centro de presión sobre una superficie plana, Christian Palacios Loor

Laboratorio de Mecánica de Fluidos I
Centro de presión en una superficie plana sumergida
17 de noviembre de 2018, 2s-2018
Palacios Loor Christian
Facultad de Ingeniería en Mecánica y Ciencias de la Producción (FIMCP)
Escuela Superior Politécnica del Litoral (ESPOL)
Guayaquil – Ecuador
[email protected]
Resumen
La practica de laboratorio tiene como objetivo principal determinar el centro de presión en donde se
ejerce la fuerza hidrostática tanto como para una placa que se encuentra parcial y totalmente
sumergida. Dicha práctica consistió en dos partes la primera se sumergió la placa de manera parcial
y solo se tomó en cuenta el área mojada de la misma, en la segunda parte se sumergió la placa
totalmente y adicional se incrementó la una profundidad para ver como variaba el centro de presión.
Para calcular dicho empuje a distintas alturas se usaron diferentes masas, esta fuerza de empuje nos
facilitó obtener las alturas experimentales y teóricas a diferentes distancias, esto se dio con diferentes
ecuaciones para cada caso. Luego se analizó por medio de gráficas que la fuerza hidrostática es
proporcional a la profundidad de inmersión, también se determinó que para la placa sumergida
parcialmente el centro de presión se aleja del centroide pero a medida que se sumerge a mayor
profundidad la placa el centro de presión tiende a ser el centroide o centro de gravedad.
Palabras clave: Fuerza Hidrostática, Centro de presión, Centro de gravedad, Centroide
Abstract
The main objective of laboratory practice is to determine the pressure center where the hydrostatic
force is exerted as well as for a plate that is partially and totally submerged. Said practice consisted
of two parts, the first one partially submerged the plate and only the wet area of the same was taken
into account, in the second part the plate was totally submerged and additional the depth was increased
to see how the center varied of pressure. To calculate this thrust at different heights different masses
were used, this pushing force made it easier to obtain the experimental and theoretical heights at
different distances, this was given with different equations for each case. Then it was analyzed by
means of graphs that the hydrostatic force is proportional to the immersion depth, it was also
determined that for the partially submerged plate the center of pressure moves away from the centroid
but as the plate is submerged to a greater depth the center of pressure tends to be the centroid or center
of gravity.
Key words: Hydrostatic force, Pressure center, Center of gravity, Centroid
Introducción
Los descubrimientos que se han realizado con
el paso del tiempo a nivel de ingeniería nos a
ayudado de resolver muchos problemas
cotidianos y a facilitarnos la vida, muchos de
estos descubrimientos se han realizado gracias
a la Hidrostática tales como: Presas
Hidráulicas (ilustración 1), compuertas
hidrostáticas, Frenos hidráulicos etc.
Para comprender las fuerzas hidrostáticas se
sabe que la presión es igual a una fuerza
perpendicular sobre el área de incidencia y por
unidad de área, ya que la presión es un escalar.
La presión puede ser vista desde muchos casos
como: presión sobre un sólido, presión
atmosférica, presión sobre un fluido. En
nuestro caso será sobre un fluido. Según lo que
nos dice el principio de Arquímedes la presión
de un fluido es directamente proporcional a la
profundidad, es decir, la presión aumenta y
esta placa se empieza a sumergir mas. Por
razones serias las Presas son elaboradas con
material mas resistente en la parte superior de
las paredes para que soporte mas presión a sos
niveles.
Tenemos:
Ilustración 1. Presa Hoover
Supongamos una placa de dimensión finita
sumergida en un líquido de densidad conocida
como una compuerta dentro de una presa o en
otras palabras que está compuerta sirva como
una válvula de para expulsar cierta cantidad de
líquido. Esta placa sumergida queda expuesta
a una presión del fluido que varía con respecto
a la profundidad. Se sabe que sobre esta placa
horizontal se ejerce una variación de presión
que a su vez tienen fuerzas paralelas, para
estudios ingenieriles se requieren determinar
la magnitud de esta fuerza resultante y su
punto donde incide o punto de aplicación o
como se lo conoces normalmente como centro
de presión. (Cengel, segunda edición. Mec. Fluídos)
En donde:
P es la presión en N/m2,
F es la fuerza perpendicular en N,
A es la sección transversal de la superficie en
donde se ejerce dicha fuerza normal en m2
𝜌fluido es la densidad del fluido en kg/m3
g es la gravedad de 9.81 m/s2
h es la altura desde la referencia hasta el punto
de interés en m.
