Subido por mauroamarillo

La Dimensión Filosófica del Formalismo Matemático

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La dimensión Filosófica del Formalismo Matemático:
una presencia en ausencia y las implicancias en la educación
Mauro Amarillo1
“La mente intuitiva es un regalo sagrado y la mente
racional es un fiel sirviente. Hemos creado una sociedad que
rinde honores al sirviente y ha olvidado al regalo.”
Albert Einstein
1. Introducción:
Desde tiempos inmemoriales el conocimiento matemático se constituyó desde dos grandes
dimensiones, una referida a la producción misma del conocimiento, en sus formas técnicas y de
productividad,- lo que hoy diríamos epistemológicas-, y otra tanto o más significante que la primera:
la dimensión metafísica u ontológica de dicho conocimiento, interrelacionadas desde su génesis. Sin
embargo en el devenir histórico de la ciencia, el costado metafísico aparece desplazado
progresivamente hasta ser prácticamente ignorado. Tal vez por la conjunción inseparable entre lo
epistemológico- cálculo, demostración, formalización y modelización- y el desarrollo de las ciencias
físico-naturales y la tecnología. O tal vez siguiendo la tendencia general, en la cual “la ciencia” ha
impuesto su propia concepción filosófica en el Siglo XX: el positivismo. Inhibiendo de este modo
a la reflexión filosófica, por carecer de demostración en el sentido “matemático” de la palabra;
oponiendo la justificación argumental a la demostración matemática.
Esta oposición virtual enmascara la relación inseparable entre la producción del conocimiento
matemático y las concepciones filosóficas fundantes del mismo, supuestos que se proyectan desde
el pasado, a pesar de que su “presencia” se materializa en “ausencia” en el presente y que
inevitablemente tiene sus correlatos en la trasposición educativa. En ese “olvido” aparente de lo
ontológico en ausencia –y como justificaremos – de presencia por su falta, es donde pensamos
trabajar, acotando la mirada en uno de los temas que han dotado de poder explicativo, de
significación científica y de gran prestigio social a la Matemática, como inherentes a su esencia: el
formalismo y su concepción de demostración.
Matemática: antiguo y venerado Palimpsesto 2
El surgimiento histórico del formalismo vino a satisfacer una imperiosa necesidad a la hora
de posicionar al conocimiento matemático como un instrumento de desarrollo técnico, liberador de
los límites del llamado espacio euclidiano y de otras fronteras de la intuición humana. Pero el
1
Licenciando en Ciencias de la Educación egresado de la FHCE 2003. Profesor de Matemática en Enseñanza
Secundaria. Maestrando en Filosofía Contemporánea (FHCE)
2 “Pergamino o escrito antiguo sobre el que se ha escrito más de una vez y que conserva más o menos restos del
texto o los textos primitivo” Referencia de J. Ferres a la Matemática.
formalismo hilbertiano- sobre el cual reflexionaremos-, es creado como instrumento de legitimación
de teorías históricamente relevantes cuestionadas en su validez y formulación básica. El origen del
formalismo hilbertiano es entonces desde este punto de vista un instrumento metodológico sin las
ulteriores pretensiones universalistas que surgen posteriormente en el acalorado debate llamado
“crisis de fundamentos de la Matemática” a principios del siglo XX. Sin embargo, no se pueden
soslayar ni los momentos históricos ni las circunstancias de debate filosófico en que este
conocimiento matemático se crea, en tanto que como todo conocimiento humano es también un
producto cultural, sostenido por cimientos metafísicos que trascienden a la conciencia de sus
creadores. Nos proponemos mostrar como la percepción de las matemáticas, especialmente en el
ámbito educativo, se ha reducido a su dimensión técnica, esta reducción parecería sustentarse en
una lectura simplificada del formalismo, nos proponemos mostrar las debilidades filosóficas de tal
versión grosera del formalismo y rescatar la dimensión ontológica del conocimiento matemático,
reivindicando su valor en el campo educativo.
El Formalismo matemático y su noción de demostración
La demostración es una actividad característica de la matemática; pero su concepto se ha
modificado históricamente. De hecho, la actividad demostrativa ha evolucionado con la matemática
misma, dejando, en cada momento la huella de la íntima relación entre los métodos de demostración
y la naturaleza de los objetos matemáticos, visualizados desde las diferentes miradas culturales y
concepciones filosóficas de cada tiempo histórico.
La matemática griega encontró necesario sustituir la verificación empírica, relativa a hechos
geométricos que podían ser “vistos” por algo nuevo: eso ocurre cuando los objetos de la matemática
dejan de ser representaciones gráficas de objetos naturales y empiezan a ser objetos abstractos:
números y figura. Pero la tradición indo-arábiga introduce juntamente con la notación aritmética y
algebraica un concepto de demostración en que la manipulación de signos adquiere creciente
importancia hasta constituirse en dominante durante el siglo XX. En su versión más fuerte, llega a
afirmarse que una demostración es manipulación simbólica reglada de símbolos sin significado. Y
en esto reside la llamada concepción sintáctica de demostración.(C.S.D)
Suele atribuirse esa versión fuerte al matemático alemán David Hilbert. En geometría Hilbert
propone que los resultados que se deduzcan de los axiomas tendrán el carácter de “deducciones”
pero no un valor asociado de verdad, a diferencia de la axiomática euclidiana que transfería dicho
carácter -originario, y genésico- de los axiomas a las deducciones posteriores garantizando de ese
modo la verdad del resultado así obtenido. La organización en postulados verdaderos -fundantes del
conocimiento vía deducción- desarrollado en la Antigüedad Griega, sufre de este modo una
metamorfosis conceptual al modificar la relación entre el conocimiento matemático y la verdad.
