Subido por Karen Merlo

Apuntes de Geometria Descriptiva - Chesñevar

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Profesor de la Universidad Nacional
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Trelew.
del Instituto Universitario de Trelew,.
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EDITADO POR EL CENTRO DE ESTUDIANTES
DE
ESTUDIANTES
DEDE
ANTES
LA FACULTAD DE INGENIERIA DE OLAVARRlAi
OLAVARRIAJ
RIA J
OLAVAR
Impreso en talleres propios en elelmas
mes
dede
masde
abril de 1985.
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OLAVARRIA
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1985
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PROLOGO
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a la
la edicidn
{U.N.S,)
{U.N.S,)
edición de
de 1984
1984 {U.N«S
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por primera
editaron por
Cuando se editaron
vez estos
primera vez
estos
Apuntes, hace algunos años, tenfamos
de
propósito de
el proposito
teníamos el
poner al alcance del alumnado
el material
alumnado el
necesario
material necesario
siem
al mente- la
la tarea
tarea siem
para suplantar -al menos parci
parcialmenteapun¬
de tornar
tomar apun¬
pre tediosa y generalmente imperfecta
imperfecta de
desarrollo
el desarrollo
agilizar asi
asi el
tes en clase. Esperábamos agilizar
prácti_
saludable practj
la saludable
rescatar la
del curso, a la vez que rescatar
profesor yy
entre profesor
permanente entre
ca del diálogo franco y permanente
al umnos
.
esas
satisfechas esas
visto satisfechas
haber visto
Nos complace haber
propia
nuestra prop
i a expe?
indica nuestra
aspiraciones, conforme lo indica
expjs
gran demanda
demanda
la gran
corrobora la
riencia en las clases y lo corrobora
agotadas,
agotadas,
ya agotadas,
anteriores, ya
anteriores,
registrada en las ediciones anteriores9
años
en estos
estos anos
demanda en.
esa demanda
asi como la continuidad de esa
que aah£
alejado de
de la
la catedra
cátedra que
en que el autor estuvo alejado
hjD
justi¬
justi¬
que justien fin,
fin, son
fin,
las que
son las
ra retoma. Tales razones, en
edición, que
que resedición,
res¬
nueva edicion,
esta nueva
fican el lanzamiento de esta
pecto a las anteriores no introduce
otras modifica
introduce otras
modifica
errores
de los
c i ones que no sean las correcciones
los errores
correcciones de
-
I
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detectados en la revisión,
ultimo,
ultimo,
por ultimos
señalado, por
señalado,
Es oportuno dejar senalado,
que el contenido y la diagramacion
Apuntes
diagramación de
de estos
estos Apuntes
ya apuntado
apuntado
parte, con
con el
el ya
parte,
se resolvieron, por una parte,
contri bbuyeran
criterio de que los mismos contri
uyeran aa complemejn
compleme£
lado, se
lado,
se
Por otro
reemplazarla.
otro lado,
tar la clase, no a reemplazarla.
azarl a. Por
la
promover la
de promover
tuvo muy en cuenta la inconveniencia
nconveni enci a de
gráficos, buscan_
gráficos,
procesos graficos,
simple memorización de los procesos
buscáji
Nadie
actitud reflexiva,
reflexiva.
reflexiva. Nadie
dose estimular en cambio la actit'ud
hermosa
espere entonces avanzar en el
el estudio
de la
la hermosa
estudio de
y necesaria disciplina de laGeometria
Descriptiva
GeometríaDescriptiva
material,
material, el
no prjs
por la mera lectura de este material,
el cual
cual no
pr£
para el
el
guía para
una meditada
meditada guia
tende ni puede ser más que una
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aprendizaque requiere
requiere su
su aprendizaarduo trabajo intelectual que
je.
CHESÑEVAR
CARLOS J\
«T. CHESNEVAR
CARLOS
r
!
INDICE
i
l
I
!
!
- Introducción.
CAPITULO I
1.-
Geometría Descriptiva
2.-
Nomenclatura
3.4.5.6.~
7.8.-
Proyecciones
- Objeto . ,
.
i
CAPITULO II
3
4.
5
. ... .. .,
.5
-
- Método de Monge
Representación de los entes fundamental es-per¬
tenencia -¡paralelismo.
.1
1.- Sistema .de representación
1
2.- Rectas ; Proyectantes
1
3.- Representación del- punto
2
4.- Situación del punto
2
5.- Tercera proyección del punto
.2
6.- Formas! de abatir el tercer cuadro
7.- Puntos; que pertenecen a planos bisec-
....
. .... . . .
... .
.......
..
tores L
...
.
3
3
..
.....
...
Representación de la recta
.4
Rectas en posiciones particulares
5
10.- Rectas! que se cortan
'. 5
11.- Rectas! paralelas
12.- Intersección de una recta con los pla¬
5
nos bi$ectores*. .
13.- Rectas! paralelas a los planos bisectores 6
6.
14.- Representación del plano
.6
15.- Planos! en posiciones particulares
7
.16.- Recta ¡de ün plano
7
17.- Rectas! particulares de un plano
. 8
18.- Puntos; de un plano
8
19.- Planos paralelos
9
20.- Recta ¡y plano paralelos ;
8.-
9,-
..
..
.........
...
.......
...
Problemas Gráficos.
21.- Intersección de dos planos '.
22,- Intersección de una recta y un. plano
23,- Intersección de un plano con los pla¬
nos bisectores
26.- Plano determinado por. un. punto y una
.
.........
..109
.
10
.
11
recta
27.- Plano ¡que pasa por un punto dado, para¬
.11
lelo á un plano dado
.11
23.- Proyecciones de una figura plana
29,- Afinidad homológica entre las dos pro¬
yecciones de una figura plana
12
Problemas Métricos. .
30.- Verdadera forma de una figura plana. 1.3
31 .32,33.34,-
35.36.37.38.39,-
40.41.42.43.-
.........
...
.....
.
. . 15
.....
.Abatimiento inverso...
Afinidad homológica entre la figura aba¬
tida y una de sus proyecciones
Giro del plano alrededor de una recta
16
17
horizontal (o frontal)
.... ..... 18
. . .201920
Perpendicularidad
Distancia entre dos puntos
Distancia entre un punto y un plano
Distancia entre un punto y una recta
Distancia' entre dos rectas alabeadas
Distancia entre dos planos. paralelos
Angulo entre dos rectas
Angulb entre dos planos ¡
Angulb entre recta y plano
Angulo de una recta con los cuadros
.
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i
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.
r
2
2
Punto impropio ,
Recta impropia
Plano impropio
Clasificación de las proyecciones
Métodoá de representación
'
pag.
Pag.
Pag.
pag.
.. .20
,22
22
..
23
23
24
su
rectadadas
unarecta
dadassusu
deuna
Representacióndede
una
recta
dadas
Representación
44.- Representacion
24
pendienteyysu
inclinación
suinclination
2424
pendiente
su
inclinación
pendiente
planocon
conlos
26
cuadros-.,
Angulosdede
unpiano
deunun
loscuadros'
,..2626
plano
Angulos
con
cuadros45.- Angulos
los
planodadas
dadassusu
su
unpiano
deunun
Representacióndede
plano
dadas
Representación
46.- Representacion
27
pendienteyysu’
inclinación
suincl
2727
inac i6n
su
inclinación
pendiente
......
......
'
.
Perspectividad entre planos .
Plana.
HomologíaPlana.
III Homologia
Homología
Plana.
CAPITULO III
Perspectívidad entre
planos......
. perspecti¬ 1 11
entre pianos
1 ;- Perspectividad
dosfiguras
dedos
figurasperspectiproyecciónde
proyección
perspecti¬
figuras
2.- La proyeccion
de
dos
genera una
homología
unahomologia
2 92
genera
homología
una
vas genera
homología,.•. ... 4 4
deuna
límitesdede
unahomologia
Rectaslimites
homología
límites
una
Rectas
3.- Rectas
particulares.
Casos particulars
5 55
particulares
4.- Casos
.......
.......
....
.
’
ProyeccionesAcoAco¬
Métododedelas
lasProyecciones
las
-- Metodo
tadas.
.
tadas.
entesfundamental
losentes
Representaciónde
de los
fundamentales
es -entes
los
fundamentales
Representacion
Pertenencia.
Paralelismo - Pertenencia.
Paralelismo
Pertenencia.
Paralelismo
IV
CAPITULO IVIV
Proyecciones Aco-
Método de
tadas
Representación de
-
representación..
.
de representacion
Sistema
representación
11
Sistema
sterna dede
punto,,.
Representación del
del punto
1 11
punto
Representación
del
2.- Representacion
de laRepresentaciónde
larecta
recta
222
Representación
de
la
recta
3.- Representacion
de una
recta.....
unarecta
Pendiente de
333
de
recta
una
4.- Pendiente
Pendiente
Representación del
plano .
del piano
4a
Representación
plano
del
5.- Representacion
plano
unpiano
deunun
Puntosyyy rectas
rectas de
555
plano
de
rectas
Puntos
6.- Puntos
.S
. . ..
Paralelismo
..
....*5
.S
7.- Paralel
Paralelismo
ismo
Problemas
Gráficos.
i cos.
Gráficos.
Problemas Graf
planos.
dos pianos
de dos
Intersección de
-666
planos
dos
Intersección
de
8.- Interseccion
plano.. ,..666
un piano
de una
rectayyyunun
unarecta
Intersección de
.9,- Interseccion
plano
una
recta
de
Intersección
Métricos.
Problemas Metricos*
Problemas
Métricos.
Perpendicularidad
666
Perpendicularidad
10.- Perpendicularidad
plana
.
figura
.5
una
.
de
forma
Verdadera
.
.
plana
.3
figure
plana
de
una
figura
.
.
Verdadera forma
11.- Verdadera
forma de una
.5
puntos
dos puntos
entre dos
Distancia entre
. 83
puntos
entre
12.- Distancia
Distancia
dos
y.un
puntoy.un
plano..
.8
éntre un
un piano
un punto
Distancia entre
, .8
y.
punto
plano
éntre
.8
un
13.- Distancia
Distancia
puntoyyy una
recta....
entre un
unarecta
un punto
Distancia entre
9
punto
entre
recta
un
una
14.- Distancia
Distancia
99
.
dos rectas
entre dos
alabeadas;;; 999
rectasalabeadas
Distancia entre
15,- Distancia
entre
Distancia
dos
rectas
alabeadas
planos paralelos
paralelos
entre dos
Distancia entre
dos pianos
999
planos
paralelos
entre
16.- Distancia
Distancia
dos
Angulo
'dos
rectas
entre
9:.
Angulo
rectas.
'dos
dos
entre
rectas
17.- Angulo entre
Angulo entre
planos. . .
10
dos pianos
entre dcs
10
Angulo
planos
entre
des
10
18.- Angulo
10
plano, ..
Angulo entre
recta yyy piano
entre recta
.
.10
.
Angulo
plano
recta
10
entre
19.-' Angulo
pendientedisplano con
con pendiente
dis¬
de un
Rectas de
un piano
plano
pendiente
con
Rectas
de
un
20.- Rectas
dis¬
10
del piano
plano
la del
tinta aaa la
10
del
plano
10
tinta
la
tinta
pen¬
que conti
conpenrectacon
una recta
contienen
Planos qus
pen¬
que
enen aaa una
21.- Pianos
una
con
Planos
contienen
recta
de la
la recta
.11
la de
recta....
distinta aaa la
diente distinta
. . .11
de
distinta
diente
la
la
diehte
.11
recta
Superficies topograficas
11
topográficas
1111
Superficies
topográficas
22.- Superficies
1,.-
..
....
.
....
...... .
..
*
..
.
'
...
......
.
•
o
..
....
......
...
de la
Proyección Central.
la Proyeccion
Método de
Central.
Método
de
la
.
Central
- Metodo
Representación de.los entes fundamentales Pji
CAPITULO VVV
Proyección
--
es - Pa
de .los entes
Representación de.los
Representacion
entes fundamental
fundamentales
P¿
Pertenencia.
raleTismo - Pertenencia.
Pertenencia.
representación , ,
de representacion
Sistema de
111
representación
de
Sistema
1.- S.istema
la recta
Representación de
de la
recta..
111
Representación
de
recta
Z.~ Representacion
la
punto ..
del punto
Representación del
222<>
punto
Representación
3.- Representacion
. .
del
o
Representación del
del piano
plano..
.
Representación
.
del
.
plano
4.- Representacion
paralelas. , .
Rectas paralelas
333
paralelas
5.- Rectas
paralelos
Planos
333
,
paralelos .
6.- Pianos
Planos paralelos
plano paralelos
paralelos... .
Recta yyy piano
233
7,- Recta
plano
paralelos
.3
plano
de un
un piano
Recta de
;;;.3
.3
plano
8.- Recta
rectas. ,
de dos
dos rectas
Coplanaridad de
333
rectas
de
9.- Coplanaridad
dos
punto... 444
representación del
del punto
de representacion
Cambio de
representación
punto
10.- Cambio
del
plano
de un
un piano
Punto de
444
plano
1 1 .- Punto
recta
de
una
Punto
t>55
recta
12.- Punto de una recta
--
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pacj.
pag.-'
pag.
Probl énias Gráf i cos .
Recta, que pasa por dos puntos dados
, .5:
14,- Plano que contiene a un punto y una rec¬
ta
:
.
'13.-
....
. .. .
16.17.-
ta dada
#
......
....
de unasuperficies
superficie regla2
sobre
2.- Proyecciones
de
superficie
una
superficies reglaConsideraciones
sobre
.3 2
3.- Consideraciones
superficies regla¬
sobre
radiadas
das
,. ..•radiadas
..43*..3;3o. .
radiadas
.
..
superficies
de
3-a.- Superficies
.superficie
.
radiadas
Representation
superficies
radiadas
de superficies
de
ra¬ 344
3-b.- Representación
de una
radiadas
planas
de
superficie
,4
una
ra3-c.- Secciones planas de una...
superficie« ra¬
..4.
.4
del
cono.
có¬
* Curvas
•
•
diada... ,.planas del cono. Curvas co5
3-d.- Secciones planas del cono.
có¬ 5
«* » « . 7
v-';' . « »Curvas
••
nicas
, .. . .
.7
.9 .5.
3-e.- Poliedros , y;..-.1 v". . »
.9
revolución
10 .9
*
•.
3-f¿- He?ticoides
10 .
revolucion
.
12
4,- Superficies desuperficies
revolución
10
.
de
superficies
5.- Intersección de superficies:
, 1212
.
.....
...... ... . _ .....
.
.6
....i,...,,....,
Problemas Métricos,
.7
18.- Abatimiento de un plano proyectante ,
19.- Abatimiento de un plano no proyectante 8
20.- Correspondencia homolóqica entre pro¬
yección y abatimiento ae una figura
9
plana
21.- Perpendicularidad entre recta y plano . 10
.12
22.- Perpendicularidad entre rectas
.12
23.- Perpendicularidad entre planos . .
24.- Distancia entre dos puntos
.13
25.- Distancia entre un punto y un plano .13
. 26.’-; 'Distancia éntre un punto y una recta
.13
. 27.- Distancia, entreidos planos, paralelos ,• ,14
14
28.-' Distancia de uní punto al cuadro .
29.-: Distancia entre. dos rectas alabeadas V .15
16
30.- Angulo entre dos rectas .
. 16
31.-' Angulo entre dos planos ,
16
32.- Angulo entre recta y plano ,
17
33.- Angulo de una recta con el cuadro
.18
34.- Angulo de un plano con el cuadro
35,- Rectal de un plano con inclinación dis¬
tinta a la' del plano
-.19
36..- Planos que contienen a una recta con in¬
T9
clinación distinta a la de la recta
..
.
.
..
.
.....
.. . ..
.
- Superficies
Clasificación Elementos
Elementos
.
Clasificacion.
. .1
Generación
ClasificaciónElementos
.
caracteristicos
.
r
..
, ..
superficie
una
..
características
. . . . . .2. .1
CAPITULO IX
1.-
.5
,
'. 6
Interseccion.de dos planos .
Intersección de una recta con un plano 6
Plano por un .punto, paralelo a una rec¬
15,-
Superficies.
Superficies.
CAPITULO X
-
-
-
.
CAPITULO VI I
.
,
5,6,-. Perspectiva de un cuerpo
-
.
.......
.....
.... . .
Ir- Sistema de representación
2. r- Axonometría ortogonal
3.- Axonometría caballera
.CAPITULO VIII
7
Perspectiva Paralela. o Axono-
niétrica.
1
2
4
•
- Curvas.
.........
1.- Generación- Clasificación Elementos
1
característicos
2.- Puntos singulares de una curva , .
3.- Clasificación de curvas por su condición
2
en relación a otras
.3
4.-. Curvas de error ,
5.- Forma de generación de algunas curvas .4
•
.
..
. ..
'
.. ..
a
.
«
.
:Res 1 uci6n de triedrbs
-Sombras.
1
Q
Resqlución
de triedros .;.* .1
•
.
. .........
.
*>•
4
..
. ..
. ...
Perspectiva Cónica.
1
.
1
......
...... 2
.. 4
el geometral
i .
Medición de cotas en perspectiva .... 6
0
. •-.*
;
CAPITULO XI Sombras.
Definiciones . . . . . . ..
Definiciones
«
. .
2 1
Definiciones
\ 1.- Concepto
punto . • « «
2
segmento
2.- Sombra de un
punto
2 2
,.
segmento
figura
.
< 2
,
3.- Sombra de un segmento
figura
•.
.
•
.2•.22
4.- Sombra de una
figura
.
cuerpos.
.4 • .2
5.- Sombra de cuerpos.
* .2
..
1.- Fundamentos
2.- Sistema de representación
3.- Perspectiva de un punto,
"4.- Perspectiva de figuras contenidas en
<•
Triedros.
- Triedros.
Resolución de triedros ...
1. Definición
...
. . . . . ..
. ...
...
-
*
‘
•.
.
CAPITULO VI
«
.
a
..
4.
4
4
4
4
4
4
.
4
#
4
'4
4
'
t
’
\
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
-
Carlos J. Chesñevar
1-1
~1
I1=1
WTO?:ÿff«T W.:.ÿ«;.Ti!!%'>:.
CAPITULO I,-í
l.~
GEOMETRÍA
DESCRIPTIVA
- OBJETO,-
los
en 1los
antecedentes en
antecedentes
A pesar de; que la Geometría Descriptiva tiene sus antecedents
os
que
primeros
de
los
escritos
escritos
artesanos de! la piedra de la antigüedad, y
escrftos
Jos
I,
GasGas¬
con elaboraciones teóricas afines datan del siglo l9
f» se atribuye a Gas°
París y de
par Monga ( 1 ¡7 46/ 1 8 1 8 ) s Profesor de la Escuela Normal
1a
d® Parts
Horma I de
geoesta rama de la geo~
Pol i técn i ca ,! e 1 haber estructurado definitivamente
vamen te esta
racionalizar
metría, que ¡él denominó Descriptiva. Ello permitió
ar¬
racionalizar las ar~
permit 16 raeionalizar
Geome¬
recursos
Geome¬
tes de la colnstriicción, a la vez que aumentar los
sos de la 6eomera
os recur
de
objetiva
de
objetiva
descripción objetFva
tría Cartes íjana, desde que hizo compatible la descripcion
¡con
los cuerpos
el estudio matemático de los mismos.
mismos.
•
Mon
expresa Hon
1798, expresa
Mon
En su Tratado de Geometría Descriptiva, publicado
express
publlcado en 1798,
1798*
dar métodos
métodos
es dar
ge que su obra abarca dos objetivos: "El primero es
re_
para
r®_
metodos
dos
dimensiones:
presentar en una hoja de dibujo, que sólo tiene
dos
dimensiones:
:
largo
$
d mens f ones
tsene
largo, an
y ancho, tod;os los cuerpos de la naturaleza, que
tres: largo,
que tienen tres:
rigurosamente.
i
i
def
n
r
rigurosamente.
cho y alto, ¡siempre que estos cuerpos se puedan
puedan def t ni
nl r i gurosamen te.
los
El segundo objeto es proporcionar el medio de reconocer la forma
forma de los
cuerpos, luego de una descripción exacta, y deducir
de
aquí
todas
aqut todas las
deduct r
respectivas".
verdades que resultan en su forma y en sus posiciones
respectivas".
? vas11 •
posfeiones respect
estudia,
De lo anterior surge que la Geometría Descriptiva
métodos
o
metodos
estudia. métodos
Descriptiva estudia,
plana,
de¬
técnicas para representar los cuerpos sobre una
superficie
plana,
dedew
una superffeie
de
bien do entenderse que "representar" es individualizar
rigurosamente,
r i gurosamen te , de
individual izar rigurosamente,
tales
técni¬
modo que si un .sujeto A representa en un plano -en
a
técni¬
base
tecni¬
a
-en base
o~
cas- un objeto determinado, por ejemplo una silla,
silla,
que o~
posible que
sera posible
11 1.a , será
pueda
conocer
mj_
tro sujeto tí, adiestrado en el uso de la misma técnica,
pueda
técnica,
d
conocer
conocermiÿ
tecnica9
el
su
disposición
nuc iosamente la referida silla, tal como si tuviera
el
disposición
su
tuviera
a
di&posicidn
fcuviera' a
Ese conocimiento
objeto real* valiéndose tan sólo de la representación.
representación.
conoc imiento
representation. Ese
gráfico,
el
en
no estará limitado estrictamente a lo que ha indicado
gráfico,
en
A
el
graft co,
A
indf-cado
partícula
sino que B podrá deduc i r en la representación las condiciones
c u II a_a_
a r t iecu
p
condi clones part
{distarÿ
res que sean de su interés en determinados elementos
cuerpo
del
(distanÿ
element os del cuerpo (dfstaÿn
cia entre ciertos puntos, ángulos, etc.).
