no lineal y periódico.
Análisis de cargas móviles para cargas vivas de vehículos en puentes
Estos diferentes tipos de análisis pueden desarrollarse en la misma ejecución del programa, con las siguientes
excepciones:
ƒ
ƒ
El análisis modal requiere realizar un análisis espectral o un análisis dinámico cronológico.
Solamente un análisis modal puede realizarse en una sola corrida: el análisis de eigenvectores o el
análisis de vectores de Ritz
Cuando se realiza el análisis del efecto P-delta, afecta los resultados de todos los otros análisis realizados en la
misma ejecución del programa.
13.6.1 Análisis de Eigenvectores
El análisis de eigenvectores determina las formas modales para vibración libre no amortiguada y frecuencias del
sistema. Estos modos naturales proporcionan una visión excelente en el comportamiento de la estructura. Éstos
también pueden usarse como base para el análisis del espectro de respuesta o el análisis dinámico cronológico,
aunque se recomiendan los vectores de Ritz para este propósito.
El análisis de Eigenvectores involucra la solución de la ecuación de eigenvalores generalizado dado por la
ecuación 10.17:
([K ] − Ω
2
)
⋅ [M ] ⋅ {Φ} = 0
donde:
K = es la matriz de rigidez
M = es la matriz diagonal de masa
Ω = es la matriz diagonal de eigenvalores
Φ = matriz de los correspondientes eigenvectores (formas modales)
Cada par de Eigenvalor-Eigenvector es llamado modo de vibración natural de la estructura. Los Modos se
identifican por los números del 1 al n, en el orden en que los modos son encontrados por el programa.
El eigenvalor es el cuadrado de la frecuencia circular, ω, para ese modo, (a menos de que se utilice un cambio de
frecuencia). La frecuencia cíclica, f, y periodo, T, del modo se relacionan con ω por medio de:
180
Método dinámico, superposición modal
T=
1
f
y
f =
ω
2 ⋅π
Se puede especificar el número de modos a ser encontrado, una tolerancia de la convergencia, y el rango de
frecuencia de interés. Estos parámetros se describen a continuación:
Numero de Modos
Se puede especificar el número de modos, n, a ser hallado. El programa busca los n Modos de frecuencias bajas
(periodos largos). Si un cambio de frecuencia diferente de cero ha sido especificado, el programa buscará los n
modos más cercanos al cambio de frecuencia.
El número de modos realmente hallados, n, esta limitado por:
ƒ
ƒ
ƒ
El numero de modos requerido, n, para un adecuado análisis dinámico, ver la sección 13.4.1
El número de modos presentes en el rango de frecuencias especificado.
El número de grados de masa de libertad en el modelo.
Un grado de masa de libertad es cualquier grado activo de libertad que posee masa traslacional o el momento de
masa rotacional de inercia. La masa puede asignarse directamente a un nudo o puede venir de los elementos
conectados.
Sólo los Modos que realmente se encuentran estarán disponibles para cualquier subsecuente análisis del espectro
de respuesta o el análisis dinámico cronológico.
Rango de frecuencia
Se puede especificar un rango de frecuencia restringido, en el que se buscarán los Modos de vibración, usando los
parámetros:
ƒ
ƒ
Shift: centro del rango de frecuencias cíclico, conocido como la frecuencia de cambio
cut: radio del rango de frecuencia cíclico.
El programa buscara sólo los modos con las frecuencias que satisfacen:
⏐ f − shift ⏐ ≤ cut
El valor por defecto de cut = 0 no restringe el rango de frecuencia de los modos.
Los modos son hallados en el orden creciente de distancia de la frecuencia de cambio (shift). Esto continúa hasta
alcanzar, cut , el número definido de modos, o el el número de grados de masa de libertad.
Una estructura estable tendrá todas las frecuencias naturales positivas. Al realizar un análisis sísmico y más otros
análisis dinámicos, los modos de bajas-frecuencia son normalmente de mayor interés. Es entonces apropiado usar
un shift igual a cero, resultando en modos de frecuencias bajas de la estructura calculada.
Si el programa detecta modos de frecuencias negativas, éste detendrá el análisis puesto que los resultados no
tienen sentido. Para evitar problemas es recomendable usar siempre valores positivos de shift con un análisis Pdelta, es recomendable también que un análisis preliminar P-delta sea realizado usando shit igual a cero.
181
Método dinámico, superposición modal
Tolerancia de convergencia
El SAP2000 resuelve para el par de Eigenvalor-Eigenvector usando un algoritmo de iteración. Durante la fase de
solución, el programa proporciona un eigenvalor aproximado después de cada iteración. Para mayores detalles
del algoritmo, ver Wilson y Tetsuji (1983).
Se puede especificar la tolerancia de la convergencia relativa, tol, para controlar la solución; el valor por defecto
es tol =10-5, que es un valor aceptable, para obtener buenos resultados y relativa rapidez en la solución del
modelo. Se puede establecer valores más pequeños de tol, para obtener mejores aproximaciones en los resultados
del par de Eigenvalor-Eigenvector a costa de mayor tiempo de computo.
13.6.2 Análisis del Vector de Ritz
Las investigaciones han indicado que las formas modales en vibración libre no son las mejores bases para el
análisis de superpoción modal de estructuras sujetas a cargas dinámicas. Ha sido demostrado (Wilson, Yuan, y
Dickens, 1982) que el análisis dinámico basado en un juego especial de vectores de Ritz dependientes de carga,
proporcionan resultados más exactos que el uso del mismo número de formas modales naturales.
La razón de que los vectores de Ritz dan excelentes resultados, es que son generados tomando en cuenta la
distribución espacial de la carga dinámica.
13.6.3 Resultados del Análisis Modal
Varias propiedades de los modos de vibración son impresos en el archivo de resultados. Esta información es la
misma independientemente si se usa un análisis de eigenvectores o un análisis de vectores de Ritz, y es descrito
en las siguientes secciones:
Periodos y Frecuencias
Las siguientes propiedades de periodos y frecuencias son impresas para cada Modo:
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
El periodo T, en unidades de tiempo.
La frecuencia cíclica, f, en unidades de ciclos por tiempo.
La frecuencia circular, ω, en unidades de radianes por tiempo.
El eigenvalor, ω2, en unidades de radianes por tiempo al cuadrado.
Éstos pueden hallarse en el archivo de resultados bajo el título de:
MODAL PERIODS AND FRECUENCIES
Factor de Participación
Los factores de participación para los n modos correspondientes, son referidos al sistema de coordenadas
globales X, Y y Z, y puede hallarse en el archivo de resultados bajo el título de:
MODAL PARTICIPATION FACTORS
Las magnitudes reales y los signos de los factores de participación no son importantes. Lo que es importante es el
valor relativo de los tres factores para un modo dado.
Método dinámico, superposición modal
182
Relación masa participación
La relación masa participación para un Modo dado es una medida de cómo de importante es el Modo para
calcular la respuesta para una carga de aceleración en cada una de las direcciones globales. Esto es útil para
determinar la exactitud del análisis del espectro de respuesta y el análisis dinámico cronológico. La relación masa
participación no proporciona una información sobre la exactitud de análisis dinámico cronológico sujeta a otras
cargas.
La relación masa participación es expresada en porcentaje y puede hallarse en el archivo de resultados bajo el
título de:
MODAL PARTICIPATING MASS RATIOS
La suma acumulativa de la relación masa participación para todos los Modos hasta el Modo n es impreso con los
valores individuales para cada Modo. Esto proporciona una medida simple de cuantos modos son requeridos para
lograr un nivel dado de exactitud para una carga de aceleración del suelo.
13.6.4 Análisis del Espectro de Respuesta
El análisis del espectro de respuesta busca la máxima respuesta probable. La aceleración sísmica del suelo en
cada dirección es dada como una curva digitalizada del espectro de respuesta de seudo aceleración espectral de
respuesta versus el periodo de la estructura.
Aunque pueden especificarse las aceleraciones en las tres direcciones, sólo un resultado positivo es producido
para cada cantidad de respuesta. Las cantidades de respuesta incluyen: desplazamientos, fuerzas y esfuerzos.
Cada cálculo del resultado representa una medida estadística de la máxima magnitud probable para una cantidad
de respuesta.
El análisis del espectro de respuesta es realizado usando el método de la superposición modal (Wilson y Button,
1982). Los Modos pueden calcularse usando un análisis de eigenvectores o un análisis de vectores de Ritz. Se
recomiendan los vectores de Ritz, puesto que éstos dan resultados más exactos para el mismo numero de Modos.
Cualquier número de análisis del espectro de respuesta puede realizarse en una sola ejecución del programa. Cada
caso de análisis es llamado Spec, para el que se asigna una única etiqueta. Cada Spec puede diferir en el espectro
de aceleración aplicado y la manera en que sus resultados son combinados. Los resultados de cada Spec pueden
imprimirse directamente o usados en combinaciones de carga.
En las siguientes secciones se detallan los parámetros que se utilizan para definir cada Spec.
Sistema de coordenadas locales
Cada Spec tiene su propio sistema de coordenadas locales del espectro de respuesta usado para definir la
dirección de la carga de aceleración del suelo. Los ejes de este sistema local son denotados por: 1, 2 y 3, por
defecto éstos corresponden a las direcciones globales X, Y y Z respectivamente.
Se puede cambiar la orientación del sistema de coordenadas locales especificando:
ƒ
ƒ
Un sistema de coordenadas csys (por defecto es cero, indicando el sistema de coordenada global)
Un ángulo de coordenada, ang (por defecto es cero)
El eje local 3 es siempre el mismo que el eje Z del sistema de coordenadas csys. Los ejes locales 1 y 2 coinciden
con los ejes X y Y de csys si el ángulo ang es cero. Por otra parte, ang es el ángulo del eje X con el eje local 1,
medido según la ley de la mano derecha.
Método dinámico, superposición modal
183
Curva del espectro de respuesta
La curva del espectro de respuesta para una dirección dada se define por los puntos digitalizados de una respuesta
de seudo aceleración espectral versus el periodo de la estructura. Todos los valores para las abscisas y ordenadas
de esta función deben ser mayores o iguales a cero.
Se puede especificar un factor de escala, sf, para multiplicar las ordenadas (respuesta de seudoaceleración
espectral) de la función. Esto es a menudo necesario para convertir los valores dados en términos de la
aceleración debido a la gravedad para las unidades consistentes al resto del modelo.
La curva del espectro de respuesta debe reflejar el amortiguamiento presente en la estructura a ser modelada.
Note que el amortiguamiento es esencial en esta curva del espectro. Éste no es afectado por la relación de
amortiguamiento, damp, usado para el método CQC o GMC de combinación modal, aunque normalmente estos
dos valores de amortiguamiento deben ser el mismo.
Combinación Modal
Para una dirección dada de aceleración los desplazamientos máximos, las fuerzas, y los esfuerzos son calculados
a lo largo de la estructura para cada uno de los Modos de Vibración. Estos valores modales se combinan para una
cantidad de respuesta dada para producir un solo resultado positivo para la dirección de aceleración dada
utilizando uno de los siguientes métodos:
Método CQC
Se especifica modc=CQC para combinar los resultados modales por la técnica de Combinación Cuadrática
Completa descrita por Wilson, Der Kiureghian, y Bayo (1981). Es el método presente por defecto en el programa.
El método CQC toma en cuenta el acoplamiento estadístico entre modos estrechamente espaciados causados por
el amortiguamiento. Incrementando el amortiguamiento modal, incrementa el acoplamiento entre modos
estrechamente espaciados. Si el amortiguamiento es cero para todos los modos, este método degenera en el
método SRSS.
Puede especificarse una relación de amortiguamiento modal para CQC, damp, medido como una fracción del
amortiguamiento critico: 0≤damp≤1. Este amortiguamiento igualmente afecta a todos los modos, y debe reflejar
el amortiguamiento presente de la estructura a ser modelada.
Método GMC
SE especifica modc=CQC para combinar los resultados modales por la técnica de Combinación Modal General,
descrito por Gupta (1990). Este método además de tomar en cuenta el acople estadístico entre modos
estrechamente espaciados, (CQC), también incluye las correlaciones entre los modos con respuesta rígida.
Adicionalmente, este método requiere especificar dos frecuencias, f1 y f2 que definen la respuesta rígida. Éstos
deben satisfacer: 0<f1<f2. Éste método asume respuesta no rígida debajo de la frecuencia f1, una respuesta
completamente rígida encima de la frecuencia f2, y una cantidad interpolada de respuesta rígida para las
frecuencias entre f1 y f2.
Las frecuencias f1 y f2 son propiedades del sismo de diseño, no de la estructura.
El valor por defecto de f2 es cero, que indica una frecuencia infinita. Para este valor por defecto, el método GMC
da resultados similares al método CQC.
184
Método dinámico, superposición modal
Método SRSS
Se especifica modc=SRSS para combinar los resultados modales por la técnica de la Raíz Cuadrada de la Suma
de los Cuadrados. Este método no toma en cuenta el amortiguamiento, ni ningún acople de modos, como lo hacen
los métodos CQC y GMC.
Método de la Suma Absoluta
Se especifica modc=ABS para combinar los resultados modales tomando la suma absoluta de sus valores. Este
método es normalmente muy conservador.
