Movimiento Ondulatorio

21
Movimiento ondulatorio
Movimiento ondulatorio
formado por una gota de
agua que cae en un tanque
de ondas. Las ondas son
capaces de transmitir
energía de un lugar a otro
como una perturbación,
sólo con movimientos
localizados de partículas
individuales. En este
capítulo estudiamos las
propiedades físicas de las
ondas mecánicas. (Foto ©
BS15 PhotoDisc/Getty.)
Objetivos
Cuando termine de estudiar este capítulo el alumno:
1. Demostrará por medio de definiciones y ejemplos que ha comprendido el
movimiento ondulatorio transversal y longitudinal.
2. Definirá, relacionará y aplicará el significado de los términos frecuencia, longitud de onda y rapidez para el movimiento ondulatorio.
3. Resolverá problemas en los que intervengan la masa, la longitud, la tensión y
la velocidad de onda, en el caso de ondas transversales en una cuerda.
4. Escribirá y aplicará una expresión para determinar las frecuencias características en el caso de una cuerda vibrante cuyos extremos están fijos.
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21.2 Tipos de ondas
427
La energía se puede transferir de un lugar a otro por diversos medios. Al golpear un clavo, la
energía cinética del martillo se convierte en trabajo útil sobre el clavo. El viento, los proyectiles
y la mayoría de las máquinas simples también realizan trabajo a expensas del movimiento de la
materia. Incluso la conducción de calor y la electricidad implican el movimiento de partículas
elementales llamadas electrones. En este capítulo estudiaremos la transferencia de energía de
un punto a otro sin que se realice una transferencia física del material entre los puntos.
21.1
Ondas mecánicas
Cuando se deja caer una piedra en un estanque de agua, se origina una perturbación que se
propaga en círculos concéntricos, que al cabo del tiempo se extienden a todas las partes del
estanque. Un corcho pequeño, que flota sobre la superficie del agua, se mueve hacia arriba y
hacia abajo a medida que se propaga la perturbación. En realidad, se ha transferido energía a
través de una cierta distancia, desde el punto del impacto de la piedra en el agua hasta el lugar
donde se encuentra el trozo de corcho. Esta energía se transmite mediante la agitación de las
partículas de agua que colindan entre sí. Únicamente la perturbación se mueve a través del
agua. El movimiento real de cualquier partícula de agua individual es relativamente pequeño.
A la propagación de la energía por medio de una perturbación en un medio, y no por el movimiento del medio mismo, se le llama movimiento ondulatorio.
El ejemplo anterior se refiere a una onda mecánica porque su existencia misma depende
de una fuente mecánica y de un medio material.
Una onda mecánica es una perturbación física en un medio elástico.
Es importante notar que no todas las perturbaciones son necesariamente mecánicas. Por ejemplo,
las ondas luminosas, las ondas de radio y la radiación térmica propagan su energía por medio de
perturbaciones eléctricas y magnéticas. De hecho, no hace falta ningún medio físico para la transmisión de las ondas electromagnéticas. Sin embargo, muchas de las ideas básicas que se presentan en este capítulo para las ondas mecánicas también se aplican a las ondas electromagnéticas.
21.2
Tipos de ondas
Las ondas se clasifican de acuerdo con el tipo de movimiento que generan en una parte determinada del medio en el cual se producen, respecto a la dirección en la que se propaga la onda.
Un tipo de onda es la onda transversal.
En una onda transversal, la vibración de las partículas individuales del medio es
perpendicular a la dirección de la propagación de la onda.
Por ejemplo, suponga que se ata el extremo de una cuerda a un poste y que agitamos con la
mano el otro extremo, como muestra la figura 21.1. Al mover el extremo libre rápidamente
hacia arriba y hacia abajo, enviamos una sola perturbación llamada pulso a lo largo de la
v
a
a
b
c
b
c
v
b
a
v
c
c
a
b
v
Figura 21.1 En una onda de tipo transversal, cada una de las partículas se mueve perpendicularmente a la
dirección de propagación de la onda.
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Capítulo 21
Movimiento ondulatorio
v
v
v
Figura 21.2 En una onda longitudinal el movimiento de las partículas individuales es paralelo a la dirección de propagación de la onda. La ilustración muestra el movimiento de un pulso de condensación.
FÍSICA HOY
Las ondas que viajan, las
ondas estacionarias
y los pulsos de onda
pueden verse en
situaciones cotidianas.
Las ondas que viajan se
manifiestan en cuerpos
de agua como océanos
y lagos. Las ondas
estacionarias pueden
observarse en una taza
de café colocada en
una superficie vibrante
como el tablero de un
automóvil encendido.
Un pulso de onda
longitudinal se crea
cuando una línea de
automóviles comienza
a moverse desde el
reposo al encenderse la
luz verde del semáforo.
cuerda. Tres nudos a iguales distancias en los puntos a, b y c demuestran que las partículas
individuales se mueven hacia arriba y hacia abajo mientras que la perturbación se mueve
hacia la derecha con una velocidad v.
Otro tipo de onda, como la que se genera con un resorte en espiral, aparece en la figura
21.2. Las espiras cercanas al extremo izquierdo se comprimen formando una condensación.
Cuando cesa la fuerza de distorsión, un pulso de condensación se propaga a lo largo del resorte.
Ninguna parte del resorte se mueve mucho respecto a su posición de equilibrio, pero el pulso
continúa recorriendo el resorte. Este tipo de onda se llama onda longitudinal debido a que las
partículas del resorte se desplazan en la misma dirección en la que avanza la perturbación.
En una onda longitudinal, la vibración de las partículas individuales es paralela
a la dirección de la propagación de la onda.