'
en
actuando
al
En el ejemplo anterior, el sujeto A está actuando
prfa 1 pri¬
en relación
relacion al
actuando en
i
ejecuta
representac
mero de 1 os ob j et i vos enunciados por Monge: ejecuta
Ion '
representación'
le
la
ejecuta la
represen tac Son
sujeto
en
actúa
el
definido;
plana de uní objeto no plano perfectamente definido;
en
actuaea.
el sujeto BB actúa
definido; e!
del
relación a! ¡segundo objetivo: conoce la verdadera
rere- ,
objeto re-,
del objeto
forma del
verdadera forms
que
e?
sobre
]Is
presentado y deduce las verdades particulares que
interesan
s interesan
el
sobre el
interesan sobre
que la
m i srno ,
Des¬
Geometría Des
Lo anterior ya permite entrever la importanciadedelalaGeometrfa
Des
“ “
Geometría
ingeniería,
la
cual
en
cripfciva en la formación de ios profesionales de
fngenterfa. en
en cuajÿ
de la ingeniería,
quiera de sus especialidades. El primer objetivo
constituye
constituye
objetivo mencionado
menclonado constituye
ser
confundi¬
que
la furidamenjtac í ón teórica del dibujo técnico, que no
no
confundlsar confundí"
debe ser
no debe
efecto,
I pi:J_
la
Geometría
da con la ejecución misma del dibujo. En efecto,
a Geometría
Descrlpíjÿ
efecto, 1la
DescrlptJÿ
Geometrfa Descr
lograr
I
para
nada
de
term
ijn.
va enseña como disponer un conjunto de líneas para lograr
to
nada ijn
term!nada
deterral
lograr de
materia
pormenores
relativos
los
a
ter pret ac i óin , pero se desliga de los pormenores
relatlvos aa los materia,
pormenores relativos
materia.
dibujos,
de
les y utensj líos necesarios para realizar los dibujos,
técnicas
tecnicas
las técnicas
d© las
dibujos, de
d©
al
ámbito
ajenas
para reproducirlos, etc. Estas son formalidades
la
1®
de 1®
formalidades
al ámbito
ambit© de
ajemas ai
i'dades ajenas
,
caracte¬
con
ndepend
f
en
temerst©
Geometría Descriptiva, que evolucionan independientemente,
caractecon caracte¬
ndepend'l en temente , con
rísticas príopfas en cada medio profesional,
’
en
metodología,
basada
ert
El segundo objetivo Implica el dominio do una
una
basada en
una metodología,
nietodol og f a , basada
partir
a
concretos
resultados
do
do
partlr da
construcciones gráficas, para obtener resultados
concratos aa partir
resultados concretos
dos
entre
distancia
dos
entre dos
la
determinar
determinadas propuestas (verbigracia: determinar
dlstancla entra
la distancia
determSnar la
grl”
procesos
de
que
sean
grá¬
procesos
puntos dados en una representación). El hacho de
sesn procesos grÿi”
do que
que sean
las
las p<a
limita
ni
limit® las
ficos los que conducen a los resultados, no condiciona
nl limita
p£
condiciona
corsdisSona nf
sus
objetivamente
adecuar
objetivamente
sus
s I b i 1 i da de sí ds esta disciplina, que permite adecuar
adecuar objet Ivamente sus
precisa¬
Es
de
p r sc I s a
cálculo.
Es precis®”
de cálculo.
cilculo. Es
modelos a las reglas de los métodos analíticos
cos de
probl©"
los
y
claramente
probl®"
profo 1 ©"
los
los
Interpretar
rápida
yy claramente
mente en la posibilidad d©
slarament©
resido
dondeanalíticas”
i-s
resido
donde- reside la
mas y sus posibles soluciones -gráficas o analíticas”
analftieas” dondeDescriptiva.
Geometría
pt
I
va
i
objetivo
r
de la Geometría
Descriptiva.
Importancia del segundo
Geometrfa fíese
.
"
crCOM£TR|.A DESCRIPTIVA
2.-- NOMENCLATURA.
-
Carlos J
T Chesñevar
1-2
1-2
-v
"V
-
.r--
•rip
•*
designadas
minús_
nus_
mi
gnadas por letras minú¿
En lo que sigue, las rectas serán siempre designadas
...).
(A,
(A,
C
8,
Pa¬
mayúsculas
c...).
8,
(a,
Pab,
Los puntos con letras
culas
(<=* , p>, J • • • )•
ra los píanos se utilizarán las letras del alfabeto griego {<=<
3*
-
PROYECCIONES
-
espacio, e
La intención de representar en un plano los elementos del espacio,
una
correspondencia
permita
que
establecer
xige adoptar un procedimiento
cor respondencia
establecer
estricta entre ambos sistemas, de modo que a cada punto del
co_'
del espacio co
efectuar
la repre¬
r res ponda un punto y sólo uno del plano elegido para
para
ó "recons_
sentación. Debe quedar asegurado, además, que pueda conocerse 6
"reconÿ
estruirse" cada punto representado. En definitiva, la correspondencia
cor respondenc i a es¬
tablecida debe ser rigurosamente biunfvoca, para que se satisfagan los
enunciados.
dos objetivos de la Geometría Descriptiva anteriormente
ormente enunciados... Ca_
pproyeccione
royecc i ones
CCaÿ
one ss.
Tal correspondencia quedará establecida por medio de proyecc
¿
ele_
da punto a representar, se proyecta desde un punto convenientemente
e)e_
conven i en temen te el£
gido (en adelante llamado CENTRO DE PROYECCION) sobre
repre_
de repr£
piano de
el plano
sobre el
sentáeíón (en adelante llamado CUADRO DE PROYECCION).PROYECCION).-
c£
.
•
.
un
Se define como proyección de un punto P desde un centro
sobre un
0 sobre
centro 0
pasa
r
que
cuadro Tf , al punto P* que define al cortar a ir una
recta
pasa
una recta r que
por 0 y por P.
rS0
Rayos Proyectantes
Proyecta ntes
r £ P rnTT=P‘
Proyección
del Punto P
p
\
V,VxNs
V.iVi9
Centro de
Proyección)
r
\ p*
/
af
Cuadro
1b'
AB'X
w
/
zr
efe
BB
sr
jr
/r
>A
a)
Fig. 1
b)
b)
Toda recta que pasa por el centro de proyección, se
se denomina
denomina
PROYECTANTE (o RAYO PROYECTANTE).
RECTA
RECTA
El. punto en que una recta corta a un plano se denomina
de lala rec
rec
TRAZA de
denomina TRAZA
ta en el plano.
Puede ahora expresarse: “La proyección de un punto
un centro
desde un
punto PP desde
centro
0 sobre un cuadro Tí , es la traza P1 en ff del rayo
proyectante
pa¬
pa
que pa
rayo proyectante que
sa por P
.
Lo anterior vale cualquiera sea, en relación al sistema,
sistema,
slstema, la
la
del punto proyectado, (fig. 1-b).
--
posición
pos i c I on
£1. mecanismo de. representación establecido para el
ba
s t a r fa , dess
bastarfa,de
el punto
punto bastaría,
de luego, para representar cualquier forma geométrica
(figura
(figura
cuerpoT
geometrica (flgura ó6 cuerpoT
Pero en ocas i ones en que un conjunto de puntos está
rmj_
detteermj_
de de
ordenado de
esta ordenado
nada manera, puede resultar útil concebir una forma
particular
repre
de
repre
particular de repre
forma
sentacíón para ese conjunto. Tal es el caso de la recta;
recta;
infinftos
los infinitos
recta; los
puntos que la componen, al ser proyectados, definen' otra
recta
recta
cua_
en ee1 1 cua_
definen otra recta en
dr© de proyección, recta que equivale a la Intersección
del
Intersección
cuadro
con
Interseccion del cuadro con
el plano que contiene a los infinitos rayos proyectantes.
proyectantes.
En consecuencia, puede definirse la proyección de
recta
un
desde un
recta mm desde
de una
una recta
centro 0 sobre un cuadro Tf , como la intersección con
plano
con
TT
if
del
que
con TT del piano que
pasa por 0. y contiene a m.
i
!
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
-
í-3
1-3
1-3
Carlos J. CTiesñevar
:,-~ircrJT?
.tÿ.’rWKSíCSCi.t
|
i
ts.
1f£0
tS.o0 Ifnlí"».rn5
T-SB
'3"£SW
Tim TflrtT-
|
.
f ig 2
;
Pí &no
ante
Proyact&ntg
Froy$ct&<U*g
o
i»
A
&
’S.
'Xsa.
ms
@o0
@0
Á
A*
zr.
Z£.
(
b)
b)
b)
a)
!
P.R0_
Todo piano qué contiene al centro de proyección se
se denomina
PLANO PR0_
denomina PLANO
PROÿ
YECTANTE,
!
La if.nea que define un plano al cortar a otra superficie
superficie se
denomina
se denomina
TRAZA DEL PLANOS
un
Puede ahora expresarse: "La proyección de una recta
un centro
recta mm desde
desde un
centro
que
proyectante
0 sobre un cuadro if , es la traza en 1T del plano proyectante que cont
ie_
ie
contͣ
\
ne a m . "
PUNTO
IMPROPIO,-
Todo rayo proyectante que pertenece al plano proyectante
proyecta
proyectante
proyectante íi ,,, proyecta
proyecta
de
a_
tiene
un punto de la recta a, contenida en % (fig-3). Cadaa punto
tiene
a_
de
punto
tiene
1
11 , etc).
etc),
C
1 , C en C
,
su correspondiente en a1 (A se proyecta en A'. B en 8
8’,
8 , C en C‘, etc).
de
me*
Se adral te que esta correspondencia es bíunívoca sin excepciones,
excepciones,
excepcioncs, de
de rao”
moa
contiene
a,
a
a,
un
do que aun el rayo proyectante r, paralelo a la recta
contiene
recta
recta
contlene a un
un
el
en
sistema.
par de puntos (uno de a y otro de a1) que se corresponden
el
en
corresponden
sistema.
ponder* en el si sterna.
Para hacer posible esa generalización, se dice que el
rayo
contiene
rayo rrr contiene
el rayo
contlene
de
la
aÿ.
recta
de
al punto "al infinito" dg la recta a_, ó al PUNTO IMPROPIO
IMPROPIO
IMPROPIO de la recta
recta aÿ.
a*
punun
sólo
concibe
sino
pun¬
En razón de la forma de establecerlo, no se conclbe s!no solo un punmayúscula,
agre¬
to Impropio por! cada recta. Se lo señala con una letra
letra
mayuscul a , agre¬
etra mayúscula,
agre°=
arbitrario.
arbitrario,
gando el símbolo 11 co " y una corta flecha con sentido
sentido
Ido - arh i t rar f o ,
.
Fig 3
X®ÿ S.
f
'0
! ;
&G
r s. I
ja
-j-.i
l
ei
1rn¥=X‘
A
8
I
.M
X
//
| iC &
JT
a
6
ea
zr
C
b)
I*
I*
T
tnr-x?r=s3-
!
/
JKVJaa
/
a)
--
---rrr
r *ÿÿ4.
i
i
Mssamat
'/
!
al concep¬
asociado
concep¬
$3 observa, qua al concepto de punto impropio está ssociado
asociado al
concept
cortan
se
rectas
más
dirección,
(no
sentido).
en
cortan
se
restas se cortan sn
Decir qu© dos o mis
d©
to d©
en
mils rectas'
dirección,
tienen la misma dirección,
direction,
Inversamente,,
puede
tuyan una familia de rectas paralelas, inversamente,,,, puede
en común
en
común
dos o más rectas paralelas se cortan en (o tienen on
cornua
propio.
el punto impropio,
I
!
i
:
í
f
©s
decir
qu©
t£
que cons
ó
ó que
consejé
6
que
constj
que
decirse
que
decirse
que
declrse
im
«1) punto
punto
«1)
ím
«?)
punto ?m
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
-
Carlos J
-
1-4
I -ii
I 4
Chesñevar
T.*;\b
cualquiera
está
enen gene¬
gene¬
De acuerdo con lo que antecede, una recta cualquiera
cualquieraaa aestá
estaen
gene¬
por
pun¬
infinitos
infinitos
ral compuesta por un punto Impropio, "intangible", y por
por infinitos punpunPROPIOS.
tos "tangibles", que llamaremos PUNTOS
en
elel
proyecta
se
Puede observarse (f'ig.3) que el punto impropio loo se
proyectaen
seproyecta
en el
enenel
impro¬
impro¬
elel punto
punto
punto propio I', y que el punto propio J se proyecta en
punto improunun pun_
pun_
pio J¿> de a'. Se advierte en consecuencia que no necesariamente
necesariamente
nepesar i amente un
pun_
en
propio
punto
en
propio
o_o
to impropio se proyecta en otro punto impropio, ni unun punto
punto propio en£
tro propio.
5.- RECTA IMPROPIA,
•i
-
plano
proyec¬
del
no
Todo plano proyectante puede proyectar una recta del
del plano
piano no
proyecno proyec¬
(fig.4)
m,
m,
determinando
a
plano
Así,
recta
tante
corta
en
el
determinando
recta
c*.
la
•
recta m, determlnando
en TT la recta m‘ , proyección de la recta
de
cuaj_
.Para
la traza de
recta
de .Para
recta m m de
.Paracuaj_
cuaj_
quier recta de ot , puede quedar del mismo modo definida
correspon¬
correspon¬
definida
su
su
deflnida su correspond
diente recta en IT.
<xc<,, , se
se
dice
Cuando se considera el plano proyectante ¿ , paralelo
alal c<
paralelo al
sedice
dice
que ¿contiene (o proyecta) a la recta "al infinito" del
plano
del
del piano o<o<,,,ooo aaa
la RECTA IMPROPIA del plano
.
íí
i es. £ ee
§£ 0
$ S Í*a
ni¿w,
I£m
I£ 0
j Vn7T=m'
OC
oc
&&
jj j&
OC
&
0 £ nT= j
& £ 0
e£ jj
e£
jSnTTrt’
jSnir=i'
jSnTTr
j
15
l
T
55
0
<06
m
j
\
"7
-..
00 \
if
\
\
\
\
\
\
~7>
/
/
\
f
•ÿ€
/"
\
X
-í‘i*t*
I
¿r
a)
AT
jr
fig.4
b)
b)
b)
-
De acuerdo con el modo de concebirla, no se acepta sino
sinosólo
rec¬
sino sólo
solo una
una recr ec
minúscula,
ta impropia por cada plano. Se Indica con. una letra minúscula,
agregan¬
minuscula 9 ag regando el sí mbo lo o&
.
en te al
Asf como el concepto de punto impropio era equivalente
equivalente
al de
de ddi irecr ec
al
cfón de una recta, el concepto de. recta Impropia equivale
equTvale al de
de orientaÿ
orlentaÿ
ción de un plano. Decir que dos o más planos se cortan
i imm “
cortan en
en la
la recta
recta Im¬
que
propia, equivale a decir que tienen la misma orientación,
o
orientación,
orlentaclon, o que consti¬
const!"
que
tuyen una familia de planos paralelos. Inversamente, puede
puede decirse
que
declrse
en)
la
recta
dos o más planos paralelos tienen en común (o se cortan
en)
Jim
cortan
cortan en) la recta
recta im
lm
-
-
propía.
Lutvgo, un plano cualquiera « estará en general compuesto
rec¬
compuesto por
por una
una rec¬
rec¬
impropia "intangible" y por infinitas rectas "tangibles",
"tangibles",
"tangibles", que
que llama¬
llamaremos RECTAS PROPIAS.
ta
o¿ se pro
Puede observarse (flg.,4) que la recta Impropia í o» -del
-del
-del plano
piano ©¿se
pro
se pr£
yecta en 'la recta propia {', y que la recta propia j da
proyectaen
de
se
de ocse
se proyectaen
proyecta en
rect®
la recta impropia J
de IT , de modo que no necesariamente
una
recta
necesariamente
iamente una
pro
una
recta pro
en
otra
pia se proyecta en otra recta propia, ni una recta Impropia
Impropia
en
otra
impropia en otra rec
ra£
ta Impropia.
f
-m
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
-
i I~
Carlos J. Chesñevar
lySfcvf. MKWOSSCI
*lySfcvf.
6." PLANO IMPROPIO
„
r I ca se
Con el fin de completar ¡a estructura geomét
piano
el plano
geometrica,
define el
se define
puntos
impropios
impropio como el conjunto que integran todos los
rec
los puntos hnproplos yy r©£
(plano
tas impropias que puedan existir. Hay por lo tanto
(piano f mlm”
tanto sólo
solo uno
uno(plano
Tal ficción se Justifica cuando
propio "universal11)
gene¬
euancio es
necesar io gene¬
es necesario
Justifica"una
recta
y
ralizar uñó expresión, Asf puede decirse que
que
punto que
un punto
que "una recta y un
restricción.
no le pertenece definen un plano", sin ninguna
efecto:
ingun a restricción.
En efecto:
restriccion. En
-
.
a) Si el punto y la recta son propios., el plano
Question es
piano en
es elel
en cuestión
contiene a; la recta y pasa por el punto.
que
que
b) Si el punto es propio y ía recta impropia,
pasa
Impropia,elel plano
que pasa
piano es
es elel que
la
a
recta.
recta.
por el punto y es paralelo a los planos que contienen
contlenen a la recta.
c) Si el punto es impropio y la recta es propia,
propia,
que con¡
propia,elel plano
piano es
es elel que
coo
punto
ai
contienen
tiene a la' recta y es paralelo a las rectas que
que contlenen a! punto dado
dado
d) Si el puntQ y la recta sen impropios, el plano es el plano impropio.
impropio.
piano es el piano impropio.
7-- CLASIFICACION DE LAS PROYECCIONES ,~
Cuando el centro de proyección es un punto
propio,
propio
punto propio,
denomina CENTRAL ó CONICA (figuras 1 a k)
.
lala proyección
se
proyeccion se
Si el centro de proyección es impropio, se
que lala proyección
se dice
dice que
proyeccion eses
paralelos.
paralelos.
son
PARALELA ó CÍLINDRiCA. Los rayos proyectantes
proyectantes son paralelos.
ORTOGONAL, si la dirección del car
Se agrega además la calificación de ORTOGONAL,
del cer
0RT0G0NAL si la dlrecclon
( ff í g .5)
)
es.
tro es perpendicular al cuadro, u OBLICUA si
no lo
lo es.
si no
es.((fig.
5)*
.
,CW
C
A
Á
F i g.5
AA
B
A
Q
G
EL
AA
Cc
%
C\
r
7
/
//CL.5
cw
6
60
Proyección Paralela Ortogonal
a)
a'a
/
//
/
//
>r
/
/A
?r
/
Proyección
Proyeccionftaratsl®
Oblicus
fValelaOblicua
b)
b)
b)
2.- METODOS DE REPRESENTACION.”
proyección, pp
proyección,
de
En lo que antecede ha quedado definido ©1 concepto
dela proyeccion*
el conceptode
correspond®
ro no ha sido asegurada, en general, la rigurosidad
de la corresponds
rlgurosldad
(ffg.i
PP (ffg.i
cualquiera
cía bíunívoca prevista. Está claro que a unun punto
punto cualquleraque
solara
corresponde sólo un punto P* de TT , pero no puede afirmarse
so
asf I rma r se que
no puede contenidos
sfi el- ra
te el punto P se proyecta en P* (todos los puntos
el ra
en
con'tenf-dos
puntos
definitiva,
definitiva,
conocido,
en
proyectante r se proyectan en P1). Mo queda conocido,
1
l
e
f
f
n
1 va 5
d
en
queda conoctdo
P P‘‘ .
modo de "reconstruir" el punto P en función de
$
funclon de
•
sí sien
Además, ha quedado dicha que pueden establecerse distintos
dfstintos slst&fi
establecorse
etc.)
Impropio, etc.)
de proyección (de centro propio, de centro Impropio,
Impropio* etc*)
adopta un sistí
Se constituye un METODO DE REPRESENTACION cuando se
se adopts yndeslst*
REPRESENTACION cuandoconvencional
rej
de proyecciones definido, y se establees lala forma
f ona y1 de
convene
forma
ref
plane
(punto,
recta
sentar en ese sistema los elementos geométricos (punto,
plane
(punto*
y
recta
geometrical
«Jefi
elemento
de modo que Cada rep re s en t ac i ón Individualice a sólo un
Indlvlduallce a solo un element© defi
do ®n el espacio.
las págirii
Los métodos más conocidos, que pasan a ser estudiados ©n
se r estudlados en las pag ini
qu© § I gu©n , son :
.
;
A
1-6
1-6
GEOMETRIA DESCRIPTIVA *- Carlos J. i:Chesñevar
-o DeEL
;. .