13.6.5 Resultados del Análisis del Espectro de Respuesta
Los resultados para cada análisis del espectro de respuesta se encuentran en el archivo de resultados. Esta
información es descrita en las siguientes secciones:
Aceleraciones y amortiguamiento
El amortiguamiento modal y las aceleraciones del suelo actuando en cada dirección son impresos para cada modo
bajo el título de:
RESPONSE SPECTRUM ACCELERATIONS
El valor del amortiguamiento para cada modo es el especificado para el Método CQC y GMC, más el
amortiguamiento modal contribuido por el amortiguamiento efectivo en elementos no lineales, si es que hubiera.
Las aceleraciones impresas para cada modo son los valores reales interpolados de la curva de espectro de
respuesta para el periodo respectivo. Las aceleraciones son siempre referidos a los ejes locales del análisis del
espectro de respuesta. Ellos son identificados en el archivo de resultados como U1, U2 y U3.
Amplitudes Modales
Estos valores son impresos en el archivo de resultados bajo el título de:
RESPONSE SPECTRUM MODAL AMPLITUDES
Factores de Correlación Modal
Cuando el tipo de combinación modal CQC o GMC es definido, una matriz de correlación modal parcial es
impreso en el archivo de resultados. Esta matriz muestra el acoplamiento asumido entre modos estrechamenteespaciados. Los factores de la correlación siempre están entre cero y uno.
Los factores de correlación acoplando cada modo con los próximos nueve modos más altos son impresos en el
archivo de resultados bajo el título de:
RESPONSE SPECTRUM MODAL CORRELATIONS
Esta matriz de correlación es simétrica.
185
Método dinámico, superposición modal
Reacciones en la Base
Las reacciones en la base son las fuerzas totales y momentos sobre los soportes (restricciones y resortes) para
resistir las fuerzas de inercia debido a las cargas del espectro de respuesta (cargas laterales). Éstos son impresos
en el archivo de resultados bajo el título de:
RESPONSE SPECTRUM BASE REACTIONS
Éstos están separadamente impresos para cada Modo individual y cada dirección de cargar sin ninguna
combinación. Las reacciones totales están impresas después de realizar la combinación modal y la combinación
direccional.
Las fuerzas de reacción y momentos son siempre referidos a los ejes locales del análisis del espectro de respuesta.
Éstos se identifican en el archivo de resultados como F1, F2, F3, M1, M2, y M3.
186
Método dinámico, superposición modal
13.7
EJEMPLOS
Número de modos
Ejemplo 13.1
Para el pórtico de 2 pisos mostrada en la Figura 13.2 determine el número de modos que deben combinarse para
asegurar que todos los modos significantes estén incluidos en el análisis.
w1 = 70 [t]
W1 = 70 [t]
4 m.
k2 = 3 [t/cm]
w1 = 70 [t]
k2 = 3 [t/cm]
W1 = 70 [t]
k1 = 7 [t/cm]
4 m.
k1 = 7 [t/cm]
Figura 13.2
Solución:
La matriz diagonal de los valores de diseño elástico del espectro de aceleración para los 2 periodos:
T1 = 1.22 [s ]
T2 = 0.5 [s ]
previamente calculado en el ejemplo 10.1, es:
0.23 0 ⎤
[A] = ⎡⎢
⋅g
0.83⎥⎦
⎣ 0
La cortante basal para ambos modos, previamente calculados en el ejemplo 10.1 es:
[V ] = [26.460
El peso total de la estructura es:
18.312]
W = (w11 + w22 )
W = (70 + 70)
W = 140[t ]
V
A
26.460
E
w11
= g⋅
= 115
0.23 ⋅ g
18.312
E
w12
= g⋅
= 22
0.83 ⋅ g
La suma de los pesos efectivos debe ser igual al peso total, pero debido al redondeo no se constata esto.
y en notación matricial, el vector de peso especifico es:
W E = [115 22]
expresado en porcentaje es:
El peso efectivo para cada modo esta dado por: W E = g
[ ]
[W ] *100 = [84%
E
16%]
W
Debido a que el 90% del peso total de la estructura debe tomarse en cuenta; Ambos modos deben ser incluidos
en el análisis.
187
Método dinámico, superposición modal
Fuerza lateral dinámica
Ejemplo 13.2
Una estructura de acero de 5 pisos resistente a momentos se muestra en la Figura 13.3. La forma modal
fundamental ha sido determinada por un análisis en computadora, el periodo fundamental ha sido calculado por
un análisis racional como T=0.90 [s]. Los datos de un espectro de respuesta para un sitio especifico son dados en
la Tabla 13.1.
w5 =215 [t]
w 4 =215 [t]
w3 =215 [t]
w 2 =215 [t]
w 1 =215 [t]
w5
1.00
w4
0.78
w3
0.59
w2
0.40
w1
0.20
3m
3m
3m
3m
5.5 m
Estructura
Modelo Dinámico
Forma Modal
Figura 13.3
Considerar los siguientes criterios:
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Zona sísmica 4
Tipo de perfil de suelo, SC
Factor de importancia, I=1.0
Asumir solo la respuesta del modo fundamental necesario para el análisis dinámico
Distancia al origen del sismo 15 km.
Periodo
Segundos
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
1.50
2.00
2.50
A
in/s2
308.80
386.00
386.00
386.00
386.00
347.40
301.10
258.60
231.60
208.40
154.40
115.80
96.50
V
in/s
4.91
12.29
18.43
24.57
30.72
33.18
33.55
32.93
33.18
33.17
36.86
36.86
38.40
Tabla 13.1
D
in
0.08
0.39
0.88
1.56
2.44
3.17
3.74
4.19
4.75
5.28
8.80
11.73
15.28
ω
rad/s
62.83
31.42
20.94
15.71
12.57
10.47
8.98
7.85
6.98
6.28
4.19
3.14
2.51
188
Método dinámico, superposición modal
Se requiere
a)
Usando la distribución de masa dada, la forma modal, el periodo de la estructura y los datos del espectro
de respuesta regional; determine el cortante total para la base de la estructura, basado en la respuesta
elástica de la estructura.
b) Usando los datos dados, determine la fuerza lateral de diseño (cortante para la base) usando el
procedimiento de fuerza lateral estática.
c) Usando el espectro de respuesta, determine la distribución de cortante de piso de diseño de acuerdo con
el código UBC sección 1631.5.4
d) Usando el espectro de respuesta, determine el desplazamiento esperado para la parte superior de la
estructura y las derivas.
Solución:
a.) Procedimiento dinámico
Para el periodo fundamental de 0.90 segundos la aceleración espectral es:
A = 231.6 in/s 2
[
[
]
A = 588.264 cm/s 2
]
Para determinar el peso efectivo WE se realiza la siguiente Tabla 13.2:
Nivel
Techo
4
3
2
1
Sumatoria
Wi
215
215
215
215
215
φi
1.0
0.78
0.59
0.40
0.20
Wi·φI
215
167.70
126.85
86
43
638.55
Wi·φi2
215
130.81
74.84
34.40
8.60
463.65
Fi [t]
21.18
16.52
12.49
8.47
4.24
Tabla 13.2
WE =
WE =
(ΣWi ⋅ φ i )2
ΣWi ⋅ φ i2
638.55 2
= 879.43
463.65
[t ]
asumiendo un comportamiento elástico el cortante basal total es:
A
VD = W E ⋅
g
588.264
V D = 879.43 ⋅
= 527.36 [t ]
981
b.) Procedimiento estático
En el procedimiento de la fuerza lateral estática, existen 2 procedimientos para el calculo del periodo
fundamental(sección 12.1.6) y cualquiera de estos valores puede usarse para determinar el cortante basal.
189
Método dinámico, superposición modal
Método A:
El periodo fundamental es dado por:
T A = C t ⋅ (hn )
3
4
T A = 0.853 ⋅ (17.5)
3
4
= 0.729[s ]
donde:
Ct = 0.853 para pórticos de acero resistente a momentos
hn = altura total de la estructura
De la Tabla 12.2, para el tipo de perfil de suelo SD y para la Zona sísmica 4 determinamos los coeficientes
de respuesta:
C a = 0.4 ⋅ N a
C v = 0.56 ⋅ N v
el factor de cercanía a la fuente Na = 1.0 para una distancia ≥15 km.
el factor de cercanía a la fuente Nv = 1.0 para una distancia ≥15 km.
Por tanto:
C a = 0.4
C v = 0.56
Del espectro de diseño, Figura 13.1, el periodo de control es:
Cv
Ts =
2.5 ⋅ C a
Ts =
0.56
= 0.56[s ] < T A = 0.729[S ]
2.5 ⋅ 0.4
El factor de modificación de respuesta R, se obtiene de la Tabla 12.7 como: R = 8.5
El cortante basal esta dado por:
Cv ⋅ I
⋅W
R ⋅T
0.56 ⋅1.0
V=
⋅1075 = 97.152
8.5 ⋅ 0.729
V=
[t ]
Método B
De acuerdo con el código UBC sección 1630.2.2, para una estructura en la zona sísmica 4 el periodo
fundamental TB obtenido por el método B es limitado al valor de:
T B = 1.3 ⋅ T A
T B = 1.3 ⋅ 0.729 = 0.948 [s] > 0.9 [s]
por tanto TB = 0.9 es un valor aceptable
El cortante basal es:
VB =
VB =
Cv ⋅ I
⋅W
R ⋅ TB
0.56 ⋅ I
⋅1075 = 78.693[t ]
8.5 ⋅ 0.9
el que gobierna
190
Método dinámico, superposición modal
c.) La distribución del cortante por piso
El mínimo cortante basal aceptable para una estructura regular usando el espectro de respuesta regional, de
acuerdo con el código UBC sección 1631.5.4 es dado por el máximo valor de:
V = 0.8 ⋅ V B
V = 0.8 ⋅ 78.693 = 62.954 [t ]
o
VD
R
527.36
V=
= 62.042[t ]
8.5
V=
Por tanto la fuerza lateral de diseño para cada nivel es dado por:
Fi =
V ⋅ Wi ⋅ φ i
ΣW i φ i
62.954 ⋅ Wi ⋅ φ i
638.55
Fi = 0.0985 ⋅ Wi ⋅ φ i
Fi =
Fc = 0.0985 ⋅ 215 = 21.18 [t ]
F4 = 0.0985 ⋅167.70 = 16.52 [t ]
F3 = 0.0985 ⋅126.85 = 12.49 [t ]
F2 = 0.0985 ⋅ 86 = 8.47 [t ]
F1 = 0.0985 ⋅ 43 = 4.24 [t ]
estos valores están resumidos en la Tabla 13.2
d.) Desplazamientos esperados
Para el periodo fundamental dado, T = 0.90 [s], el desplazamiento espectral especifico es:
D = 4.75 [in ]
D = 12.065 [cm]
asumiendo un comportamiento elástico, el desplazamiento para cada nivel es dado por:
xi = P ⋅ φ i ⋅ D
donde el factor de participación es:
P=
WE
ΣW i ⋅ φ i
P=
879.43
= 1.377
638.55
x i = 1.377 ⋅12.065 ⋅ φ i
x i = 16.62 ⋅ φ i
191
Método dinámico, superposición modal
La deriva para un piso dado es definido como el desplazamiento relativo del piso superior respecto al piso
inferior inmediato, y la deriva elástica para un piso especifico es dado por:
Δ Ei = x i − x i −1
la relación de la deriva para un piso dado es definido como la relación de la deriva del piso con la altura de
tal piso y la relación de la deriva elástica para un nivel especifico es dado por:
Δ REi =
Δ Ei
hi
estos valores son mostrados en la Tabla 13.3
Nivel
Techo
4
3
2
1
base
hi
⎯
3
3
3
3
5.5
φi
xi
16.62
12.96
9.80
6.65
3.32
1.0
0.78
0.59
0.40
0.20
⎯
⎯
ΔEi
⎯
ΔRei (%)
⎯
3.66
3.16
3.16
3.32
3.32
1.22
1.05
1.05
1.11
0.60
Tabla 13.3
Los máximos desplazamientos de diseño inelástico son dados por el código UBC sección 1630.9.2 como:
x M = 0. 7 ⋅ R ⋅ Δ s
donde:
Δs = desplazamiento de respuesta del nivel de diseño, que es el desplazamiento total de piso
que ocurre cuando la estructura esta sujeta a las fuerzas sísmicas de diseño.
Δ s = x i ⋅ 0.8 ⋅
VB
VD
Δ s = x i ⋅ 0.8 ⋅
78.693
= 0.119 ⋅ x i
527.36
x Mi = 0.7 ⋅ 8.5 ⋅ 0.119 ⋅ x i
x Mi = 0.710 ⋅ x i
Similarmente la deriva de diseño inelástico es dado por:
Δ Mi = 0.710 ⋅ Δ Ei
192
Método dinámico, superposición modal
Fuerza lateral dinámica
Ejemplo 13.3
Una estructura de acero de 3 pisos, (pórtico dúctil resistente a momentos), simétricamente en ambas direcciones
es mostrada en la Figura 13.4. Considerar una zona sísmica 4 y 15 km de distancia a la fuente potencial sísmica
w3 =317 [t]
w 2 =385 [t]
w 1 =385 [t]
Estructura
w3
1.00
1.00
w2
0.675
0.250
w1
0.252
Modelo Dinámico
-0.350
Modo 1
T = 1.50 [s]
Figura 13.4
Considerar los siguientes criterios:
Para T ≤ 0.65 [s]
Para T > 0.65 [s]
A = 0.3·g
Sv = 12 [in/s]
Se requiere
I
Método estático
a) Determinar la cortante basal sísmica usando el tipo de perfil de suelo SD.
b) Distribuir la cortante basal sísmica sobre la altura de la estructura.
c) Determinar las fuerzas en los diafragmas para cada nivel.