Hilbert necesitaba demostrar que las teorías históricamente relevantes de la Matemática con
axiomas nuevamente reformulados eran consistentes, esto es que sus pruebas eran legítimas.
“Para Hilbert, la fundamentación de la matemática esto es para el caso, la demostración de
consistencia de la aritmética, es un problema a ser resuelto con instrumentos también matemáticos.
Ese problema es objeto de una disciplina la metamatemática o teoría de la demostración. En otras
palabras la matemática es un sistema formal total o parcial sin significado para la metamatemática.
El formalismo de Hilbert como preferimos afirmar es un formalismo metodológico.”3
Desde esta posición la formalización axiomática -es para Hilbert- una herramienta
metodológica4 a los efectos de legitimar los conceptos y métodos utilizados por las teorías
matemáticas históricamente relevantes, que habían sido cuestionadas en su validez –por el
intuicionismo y otras corrientes - al surgir objeciones a ciertas demostraciones primero y paradojas
relacionadas con conceptos básicas aparentemente inobjetables después. Esta propuesta consiste en
verificar si la teoría interpelada es consistente, esto implica someter sus bases conceptuales a un
proceso de formalización siendo analizada desde una perspectiva metamatemática. La teoría
subsistirá si no implica contradicción lógica. Formalizar – según esta perspectiva- se refiere
entonces a quitar el significado a los signos para operar con ellos en una especie de “cálculo ciego”.
Al modificar la concepción de formalización también se modificará la concepción de demostración
matemática asociada, más conocida como concepción sintáctica de demostración. Con este
procedimiento se vuelve mecánicamente decidible si una secuencia de formulas es o no una
demostración. Pero debe destacarse que esta concepción estaba fundamentalmente asociada con un
proyecto de fundamentos de la matemática, pero no con la intención de describir la práctica
demostrativa real.
“La matemática es una teoría deductiva que parte de conceptos primitivos y axiomas.
Todos los demás conceptos son definidos a partir de los conceptos primitivos.
Todos los teoremas que no son axiomas, son probados a través de los axiomas y ciertas
reglas de inferencia. Esto no necesariamente refleja el proceso por el cual la matemática
es creada, pero tiende a ser la forma en que la matemática es presentada en los libros de
texto y en las publicaciones especializadas”. 5
Como problema central nos planteamos lo siguiente: ¿por qué identificar la demostración
matemática con demostración en un sistema formal, noción caracterizada como “concepción
sintáctica de demostración?
Consideramos que tal identificación es infundada y que esta
3 Lasalle Casanave “El programa de Hilbert y el origen de la teoría de la demostración”
4 Posición defendida por el Dr. Abel Lassalle Casanave y a la cual suscribimos en el presente trabajo
5 Vinner, Sholomo, “Advanced Mathematical Thinking Editado por David Tall (1991)
Academic Publishers (negritas nuestras)
prevalencia está basada en supuestos filosóficos no explícitos que inhiben por inconveniencia (no
de orden técnico) otras formas de demostración, estableciendo por lo tanto una preeminencia de tipo
hegemónica sobre las demás formas de demostración matemáticas.
Existen otros modos o tipos de prueba matemáticos de idéntica legitimidad que son tan válidos
y consistentes como instrumentos de prueba, sin embargo terminan siendo desechados o cribados a
una dimensión de orden “pre-formal”, no “demostrativa”, legitimada solo desde el punto de vista
educativo, como una especie de tránsito necesario para el acceso al conocimiento matemático
formalizado. Las presentaciones educativas desde este ámbito “pre-formal”, son observadas como
antesala o camino previo necesario para la comprensión. Pero se conjuran como problema al
identificar validez solo con la concepción sintáctica de demostración, derivada de la formalización
axiomática, pues los diferentes tipos de demostración que no cumplen las condiciones de dicha
concepción aparecen como carentes del estatus requerido y en consecuencia dejan de ser –en
apariencia- demostraciones. De esta forma estos tipos de prueba6 ven “relegada” su función
demostrativa a una especie de aproximación visual o pre-formal de la “verdadera” demostración.
Esta sinonimia tiene implicancias en la educación matemática y en consecuencia las prácticas de
aula responden indirectamente a postulados filosóficos que se reproducen ajenos-en términos
generales- a la comprensión y al conocimiento de los propios docentes. Las concepciones
metafísicas y epistemológicas de la matemática que sostienen esta concepción de demostración
como hegemónica tienen sus correspondencias y correlatos educacionales. En estas visiones
pedagógicas de la matemática se evidencia el apego a la formalización axiomática como el árbol a
su tutor, que si bien lo endereza también lo aprisiona, el apego del docente al saber eterno, como el
vagón al riel, transfiriendo con ello una visión deformada del significado conceptual del
conocimiento matemático, y de cómo ese conocimiento se produce y se valida. Se filtran en ello
concepciones que prestigian al conocimiento matemático sacralizándolo, como inasible, eterno y ahistórico, generado por un sujeto omitido sin tiempo ni lugar. Un producto cultural humano que
disocia los lazos vinculares con la cultura que la creó presentándose como ajeno a los avatares de la
sociedad. Y esta inercia desvinculante, según Chevallart- se potencia en el aula aún más, pues la
acción educativa y comunicacional, transforma “didácticamente” todo origen y vestigio histórico,
sustrayendo materialidad y génesis humana.