Si las espiras del resorte de nuestro ejemplo fueran forzadas a separarse hacia la izquierda, se generaría una rarefacción como la que se muestra en la figura 21.3. Después de que
cese la fuerza perturbadora, se propagará un pulso de rarefacción a lo largo del resorte. En
general, una onda longitudinal consiste en una serie de condensaciones y rarefacciones que
se desplazan en determinada dirección.
v
v
v
Figura 21.3 Movimiento longitudinal de un pulso de rarefacción en un resorte en espiral.
21.3
Cálculo de la rapidez de onda
La rapidez a la cual se mueve un pulso a través de un medio depende de la elasticidad del
medio y de la inercia de las partículas del mismo. Los materiales más elásticos producen mayores fuerzas de restitución cuando se distorsionan. Los materiales menos densos se resisten
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21.4 Movimiento ondulatorio periódico
429
L
F
v
F
W
Figura 21.4 Cálculo de la rapidez de un pulso transversal en una cuerda.
menos a moverse. En ambos casos, la capacidad de las partículas para propagar una perturbación a las partículas vecinas es mejor, y el pulso viajará en ese caso a mayor rapidez.
Consideremos el movimiento de un pulso transversal a través de una cuerda según la figura 21.4. La masa m de la cuerda y su longitud L se mantienen bajo una tensión constante F
por medio de la pesa suspendida. Cuando se da un solo movimiento a la cuerda en su extremo
izquierdo, se propaga un pulso transversal a lo largo de la misma. La elasticidad de la cuerda
se mide por la tensión F. La inercia de las partículas individuales se determina mediante la
masa por unidad de longitud m de la cuerda. Se puede demostrar que la rapidez de onda del
pulso transversal en una cuerda está dado por
v⫽
F
F
⫽
A m A mⲐL
(21.1)
La masa por unidad de longitud m se conoce generalmente como la densidad lineal de la
cuerda. Si F se expresa en newtons y m en kilogramos por metro, la rapidez estará expresada
en metros por segundo.
Ejemplo 21.1
La longitud L de la cuerda de la figura 21.4 es de 2 m, y su masa es de 0.3 g. Calcule la
rapidez del pulso transversal en la cuerda si ésta se encuentra bajo una tensión de 20 N.
Plan: Primero determinaremos la densidad lineal de la cuerda y luego calcularemos la
rapidez de la ecuación 21.1. Recuerde que la unidad del SI para la masa es el kilogramo.
0.3 ⫻ 10⫺3 kg
m
⫽
Solución:
L
2m
⫺4
m ⫽ 1.5 ⫻ 10 kg/m
Al sustituir directamente en la ecuación (21.1) se obtiene
m⫽
20 N
F
⫽
A m A 1.5 ⫻ 10⫺4 kg/m
v ⫽ 365 m/s
v⫽
El cálculo de la rapidez de un pulso longitudinal quedará reservado para el siguiente
capítulo, donde se estudiará en relación con las ondas sonoras.
21.4
Movimiento ondulatorio periódico
Hasta ahora sólo se han considerado las perturbaciones individuales que no se repiten, llamadas pulsos. ¿Qué sucede cuando se repiten periódicamente otras perturbaciones similares?
Suponga que atamos el extremo izquierdo de una cuerda al extremo de un vibrador electromagnético, como muestra la figura 21.5. El extremo del vibrador metálico se mueve con des-
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430
Capítulo 21
Movimiento ondulatorio
P
A
(a)
B
(b)
Figura 21.5 (a) Producción y propagación de una onda transversal periódica. (b) La longitud de onda l
es la distancia entre cualquier par de partículas en fase, como las que se ubican en dos crestas adyacentes o
entre los puntos A y B.
plazamiento armónico debido a un campo magnético oscilatorio. Puesto que la cuerda está sujeta a uno de los extremos del vibrador, a lo largo de dicha cuerda se envía una serie de pulsos
transversales periódicos. Las ondas resultantes están formadas por muchas crestas y valles que
se mueven a lo largo de la cuerda con rapidez constante. La distancia entre dos crestas o valles
adyacentes en ese tipo de tren de ondas se llama longitud de onda y se representa por l.
Mientras la onda se desplaza por la cuerda, cada partícula de ésta vibra respecto a su posición de equilibrio con la misma frecuencia y amplitud que la fuente vibrante. Sin embargo, las
partículas de la cuerda no se encuentran en posiciones correspondientes en iguales intervalos de
tiempo. Se dice que dos partículas están en fase cuando tienen el mismo desplazamiento y ambas
se mueven en la misma dirección. En la figura 21.5b, las partículas A y B están en fase. Puesto
que las partículas que se encuentran en las crestas de un determinado tren de ondas también están
en fase, es posible dar una definición más general de la longitud de onda.
La longitud de onda l de un tren de ondas periódicas es la distancia entre dos
partículas cualesquiera que estén en fase.
Cada vez que el punto extremo P del vibrador efectúa una oscilación completa, la onda se
moverá a través de una distancia de una longitud de onda. El tiempo requerido para cubrir esta
distancia es, por tanto, igual al periodo T de la fuente que vibra. De este modo, la rapidez de la
onda v se puede relacionar con la longitud de onda l y el periodo T por medio de la ecuación
v⫽
l
T
(21.2)
La frecuencia f de una onda es el número de ondas que pasan por un punto determinado en la
unidad de tiempo. En realidad, es equivalente a la frecuencia de la fuente de la vibración y, por lo
tanto, es igual al recíproco del periodo (f ⫽ 1/T). Las unidades en las que se expresa la frecuencia
pueden ser ondas por segundo, oscilaciones por segundo o ciclos por segundo. La unidad del SI
que corresponde a la frecuencia es el hertz (Hz), el cual se define como un ciclo por segundo.