II
Método dinámico.- Usando las 2 formas modales de la Figura 13.4
d) Determinar el peso efectivo, la fuerza de piso y la cortante en cada modo.
e) Determinar la fuerza de piso combinado usando el método SRSS
Solución:
I
Método estático
a) Cortante basal sísmica
Según la Sección 12.1.6 (método A) el periodo es dado por:
T = C t ⋅ (hn )
3
4
T = 0.0853 ⋅ (11.8)
donde:
3
4
= 0.584 [s]
Ct = 0.0853 para pórticos de acero resistente a momentos
Modo 2
T = 0.64 [s]
193
Método dinámico, superposición modal
de la Tabla 12.2 para el tipo de perfil de suelo SD y para la zona sísmica 4, los coeficientes de respuesta
sísmica son:
C a = 0.44 ⋅ N a
C v = 0.64 ⋅ N v
el factor de cercanía a la fuente Na = 1.0 para una distancia ≥15 km.
el factor de cercanía a la fuente Nv = 1.0 para una distancia ≥15 km.
Por tanto:
C a = 0.44
C v = 0.64
Del espectro de respuesta de diseño de la Figura 13.1, el periodo de control es:
Cv
Ts =
2.5 ⋅ C a
Ts =
0.64
= 0.582 [s ] < T = 0.584 [s ]
2.5 ⋅ 0.44
El factor de modificación de respuesta R, se obtiene de la Tabla 12.7 como: R = 8.5
El cortante basal esta dado por:
Cv ⋅ I
⋅W
R ⋅T
0.64 ⋅1.0
V=
⋅ (317 + 385 + 385) = 140.145 [t ]
8.5 ⋅ 0.584
V=
b) Distribución de la cortante basal
La cortante basal es distribuido sobre la altura de la estructura de acuerdo con la sección 12.2.1:
(V − Ft ) ⋅ w x ⋅ h x
Fx =
Σwi ⋅ hi
donde:
Fx = fuerza lateral para el nivel x
V = cortante basal
Ft = fuerza concentrada en la parte superior =0
para
T < 0.7 [s]
Wx = carga muerta de la estructura al nivel x
hx = altura por debajo del nivel x
En la tabla 13.4 se resumen todo los cálculos:
140.145 ⋅ w x ⋅ h x
Fx =
= 0.01474 ⋅ w x ⋅ h x
9511
Nivel
Techo
2
1
Base
Sumatoria
wx
317
385
385
⎯
hx
13
9
5
⎯
1087
Tabla 13.4
wx·hx
4121
3465
1925
Fx
60.723
51.057
28.365
9511
140.145
⎯
⎯
Vx
⎯
60.723
111.780
140.145
194
Método dinámico, superposición modal
c)
Fuerzas en los diafragmas
La fuerza en el diafragma para el nivel x es dado según la sección 12.2.5 como:
F px =
Ft + ΣFi
⋅ w px
Σ wi
0..5 ⋅ C a ⋅ I ⋅ w px ≤ F px ≤ 1.0 ⋅ C a ⋅ I ⋅ w px
0.5 ⋅ 0.44 ⋅1.0 ⋅ w px ≤ F px ≤ 1.0 ⋅ 0.44 ⋅1.0 ⋅ w px
0.22 ⋅ w px ≤ F px ≤ 0.44 ⋅ w px
donde:
Ft = Fuerza lateral concentrada en la parte superior de la estructura
Fi = Fuerza lateral en el nivel i
ΣFi = Fuerza cortante total en el nivel i
wi = Carga muerta sísmica total localizada en el nivel i
Σwi = Carga muerta sísmica total en el nivel i y por encima
wpx = El peso del diafragma y el elemento tributario al mismo en el nivel x, no incluye muros
paralelos a la dirección de la carga sísmica
Asumiendo que el peso de los muros es despreciable comprados con el peso del diafragma para cada nivel, el
peso tributario para cada diafragma es idéntico con la carga muerta de la estructura para tal nivel, por tanto:
w px = w x
En la tabla 13.5 se resumen todos los cálculos para determinar las fuerzas en los diafragmas.
Nivel
Techo
2
1
Fx
60.723
51.057
28.365
ΣFx
60.723
111.780
140.145
wx = wpx
317
385
385
Σwi
317
702
1087
ΣFi·/Σwi
0.192→0.22
0.159→0.22
0.129→0.22
wpx
317
385
385
Fpx
69.740
84.700
84.700
Tabla 13.5
II
Método dinámico
d) Peso efectivo, fuerza de piso y la cortante en cada modo
La cortante basal y las fuerzas de piso pueden obtenerse por el método del análisis de respuesta. Para una
estructura bidimensional, el número total de puntos nodales igual al número de pisos. Cada nodo es
localizado para un nivel de piso y tiene un grado de libertad en la dirección horizontal.
Primer modo
El periodo fundamental del primer modo es dado como:
T = 1.5 [s] > 0.65 [s]
por tanto la velocidad espectral es:
S v = 12 [in/s]
S v = 30.48 [cm/s]
195
Método dinámico, superposición modal
y la correspondiente aceleración espectral es:
2 ⋅π ⋅ S v
T
2 ⋅ π ⋅ 30.48
A=
= 127.674 cm/s 2
1 .5
A = 0.13 ⋅ g
A=
[
]
para determinar el peso efectivo se realiza la siguiente Tabla 13.6:
Nivel
Techo
2
1
Base
Sumatoria
Wi
317
385
385
⎯
φI
1.0
0.617
0.252
⎯
Wi·φi
317
259.875
97.449
Wi·φi2
317
175.416
24.449
673.895
516.865
⎯
⎯
Tabla 13.6
WE =
WE =
(ΣWi ⋅ φ i )2
ΣW ⋅ φ i2
673.895 2
= 878.633[t ]
516.865
la cortante basal esta dado por:
V =W E ⋅
A
g
V = 878.633 ⋅
0.13 ⋅ g
= 114.222[t ]
g
La fuerza para cada nivel y la cortante para cada piso Vi es calculado como:
Fi =
Wi ⋅ φ i
⋅V
ΣW i ⋅ φ i
Wi ⋅ φ i
⋅114.222
673.895
Fi = 0.169 ⋅ Wi ⋅ φ i
Fi =
y resumido en la Tabla 13.6:
Segundo modo
El periodo natural del segundo modo es dado como:
T = 0.64 [s] < 0.65 [s]
por tanto la aceleración espectral es:
A = 0.3 ⋅ g
Fi
53.730
44.048
16.444
⎯
Vi
⎯
53.730
97.778
114.22
196
Método dinámico, superposición modal
para determinar el peso efectivo se realiza la siguiente Tabla 13.7:
Nivel
Techo
2
1
Base
Sumatoria
Wi
317
385
385
⎯
φI
1.0
0.250
-0.345
⎯
Wi·φi
317
96.250
-132.825
Wi·φi2
317
24.063
45.825
280.425
386.882
⎯
⎯
Fi
68.931
20.929
-28.882
⎯
Vi
⎯
68.931
89.861
60.978
Tabla 13.7
WE =
WE =
(ΣWi ⋅ φ i )2
ΣW ⋅ φ i2
280.425 2
= 203.259[t ]
386.887
la cortante basal esta dado por:
A
g
0 .3 ⋅ g
V = 203.2 ⋅
= 60.978[t ]
g
V =W E ⋅
La fuerza para cada nivel y la cortante para cada piso Vi es calculado como:
Fi =
Wi ⋅ φ i
⋅V
ΣW i ⋅ φ i
Wi ⋅ φ i
⋅ 60.978
280.425
Fi = 0.217 ⋅ Wi ⋅ φ i
Fi =
y resumido en la Tabla 13.7:
e)
Fuerza de piso combinado
Como un porcentaje del peso total de la estructura, la suma de los pesos efectivos para los primeros 2 modos
es dado por:
W1E + W 2E
(878.633 + 203.259 ) ⋅100 = 99.53% > 90%
⋅100 =
W
1087
(
)
por tanto combinando los primeros dos modos se asegura que un mínimo de 90% de la masa de la estructura
participa en la determinación de los parámetros de respuesta. La fuerza combinada para cada nivel para los
modos puede obtenerse usando el método SRSS. Esto es aceptable para estructuras bidimensionales cuando
la relación de periodos de cualquier modo alto con cualquier modo bajo es ≤ 0.75
0.64
= 0.427 < 0.75
1.5
por tanto la fuerza combinada para el nivel i es dado por:
(
Fci = F12i + F22i
)
1
2
197
Método dinámico, superposición modal
donde:
F1i = Fuerza lateral para el nivel i, para el primer modo
F2i = Fuerza lateral para el nivel i, para el segundo modo
la fuerza combinada para cada nivel es resumido en la siguiente Tabla 13.8
Nivel
Techo
2
1
base
F1i
53.730
44.048
16.444
114.222
Tabla 13.8
F2i
68.931
20.929
-28.882
60.978
Fci
87.398
48.767
33.235
129.480
Capítulo 14
DISEÑO SÍSMICO
DE
ESTRUCTURAS DE CONCRETO
14.1
INTRODUCCIÓN
Este capítulo contiene especificaciones que se consideran como los requisitos mínimos para producir una
estructura monolítica de concreto reforzado con los detalles y las dimensiones adecuadas que le permitan a ésta
soportar una serie de oscilaciones dentro del campo inelástico de respuesta sin deterioro crítico de la resistencia.
Como se vio con anterioridad, conforme una estructura apropiadamente detallada de concreto reforzado responde
a fuertes movimientos del suelo, su rigidez efectiva decrece y se incrementa su capacidad de disipar energía. Por
lo tanto, el empleo de fuerzas de diseño que representan efectos sísmicos demanda que el edificio este equipado
con un sistema resistente a fuerzas laterales que retenga una porción sustancial de su resistencia conforme se le
somete a inversiones de los desplazamientos dentro del campo inelástico.
La elección práctica esta entre: (a) Un sistema con suficiente resistencia para responder al movimiento del suelo
dentro del rango lineal o casi lineal de respuesta, y (b) Un sistema con disposiciones adecuados que permitan una
respuesta no lineal sin perdida crítica de la resistencia.
Este capítulo desarrolla una serie de requisitos relacionados con la segunda opción para su aplicación en zonas de
elevado riesgo sísmico.
14.2
CARGAS DE DISEÑO
Las combinaciones de carga a ser utilizadas en el método de la resistencia para el diseño de los elementos de
concreto están especificadas en la sección 9.2 del reglamento ACI y se dan a continuación:
1.4 D
1.4 D + 1.7 L
0.9 D ± 1.3 W
0.75 (1.4 D + 1.7 L ± 1.7 W)
0.9 D ± 1.3· 1.1 E
0.75 (1.4 D + 1.7 L ± 1.7· 1.1 E)
199
Método dinámico, superposición modal
14.3
PÓRTICOS ESPECIALES RESISTENTES A MOMENTOS
14.3.1 Diseño por el Método de la Resistencia
El requisito básico de este método es de asegurar que la resistencia de diseño de un elemento no sea menor que la
resistencia última requerida. Para cargas sísmicas, la resistencia requerida consiste de las cargas de servicio
multiplicadas por un factor de carga especificado en la Sección 14.2. La resistencia de diseño de un elemento
consiste de la resistencia nominal, o la resistencia teórica última, multiplicada por un factor de reducción de
resistencia φ. De este modo se tiene:
φ (resistencia nominal) ≥ U
Los factores de reducción (φ) según el código UBC 1 son:
0.9
0.85
0.75
0.70
para flexión
para cortante y torsión
para miembros en compresión con refuerzo en espiral
para miembros en compresión con estribos
En zonas sísmicas 3 y 4 el factor de reducción de resistencia al cortante debe ser 0.6 para el diseño de muros,
losas superiores y elementos estructurales con una resistencia nominal al cortante menor que el corte
correspondiente al desarrollo de su resistencia nominal a flexión. La resistencia nominal a flexión debe
determinarse correspondiendo con las cargas axiales factorizadas más críticas incluyendo el efecto sísmico. El
factor de reducción de resistencia al cortante para la unión viga-columna es 0.85.
Consideraciones para el diseño de vigas:
La resistencia nominal de un elemento se determina de acuerdo con los principios definidos en la Sección
19210.2.7 del código UBC y desarrollado con mayor claridad por George Winter 2 . La capacidad nominal de un
elemento a flexión con sólo refuerzo a tensión esta dado por:
fy ⎞
⎛
⎟
M n = As ⋅ f y ⋅ d ⋅ ⎜⎜1 − 0.59 ⋅ ρ ⋅
f c′ ⎟⎠
⎝
(14.1)
donde:
As = área de acero a tensión, [cm2]
fy = esfuerzo de fluencia del acero, [kg/cm2]
ρ = cuantía =As/(b·d)
f′c = resistencia del concreto a la compresión, [kg/cm2]
d = peralte efectivo, [cm]
b = ancho de la sección, [cm]
A consecuencia de las cargas sísmicas se pueden formar rótulas plásticas en ambos extremos de las columnas de
un nivel determinado, produciendo un mecanismo de deslizamiento el cual causa el colapso del piso, para
prevenir este acontecimiento, se introduce el concepto de viga débil-columna fuerte. Una columna que forma
parte del sistema resistente a fuerzas laterales y con una carga axial factorizada mayor a 0.1Ag·f′c , debe ser
diseñada para satisfacer:
ΣM e ≥ 65 ΣM g
donde:
1
2
UBC, Sección 1909.3.2 [ref.15]
WINTER, George Cap. 1 pp. 11-15 [ref 19]
(14.2)
200
Método dinámico, superposición modal
ΣMe = suma de momentos en el centro de la junta correspondiente a la resistencia de diseño a la
flexión de las columnas que empalman en esa junta
ΣMg = suma de momentos en el centro de la junta correspondiente a la resistencia de diseño a la
flexión de las vigas que empalman en esa junta, y en el mismo plano de las columnas.