“El saber que produce la trasposición didáctica será por lo tanto un saber exiliado de sus orígenes
y separado de la producción histórica en la esfera del saber sabio, legitimándose, en tanto saber
enseñado como algo que no es de ningún tiempo ni de ningún lugar y no legitimándose mediante el
6 Hacemos uso de la palabra prueba en la acepción proveniente del inglés proof o prova del portugués como sinónimos
de demostración
recurso a la autoridad de un productor, cualquiera que fuere” 7
En esta cita de Chevallart se justifica la densificación de la tendencia de apariencia ontológica
del conocimiento matemático: la función obturante de la visualización de los verdaderos caminos
de la práctica real demostrativa, inherente -según pensamos- a las concepciones filosóficas que
animan al instrumento de formalización y no al propio conocimiento matemático.
Sin embargo lejos de visualizar el formalismo como un método de legitimación meta-teórica se ha
concebido como ontológico e inherente a lo matemático, y más, se tiende a considerar el método
axiomático como sinónimo de Matemática.
“Es desde la perspectiva de la metamatemática que la aritmética (o la matemática en general) se
reduce a secuencias de símbolos desprovistos de significado. Y esto es así porque sería la
demostración metamatemática de consistencia la que legitimaría los conceptos y métodos de la
aritmética contentual8
objeto de la crítica constructivista. Esta condición obliga a que los
conceptos y métodos metamatemáticos sean de naturaleza contentual y que exhiban como exige
Hilbert, la misma confiabilidad de los conceptos y métodos de la aritmética finitaria. Pero esto no
implica una reformulación radical de la matemática que pasaría a ser comprendida como un
sistema de fórmulas sin significado”9
Intentaremos describir los supuestos filosóficos que la trasposición del conocimiento
matemático tiene imbricadas y que se materializan como obstáculo para su intelección; transferencia
del saber que lleva inserta en su seno- como caballo de Troya- antiguas concepciones que por
encubiertas no son tomadas en cuenta a la hora de diseñar y pensar soluciones al fracaso creciente
de la educación matemática. Se suman a esta tarea de explicitación filosófica, la elucidación del
peso relativo de los posibles problemas en el manejo y la operación simbólica, constitutivos de los
lenguajes formales.
Formalismo: rigor, rigidez y enseñanza de la matemática
La metáfora de considerar al conocimiento matemático como un palimpsesto tiene inserta una
tensión constitutiva. La idea de una permanente reelaboración de borrado y sobrescrito expresa el
concepto de proceso, de construcción histórica y cultural que se criba al presentar al conocimiento
matemático como un producto terminado. El proceso de reelaboración, de borrado y sobre escritura
tiene implicado no solo el error como parte de la producción del conocimiento si no tal vez algo no
menos importante a saber: la idea de sujeto que parece sustraerse en su presentación académica.
Por otro lado y en constante tensión el palimpsesto presenta su otra acepción. Como tablilla de
7 Chevallard, Ives: “La trasposición didáctica. Del saber sabio al saber enseñado. Pág. 5
8
Termino portugués que denota una Aritmética provista de sintaxis y semántica
9 Lasalle Casanave “El programa de Hilbert y el origen de la teoría de la demostración”
arcilla que si bien también se sobrescribía, el secado le daba la forma definitiva a la marca que allí
quedaba en forma permanente. El conocimiento se obtuvo gracias a la huella impresa sobre la forma
y a la dureza del soporte comunicacional al ser utilizada como ladrillo por otras culturas a las que
la produjeron. El conocimiento matemático también esta prefigurado como esa tabla de arcilla. Es
conocido en muchas instancias gracias a su forma, confundiendo el rigor con rigidez,
confundiendo estabilidad con eternidad e inmutabilidad. El alumno no comprende claramente
esta tensión que se expresa en cada una de las instancias educativas. Es decir se le dificulta la
visualización en como los objetos matemáticos son una y otra cosa a su vez en diferentes instancias.
El lenguaje simbólico matemático es lenguaje con significado (¿tiene sentido un lenguaje que no lo
tenga?) y a su vez instrumento de formalización que potencia el mecanismo de demostración
deductiva en las que los objetos formalizados son sustraídos de su semántica. Una especie de cálculo
ciego en el que la verdad si aparece es luego de la testabilidad.
En conclusión “el lenguaje formal” es instrumento de constitución dual a saber: es sintáctico como
mecanismo de producción de conocimiento o convalidación del mismo y es semántico cuando se lo
pretende comunicar. Muchas veces está última función no logra configurarse pues tal vez -como
intentaremos argumentar- el sentido de comprensión del docente no es siempre el mismo que el del
alumno. El primero restringe su amplitud a estructuras sintácticas, sentenciales y escuetas, y este
proceso de densificación del sentido de comprensión-valorado técnica y axiológicamente- se aleja
de la forma en la que el alumno está en -términos generales- en condiciones de comprender.