METODO DE MQNGE (llamado también de la Doble Proyección
Proyecclon Ortogonal
Ortogonal
pro;
, ,dos
dos pro
utilizan,
la Proyección Diédricá), en el cual se utilizan,
utllizan, comb
combi inadas
nadas,
prcr
sí,
sí,
entre
perpendiculares
ortogonales,
con
cuadros
paralelas
cu
1
perpend
1
a
res entrs sf,
yeccíones
p¡£
(uno horizontal y otro vertical).. El modelo es reducido
reducldo aa un
un sistema
sistema pla_
pl£
la
/ec
reo
!a
de
giro
(tridimensional)
alrededor
del
de
por
los
medio
cuadros
cuadros aTrededor de la fee
ao
ta común, hasta quedar superpuestos (Cap. 11),
una
EL METODO DE LAS PROYECCIONES ACOTADAS, en el que se
se utiliza
una pro¬
utlliza una
proproyección
la
royecc i ón dede un
yección paralela ortogonal, con cuadro horizontal. AA la pproyecclon
un
en
rela_
punto se asocia un número que indica la altura ó cota
del punto
cota del
punto en
en rela_
rel£
ción al cuadro (Cap. IV).
’
-
- EL
ción
una
METODO DE LA PROYECCION CENTRAL, en el que se utiliza
utiliza una
proyecuna proyec¬
La
individualiza¬
arbitrariamente.
cónica, con el cuadro orientado arbitrariamente.
amente. La individualizeeción de los elementos se asegura mediante la proyección
proyeccion combinada
ecombinada de
de e,t
lementos propios e impropios (Cap.v).
sensación
es
la
-Los METODOS DE LA PERSPECTIVA, donde lo esencial es
la sensación
que
es la
sensacion que
proyección
observa¬
(u
observa¬
produce la representación. Cuando el centro de proyección
proyecclon (u
(u observaes
si
VI);
CONICA
ción) es propio, se dice que es una PERSPECTIVA CONICA
(Cap.
(Cap. VI);
CONICA (Cap.
VI); si
si es
es
Vil).
impropio, que es una PERSPECTIVA PARALELA (Cap. Vil).
VII.').
de
estudio
al
Estos Apuntes Incluyen, además* una breve referencia
refereneja al
estud io de
al estudio
de las
las
que
medida
en
sombras,
la
superficies
y
y
las
a la teoría de las sombras,
curvas
sombras, en
en la
que
medida que
la medida
representade
representatales conocimientos pueden complementar a las técnicas
técnicas
representade
tecnicas de
puedan
que
geométricos
que
cion y aportar a la resolución de los problemas geométricos
puedan
geometricos que puedan
abordarse dentro de las mismas.
•
r
-
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
Carlos J. Chesñevar
11-1
! i -1
rfMKSTV *»
II)
METODO DE
MQNGE
REPRESENTACION
DE LOS ENTES FUNDAMENTALES
- PERTENENCIA
PERTENENCIA - PARALELISMO
PARALEL1SMO
“
1 •” SISTEMA DE! REPRESENTACION
CUADRO VERTICAL
(o
rmiro ó plano
ortográfico)
/
/
DIEDRO
UIT
DIEDRO H
Semiplano
Superior
i.
/
/
/
•Se’, <?/y>/as?o
vz/a/ar/ro
/
fer/or
fer/or
j&ohfer/or
¿jo.
DIEDRO
nHI
DIEDRO IH
Linea de Tierra
DIEDRO I
CUADRO HORIZONTAL
íó suelo o plano;
"/<
icnográfico) \
ABATIMIENTO
ABAT1MIENTO
los
"cerrando”1
diedros
tos
"cerrando
tos
"cerrando11
diedros
par.
dedentümero
número
ndmero par.
Ses77//f/crv o
o'szf'ezrsQ r
Semiplano
DIEDRO 32
2.- RECTAS
Inferior
PROYECTANTES
b
O’oo
a JL Tí,
3£
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a
y
Jfc
i
7
PLANOS PROYECTANTES
PROYECTANTES
/'bí o".
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3.- REPRESENTACION DEL. PUNTO
7
[*
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ffig.
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fig.
3
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1ra.
a) Un plano es
en
es proyectante
proyectante en
en 1ra.
Ira.
proyecciónperpendicular
sí
proyeccion. si es
es perpendicular
al cuadro horizontal.
horizontal.
b) Un plano es
es
proyectante
2da.
en
es proyectante
proyectante en
en 2da.
2da.
proyección,
perpendicular
si
es
proyección,
í
cu
es
perpend
1 ar
si
proyeccion, si es perpendicular
al cuadro vertical.
vertical.
vertical.
c) Un plano que
que
es
simultáneamente
que es
es simultáneamente
s i mu 1 tan e ament e
Ira.
en
proyectante
pro¬
en
Ira.
2da.
proyectante
proyectante en Ira. yy 2da.
2da. pro.pro¬
PLANO
llama
PERFIL
DE
yección se
PLANO
llama
PERFIL
se
llama
PLANO
DE
PEBFfL
LT-j
( e s _L a LT)
LT)...
.
cen a un
plano de
per f i 1 .
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i
V
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y/y 7
iti®ÿ
! If
a) Una recta ejs proyectante en Ira.
proyección,| si es perpendicular
al cuadro híor i zonta 1
b) Una recta es proyectante en 2da .
proyección, s í es perpendicular
al cuad ro vert íca 1
P> PD» p1P2 perteneÿ
~
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fig. 2
Los puntos. FrjT
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fig.
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í.P?
t.Pa
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Áfí,
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II
1
I
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LT
05
TSZT
*P1
4P,1
ip
fíg.
6
fig. 6
6
fighorizontal)
-La primera proyección P1 (o proyección horizontal)
P, es
de P,
es la
la traza
traza
horizonta
l) de
de
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es
la
traza
P.
.
de la recta proyectante en ;1ra. proyección que pasa
por
ppasa
asa por
P
por P.
(° proyección vertical) de
de
-La segunda proyección
la traza
P, es
de P,
traza de
es la
de
P,
la
es
traza
de
por
P.
por
proyectante
proyécción
pasa
que
P.
recta
en
2da.
Ja
por P.
-Las dos proyecciones de P lo individualizan.
LT
ii cu
ar aaa LT
-La línea de referencia que une Pf y ?2 (fig. 6) es perpend
LT
perpendicular
perpend
cu 11 ar
fig. k
fig. 5
!
-
V-ÿÉOMETRI A DESCRIPTIVA
.
Carlos J. Chesñevar
4.-- SITUACION DEL PUNTO
I
C
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Diedro ',Semiplano
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Diedro
Diedro
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KT
K
E2
EQ
E2 EO
Ei
Eo
Ei Eo
Cota de) Punto: es la distancia del punto al cuadro
horizontal.
horizontal.
cuadro horizontal.
Alejamiento del Punto: es la distancia del punto al
.
al cuadro
vertical.
cuadro vertical
.
/
5.- TERCERA PROYECCION DEL PUNTO
V1
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6 'IN¬ FORMAS DE ABATIR EL CUADRO T 3
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-
3*
3*
-La distancia
distancia
de
es
TT33 es
es
de PPP aaa T
distancia de
alejamiento
el alejamiento
P.P.
de P.
lateral
de
lateral de
alejamiento lateral
/
i
de
de
proyec
de proye£
proye£
plano
plano
piano de
de
de
-El tercer cuadro
cuadro
ción ( IT 3 ) es
es
un
es un
perfil.
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DESCRIPTIVA -
GEOMETRIA
Carlos J.
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Chesfieyar
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7*- PUNTOS QUE PERTENECEN A LOS PLANOS BI SECTORS
8
SECTORES
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Bisector
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I
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45*
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B
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Segundo
Segundo
Bisec
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8 i secfor
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'¡¿08!
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D,
D, = D2
*M
D2
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c2
( /3 ) : Es el plano bisector de los
ill.
los diedros iI yy Ml.
-Segundo Bisector ( f3 2 ) : Es el plano bisector de los
IV.
IV.
los diedros .11
ii yy !V.
-Un punto que pertenece a uno de los planos bisectores,
bisectores, tfene
tiene cota
cota yy
alejamiento iguales. Luego:
-Los puntos de (3 1 (y sólo ellos) tienen sus proyecc
proyecciones
simé trícame*
i ones simetricamen
te ubicadas respecto a la línea de tierra.
-Los puntos
proyecciones
de ntes.
co ii nc
nc ii dentes.
iones co
2 ÍV sólo ellos) tienen sus proyecc
-Primer Bisector
"
def3
8.- REPRESENTACION DE LA RECTA
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La 2da. Proyeccion
2 es laproyecvertical)
ción vertical)
,
,
r
de
traza
i'ca 1 )
latraza
9
en T 2 del piano
plano proyectante
proyectante en
en
2d a. proyeccion
proyección 8 que
r.
que contiene
contiene aa r.
en ¥ 1 del plano proyectante en 1ra.
proyección
que contiene a r ,
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$ £. rr
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¥F .k
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r.
f '1
'Sr
'Sr
-Las dos proyecciones de la recta r la individualizan.
individualizan.
r)
r)
-La''traza Sr de la recta r en T j (traza horizontal
primera traza
horizontal oo primera
de r)
traza de
es el punto de |
de referencia
perpen¬
línea de
referencia perpen¬
r que se encuentra sobre la Ifnea
dicular a LT que pasa por el punto común a LT y r2.
) «,,
)
-La traza Tr de la recta r en ¥'2 (traza vertical o
segunda traza
de rr)
o segunda
traza de
perpen¬
de
es el punto de r2 que se encuentra sobre la Ifnea
referencia perpen¬
línea de referencia
..
dicular a LT que pasa por el punto común a LT y rr-j«j .
trazas, Inversatrazas,
inversa¬
-Dadas las proyecciones de r, es posible establecer1
sus trazas
ecer sus
*
mente, dadas las trazas de r, es posible dibujar las
proyecciones r-j
las proyecciones
r-j r2
r2...
I.,!-1»
1.1-4
l.l -4
Carlos J-. Chesñevar
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
VB&smi
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9.- RECTAS EN POSICIONES PARTICULARES
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(paralela a Tj )
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-Recta
flg.15-Recta
Frontal
-Recta Frontal
(paralela
(paralela
¥TT 2)
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ra 1 e 1 a aaa IT
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7~Rectas
que
f i g 117~Rect
que Pertenecen
Pertenecen
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Pertenecen
as que
Cuadros..
a los
los
los Cuadros..
Cuadros.
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En este caso,
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recta
no
caso, la
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no
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individualizada
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por sus
sus
sus
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Es
proyecciones
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otro
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ee1 emento
1 emeo to
agregar otro
otro elemento
(trazas, tercera
proyección,
tercera
proyeccion,
tercera proyección,
puntos
de
proyección de
de
puntos de
dos
de dos
dos puntos
s, etc.)
f ig. 1 8-Recta de Perf I 1 .
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(i \ (Trazas ubicadas slmétrj_
camente respecto a LT )
IV
III
in
•<wwi>weta
fig.2G-Recta
fig.2G-Recta
Perpendicular
Perpendicularaa a
20-RectaPerpendicular
coincidentes)
(Trazas
coincidentes)
(Trazas coincident es)
2
-
GEOMETRIA DESCí'i ¡ PT I VA
Carlos J
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N-5
IM-5
1-5
Chesñevar
10.- RECTAS QUE SE CORTAN
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*
Dos rectas se cortan si las intersecciones de sus
están sobre una línea de referencia perpendicular
proyecciones homónimas
homortimas
homónimas
a LT.
LT*
IT.
11*” RECTAS PARALELAS
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S.CO
figf I g •22
22
Fig.22
Dos rectas son paralelas si son paralelas sus proyecciones
proyecciones homónimas.
homonfmas.
homónimas.
(Sí las rectas son de perfil, debe verificarse el paralelismo
parelelismo
ter
paralelismo de las ter_
ter
~
ceras proyecciones).
12.- INTERSECCION DE UNA RECTA CON LOS PLANOS BISECTOR.ES
DISECTORES
SECTORES
M
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B
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s
D
(3ÿ
deTTcon
ln?erseccidn
fcon
ínierseccidn de T con (3)
(V
intersección de
intersección
con (32
proyecciones
y
r es el punto de r de proyecciones simétricas
-El punto común a
simetricss
res
res
simétricas res
iguales). Una
Una forma
forma de
de lo”
pecto de IT (punto I, con alejamiento y cota iguales).
1lo¬
o
(dlbujando
(dibujando una
una recta
si
recta
23 (dibujando
calizar ese punto de r es la que indica la f i g 23
recta si
sj_
,
ones
de
con
hasta
a
LT
cortar
respecto
proyecciones*
una
las proyecciones, hasta cortar a la
de
ala ométrica
o-
.
tra proyección).
proyecciones co
co ii nc
punto de r de proyecciones
nc ii den
dentes
-El punto común a p 2 V r es
tes ,,,
(en consecuencia, es el punto común a las dos proyecciones
proyecciones de
r)
.
r).
de r).
per
se
1localizan
oca 1 F zsn por
-Si la recta es de perfil* los puntos I(r/ÿ) e iCr/Bg),
por
s© localizan
I.ír/Sj), se
medio de la 3ra. proyección.
I(r/é2),
•w
r
7
. fchésñevar’
Carlos
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
6
:.VJII1 --1.ÿ
•&.
.
.
TjS7
13.- RECTAS PARALELAS A LOS PLANOS BI SECTORES
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a)
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Recta pa ra lela a
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b
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. 24
Recta paralela &a (2
[2
/3 2
-
“Una recta es paralela a un plano sí no lo corta en un punto
Lúe
punto propio.
propio.LueLúego :
-Una recta es paralela a $ si la recta simétrica a una pprovece i
1
una royecc
r oyecc í ón
5n de 1 a
recta es paralela a la otra proyección (fig,24-a).
-Una recta es paralela a
(fig.24b)
2 si sus proyecciones son paralelas
paralelas (
f t g .224b)
(fig.
4 b)
-Si la recta es de perfil, sera paralela a
pe
r pend i cu 1 a r a
j cuando es perpendicular
perpendicular
,a2as Coincí dentes) y será paralela a 1
cuando
cuando es
es perpendicular
perpendicular
a /3i (trazas simétricas).
fl
/3
14.- REPRESENTACION DEL 'PLANO
AT,3YZ
tU
tU
Traza Vertical
6 Segunda traza
de Pe
Traza Horizonte!
ó Primera traza
_
de oo
tSTsl
tí:
f ig.25
7
Plano en posición genérica
ii nd
Las trazas de ¿p< 1 o individualizan
nd ii vv ii dua
dua11 izan
i zah
15.- PLANOS EN POSICIONES PARTICULARES
¿Slfi ¿Tí 2
oX/TT,
tu
ík
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I
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---
¿ífT57
4Tn
«ira
W/T2 TT2
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X
f ¡g.26
Fronta
P 1 ano’'Frontal
Fron ta11
Plano Horizontal
o¿ÍTT¡
p2
tw
06
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fffig.27
i g • 27
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JW
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Tu
Plano proyectante en Ira. Proyección
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Plano Proyectante
Proyectante
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Proyecta.nte en
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Carlos J. Chesñevar
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16.- RECTA DE UN PLANO
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17.- RECTAS PARTICULARES DE UN PLANO
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Pendiente
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18.- PUNTO DE UN FLANO
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proyectante en Ira. proyección,
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sobre la primera traza
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nen su 2da. proyección
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19 •- PLANOS PARALELOS
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paralelas.
Las trazas homónimas de dos planos paralelos, son paralelas.
paralelas.
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Pianos
Planos Paralelos
Planos No Paralelos
paralelos, sus terceras
Si dos planos paralelos a la Línea de Tierra son paralelos,
terceras
trazas son paralelas.
20.
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RECTA Y PLANO PARALELOS,
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Una recta es paralela a un plano, cuando está contenida
(o puede
en (o
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dado.
truirse pasando por ella) un, plano paralelo al dado.
PROBLEMAS GRAFICOS
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21»" INTERSECCION DE DOS PLANOS
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Las trazas horizontal
se encuentran en las
de los planos. (En el
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planos
de dos
dos planos
intersección- de
pianos
interseccióny vertical de la recta Intersecclon
jntersecciones.de
homónimas
las
trazas
homónimas
respectivas Intersecciones, de las trazas homonimas
la traza
res¬
paralelas, la
traza rescaso de trazas homónimas paralelas
p.unto impropio).
•
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GEOMETRIA DESCRIPTIVA
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22." INTERSECCION DE UNA RECTA CON UN PLANO
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punto X (Intersección de r con ¡x.) estará contenido en
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medio de un plano auxiliar
(proyectante en Ira.
que
1ra.
proyecc
ion ,
proyección,
Ira. proyección,
r)
contiene a
se determina X ( X I2
Los planos proyectantes permiten
construcciones gráficas más senci 1 las que los planos
enérIcos.
pianos auxiliares
aux i 1 fares ggenericos.
genéricos.
23.-
ÍNTERSECCÍON
DE UN PLANO CON LOS PLANOS BISECTORES
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bisectores.
bisectores.
-El punto A (A-¡ A2) pertenece a oí y a los dos planos bísectores.
punto
otro punto
establecido otro
-Por medio de una recta cualquiera de c< , queda establecido
.
simetricas).
común a oi y /3| (Punto I, de proyecciones simétricas).
(recta
pianos o(
o(
planos
cX Yy /3j
-El par de puntos A X, define la recta común a los planos
/3] (recta
i , de p royecc i ones i 1 1 2ÿ :
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-El punto I(hÿ2) de o( (de proyecciones co i nc i dentes ) se
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-El par de puntos AI define la recta común a los planos
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26.- PLANO DETERMINADO POR UN PUNTO Y UNA RECTA
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Un plano contiene a un punto si contiene a una recta
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que pasa
pasa por
por el
P.
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contenga
que
to. Es necesario entonces determinar una recta auxiliar
auxiliar que contenga a P.P.
un pun¬
También debe ser coplanar con r, para lo cual debe tener
con ella
tener con
un 'pun¬
ella
es
buscado
to común (un punto propio o el punto impropio)
ele1 1 que
El plano
piano buscado ese
que
aux¿
contiene a. arabas rectas. En el ejemplo de la fig.49 se
recta
uso
au)d
se usó
uso lala recta
recta auxjí_
liar a , hor i zon tal.
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27.~ PLANO
QUE
DADO
PASA POR UN PUNTO DADO/ PARALELO A UN
UN PLANO
PLANO
DADO
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recta
propio yy una
Se trata de representar el plano definido por un punto
recta
punto
punto propio
propio
y Puna
una
recta
tiene
por
y
que
pasa
impropia (la de o{)
por
PP yy tiene
Dicho de' otro modo, el plano que
que pasa
pasa
por
tiene
serán
(3
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la misma "orientación" que oC (las trazas del plano buscado
(3
serán
buscado
enton
buscado
seran
(3
conten¬
que
una
recta
)
c<,
conten¬
ces paralelas a las de
Es necesario establecer una
una recta
recta que
que
conten¬
un
punto
ga a P y que sea a su vez generatriz de (i para determinar
pa¬
de pa¬
punto de
un
determinar
determinar de
tin punto de pe¬
h).
medio
h)
(en
.
so de una de las trazas de (2>
de
el ejemplo, Th por medio
h)
. partícu
medio
de
rectas
;;: las
particu
Cualquier recta por P paralela a o<. permite obtener
rectas
las
las
partlcu
rectas
obtener
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expeditivas.
mas
etc.)
(horizontal,
lares
frontal,
ofrecen soluciones
soluciones más
mas expeditivas.
expeditivas.
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28.- PROYECCIONES DE UNA FIGURA PLANA
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Dada la primera proyección del cuadrilátero ABCD, contenido
conteni
oC,
do en
en cA
de
del
rectas
por
proyección
de
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medio
la
puede determinarse
del
de rectas
rectas
d o AB,
Adel
B,
La
El
cuestión.
lado
El
plano que contengan puntos de la figura en cuestión.
ion.
El
la
AB,
do
Estable
horizontal
aÿ.
cX
proyección
horizontal
de
de
pertenece a una recta a
aÿ.
horizontalproyección
a . Estableÿ
Est a b 1 e
a2
segunda
cida ai (conteniendo a AÿB-¡) se determina la segunda
segunda proyección
a2
proyecc
ion.
a2
efe
análogo
se
procedimiento
análogo
efe
procedimiento
se
Con
de a., á la cual pertenecen A2 y 82ento analogo secfe
terminan C2 y D 2
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-9*~ AFINIDAD HOMOLOGICA ENTRE LAS DOS PROYECCIONES DE UNA FIGURA
PLANA
UNA FIGURA PLANA
También puede obtenerse una de las proyecciones de la figura
funcion
en función
flgura en
de
de la otra, aplicando 1 a .p rop i edad' de 1 par de proyecciones
recta
una recta
proyecciones de una
de cortarse en un punto dé /S» (T if 1 2 ; f i g .23) •Para todas
de
rectas de
las rectas
as las
un mismo plano ©< , las respectivas proyecciones (primera con
segunda)
se
segunda)se
con segunda)
(T i t 23 ; ffiigg..A8)
A8)
CCon
cortarán en un punto de la recta común a oí. y
on auxi
aux_i_
aux 1
48)..Con
lio de una recta cualquiera del plano, se obtiene la segunda
i órT
ónn
p.foyeccio
segunda p.foyecc
de uno de los puntos de la figura dada (frg.52) y con la
pue
misma
recta
mismá
b recta pue
mism
la
) que permite
de obtenerse el punto I (.1 I2) de la recta i (<*.
dibujar
permite dibujar
la. 'Los restantes puntos en 2da. proyección se obtienen por
rec
de rec
por medio
medio de
tas que los contienen; así la recta a2 contiene a 82 en el
punto
deter~
el punto determinado por la perpendicular a LT llevada desde Bÿ. Para dibujar
ssee
dibujar a2
a2
tuvo en cuenta que ella pasa por M2 y A2 (puesto que a 1 contiene
y
contiene aa H1
M1Mpo¬
1 y
(o
Aj). En forma análoga se obtienen los restantes puntos (o
del
po~'
podel
s
(o lados
lado
lígono). Debe advertirse que sólo es posible dibujar la 2da
2da.. proyección
proyeccion
de una recta, cuando además del punto respectivo de, i(oí./32)
)
se
I (otot.ÿ2
conoce
/32 ) se conoce
otro "punto de paso’1 de la recta buscada (ej: para determinar
s
se
a2,
minar a2>
a2, se eestableció previamente A2).