En la Figura 14.1 se ilustra este concepto, la convención de signos adoptada en la figura es que los momentos en
los extremos de un elemento se muestran actuando a partir del nudo hacia el elemento, se considera las
reacciones de los soportes; la cabeza de las flechas apunta hacia la cara de los elementos, la cual esta en tensión.
Carga sísmica
Carga sísmica
Mct
Mct
Mbr
Mbr
Mbr
Mbr
Mcb
Figura 14.1
Mcb
Concepto de Columna fuerte-Viga débil
Para asegurara la falla dúctil de un elemento y prevenir la falla frágil por cortante, es por tal motivo que, la fuerza
cortante de diseño se determina a partir de la resistencia probable a flexión en las caras de la junta considerando
las fuerzas estáticas en el elemento, y éste soporta la carga tributaria de gravedad a lo largo del claro. La
resistencia probable a flexión se calcula suponiendo una resistencia a la tensión en las barras longitudinales de al
menos 1.25 fy y un factor de reducción de la resistencia φ de 1.0. es así que la resistencia probable a flexión esta
dada por:
(1.25 ⋅ f y ) ⎞
⎛
⎟
M pr = As ⋅ (1.25 f y ) ⋅ d ⋅ ⎜⎜1 − 0.59 ⋅ ρ ⋅
⎟
f c′
⎠
⎝
fy ⎞
⎛
⎟
M pr = As ⋅ f y ⋅ d ⋅ ⎜⎜1.25 − 0.92 ⋅ ρ ⋅
f c′ ⎟⎠
⎝
(14.3)
En la Figura 14.2, los momentos de signo opuesto actúan en los extremos de la viga sometida a doble curvatura y
el sentido de los momentos cambia debido a la característica reversible de la carga sísmica. De este modo se
deben calcular ambos momentos probables resistentes (de ida y vuelta) en los extremos de la viga para
determinar el valor del cortante crítico. La fuerza cortante de diseño en el extremo izquierdo de la viga para una
carga sísmica que actúa de derecha a izquierda es:
Ve =
M pr1 + M pr 2
Ln
+ Vg
donde:
Ln = claro de la viga
Vg = cortante debido a la carga de gravedad no factorizada
(14.4)
201
Método dinámico, superposición modal
Carga sísmica
Carga sísmica
Vp2
Vp1
Mpr1
Mpr4
Mpr2
Mpr3
Vp1
Vp2
Ln
Ln
Mpr1
Mpr4
Diagrama
de
Momentos
Mpr2 Mpr3
Vp1
Diagrama
de
Cortantes
Vp2
Figura 14.2
Cortante en viga debido a la resistencia probable a flexión.
La fuerza cortante de diseño en el extremo derecho de la viga para una carga sísmica que actúa de izquierda a
derecha es:
Ve =
M pr 3 + M pr 4
Ln
+ Vg
(14.5)
Consideraciones para el diseño de columnas:
De manera similar, la fuerza cortante de diseño para las columnas debe calcularse utilizando el momento
probable resistente de la base y del tope de la columna; los máximos momentos probables se asume que ocurren
bajo la carga axial máxima de 0.8 P0, la cual corresponde a la excentricidad mínima accidental. La fuerza
cortante de diseño en el tope y en la base de la columna es:
Ve =
M pr1 + M pr 2
Hn
(14.6)
donde:
Hn = altura de la columna
Sin embargo el cortante de diseño de la columna no necesita ser mayor que los valores determinados a partir del
momento probable resistente de las vigas que forman marco en la junta 3 .
3
ACI, Sección 21.4.5 [ref.20]
202
Método dinámico, superposición modal
Carga sísmica
0.8P0
Mpr1
Ve
Ve
Mpr1
Hn
Mpr2
Ve
Mpr2
Diagrama
de
Momentos
0.8P0
Figura 14.3
Ve
Diagrama
de
Cortantes
Cortante en columna debido a la resistencia probable a flexión.
Carga sísmica
Mpr1
Ve
Mpr2
Mpr1 + Mpr2
2
Ve
Mpr1 + Mpr2
2
Hn
Mpr3 + Mpr4
2
Ve
Mpr4
Figura 14.4
Mpr3
Mpr3 + Mpr4
2
Diagrama
de
Momentos
Diagrama
de
Cortantes
Cortante en columnas debido a la resistencia probable a flexión de las vigas
203
Método dinámico, superposición modal
Como se muestra en la Figura 14.4 la fuerza cortante para estas condiciones esta dada por:
Ve =
M pr1 + M pr 2 + M pr 3 + M pr 4
(14.7)
2H n
Para asegurar una falla dúctil se debe despreciar la resistencia a corte del concreto cuando la fuerza axial
factorizada a compresión es menor que Agf′c/20 y cuando la fuerza cortante inducida por sismo calculada según
las ecuaciones 14.6 ó 14.7 es igual o mayor a la mitad de la resistencia total de diseño al corte.
Consideraciones para el diseño de la conexión viga-columna:
En las uniones viga-columna la fuerza cortante horizontal de diseño se determina según la Figura 14.5.
punto de inflexión
Mpr1
T1 = 1.25A s1 f y
C 2 = T2
T2 = 1.25A s2 f y
C1 = T1
Mpr2
V=
Figura 14.5
Hc=altura de piso a piso
V
Mpr1 + Mpr2
Hc
Fuerzas que actúan en el nudo
La fuerza cortante producida en la columna por el momento probable resistente de la viga en el nudo es:
V=
M pr1 + M pr 2
Hc
El esfuerzo probable en el refuerzo a tensión en la cara derecha del nudo correspondiente a la viga es:
T1 = 1.25·As1·fy
La compresión probable en el concreto en la cara izquierda del nudo correspondiente a la viga es:
C2 = T2 = 1.25·As2·fy
De este modo la cortante neta que actúa en el nudo es:
Ve = T1 + T2 – V
Ve = 1.25·fy·(As1 + As2) − (Mpr1 + Mpr2)/Hc
La resistencia nominal al cortante de la junta depende de la resistencia del concreto y del área efectiva del nudo,
es así que está dada por:
204
Método dinámico, superposición modal
V n = 5.3 f c′ A j
para nudos confinados en sus 4 caras
V n = 4 f c′ A j
para nudos confinados en 3 caras o en 2 caras opuestas
V n = 3.2 f c′ A j
para las otras
donde:
Aj = área efectiva de sección transversal dentro de una junta
En la Figura 14.6 se ilustra el área afectiva de la junta, donde las vigas están unidas a una columna de ancho
considerable, donde el ancho efectivo del nudo es:
be = b + h ≤ b + 2x
donde:
b = ancho de la viga
h = profundidad de la columna
x = menor de las distancias medidas desde el borde de la viga al borde de la columna
viga
área efectiva del nudo
profund. efectiva del nudo = h
profund. de la columna = h
b
x
be
ancho efectivo del nudo = be = b+h < b+2x
Figura 14.6
Área efectiva del nudo
14.3.2 Resistencia y ductilidad de secciones a flexión
Se tiene que tener en consideración los siguientes principios de diseño sismorresistente:
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Las vigas fallan antes que las columnas
La falla es a flexión antes que a corte
Debe esperarse una falla prematura de nudos
Falla dúctil antes que frágil
El comportamiento dúctil es la habilidad de soportar grandes deformaciones inelásticas mientras la resistencia se
mantiene esencialmente constante.
205
Método dinámico, superposición modal
Se realiza un análisis previo de la viga para determinar los tipos de falla y éste es como sigue: Si el contenido de
acero de tensión es pequeño y el acero de compresión es alto, el acero de tensión alcanza la resistencia de
fluencia, pudiendo ocurrir entonces un gran incremento en la curvatura mientras que el momento flexionante se
mantiene esencialmente constante. Este tipo de falla se conoce como “falla de tensión”, aún cuando ocurra
finalmente aplastamiento del concreto. Por otra parte, si el contenido de acero de tensión es alto y el de
compresión es bajo, el acero de tensión no alcanza a fluir y la falla será frágil si el concreto no se encuentra
confinado. Lo anterior se conoce como “falla por compresión”. Al diseñar, las vigas siempre se proporcionan de
manera que puedan exhibir las características dúctiles de una falla de tensión. Para ello se requiere como premisa
que el acero de compresión esté por debajo del esfuerzo de fluencia.
b
εu
ε's
d'
0.85 f ' c
A' s f y
A' s
c
a=β1c
d
As
As f y
εs
(a)
(b)
Figura 14.7
(c)
Viga rectangular doblemente reforzada
Es necesario, en consecuencia, desarrollar ecuaciones mas generales para tener en cuenta la posibilidad de que el
refuerzo a compresión no fluya cuando la viga doblemente reforzada falle en la flexión.
A continuación se presenta el método para determinar si el acero a compresión fluye o no en la falla. Con
referencia a la Figura 14.7b, y se toma como caso límite ε’s =εy, se obtiene por geometría:
εu
c
=
d′ εu −ε y
c=
o
εu
εu −ε y
d′
Si se suman las fuerzas en la dirección horizontal (Figura 14.7c) se obtiene la cuantía de acero a tensión
mínima⎯ρcy que asegurará la fluencia del acero a compresión en la falla:
ρ cy = 0.85 β 1
f c′ d ′ 6300
+ ρ′
f y d 6300 − f y
(14.8)
Si la cuantía de acero a tensión es menor que este valor límite, el eje neutro esta suficientemente alto de manera
que el esfuerzo del acero a compresión en la falla es menor que el esfuerzo de fluencia. En este caso puede
demostrarse fácilmente, en base a las Figuras 14.7b y 14.7c, que la cuantía balanceada de acero es:
ρb = ρb + ρ ′
f s′
fy
(14.9)
donde:
d′
⎡
⎤
f s′ = E s ε s′ = E s ⎢ε u − (ε u + ε y )⎥
d
⎣
⎦
y
≤ fy
de esta manera, la cuantía máxima de acero permitida por el código ACI 10.3.3 es:
(14.10)
206
Método dinámico, superposición modal
ρ max = 0.75 ρ b + ρ ′
f s′
fy
(14.11)
Debe hacerse énfasis en que la ecuación 14.10 para el esfuerzo en el acero a compresión se aplica únicamente
para una viga con la cuantía exacta balanceada de acero a tensión.
Si la cuantía de acero a tensión es menor que ρb, de acuerdo con la ecuación 14.9, y es menor que⎯ρcy, entonces el
acero a tensión se encuentra en el esfuerzo de fluencia en la falla pero el acero de compresión no, y deben
desarrollarse nuevas ecuaciones para el esfuerzo en el acero de compresión y para la resistencia a flexión. El
esfuerzo en el acero a compresión puede expresarse en termino de la aún desconocida localización del eje neutro:
f s′ = ε u E s
c−d′
c
f s′ = 6300
o
a − β1d ′
a
(14.12)
donde del estudio del equilibrio de fuerzas horizontales se obtiene el valor de a:
a=
As f y − As′ f s′
a=
o
0.85 f c′b
dρ ( f y − Rf s′ )
(14.13)
0.85 f c′b
esta forma un sistema de ecuaciones con la ecuación de f’s, donde las incógnitas son: a y f’s; el valor de R es
R=ρ’/ρ. La resistencia nominal a flexión se encuentra reaplazando el valor de a y f’s en la expresión:
a⎞
⎛
M n = 0.85 f c′ab⎜ d − ⎟ + As′ f s′ ( d − d ′)
2⎠
⎝
(14.14)
esta capacidad nominal debe reducirse mediante el coeficiente φ=0.9 para obtener la resistencia de diseño.
Ductilidad de curvatura
b
εc
ε's
εu
ε's
fc
d'
0.85 f ' c
f 's
kd
A' s
f 's
a=β1c
c
d
As
ϕu
ϕy
εs = f y/E s
εs > f y/E s
(a)
Figura 14.8
fy
fy
(b)
Viga rectangular doblemente reforzada: (a) En la primera fluencia del acero de tensión (b) al alcanzarse la deformación
unitaria última del concreto.
La ductilidad disponible de la sección puede expresarse mediante la relación de la curvatura última, ϕu, entre la
curvatura en la primera fluencia, ϕy. La Figura 14.8 representa el caso general de una sección doblemente
reforzada en la primera fluencia del acero de tensión, y en la deformación unitaria última del concreto.