El palimpsesto resulta una interesante metáfora con en la cual explicar la tensión en el que el
conocimiento matemático se posiciona en las tensiones producción/ reproducción es decir
matemático /profesor, saber sabio/ saber a enseñar, al decir de Chevallart. Comprender e investigar
estas tensiones tal vez ayude a comprender cómo las concepciones ya desarrolladas hacen impacto
y tienen un desarrollo camuflado, soterrado que se producen/reproducen epistemológica y
axiológicamente en el aula. Elucidar estas relaciones entre metafísica, epistemología y educación
tiene-según argumentamos- importantes implicancias en el abordaje de los problemas de la
enseñanza de la matemática. . Es necesario profundizar sobre estos aspectos que tienen que ver con
las dimensiones filosóficas, epistemológicas e históricas de este conocimiento humano que muestra
su producto final ocultando su derrotero histórico.
Interrogantes e implicancias en la educación
La motivación original del proyecto es la restitución de la dimensión ontológica y
epistemológica del conocimiento matemático no como el lugar donde hallar las soluciones a los
problemas filosóficos y educativos. Sino como el no-lugar, como el punto ciego desde donde es
dable inferir que se producen un conjunto de supuestos y significados que son aceptados sin la
necesaria problematización y conciencia. Un no- lugar que se oculta detrás de lo técnico y del éxito
productivo pero que sin verse, se siente y se evidencia en el fracaso educativo de crecimiento
exponencial. Su ausencia inhabilita una mejor intelección de un conocimiento que se ha prestigiado
socialmente a lo largo de la historia por sus relaciones intrínsecas con el desarrollo de la ciencia y
la tecnología. Pero que no logra revertir una satisfactoria comunicación educativa. Esta es una
preocupación central, adentrarnos en los conceptos metafísicos y epistemológicos de la matemáticaen particular del formalismo- para ampliar la capacidad de intelección sin restringir la mirada y sin
obturar las preguntas.
En estas reflexiones aparecen en juego muchas de las categorías intelectivas de la razón como la
comprensión, la evidencia, el razonamiento deductivo y hasta categorías definidas desde la sicología
como el insight. La complejidad del campo educativo debe prevenirnos de establecer rápidas
generalizaciones que nos pueden llevar a inferencias sin valor. Este trabajo por su extensión y tipo
abordará aspectos generales, intentando avanzar desde la nominación de los problemas detectados
enunciando teóricamente a lo más explicaciones de su existencia.
1. Implicancias de orden metafísico: ausencia de la dimensión ontológica como espacio
actualmente nulo de reflexión pero no de acción y prácticas;
 Problema filosófico 1: la sinonimia entre formalización de teorías con formalismo
hilbertiano es identificar a la condición técnica de la disciplina con una concepción
filosófica de la Matemática
 Problema filosófico 2: la sinonimia de formalismo Hilbertiano con Matemática es
identificar a una concepción filosófica de la misma con la disciplina.
 Problema filosófico 3:
la falsa uniformidad que se enuncia del modo siguiente: la
concepción sintáctica de demostración tiende a ser identificada como “la prueba”
matemática esto implica la transferencia de un modo de demostración admisible en sistemas
formales a la teoría matemática enseñable
Hemos presentado hasta el momento 3 grandes problemas de orden filosófico que no se visualizan
como existentes dentro de la presentación pública de la disciplina como ausente de dimensión
filosófica. La opacidad de la relación Matemática y Filosofía ya lleva casi un siglo de hegemonía y
los sedimentos de su existencia obturan la reflexión dificultando el entendimiento. Creemos como
Emmánuel Lizcano (1993) que la búsqueda tiene rasgos arqueológicos intentando reconstruir
derroteros históricos conjeturando explicaciones de un pasado escurridizo a partir de las
consecuencias presentes. En el estado actual de nuestras hipótesis los limitaremos desagregar las
implicancias de estos problemas filosóficos en la práctica educativa matemática, como forma de
pavimentar un camino aún muy fangoso de investigación filosófica.
2. Implicancias relativas a la relación entre comprensión y tipo de demostración.
La organización del conocimiento matemático dispuesto en clave educativa no es un sistema
formal, simplemente porque es un sistema que contiene proposiciones con significado.
Sin embargo la concepción subyacente dominante de la práctica educativa matemática al menos en
nuestro contexto – concepción que pretendemos caracterizar con mayor precisión- parece adoptar
algunos supuestos correspondientes a las tesis más generales de la filosofía denominada
“formalista” y que se asocia, justicieramente, al nombre de David Hilbert. En ese marco, la noción
de prueba que se asume es tributaria de la concepción sintáctica de demostración. Esta concepción
de la matemática se proyecta mediante una especie de función a la que llamaremos función de
inercia formalista, a la expresión discursiva educativa del conocimiento matemático. Esta inercia
formalista es un impedimento estructural que no permite problematizar la noción de demostración
Esta transferencia conceptual impide por analogía10 – en forma no consciente - la no aceptación de
otras formas de demostración que en el campo del dominio de esta función no son válidas.
Recordemos que cuando hacemos referencia a un sistema formal estamos tomando por formal la
concepción que implica que “...no toma en cuenta el significado de los símbolos que empleamos y
en cambio privilegiamos los aspectos puramente sintácticos y computacionales (o algorítmicos) de
los signos.”11
En otras palabras la relación entre sintactismo y demostración matemática en el campo educativo
no se funda en aspectos epistemológicos o técnicos, sino en un impedimento de corte metafísico al
transferir en forma inercial la concepción sintáctica de demostración desde el ámbito del formalismo
matemático a la teoría matemática y por una transferencia particular -compuestas por varias
dimensiones- al conocimiento enseñable, es decir a los textos de educación matemática y al discurso
existente de la disciplina en el universo educativo. Paradójicamente esta inercia transfiere un modo
destormado y particular de interpretación del formalismo no como método sino como ontología de
“lo matemático”.