Como lo habíamos enunciado anteriormente
existe una fuerza resultante en donde se
concentra y su punto de aplicación es en el
centro de presión.
𝐹𝑅 = 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 ∗ 𝑔 ∗ ℎ ∗ 𝐴
Ilustración 2. La fuerza resultante que actúa sobre
una superficie plana es igual al producto de la
presión en el centroide de la superficie y el área
superficial
Ya que la placa es plana y rectangular se
rescribe la fuerza como:
𝐹𝑅 = 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 ∗ 𝑔 ∗ ℎ𝐶𝑃 ∗ 𝑎𝑏
Se tienen las siguientes ecuaciones de
acuerdo a la geometría del problema tomando
como referencia el pivote:
𝐹=
𝜌𝑔𝐵𝑑 2
2
(Ec. 1)
Equipo para fines prácticos de presión
hidrostáticas fl-12- Versión19. Esquema del
equipo se encuentra en anexos
Instrumento Rango Incertidumbre
Regla de
medición del
aparato F112
2𝑚𝐿
ℎ𝑒𝑥𝑝 = 𝜌𝐵𝑑2 (Ec. 2)
𝑑
3
ℎ𝑡𝑒𝑜 = 𝐻 − (Ec. 3)
𝐷
𝐹 = 𝜌𝑔𝐵𝐷 (𝑑 − )(Ec. 4)
40
mm190
mm
Masas
--
Porta-masas
---
2
ℎ𝑒𝑥𝑝 =
𝑚𝐿
𝐷2
ℎ𝑡𝑒𝑜
= 12
Los pasos para la realización de la práctica de
laboratorio son los siguientes:
2
𝐷
+ (𝑑 − )
2 + 𝐻 − 𝑑(𝐸𝑐. 6)
𝐷
𝑑−
2
� es la fuerza resultante promedio que
actúa sobre la superficie rectangular se
mide en [�],
� es la masa medida en ������,
����� es la densidad del agua, considerada
como 1000 kg/m3,
� � � son las medidas del área de la
placa, largo y ancho en ��,
En primer lugar, se debe calibrar
correctamente el equipo, para esto usamos un
nivel de burbuja del cual, alineamos la burbuja
subiendo o bajando los extremos derecha e
izquierda hasta llegar al punto de equilibrio.
Segundo, el equipo tiene un valor de masas
que está siendo registrados, pero también hay
porta-masas que están causando un
contrapeso, entonces se debe agregar
contrapeso extra, se determina en un eje para
luego calcular en el otro.
Por último se adicionan masas mientras por
otro lugar se inserta el fluido hasta que vuelva
a nivelarse.
� es la profundidad de inmersión del área
en
��,
Resultados
ℎ ��� � ℎ ��� son la altura experimental y la
teórica desde en nivel de referencia en ��,
y
𝐻 es la altura de la placa medida en 𝑚𝑚.
Equipos,
instrumentación
procedimiento
---
Tabla 1. Instrumentos utilizados en la práctica
(𝐸𝑐. 5)
𝐷
𝜌𝐵𝐷 (𝑑 − )
2
0.5 mm
y
Análisis de resultados
En parcialmente sumergida la placa,
analizando los datos del gráfico 1 que se trata
de F vs d que se trata de la fuerza hidrostática
vs la distancia desde el nivel de referencia
hasta a la altura del fluido los resultados
muestra que existe un incremento de la fuerza
hidrostática a medida que la distancia (d)
aumenta
proporcional a la profundidad de inmersión,
pero en la gráfica 3 que es profundidad de
inmersión del centro de presión vs
profundidad de inmersión de la placa
totalmente sumergida es todo lo contrario la
relación ya tiene una pendiente positiva esto
nos dice que a medida que se aumenta
profundidad de inmersión de la placa el centro
de presión también aumentará esto se debe la
ecuación general del centro de presión:
Ilustración 3. La presión aumenta amedida que
aumenta la profundidad.