Cuando el acero de tensión alcanza por primera vez la resistencia de fluencia, la distribución de esfuerzos en el
concreto aún puede ser lineal debido a que el máximo esfuerzo en el concreto es significativamente menor que su
resistencia, y la profundidad del eje neutro, kd, puede calcularse utilizando la teoría elástica como:
T=Cc + Cs
207
Método dinámico, superposición modal
Asfy = kd·fc·b/2+A’s f’s
ρ fy = k·fc /2+ρ’f’s
de la grafica de deformación se tiene:
ε s′ =
kd − d ′
εs
d − kd
εc =
y
kd
εs
d − kd
entonces se tiene lo siguiente:
ρε s E s = kε c E c / 2 + ρ ′ε s′ E s
reemplazando los valores de ε’s y εc, y definiendo n=Es/Ec se tiene:
kd − d ′
k kd
+ ρ ′n
2 d − kd
d − kd
d′⎞
⎛
d⎜k − ⎟
2
d ⎠
1
k
⎝
ρn =
+ ρ ′n
d (1 − k )
2 1− k
ρn =
ρn(1 − k ) =
k2
d′⎞
⎛
+ ρ ′n⎜ k − ⎟
d ⎠
2
⎝
donde resolviendo para k se tiene:
2
⎛
⎛ ρ′ d′⎞
⎛ ρ′⎞
ρ′ ⎞
⎟⎟ − nρ ⎜⎜1 + ⎟⎟
k = n 2 ⎜⎜ ρ +
ρ ⎟⎟ + 2nρ ⎜⎜1 +
ρ ⎠
ρ d⎠
ρ⎠
⎝
⎝
⎝
d′⎞
⎛
k = n 2 (ρ + Rρ )2 + 2nρ ⎜1 + R ⎟ − nρ (1 + R )
d ⎠
⎝
(14.15)
La curvatura esta dada por la extensión por unidad de longitud del acero de tensión, en la primera fluencia (esto
es, la deformación unitaria de fluencia), dividida entre la distancia que existe entre el acero de tensión y el eje
neutro.
f y / Es
ϕy =
d (1 − k )
en forma similar la curvatura ultima esta dada por:
ϕu =
εc
a
β1
el factor de ductilidad de curvatura de la sección esta dada por:
ϕu
ε c d (1 − k )
=
ϕy
f y / E s a / β1
(14.16)
es evidente que si se mantienen constantes otras variables, el factor disponible de ductilidad de curvatura aumenta
al disminuir el contenido de acero de tensión, al aumentar el contenido de acero de compresión, con la
disminución de la resistencia del acero y el aumento de la del concreto. Si la zona de compresión de un elemento
se confina mediante estribos cerrados colocados a corta distancia, o espirales, se mejora notablemente la
ductilidad del concreto.
14.3.3 Detalles Sismorresistentes para Vigas
208
Método dinámico, superposición modal
Los elementos a flexión en marcos se definen como aquellos elementos en los cuales la fuerza de compresión
axial factorizada del elemento es menor que 0.1Agf′c y el claro libre para el elemento es mayor a 4 veces su
peralte efectivo. Se impone las siguientes restricciones de geometría con el objetivo de dotar de sección
transversal compacta con buena estabilidad durante los desplazamientos no lineales:
b/h ≥ 0.3
b ≥ 25 [cm]
b ≤ bc + 0.75·h
en cada lado de la columna
donde:
b = ancho de la viga
h = altura de la viga
bc = ancho de la columna
Las siguientes limitaciones en la cantidad de refuerzo longitudinal se dan para prevenir la congestión de acero,
asegurar el comportamiento dúctil y proveer un mínimo de capacidad de refuerzo mayor que la resistencia a
tensión del concreto.
ρ min ≥
14
fy
ρ min ≥ 0.8
f c′
fy
ρ max ≤ 0.025
Además:
ƒ
ƒ
ƒ
Un mínimo de 2 barras deben estar dispuestas en forma continua, tanto en el tope como en el fondo.
La resistencia a los momentos positivos en la cara de la junta debe ser mayor o por lo menos igual a la
mitad de la resistencia a los momentos negativos provista en esa cara de la junta.
En cualquier sección, a lo largo de la viga, ni la resistencia a los momentos negativos ni positivos debe
ser menor que una cuarta parte de la resistencia al momento máximo provista en cualquier extremo de la
viga.
No se permite empalmes localizados en regiones donde el análisis indica una fluencia a flexión causada por los
desplazamientos laterales inelásticos de la estructura. No deben utilizarse empalmes:
ƒ
ƒ
Dentro de las juntas o nudos
Dentro una distancia del doble de la altura de la viga medida a partir de la cara de la columna.
Para prevenir el descascaramiento del concreto que recubre las zonas de empalme es que el espaciamiento
máximo del refuerzo transversal que envuelve las barras traslapadas no debe exceder de d/4 ó 10 [cm].
La longitud de desarrollo, ldh, para una barra con un gancho estándar de 90º en hormigones con agregado de peso
normal debe ser:
l dh =
f y ⋅ db
17.2 f c′
(14.17)
ldh ≥ 8 db
ldh ≥ 15 [cm]
donde:
db = diámetro de la barra
El gancho a 90º debe ubicarse dentro del núcleo confinado de la columna; para barras de diámetro de 9 [mm] a 35
[mm] (#3 al #11) la longitud de desarrollo, ld, para una barra recta no debe ser menor a:
209
Método dinámico, superposición modal
ld ≥ 2.5·ldh
Y si la profundidad del hormigón vaciado en una operación por debajo de la barra excede de 30 [cm] entonces, ld,
debe ser menor a:
ld ≥ 3.5·ldh
Se requiere refuerzo transversal para proveer de resistencia al cortante y para proveer de confinamiento al
concreto localizado dentro de la zona de rótula plástica y para controlar el pandeo lateral de las barras
longitudinales. Lazos cerrados, como se ve en la Figura 14.9, proveen de confinamiento al hormigón y también
de resistencia al cortante. Los estribos sísmicos con ganchos a 135º sólo proveen resistencia al corte. En los
elementos estructurales deben proveerse lazos en las siguientes zonas:
ƒ
ƒ
Sobre una distancia 2d a partir de la cara de la columna
Sobre una distancia 2d a ambos lados de la sección sujeta a rótula plástica.
horquilla
135º
135º
135º
135º
90º
6 db
6 db
6 db
6 db
estribo
sísmico
lazo
simple
6 db
estribo sísmico
db
gancho
sísmico
Figura 14.9
horquillas
lazo
doble (2 pz)
Lazos y estribos sísmicos
El primer lazo debe localizarse a no mas de 5 [cm] de la cara de la columna; el espaciamiento máximo entre los
lazos no debe ser mayor a:
smax ≤ d/4
smax ≤ 8·db
smax ≤ 24 dt
smax ≤ 30 [cm]
donde:
d = peralte efectivo
db = diámetro de la barra longitudinal
dt = diámetro de la barra del lazo.
Donde no se requieren lazos se pueden hacer usos de estribos sísmicos con ganchos a 135º, a través de la longitud
del elemento en un espaciamiento máximo de d/2. El detalle de la disposición de lazos y estribos se muestra en la
Figura 14.10.
210
Método dinámico, superposición modal
s < d/4
s < 8 db
s < 24 d t
s < 30 cm
< 5 cm
> 2d
lazos
s < d/4
s < 10 cm
s < d/2
estribos
sísmicos
< 5 cm
> empalme
lazos
estribos
sísmicos
> 2d
lazos
> 2d
lazos
> 2h
Figura 14.10
estribos
sísmicos
> empalme
lazos
> 2h
Disposición de los lazos y estribos
14.3.4 Detalles Sismorresistentes para Columnas
Las columnas son aquellos elementos con carga axial factorizada mayor a 0.1Agf′c, estos elementos estructurales
también tiene que satisfacer las siguientes condiciones:
hmin ≥ 30 [cm]
hmin / hperp ≥ 0.4
donde:
hmin = menor dimensión de la sección transversal
hperp = la dimensión perpendicular a la menor dimensión
Para evitar la falla y controlar la congestión de acero y proveer resistencia a la flexión es que los límites para el
refuerzo longitudinal son:
ρg ≥ 0.01
ρg ≤ 0.06
donde:
ρg = relación entre el área de refuerzo y el área de la sección transversal
< 35 cm
< 35 cm
El descascaramiento del concreto ocurre en los extremos de las columnas, lo cual hace de estas regiones nada
recomendables para la localización de los empalmes. Se deben permitir empalmes dentro de la mitad de la
longitud del elemento y deben dimensionarse como empalmes de tensión.
< 35 cm
Figura 14.11
< 35 cm
< 35 cm
Refuerzo transversal en la columna
211
Método dinámico, superposición modal
El refuerzo transversal, que consiste de lazos cerrados y horquillas, debe estar dispuesto en toda la altura de la
columna para proporcionar resistencia al corte y confinamiento. El espaciamiento máximo de los lazos debe ser:
smax ≤ 6 db
smax ≤ 15 [cm]
h
s/2
l0 > h
l0 > Hn/6
l0 > 45 cm
s
< 15 cm
empalme
a tensión
tipo A
s
Hn
s < 10 cm
s < h/4
l0
s/2
Figura 14.12
Detalle del refuerzo en columnas
En la Figura 14.11 se ilustran los lazos cerrados y las horquillas las cuales deben estar espaciadas en un máximo
de 35 [cm]. En el extremo de la columna el área requerida de refuerzo por confinamiento esta dada por el valor
más grande de:
⎛
⎞
f ′ ⎞ ⎛ Ag
Ash = 0.3⎜ s ⋅ hc c ⎟ ⋅ ⎜⎜
− 1⎟⎟
⎜
⎟
f y ⎠ ⎝ Ach
⎠
⎝
Ash = 0.09 ⋅ s ⋅ hc ⋅
f c′
fy
donde:
s = espaciamiento entre lazos
Ag = área bruta de la sección transversal de la columna
(14.18)
212
Método dinámico, superposición modal
Ach = área transversal medida de extremo a extremo del acero de refuerzo transversal
hc = dimensión transversal del núcleo de la columna medida de centro a centro del refuerzo
confinante
El refuerzo de confinamiento debe estar dispuesto a lo largo de una distancia, l0, a partir de la cara del nudo en
ambos lados de cualquier sección donde pueda ocurrir fluencia a la flexión en conexión con los desplazamientos
laterales no-elásticos de la estructura.
l0 ≥ h
l0 ≥ Hn / 6
l0 ≥ 45 [cm]
donde:
h = altura de la sección columna
Hn = luz libre de la columna
El espaciamiento de refuerzo de confinamiento esta limitado a:
s ≤ hmin/4
s ≤ 10 [cm]
donde:
hmin = dimensión menor de la columna
Los detalles de refuerzo en una columna se muestran en la Figura 14.12. Si el concepto de Columna fuerte-Viga
débil no se cumple en una unión, las columnas que soportan las reacciones de dicha junta deben estar provistas de
refuerzo de confinamiento en toda su longitud.
14.3.5 Unión Viga-Columna
s < h/4 < 10 cm
h
ldh min
ldh min
Figura 14.13
Unión Viga-Columna
La unión Viga-Columna esta sujeta a concentraciones elevadas de esfuerzos y por tal motivo requiere de un
cuidado minucioso para asegurar el confinamiento del concreto. A excepción del nudo en el cual llegan a
empalmar las vigas de l pórtico en sus 4 caras, se debe proveer de acero de confinamiento (Ash) a través de la
altura del nudo con un espaciamiento máximo de 10 [cm]. Cuando las vigas empalman en los 4 lados de la junta
y cuando el ancho de cada viga es por lo menos ¾ partes del ancho de la columna, debe proveerse un refuerzo
transversal igual a Ash/2 con un máximo espaciamiento de 15 [cm].
El refuerzo longitudinal de una viga terminada en una columna debe extenderse hasta la cara alejada del núcleo
confinado de la columna y anclarse bajo tensión. En la Figura 14.13 se detalla un nudo típico.
213
Método dinámico, superposición modal
14.4
MUROS DE CORTE
14.4.1 Resistencia al corte
La resistencia nominal al corte de los muros cortantes está dada por:
V n = Acv (0.55 f c′ + ρ n ⋅ f y )
(14.19)
donde:
Acv = área neta de la sección de hormigón limitada por el espesor del alma y la longitud de la
sección en la dirección de la fuerza cortante considerada. [mm2].
ρn = cuantía de refuerzo de corte distribuido en un plano perpendicular al plano Acv
La cuantía de refuerzo, ρv, para muros de corte no debe ser menor que 0.0025 a lo largo de los ejes longitudinales
y transversales cuando Vu excede a:
0.265 Acv f c′
esto es:
ρ n = Asn Acn ≥ 0.0025
ρ v = Asv Acv ≥ 0.0025
donde:
Asn = área del refuerzo horizontal sobre la longitud vertical considerada.
Acn = área del alma sobre la longitud vertical considerada.
Asv = área del refuerzo vertical sobre la longitud horizontal considerada.
El espaciamiento del refuerzo en cada sentido en los muros no debe exceder de 45 [cm]; además se deben
disponer 2 cortinas de refuerzo en un muro si la fuerza cortante factorizada es mayor que:
0.53 Acv
f c′
Cuando la relación entre la altura del muro y la longitud de la base (hw/lw) es menor a 2, la resistencia nominal al
cortante del muro debe determinarse a partir de:
V n = Acv (0.265α c
f c′ + ρ n ⋅ f y )
(14.20)
donde el coeficiente αc varía linealmente desde 3.0 para un valor de (hw/lw)=1.5 hasta un valor de 2.0 para
(hw/lw)=2.0
14.4.2 Muros de Corte para cargas a flexión y axiales
Por la gran área de concreto en los muros es difícil llegar a una falla balanceada, por tanto se aumenta la
capacidad de momentos por fuerzas de gravedad en muros de corte. Debe tomarse en cuenta que la carga axial
reduce la ductilidad.