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52
par de proyecciones de un ente geométrico lo llamamos
elepardedeelellamamcspar
mentos correspondientes (ej : Aj A2 constituyen un par dedepuntos
corresescorr
puntos
rectas correspondientes), lalarelación
que
relación
* pond i entes ; at a2 un Par
que
relacion
existe entre las dos proyecciones de una figura plana puede
expresarse:
puede expresarse:
"Entre las dos proyecciones de una figura plana existe una
corresponaen
corresponaen_
unacorresponaen_
cía tal que: a) Pares de rectas correspondientes se cortananenenunun punte
punto
punto
cort
de la recta intersección del plano que contiene a la figura con elel se¬
sesera con
figu
gundo plano bisector; b) Pares de puntos correspondientes están alinea¬
eaalin
n
esta
ntes
ndie
espo
corr
dos con el punto impropio de las rectas perpendiculares
LT“.
aresa aLT".
Cuando dos conjuntos de un mismo plano se corresponden enenuna
relación
relacion
una relación
en
pond
geométrica como la que se ha señalado, se dice que son dos conjuntos
son dos conjuntos
HOMOLOGOS, o que los vincule una correspondencia homológica.
lógica.
recta
homo
recta
logica.A Alalarecta
homo
del plano (propia o impropia) sobre la cual se cortan los pares sdederec¬
rec¬
rec¬
pare
los
tas correspondientes (u homologas) se la denomina EJE DE
DEDEHOMOLOGIA.
HQMOLQGIA. Al Al
punto del plano (propio o impropio) con el cual están alineados los
pa¬
pa¬
alineados lospares de puntos correspondientes (u homólogos) se lo llama
DE
CENTRO
llama
HOMOÿ
llama CENTRO DE H0M0_
Si al
i
LOGIA.
yy yel elcen
Las homologías se clasifican de acuerno a la situación deldeleje
cert
eje
ion
la
tro. Cuando el eje es una recta propia y el centro un punto
impropio,
impropio,
punto. impropio, la
conrelación es llamada- A F'INIDAD HOMOLOGICA; se d íce entonces que
los
con
loscon¬
quelos
en.toaces Ahora
juntos que en ella se corresponden son hoirólogos o afínes.
puede
afines.
puede
i
lies . Ahora
expresarse:
afi¬
conjuntos
conjuntos
"Las dos proyecciones de una figura plana sonson
aficonjuntos
afini¬
la
de
nes (o se corresponden en una afinidad homológica). El Eleje
iafin
eje de la
a
dad es la proyección de la recta intersección del plano cue contiene
a
piano cue contiene
el
la figura con el segundo plano bisector; el centro de la afinidad
es
el
la afinidad es
punto impropio de las rectas perpendiculares a la Línea de Tierra".
LTnea de Tierra" .
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M •- 11 33
GEOMETRIA DESCRIPTIVA ~ Carlos J. Chesñevar
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PROBLEMAS METRICOS
En ellos intervienen los conceptos de perpendicularidad,
tor_
1 ar i dad r verdadera
perpendicularidad,
verdadera to£
ma , medida (lineal y angular) etc,
Pro
Plano no
de un
no Pro
un Plano
30.- VERDADERA FORMA DE UNA FIGURA PLANA.- Abatimiento de
.
yectante
yectante.
yectante.
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en las
las
modificadas en
Las formas y magnitudes están en general, modificadas
nes..
repre
genérica,
genérica,
queda repreÿ
ica , queda
Una figura plana contenida en un plano en posición gener
(1ra. yy 2da.
proyec
a n (1ra.
2da . proyec
sentada por dos figuras planas que la individualizan
cíón); ninguna de ellas es igual ni semejante a la figura
Pero
ro
iva. Pe
objetiva.
objetiva.
figura objet
trazassus trazasde sus
suponiendo que el plano gira -usando como eje de giro
giro una
una de
cuestión, se
cuestión,
se
ha sta superponerse con el cuadro que contiene a la traza
en cuestion,
traza en
expresión
ion "a_
tendrá sobre el mismo a la figura en su verdadera forma,
La expres
forma.
forma. ta
dd ii s3 po
nemo 5
ponemos
que no
batir el plano" se usa en sentido figurado; es obvio que
no
del plano objetivo, sino de elementos que lo representan
iindi
nd i rect
ament ee
rectamen.t
representan
la
es la
en el sistema bidimensional 1ÿ=7%. interesa entonces establecer
cuál1 es
establecer cua
correspondencia geométrica que se establece en
os
ddel
eI
ios punt
puntos
n t r e los
eentre
plano supuestamente abatido y las proyecciones de los
para obteÿ
mismos, para
los mismos,
obt£
a~
de a'"
función de
ner aquéllos en función de éstos, o inversamente, estos
éstos en
en funcion
q ué 1 los
.
ua
obt£
.
fcfplin
1$
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ty 1
TT2
Tz
ÍA)
ÍA)
B
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t'\c /.
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ÍC,
25 7C,
H
C2
C2
At(m Bi
i\
Cl
i=
im
Dv
w
plano, al
plano,
un pianola]
de un
Es conveniente observar el proceso de abatimiento de
mmargen
a r ge n
luego las
de todo método de representación, para adecuar luego
las caracter
características
ist teas
los respect
respectivos
del modelo estudiado a la técnica operatoria de los
métodos.
métodos.
ivos metodos.
lj&
SE
lili!
!“&
'
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TK-\
\
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'oA
V
I
(P)
'¿r
f Ig.S*
de una
una rec-~
rec¬
Si un plano cXgira
alrededor
ra al
rededor de.
ta, que le pertenece
(debe concebi
pertenece (debe
concebirse
rse aa ee
)c
giro o
o nbisagraM)cÿ
de giro
sa recta como eje de
" b i s a g r a 11)
da punto de o< describe una
una
a y e c t or ia
it rrayectorfa
ta 1 que:
?
un
en un
está
a ) La curva descrita
o n t e n i d a en
t a ccontenida
i ta es
plano que pasa por*
por el punto
punto cons
considerado
iderado
.
j e.
y es perpendicular aa la
recta eje.
la recta
r*j
b) La curva descrita
de ccir¬
un arco de
es un.arco
i r~
ita es
el punto
en el
punto IIntejÿ
centro
cunferencia con cent
nter
r o en
ci¬
con el piano
plano cigiro con
de giro
sección del eje de
tado en a).
Suponiendo que el plano o( está situado en el sistema
(fig-55)
(fig-55)
Monge (fig.
55) yy
sterna de Monge
que el mismo es abatido sobre ir, , girando alrededor
de
horizon
su
traza
rededor de su traza horizon
tal, resulta: El punto P de ot describirá un arco de
de circunf
con
circunferencia
erenc\a
con
, contenido en un plano £ que pasa por
centro en "t ¿
perpendicular
por P yy es 'perpendicular
a t¿,
modo
Puesto que tj_ pertenece a TT,, , £ es pe r pend i5 cu 11 aa rr aa irir,% 9,, de
do
mo
que es un plano proyectante en 1ra. proyección (fig
(fig.3)(fig.3)Todo punto
to¬
punto yy to*3)- Todo
da recta de £ tendrá su primera proyección sobre !a
(fig.39)
(fig.39)
la Ira.
1ra. traza
1ra.
de £
£ (fig.
traza de
33)
la cual es perpendicular a la Ira. traza de c< (toda
(toda recta
será)
será)
lo sera)
de <£
recta de
<5 lo
.
&
TD
/
:e
-ÿ-¡¡sfP
JipiJjffPfr»
(P)
(P)
debe 1leerse:
debe
eer se:
<p)t«
ti
L0<
,
lillrÿ
ypu
f?
F» /
/
wys
f i g ..55
V
\4
y
do<,
Punto PP de
oí aa bbaattjt_
de o(
Punto
do aalrededor
la
de la
do
1 rededor de
de
traza horizontal
horizontal de
traza
(X
(X
oc r
1
•’ GEQMETR I A DESCR I PT I VA
Carle. J
.
* \
I 1-14
11-14
Ches nevar
ho¬
traza ho¬
si. un plano g i ra a 1 rededor
su traza
de su
rededor de
(ya
rá
s
(ya
tuado
a_a_
rizontal hasta superponerse con 71}, un punto P de oC queda
(y
i
a
o
queda ra s i tuad
proyec¬
batido) sobre la recta perpendicular a t¿ que pasa por
Ira.
la
yec*
pr.o
por la Ira.
ción
del punto P.
La recta intersección de c< y <S es una recta de máxima pendiente
pladel pla¬
pendiente del
expresarse:
expresarse:
no c< (t i t 1 7 ; fig.36); la conclusión anterior puede entonces
se:
esar
entonces expr
de
recta
la
de
de
El punto abatido (P)t¿ estará sobre la 1ra. proyección
proyeccion de la recta
pendiente
por
pasa
que
P.
de
máxima
c<
Para- establecer cuál de los puntos de s 1 coincide con el
P) j_ '»» > es
nece
nece
es n.ece
el ((P)td
(P)to
sari- ó í legar a conocer el radio RP de la circunferencia
que
P,
P,
describe
P,
ribe
i a que desc
puesto que (P)-R = P-R. La magnitud P-R es la hipotenusa
triángulo
del
u
g
n
1o
i.
hipotenusa del t r a
rectángu lo PRP j , recto en P » del cual se conocen los catetos
través
a
es
a
trav
cate t os
del sistema de proyecciones. En efecto, P P 1 es la
cota
(dada
(dada
punto (dada
del punto
ota del
la-c
por P¿-P0) y Pÿ-R es la distancia de Pj a t¿ , dada por la
representa
ts
esen
por la repr
ción. En función de ellos, puede conocerse la hipotenusa
P-R.
P-R.
hipotenusa P-R.
Puede entonces asegurarse que
.
_
-
a)
--
b)
\
\\
)i
c)
alp
s
'R
VL/S*R\ Mm
ÍP)¿í/ R
S|/
(PUL.
/
Coi
f ig
t'-o
t’-c
. 56
elel proce¬
La reconstrucción del triángulo, a los efectos de sistematizar
proce¬
sistematizar
proce¬
sistematizarel
magnitud
PQPQ
so gráfico, se realizará llevando por Pj un segmento de
dedemagnitud
P2
itud
magn
?2~
P2ar¬
el
del
radio
perpendicular a si; la unión de su extremo con R indica
el
indica
del
radio
arar¬
del
o
indica el radi
R,
y
ese
radío
centro
co de circunferencia descrito por P en su giro. Con ese
y
R, R,
radio
centro
ro
y
cent
o
ese radi
posición
de
(P)tÿ
se dibuja un arco hasta cortar sÿ, quedando definida la
de
lalaposición
de
ÿ. .
(P)tÿ
cion
(P)t
posi
Puede observarse que la construcción gráfica realizada
reproduce
realizada
dis¬
laladis¬
disreproducela
realizadareproduce
esa
construcción
posición geométrica contenida en £ ( f i g 55 ) y que
esa
construccion
esa
¿.sobre
,
aux i 1 i a r equivale a un abatimiento del plano auxiliar
, ,aa 11arede
Tí}TIj
rede
sobre
l rede
sobreTT¡
auxiliar£. £
que
forma
dor de t¿ . Por ello cabe indicar a los elementos en la
lalaforma
señala
senala
queseñala
formaque
1 a f i g 56 -c .
polígono
Aplicando el mismo proceso a todos los vértices de ununpolígono
pertene¬
pertenepolfgono pertene¬
su
ver_
posible
conocer
ver
ciente a un plano -conocidas sus proyecciones- es posible
susuver_
conocer
cer
cono
ble
posi
dade ra forma
--
.
.
.
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B2 B2
B2
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{A,t‘«
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A
(B)f-lotik
-
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
11-15
II -15
Carlos J. Chesñevar
ABATIMIENTO INVERSO,
plana
La correspondencia que existe entre las proyecciones de
figura plana
una figura
de una
de
y el abatimiento es bíunívoca. Dadas las proyecciones yy las
d e 11
trazas
las trazas
plano, existe una y sólo una figura sobre cada uno. de
co_
que co_
de los
cuadros que
ios cuadros
rresponde al abatimiento del plano. Inversamente, dado
t i do
abatido
plano aba
el piano
dado el
(y una figura contenida en él) existe sólo. un par de
corres¬
que corres”
figuras que
de figuras
ponden rigurosamente a las proyecciones.
,Dada la figura ABC de <X en su verdadera forma (abatida
(abatida segun
),se
según tk )
,se tr<s
tra_
al estudiado
es analogo
análogo al
estudiado
*?ta de obtener sus proyecc i onesj. El procedimiento es
anteriormente para el abatimiento directo, ya que se
de
se trata
efectúa r
trata de
efectuar
nuevamente una construcción auxiliar que reconstruya
reconstruya la
disposición geo¬
geo¬
la disposicion
métrica que cada punto establece en el plano proyectante (el
(el piano
plano <£.
de
EL de
la fig.55) al girar
en sentido inverso.
oL
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/
/
Wí
¡
(CE
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/
/
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1
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/
fíg.58
(
<A>tk
A)ÿ®_
/B)tE/Vt'oc
/
.¡Eira diode
,
la circunferencia que cada punto. describe esahora
es ahora conocido
conocido
(distancia del punto abatido a la tÿ ), de modo que
es posible
posible obteque si
obtesi es
ner la recta de máxima pendiente que contiene al punto abatida segun
según tt ,,
ii’
de, A]
es inmediata la determinación de (A)t¿ y consecuentemente
consecuentemente de,
A]J
Para' obtener- (s)
cual¬
puede u tí.Tizarse el abatimiento auxiliar
de cua
1
de
quier punto de s. La construcción se simplifica abatiendo
in
la
como
abatiendo T
Ts,
Ts,
lain
como
s>
dica la siguiente figura.
-
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M
m
/
mt
\
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\
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\
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(v.rtsL
(TSÿ.e
(TSÿ.
Tk
tod
O
i//
/
/
/
determj_
inmediata deternn
de inmediata
son de
Las proyecciones de A y de los restantes puntos son
‘nación.
Ts,
O
—
N
Aj
A*
\
tk/
\
1
/
ii
iI
\
\
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v
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(C)tU
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j.*
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GEOMETRIA DESCRIPTIVA
-
11-16
1 1-16
Carlo* J. Chesfvevar
m
NÿA)»ÿ
-v:
•tcJiJ
\/
m.
\
\
\
\
\
i \
!
I
P
aA{! A, I
en
es
en
El procedimiento gráfico
analogo en
es análogo
fico es
graplano
o(
(en
senti¬
caso de abatirse el piano o<o((en
(en sent i ~
ex
sobre
UÿPara
ex
do directo o inverso) sobre
Hÿ.Para ex
sobre TlÿPara
equivalentes
aa a
equivalentes
presar las conclusiones
tes
len
iones equiva
so¬
abatimiento
so¬
las obtenidas para el abatimiento
abatimiento so¬
éstas
en
permutar
éstas
en
as
bre TT i , basta con permutar
est
en
permutar en
lugar
vertical
lugar
en
ar
lug
los términos: traza vertical
en
ticalproyección
ver.
2da
proyección
n
de traza horizontal, 2da.
cio
yec
pro
2da.
lugar
en
alejamiento
lugar
ar
en
en lugar de 1ra., alejamiento
lug
en
alejamiento
de cota , etc
.
I
f i g .61
-
.
I
C,
32.
\
PROYECCIO¬
SUS
AFINIDAD HOMOLOGICA ENTRE LA FIGURA ABATIDA Y UNA DE
PROYECCIQDEDESUS
SUSPROYECCIO¬
NES,
T2
tí,
x-
yR
rCmr-
fl
U
i!
1
/
ipt
i
u.
is,
V
(f i g . 62)
de de
gi¬
oí gi¬
recta
toda
gira alrededor de su traza horizontal, toda
de
recta
oí
o< g i ~
a recta
tod
su
traza
horizonÿ
ra alrededor del mismo ej e ,. manten i endo en común con t<¿ t*.
su su
traza
izonÿ
horizonÿ
hor
traza
f o<.
punto
mismo mo
de
tal. Es decir, toda recta r de oí. abatida, concurre al mismo
punto
fot
de
de
to
pun
(aT*l(a 1
primera mis
proyección
que 1 a cor respond i ente recta objetiva r y que la primera
f*(al
a p royecc i on
merproyección
pri
punto S r )
co co
queque
se se
elementos
Llamando par de elementos correspondientes al par de elementos
co
que
se
mentos
ele
(ej:
i
const
rresponden en la primera proyección y el abatimiento (e j(
(R)
t£
:ej(R)Ri
t i tu
cons
t i stu_
con
: (RRcorrespon¬
i)Rj
rectastas
yen un par de puntos correspondientes; (r)r; un par de de
¬
pon
correspon¬
rectas
res
cor
rec
dí en tes) puede enunciarse:
sobre
abatimiento
Entre la primera proyección de una figura plana y su abatimiento
re TTÿ
sobre
sobTTt
abatimiento
se
correspondientes
existe una correspondencia tal que: Pares de rectas correspondientes
se
se
s
nte
die
respon
cor
ie
plano
que
cont
cortan en un punto de Va recta t ¿4 (traza horizontal del del
nt
que
plano
contie
co
que
piano con el e
alineados
ne a la -f i gu na¡) .pa res de puntos correspondientes están alineados
con
el el
s con
estan al ineado
punto impropio de las rectas perpendiculares a t¿.
Y de acuerdo a lo definido en el Título 29:
la lamisma
de la
mi s mm a1 sma
abatimiento de
La primera proyección de una figura plana y el abatimiento
de
abatimiento
i nj_
una
corresponden
af
en
figura sobre TT; son dos conjuntos afines (o se corresponden
a f i nj_
en una
afinj_
en una
responden
plano
del
horizontal
dad homológica). El eje de la afinidad es la traza cor
piano
plano
del
horizontal
del
l
izonta impropio
horpunto
que contiene a la figura; el centro de la afinidad es el
ropio
punto
impropio
imp
to
e]
pun
es
de las rectas perpendiculares a t¿.
Si el
plano
.
o<
•
'
TTt
so-,
plano se
se efectúa
La conclusión es análoga cuando el abatimiento del plano
a sose efectuso-,
piano efectúa
en e n
vertical
Traza
bre 7T2
Para expresarla, basta permutar los términos:
en
vertical
al
Traza
tic
ver
za
Tra
os:
min
ter
etc.
de
primera,
lugar de traza horizontal, segunda proyección en lugar de
a, etc.
de primeretc.
lugar primera,
abatida,
figura
Es útil aplicar el concepto de afinidad para obtener la figura
abatida,
abatida,
ura
la fig
de
procedi¬
errores
lo cual facilita la construcción y permite detectar errores
procedi¬
des de
procedi"
errore
laen la
en
usado
procedimiento
miento. Obtenido un primer punto abatido con el procedimiento
en
usado
dola
o usa
ent
roced im icorresponden
mencionada
f i g . 5 6 , se determinan los restantes aplicando la mencionada
corresponden
a corresponden
mencionad
cía homológica (fig.63) .
.
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
-
I 1-17
11-17
Carlos J. Chesñevar
KTJ rwrcr.
t'c*
33SSBX
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A2
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B,
B»
/
tc,¿,
yíAh'cc,
yíAh'cc,
/A)ÿ
.
4,
4,
f í g 63
(o FRONTAL)-(o
FRONTAL)
33.- GIRO DEL PLANO ALREDEDOR DE UNA RECTA HORIZONTAL (0
FRONTAL)
rec_
de una
plano alrededor de
Hay casos en que resulta conveniente girar el piano
una rec
El
magnitudes.
magnitudes. El
ta horizontal o frontal para obtener verdaderas formas
formas oo magnitudes.
plano no llega a superponerse con uno de los cuadros
que ggira
has¬
cuadros,, s
cuadros,
sino
i ra hasi n.o que
de sus
una de
rec¬
es una
giro es
sus recta situarse paralelo al horizontal (si el eje de giro
fronta¬
rectas frontasus rectas
tas horizontales) o al vertical (si el eje es una de sus
.
les).
TT2
TÍ2
t
P|
X~ ;
~~ A :
v /
'
!
mgp
v
/
P2
tP2
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i
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Í12.
In
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K:k I ,
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1
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f i g .64
-
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V /
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i?)
i?)