1
1 Hz ⫽ 1 ciclo/s ⫽
s
Por tanto, si pasan por un punto 40 ondas cada segundo, la frecuencia es de 40 Hz.
La rapidez de una onda se expresa más frecuentemente en función de su frecuencia y no
de su periodo. Por tanto, la ecuación (21.2) puede escribirse como
v ⫽ fl
(21.3)
La ecuación (21.3) representa una relación física importante entre la rapidez, la frecuencia y la longitud de onda de cualquier onda periódica. Una ilustración de estas cantidades
aparece en la figura 21.6 para una onda transversal periódica.
f = ondas por segundo (Hz)
l = longitud de onda (m)
v=
s
t
v = rapidez (m/s)
Figura 21.6 Relación entre la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de una onda transversal periódica.
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21.5 Energía de una onda periódica
Ejemplo 21.2
431
Un hombre se sienta a pescar en el borde de un muelle y cuenta las ondas de agua que golpean uno de los postes de soporte de la estructura. En un minuto cuenta 80 ondas. Si una
cresta determinada recorre 12 m en 8 s, ¿cuál es la longitud de onda?
Plan: No debemos confundir la frecuencia, la cual son las ondas por segundo, con la velocidad, que es la distancia que una cresta determinada viaja por unidad de tiempo.
Solución: La frecuencia y la velocidad de las ondas se calculan a partir de sus definiciones.
80 ondas
⫽ 1.33 Hz
60 s
12 m
x
;
v ⫽ 1.50 m/s
v⫽ ⫽
t
8s
f⫽
A partir de la ecuación (21.3), la longitud de onda es
l⫽
v
1.50 m/s
⫽
;
f
1.33 Hz
l ⫽ 1.13 m
Condensaciones
Rarefacciones
Figura 21.7 Producción y propagación de una onda longitudinal de tipo periódico.
Con el aparato que muestra la figura 21.7 puede generarse una onda periódica longitudinal. El extremo izquierdo del resorte en espiral está unido a una esfera metálica que a su vez
se sostiene mediante una hoja de sierra para cortar metales. Cuando la esfera metálica se desplaza hacia la izquierda y se suelta, vibra con movimiento armónico. Las condensaciones y
rarefacciones resultantes se transmiten por el resorte generando una onda longitudinal periódica. Cada partícula del resorte en espiral oscila horizontalmente hacia atrás y hacia adelante,
con la misma frecuencia y amplitud que la esfera de metal. La distancia entre cualquier par de
partículas adyacentes que se encuentran en fase es la longitud de onda. Tal como se ilustra en
la figura 21.7, la distancia entre dos condensaciones o rarefacciones adyacentes cualesquiera
es una medida conveniente de la longitud de onda. La ecuación (21.3) también se aplica a una
onda longitudinal periódica.
21.5
Energía de una onda periódica
Hemos visto que cada partícula en una onda periódica oscila con un movimiento armónico
simple determinado por la fuente de la onda. El contenido de energía de una onda puede
analizarse considerando el movimiento armónico de las partículas en forma individual. Por
ejemplo, considere una onda transversal periódica en una cuerda en el instante representado
en la figura 21.8. La partícula a ha alcanzado su máxima amplitud; su velocidad es cero,
y está experimentando su máxima fuerza de restitución. La partícula b está cruzando por
su posición de equilibrio, donde la fuerza de restitución es igual a cero. En ese instante, la
partícula b tiene su mayor rapidez y, por consiguiente, su energía máxima. La partícula c se
encuentra a su máximo desplazamiento en la dirección negativa. Mientras la onda periódica
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432
Capítulo 21
Movimiento ondulatorio
a
b
c
Figura 21.8 Fuerzas de restitución que actúan sobre las partículas de una cuerda vibrante.
recorre la cuerda, cada partícula oscila hacia atrás y hacia adelante respecto a su propia posición de equilibrio.
En el capítulo 14 sobre el movimiento armónico, se encontró que la velocidad máxima de
una partícula que oscila con una frecuencia f y una amplitud A está dada por
vmáx ⫽ 2p fA
Cuando una partícula tiene esta rapidez, está pasando por su posición de equilibrio, donde su
energía potencial es cero y su energía cinética es máxima. De modo que la energía total de
la partícula es
E ⫽ U ⫹ K ⫽ Kmáx
1
1
⫽ mv 2máx ⫽ m(2pfA)2
2
2
2 2 2
⫽ 2p f A m
(21.4)
A medida que una onda periódica pasa a través de un medio, cada elemento de éste
realiza trabajo continuamente sobre los elementos adyacentes. Por lo tanto, la energía que se
transmite a lo largo de la cuerda vibrante no se confina a una sola posición. Ahora se aplicará
el resultado obtenido para una sola partícula a la longitud total de la cuerda que vibra. El contenido de energía de toda la cuerda es la suma de las energías individuales de las partículas
que la forman. Si m representa la masa total de la cuerda en vez de la masa de cada partícula,
la ecuación (21.4) representa la energía de la onda total en la cuerda. En una cuerda de longitud L, la energía de la onda por unidad de longitud está dada por
m
E
⫽ 2p2 f 2 A2
L
L
Sustituyendo m para la masa por unidad de longitud, escribimos
E
⫽ 2p2 f 2 A2m
L
(21.5)
La energía de la onda es proporcional al cuadrado de la frecuencia f, al cuadrado de la amplitud A y a la densidad lineal m de la cuerda. Debe tomarse en cuenta que la densidad lineal no
es función de la longitud de la cuerda. Esto es cierto, puesto que la masa aumenta en proporción a la longitud L, de modo que m es constante para cualquier longitud.