En conclusión esto se debe a la ecuación
general :
Pero en el gráfico 2 que es la profundidad del
centro de presión experimental vs la
profundidad de la placa nos muestra lo
contrario existe una reducción del centro de la
profundidad del centro de presión
experimental la gráfica nos muestra que tiene
una pendiente negativa. En conclusión esto se
debe a la fórmula general del centro de
presión:
Por lo tanto cuando la placa está parcialmente
sumergida el centro de presión estará muy
alejado del centroide o centro de gravedad.
En totalmente sumergida la placa, analizamos
la gráfica 3 y de igual manera que la gráfica 1
hay una pendiente positiva, por lo cual si
aumenta la profundidad de inmersión de la
placa existirá un incremento. En conclusión
fuerza
hidrostática
es
directamente
En conclusión, la altura experimental es
directamente proporcional a la distancia del
centro de presión.
Por lo general se conoce que el centro de
presión siempre estará debajo del centro de
gravedad o centroide pero existe un punto en
el cual en el cual el centro de presión tiende a
ser el centro de gravedad, si nosotros
analizamos la ecuación para localizar el centro
de presión el primer termino (Yc) es la
distancia desde la superficie al centro de
gravedad el segundo termino que se suma es
la distancia entre el centro de gravedad y
centro presión (Ixx,c/ YcA) el cual tiene como
denominador a (Yc) entonces cuando la placa
sumergida está a una profundidad muy grande
la distancia entre el centro de presión y centro
de gravedad tenderá a ser cero, esto visto
desde la ecuación. Pero si se analiza
gráficamente se debe a que existe un promedio
de fuerzas distribuidas
pero todo ese
promedio de fuerzas se concentra en el centro
de
presión
En conclusión a mayor profundidad de la
placa sumergida el centro de presión tenderá a
ser el centro de gravedad.
Se debe resaltar que existe una pequeña
propagación de error ya que se debe a que
quizás se despreció el peso del porta-masas
Es sugerible realizar tomar las mediciones con
el mayor cuidado posible ya que una medición
incorrecta perjudicaría en el análisis de los
resultados.
Se recomienda tener en cuenta las unidades de
los datos que se van tomando y realizar su
correcta conversión al momento de reemplazar
dichos valores a las sus respectivas
ecuaciones.
Referencias bibliográficas
ESPOL (2018). Guía de laboratorio de
Mecánica de Fluidos I. Centro de presión de
una superficie plana sumergida. Guayaquil,
Ecuador: FIMCP
Fluid
Mechanics,
Fundamentals
and
Applications by Yunus A. Cengel and Jhon M.
Cimbala. Copyright 2010 by The McGrawHill Companies, Inc.
Anexos