Esta “inercia formalista” comparte responsabilidad –como intentamos demostrar- en erigir los
obstáculos en la educación matemática a la hora de aceptar como válidas otras formas de
demostración.
3. Implicancias de orden comunicacional: lenguaje formal y los problemas de tensión
sintáctico- semánticos y la relación con la comprensión
 Educación: acto esencial de Comunicación.
10 Analogía es la primera forma a la cual nos afiliamos de transferencia conceptual sin agotar la búsqueda.
11 Klymovsky, Gregorio. “Las desventuras del conocimiento matemático” Pág. 114
El conocimiento se imparte y se legitima no solo en los textos, básicamente nuestra primera
aproximación se produce en la “noosfera”12 del aula. El discurso matemático es traducido
inicialmente por la interpretación docente por lo que podemos inferir que al observar su
comportamiento pedagógico podremos iluminar los rastros de las teorías que se profesan aún sin
conciencia de ello.
La formalización en su versión más fuerte consiste en una extracción del significado a los efectos
de operar con símbolos en lo que llamamos concepción sintáctica de demostración. Pero esta
identificación de demostración matemática con la C.S.D no es inocua. Esto puede observarse con
crudeza en el aula y sobre todo en la práctica demostrativa cuando la incomprensión parece
instalarse con dificultosa remoción.
Podemos afirmar que el instrumento de formalización, es decir, los símbolos matemáticos que
conforman el lenguaje formal, se constituyen esencialmente desde una tensión, con funciones de
carácter dual. Estos tienen significado en tanto lenguaje, significado que es sustraído para poder
operar una y otra vez, debiéndoseles restablecer el sentido una vez finalizado el cálculo a los efectos
de la comunicación que habilite la interpretación que lleve a una probable comprensión. Esta
condición particular de los lenguajes formales - esencial a su existir y a su función lógica-parece
haber sido naturalizada y ocluida inhibiendo su explicitación. Podemos inferir que la comprensión
es posible de quedar interdicto, atrapada en ese juego de sustracción y reasignación de significado
sin que ello implique que quién observa el desarrollo de una demostración matemática deje de seguir
las deducciones lógicas del cálculo.
El problema podría enunciarse en cuál es la diferencia entre como se observa y se comprende-por
el docente y el alumno- la relación entre las condiciones iniciales de la proposición matemática a
demostrar y el proceso de demostración. La consistencia lógica de tipo sintáctico parece no alcanzar
para la comprensión si la comunicación queda reducida a estructuras lógico-deductivas. Parece ser
que la C.S.D no solo oculta el carácter dual de la función demostrativa sino que prioriza la función
sustractiva, soslayando como natural el restablecimiento semántico para la interpretación de ahí, tal
vez, el desprecio por formas de demostración que se posicionan desde miradas menos sentencialistas
donde la prueba visual demuestra desde una totalidad no secuencial o finita.
¿Cómo es observado esto por el estudiante?. ¿Cómo se interpreta el uso de signos que no significan
nada y que sin embargo deben significar para ser interpretados? ¿Son estas reflexiones del orden
de las preocupaciones de los docentes?
El lenguaje formal -presentado de este modo-se torna críptico e inasible haciendo del aprendizaje
matemático un trayecto de grandes esfuerzos. Desde este lugar se conjura en apariencia la existencia
12 El aula como Campo Resonante donde la Mente manifiesta su percepción, evolucionando desde la inconsciencia divergente
hasta la conciencia intrínseca convergente de la realidad. Espacio de intercambio inestable de significados
de un envoltorio casi impermeable al conocimiento matemático estableciendo una especie de halo
inaccesible y protector que lo hace de difícil abordaje
Una especie de Platonismo ingenuo se instaura en la matriz de significados de la producción del
pensamiento pedagógico matemático. Y justificamos esta afirmación no en la prueba argumental de
las posturas docentes defendiendo esta concepción filosófica, sino en las actitudes relacionadas a la
conceptualización del conocimiento matemático que se enseña o a la falta de ella. Vacío que siempre
se reconstituye en el marco de la inercia institucional como fundante de subjetividades asociadas a
las tendencias estructurales que prestigian y convalidan al conocimiento matemático desde el punto
de vista social.
En el marco de la naturalización ya descripta y de la concepción sintáctica de demostración surgen
algunos conceptos a saber: mientras más escueta y simbólica sea una demostración, su expresión
discursiva se aproximará a un ideal estético fundado a partir de principios axiológicos sobre la
función preventiva y “positiva” de las relaciones lógico-deductivas, refugiándose en un mundo de
significados restringidos a los sujetos que producen el conocimiento, lejanos de la polisemia
“contaminante” de la indeterminación semántica.