Suponga que la onda viaja por la longitud L de una determinada cuerda con una rapidez
v. El tiempo t necesario para que la onda recorra esta longitud es
t⫽
L
v
Si la energía en esta longitud de cuerda se representa por E, la potencia P de la onda está dada
por
P⫽
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E
E
E
⫽
⫽ v
t
L Ⲑv
L
(21.6)
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21.6 Principio de superposición
433
Esto representa la razón de propagación de la energía por la cuerda. La sustitución a partir de
la ecuación (21.5) nos da
P ⫽ 2p2 f 2 A2 mv
(21.7)
La potencia de la onda es directamente proporcional a la energía por unidad de longitud y a
la rapidez de propagación de la onda.
El hecho de que la energía de la onda y la potencia de la onda dependan de f 2 y A2, como
lo indican las ecuaciones (21.5) y (21.7), es una conclusión general para todo tipo de ondas.
Las mismas ideas se aplicarán en el siguiente capítulo cuando se estudie la energía de una
onda sonora.
21.6
Principio de superposición
Hasta aquí hemos considerado el movimiento de un solo tren de pulsos que pasan a través
de un medio. Ahora estudiaremos lo que sucede cuando dos o más trenes de ondas pasan
simultáneamente a través del mismo medio. Vamos a analizar las ondas transversales en una
cuerda que está vibrando. La rapidez de una onda transversal se determina por medio de la
tensión de la cuerda y su densidad lineal. Puesto que estos parámetros son función del medio
y no de la fuente, cualquier onda transversal tendrá la misma rapidez para una determinada
cuerda bajo tensión constante. Sin embargo, la frecuencia y la amplitud pueden variar en
forma considerable.
Cuando dos o más trenes de ondas existen simultáneamente en el mismo medio, cada onda recorre el medio como si las otras no estuvieran presentes.
La onda resultante es una superposición de las ondas componentes. Es decir, el desplazamiento que resulta de una sola partícula en la cuerda que vibra es la suma algebraica de los desplazamientos que cada onda produciría, independientemente de las demás. Éste es el principio
de superposición:
Cuando dos o más ondas existen simultáneamente en el mismo medio, el desplazamiento resultante en cualquier punto y en cualquier instante es la suma
algebraica de los desplazamientos de cada onda.
Debe observarse que el principio de superposición, tal como se ha enunciado aquí, se aplica
únicamente a medios de tipo lineal, es decir, a aquellos cuya respuesta es directamente proporcional a la causa. Además, la suma de los desplazamientos es algebraica sólo si las ondas
tienen el mismo plano de polarización. Para nuestros propósitos, vamos a suponer que una
cuerda vibrante satisface ambas condiciones.
La aplicación de este principio se muestra gráficamente en la figura 21.9. Las dos ondas,
representadas por líneas continuas y discontinuas, se superponen para formar la onda resultante indicada por la línea gruesa. En la figura 21.9a la superposición da por resultado una onda
de mayor amplitud, conocida como interferencia constructiva. La interferencia destructiva
se presenta cuando la amplitud resultante es más pequeña, como se ve en la figura 21.9b.
(a) Interferencia constructiva
(b) Interferencia destructiva
Figura 21.9 Principio de superposición.
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434
Capítulo 21
21.7
Movimiento ondulatorio
Ondas estacionarias
Consideremos ahora la reflexión de un pulso transversal, como se muestra en la cuerda de la
figura 21.10. Cuando el extremo de la cuerda se ata fuertemente al soporte, el pulso que llega
golpea el soporte y ejerce sobre él una fuerza ascendente. La fuerza de reacción que ejerce a
su vez el soporte tira entonces en dirección de la cuerda hacia abajo, lo cual origina un pulso
reflejado. Tanto el desplazamiento como la velocidad se invierten en el pulso reflejado. Esto
quiere decir que si un pulso llega como una cresta, se refleja como un valle, con la misma
rapidez pero en la dirección opuesta, y viceversa.
Supongamos que ahora se hace vibrar una cuerda cuyos extremos están fijos, como se
muestra en la figura 21.11. Se puede aplicar el principio de superposición para analizar en
cualquier instante la onda resultante que se forma. En la figura 21.11a se han considerado las
ondas que inciden y que se reflejan en un tiempo determinado t ⫽ 0. La onda incidente, que
viaja a la derecha, se indica por una línea continua delgada. La onda reflejada, que viaja a la
izquierda, se indica por una línea discontinua. Las dos ondas tienen la misma rapidez y longitud de onda, pero tienen direcciones opuestas. En este instante todas las partículas de la cuerda se encuentran en una línea horizontal, como muestra la línea gruesa. Observe que la línea
gruesa es una superposición de las ondas incidente y reflejada en el momento en que la suma
de sus desplazamientos es igual a cero. Si se toma una foto instantánea de la cuerda un instante después mostraría que, con unas cuantas excepciones, todas las partículas han cambiado de
posición. Esto se debe a que las ondas componentes se han movido una distancia finita.
Consideremos ahora la onda resultante en un tiempo t igual a un cuarto de periodo posterior (t ⫽ 14T), como en la figura 21.11b. La onda componente indicada mediante una línea
continua se moverá a la derecha una distancia de un cuarto de longitud de onda. La onda
componente indicada por la línea discontinua se habrá movido a la izquierda una distancia
de un cuarto de longitud de onda. La onda resultante y, por tanto, la forma de la cuerda en
este momento se indica mediante una línea continua gruesa. La interferencia constructiva ha
dado como resultado una onda del doble de amplitud de cualquiera de las ondas componentes.
Cuando el tiempo t es de la mitad de un periodo (t ⫽ 12T), se presenta la interferencia destructiva total, y una vez más la forma de la cuerda es una línea recta, como en la figura 21.11c.