Sy 1P),1\ \h1
s>
La proyección de la figura (abatida) sobre el cuadro
paralelo al
cuadro paralelo
al eje
eje de
de
giro, es idéntica a la figura objetiva. Es necesar
necesario
consecuencia,
consecuencia,
en
io
s_
consecuencia, ees_
tablecer qué relación existe entre la proyección de la figura
figura abatida
abatida y"
las proyecciones de la figura (ira. y 2da.) para obtener,
obtener, en
obtener,
de
en funcion
función de
éstas, la verdadera forma de la figura.
De un análisis similar al efectuado en el Tit. 30,
30, surge
el radio
del
surge que
que el
radío del
arco descripto por un punto de c< , e s la hipotenusa
hipotenusa del
del tr
triángulo
rectán_
iangulo rectan
guio cuyos catetos están dados por la diferencia de las
(la del
Jas cotas
del ppun
cotas (la
u
tp considerado y la del eje de giro) y por la distancia déla primera pro
de la prim era pr£
yección del punto a la primera proyección del eje. La fig.
mo
fig. 6ÿ
fig.
el mo
64 indica
indica el
do de obtener la proyección en TTÿ del punto P de oí abatido alrededor
alrededor de
la
de la
recta h.
También en este caso la primera proyección de la figura
figura yy la
verdadera
la verdadera
forma se corresponden en una afinidad homológica, cuyo
primera
cuyo eje
eje es
la primera
es la
proyección de la recta h (eje de giro); el centro es el
de
el punto
impropio de
punto impropio
las rectas perpendiculares a h j . ( F¡g. G5 ) ,
Si el giró se efectúa alrededor de una recta frontal de c<
c< ,,, las
las propieda
propiedaÿ
des son las mismas, y se expresan permutando los terminos:
segunda pro¬
pro¬
términos:
términos: segunda
yección en lugar de la primera, alejamiento en lugar
etc.
cota, etc.
etc.
lugar de cola,
cota,
V"
'
O
0
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
-
-
II -18
18
Carlo- J. Chesñeyar
t'4,
iV
i'U
t¡L
4
h
A2
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,._h?
i
C2;
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/a
4
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V*i
//
“o
34.- PERPENDICULARIDAD.
planos
se
dos
entre
La condición de perpendicularidad entre dos rectas y entre
se
pianos se
dos planos
entre dos
un
plano.
empresa, en función de la perpendicularidad entre una recta
y
o,
y
plano.
un
recta
pian
un
recta y
En efecto:
a) Una recta es perpendicular a otra, si se comprueba que
que
de
una
es
ellas
es
ellases
de ellas
una de
que una
perpendicular
a
tá conten i da en (o puede pasarse por ella) un plano
la
r
a
la
perpendicular
cula
a
la
endi
perp
piano
otra.
b) Un plano es perpendicular a otro, si puede comprobarse
comprobarse
que
uno
e~
de
e~
de e~
unode
que uno
comprobarseque
líos contiene a una recta perpendicular al otro
lala cond
En consecuencia, debe quedar establecida en primer término
término
condición
i on
condi ci ci 5n
termino la
Monge.
dedeMonge.
unde perpendicularidad entre recta y plano en el método de
EnEn ff unf unMonge.En
dedepertenencia,
pertenencia,
se¬
ción detal condición, compl emen tada con condiciones de'
sepertenencia seplanos)
rán expresadas las restantes, (entre rectas y entre planos)
os)
pian
r L cu
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y KTT,
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ira.
enenira.
proyectante
Si la recta r es perpendicular al plano caí, el plano proyectante
T r a.
en
proyectante
elel
que
Puesto
oí*o< Puesto
proyección que determina r-| es también perpendicular a ap<
Puestoquequeel
es
plano
ununplano
proyectante
es también perpendicular a TTj , lo es a t¿, (si
(si(siun
o
pian es es
recta
la larecta
intersec
perpendicular a otros dos planos, es perpendicular a la
intersec
rectaintersec
dede
recta
t,L (toda
ción de ambos). En consecuencia,
(toda
recta
es perpendicular a at¿,
de
(todarecta
t¿.
Y es perpend i cu 1 a r a tÿ ), o sea, rj es perpendicular aar at¿
t*,
2da.
pro¬
en en
proyectante
Con similar análisis, se comprueba que el plano proyectante
pro2d a*pro¬
2da.
en
proyectante
es
cual
lo lo
yección S que determina
PeH
r
, porporlo
r~2
es perpendicular a t
es
per_
es r£ 2 PeJL
cual
cual
pendicular a t¿¡
Luego:
.
-
-
.
.
recta
la la recta
de de
proyecciones
"S? una recta es pe rpend i cu 1 a r 'a un plano, las proyecciones
recta
la
s
proyecc ionede
s.pn perpendiculares a las trazas homónimas del plano.
piano,
la la
de de
perpendicularidad
SÍ el plano es paralelo a LT, debe verificarse la perper
la
de
r i dad
pend
a r1 iadad
i cui 1cu
pend
del
plano.
tercera proyección de la recta con la tercera traza deldel
plano.
piano.
-
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
11-19
11-19
Carlos J. Chesñevar
Para asegurar la perpendicularidad entre dos rectas
sus proye£
por sus
dadas por
proyecÿ
rectas dadas
una
de
pertenencia
ciones, es necesario y suficiente asegurar la pertenencia de una de
ellas
deellas
a un plano per pend i cu 1 a r a la otra.
Jb
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tic
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«c
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Va 1
-fci. a
«c JSL
oc.
£€oc
bb £
oc.
i-a
fig.67
trazas,
dados
dados por
por sus
trazas,
sus trazas,
una
a
contiene
recta
contiene a una recta
Para asegurar la perpendicularidad entre dos planos
pianos
es necesario y suficiente asegurar que uno de ellos
ellos
perpendicular al otro.
fp
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35.- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.
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b)
a
c)
c)
c)
f i g . 69
AMB;
La distancia entre A y B es la hipotenusa del triángulo
rectangulo AMB;
triangulo rectángulo
AMB;
primeras
las
cotas)
(distancia
entre
(distancia
primeras
las
(diferencia
y MB (distancia entre
los catetos AM
de
las
p.rimeras
entre
recons
entonces
puede
proyecciones) se conocen en el sistema (fig.69~b), puede
pue.de entonces
entonces recons_
reconsÿ
magnitud'AB.
triángulo,
la
truirse el
obteniéndose
ANB,que
rectángulo
B, que pue_
pu£
triángulo
El segmento AB es también hipotenusa del triángulo
ANB,que
rectangulo AN
triangulo rectángulo
pu£
proyecc¡£
segundas
las
proyeccio_
segundas
de reconstruirse en función' de la distancia entre las
las segundas proyeccioÿ
nes y la diferencia de aleja mieiütos (fig.69~c).
proyectan¬
plano
el
abatiendo
También es posible conocer la distancia AB abatiendo
abatiendo el
proyectanel plano
piano proyectan¬
plano
el
o
plano
el
ABB-¡Ai,
o
te en ira. proyección que contiene a los puntos ABBjAi,
ro¬
ppro¬
ABB'jAj A,A o B elB.piano pro¬
puntos
yectante en 2da
proyección que contiene a los puntos
2
2
puntos AA2B2B.
AA2B2B.
.
I I -20
C hesneva r
Cñ rio
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
36.- DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO,
o,
p 1 a n o/
Cu»? i de rsndo la recta que pasa por el. • punto y es perpendicular
perpendicular al plano,
esa
segmento de esa
el segrnento
e
5a
ia distancia entre el punto y el plano esta dada por el
de la recta con
recta definido por el punto dado y el punto Intersecc
lon de
intersección
el plano.
En consecuencia, dados P y o(,debe representarse una recta
recta que contenga a
de¬
plano, de¬
del plano,
homónimas
de
piano,
proyecciones
de
perpendiculares
del
a
homonimas
homónimas
trazas
las
P»
el
esa recta
de esa
terminándose posteriormente el punto I, intersección de
con el
recta con
c(
plano. La distancia PI (Tit.35) es la distancia de P aa oc
,
c< ,
-
(ir
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P
P2
t*s:
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37. ~ DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA.
el
por
dada
esta
el
por el
dada por
Dados el punto P y la recta r, la distancia entre P yyy rrr está
esta dada
que
mismo
r.
de
El
punto
,
que
mismo que
segmento pe r pe nd i cu 1 a r a r, definido por P y un punto
El mismo
r El
de r.
punto de
con
r,
perpendicular
con 1I1ooo
r, con
da determinado si se conduce por P un plano £ perpendicular
perpendicular aaa r,
es
.
IP
La
distancia
es
cual queda definido el punto I, intersección de r yy<£.
IP es
La
distancia IP
<£ . La distancia
la distancia del punto P a la recta r£SP
£.k r
F
r
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Ar
te
r.
de
homónimas
proyecciones
r.
de r.
homonimas de
proyecciones homónimas
Las trazas de £ serán perpendiculares a las proyecciones
rec
una
término
primer
rec
una
termino
primer
reo
Para asegurar que £ contenga a P, se representa en primer término una
direc¬
la
conocida
direc¬
la di
conocida la
rec
ta que contenga a P y pueda pertenecer a £
Como es conocida
<£•
de
horizontal
recta
&
de
l
horizonta
recta horizontal de <£
ción de las trazas de £ , puede representarse una recta
un
T
es
punto
El
t¿).
un
es
T
punto
El
por P fhj con igual dirección a la que debe tener t¿).
es £ÿun
tg). El punto Tÿ de
..
trazas
las
dibujarse
&
¡M
de
trazas
£
las trazas de
p• < o
t £ , de modo que obtenido T pueden dibujarse
dibujarse las
distancia
la
£;
distancia
la distancia
£; la
Se determina posteriormente I, pun t o • i n te r secc i ón de rrr yyy £;
PI es la distancia del punto P a la recta r.
.
.
38.- DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS ALABEADAS, •
que
segmento
el
por
que
segrnento que
el segmento
La distancia entre dos rectas alabeadas esta medida por
por el
extremos
sus
apoya
extremos
sus extremos
siendo perpendicular a ambas rectas simultáneamente, apoya
apoya sus
condición
cumple
esa
con die ion
esa condición
en cada una de ellas (hay uno y sólo un segmento que cumple
cumple esa
para el mismo par de rectas).
to¬
perpendicular
toperpendicular aaa to¬
El segmento en cuestión pertenece a una recta que es perpendicular
llamare¬
que
(recta
11a mare
que llamare¬
(recta que
dos los planos que son paralelos a las rectas dadas, (rectaperpendicu¬
la
de
perpendicula perpendicu¬
de la
mos "perpendicular común a las rectas"). La dirección de
f_L
de
plano
un
representarse
piano def_iÿ
defjÿ
un plano
lar común , queda en consecuencia conocida al representarse
representa rse un
dirección
la
paralela
a
direccion
nido por dos rectas paralelas a las dadas (será paralela
lei a a a lala dirección
£)
perpendicular
£)ÿ...
n establecida en la construcción auxiliar, fíg-72-d, perpendicular
perpend i cu 1 a r aaa £)
-
-\-N
X
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
Caries J
.
Cues ñ e v 5 r
t ;
i-ara establecer la ubicación exacta de p, es suficiente determinare!
determinar el c '
i ente determiner elpa¬
i
suf
c
logra P¿
to de contacto de ella con una de las rectas dadas
dadas, lo que se logra
a as, 1plano
1 o ola
r a íf ;i C.
(en
(en
c.
ai
san do por una de las rectas un plano perpendicular
al o que £se
perp
endi
cula
r
a
pian
I
(en
o
la e5
£
72, se presenta el plano of conteniendo a la recta 5a yy a n). Determinado
Determinado
recta
a yi'?cta
r eac r nj.
Ii f
rr Sanadc
pDeter
él la
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o smi
e r r
3 p,
se punto (en la f i g . el punto B) se conduce cor
r e c t a p,
el
la
oar
o
c• r
a n Queda de inmediato dettrmi r. adc* el punte de contacto
contacto de p con 1laa ale
I)
o
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T i t i.. ac
r
a
d
s
dista:
es
t r a recta (el punto A } . La distancia entre A y B {
- v.T
.la
S5
B (Tit3.35)
aue,
presente
oue,e sal.1 aculmina;
c i a entre les rectas alabeadas a y b. (Téngase presente
c u i0m * i snraa :
presente ra usobre,
e , a 1 una
cu Ifni
li¬
queda
i 'na:
e i proceso gráfico, les dos proyecciones de A deben
sobre
deten quedar
deh-e
u
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e
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*• so b r e una 1 » ¡c
tierra;.
n e a de 'referencia perpendicular a
línea tí e tierra;.
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la Perpendi6) Representación
Representación
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GEOMETRIA DESCRIPTIVA
-
Carlo
J . Chesñevar
I¡ II -22
-22
,7IflUf l
39." DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS «
La distancia entre dos planos paralelos es la distancia
re dos
rectas,
rectas,
dos rectas
distancia ant
entre
una de cada plano, que pertenezcan a un plano perpendicular'
planos
perpendicular aa los
los pianos
dados
o¿ yy /S
El plano £ perpendicular a ti. y t JL, (con
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///3 ) es perpendicular
/% ,,,
fé
(rectas
define
en
de
de
pendiente
y
los
mismos
b
rectas
maxima
máxima
pendiente
dos
de
a
Y
«.y/i respectivamente) . El abatimiento de £ permite medir
en
en_
distancia en
la distancia
medir la
tre a y b, equivalente a la distancia entre
73)*
(fig.
(fig.73)*
(fig.73).
y fi>
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40
ANGULO ENTRE DOS RECTAS.
Es posible medir el ángulo entreÿdos rectas aun cuando
las nriismas
se¬
no sc¬
cuando las
mismas no
an coplanares (es decir, aun siendo gausas o alabeadas).
alabeadas). En
En ttal
caso,
caso , eel
e 11
a 1 caso
ángulo es el que definen dos rectas coplanares paralelas
da_
las rectas
rectas da
da
lei as aa las
das.
Dadas entonces dos rectas no coplanares a y b (fíg.74),.,
-4),, se
realiza
se real
74),,
uuna
.'7
na
iza
construcción auxiliar representando dos rectas paralelajs
paraleláis. aa las
paraleláis.
las dadasÿque
dadas,que
dadas, que
pasan por un punto (rectas a1 y b1 por P). Abatiendo el
que las
el piano
plano que
las con
con
11 , que es equi¬
t í ene (plano-/, f i g
a‘i yy bbb1,
7 4 c ) se mide el ángulo entre a1
, que es equivalente al ángulo entre a Y b
.
-
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-
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
Carlos J. Chesñevar
I I -23
11-23
to
41 -r ANGULO ENTRE DOS PLANOS
Dos planos o< y
forman un ángulo diedro, cuya medida
ida esta
1laa
dada
está dad
por
la
a por
"sección normal", la cual está definida por un plano £ perpendicular
a
ía
perpend i cul ara
la
s la
arista del diedro (fíg.75). El ángulo entre las rectas
y
definidas
b
a
das
y
def ini
rectas
por£ en o< y p respectivamente, equivale al ángulo entre s< y j3 .
e<y|2>.
(3
En consecuencia, dados oA y
) es
por sus trazas (f íg.75b)
deter
-75b)
es necesario
necesario deter_
deterÿ
(recta intersección de «c y p> , arista del diedro)
minar i
diedro) para
represen¬
para represenrepresen¬
tar luego £ perpendicular a la misma. Las intersecciones
£ÿ
yyy ft
& con
de £
/2>
ones de
con
determinan respectivamente las rectas a y b. El. angulo
ángulo que
for_
que las
las mismas
mismas forÿ
fo£
man , equivalente ál ángulo entre oC y , puede medirse
plano
abatiendo
el piano
t i endo el
se aba
p4
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p royecc i ones
las proyecciones
todas las
Puede advertirse que no es necesario representar todas
suficiente
es suf
i c? ente
(b)t¿
suficiente
de las rectas a y b, puesto que para obtener (a)t¿ y (b)
(b)t¿ es
de
Up)y
ambas con tup)}
conocer Sa y Sjj y el punto N (intersección de a con b yy
las proyecciones de
para establecerlo, sólo es necesario utilizar una de las
a ó de b (f ig.75 -b)
.
42.
-
ANGULO ENTRE RECTA Y PLANO,
El ángulo entre una recta r y un plano
yy su pro¬
pro¬
proentre rr ysu
ángulo entre
angulo
es el ángulo
plano
un
por
pasando
r
£
planog.
piano
£.
un
r
modo,
yección ortogonal sobre °<
Dicho de otro
|
forma
que
,
recta
ue.
iÿe.
,
forma
que
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ue.
perpendicular a c< , queda determinada por £ y P4 la
<*,.
entre rr yy o<
con r un ángulo cuya medida corresponde al ángulo entre
per¬
perrecta nn per¬
una recta
Dados entonces r y c(, se determina 6 con el auxilio de una
án_
£
medir el an
permite medir
pendiculara cA, y coplanar con r. El abatimiento de £ permite
án.
.
<*.
<A
entre rr yy oí
guio entre r y iÿ L
qué es por definición el ángulo entre
.
«<
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DESCRIPTIVA
GEOMETRÍA
-
Carlos J .
-24
1i 1I “24
-2
h
Chesñévaf
tostissewe*
4 3„~ ANGULO DE UNA RECTA CON LOS CUADROS»
proyeccio¬
por
1o
proyeccio¬
or sus proyecc
Se trata de establecer el ángulo que una recta,, dada ppor
averiguar
guar la pen_
averiguar
Es decir, se trata de avert
nes, forma con los cuadros TT, y líe
diente y la inclinación de una recta.
(Tit.42),
plano (lit.
(Tit.-42),
áarÿ
42), el an_
n_
De acuerdo con el concepto de ángulo entre recta y piano
plano
por
el
piano f
guio entre la recta r y el cuadro TT, queda definido
T
i' proyec_
ángulo entre la recta
recta y
tante en primera proyección que contiene a r. El angulo
'
equivale
a dde¬
Ello
e~
la traza horizontal de
es el ángulo entre r y TT,
primera
r
su
con
pro
con su
cir que el ángjj 1 oÿen t r e r y TT, es el ángulo que forma
y e c c i ó n r -j ( rír, s rr, ) .
entre r
angulo entre
es el ángulo
En forma análoga se deduce que el ángulo de r con fijes
TT2es
)
y r 2 ( rf
rh
(en jÿrir (en
priAbatiendo los respectivos planos proyectantes que contienen a jr
/
pri¬
‘fÿrTk
dqs
y
angulos
ángulos
proyección)
y
quedan conocí
en segunda
mera
los
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Sr
Sr
f íg.78
.-
RE PRESENTACION DE UNA RECTA j DADAS SU PENDIENTE
PENDIENTE YYY SU
SU INCLINACION,
INCLINACION.
r,
de
Para determinar las dos proyecciones r-j r? de la recta
r,
rnodo que
recta r, de
da modo
recta
modo
que la
la
prev
que
es
í
amen
misma forme con Tf, y TTZ los ángulos >f, y <f4. , ~ admitiremos
que pp rrev
e v ii amen te
t e - es
admitiremos
Iremos que
te
eT
tabiecemos el punto Tÿ , traza vertical de r. Podemos
e1
ahora realizar
Podemos ahora
ahora
Podemos
realizar
s i g u lente análisis; ( í i g . 7 9 ) :
Toda recta con traza vertical en Tr y que forme un ángulo
tT, ,,, ten¬
angulo <fi
tenTT,
con IT,
ángulo
con
tenlfi con
circunferencia
con
centro
drá su traza horizontal sobre un arco de c í rcunf erertci
1}<
erenc i aa con
con centro
centre en
en fq
Tr<
(primera proyección de Tr), cuyo radio es el segmento
segrnento T
de r-¡.
segmento
de
rÿ*
Trj-Sr
r -j ~ S r de
Trÿ-Sr
r-j.
La determinación de ese radio, conocido Mj y establecido
se hace
Trr ,> se
cons
hace cons_
establecido T
se
establecido
hace
cons_
Tr>
al
opuesto
cateto
Trj7
el
truyendo
triángulo rectángulo con M*, como ángulo opuesto
a 1 cateto
opuesto ai
cateto Tf
Trji
Tr-¡,
Tf
el
es
radio
la
de
cir
tal como 1 0' indica la f. ig.79~b. El cateto (Sr)-Trj es
el radio
es el
radio de
la cir
cle la
conferencia de centro T r i que contiene a las trazas horizontales
de tó
to¬
horizontales de
de
horizontales
toángulo
T,
con
das las rectas, con traza vertical Tr que forman el ángulo
.
Tj .
angulo l?, con
.
con %
TTj
La recta a de la fig.79_b, por ejemplo, al tener sus
sus trazas
las condj_
en las
trazas en
sus
condj[
las
en
trazas
condji_
.
ciones precitadas es una rectá cuya pendiente vale if
„
tfif({ .
