Tema: Sistemas Axiomáticos Subtema: Los Puntos, Rectas, Planos, Postulados y Teoremas. Conceptos: A – Definiciones Términos sin definir- son las palabras o conceptos que utilizamos sin requerir de ellos una definición precisa. Ejemplos: punto, recta, plano. Axiomas o Postulados - una vez se adoptan los términos sin definir, estos se relacionan entre sí mediante axiomas o postulados, que son considerados como proposiciones “evidentemente” verdaderas y cuya aceptación como verdaderas no requiere justificación alguna. (Se aceptan sin haberse demostrado). Términos definidos - se obtienen a partir de los términos sin definir y de los axiomas. Ejemplos: rectas paralelas- que no se intersecan, no tienen punto en común. Reglas de inferencia o patrones de razonamientos - son las reglas que se aceptan para permitirnos obtener proposiciones nuevas a partir de proposiciones dadas, por decirlo así, nos permiten “brincar” de proposiciones “viejas” a proposiciones “nuevas”. Teoremas - es una proposición verdadera que puede formularse y justificarse utilizando conceptos de lógica. (Es una afirmación que ya se demostró o probó). B - Términos no definidos punto- los puntos no tienen medida y son representados por letras mayúsculas. Ejemplo: .P recta o línea- se extiende al infinito ambas direcciones y carece de ancho. Las rectas se nombran con letras minúsculas o dos puntos en ella. m A recta m o AB B plano- un plano se extiende al infinito en todas las direcciones y no tiene grosor alguno. Los planos se representan regularmente como una figura de cuatro lados y se nombran con letra mayúscula. E Plano E C - Conceptos definidos espacio- es el conjunto de todos los puntos. puntos colineales o alineados- son aquellos contenidos en una línea o recta. A, B, C, son colineales puntos no alineados- son aquellos que no se encuentran contenidos en una misma recta. . A, B, C, y D no son colineales (D no esta en la misma línea) .D D punto o rectas coplanarios- son aquellos puntos o rectas que se encuentran en un mismo plano. puntos o rectas no coplanarios- no están en el mismo plano T,S,Q,R son coplanarios; rectas m y k son coplanarias U no es coplanario; la recta n no es coplanaria “estar entre”- se utiliza para describir puntos colineales E está entre D y F D E F Intersección- el conjunto de elementos que dos conjuntos tienen en común. D. Postulados y Teoremas Postulado (Postulado de los puntos) El espacio contiene por lo menos cuatro puntos no coplanarios, ni colineales. Un plano contiene al menos tres puntos no colineales. Una recta contiene por lo menos dos puntos. Postulado (Postulado de la recta) Dos puntos están contenidos en una y sólo una recta. Postulado (Postulado del plano) Tres puntos no colineales están contenidos exactamente en un plano. Postulado (Postulado del plano llano) Si dos puntos están contenidos en una recta, entonces la recta que los contiene está también contenida en el plano. Postulado (Postulado de la intersección de planos) Si dos planos se intersecan su intersección es una recta. Teorema 1 Dos líneas se intersecan en exactamente un punto. Teorema 2 Una línea y un punto fuera de ella, están contenidos en un sólo plano. Teorema 3 Si una línea interseca un plano, pero no está contenida en él, su intersección es un punto. Teorema 4 Si dos líneas se intersecan, están contenidas en un sólo plano.