“ Así como el ser humano se dedica a la plástica, a la poesía o a la música que no pueden ser
evaluadas en términos de “utilidad” sino de criterios estéticos, quien tenga vocación por la
matemática puede encontrar en ella un grado tal de belleza que no es fácilmente superable por
otras aventuras de la experiencia humana” 13
Lo semántico entonces no aparece como una de las dimensiones del lenguaje formal, lo semántico
aparece subordinado e inscripto en lo sintáctico. La unicidad de la interpretación, uno de los
objetivos de los lenguajes formales, aparece aquí como fundante de la exclusión de la polisemia
indeseada pero también de la interpretación en sí misma, dificultando entonces la comprensión. La
transferencia del paradigma estético se produce del matemático al docente a través del texto
primero,- en el cual se forma-, para luego reproducirla en el manual que el profesor diseñará para
enseñar. La dimensión estética tiene bases metafísicas algunas de ellas asentadas en principios
filosóficos profundos que refieren a preguntas originarias, como que es la Matemática y cuál es su
relación con la realidad.
“ La imaginación y la matemática no se contraponen; se complementan como la cerradura y la
llave (..) y que como la música, (la matemática) puede prescindir del universo”14
Lo estético es una apreciación -personal/ colectiva- que tiende a difundirse en la comunidad, lo
bello aparece como la determinación virtualmente subjetiva que se presenta como propia del sujeto
que aprecia y que evalúa pero fundamentalmente que goza. Algo apreciado – en términos generales13 Klimovsky, Gregorio “ Las desventuras del conocimiento matemático” Pág. 23
14 Borges José Luis, Citado por Klimovsky, Gregorio en “ Las desventuras del conocimiento matemático” Pág. 23
es lo que nos da placer y no sufrimiento, y ésta es otra de las contradicciones fundamentales en la
que la comunicación del conocimiento matemático queda atrapada: el placer de enseñarla desde
parámetros meramente formales presuponiendo que el gozo desde el cual se posiciona el profesor
debe ser compartido por el alumnado. El aprecio al sintactismo, al sentencialismo y al uso exclusivo
del lenguaje formal como instrumento comunicacional tiene a la vista otro arraigo significante: la
reproducción estética de un gozo intelectual, enmarcada en una tendencia axiológica que
retroalimenta esa postura como políticamente correcta además de placentera.
El conocimiento trasporta imbricada una dimensión axiológica en la que se prestigia o se clausura,
se promueve o se sanciona es decir, establece los límites no visibles de lo que debe ser. Las fronteras
así definidas legitiman como absoluto y verdadero lo que es relativo.
4. Implicancias de orden axiológico: valoraciones sociales, status y jerarquía de lo
matemático
Muchas veces nuestros docentes interpretaron nuestras dificultades o nuestras interpelaciones
como anomalías subjetivas referidas a actitudes o aptitudes, “echando” a la sombra del inexpugnable
edificio matemático -que parecía ser inmutable- nuestros argumentos pero también a nosotros
mismos: los alumnos. Parafraseando al filósofo “el bebe se tiro con todo y el agua sucia.” Y hasta
lógico resulta, pues el alumno modelo... ¿criticaría un sistema que lo promociona y valora?
La obtención de los códigos de acceso implica el desarrollo de un habitus particular por lo que el
relacionamiento subjetivo establece jerarquías sociales con los “porteros del castillo imaginario”
que el conocimiento matemático configura: los profesores. Estableciendo de este modo jerarquías
sociales que determinan el modo de distribución y circulación en la territorialidad del hábitat
matemático que se construye bajo formas axiológicas e interpersonales. El poseedor del código
perfecto que imbrica la verdad mantendrá abonado,- mientras postule esta concepción distorsionada
del saber matemático-, el terreno que genera el bloqueo y muchas veces el terror asumiendo la falta
de saber solo desde un lugar: el del alumno. El poseedor del almácigo de significantes, el Otro al
decir de Lacan (el profesor), se erige instituyente de una relación neurótica en la que el estudiante
acepta como explicación su incapacidad.
“A diferencia de otros discursos científicos más o menos formalizados, desde las ciencias más
duras o más blandas, el discurso matemático parece ofrecer una insólita resistencia a dejarse
analizar por ellas. Ni la sociología ni la historia ni la antropología ni la hermenéutica, por solo
citar algunas de las metodologías consideradas, llegan a concluir otra cosa que la imposibilidad
de encontrar en el interior de los objetos matemáticos ninguna traza social, histórica o propiamente
simbólica que los constituyera de modo efectivo, no meramente circunstancial (...) Las matemáticas
se adornan de ese halo protector- propio de los discursos sagrados- que las hacen excepcionalmente
impenetrables a los análisis de las ciencias humanas.”15
La posesión o la falta del saber matemático generan, una distribución social del conocimiento y
en consecuencia un ordenamiento social de los individuos. Son dos caras de la misma moneda. El
éxito de quienes logran poseerlo o su anverso la exclusión de los impíos. Es ahí donde se escamotea
la idea de proceso y de construcción social, y se habilita la aceptación del fracaso como consecuencia
de incapacidades innatas y e individuales. El rigor y la aridez de la demostración no aparecen como
el producto de sucesivos intentos infructuosos, surgen como el toque mágico del hechicero que
genialmente resuelve un determinado problema matemático sin el necesario y gris esfuerzo de
reelaboración cotidiano. El error se desvanece de la práctica científica y de esta forma se lo coloca
en un lugar despreciable, no como necesario para el acceso al conocimiento sino como el residuo
no deseado, el desecho a ocultar. En estas circunstancias el conocimiento deja de ser inteligible
para transformarse en verdad revelada.