;-4
-
-
GEOMETRÍA
-
DESCRIPTIVA
Carlos J . Chesñevar
! -25
i 1-25
i I -25
Crnivy/aefgi s
wg»a«ircattffiT.&-sayT rrvrTgaraaarggvsgffia ca-j
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TrTrTr= Ta
= Ta
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Sa-
s¿¡
//
I
////
/
//
/
7
/
Si bien todas esas rectas (todas tas generatrices del
del
de vér¬
cono
recto
del cono
cono recto
recto de
de vér¬
ver,
forman
ángulo
no
todas
con n t
tice Tr y eje Tr-Tr-{) forman un
mis¬
no
el
misno todas
todas forman
forraan el
el
miscuárao ángu lo con TV% Analizaremos entonces el modo de
cuál
detectar
de detectar
detectar cuál
cual ooo cuá¬
cuacon
ángulo
el
ángulo
con
les de las rectas de ese conjunto forman simultáneamente
el
simultáneamente
taneamente el angulo
con
necesario
necesario
será
estable
con Wt , para lo cual será
TTt y un determinado ángulo
establ£
sera necesario estable
cer una condición que complemente a la anterior.
definido)que
Puede observarse, (fíg.8Q-<i) que la recta r (del cono
antes
cono
cono antes
definido)que
antes definido)que
forme el ángulo
rectángulo
con TTi , define el triángulo rectángulo
Tr-Sr2“Sr.
rectangulo Tr-Sr2-Sr.
Tr-Sr2
“Sr.
pue
pue
Si puede conocerse el valor del cateto Sp-Sr2 (en función
se
%),
función
de
v )),, se
funcion de
de
pue
sela tra_
'f
corresponde
a
de establecer cuál de los puntos de', la circunferencia
a
la
corresponde
circunferencia
rcunferencia corresponde a la tra
tr£
za horizontal de r (tal que I*7T4 * M’z ) •.
fíg.
esquema
i g.
el
de
la
Puesto que la hipotenusa de ese triángulo es Tr-Sr,» el
el esquema
esquema de
de la
la ffig
>
En
d.
el
valor
d.
En
valor
80- b contiene los elementos necesarios para obtener
el
obtener
efe£
obtener el valor d. En efe£
b) ,, 11 aa
(f ii gg.80~b)
(r) (f
to, pasando por Tr una recta que forme el ángulo <{2 con
80con
(fig.8
(r)
con (r)
0-b),l
a
distancia entre esa recta y (Sr) es la distancia d.
LT,que
de
Trazando luego una recta auxiliar paralela a LT , a distancia
distancia
distancia ddd de
LT,que
de LT,que
ra
S
ttr2
y
dos
puntos
S
y
dan definidos en la circunferencia de centro Tr-j dos
>
m
m>
dos puntos
puntos Sr
S
y
t ra
>
Sr
m
ir,
y
con
ángulos
y
y
ir,
yy 'j’j. con
zas horizontales de dos rectas r y m que forman ángulos
angulos tf,
ir, y
tf,
f-ftdecon
un
arco
centro(Sr)
arco
un
con
respectivamente. El traslado del valor d se hace con
con un arco de
de centro(Sr)
centro(
Sr)
tangente a ( r£)
.
.
.
TT2
JrAjjs
JrAIs
TrAn
Jr
tfj)
(n
a)
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r2
r2
r2
Tr,
Tr,
T
n
0
//
!11 ///
—
d
I / dd
/5f
/Sr
7/Sr
,,
tf,
ángulos
y
los ángulos
tf, y
Todas las rectas paralelas a m y r forman con Tí, y fj.
fíi los
angulo
los
ffi.
s
yun
?
4*
pun
que
pase
por
recta
pun
un pun
por un
que pase
pase por
de manera que, si es necesario representar una recta
recta que
a
1
puede
se
puede realizar
se puede
realizar
to dado , es tab 1 ec i endose pendiente e inclinación, se
)Iaa
realiz
ar
por
proyeccio¬
las
luego
proyeccio¬
por
las
construcción auxiliar de la fig. 80-b, llevando luego
luego por las proyeccioconstrucción
la constr
construcción
nes del punto, paralelas a las proyecciones obtenidas
obtenidas
en la
obteni
das en
la
en
uccion
auxiliar.
-.i*
-
GEOMETRIA DE SCR l PT! VA
Carle
J
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1I 1I -26
Chesñeva r
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4
, hay
NOTA: Ademas de las rectas
recta s r y m ,
án¬
forman
y
que
v
anán¬
otras dos rectas u
(rectas,
gulos M’, y
con los cuadros (rectas,
el segmento
segment o T-S ubj_
en este caso, con el
ubj_ÿ
i).
88l).
i g . 8l).
fig.
II, f
cado en el diedro II,
figcuapasan cua¬
cua¬
punto, pasan
En general, por un punto,
mismos ángu_
tro rectas que forman
ángu_
los mismos
angj£
forman los
cuadros,
los con los cuadros.
cuadros.
\Sv
i
/
A
<0
is
.
f i g 81
45
ANGULOS DE UN PLANO CON LOS CUADROS
ün plano U. forma un ángulos diedro con el cuadro TT, y otro
el
cua*
el cua¬
cua¬
con
con el
otro
otro con
dro
planos
. Las respectivas secciones normales están definidas
definidas
por
pianos
planos
por
definida.s
arista
perpendiculares a las respectivas trazas del plano (tÿ
arista
(t¿
la
arista
(tÿ. es
la
es
es la
de! diedro formado por ©< y
por
; t¡¿¿ es la arista del diedro
por
formado por
formado
diedro
diedro formado
<=< y \ ) •
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ssSs
AlAt5==fV
h*lf
vs!
{**c
constituyen
L. as rectas de oí. y Ti que son perpendiculares a t L , constituyen
que
lo que
que
lo
const i tuyen lo
pendiente
y
primera
su
hemos convenido en llamar recta de *< de máxima pendiente
primera
su primera
pendiente yy su
el
ángulo
en
Puesto
proyección, respect i vamen te (T i t 1 7“f i g 3 6)
en
angulo en
el ángulo
que
que el
Puesto
Puesto que
¡2-IT,,
el
que
diremos
tre s y s¡ es por definición la medida del diedro wl-lT,
e1
que el
<*-ir(,i s diremos
d i remos que
que
ángulo que cí forma con TT» (pendiente de
) es el ángulo
con
forma con
ángulo
que forma
forma
con
angulo que
una recta de Oí de máxima pendiente.
.
.
.
De modo que, dado oí por sus trazas, para determinar
re
se re_
pendiente
pendiente se
su
se
su pendiente
re_
determinar su
plano
se
un
abate
recta s de máxima pendiente ( S i -L tj. ) yy se
piano
un plano
abate un
se abate
se
por
que la contenga, midiéndose el ángulo
(en la f fig.82-c,
por
abate por
se abate
c ,, se
82
ig 8
abate
2 c
comodidad el plano proyectante '¡f ).
m) está
por
eledey)
está
dado
fcn forma análoga, el ángulo de oí con % (inclinación
por
a)
dado por
esta dado
(incllnacionJe
.km,
(ti1
<r ¡ ángulo que forma con
una recta de oí de máxima inclinación
inclinación
inclinacion (tj’-k.m*
lit. 1 7-f ig .37)
presenta una
. -
.
M
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fig. 83
mZ5*8
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Tf
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c)
c)c)
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
Carlos J
.
I II -27
I -27
Chesñeva r
ESm»*saai«&r£«8giMK
tSXCRVf.VVSí'?-.-
TT¡Tf]
s,
NOTA: Es evidente que cualquier recta de oC no paralela
paralela a a s,
s , forma
conTi]
forma con
de
toda
Análogamente,
PtDC
roseta
un ángulo menor que el que forma s con Tf, Análogamente,
receta
ogamen te , toda rq'scta dect
..
con
forma
m
no paralela a m, forma con lit un ángulo menor que elel que
Kz
fprma
que
m con
{perpendiculares
respect|_
De allf que rectas de X como la s y la m (perpendiculares
cul ares aa las
respectj_
las respectj_
de
y
máxima
vas trazas) se denominen rectas de máxima pendiente
pendiente y de maxima inclina¬
incl inación respectivamente.
.
46.- REPRESENTACION DE UN PLANO, DADAS SU PENDIENTE
SU INCLINACION
PENDIENTE YY SU
INCLINACION
cond
Se trata de representar por sus trazas un plano que
satisfaga condicio¬
que satisfaga
condi Icci ioonecesario
cual
es
consj¡_
nes en cuanto a pendiente e inclinación, para lo cual es necesario consj_
consj[
derar lo siguiente:
for_
aa'í¿.
un plano &í forma con Ti un ángulo *£? , una recta nn perpendicular
-pCfor
perpendicular api.
for_
complementa¬
ángulos
ma con Tiunángulo *•? = 90o
Es decir, IP y if son
son angulos comp 1 emen t a
rio s ( f i g . 8 4 )
Si
.
-
.
-
T2
\s
1
a)
l
I
isi
sxVv
s
~
Ls
b)
nj
4
Ppp
<
\90°-1í XX
/
¿r
nn
ie
"iete
f i g . 81}
forma con TT¡, un ángulo
90-ip2 (f ig.85) •
Análogamente, si
£
e£
ángulo
, n forma
un
con
forma
Tj
forma con
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con Tj
un ángulo
T2 un
ir2
T
;
a)
P„
PP
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b)
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%
\n
\n
m
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90a90®-Y2
Y2
90°-Y2
/
A
*7
f ig .85
,
ee inclinación
inclinaciónÿ
diente 4>(
pen
4J(e
pendiente
i on 4ÿ ,»
incl i nac
De modo que para represen tar un plano con pendiente
Y,
inclina¬
e
90-Y,
Tÿerlañÿéÿn
tf,
crÿeÿion if,
inai ancl
es suficiente representar una recta con 4\ÿerladÿé\0S_n
if, === ífrO-'M1,
90- Y, ee inclina¬
m i s_
la
perpendicular
perpendicular
plano
(Tit.44),
un
y posteriormente
la mis
piano perpendicular aa la
ción
SO-Vi
mis.
que será el plano requerido (fig.86).
fTI 3
.
j
Jn
x2q •oLs'
XC
vw
tu
A.
JSL nnn
30°
„íÿ
", = 30‘
30
n
20“
20O
20°
o¿
I
¡
n(ÿ== .
IV
*Y2=
%
60°
60®
%== 60®
V
y2
70°
V2=70°
== 70®
fig.86
pa_
es tf,
90°y
pa_
+
recta es
tf(% +
MOTA: Debe tenerse presente que, para cualquier recta
recta
es
°y pa_
90
tf
o
rectas
representar
o
rectas
representar
ra cualquier plano if, + 4ÿ
90°. Toda intención de representa
o
r rectas
de
realjÿ
imposibilidad
de realjÿ
realj_
planos que no cumplan esas relaciones, implica la iimposibilidad
mpos i b t l i dad de
zar los procesos gráficos señalados.
;
:
í
'.1
i
GEOMETRÍA
Carlos J . Ches nevar
DESCRIPTIVA
-
I i lI -11
T:.ÿQÿrtTS8OTaaBgaaEÿMa-r»tf<.-.!v«wtggÿÿ-=jsjgy:u-ÿ.>iwajaBa
III)
HOMOLOGIA PLANA
-
e1a
la
Hemos anticipado que se denomina correspondencia homologies
homológica
homo lógica aa la
rreíaque:
que
tal
ción
forma
de forma
plano, de
plano,
vincula a dos conjuntos de puntos de un piano,
un
con un
-Pares de puntos correspondientes (u homólogos) estan
están alineados con
punto fijo del plano, denominado centro de la homología.
homologfa.
un punto de
-Pares de rectas correspondientes (u homologas) se cortan en un
una recta fija del plano, denominada eje de la homologfa
homología.,.
•»
Se anal izarán a continuación situaciones en las cuales se generan corres¬
una
d e una
pondencias homológicas. Ello tiende a facilitar la localización
1 oca-1 i zac i on de
repre¬
repre¬
homología en ciertos modelos geométricos, en distintos métodos
de
repremetodos
sentación, con lo cual es posible aplicarla en beneficio de la sencillez
y la precisión de las resoluciones gráficas.
!•- PERSPECTIVIDAD ENTRE PLANOS
Si desde un punto S se
se proyectan
proyectan los
puntos
se
proyectan
de un plano o( sobre otro
¡>i0
estaotro plano
piano ¿>¿0
i>i0 ,, se esta¬
blece una correspondencia
correspondencia
biunívocá entre los
los
biunfvoca
correspondencia bíunívocá
elementos de o( y de ¿Ve0 ,» tal
que:
tal que:
m
a0'
L 'a
.
.
.
f ig 1
E j emp 1 os .
cada punto y cada recta
recta de
correspon¬
correspon¬
de ¡>V ,, corresporr
recta
de un solo punto y una
una
sola
de c/a
recta
sola
recta
o/0.
una sola recta de
c/0
-Cada recta de pt y su respectiva
proyección
respectiva
proyección
respect iva proyeccion
en o/„, se cortan en un
un
de
i,
punto
la recta
recta i,
i,
de la
recta
un punto
punto de
{eje
intersección de
y «¡í0(eje
perspecti¬
la
de
la
perspecti(eje de
perspective dad)
En tales condiciones,
condiciones,
pun¬
los pun¬
punque los
diremos que
condiciones, diremos
tos de c< y los de cxt0 se
se
corresponden
en
una
corresponden
en
una
se corresponden en una
pe r s pee t i v i dad de centro
centro
S.
centro S.
g~A
.
da,
\¡oc
V
\
¿3
*3
v
f ig.2
7
*
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a)
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Jp
ex
<x
<x
c)
c)
c)
b)
-
pirá¬
cono,
el
la
en
Las dos secciones determinadas por los planos oL y (b
(~> en
la pirá¬
p * ra
cono, la
el cono,
en el
(b
(en
(en
perspectivas
figuras
mide y el cilindro (fig.2) constituyen pares de figuras
perspectivas
(en
i
vas
figuras perspect
impropio).
el caso del cilindro, el centro de per spect i v i dad es
es
impropio).
es impropio).
entre
perspectividad
d entre
También el abatimiento de un plano equivale a una pe
s pee t iivviida
entre
dad
perrspect
efecto,
(fig-3)En
efecto,
)
.
el plano (en su posición original) y el plano abatido
abatido
(
f i g 33)*
* En
En efecto,
abatido (fig.
posición
los
de
pun_
nueva
s i el. plano o( gira hasta superponerse con «><,'•, la nueva
pun_
los pun_
de los
posicion de
nueva posición
e<,
puntos
abatidos)
los
proyectar
(puntos
que
de
puntos
los
resultaría
tos de
es la
proyectar
proyectar los puntos
plano
al
perpendiculares
de D<! en
desde el punto impropio de las rectas perpendiculares
piano
al plano
rpend i cu 1 a res al
.
oí'
bisector del diedro que forman U y
Sao
See
So*
\l\
AB
_ _
a)
\
b)
b)
b)
A
—
Z-
\
--
Oí
ococ.
\\\
\ d\ÿdr
!
l1\
!
I
fig-3
«c’ .
•
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
Car jos
2 * “ LA PROYECCION DE DOS FIGURAS
J
.
-
III -22
I iII
Cbesñevar
PERSPECTIVAS
HOMOLOGIA
IA
GENERA UNA HOMOLOG
-entro
c*
0
Si un sistema similar al de la fig.1 es proyectólo ce
do ¿ ¿r *entro 0
centro
sobre un cuadro T (fig.4), los conjuntos perspectives C de
de
y CQ
CG
C0
(que se corresponden en la pers pect i v i dad de centro S) determinan entrlos
ennrlos
enivlos
conjuntos C 1 y C¿ ; además» el centro S y la recta i (eje
(eje de la perspectividad) se proyectan en U y u respectivamente.
Es fácil comprobar que los pares de proyecciones en TT de puntos quese
que se co
¡"respondían en la perspect i v i dad (ej A' A¿) está alineados con U (proyec
(proyec
correspondían
ción de S) y que pares de proyecciones de rectas que se correspond
fan eenn
(proye¿
la perspectiyidad (ej a1 a¿) se cortan en un punto de la recta u (proyecÿ
(proyec_
.
ción de i)
.
,
Se verifica entonces que los conjuntos C* C¿ de TT
que hemos I 1 amado una correspondencia homo 1 óg í ca ;
juntos homólogos. Ello es consecuencia del modelo
por lo que puede enunciarse:
estan
están vinculados por lo
decir, son dos con¬
es decir,
geométrico
geometrico propuesto,
propuesto,
Si dos conjuntos planos C y C0 (o figuras planas) que se corresponden en
una perspect í v i dad de centro S y eje i, son proyectados desde un centro
0 sobre un cuadroTT , sus proyecciones C1I C¿ en Tí se corresponden en una
homología de centro U y eje u (proyecciones en jí desde 0,
resres
0, de S e i
pect iyamente)
-
.
//j\\
'tí
I
f
/
a
/
/
/
/
\
\x\
\\\
/ /
/
Orf
I
\ \
\
\ \
1
' 7;
\
\
\
\
\
\
\ \
\
\
p
- ’/íSj
Y
/
\
\
/
/
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fu
fuu
\
v
'
rr
U
uU
i»"""
C
Tí
TT
JLJ
.
f í g *4
tanto 0
Lo anterior vale cualquiera sea la naturaleza de los elementos;
0
elementos; tanto
en
como $ e i, pueden ser impropios (lo que no impide que se
proyecten en
se proyecten
p<D
que, con
con ciertas
p<a
ciertas poÿ
que,
TT , en ciertos casos, como propios). Cabe advertir que,
sistema
indefinido
siciones relativas de los elementos, se establece un sistema
sistema indefinido
(ej: si 0 pertenece a í; si 0 coincide con $, etc.).
ana*
estudiada, ana¬
aña¬
estudiada,
Como ejemplo de una aplicación concreta de la propiedad
propiedad estudiada,
) >>
(fíg.
de’Monge
55)
(fig*
5),
(fig.
de'Honge
lizaremos la proyección de una pirámide en el método de’Monge
determina
que
c<
,
na
,
determi
seccionada con un plano c< . La base B y la sección F que determina o<
oC ,
de
eje
el
de
;
son figuras perspectivas (V es el centro de perspectivídad;
dad
;
eje
el
perspect i v i
con
piano que
el plano
que
con el
plano
el
perspectividad es la recta i, intersección del plano
con
e1
proyectarse el
contiene a la base B, no representado en la figura). Al proyectarse
con
deter minados dos
dos con_
con_
sistema sobre TT, (en este caso 0 es impropio) quedan determinados
determinados
eje ii p
V-j yy eje
“j*.
centro - V-¡
p.
juntos
y
Vÿ
que se corresponden en una homología de centro
.
Bi
V*
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
-
Carlos J. Ches nevar
II I -3
111-3
»» -T
JScSWKisscex&M;:
SOT
M
mrjssa.
N
;*
V'
\
V
i! \
.p-
v
5
/
/
v,
% \p
-
f ¡g.5
Ig 5
fig.
M,
5
i
proyección de la
De modo que, en el supuesto de que se conozca la primera
primera proyeccion de
conla
con
bastaría
pirámide y se pretenda determinar su intersección conoí. .bastaría
,
bastar
*4
fa
con
pudiendo obtenerse
método,
determinar sólo un punto de F 1 , por cualquier método,
metodo
,
pudien
obtene
do
rse
una construcción
el resto por medio de la homología (fig.6). Ello supone
supone unala constr
del
bondaduccion
evaluarse
gráfica muy simple, con el agregado de que puede evalua
la
rse
del
bondad
eje.
el
sobre
homólogos
resultado, al verificarse el corte de los lados homologos sobre el eje.
se
cuando
Desde luego, las ventajas señaladas son de mayor importancia
import
ancia cuando
se
lados.
de
está determinando un polígono con un gran número de lados.
.
N,
JVN,
N;
N;M;
V
V,
Km
B.
vn=u
M'1i
M
M,
a)
BB1i
1
J? s
P,
PlP
M,
M,
M
b)
b)
b)
fig.6
u
U
una perspec
proyectar una
La enunciación anterior sobre las consecuencias de proyectar
proyec
tar
perspe
)
se
(tV
ó
planos
<V>
©/*.)•una
supe
r poc
se superpo
tividad, también es válida cuando uno de los pianos
o&4>)
superp
se
o
uno
0
cori
los con
uno de los
00 de
desde
ne con el cuadro tí
En tal caso, ía proyección desde
desde
de
uno
de
los
cori
conjunto
el
con
conjunto
el
con
juntos perspectívos (el del plano superpuesto) coincide
coincide
coinci
el
con
de
.
iv
i dad conj unto
v
rspec
pe
i
t
mismo, y el eje de homología coincide con el de perspect
perspect iv i dad .
de un
en Monplano en
un plano
abatimiento
Tal situación existe, por ejemplo, en el abatimiento
abatimiento
piano
de
un
Monuna
en
corresponden
pe
una
r¿
en en pers_
ge (f i g 7) • La figura F de K¡ y su abatida (F) se corresponden
corres
pers
ponden
en
una
,,
(ortogonal
a V
0
(ortogonal
0
Tí\
desde
pectividad de centro Sea- Al proyectarse luego desde
(ortogo
0
na.l
desde
,
|
a
TTi
su
con
(F)
y
coincide
su
(F)
con
primera proyección de Monge) , F se proyecta en Ff yy (F) coincide
coinci
su
con
de
El ejede
la
e j e de la
homologas.
proyección; en consecuencia, Fÿ y (F) son figuras homologas.
homolo
gas. El
je deen¬
la
El
e
dad
i
v
i
perspect
la
en¬
dad
v
i
i
per.spect v dad
homología es la traza horizontal del plano (ejÿe de la
la
perspe
i
en
i
ct
pu e¿
punto impropio
impropio ((pues_
un
tre (F) y F ) y ele entro déla perspectívidad es un
punto impropio ( pueÿ
un punto
to que S y 0 son impropios).
se
se
dedujo yy se
se dedujo
rudimentario,
NOTA: Esta propiedad, mediante un análisis rudimentario,
dedujo
o
,
t
a
se
r
se
i
que,
observarse
en
que,y en
observarse
Puede
aplicó en el Cap. X (Tit.32, figuras 62 y 63). Puede
en
Puede observ
que
arse pudo
capítulo,
pudo9 preÿ
preÿ
capítulo,
presente
base a la concepción general estudiada en el presente
capftu
presen
pudo
lo,
te
preÿ
y el
abatimiento.
el abatimiento.
proyección'
verse la existencia de la homología entre la proyección’
proyec
abatim
cion- yy el
iento.