Para aumentar la ductilidad en el muro de corte debe asemejarse el muro a las columnas con estribos que están
sujetas a cargas combinadas de flexión y compresión y es así que deben diseñarse de cómo columnas con un
factor de reducción φ de 0.6 cuando gobierna el cortante. En la Figura 14.14 se ilustra el análisis para el cual se
asume una distribución lineal de deformaciones, con una deformación máxima para el concreto de 0.003.
214
Método dinámico, superposición modal
El momento de diseño también se puede calcular utilizando la ecuación:
⎛
⎜
⎝
φM n = φ ⋅ As f y l w ⎜1 +
c=
Pu
As f y
⎞ ⎛
⎟ ⋅ ⎜1 − c
⎟ ⎜⎝ l w
⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
Pu
0.85 f c′bβ 1
lw
Sección del
muro
b
c
ε
P
β1c
0.85 f ' c
M
Ts
Figura 14.14
Diagrama de
deformaciones
Cc
Diagrama de
fuerzas
Cs
Hipótesis utilizada en el diseño de muros de corte
El ancho efectivo del ala de la sección que contribuye a la resistencia a compresión no debe extenderse más allá
de la cara del alma en una longitud igual a ½ de la distancia al alma de un muro de corte adyacente, ni más del
15% de la altura del muro para el ala en compresión, o más que el 30% de la altura del muro para el ala en
tensión.
Considerando la inestabilidad del muro puede por consideración de muros delgados analizarse los extremos como
columnas separadas pudiendo inclusive aumentarse la rigidez por flexión del muro llegando a un muro tipo “I”.
Es así que se deben disponer de este tipo de elementos frontera en los muros de corte cuando el esfuerzo máximo
de la fibra extrema, correspondiente a fuerzas factorizadas, incluyendo el efecto sísmico, sea mayor que 0.2 f’c.
El cálculo del área de acero de este tipo de muros se lo realiza utilizando los criterios y los diagramas de
interacción similares a los utilizadas para el cálculo de columnas, o pueden confeccionarse con las ecuaciones
respectivas de columnas para casos específicos.
El código UBC 4 impone un límite superior para la fuerza axial de diseño por encima del cual el muro ya no se
considera efectivo para la resistencia a las fuerzas laterales:
Pu = 0.35P0
donde:
P0 = resistencia nominal a carga axial con una excentricidad cero.
P0 = 0.85·f′c(Ag – Ast) + fy·Ast
Ag = área total de la sección.
Ast = área del refuerzo vertical.
4
UBC, Sección 1921.6.6.3 [ref.15]
215
Método dinámico, superposición modal
Con el objetivo de prevenir la falla frágil es que se adopta la carga axial balanceada de:
Pb = 0.35P0
Este es el punto en el diagrama de interacción para columnas en el cual se alcanzan simultáneamente la máxima
deformación del concreto (0.003) y la fluencia del acero de refuerzo a tensión. Incrementando la carga axial
factorizada más allá de este valor trae como resultado el modo de falla por compresión del concreto, la cual es
frágil y repentina.
216
Método dinámico, superposición modal
14.5
EJEMPLOS
Diseño de un elemento a flexión
Ejemplo 14.1
Determinar el refuerzo longitudinal y transversal para la viga A-B de la Figura 14.15. La viga soporta una carga
equivalente no factorizada muerta y viva de: 2.40 [t/m] y 1.20 [t/m] respectivamente. El resumen de momentos de
diseño se presenta en la Tabla 14.1. La viga tiene 50 [cm] de base y 60 [cm] de altura. La losa es de 20 [cm] de
espesor. Utilizar f′c = 280 [kg/cm2], fy = 4200 [kg/cm2].
A
B
D
C
15.50 t·m
13.20 t·m
15.50 t·m
3º piso
-36.90 t·m
-44.60 t·m
-43.30 t·m
-43.30 t·m
-44.60 t·m
-36.90 t·m
4.00 m.
2º piso
col 55x55
col 55x55
6.70 m.
col 55x55
6.70 m.
6.70 m.
Figura 14.15
1.4 D + 1.7 L
0.75(1.4D+1.7L ± 1.7·1.1E)
0.9 D ± 1.3· 1.1 E
Viga A-B
Ecuación (a)
Ecuación (b)
Hacia la derecha
Hacia la izquierda
Ecuación (c)
Hacia la derecha
Hacia la izquierda
Viga B-C
Ecuación (a)
Ecuación (b)
Hacia la derecha
Hacia la izquierda
Ecuación (c)
Hacia la derecha
Hacia la izquierda
A
-13.50
(a)
(b)
(c)
Momento de Diseño [t·m]
Tramo
B
15.50
-21.70
11.45
-36.90
14.40
14.60
-44.60
4.15
18.60
-29.80
B
-19.30
6.36
6.50
Tramo
13.20
-33.30
15.50
C
-19.35
7.00
-43.30
12.40
12.40
-43.30
7.00
17.10
-33.20
5.50
5.50
-33.20
17.15
Tabla 14.1
217
Método dinámico, superposición modal
Solución:
a) Verificación de dimensiones:
b/h = 50/60 = 0.83 ≥ 0.3
b = 50 [cm] ≥ 25 [cm]
b ≤ bc + 0.75·h
b ≤ 56 + 0.75·60
50 ≤ 101
ln ≥ 4·d
609 ≥ 4·55.5
609 ≥ 222
→ cumple
→ cumple
→ cumple
→ cumple
b) Refuerzo longitudinal
1.
Refuerzo para momento negativo en B
Debido a que el refuerzo a flexión negativa para ambas vigas A-B y B-C en el nudo B será provista por las
mismas barras continuas se utilizará el mayor de los momentos negativos en el nudo B. De este modo Mu =
44.60 [t·m]. Para el cálculo se desprecia el efecto del acero de refuerzo a compresión, es así que se tiene:
a=
As ⋅ f y
0.85 ⋅ f c′ ⋅ b
=
4200 ⋅ As
= 0.353 ⋅ As
0.85 ⋅ 280 ⋅ 50
M u ≤ φM n
M u ≤ φAs f y (d − a 2)
44.6 ⋅10 5 = 0.9 ⋅ As ⋅ 4200 ⋅ (55.5 − 0.353 ⋅ As 2)
[ ]
As = 22.93 cm 2
utilizar 5 φ 25 (As = 24.54), que proporciona un momento φ Mn = 47.46 [t·m]
Verificación de los límites del refuerzo:
⎧
f c′
280
⎪0.8
bd = 0.8
50 ⋅ 55.5 = 8.88 cm 2
fy
4200
⎪
As min ≥ ⎨
⎪ 14 bd = 0.0033 ⋅ 50 ⋅ 55.5 = 9.16 cm 2 → gobierna
⎪f
⎩ y
[ ]
[ ]
Asmax ≤ 0.025·bd
Asmax = 0.025·50·55.5 = 69.37 [cm2]
Asmin ≤ As ≤ Asmax
→ cumple
2.
Refuerzo para momento negativo en A
Mu = 36.90 [t·m]
que requiere un área de refuerzo de:
As = 18.70 [cm2]
utilizar 4 φ 25 (As = 19.63), que proporciona un momento φ Mn = 38.60 [t·m]
3.
Refuerzo para momento positivo en los nudos:
La resistencia a momento positivo en la cara de la junta debe ser mayor o igual al 50% de la resistencia a
los momentos negativos provista en esa cara de la junta.
218
Método dinámico, superposición modal
Min. Mu+(A) = 38.6/2 = 19.30 [t·m],
para el cual satisface 2 φ 25 (As = 9.82), que proporciona un momento φ Mn = 19.96 [t·m], el cual es mayor
al momento positivo requerido en A de Mu = 18.60 [t·m]
Min. Mu+(B) = 47.46/2 = 23.73 [t·m],
para el cual satisface 3 φ 25 (As = 14.73), que proporciona un momento φ Mn = 29.40 [t·m], el cual es
mayor al momento positivo requerido en B para ambos tramos de Mu = 17.10 [t·m]. Además notar que es
mayor al momento positivo requerido en los tramos (A-B y B-C)
4.
Refuerzo para momento positivo en el tramo:
En cualquier sección a lo largo de la viga, ni la resistencia a los momentos negativos ni positivos debe ser
menor que una cuarta parte de la resistencia máxima a momento provista en cualquier extremo de la viga.
De este modo el valor mínimo de diseño para momento positivo es:
47.46/4 = 11.86 [t·m]
En el tramo se tiene un Mu = 15.50 [t·m]el cual es cubierto con la resistencia a momento proporcionada por
2 φ de 25
c)
Cálculo de la longitudinal de anclaje requerida para el refuerzo a flexión en la columna exterior
La longitud de desarrollo mínima para gancho estándar a 90º es:
l dh
⎧ f y db
4200 ⋅ 2.5
=
= 36.5 ≈ 37 [cm] → gobierna
⎪
⎪17.2 f c′ 17.2 280
⎪
≥ ⎨8d b = 8 ⋅ 2.5 = 20 [cm]
⎪15 [cm ]
⎪
⎪
⎩
55 cm.
37 cm.
12 d
b
60 cm.
d) Calculo del refuerzo por cortante
La resistencia probable a flexión Mpr (momento probable resistente), asociada a la formación de la rótula
plástica, se calcula utilizando un factor de reducción φ = 1.0 y asumiendo que el esfuerzo del acero de
tensión es fs = 1.25·fy.
219
Método dinámico, superposición modal
M pr = 1.25 As f y (d − a 2)
a=
1.25 As f y
0.85 f c′b
= 0.441As
el esfuerzo cortante de diseño en los extremos de la viga para las dos condiciones de carga a ser
consideradas se determina a partir de:
w = wD + wL = 2.4 + 1.2 =3.6 [t/m]
y los momentos probables resistentes en cada nudo son:
−
M pr
( A)
para 4 φ de 25 (As = 19.63)
→ 52.7 [t·m]
+
M pr
( A)
para 2 φ de 25 (As = 9.82)
→ 27.5 [t·m]
−
M pr
(B)
para 5 φ de 25 (As = 24.54)
→ 64.5 [t·m]
+
pr ( B )
para 3 φ de 25 (As = 14.73)
→ 40.4 [t·m]
M
A
w ⋅ ln
2
B
-4.10 [t]
26.10 [t]
26.20 [t]
-4.32 [t]
Ve =
Carga
A
27.50 t·m
M ±pr ( A) + M mpr ( B )
±
ln
B
w = 3.6 t/m
64.50 t·m
6.09 m.
hacia la deracha
A
52.70 t·m
B
40.40 t·m
w = 3.6 t/m
6.09 m.
hacia la izquierda
Para rotación al lado izquierdo, la cortante en A debido al momento probable resistente en ese extremo de la
viga se calcula a partir de:
VA =
M −pr ( A) + M +pr ( B )
ln
=
52.7 + 40.4
= 15.30 [t ]
6.09
debido a que VA = 15.30 [t] es mayor al 50 % de la cortante de diseño Ve = 26.2 [t] se desprecia la
contribución del concreto a la resistencia al corte.
φV s + φVc = Vu
220
Método dinámico, superposición modal
Vs =
Vu
φ
=
26.20
= 30.82 [t ]
0.85
verificación de la sección:
V s ≤ 2.1 f c′ bd
30.82 ≤ 2.1 280 ⋅ 50 ⋅ 55.5
30.82 ≤ 97.50
→
cumple
el espaciamiento requerido para estribos cerrados considerando el diámetro del estribo φ=8 [mm] es:
Av f y d
s=
Vs
1⋅ 4200 ⋅ 55.5
= 7.56 [cm]
30.82 ⋅10 3
⎧d 4 = 55.5 4 = 13.87 [cm] gobierna
⎪8 ⋅ d = 8 ⋅ 2.5 = 20 [cm]
⎪
b
s max ≤ ⎨
d
24
⋅
t = 24 ⋅ 0.8 = 19.2 [cm ]
⎪
⎪⎩30 [cm]
s=
con estribos de diámetro φ=10 [mm] se tiene un espaciamiento s=12 [cm], es decir para la zona de
confinamiento desde la cara de al columna hasta una distancia 2h= 1.20 [m], se requieren estribos φ=10 c/
12. Más allá de la distancia 2h se requieren estribos φ=10 c/24 que cumple el espaciamiento máximo de
smax=d/2=27.75 [cm].
e)
Empalmes de barras longitudinales
Los empalmes deben ubicarse lejos de las regiones de máximo esfuerzo, es decir no deben estar junto al
nudo, dentro una distancia 2h a partir de la cara de la columna o dentro de regiones potenciales de
formación de rótula plástica. Considerar que todos los empalmes deben estar confinados por estribos
cerrados con un espaciamiento máximo d/4 ó 10 [cm] a lo largo de la longitud del empalme.
1.
Empalme para barras de diámetro φ = 25 [mm] ubicadas en la base de la viga
Con el momento de 15.50 [t·m] se requiere un área de acero de 7.57 [cm2] para el cual área de refuerzo
provista es de 9.82 [cm2], se tiene entonces la relación:
Asprov 9.82
=
= 1.3 < 2
Asreq
7.57
debido a ello el empalme se considera de tipo B con una longitud de empalme requerida de 1.3·ld≥30 [cm].