Cuando t ⫽ 34T , la forma de la cuerda alcanza su máxima amplitud en dirección opuesta. Esta
interferencia constructiva se muestra mediante una línea gruesa en la figura 21.11d.
Una serie de fotografías instantáneas de la cuerda vibrante, tomadas a intervalos de tiempo muy pequeños, revelaría cierto número de ondas como muestra la figura 21.11e. A una
onda así se le llama onda estacionaria.
(a)
t=0
(b)
t= 1 T
4
(c)
t= 1 T
2
(d)
t= 3 T
4
A
A
N
A
N
A
N
N
(e)
l
Figura 21.10 Reflexión de un pulso transversal
en una frontera fija.
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Figura 21.11 Producción de una onda
estacionaria.
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21.8 Frecuencias características
435
Observe que hay ciertos puntos a lo largo de la cuerda que permanecen en reposo. Estas posiciones, llamadas nodos, se han indicado como N en la figura. Un insecto pequeño posado en un nodo
sobre la cuerda vibrante no se movería hacia arriba y abajo a causa del movimiento ondulatorio.
Entre los puntos nodales, las partículas de la cuerda se mueven hacia arriba y hacia abajo
con movimiento armónico simple. Los puntos de máxima amplitud se presentan a la mitad
de la distancia entre los nodos y se llaman antinodos. Un insecto pequeño que descansara
sobre la cuerda en cualesquiera de estos puntos, marcados con A, experimentaría rapideces y
deslizamientos máximos en la oscilación de la cuerda hacia arriba y hacia abajo.
La distancia entre nodos alternados o antinodos alternados en una onda estacionaria es una medida de la longitud de onda de las ondas componentes.
Las ondas estacionarias longitudinales también se presentan debido a una reflexión continua de pulsos de condensación y rarefacción. En este caso los nodos existen donde las partículas del medio son estacionarias, y los antinodos se presentan donde las partículas del medio
oscilan con una amplitud máxima en la dirección de la propagación. Las ondas estacionarias
longitudinales se estudiarán en el siguiente capítulo, en relación con las ondas sonoras.
21.8
Frecuencias características
Consideremos las posibles ondas estacionarias que se pueden originar en una cuerda de longitud
L cuyos extremos están fijos, como se muestra en la figura 21.12. Cuando la cuerda empieza a
vibrar, los trenes de onda incidente y reflejado viajan en direcciones opuestas, con una misma
longitud de onda. Los puntos extremos fijos representan las condiciones de frontera que restringen el número de posibles longitudes de onda que producirán las ondas estacionarias. Estos
puntos extremos deben ser nodos de desplazamiento para cualquier patrón de ondas resultante.
La onda estacionaria más sencilla posible se presenta cuando las longitudes de onda de
las ondas incidentes y reflejadas son equivalentes al doble de la longitud de la cuerda. La onda
estacionaria consiste en un bucle que tiene puntos nodales en cada extremo, como se ve en la
figura 21.12a. Este patrón de vibración se conoce como el modo fundamental de oscilación.
Los modos superiores de oscilación se producirán para longitudes de onda cada vez más cortas. En la figura se observa que las longitudes de onda permitidas son las siguientes:
2L 2L 2L 2L
, , , ,p
1 2 3 4
o, en forma de ecuación,
ln ⫽
2L
n
n ⫽ 1, 2, 3, . . .
(a)
1 = 2L = 2L
1
(b)
2 = L = 2L
2
(c)
3 = (2 / 3) L = 2L
3
(d)
4 = L = 2L
4
2
(21.8)
L
Figura 21.12 Modelos posibles de ondas estacionarias en una cuerda vibrante.
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11/27/06 3:25:30 PM
436
Capítulo 21
Movimiento ondulatorio
Las frecuencias correspondientes de vibración son, partiendo de que v ⫽ fl,
fn ⫽
v
nv
⫽n
2L
2L
n ⫽ 1, 2, 3, . . .
(21.9)
donde v es la rapidez de las ondas transversales. Esta rapidez es la misma para todas las
longitudes de onda, puesto que depende tan sólo de las características del medio vibrante. A
las frecuencias que se obtienen mediante la ecuación (21.9) se les llama frecuencias características de vibración. En términos de la tensión F de la cuerda y de la densidad lineal m, las
frecuencias características son las siguientes:
fn ⫽
n
F
2L A m
n ⫽ 1, 2, 3, . . .
(21.10)
La frecuencia más baja posible (v/2L) se conoce como la frecuencia fundamental ƒ1. Las
otras frecuencias, que son múltiplos enteros de la fundamental, se conocen como sobretonos.
La serie completa,
fn ⫽ nf1
n ⫽ 1, 2, 3, . . .
(21.11)
está conformada por la frecuencia fundamental y sus sobretonos, y se le conoce como serie
armónica. La fundamental es la primera armónica; el primer sobretono (ƒ2 ⫽ 2 ƒ1) es la
segunda armónica; el segundo sobretono (ƒ3 ⫽ 3ƒ1) es la tercera armónica, y así sucesivamente.
Ejemplo 21.3
Una cuerda de acero para piano de 50 cm de longitud tiene una masa de 3.05 g y se encuentra bajo una tensión de 400 N. ¿Cuáles son las frecuencias de su modo fundamental
de vibración y de los primeros dos sobretonos?
Plan: Primero calcularemos la densidad lineal de la cuerda. De nuevo debemos expresar
la longitud en metros y la masa en kilogramos. Recuerde que la vibración fundamental
ocurre cuando hay un solo bucle y n ⫽ 1 en la ecuación (21.10). El primer sobretono es
la segunda armónica (n ⫽ 2) y el segundo sobretono es la tercera armónica, y así sucesivamente.