.
.
.
-
í
i
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
“ij
-J»
i Ii 1Ii -A
Cáelos L. Chesñevar
ñazausííí.
J
/
/
a)
s
/
F
\
/
oO
\
\
/
F
&¿p
\
\
\
/
X
\
\
i
\
i
-ni_L (F)
b)
b)
V
-r
R
-i
£l
(F)
fff fii ggg.••7
77
7f}
3.- RECTAS LIMITES DE UNA HOMOLOGIA
homologas,
Dados el centro y el eje de una homología y un par de rectas
hom5 1 oga s ,
rectas
rectas homologas,
AA
que
a,
puesto
es fácil localizar el homólogo de un punto A de la recta
que A1
a , puesto
puesto que
recta a,
(fig.8-b)
U
con
alineados
b)
debe pertenecer a a1, y que A y A' deben estar alineados
(fig.8con UU (fíg.8-b)
alineados con
Ja>
J®
*U
a*
t
a’
/u
a*
J;ao
sR=Rk
u
'Á
u
/
/
a
a)
A
a'a'
f
/
RsR'
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fig.8
XJa
uuu
RslT
RaR"
e
a
RsR1
RsR1
RsR
u
I«*
/
l
X
a
c
d)
d)
d)
aaa
a,
impropio
basta con
Si nos proponemos ubicar el homólogo del punto impropio
con
con
a,basta
basta
impropio Iwde
Iwde a,
IMde
paralela
a)
a
la
has
unir con una línea de referencia IM y U (recta por U paralela
a) hasÿ
la a)
has
paralelai aa la
de
propio
correspon
a1,
ta cortar a1, quedando así determinado I1 (punto propio
de a1,
a1, correspoF
correspon
propio de
~
de
punto
a,
todo
diente al punto impropio de a; téngase presente que todo
a, ti?
de a,
punto de
ie
todo punto
t tiF
puede
en
ne su homólogo en a1, y viceversa). En forma análoga,
obtenerse
en
puede obtenerse
obtenerse en
analoga, puede
a, el punto J, homólogo, del punto impropio
de a*..
C1
compro
Si aya1i fuesen parte de dos conjuntos homólogos C yy C‘
compro
(fig*9)» compro
(fig.9)»
C1i (fig.9)»
C
impropios
de
en
de-"
C‘
haríamos que los homólogos de todos los puntos impropios
de
C I,,, de~
en C‘
de C C en
impropios de
finen una recta i1, paralela a u.
puntos
de
impropios
En forma análoga, todos los puntos homólogos de los puntos
de
Impropios de
puntos impropios
C1, definen en C una recta j, paralela a u.
HOMOLOGIA.
Las rectas i
y j, se denominan RECTAS LIMITES DE LA HOMOLOGIA.
HOMOLOG I A .
-
u
r
e
t
c
loa a
f i g •9
i
fe
RSR1
iii
ü.iL
jy.
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
-
M! 1-5
m
1 -I 5-5
Carlos J. Chesñevar
rrawtsErja-t*;
Las rectas límites deben necesariamente ser paralelas
paralelasa a u.u. EnEn efecto,
efecto, sisi
R)
(ej
:
en
u
a,
R)
punto
propio
un
en
recta
corta
a
a,
ese
recta
una
ti£
a, en R) ese punto
punto tie_
ti<a
ne por homólogo al mismo punto (ej : R y R ' ; los puntos
puntos
eje
del
denomj_
se
puntos del eje se denomj_
pa¬
nan por eso puntos dobles). De modo que, admitir una
no
recta
no
límite
una recta
recta límite
ifmite
no pa¬
pa¬
homólogo
u,
homólogo
de
a
es admitir que hay un punto
ralela
tiene
ella que
que tiene
t i ene por
por homologo a a
un punto propio, lo cual contradice la definición de
recta
límite.
de recta
recta límite.
Ifmite.
límite
homo
al
Puede comprobarse que la distancia de una recta límite
centro
Ifmite al centro de
de homo
homo
logia es igual a la distancia de la otra recta límite
para
al
lo
ra
To
pa
eje,
cual
límite
eje,
Ifmite al eje , para
locual
°¡
figura
I'UJR en
basta observar la simetría del cuadrilátero
la
en la
la figura
figura ..
ubicadasÿ
Cabe por último observar que, o bien las rectas límites
límites
ITmites están
estan ubicadas
ubicadasenen
tre el eje y el centro de homología, o bien el eje
el
y
y
centro
si¬
centro
eje y el centro están
estan si¬
situados entre las dos rectas límites.
.
4.- CASOS PARTICULARES
Si el eje de homología es impropio, la homología se
se
se denomina
denomfna HOMOTECIA.
HOMOTECIA.
Las figuras homotéticas son semejantes.
B'
B
c
,c'
C'
fig.ro
ig.10
ffig.
10
A
A'
:
denom
i na
se
denomina:
correspondencia
Si el centro de homología es impropio, la correspondencia
respondenc i a se
se
denom
na :
ies¬
ortogonal,
oblicua
o
ortogonal,
es¬
o
oblicua
,
vez
a
llama
que
su
se
AFINIDAD HOMOLOG I CA a la
or togona 1 , obi i cua o es
pecial, según la dirección del centro.
-
f
Íg-.
'A
l1
/ OL
u
/
/
/
uU
u
u
UoS
UoO
U«3
/
Especial
c).
c).
-Afinidad
c)..Afinidad
Afinidad Especial
Especial
b) Afinidad Oblicua
a) Afinidad Ortogonal
es
homología
lla¬
es lla¬
la homología
impropios,
Si el eje y el centro son s ¡mu 1 táneamente impropios,
impropios, la
homolog
la
fa
es
lla¬
mag¬
igual
y
paralelos
dé
mag¬
igual
y
de
paralelos
homólogos
segmentos
son paralelos y de igual magmada EQUIPOLENCIA. Los
tras¬
la tras¬
dada, es
es la
figura dada,
nitud (equ i po 1 en t e s )
La figura homologa de una figura
figura
dada,
es
la
traslación- de -la misma
.
.
u
B
B'
C
c'
C'
C'
A
A1
.
f ig 12
.ÿ
'v
!.
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
IV)
-
IIV-1
IV-1
V- 1
Carlos J. Chesñevar
METODO; DE US PROYECCIONES ACOTADAS
:’L:'Lf
: :í
£’lv •¡; ,»
;- •:í
, ii
;
- «.
i ?:>:>4 i \<» ; *
•
•
PARALELISMOS-PERTENENCIA
PARALELISMO-PERTENENCIA
PARALELISMO-PERTENENCI A
REPRESENTACION DE LOS ENTES FUNDAMENTALES
1.- SISTEMA DE REPRESENTACION
V'j-v - .
,Í
,T’i:
de proEn el método de las Proyecciones Acotadas se utilizó
utiliza
buadfode
pro¬
utiliza como
como cuadro
,9
ortógonalmente
yección un plano horizontal, sobre el cual se proyecta
ortogonalmente,
togonalmente
proyecta
or
a
que
(los rayos proyectantes son verticales). De modo que,
lo
proye£
que,
eri
que, en
en lo que a proye£
ciones se refiere, el principio es idéntico al aplicado
aplicado en
la primera
en la
primera pro
pro
recta
una
yección de Monge; un punto P define un punto P0. en
;
T
en TfIT »; una recta rr defi¬
defienTT).
ne, su proyección rQ (PQ y
enTT).
togona 1 es de
de PP yy rr enlT).
r0 son proyecciones ortogonales
•
•
}
I
•»
P
r
A
i
.
‘í¡
fig 1
-
: -
«Po
•
•'
A
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'
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*
'
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1
i
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’’•ÿi'ÿ'( hi- i: - IT»T
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;ÿ .i*.-
.
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:
/ . ; i. r:
- estricta
y
Pero si b i en P define estrictamente un punto PQ de
r
estrictaÿ
|
define
Tf
deify r defineestri
cta_
y
r.
a
mente a r o » las proyecciones PQ y rQ no individual izan
P
a
r.
P;
izan' a Pr y a r. En
e
En efecto, todos los puntos contenidos en elrayo proyectante
proyectante que
que pasa
pasa por
por PP
al
pertenecen
tienen la misma proyección P0; t-odás las rectas que
que pertenecen
pertenecen al
al plano
piano
proyectante que contiene aÿr, tienen la misma proyección
:
r0¿
r0b
proyeccion; ;r0i
primera
En el método de Monge, la segunda proyección complementaba
primera,
emen taba aa la
la primera,;
una
informando la cota de cada elemento, con lo cual se
establecía
riguse establecfa una rigu¬
rosa correspondencia, biunívoca, entre el conjunto
conjunto proyectado
pro¬
proyectado yy sus
sus pro¬
e~
cada
proyección
yecciones. En el método que estamos estudiando, la proyección
de cada
cada eproyeccion de
ealturas
o
cotas
lemento en T se complementará con números que indican
indican cotas
cotas oalturas
sj_
(distancias a Tí ) ; de modo que no es un método exclusivamente
gráfico,
sj_
grafico,sj_
exc 1 u s i vamen te gráfico,
no gráfico-numérico.
.
•
-
•
i
[
para
mente
El método de las proyecciones acotadas es iespéc ialmente
para repre¬
mente apto
apto para
reprevertical
(eje
sentido
sentar conjuntos en los cuales las dimensiones en sentfdo vertical (eje
(eje
mente
i
zonta
z) son pequeñas comparadas con las dimensiones medidas
hor
1
mente
medidas hor
hor ? zonta 1 men te ,,,
de
representación
(ejes x e y). Por ello, es de gran aplicación en la
ia
de ex
la represen tac i on de
ex_
etc.)
etc.)
topográficos,
planos
topográficos,
tensiones territoriales (cartas geográficas, planos
pianos topog ra f i cos ,etc.)
2.- REPRESENTACION DEL PUNTO
se
un!
Un punto P quedará representado por su proyección' PQ
P0 yy un;
que se¬
un! número
nutnero que
se
cua
püntodel
él
encuentra
cua¬
punto
el
del
ñala la distancia (altura o cota) a la cual se encuentra
encuentra el puntodel cua
segmenun
puede
dro Tí s expresada en la unidad adoptada. Esa unidad
segmenun segmen¬
puede ser
ser un
unidad puede
centímetro,
el
metro
fel'
to de cua 1 qu i e r magn I tud en la práctica se usan reT
centímetro,
el
re 1 cen t f me t ro , el metro
metro
uni¬
Imente
o sus múltiplos (en las cartas marinas, se usa un iver-salmente
como
ver-sa
ve r-sa 1 men te como uni¬
unibraza,
dad de cota el pie, equivalente a o, 30 m., o la braza,
equivalente
m).
m).
1,67
braza, equivalente aaa 1,67
1,67m).
:
P0:
f
í
a)
3u
2ü
/?M»
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l Po
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Mo(-2)
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t
.
*•
-
DESCRIPTIVA
GEOMETRÍA
—
;
\ -i ;i
Carlos
Chesñevar
*
IiI V-2
*ÿ’*
A
Convenimos en asignar signo positivo a la cota de los
los puntos ubicados en
puncos
el semiespacfo superior, y negativo a 1 a cota de 1les
el
os punÿns
situadosenel
situadosen
:
sem i eSDa cd o'"* í nf e r l or (respecto de IT ) .
.os pit ,v tos de ir , y sólo ellos, tienen cota nula.
3. ~ REPRESENTACION DE
, ‘..i ns'® I « rsópo :?'i y’
j:
<4 . t> * \¡ p . i>
-i
V ;> stf I 'í *v r •
i
LA. RECTA
”
,
•..
i
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*
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/Tr,,;
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r, f 1|2U
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“\
IT
ir
!
f ig 3
J
b)
b)
3
2
l
r
representa
Una rectaí en posición genérica (oblicua al cuadro) se represents
representa por su
1 os
proyección ortogonal rQ> señalándose en la misma la proyección
proyecc i on de los
r,
puntos de* r de cota entera. Desde luego, para individualizar a r
r,» es su
ficiente con representar sólo dos puntos de r.
El segmento de r que tiene por extremosÿ dos puntos consecutivos de r de
cota entera, es de igual magnitud para cualquier par de puntos consecu¬
fig.3)
tivos de la misma recta. La proyección de ese segmento (Xr
(jr en la fig.3)
* 9 3)
(distancia entre los pun¬
es también una constante característica de r (distancia
punNTERVALO de la recta
tos de rQ: 0-1; 1-2; 2~3; etc.) y se llama INTERVALQ
INTERVALO
r.
recta r.
(jr
.
.T
}
i
-
•
;i
;
•
-
di¬
De manera que , conoc i das: Las; proyecc i ones de-dos puntos cuyas cotas difieren en ,1 a un i dad de. cota , la distancia entre las proyecciones AQ
AQ-B0
B0
(ffg.A) es e 1 . í n.te rva.l o Im de la recta m.que. Contiene
.aa Ay B. Con el
tiene..a
mismo intervalo, se puede graduar otros puntos de mQ.
tales condicio
mQ . En tales
nes , se dice que m está graduada (el punto de cota cero es la
traza de
la traza
. í- :
r ,v . .
.
i
1 a recta)
-
I
*
*.*
>
•
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...
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i
TT
IT
ir
:
-
.
f ig h
••
•1
a
que 1la
de modo
modo que
Si se conoce la proyección de dos puntos de cota entera
entera de
la
de
intervalo
nterva lo de 1 a
el iintervalo
diferencia de cotas es de -varias unidades (fig.5)» .el
que une
une aa
segmento que
del segmento
recta que 1 os; contiene .esta dado por la división del
de
diferencia
la
codiferencia de colas proyec ciones, en, .tanta Sj partes como lo indique,'
v
tas..'
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9I0HETAIA DESCRIPTIVA
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Carlos J. ehesflova.r
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puntos d® una recta horizontal h son todos d© Igual
igual cota.
Se
cota. Se
ropr©“
repre6*
a H por su proyección he, Indicando su cota
(flg.é-®)..
.
cota": -{flg.6*fi)Y.
¿
.
Los puntos d® una recta e del cuadro tlanan cota
nula. S© representa e
cota nula.
por su proyección fe % e0) (flg.6-b).
Una recta n perpendicular al euadre queda representada
representada por
por un
punte.
un punte.
§®nta
i
”
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(f fg.ó-c)
‘
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c)
e)
fíg/é
Para dstornilnar la cota de un punto cualquiera de
genérica §
de una
recta. r genérica»
una recta
@1
,
cuando su proyección no corresponde a cota entera
puede
efectuarse
el ea
entera, puede
(f lg.7) *
batimiento del plano proyectante que contiene a r (fíg,7)*
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b)
fU. 7.
(ffg#
observa que el punto P0 divide si segmento t* en;
f race fortes (ffg,
en dos fracciones
7"c) i uns de ellas, sumada o-restsda (según cual se considere)
cota
le
a
considere)
(en
punto
P
este
entera deí puntó inmediato» permite asignarle cota st
(en
P.
si
graduar ,J.il..r.o)
j» r»)
Por este medio pug,
pee
caso» se util iza a ír como unidad
de Imponerse o verificarse ía pe r tenencia de Ynpuhto
recta.
p un to a una recta,
§e
«ÿ
V PENDIENTE
DE
ÜMA
f?ECTA
•
*
'
.
eon ©1
el de dfre£
II oófícepto de pendiente de una recta te Identificaremos con
dírae,
lndf§
expresaremos
IT
La
eíón de la recta en relación sí cuadroIndi §.ttintemen,
Internen,
grados) o 1á tangente de
d©
te como @1 ángulo que la recta r forma con if (en grados)
porcentaje).
(en
fracciones o
tff ángulo
conocerse,
§@n fi ggn§£rii§gf#r? grlfíps Indicada en la ffg.J puede conocerse,
la
, puede obtenerse con dada
igual
f§§%9 P? #í Ingyf© tf * Iny'iffSftlifitf t dide
pendiente.
tísnsn esa pendiente.
sí fntgfvsíó 4§ Us-mtis g«s ííenep
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que da
on que
ón
la. re
re.l1í ac ii 6n
la forma anterior (con uno como numerador).
l/J*
...
cinccj .
*V 4
Ejemplo: La tangente t r i gonomét
presiones equ i va 1 entes :
-
..
ujnídad
expresarse
V
.
,
Luego,
, son
vale 0,2.
0 ,2 . Luego
r i ca de .,1 1 ° 1 3
La pendiente es de 11° 19 i
La pendiente es de uno en cinco (I/5-)
La pendiente es del veinte por ciento (20%)
•
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Bo
5-~ REPRESENTACION DEL PLANO
ir),
esI* necesario
IT),, es'
Para representar un plano M gener l co ' (ob,l i cuo aljcuadfo ir)
necesario
necesario
que 1lo
la forma
definir previamente un conjunto de rectas del plano,' en la
o
forma que
indica la fig. 10.
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fig. 10
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horizontales
(parale
(parale
conjunto de planos paralelos horizontales
horizontales (parale,
horizontales,
paralelas,
a IT) que definen en oí , a 1 cor|ar í o , rectas horizontales,
pa ra 1 e 1 a s,
horizontales, paralelas,
7T
ortogonal
de
en
llamadas "líneas de nivel" del p 1 ahó'¿¿ íá ' proyetc í 6h oftogona
IT de
de
en TT
or togona11 en
al
plano
¡
Lafs *lhí'ííe,a-5'' de- nivel vde? - o¿ fjíhcl iic'adas sus - cotas ; individualizan
piano
al plano
zan al
dua11 ii zan
i ncl y i dua
bÿuÿdlesde' 1 uego , :sOn; suficientes sólo dos para el lo) .
las
proyecciones
la denoWfnáci óri! "TTheas de: njlfél"- se extiende también aa las
las proyecciones
proyecciones
de
cota
entera
de las líneas de nivel de <á
cota entera
entera
de cota
las de
Comúnmente se indican las
plano).
piano).
O a Línea de cota cero corresponde a la traza del plano).
de
de
una
recta
La representación se complementa con la proyección de una
de
de
una recta
recta de
de
proyección
es
perpendi¬
máxima pendiente (perpendicular a la traza) cuya proyección
perpendi¬
es perpendi¬
proyeccion es
dibuja
con
se
con
cular a las líneas de nivel (f i g 1 1 ) ®Para d i f erenci árl aaa,,, se
dibuja con
se dibuja
%
los
U.p.
'
.
.
.
do'b’l e... trazo.,
2
1
f i g .1 1
,0
;1
fe
, ¡\ :
•
TT
Carlos J. Ches nevar
DESCRIPTIVA
!
IV-5
V-5
.v f . v
1
pendiente, g r a_
Puede observarse que la proyección de una recta de máxima
maxima pendiente,
pendiente,,
Cper_
de
de cA
duada, individualiza a las proyecciones de las líneas
nivel
ITneas
o< (per_
reconstruirlas).
pen_
de
En
adelante, 1 1 ama remos'/¡aÁ¡ésaÁré.cta
roi te
1a
';esa . rec fca .. MeAca
nescala
pen.
diente" del plano. Puede ahora decirse:
-
--
»*
|
|i
\
1
'• \ • .
Un plano ¡genérico oi queda representado por su escala de pendiente gra¬
gra¡:
'
’...
duada ¿
f
, .. ..
;-4 [ .
.y.
.
y :
!
!
su,
La pend i ente de. un p laño es la pendiente de su,
1.a de pend
i ente.
pendiente.
su, esca
escala
El intervalo i¿ de un plano k , es el intervalo
pen¬
,su
de
pen
-de . su escala
o ;de
diente.
;
1
•
*
7<ÿ
.
..
¡
¡
-
.
Los puntos de un p 1 ano hor i zonta 1. son todos de igual cota.
cota.
represenÿ
cota Para represen.
t.arlo, es suficiente señalar la cota del plano. /
(la cual contiene
pro¬
Un plano vertical se representa por su traza (la
conti ene a la proyección de todos los puntos del plano).
6.
-
RECTAS' DE UN
PUNTOS Y
PLANO,
3
2
\
oto
\
Un punto P pertenece a un piano
plano oi ,si la
P ¡pertenece a la línea
P r o y e c c i ó n PQ de ,P
1 T nea
P,
P,
de nivel decide Igual
igual cota que P.
R>(2,5)
.
f f g 12
A
\3
,2.
5
A
0¿«,
f ig. 13
fi?
plano et ,, si
Una recta r pertenece a un piano
se verifica que dos puntos de r pertene¬
pertene,,
modo, si r &
cen a o4. Dicho de otro modo,
6
6
las líneas que unen los puntos de igual
de pendiente de
cota dé r y de 1 a escala tie
última.