Ilustración 4. Esquema de las partes del equipo
Ilustración 5. Esquema del banco de pruebas
Datos:
𝑘𝑔
𝜌 = 1000 ⁄ 3
𝑚
𝐵 = (75.30 ± 0.01)𝑚𝑚 = (0.07530 ± 0.00001)𝑚
𝐷 = (100.00 ± 0.1)𝑚𝑚 = (0.1000 ± 0.00001)𝑚
𝐻 = (199.82 ± 0.01)𝑚𝑚
𝐿 = (275.20 ± 0.01)𝑚𝑚
El error con respecto a las mediciones de las distancias desde la base de la superficie plana hasta el
nivel del agua se utilizó una regla con 0.5mm de error, tenemos lo siguiente:
𝛿𝑑 = 0.5𝑚𝑚 = 0.0005𝑚
Parcialmente Sumergida
Usamos la ecuación 1 para obtener las fuerzas hidrostáticas para las diferentes masas
M[gr]
d[mm]
d[m]
100
0.065
65±0.5
130
0.075
75±0.5
150
0.081
81±0.5
180
0.090
90±0.5
200
0.095
95±0.5
Usamos la ecuación 1 para determinar los valores del empuje hidrostático por cada masa:
Para m =100[gr] y d=65[mm] y su incertidumbre, se tiene :
𝐹=
(1000)(9.81)(75.3𝑥10
2
(0.0652 )
𝛿𝐹 = (1000 ∗ 9.81 ∗
= 0.05[𝑁]
𝜌𝑔𝐵𝑑 2
𝐹=
2
−3
)(65𝑥10−3 )2
= 1.56 [𝑁 ]
𝛿𝐹 = |𝜌𝑔𝑑2 |𝛿𝐵 + |𝜌𝑔𝐵2𝑑|𝛿𝑑
∗ 0.00001) + (1000 ∗ 9.81 ∗ 0.07530 ∗ 2 ∗ 0.065 ∗ 0.0005)
La ecuación 1 se utiliza sucesivamente con las diferentes masas y se las tabula a continuación
d[mm]
65
75
81
90
95
d[m]
0.065
0.075
0.081
0.090
0.095
F[N]
1.56±0.05
2.08±0.05
2.42±0.05
2.99±0.05
3.33±0.05
A continuación empleamos la ecuación 2 se obtendrá las diferentes alturas experimentales ( hexp) del
centro de presión:
Para m=100gr y d= 65 mm y su incertidumbre, se tiene que:
ℎ𝑒𝑥𝑝
2𝑚𝐿
2(100𝑥10−3 )(275.2𝑥10−3 )
=
=
= 0.17300 [𝑚] = 173 𝑚𝑚
𝜌𝐵𝑑2 (1000)(75.30𝑥10−3 )(65𝑥10−3 )2
𝛿ℎ𝑒𝑥𝑝 =
𝛿ℎ𝑒𝑥𝑝 =
𝑚𝑔
𝑚𝑔𝐿
𝛿𝐿 +
𝛿𝐹
𝐹
𝐹2
0.01 ∗ 9.81 ∗ 0.01 0.01 ∗ 9.81 ∗ 275.20 ∗ 0.05
+
= 0.55𝑚 = 5.50𝑚𝑚
1.56
1.562
La ecuación 2 se utiliza sucesivamente con las diferentes masas y se las tabula más abajo.
Luego se utilizará la ecuación 3 para encontrar la posición teórica(hteo) del centro de presión.
Con H= 199.82[mm] que es un dato fijo de la prática y d=65[mm] y su incertidumbre, tenemos lo
siguiente:
ℎ𝑡𝑒𝑜 = 𝐻 −
𝑑
65
= 199.82 −
= 178.153 𝑚𝑚
3
3
𝛿ℎ𝑡𝑒𝑜 = 𝛿𝐻 +
𝛿𝑑
0.5
= 0.01 +
= 0.2𝑚𝑚
3
3
Y así sucesivamente se determinará las diferentes alturas teóricas:
m [gr]
100
130
150
180
200
d[ mm]
0.065
0.075
0.081
0.090
0.095
F [N ]
1.56±0.05
2.08±0.05
2.42±0.05
2.99±0.05
1.56±0.05
hexp[mm ]
173.00±5.50
269.93±5.50
167.11±5.50
162.43±5.50
161.98±5.50
hteo [mm ]
178.15±0.2
174.82±0.2
172.82±0.2
196.82±0.2
168.15±0.2
Totalmente Sumergida
m[gr]
d[m]
250
0.107
270
0.112
290
0.118
310
0.121
330
0.125
Utilizamos la ecuación 4 para hallar el empuje hidrostático:
Para d=107[mm] y su incertidumbre, se tiene:
d[mm]
107±0.5
112±0.5
118±0.5
121±0.5
125±0.5
𝐷
100𝑥10−3
𝐹 = 𝜌𝑔𝐵𝐷 (𝑑 − ) = (1000)(9.8)(75.30𝑥10−3 )(100𝑥10−3 ) (107𝑥10−3 −
)
2
2