Solución: La densidad lineal es
m⫽
3.05 ⫻ 10⫺3 kg
m
⫽
;
L
0.500 m
m ⫽ 6.10 ⫻ 10⫺3 kg/m
El modo fundamental se determina estableciendo que n ⫽ 1 en la ecuación (21.10).
(1) F
(1)
400 N
⫽
2L A m
2(0.5 m) A 6.10 ⫻ 10⫺3 kg/m
⫽ 256 Hz
f1 ⫽
El primero y el segundo sobretonos son
f2 ⫽ 2 f1 ⫽ 2(256 Hz);
f3 ⫽ 3 f1 ⫽ 3(256 Hz);
f2 ⫽ 512 Hz
f3 ⫽ 768 Hz
En el siguiente capítulo veremos que, mientras una cuerda vibra en uno o más de sus posibles modos, la energía se transmite al aire de los alrededores en forma de ondas sonoras. Estas ondas longitudinales consisten en condensaciones y rarefacciones de la misma frecuencia
que las cuerdas vibrantes. El oído humano interpreta estas ondas como sonido. La frecuencia
fundamental de 256 Hz se interpreta como do central en el piano.
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Resumen y repaso
Hemos investigado el movimiento ondulatorio mecánico en el
cual la energía es transferida por una perturbación física en un
medio elástico. Las leyes fundamentales desarrolladas en este capítulo son importantes porque también pueden aplicarse a muchos
otros tipos de ondas que estudiaremos posteriormente. Los conceptos esenciales se resumen a continuación.
• La energía por unidad de longitud y la potencia de la
propagación de ondas se pueden obtener a partir de
• La velocidad de una onda transversal en una cuerda de
masa m y longitud L está dada por
• Las frecuencias características de los posibles modos de
vibración de una cuerda en tensión se calculan a partir
de
v⫽
F
m
A
m⫽
m
L
v⫽
FL
Am
E
⫽ 2p2 f 2A2m
L
Rapidez de onda
fn ⫽
Fuerza F Masa m Longitud L Rapidez v
Unidades del SI
N
kg
m
m/s
Unidades del
SUEU
lb
slug
ft
ft/s
• Para cualquier onda de periodo T o frecuencia f, la rapidez v se puede expresar en función de la longitud de onda
l en la siguiente forma:
v⫽
l
T
v ⫽ fl
La frecuencia está dada
en Hz ⫽ 1/s
n
F
2L A m
P ⫽ 2p2 f 2A2mv
n ⫽ 1, 2, 3, . . .
Frecuencias características
• Las series fn ⫽ nf1 se conocen como armónicas. Éstas son
múltiplos enteros de la frecuencia fundamental f1. Se trata
de valores matemáticos y es posible que no existan todas
las armónicas. Las posibilidades reales más allá de la fundamental se llaman sobretonos. Puesto que todas las armónicas son posibles para una cuerda que vibra, el primer
sobretono es la segunda armónica, el segundo sobretono
es la tercera armónica, y así sucesivamente.
Conceptos clave
amplitud 431
antinodo 435
condensación 428
densidad lineal 429
en fase 430
frecuencia 430
frecuencia fundamental 436
frecuencias características de
vibración 436
hertz 430
interferencia constructiva 433
interferencia destructiva 433
longitud de onda 430
modo fundamental de
oscilación 435
movimiento ondulatorio 427
nodo 435
onda estacionaria 434
onda longitudinal 428
onda mecánica 427
onda transversal 427
principio de superposición
pulso 428
rapidez de onda 429
rarefacción 428
serie armónica 436
sobretono 436
433
Preguntas de repaso
21.1. Explique cómo una onda de agua es tanto transver-
21.5. Un impulso transversal se envía a lo largo de una
sal como longitudinal.
21.2. Describa un experimento para demostrar que la energía está asociada al movimiento ondulatorio.
21.3. En una onda torsional, las partículas individuales
del medio vibran con movimiento armónico angular
sobre el eje de propagación. Proponga un ejemplo
mecánico de ese tipo de onda.
21.4. Comente la interferencia de ondas. ¿Hay una pérdida de energía cuando interfieren las ondas? Explique su respuesta.
cuerda de masa m y longitud L bajo una tensión F.
¿Cómo se verá afectada la rapidez del pulso si (a) la
masa de la cuerda se cuadruplica, (b) la longitud de
la cuerda se cuadruplica y (c) la tensión se reduce en
una cuarta parte?
21.6. Dibuje gráficas de una onda transversal periódica
y una onda longitudinal periódica. Indique en las
figuras la longitud de onda y la amplitud de cada
onda.
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21.7. ¿Qué armónica aparece indicada en la figura 21.12d?
21.10. Muestre gráficamente la superposición de dos ondas
¿Qué sobretono está presente?
21.8. Hemos visto que las condiciones de frontera determinan los modos de vibración posibles. Haga un
diagrama de la frecuencia fundamental y de los dos
primeros sobretonos en el caso de una varilla vibratoria (a) sujeta por uno de los extremos y (b) sujeta
por su punto medio.
21.9. Una cuerda al vibrar tiene una frecuencia fundamental de 200 Hz. Si su longitud se reduce en una cuarta
parte, ¿cuál será la nueva frecuencia fundamental?
¿Se ha alterado la rapidez de la onda al acortar la
cuerda? Suponga que la tensión es constante.
que viajan en la misma dirección. La amplitud de
la segunda onda es igual a tres cuartas partes y la
longitud de onda es igual a la mitad de las que corresponden a la primera onda.
21.11. En un experimento realizado con la cuerda vibratoria, un extremo de ésta se unió a la punta de un vibrador y el otro extremo se hizo pasar por una polea.
Se usaron pesas suspendidas para producir la frecuencia fundamental y los tres primeros sobretonos.