Donde:
ld
αβγλ
3 fy
=
d b 10.6 f c′ (c + k tr ) / d b
donde:
α = factor de ubicación del refuerzo
β = factor de revestimiento
γ = factor de tamaño del refuerzo
λ = factor de agregados ligeros del hormigón
(c+ktr)/db ≤ 2.5
(1.0)
(1.0)
(1.0)
(1.0)
221
Método dinámico, superposición modal
ld
3 4200 1
=
2.5 10.6 280 2.5
l d = 71.03 [cm ]
la longitud del empalme es: 1.3·ld=92.35≈ 95 [cm]
2. Empalme para barras de diámetro φ = 25 [mm] ubicadas en la parte superior de la viga
El empalme para esta ubicación se considera de clase A: con una longitud de empalme requerida de 1.0·ld
[cm]. Donde:
ld
3 4200 1.3 ⋅1 ⋅1 ⋅1
=
2.5 10.6 280
2.5
l d = 92.35 [cm]
la longitud del empalme es: 1.0·ld=92.35≈ 95 [cm]
l1/4+ld = 2.50 m.
2Ø25
95 cm
3Ø25
l1/3+ld = 3.00 m.
l2/3+ld = 3.00 m.
2Ø25
2Ø25
2Ø25
1Ø25
5 cm
1.15 m.
Ø10 c/12
1.45 m.
Ø10 c/24
Ø10 c/10
1.30 m.
Ø10 c/24
1.15 m.
Ø10 c/12
5 cm
2Ø25
222
Método dinámico, superposición modal
Diseño de columna
Ejemplo 14.2
Determinar el refuerzo transversal para la columna exterior de la Figura 14.15 correspondiente al segundo nivel
de un pórtico resistente a momentos. La columna tiene las dimensiones de 55x55 [cm] con acero longitudinal de
8φ de 25 distribuido uniformemente a lo largo de la cara de la columna, asumir la sección de las vigas igual al del
ejemplo 14.1 con el refuerzo de acero encontrado en dicho ejemplo. Las propiedades de los materiales son: f’c =
280 [kg/cm2] y fy = 4200 [kg/cm2]
Columna exterior A
Ecuación (a)
Ecuación (b)
Hacia la derecha
Hacia la izquierda
Ecuación (c)
Hacia la derecha
Hacia la izquierda
-470
Momento de Diseño [t·m]
Eje x-x
Eje y-y
Tope
Base
Tope
Base
-11.90
12.06
-6.70
6.70
-390
-530
2.30
-15.00
-4.10
16.80
1.01
-5.33
-0.80
4.30
-180
-320
5.90
-11.50
-7.60
13.20
1.86
-4.18
-1.60
3.90
Carga
axial [t]
Solución.
a)
La fuerza axial de compresión factorizada en la columna esta dada por: Pu=530 [t], la cual es mayor a
0.1Ag f’c =0.1·552·280 ·10-3= 84.70 [t], de este modo en el diseño del elemento gobierna la carga axial
y flexión.
b)
1.
Verificación de los requisitos de limites del refuerzo y resistencia de momentos.
Verificación de cantidad de refuerzo longitudinal:
0.01<ρg<0.06
0.01<39.27/552<0.06
0.01<0.013<0.06
2.
→ cumple
Verificación del concepto de columna fuerte − viga débil:
18.42 t·m
38.60 t·m
18.42 t·m
El momento resistente de diseño de la columna para 8φ25 (39.27 cm2) en la dirección transversal se obtiene
por cualquier método de diseño racional y está dado por 18.42 [t·m], el momento resistente de la viga es de
38.60 [t·m] proveniente del ejemplo anterior.
ΣM e ≥
6
ΣM g
5
223
Método dinámico, superposición modal
6
⋅ 38.60
5
36.84 ≥ 46.32
2 ⋅18.42 ≥
→ no cumple
∴ la columna debe estar provista por refuerzo transversal de confinamiento en toda su longitud según:
⎛
⎞
f ′ ⎞ ⎛ Ag
− 1⎟⎟
Ash = 0.3 ⋅ ⎜ s ⋅ hc c ⎟ ⋅ ⎜⎜
⎜
f y ⎟⎠ ⎝ Ach
⎠
⎝
⎛
f′⎞
Ash = 0.09 ⋅ ⎜ s ⋅ hc c ⎟
⎜
f y ⎟⎠
⎝
donde:
hc = 55-2·2.5-0.8 = 49.20 [cm]
Ach = (55-2·2.5)2 = 2500 [cm2]
[ ]
⎞
280 ⎞ ⎛⎜ 55 2
⎛
− 1⎟ = 1.033 cm 2
Ash = 0.3 ⋅ ⎜ 5 ⋅ 49.20 ⋅
⎟ ⋅⎜
4200 ⎠ ⎝ 2500 ⎟⎠
⎝
[ ]
280 ⎞
⎛
2
Ash = 0.09 ⋅ ⎜ 5 ⋅ 49.20 ⋅
→ gobierna
⎟ = 1.476 cm
4200
⎝
⎠
donde el espaciamiento máximo entre estribos es:
⎧ b 55
= 13.75 [cm ]
⎪ =
s max ≤ ⎨ 4 4
⎪⎩10 [cm]
→ gobierna
debido a ello se requiere de la colocación de una horquilla en la sección transversal para cada dirección.
Ø8
55 cm
eØ8 c/5
8Ø25
c)
55 cm
Determinación del refuerzo transversal por cortante:
Las columnas solo necesitan diseñarse para resistir el cortante máximo que puede ser transferido a través de las
vigas. Aún así el cortante producido por las columnas, que no necesita ser mayor al cortante transferido por las
vigas es:
Mpr = φ Mn · 1.25/0.7
Mpr = 18.42 · 1.25/0.7 = 32.89 [t·m]
Vu = Σ Mpr / Hn = 2 · 32.89/3.40 = 19.34 [t]
224
Método dinámico, superposición modal
el cortante máximo que puede ser transferido a través de las vigas es:
Vu =
M pr1 / 2 + M pr 2 / 2
Hn
=
52.7 / 2 + 52.7 / 2
= 15.50 [t ]
3.40
→ gobierna
Aporte del concreto a la resistencia al corte. Para despreciar la resistencia del corte al concreto debe cumplirse
con la siguiente condición:
f′
Ag c > Pu
20
2 280
55
⋅10 −3 > 530
20
42.35 > 530
→ no cumple
⎛ Nu
⎞
∴Vc = 0.55 ⋅ ⎜
+ 1⎟ ⋅ f c′ ⋅ b ⋅ d
⎜ 2000 Ag
⎟
⎝
⎠
Conservadoramente se utiliza la menor fuerza de compresión Nu = 180 [t]:
⎛ 180000
⎞
Vc = 0.55 ⋅ ⎜
+ 1⎟ ⋅ 280 ⋅ 55 ⋅ (55 − 2.5 − 0.8 − 2.5 / 2) = 26.30 [t ]
2
⎝ 2000 ⋅ 55
⎠
φVc = 0.85 · Vc = 22.35 [t] > 15.50 [t]
∴ el refuerzo transversal dispuesto a lo largo de la columna es el de confinamiento y no aquel debido al corte
d)
Empalmes de barras longitudinales:
Los empalmes deben localizarse en la mitad de la longitud del elemento. Los empalmes para barras
longitudinales en columnas deben diseñarse como empalmes de clase B de tensión y el espaciamiento mínimo del
acero de refuerzo transversal a lo largo del empalme debe ser de 10 [cm].
Empalme clase B:
1.3 ld
ld
αβγλ
3 fy
=
d b 10.6 f c′ (c + k tr ) / d b
ld
3 4200 1
=
2.5 10.6 280 2.5
l d = 71.03 [cm ]
la longitud del empalme es: 1.3·ld = 92.35 ≈ 95 [cm]
225
Método dinámico, superposición modal
55 cm
95 cm
5 cm
3.40 m.
e Ø8 c/5
5 cm
60 cm
60 cm
55 cm
226
Método dinámico, superposición modal
Conexión viga-columna
Ejemplo 14.3
Determinar el refuerzo transversal y la resistencia al cortante de la conexión exterior viga-columna entre la viga
del ejemplo 14.1 y la columna del ejemplo 14.2.
Solución.
a)
Refuerzo por confinamiento.
El nudo debe tener la misma cantidad de refuerzo transversal por confinamiento proporcionada a la columna en
sus extremos (lo) a menos que el nudo este confinado por nudos que formen marco. Una viga se considera que
provee confinamiento si al menos cubre ¾ partes de la cara del nudo, para esta situación basta con la mitad de
estribos por confinamiento. Debido a que no se cumple con el criterio de columna fuerte viga débil el nudo tiene
la misma cantidad de acero por confinamiento que el de la columna
b)
Resistencia al corte del nudo
Nu
Mu
Vh
4Ø25
T = A s 1.25 f y
x
x
M pr = 52.70 t·m
C=T
Vh
Mu
Nu
La fuerza cortante que actúa en la sección transversal x-x del nudo es:
M prviga 52.70
Vh =
=
= 15.50 [t ]
Hn
3.40
T = As · 1.25 fy =19.63 · 1.25 · 4200 ·10-3 = 103.06 [t]
De este modo la fuerza cortante neta en la sección x-x del nudo es:
Vu = T – Vh = 87.56 [t]
La resistencia al corte del nudo está dada por:
V n = 4 ⋅ f c′ A j
donde: Aj es el área efectiva del nudo en la cual:
h = 55 [cm]
⎧b + h = 50 + 55 = 105 [cm]
be ≤ ⎨
⎩b + 2 ⋅ x = 50 + 2 ⋅ 2.5 = 55 [cm]
→ gobierna
227
Método dinámico, superposición modal
φVn = 0.85 ⋅ 4 ⋅ 280 ⋅ 552 ⋅10 −3 = 172.10 [t ]
φVn > Vu
→ resiste
4Ø25
50 cm
eØ8 c/5
8Ø25
eØ8
60 cm
4Ø25
2Ø25
55 cm
Ejemplo 14.4
Diseño alternativo
Determinar el refuerzo longitudinal y transversal para la viga A-B del ejemplo 14.1 utilizando el método
alternativo de diseño que implica el considerar el aporte del acero de compresión a la resistencia a flexión y la
ductilidad. La viga soporta una carga equivalente no factorizada muerta y viva de: 2.40 [t/m] y 1.20 [t/m]
respectivamente. El resumen de momentos de diseño se presenta en el ejemplo 14.1. La viga tiene 50 [cm] de
base y 60 [cm] de altura. La losa es de 20 [cm] de espesor. Utilizar f′c = 280 [kg/cm2], fy = 4200 [kg/cm2] para
una ductilidad requerida de μ = 2.
Solución.
El diseño es idéntico al ejemplo 14.1 con la única excepción que el cálculo para momento negativo considera el
aporte a la resistencia a flexión del acero de compresión, debido a ello se arriba a un método iterativo, el cual es
resuelto mediante la ayuda del programa computacional “Mathcad Profesional” que se muestra a continuación:
228
Método dinámico, superposición modal
Datos generales:
resistencia del hormigón [kg/cm2]
fc := 280
Módulo de elasticidad del acero [kg/cm2]
Es := 2100000
fluencia del acero [kg/cm2]
fy := 4200
ductilidad
ureq := 2
d [cm]
d := 55.5
d' [cm]
d' := 4.5
b [cm]
b := 50
Momento requerido [tm]
Mu := 44.6
eu := 0.003
y la deformación máxima:
Solución :
relación de cuantías p'/p
R := 0.5
cuantía de acero a tensión
As := 24.54
Ec := 15100⋅ fc
Ec = 2.527 ×
k := n ⋅ ( p + p ⋅ R) + 2⋅ n ⋅ p ⋅ ⎛⎜ 1 + R⋅
2
2
⎝
B1 := 0.85 −
0.05 ⋅ ( fc
n: Es/Ec
d' ⎞
d
⎟ − n ⋅ p ⋅ ( 1 + R)
⎠
− 280)
n :=
Es
Ec
p = 8.843 ×
10− 3
n = 8.311
k = 0.296
f's=6300(a-d'B1)/a
se calcula los valores de a y f's
⎡⎣ d 2⋅ p2⋅ ( fy − 6300⋅ R) 2 + 4⋅ ( 5355⋅ fc⋅ d⋅ p⋅ R⋅ d'⋅ B1) + d ⋅ p ⋅ ( fy − 6300⋅ R) ⎤⎦
2⋅ 0.85 ⋅ fc
f's := 6300⋅
As
b⋅d
B1 = 0.85
70
entre a=(d*p(fy-Rs*f's))/0.85*f'c y
a :=
5
10
p :=
a − d'⋅ B1
a = 6.184
f's =
a
2.403
×
verificar el que f's sea menor que fy
la ductilidad de curvatura θu/θy está dada por Q:
Q :=
u :=
eu ⋅ Es⋅ B1⋅ d ⋅ ( 1 − k)
Q = 8.055
a⋅ fy
Q
u = 2.014
4
p' := p ⋅ R
p' = 4.422 ×
−3
10
A's := p'⋅ b ⋅ d
A's = 12.27
⎡ 0.85 ⋅ fc⋅ a⋅ b ⋅ ⎛ d − a ⎞ + A's ⋅ f's⋅ ( d − d') ⎤
2⎠
⎣
⎝
⎦
Mn :=
Mn = 53.601
Mr := 0.9⋅ Mn
Mr = 48.241
100000
Nota:
Mr = φMn
p’ = ρ’
p =ρ
u =μ
103
Método dinámico, superposición modal
229
229
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DIRECCIONES EN INTERNET
ƒ
Información específica sobre sismología
Configuración de Edificios
Comportamiento de estructuras ante sismos
Daños provocados por el sismo
Sistemas estructurales
Diseño de elementos no estructurales
Sismo de El Salvador, 13 de Enero 2001
Imágenes digitales y diseño sísmico
Sismo de Loma Prieta
Hagia Sophia
Terremotos, mapa sísmico
Zonificación sísmica
Fallas geológicas
Observaciones sobre conceptos estructurales
Características de los sismos
Licuefacción
Pilotes
¿Qué hacer durante un sismo?