Es observable tanto en los ejemplos presentados como en la práctica docente cotidiana que los
profesores se refugian en la demostración sintáctica como sinónimo de demostración
matemáticamente válida. Es posible pensar que la tradición de su formación incide en esta actitud,
el peso de la historia y como ya hemos expresado cierto halo de poder que se cuela en la evaluación,
al sentir el sujeto enseñante que maneja un código restringido de dificultoso acceso para los
aprendientes. La dificultad de la comprensión de una demostración lejos de configurarse en una
preocupación paralizante o pro-activa hace de la práctica cotidiana una especie de profecía
autocumplida: solo unos pocos acceden a su dominio; fundada tal vez -y en algunos casos- en un
imaginario perverso que busca cobrar tributo a un pasado de insatisfacción donde el rigor
matemático se sinonimizó como rigidez. La economía lingüística de la demostración sintáctica
posiciona al docente en un lugar de poder, en tanto él es el que parece comprender lo que los alumnos
a lo más entienden. La contradicción se instala en la medida que mientras menos abstrusa sea una
demostración la relación de poder se desarticula. Y esto no implica suponer que existe un grado de
conciencia malevolente en profesores castigadores. Es la circulación de los juegos de poder que se
establecen en los sujetos cuando en determinadas condiciones históricas acceden a conocimientos
valorados culturalmente como “solo para elegidos”, lo fue la escritura en la antigüedad, lo fue la
ciencia en la modernidad y ha sido la matemática de su génesis. El formalismo y su concepción
sintáctica de demostración travestidas como “La matemática” se han transformado sin pretenderlo
en un instrumento de legitimación de poder y obstáculo para un aprendizaje más amigable del
conocimiento matemático.
Pero por otro lado el apego a la tradición formalista de demostración, se configura además desde un
15 Lizcano, Emmanuel. “ Imaginario colectivo y creación matemática”
lugar menos omnipotente, no es la detentación del poder desde el saber sino la inseguridad que se
pretende soterrar ante formas de demostración en las cuales los educadores no están formados. Sin
embargo observamos un problema de mayor envergadura en esta negación. Las demostraciones de
carácter visual se construyen desde una totalidad, lo que llamamos “golpe de vista”, esto no sería
un problema y no lo es - como ya lo hemos justificado- en la práctica demostrativa matemática que
se configura desde este “insight”, aunque el teorema a enseñar se presente como la lógica deducción
de un número de conjeturas matemáticamente válidas. Si la demostración visual fuese incorporada
a “la caja de herramientas del docente” este haría un uso seguro de ésta. El dilema se crea cuando
el alumno demuestra -desde estos parámetros- un problema pensado desde otros. La dificultad del
alumno de poder dar cuenta de su visión totalizante, de su “insigth” en la medida que no tiene
elementos lingüísticos de fundamentación, hace que el docente descarte- en términos generalescomo válida la prueba del problema pues es también evidencia de su propia falta de saber.
En realidad ver de este modo el apego al sintactismo es iluminar el lado oscuro de la moneda en la
medida que son tan opuestos los conceptos que terminan complementándose. La concepción de
prueba sintactista y el manejo simbólico son para el docente no solo el instrumento de poder sino
además el “escudo” frente a la incertidumbre que emerge ante la creación matemática espontánea
de la mentes jóvenes, que buscan sin andamios resolver el problema propuesto.
Este trabajo ha pretendido introducir la reflexión filosófica en la resistente cobertura de la
demostración sintáctica y el conocimiento matemático en general, a los efectos de pensar los
problemas de la educación matemática con una mayor profundidad sin que ello signifique
posicionarnos desde una postura anti formalista. Tan solo en el reconocimiento de sus limitaciones
tal vez podamos ver el alcance real de sus potencialidades sin el sabor amargo del creciente fracaso
educativo.
Conclusiones:
1.
La justificación de la presencia de una dimensión filosófica invisibilizada pero presente en
las prácticas cotidianas, es un esfuerzo por ampliar la base teórica del abordaje de los crecientes
problemas del fracaso escolar en el ámbito de la Educación Matemática. La concepción naturalizada
de la Matemática como una ciencia carente de dimensión filosófica ha sido debidamente combatida
desde el presente trabajo, desde una posición tal vez ecléctica y un tanto empirista pues los
supuestos esgrimidos han partido desde la práctica docente en la búsqueda de explicaciones fuera
de los ámbitos comunes o de las justificaciones tradicionales.
2. Hemos descrito aún superficialmente la existencia de algunos problemas que han trascendido el
ámbito de la propia disciplina conjurándose como problemas filosóficos de la misma, al trasvasar
el carácter técnico para configurarse en metafísicos. Solo de este modo se puede intentar
comprender como formas de demostración aceptadas en sistemas formales se transfieran en el
tiempo y en espacio a la educación matemática sin más transformando una predilección en cuasi
exclusividad.