= 4.206[𝑁]
𝐷
𝛿𝐹 = (𝜌𝑔𝐵𝑑 − 𝜌𝑔𝑏𝐷𝛿𝐷)𝛿𝐷 + 𝜌𝑔𝐵𝐷𝛿𝑑 + 𝜌𝑔𝐷 (𝑑 − ) 𝛿𝐵
2
𝐷
= 𝜌𝑔 [(𝐵𝑑 − 𝑏𝐷𝛿𝐷)𝛿𝐷 + 𝐵𝐷𝛿𝑑 + 𝐷 (𝑑 − ) 𝛿𝐵]
2
𝛿𝐹 = 1000 ∗ 9.81 [0.0750(0.107 − 0.1000) ∗ 0.00001 + 0.07530 ∗ 0.1000 ∗ 0.0005
+ 0.10000 (0.1070 −
0.10000
)] = 0.05[𝑁]
2
Procedemos a usar los demás datos y tabulamos, así que :
d[mm]
107
112
118
121
125
d[m]
0.107
0.112
0.118
0.121
0.125
F[N]
4.206±0.05
4.575±0.05
5.017±0.05
5.239±0.05
5.534±0.05
Por consiguiente, para calcular la posición experimental (ℎ𝑒𝑥𝑝 ) del centro de presión, nos apoyamos
en la ecuación 5, utilizamos los datos obtenidos en la tabla de arriba:
Para m=250[gr] y d=107[mm] y su incertidumbre, tenemos que:
ℎ𝑒𝑥𝑝 =
𝑚𝐿
𝐷
𝜌𝐵𝐷 (𝑑 − 2 )
(250𝑥10−3 )(275.2𝑥10−3 )
=
(1000)(75.30𝑥10−3 )(100𝑥10−3 ) (107𝑥10−3 −
= 0.16018 [𝑚] = 160.18 [𝑚𝑚]
𝑚𝑔
𝑚𝑔𝐿
𝛿𝐿 + 2 𝛿𝐹
𝐹
𝐹
(0.25 ∗ 9.81 ∗ 0.01) (0.25 ∗ 9.81 ∗ 275.20)
=
+
∗ 0.05
4.206
4.2062
= 0.790𝑚𝑚
𝛿ℎ𝑒𝑥𝑝 =
Estos datos se irán tabulando en la tabla a continuación.
100𝑥10−3
)
2
Finalmente, cuando la placa está sumergida en tu totalidad, necesitamos relacionarla con su posición
teórica del centro de presión, para esto usamos la ecuación 6 y realizamos el cálculo para el primer
dato con su respectiva incertidumbre.
Para d=107[mm]
ℎ𝑡𝑒𝑜
(100)2
𝐷2
𝐷 2
100 2
+
(𝑑
−
)
+
(107
−
2 + 𝐻 − 𝑑 = 12
2 ) + 199.82 − 107 = 164.439[𝑚𝑚]
= 12
𝐷
100
𝑑−2
107 − 2
𝛿ℎ𝑡𝑒𝑜
𝐷𝑑 𝐷 2
𝐷2
−
−
1
24 − | 𝛿𝐷 + |
12 | 𝛿𝑑 + 𝛿𝐻
𝛿ℎ𝑡𝑒𝑜 = | 6
𝐷 2 2
𝐷
(𝑑 − )
(𝑑 − )2
2
2
(100)(107) (100)2
(100)2
−
−
1
6
24 − | 0.01 + |
12
=|
| 0.5 + 0.01
2
100 2
100 2
(107 −
)
(107 −
)
2
2
= 0.10𝑚𝑚
A continuación, tabla final con todos los datos de la placa totalmente sumergida después de haber
usado la ecuación 6 con todos los datos restantes
M [gr]
250
270
290
310
330
d[ mm]
107
112
118
121
125
F [N ]
4.206±0.05
4.575±0.05
5.017±0.05
5.239±0.05
5.534±0.05
hexp[mm ]
160.178±0.79
172.992±0.79
185.806±0.79
198.620±0.79
211.434±0.79
hteo [mm ]
164.439±0.10
163.260±0.10
162.074±0.10
161.557±0.10
160.931±0.10
F vs. d
3,75
3,25
2,75
2,25
1,75
1,25
64
69
74
79
84
89
94
99
Gráfica 1. Fuerza hidrostática vs profundidad de inmersión en placa parcialmente sumergida
hexp vs d
176
174
172
170
168
166
164
162
160
158
63
68
73
78
83
88
93
Gráfico 2. Profundidad del centro de presión experimental vs Profundidad de inmersión en placa
parcialmente sumergida
104
F vs d
6
5,8
5,6
5,4
5,2
5
4,8
4,6
4,4
4,2
4
105
110
115
120
125
130
Gráfico 3. Fuerza hidrostática vs Profundidad de inmersión en placa totalmente sumergida
hexp vs. d
230
220
210
200
190
180
170
160
150
105
110
115
120
125
130
Gráfico 4. Profundidad del centro de presión experimental vs Profundidad de inmersión en placa totalmente
sumergida