Teoría de Placas
los 10 sismos más grandes del planeta
Falla de San Andrés
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Programas para el cálculo estructural
SE-SISMO
StruCAD*3D Análisis y Diseño de estructuras
STAAD-III implementa
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233
APÉNDICE A
234
Vibración libre no amortiguada
A-1
mu&& + ku = 0
m
d 2u
+ ku = 0
dt
d 2u k
+ u=0
dt
m
D 2 u + ω n2 u = 0
(
)
u D 2 + ω n2 = 0
D = ± iω n
→ solución→ u = C1 cos ω n t + C 2 senω n t
Vibración libre con amortiguamiento
A-2
mu&& + cu& + ku = 0
c
k
u&& + u& + u = 0
m
m
d 2u
du
+ 2ξω n
+ ω n2 u = 0
dt
dt
D 2 u + 2ξω n Du + ω n2 u = 0
(
)
u D 2 + 2ξω n D + ω n2 = 0
D=
D=
D=
D=
− 2ξω n ±
(2ξω n )2 − 4 ⋅1⋅ ω n2
2 ⋅1
− 2ξω n ± 4ξ 2ω n2 − 4ω n2
2
(
)
− 2ξω n ± 4ω n2 ξ 2 − 1
2
− 2ξω n ± 2ω n ξ 2 − 1
2
D = −ξω n ± ω n ξ 2 − 1
D = −ξω n ± iω n 1 − ξ 2
⎡
u ⎢ D + ⎛⎜ − ξω n + iω n 1 − ξ 2
⎝
⎣
⎞⎤ ⎡ D + ⎛ − ξω − iω 1 − ξ 2
⎟⎥ ⎢
⎜
n
n
⎠⎦ ⎣
⎝
u = e −ξω nt ⎛⎜ C1 cos ω n 1 − ξ 2 t + C 2 senω n 1 − ξ 2 t ⎞⎟
⎝
⎠
ω D = ω n 1−ξ 2
⎞⎤ = 0
⎟⎥
⎠⎦
235
u = e −ξω nt (C cos ω D t + Dsenω D t )
u (0 ) = e −ξω n ( 0) (C cos ω n (0) + Dsenω n (0) )
C = u (0 )
− ξω n e −ξω n t (C cos ω D t + Dsenω D t ) + e −ξω n t (− Cω D senω D t + Dω D cos ω D t ) = u& (0 )
−ξω n C + Dω D = u& (0 )
−ξω n u (0 ) + Dω D = u& (0 )
D=
u& (0 ) + ξω n u (0 )
ωD
Movimiento armónico forzado no amortiguado
A-3
mu&& + ku = P0 senω t
P
u&& + ω n2 u = 0 senω t
m
Solución complementaria:
D 2 u + ω n2 u = 0
(
)
u D 2 + ω n2 = 0
−ω n2
D =
D = ± iω n
u c = A cos ω n t + Bsenω n t
2
Solución complementaria:
Método de los coeficientes indeterminados:
P
Q = 0 ω n2 senω t
k
u = C P0 sen ω t + D P0 cos ω t
u& = C P0ω cosω t − D P0ω senω t
u&& = −C P0ω 2 senω t − D P0ω 2 cos ω t
− C P0ω 2 senω t − D P0ω 2 cos ω t + ω n2 (C P0 senω t + D P0 cos ω t ) = P0 senω t
P
P
P
Cω n2 − Cω 2 0 senω t + Dω n2 − Dω 2 0 cos ω t = 0 senω t
m
m
m
(
)
(
)
Dω n2 − Dω 2 = 0
→
D =0
Cω n2 − Cω 2 = 1
→
C=
up =
P0 2
ω n C senω t
k
1
ω n2
−ω 2
236
P0 2
1
ωn 2
senω t
k
ωn −ω 2
P
1
up = 0
senω t
2
k
⎛ ω ⎞
⎟
1 − ⎜⎜
⎟
⎝ωn ⎠
La solución total es:
P
u t = A cos ω n t + Bsenω n t + 0
k
up =
1
⎛ ω
1 − ⎜⎜
⎝ωn
⎞
⎟
⎟
⎠
2
senω t
Para condiciones de inicio:
u (0 ) = A
u& (0 ) = − Aω n senω n t + Bω n cos ω n t +
u& (0 ) = Bω n +
P0
k
P0
k
1
⎛ ω
1 − ⎜⎜
⎝ωn
⎞
⎟
⎟
⎠
2
ω cos ω t
ω
⎛ ω
1 − ⎜⎜
⎝ωn
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
P
ω
B = ⎜ u& (0 ) − 0
⎜
k
1 − (ω ω n )2
⎝
P
ω ωn
B = u& (0 ) − 0
k 1 − (ω ω n )2
2
⎞
⎟ω
⎟ n
⎠
⎡ u& (0 ) P0
ω ωn ⎤
P0
1
u t = u (0 ) cos ω n t + ⎢
senω t
−
⎥ senω n t +
2
k 1 − (ω ω n ) ⎥⎦
k 1 − (ω ω n )2
⎢⎣ ω n
Para
u(0) = 0
y
(condiciones en reposo)
u& (0 ) = 0
u (t ) = −
u (t ) =
P0
P
ω ωn
1
senω n t + 0
senω t
2
k 1 − (ω ω n )
k 1 − (ω ω n )2
P0
1
k 1 − (ω ω n )2
⎡
⎤
ω
senω n t ⎥
⎢ senω t −
ω
n
⎣
⎦
Para resonancia ω = ωn la ecuación anterior no es valida, porque la elección de la solución particular
forma parte de la solución complementaria:
Q=
p0 2
ω n senω n t
k23
1
Cte.
u = Ctsenω n t + Dt cos ω n t
u& = Csenω n t + ω n cos ω n t ⋅ Ct + D cos ω n t − Dtω n senω n t
(
u&& = Cω n cos ω n t + Cω n cos ω n t − Ctω n2 senω n t − Dω n senω n t − Dω n senω n t + Dtω n2 cos ω n t
en la ecuación diferencial:
)
237
Cω n cos ω n t + Cω n cos ω n t − Ctω n2 senω n t − Dω n senω n t − Dω n senω n t − Dtω n2 cos ω n t
+ Ctω n2 senω n t + Dtω n2 cos ω n t = Cte ⋅ senω n t
2 ⋅ Cω n cos ω n t − 2 ⋅ Dω n senω n t = Cte ⋅ senω n t
2 ⋅ Cω n = 0
→
C=0
−2 ⋅ Dω n = Cte.
P
− 2ω n D = 0 ω n2
k
P0
ωn
D=−
2k
P
∴
u p = − 0 ω n t cos ω n t
2k
ut = uc + u p
P0
ω n t cos ω n t
2k
u& (0) = 0
u t = A cos ω n t + Bsenω n t −
para:
u ( 0) = 0
u ( 0) = A = 0
→
∧
A=0
P
⎤
⎡P
u& ( 0) = − Aω n senω n t + Bω n cos ω n t − ⎢ 0 ω n cos ω n t − 0 ω n2 t senω n t ⎥ = 0
2
2
k
k
⎦
⎣
P0
ωn = 0
Bω n −
2k
P
B= 0
2k
P
P
u (t ) = 0 senω n t − 0 ω n t cos ω n t
2k
2k
P
u (t ) = 0 (senω n t − ω n t cos ω n t ) ecc. para ω =ωn
2k
Movimiento armónico forzado amortiguado
A-4
mu&& + cu& + ku = p 0 senω t
p
c
u&& + u& + ω n2 u = 0 senω t
m
m
mω n
p
u&& + 2 ξ
u& + ω n2 u = 0 sen ω t
m
m
p0
p
2
u&& + 2ξω n u& + ω n u =
sen ω t = 0 ω n2 ω t
m
k
solución complementaria:
238
D 2 u + 2ξω n Du + ω n2 u = 0
( D 2 + 2ξω n D + ω n2 )u = 0
D=
D=
− 2ξω n ± 4ξ 2ω n2 − 4ω n2
2 ⋅1
− 2ξω n ± 2ω n ξ 2 − 1
2
D = −ξω n ± iω n 1 − ξ 2
⎡
⎛
⎞⎤ ⎡
⎛
⎞⎤
⎜
⎜
⎢
2 ⎟⎥ ⎢
2 ⎟⎥
u ⎢ D + ⎜ − ξω n + iω n 1 − ξ ⎟⎥ ⋅ D + ⎜ − ξω n − iω n 1 − ξ ⎟
14243 ⎟ ⎢
14243 ⎟⎥
⎜
⎜
ωD
ωD
⎝
⎠⎦⎥ ⎣⎢
⎝
⎠⎦⎥
⎣⎢
→
u c = e −ξω nt ( A cos ω D t + Bsenω D t )
la solución es:
Solución particular:
p
Q = 0 ω n2 senω t
k
u = C senω t + D cos ω t
u& = Cω cosω t − Dωsenω t
u&& = −Cω 2 senω t − Dω 2 cos ω t
→
en la ecuación diferencial:
− Cω 2 senω t − Dω 2 cos ω t + 2ξω n Cω cos ω t − 2ξω n Dω senω t + Cω n2 senω t + Dω n2 cos ω t =
p0 2
ω n senω t
k23
1
Cte.
(− Cω
2
)
(
(
(
)
)
C=−
D ω n2 − ω 2
2ξω n ω
D ω n2 − ω 2 + C 2ξω nω = 0
p
C ω n2 − ω 2 − D 2ξω n ω = 0 ω n2
k
−
(
)
+ Cω n2 − 2ξω n Dω senω t + − Dω 2 + 2ξω n Cω + Dω n2 cos ω t = Cte. ⋅ senω t
(
D ω n2 − ω 2
2ξω n ω
(
)
)
2
− D 2ξω n ω =
)
p0 2
ωn
k
⎡ ω 2 − ω 2 2 + 4ξ 2ω 2ω 2 ⎤ p
n
⎥ = 0 ω n2
− D⎢ n
⎢
⎥ k
2ξω n ω
⎣
⎦
2
⎡ ω 4 1 − (ω ω )2
⎤ p
n
− D⎢ n
+ 2ξω n ω ⎥ = 0 ω n2
⎢
⎥ k
2ξω n ω
⎣
⎦
⎡ ω 1 − (ω ω )2 2
ω ⎤⎥ p 0 2
n
− Dω n2 ⎢ n
+ 2ξ
=
ωn
⎢
2ξω
ωn ⎥ k
⎣
⎦
(
)
(
)
239
⎡
⎤
⎢ 1 − (ω ω )2 2
ω ⎥⎥ p 0
n
− D⎢
+ 2ξ
=
ω
⎢
ωn ⎥ k
2ξ
⎢
⎥
ωn
⎣
⎦
2
⎡
2 ⎛
ω ⎞ ⎤⎥
⎢ 1 − (ω ω n )2 + ⎜ 2ξ
⎟
⎜ ω ⎟ ⎥ p
⎢
n ⎠
⎝
0
− D⎢
⎥=
ω
⎢
⎥ k
2ξ
⎢
⎥
ωn
⎣
⎦
(
)
(
)
D=
−2ξ ω ω n
p0
k 1 − (ω ω )2 2 + (2ξ ω ω )2
n
n
D=
1 − (ω ω n )2
p0
k 1 − (ω ω )2 2 + (2ξ ω ω )2
n
n
(
)
(
)
Secciones nominales de barras
A-5
Barra Nº
[in]
Diámetro
nominal,
[mm]
Peso nominal,
[kg/m]
Área de la sección
transversal,
[cm2]
¼
6
0.222
0.28
Diámetro,
⁄16
8
0.395
0.50
3
⁄8
10
0.617
0.79
4
½
12
0.888
1.13
5
5
⁄8
16
1.578
2.01
6
¾
20
2.466
3.14
7
7
⁄8
22
2.980
3.80
8
1
25
3.853
4.91
9
1
1 ⁄8
28
4.830
6.16
10
1¼
32
6.313
8.04
11
1 3⁄8
36
7.990
10.18
14
1¾
45
12.480
15.90
18
2¼
55
20.239
23.76
5
3
240
Factores de conversión
A-6
Propiedades estructurales
Dimensión de la sección transversal
Área
Modulo de sección
Momento de inercia
1 in
1 in2
1 in3
1 in4
=
=
=
=
2.54 cm
6.452 cm2
16.39 cm3
41.62 cm4
1 lb
1 lb/ft
1 lb/ft2
= 0.454 kg
= 1.488 kg/m
= 4.882 kg/m2
1kip
1 lb/in2
1 ksi
1 lb·ft
1 kip·in
=
=
=
=
=
Cargas
Cargas concentradas
Cargas lineales
Cargas de superficie
Esfuerzos y momentos
Fuerza
Esfuerzos
Momento
453.59
0.0703
70.307
0.1383
11.521
kg
kg/cm2
kg/cm2
kg·m
kg·m