¿Cuál será el efecto del estiramiento de la cuerda en
el cálculo de la frecuencia producida?
Problemas
Sección 21.1 Ondas mecánicas, Sección 21.2
Tipos de ondas, Sección 21.3 Cálculo de
la rapidez de onda, Sección 21.4 Movimiento
ondulatorio periódico
21.3. La figura 21.13 muestra una onda transversal. Calcule
21.1. Una onda transversal tiene una longitud de onda de
30 cm y vibra con una frecuencia de 420 Hz. ¿Cuál
es la rapidez de esta onda?
Resp. 126 m/s
21.2. En un muelle, una persona cuenta los choques de
una ola cuando las crestas golpean un poste. Si escucha 80 choques en 1 min y una cresta en particular recorre una distancia de 8 m en 4 s, ¿cuál es la
longitud de una sola ola?
la amplitud, la longitud de onda, el periodo y la rapidez de la onda si ésta tiene una frecuencia de 12 Hz.
Resp. 12 cm, 28 cm, 83.3 ms, 3.36 m/s
21.4. En el caso de la onda longitudinal de la figura 21.13,
halle la amplitud, la longitud de onda, el periodo y
la rapidez de la onda si ésta tiene una frecuencia de
8 Hz. Si la amplitud se duplicara, ¿cambiaría cualquiera de los demás factores?
21.5. Un alambre de metal de 500 g tiene una longitud de
50 cm y está bajo una tensión de 80 N. ¿Cuál es la
rapidez de una onda transversal en ese alambre?
Resp. 8.94 m/s
y (cm)
28 cm
12 cm
x (cm)
v = fl
y (cm)
28 cm
12 cm
x (cm)
Figura 21.13 Longitud de onda, velocidad y amplitud de una onda transversal y una onda longitudinal (A ⫽ 12 cm y l ⫽ 28 cm).
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Capítulo 21
Resumen y repaso
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21.6. Si el alambre del problema 21.5 se corta a la mitad,
21.16. Si la longitud de onda de la onda transversal del
¿cuál será su nueva masa? Demuestre que la rapidez
de la onda no cambia. ¿Por qué?
Una cuerda de 3 m sometida a una tensión de 200 N
mantiene una rapidez de onda transversal de 172 m/s.
¿Cuál es la masa de la cuerda?
Resp. 20.3 g
Una cuerda de 200 g se estira sobre una distancia de
5.2 m y se somete a una tensión de 500 N. Calcule
la rapidez de una onda transversal en esa cuerda.
¿Qué tensión se requiere para producir una rapidez
de onda de 12.0 m/s en una cuerda de 900 g y 2 m
de longitud?
Resp. 64.8 N
Un flotador de madera colocado en el extremo de
una cuerda para pescar describe ocho oscilaciones
completas en 10 s. Si una sola onda tarda 3.60 s para
recorrer 11 m, ¿cuál es la longitud de onda de las
ondas en el agua?
¿Qué frecuencia se requiere para que una cuerda vibre con una longitud de onda de 20 cm cuando está
bajo una tensión de 200 N? Suponga que la densidad lineal de la cuerda es de 0.008 kg/m.
Resp. 791 Hz
Una tensión de 400 N hace que un alambre de 300
g y 1.6 m de longitud vibre con una frecuencia de
40 Hz. ¿Cuál es la longitud de onda de las ondas
transversales?
Una cuerda horizontal es sacudida hacia delante y
atrás en uno de sus extremos mediante un dispositivo
que completa 80 oscilaciones en 12 s. ¿Cuál es la rapidez de las ondas longitudinales si las condensaciones están separadas por 15 cm a medida que la onda
desciende por la cuerda?
Resp. 1.00 m/s
problema 21.11 es de 1.6 m, ¿qué potencia es suministrada por la fuente?
*21.17. Una cuerda de 300 g tiene 2.50 m de longitud y vibra con una amplitud de 8.00 mm. La tensión en la
cuerda es de 46 N. ¿Cuál debe ser la frecuencia de
las ondas para que la potencia promedio sea 90.0
W?
Resp. 174 Hz
21.7.
21.8.
21.9.
21.10.
21.11.
21.12.
21.13.
Sección 21.5 Energía de una onda periódica
21.14. Un trozo de cuerda de 2 m tiene una masa de 300 g
y vibra con una frecuencia de 2 Hz y una amplitud
de 50 mm. Si la tensión en la cuerda es de 48 N,
¿cuánta potencia es necesario impartirle?
21.15. Una cuerda de 80 g tiene una longitud de 40 m y
vibra con una frecuencia de 8 Hz y una amplitud de
4 cm. Calcule la energía por unidad de longitud que
pasa a lo largo de la cuerda.
Resp. 4.04 ⫻ 10⫺3 J/m
Sección 21.7 y 21.8 Ondas estacionarias y frecuencias características
21.18. Una cuerda vibra con una frecuencia fundamental
de 200 Hz. ¿Cuál es la frecuencia de la segunda armónica y la del tercer sobretono?
21.19. Si la frecuencia fundamental de una onda es de 330
Hz, ¿cuál es la frecuencia de su quinta armónica y
la de su segundo sobretono?
Resp. 1650 Hz, 990 Hz
21.20. La densidad lineal de una cuerda es 0.00086 kg/m.
¿Cuál deberá ser la tensión de la cuerda para que
un tramo de 2 m de longitud vibre a 600 Hz en su
tercera armónica?
21.21. Una cuerda de 10 g y 4 m de longitud tiene una
tensión de 64 N. ¿Cuál es la frecuencia de su modo
fundamental de oscilación? ¿Cuáles son las frecuencias del primero y el segundo sobretonos?