3. Continuando con la misma metodología hemos partido desde la incomprensión del alumno ante
la “claridad” del discurso formalizado carente de dualidad semántica pero constituida por elementos
de extrema opacidad que dejan interdicta –en términos generales- la comprensión. En este punto se
ha descrito la función compleja del lenguaje formal y su condición dual sintáctico-semántica, que
asociada a la predilección por la concepción sintáctica de demostración expresan en la práctica la
existencia de concepciones filosóficas ignoradas y subyacentes en la práctica demostrativa en los
textos y el aula. La llamada predilección sintactista ni es casual ni es inocua, su existencia -como
se ha justificado-deja casi con nula actividad a otras formas de demostración cribando el potencial
de las mismas a un lugar de función didáctica pre-formal no demostrativa. Es posible pensar que en
estas actitudes de negación del valor demostrativo de otras formas de demostración sea sin más la
materialización de una especie de prejuicio formalista y predilección sentencialista, aspecto
extraño pues como hemos justificado - en este tipo de prueba visual- la comprensión se asocia a la
relación del signo con su significado en forma más directa.
La predilección sentencialista puede ser explicada a partir de los efectos de la acción de una especie
de función proyectiva (Función de Inercia Formalista) que incorpora como natural la unicidad de
prueba matemática en el sentido sintáctico de la misma, transfiriendo las formas de demostración
de los sistemas formales a la práctica educativa. Por efecto de esta función se ha naturalizado lo que
hoy vemos como predilección por un lado y rechazo por otro soterrando las alternativas de
demostración por “parecer” no válidas.
4. Por otro lado se observa -con interesante resultado- que la incomprensión no es patrimonio
exclusivo del alumno pues el docente -ve perplejo- como lo que él presupone prístino se transforma
en ininteligible para su aprehendiente, quedando éste perplejo, temeroso o aburrido. Esta situación
establece relaciones neuróticas plagadas de temores y ansiedades. Sin embargo las soluciones que
se esgrimen son pensadas desde el mismo campo conceptual que produce los fracasos a saber: los
supuestos filosóficos desde los cuales se piensan las soluciones son los responsables de los dilemas
en curso. La investigación filosófica puede y debe aportar en este sentido para repensar desde ese
no-lugar donde anida en la actualidad la dimensión metafísica de la matemática, que en ausencia
virtual da cohesión a prácticas educativas.
5. Se ha trabajado en el intento de iluminar la aparente opacidad ontológica de estos elementos
constitutivos del discurso matemático -en formato educativo-, desagregando algunos de ellos en
aspectos un tanto más sencillos de comprender, describiendo en algunos casos la forma en cómo
operan y como persisten a pesar del tiempo. Y este no ha sido un trabajo menor pues el arraigo y la
persistencia -naturalmente multicausal- debieron ser abordados en sus múltiples dimensiones
describiendo razones filosóficas, estéticas, lingüísticas, axiológicas y de poder.
6. Se ha podido establecer que estas relaciones abonan el territorio de reproducción cíclica de las
concepciones hegemónicas del conocimiento matemático pues el placer de enseñarla desde
parámetros meramente formales presupone que el gozo desde el cual se posiciona el profesor debe
ser compartido por el alumno. El aprecio al sintactismo, al sentencialismo y al uso exclusivo del
lenguaje formal como instrumento comunicacional tiene a la vista un arraigo significante: la
reproducción estética de un gozo intelectual, enmarcada en una tendencia axiológica que
retroalimenta esa postura, pues además de “políticamente correcta” es placentera. La persistencia
de prácticas contradictorias -placenteras para unos y sufridas para muchos- : puede comenzar a
explicarse más adecuadamente saliendo de la perplejidad paralizante y del estupor por su
perpetuidad a pesar del número creciente de damnificados: los alumnos.
7. Es observable en la práctica cotidiana que los docentes se apegan a la demostración sintáctica
como sinónimo de demostración matemáticamente válida. Es posible pensar que la tradición de su
formación incide en esta actitud, el peso de la historia y como ya hemos expresado cierto halo de
poder que se cuela en la evaluación, al sentir el sujeto enseñante que maneja un código restringido
de dificultoso acceso para los aprehendientes y para sus colegas. Por otro lado el apego a la tradición
formalista de demostración, se configura también como andamio contra la inseguridad que se
pretende ocultar ante formas de demostración en las cuales los educadores no tienen formación. La
dificultad del alumno de poder dar cuenta de su visión totalizante, de su “insigth” -en
demostraciones de tipo visual u otras-en la medida que no tiene elementos lingüísticos de
fundamentación, hace que el docente descarte- en términos generales- como válida la demostración
realizada pues es también “prueba” de su propia falta de saber.
8. Finalmente el rechazo de otras formas de demostración o en el mejor de los casos su uso
“didáctico” como instrumento educativo no demostrativo ha llevado a que la demostración
matemática quede sujeta a la incorporación de un aparato lingüístico y conceptual (lenguaje formal)
que solo se adquiere adentrada la adolescencia -si es que esto ocurre-; imposibilitando el acceso
formativo a las estructuras deductivas no sintácticas que el esfuerzo demostrativo promueve en las
demostraciones de tipo visual por ejemplo. Este sería un aporte muy importante tanto en la
Educación Media como en la Escuela; no solo por la gracia de demostrar o resolver problemas sino
para generar el gusto por una disciplina que se asocia mayoritariamente como incomprensible,
necesaria pero imposible de aprender.
9. Tal vez lleve mucho tiempo visualizar este no -lugar desde donde se producen las categorías
conceptuales en como se ve, se cree y se vivencia a la Matemática esperamos haber colaborado
aportando un nuevo punto de vista a este interesante y necesario debate.
“Siempre hemos pensado que solo se puede enseñar lo que
se sabe. Hoy nos hemos dado cuenta que también se enseña lo que
no somos consientes que sabemos.”
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