Subido por roxxav

Sistemas Axiomáticos

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Tema: Sistemas Axiomáticos
Subtema: Los Puntos, Rectas, Planos, Postulados y Teoremas.
Conceptos:
A – Definiciones
 Términos sin definir- son las palabras o conceptos que utilizamos sin
requerir de ellos una definición precisa.
Ejemplos: punto, recta, plano.
 Axiomas o Postulados - una vez se adoptan los términos sin definir,
estos se relacionan entre sí mediante axiomas o postulados, que son
considerados como proposiciones “evidentemente” verdaderas y cuya
aceptación como verdaderas no requiere justificación alguna. (Se
aceptan sin haberse demostrado).
 Términos definidos - se obtienen a partir de los términos sin definir
y de los axiomas.
Ejemplos: rectas paralelas- que no se intersecan, no tienen punto en
común.
 Reglas de inferencia o patrones de razonamientos - son las reglas
que se aceptan para permitirnos obtener proposiciones nuevas a partir de
proposiciones dadas, por decirlo así, nos permiten “brincar” de proposiciones
“viejas” a proposiciones “nuevas”.
 Teoremas - es una proposición verdadera que puede formularse y
justificarse utilizando conceptos de lógica. (Es una afirmación que ya se
demostró o probó).
B - Términos no definidos
 punto- los puntos no tienen medida y son representados por letras
mayúsculas. Ejemplo: .P
 recta o línea- se extiende al infinito ambas direcciones y carece de
ancho. Las rectas se nombran con letras minúsculas o dos puntos en
ella.
m
A
recta m o AB
B
 plano- un plano se extiende al infinito en todas las direcciones y no tiene
grosor alguno. Los planos se representan regularmente como una figura
de cuatro lados y se nombran con letra mayúscula.
E
Plano E
C - Conceptos definidos
 espacio- es el conjunto de todos los puntos.
 puntos colineales o alineados- son aquellos contenidos en una línea o
recta.
A, B, C, son colineales
 puntos no alineados- son aquellos que no se encuentran contenidos en
una misma recta.
.
A, B, C, y D no son colineales
(D no esta en la misma línea)
.D
D
 punto o rectas coplanarios- son aquellos puntos o rectas que se
encuentran en un mismo plano.
 puntos o rectas no coplanarios- no están en el mismo plano
T,S,Q,R son coplanarios; rectas m y k son coplanarias
U no es coplanario; la recta n no es coplanaria
 “estar entre”- se utiliza para describir puntos colineales
E está entre D y F
D
E
F
 Intersección- el conjunto de elementos que dos conjuntos tienen
en común.
D. Postulados y Teoremas
Postulado (Postulado de los puntos)
El espacio contiene por lo menos cuatro puntos no coplanarios, ni colineales.
Un plano contiene al menos tres puntos no colineales.
Una recta contiene por lo menos dos puntos.
Postulado
(Postulado de la recta)
Dos puntos están contenidos en una y sólo una recta.
Postulado
(Postulado del plano)
Tres puntos no colineales están contenidos exactamente en un
plano.
Postulado (Postulado del plano llano)
Si dos puntos están contenidos en una recta, entonces la recta que los
contiene está también contenida en el plano.
Postulado
(Postulado de la intersección de planos)
Si dos planos se intersecan su intersección es una recta.
Teorema 1
Dos líneas se intersecan en exactamente un punto.
Teorema 2
Una línea y un punto fuera de ella, están contenidos en un sólo plano.
Teorema 3
Si una línea interseca un plano, pero no está contenida en él, su
intersección es un punto.
Teorema 4
Si dos líneas se intersecan, están contenidas en un sólo plano.
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