Resp. 20, 40 y 60 Hz
21.22. La segunda armónica de una cuerda vibratoria es de
200 Hz. La longitud de la cuerda es 3 m y su tensión
es de 200 N. Calcule la densidad lineal de la cuerda.
21.23. Una cuerda de 0.500 g tiene 4.3 m de longitud y
soporta una tensión de 300 N. Está fija en ambos
extremos y vibra en tres segmentos, ¿cuál es la frecuencia de las ondas estacionarias?
Resp. 560 Hz
21.24. Una cuerda vibra con ondas estacionarias en cinco antinodos cuando la frecuencia es 600 Hz. ¿Qué frecuencia hará que la cuerda vibre en sólo dos antinodos?
21.25. Un alambre de 120 g fijo por ambos extremos tiene 8 m de longitud y soporta una tensión de 100
N. ¿Cuál es la longitud de onda más grande posible
para una onda estacionaria? ¿Cuál es la frecuencia?
Resp. 16 m, 5.10 Hz
Problemas adicionales
21.26. Una cuerda E5 del violín de la figura 21.14 se va
a afinar a una frecuencia de 660 Hz. Del puente a
la cejuela, la longitud de la cuerda es 33 cm y su
masa es 0.125 g. ¿Cuál debe ser la tensión de la
cuerda?
21.27. ¿Cuál es la rapidez de una onda transversal en una
cuerda de 2.00 m de longitud y 80 g de masa que
soporta una tensión de 400 N?
Resp. 100 m/s
21.28. Una onda transversal viaja con una rapidez de 8.00
m/s. Una partícula individual de la cuerda pasa de
su punto más alto a su punto más bajo en un lapso
de 0.03 s. ¿Cuál es la longitud de onda?
21.29. Una cuerda de una guitarra eléctrica baja de 750
mm de longitud se estira con la fuerza suficiente
para producir una vibración fundamental de 220 Hz.
¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales en
esta cuerda?
Resp. 330 m/s
21.30. Una masa de 5 kg cuelga del techo en el extremo de un
alambre de 30 g y 1.8 m de longitud. ¿Cuál es la frecuencia fundamental de vibración de este alambre?
Capítulo 21
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Resumen y repaso
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Figura 21.14 La longitud, la masa y la tensión de un cuerda de violín
determinan la frecuencia observada. (Foto por Paul. E. Tipppens.)
21.31. Un alambre tensor de acero que sostiene un poste
mide 18.9 m de longitud y 9.5 mm de diámetro. Su
densidad lineal es de 0.474 kg/m. Cuando se golpea
con un martillo uno de sus extremos, el impulso regresa en 0.3 s. ¿Cuál es la tensión en el alambre?
Resp. 7530 N
*21.32. Un alambre de 30 m que pesa 400 N se ha estirado
con una tensión de 1800 N. ¿Cuánto tiempo tarda
un impulso en recorrer el alambre de ida y vuelta si
éste se golpea en uno de sus extremos?
*21.33. Las ondas transversales tienen una rapidez de 20
m/s en una cuerda sometida a una tensión de 8 N.
¿Qué tensión se requiere para impartir a una onda
una rapidez de 30 m/s en la misma cuerda?
Resp. 18.0 N
*21.34. La frecuencia fundamental para una cuerda determinada es de 80 Hz. Si la masa de la cuerda se duplica,
pero los demás factores se mantienen constantes,
¿cuál será la nueva frecuencia fundamental?
Preguntas para la reflexión crítica
21.35. En un experimento de laboratorio se utiliza un vi-
brador electromagnético como fuente de ondas estacionarias en una cuerda. Se ha observado que un tramo de 1 m de esa cuerda tiene una masa de 0.6 mg.
Un extremo de dicha cuerda está unido a la punta
del vibrador y el otro pasa a través de una polea a 1
m de distancia y está atado a un gancho para pesas.
Cuando se cuelga una masa de 392 g del extremo libre de la cuerda, ésta vibra en 3 segmentos. ¿Cuál es
la frecuencia del vibrador? ¿Qué nueva masa unida
al extremo libre hará que la cuerda vibre en cuatro
antinodos? (Figura 21.15) ¿Cuál es la frecuencia
fundamental?
Resp. 120 Hz, 22.0 g
Vibrador
Figura 21.15
¿Cuál es la nueva rapidez de onda v¿ para cada uno
de los siguientes cambios: (a) F¿ ⫽ 2F, (b) m¿ ⫽ 2
m, (c) L¿ ⫽ 2L
*21.37. Una fuente de potencia de 2 mW genera ondas en
una cuerda A y otra fuente de poder genera ondas
en una cuerda idéntica B. Las ondas de ambas cuerdas son de la misma frecuencia f y velocidad v. Si la
amplitud en la cuerda B es el doble de la que corresponde a la cuerda A, ¿qué potencia se ha suministrado a la cuerda B?
Resp. 8.00 mW
*21.38. La frecuencia fundamental de una cuerda de acero para piano es de 253 Hz. ¿Qué incremento fraccional se requerirá en la tensión de la cuerda para
que la frecuencia coincida con la nota “do” deseada
(256 Hz)?
*21.39. Un oscilador variable permite que un estudiante ajuste en el laboratorio la frecuencia de una fuente para
producir ondas estacionarias en una cuerda que vibra. Un tramo de 1.20 m de cuerda (m ⫽ 0.400 g/m)
se somete a una tensión de 200 N. ¿Qué frecuencia se
requiere para producir tres bucles estacionarios en la
cuerda que vibra? ¿Cuál es la frecuencia fundamental? ¿Qué frecuencia producirá cinco bucles?
Resp. 884 Hz, 295 Hz, 473 Hz
*21.36. Para comprender los parámetros que afectan la ve-
locidad de una onda en una cuerda que vibra, supongamos que
v⫽
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Am
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