última.
oC , son perpendiculares
i cu 1 a r es a esta ultima.
7.- PARALELISMO,
4
8
3
a0,
7
.
determinan
Dos rectas a y b paralelas determ
i nan dos
también
proyecciones aQ y bQ
paralelas.
tambien
bÿ
iguales, y el sentido
Los intervalos son iguales,
(téngase
(téngase
de la graduación es concordante (tengase
de_.
paralelas, a yy b de..
presente que, siendo paralelas,
líneas de nivel re¬
fínen un plano cuyas ITneas
igual cota).
puntos de igual
sultan de unir. sus puntos
&
tamparalelos,
paralelos,
Si dos planos c< y /4 son pa
rale los, tam¬
en
pend
máxima
de- maxima
rectas de
bien lo son sus rectas
i en
(a(ate, y las proyecciones de las mismas (a-*
Monge).
de Monge)
proyección de
sociar con primera proyeccion
¿3
planos <2
*< yy ft
Luego, puede decirse: Dos pianos
pendien_
escalas de pendienÿ
son paralelos, si las escalas.
igual
paralelas, graduadas con igual
tes son paralelas,
intervalo y sentido concordante.
f i g 1k
bo
,5
4
fíg.15
aC0
;4
{7
3
f ig.16
To
.
si
plano c*; si
un piano
paralela
Una recta r es pa
rale la aa un
ella)
por el
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conducirse
r pertenece (o puede conduct
la)
rse por
verificar
¡A ;
para
; para
un plano paralelo aa ¡A
ver
i f i car
, se
se
con
de
o<.
paralelismo
r
entonces el paraleli
o(.
,,
con
smo de
la
a
rectas pe
perpendiculares
dibujan dos rectas
la
a
res
a
rpend i cu 1
puntos
dos puntos
por dos
pendiente de
de <*C ,,, por
escala de pendiente
Conce¬
entera.
entera. Concede cota
cota entera.
consecutivos de rr de
de
de nivel
nivel de
líneas de
como ITneas
rectas como
bidas esas rectas
la ddistan¬
r,> la
contiene
un plano t que conti
i stan*
ene aa rr,
),
(intervalo
),
de i
(intervalo
cia entre las mismas
í )
mismas (
,
i nterva lode
y
oz y eel1
de <=*£.
intervalo de
debe ser igual al intervalo
debe ser
graduación debe
ser concordan
concordarÿ
sentido de graduacion
es
condiciones, la
condiciones,
la recta
recta rr es
te. En esas condiciones,
d,
d,
plano o<
paralela al piano
MQMU,lh
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BESCftiPTIVA
Carlo;. J
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iNTfR§gG®JQN PE 'DOS PLANOS.
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al cortarse una recta. Para determinarla
es
determiner 1 a , es
necesario, tener presente que la misma debe cumplir la
perte
condición
de
condicion de
nencia respecto de oc y de, (b s ímu 1 táneamente
La única recta que
que cumple
cumple ee
sas condiciones, es la que determinan los puntos, comunes a las
di"
líneas
de
a
Ifneas de
nivel de *íy ¡i de igual cota
pórte
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9*~ INTERSECCION1 DE UNA RECTA Y UN' PLANO.
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Para determinar el punto común a r¡ y;<><: V s¿ ut i liza un' pVano
plano
auxl
iiar
ai- i
1 iát
íi
pi ano iauxi
auxil
¡na r (f f g *»5, Cap I l) ’ La intersección de reee L*
,
,
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Vai*1 r es 1 a •: iin
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tersección de r y c< .
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10.- PERPENDICULARIDAD.
Nuevamente es necesario establecer primeramente la condición
de
pérpenperpende perpencondicion de
diqulpj-i dpd. VÓ.t re recta y p l.anb;,,; 'jáa.ra expresad pbster fórmente
cond
fórmente
condi i
iormente lala condifcprpeqdi ciliar i dM entre 'rectas y éntre planos (Cap.
).
(Cap
34)
5ÍPP
34),
.11,
I iI ¿I t T Tit.
ff t .34
(Cap.
cular
«ra;.<=<,,
<*,c<,
Nade observarse que, dados un plapp i* y una recta* h perpend
ar. a:
i eular.
perpendi cu.l
(analo
o
(ánalo
la proyección nQ de n será perpendicular a las líneas de nivel
de
(anal
o<
ptvel de <*
gip con primera proyección de Mongé) ; es decir» Mna recta
lar
perpendicular
perpendicular
ndicu
recta
recta perpe
paralela a la escala
dedependíenÿ
escala
proyección
pend i erÿ
a yn plano genético, tiene
pendiera
escalade
su
;
'•
te del plano,
. --
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hay
yy que
qMP hay
recta,
a la recta,
f yRM®
rÿcta
Puesto que la proyección por sf no individual ! ¡?aproyección
cond i ~
lalai con?
onno,
P0 ,la
infinitas rectas (no perpendiculares a Sé) con proyocoion
la
graduar
graduar
necesario
necesario graduaraa ala
cion anterior es necesaria pero no suficiente. Es necesario
.¡se
hacerlolQ.ÿle
.Je ..¿ll* Si,
es necesario
nacpit
necesariohacerlo
recta para individual izarla, y en este caso i §u
plano
<*.
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1
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i yimenje perpend
sea
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Ho E m0
In
fig. 20
\a&
plan
el plano
oproyectante
Analizando la disposición geométrica que resulta en
piano
en el
proyectante
estricta,
entre
que
,
estricta,
a
n
contiene
se observa una relación estricta. entre los interva¬
intervat
interva¬
esos elementos en
en '' función
los de c=C y de n, que permite graduar a uno de esos
funcion
función
del otro. En efecto:
definen un
un triángulo
Dos puntos consecutivos de cota entera N y P de n,
triangulo
n, definen
triángulo
rectángulo NRP tal que los catetos horizontal y vertical están
están
dados por
por
estan dados
También
el intervalo In de n y la unidad de cota u respectivamente.
respectivamente.
dos
Tambien dos
respect i vamente. También
ente) def
def ii ne
puntos de cota entera de m (recta de
nenn
de máxima pend ii ente)
uun
n
triángulo rectángulo MRP, cuyos catetos son el intervalo
intervalo i<*
de ex'
la uu
iÿ de
c-C yy la
dado en
en función
de la
nidad de cota u. Cada uno de esos t r i ángu 1 os está
la
esta dado
funcion de
función
los ángulos
ángulos
MPR
forma del otro, ya que siendo n perpendicular a m;
angulos i|)
m; los
yy
MPR
tf=
=
if
NPR son complementarios.
'
-
gráfica
análoga
la rea¬
En consecuencia, por medio de una construcción gráfica
rea
analoga aa la
grafica análoga
rea¬
de los
uno de
de uno
los eelizada en la figura -20, es posible conocer el intervalo
e
Intervalo de
Intervalo
(el
plano
del
otro
o
lementos (la recta o el plano) conocido el intervalo
(el
piano
intervalo
plano
Intervalo del otro
o
1 a recta)
-
.
se observa que:
del triángulo NPR : tg if
*
II
II
1
11
=~~
Xn
Xn == In
í
L.s
U““T"
ct In
I-n
-is1
U
- -iíí
MPR ; tg
es decir, los intervalos de oL y n son números recíprocos.
recfprocos.
recíprocos.
de
cotas
crecen
ha¬
También puede observarse en la. fig. 20 que las cotas
ha
de nnn yyy mmm crecen
crecen ha¬
cotas de
graduacio¬
consecuencia,
las
cia derecha e izquierda respectivamente; en consecuencia,
graduaciolas graduacio¬
consecuencia, las
nes de nQ y m0 crecen en sentidos opuestos.
una
Puede entonces expresarse: Para que un plano e< y. una
representauna recta
recta nnn representa¬
representa¬
recta
ortogonales,
cond
son
dos en Proyecciones Acotadas sean mutuamente ortogonales,
o“
cond icioortogonales son
son cond
ii ccIioproyección
para¬
la
de
sea
recta
nes necesarias y suficientes: a) que la proyección
parasea para¬
la recta
recta sea
de la
proyeccion de
recí_
sus
intervalos
sean
lela a la escala de pendiente del plano; b) que sus
sean rec_í
intervalos sean
sus intervalos
rec!
sentidos.,
opuestos.
procos; c) que sus graduaciones procedan en sentidos;
opuestos.
sentidos- opuestos.
-
fig *2i
3
3
3
3hí
3
N --
4 \
4<//
\N
4
4
<r
°¿o
K.
"ft
K.
InJr,
A
h
IOQ
o,
tf 88
%
A
/t/ 7/ '4
7J
73
7
il!
La construcción auxiliar para determinar el
mdnmente como lo indica la fig.21.
de
intervalo
realiza
se
co
realiza c_o
de nnn se
se realiza
intervalo de
C£
intervalo
--
planos,
al
entre
al iii
pianos, al
Las condiciones de perpendicularidad entre rectas
entre planos,
rectas yyy entre
ode
cond
función
las
condicio¬
de las
gual que en el método de Monge , se expresan en función
las cond
funcion de
ii cc ii o22).
nes establecidas para recta y plano (fig.
Á
aaaéQí =>b.ka
>6
.555
~>b,ka
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A k. o*
ilc* =s>b.ka
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b)
J
0*5
pO
A5
.
\*
\*>
: O
;«¿0
b)
b)
de
cota
que
la
unidad
supondremos
de cota
cota
unldad de
que la
la unidad
supondremos que
NOTA: Salvo indicación en contrario, supondremos
es el centímetro.
GEOMETRIA DESCR I PT I VA
-8
I VV-8
Chesñevar
Carlos
Wi25«lOTfl3Wi«>v
11. - VERDADERA FORMA DE UNA FIGURA PLANA. Abatimiento de un piano
plano No Pro
Pro
yectante
.
_
-
--
•• “
**
-i1 1? ado o
oproblema no difiere, en concepción y procedió!
aba
porcunamente en el Metólto de Monge (Cap I I , T i t jü/ , tanto
w
abaoro w
c o }Jporo
Cimiento directo como para el inverso. En ambos casos puede aplicarse la
la
(linea
plano (itnea-de
de
(línea-de
afinidad ortogonal que se genera, con eje en la recta del piano
nivel) utilizada como eje de giro. La fundamentac ion de la existencia de
2, fig.
esa homología es análoga a la señalada en el Cap. III, Tit.
T?t.2,
fig.7*
7.
7*
c]
/- •
.
.
/ot:
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d)
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J. P)
X
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Bo
AQ /
12 •“ DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS,
—
La distancia entre dos puntos M y N de proyecciones M0 y N0 es
hipóte
es la
la hipoteÿ
hipote_
nusa del triángulo rectángulo MRN, cuyos cate, tos están dados por M0
N0
Mc
No
(distancia entre las proyecciones) y R-N (diferencia de cotas).
me¬
cotas). Por me
dio de una construcción gráfica como la indicada en la figura 24,
da
queda
24, que
sonocida la distancia MN
-
.
A
i
a)
•
R
b)
4T
--
_»No
MpMJ.
fig.24
xjl
N0(5)
N0(5)
N0( 5)
d MN
MÑ
13. “ DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO,
.
:1 concepto es idéntico al aplicado en el Método de Monge
(Cap.
(Cap . II,
Monge (Cap.ll,Tit.3
Monge
Tit.
I I ,T
i t 3 6).
’or el punto dado P se conduce una recta n perpendicular al
plano
dado
piano dado o<,
al plano
o< ,
leter minándose el punto I, intersección de n y oí. La distancia
distancia entre
entre PP e
distancia
e
. (Tít. 12) equivale a la-distancia entre P y oí..
.
n„
9PO(4)
„P0Í4)
7
a)
\
V
.fe
b)
5
-A 5
0(5.6)
6
sx
lo
U
S
-S
Js~
í<r~
£
&o
.5,
f ig.25
'
-
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
VV-9
II V-9
-9
Carlos J. Chesñevar
-
:.
14 •- DISTANCIA ENTRE UN -PUNTO Y UNA RECTA,
.
*
-iig
.
•
Tit.37,
Según el concepto aplicado en el Cap. II, T
'representa
se
representa un
i t 37
un plano
plano
seVepresenta
37,
piano
> se
te
nándose
e< que contenga a P y sea perpendicular a r, de te
1
I,
e
I,
punto
punto
1
e
t erm
rm ii nándose
nandose
(Tii i-.
intersección de oty r. La distancia entre P e l (X
t .12)
2); equivale
equ
112)
i
e
I
va
a
(Tit.
la
a
la
equi 1
1a
distancia entre P y r.
%
Po ( s)
T
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f i g 26
b).
-
To
'Jo
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rh
51
<ÿo
<y
6
'r°
'r°
n>
15.- DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS ALABEADAS,
medio de
Para medir la distncia entre dos rectas alabeadas
1a
alabeadas aa yy bb por
por medio
de la
procedimiento que
perpendicular común, es aplicable el mismo procedimiento
que indica
indica el
el es
quema de la figura 72-1 del Cap. II.
b)
a)
A
Tn
LL
ÁJ fs/
\
\
4
o
3
¡A*
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f.
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A
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,(33)
(33)
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AJ4.2
L
2
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A
A,
3
\
f ig.27
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dAB~ dab
i
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vV>
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>
AJO
.'0°
16.- DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS
((
planos dados <xf
dos
define dos
exf y [2
Un plano proyectante Y perpendicular a los pianos
,,define
dos
[1 ¡define
respectivamente),
siendo
respectivamente),
1 aa
rectas a y b de máxima pendiente (en °i y ¡b respect
i vamente), siendo
siend.o
planos.
1 o's planos.
entre loS
distancia entre las mismas equivalente a la distancia entre
pianos.
distancia.
El abatimiento de ~fí permite medir esa distancia.
a)
A
0
b)
y
T
/o
.
f i g 28
A
17.- ANGULO ENTRE DOS
a
z y/Qo
RECTAS,
cuando
aun cuando
posible
medirlo
i r 1 o aun
i b 1 e med
Recordemos que el ángulo entre dos rectas es pos
que
ángulo
el
definido por
por el angulo que
las mismas son alabeadas, quedando en tal caso definido
Meto
el Meto
en el
Igual que
que en
forman dos rectas coplanares paralelas a las dadas. Igual
iliar
ux iliar
a
plano
el
abate
se
ux
a
y
a
b,
se
ángulo
entre
b,se
el
para
abate
planoauxiliar
el
Monge,
medir
do de
If
b1
y
a'
auxiliares
b
paralelas
a
Y que contiene las
b)
a)
2
3
A\\\
A?/
*7 555,
&(5,7j¿
5)
A-
,7
,6
ac
bo
.
f i g 29
4,
4,
4
4/
4/
4/
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TA\ -tic,bo
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5/ÿ
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X.
J,
3,
—
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I
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PJ\(O')
(PKÿ
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(O')
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
«**
18
ANGULO INI RE DOS
-
Carlo
j.
-
I V 10
IV1 0O
Chesfieyar
ISSB
PLANOS,
Dados Ips planos »c y /?> } procedemos a represent
-¿IU
n U Ii va
n te
.rv a 1 eente
nte
nuivale
‘
<
la í íg.75-p del Cap.íl; es decir, después
det&,,H,«u
dete,.«
, , ,„
ínteru,
dcunim1U
intersección i de u. y (b , se representa un plano £. perpendicular ai,
i, y se
perpendicular aa i,
obtienen las rectas a y b (intersecciones de £, con
ec y ¡h respectivamente).
respectivamente).
respect ivamente).
El ángulo entre a y b, medido mediante el abatimiento de ¿
, es el ánquángu¬
<=
angu&
s
lo entre <ÿy
•
•
,Jt*.
i
í
'
'
bo
Jí°
bo
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N
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19. - ANGULO ENTRE RECTA Y PLANO,
?;»;!-?"*%*' ;
de »*
f¡g.76-a un
del Cap.íl, se representa
plano
piano
auxiliar £ que contiene a r y es perpendicular a <* ,represents un
ángulo
El
entre
rr ee
angulo
entre
i
m e d i do mediante el abatimiento de £ ,
.
es el ángulo entre
entre rr yy <xl .
’
U\
3
4
.
f i g 31
3
-7
4;
r<>
4
3
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4
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,3,
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3
a)
=z *r
roa,
roí.
occ.
In
/
c*;6
C.-C6.
Pi*
/ £o
ri
n
ri
n0
n0
no
b)
b)
b)
20.- RECTAS DE UN PLANO CON PENDIENTE DISTINTA A LA DEL PLANO,
PLANO,
PLANO
en
La pendiente de una recta no puede ser, desde luego, mayor
en
pendi ieriÿ
la pend
que la
mayor que
pen_
máxima
de
te de un plano" que la contenga; será igual (sí la recta es
es
máxima
es de maxima pe¿
perÿ
líente) o menor .
.
,
4os proponemos representar una recta r perteneciente a un
un
dado
plano
dado oz ,,
piano dado
un plano
de
natura¬
sstabíec i endo cuál debe ser 1á pendiente de r. Problemas
esta
naturaesta natura¬
de esta
Problemas de
(por
ej
(por
em
leza pueden presentarse en la práctica en diversas situaciones
eejjem
ern
(por
situaciones
situaciones
apoya
estar
debe
estar
3 lo: un conducto que i por las condiciones del proyecto, debe
apoya
debe estar
pendiente).
io eiT un techo, piso o rampa existente, y mantener determinada
pendiente).
determinada
determinada pendiente),
que
(Tit.A)
modo
de
que
-a peno { en te’ de una recta es función de su intervalo (Tit.A)
modo que
de modo
(Tit.4)de
situación
que
tal
que
tal que
2stablecido el intervalo Ir de r, debe dibujarse rQ en situación
situation tal
sea
entera
Ir,ala distancia entre dos puntos consecutivos de r de cota entera
sea Ir,aIr,a~
entera sea
de
de
nivel
de
iíneas
segurando a la vez que esos puntos pertenezcan a las líneas
nivel de
de nivel
Ifneas de
pertela
perte¬
la
asegurada
Oí. con cotas
perteiguales a las de los puntos. Q,ueda así asegurada
la
da
asegura
lo
lograrlo
lo mues_
mués
mues_
nencia de r a o¿ ,. y la pendiente de r. Un modo simple de
lograrlolo
de lograrlo
t r a e. 1 s i g u i e n t e e j emp 1 o :
e »<
punto
elel punto
de°<
punto dde
Sea c¿ el plano dado y y PP P el
r,
a
conducirse
de
de
por el cual debe conducirse
nducirse a a r,r,de
(es
de
1/5
sea
(es
(es
de
pendiente
sea
que
su
modo
1/5
1/5
de
sea
te
pendien
*%
decir, Ir= 5u )
a)
3X
.
2?
34
\ V\
b)
3?
2,
/
•Po
f ig.32
cía de
rifen
de
de
circunfencía
encia
Dibujando un arco ele circu
circunf
defini¬
quedan
de f i n i
centro PG y radio 5u, , quedan
quedan defini¬
de
de
lala línea
línea
enen la
1 f neade
dos dos puntos N0 y R0
R0R0en
-
nivel de
u~ 0,2 cm,
a P.
oc.
que
lalaque
contiene
cont iene
inmediata a la
que contiene
—.......
-'rirrT.-
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
-
Carlos J. Chesñevar
—
1 11
V-1
II V"
rasas
...
«
¡r° /
“ Ro
-22»
No
Las dos rectas r yy m que
que confienen
contienen
respectivamente,
respectivamente,
ivamente ,
Ro Po Y Mo Po respect
son de pendiente 1/5 yy pertenÿ.ce
pertenecen
n
a e<
ft
a
.
f íg-32-c
J
2.1.- PLANOS OUE CONTIENEN A UNA RECTA CON PENDIENTE
PENDIENTE DISTINTA
LA
DE LA
DISTINTA A LA
LA DE
RECTA,
planos con
la
Dada r» nos proponemos determinar el o los pianos
pendiente i. que
que la
con pendiente
cont i enen
..
iÿ con
Si se dibuja un arco de circunferencia de radio 1*
pun¬
un puncentro en
con centro
en un
to de r de cota entera, quedan definidas las direcciones
de
líneas de
de las
las Ifneas
recciones de
nivel de los planos con intervalo iÿ que pueden contener
efecto,
efecto,
contener aa r«
r. En
En efecto,
pasando una recta tangente al arco por el punto.de
punto de cota
inmediato
entera inmediato
cota entera
arco, para
al usado como centro, y otra por el centro del arco,
ante¬
paralela.
paralela.
lei a aala
1 a anterior, quedan establecidas dos líneas de nivel de uun
plano;
plano;
en_
que,
a
que,
conven
p
no;
q ue , conven ii en
n 1
teniente graduado, contiene a r.
tangentes al
arco, resul
Es evidente que por el mismo punto pasan dos tangentes
al arco,
tan_
resultarÿ
do en defin i t i va dos planos que cumplen con las condiciones
requeridas
condiciones requeridas.
'
n>
\r0
n»
Po
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/
/
V4
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//loe.
¥3
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f.ig.33
/
á
*
3
3
\\
PoA
22'.- SUPERFICIES TOPOGRAFICAS.
La superficie del suelo se representa comúnmente por
por Ifneas
nivel corÿ
de nivel
líneas de
co¿
(( dd J_
(Tit.5)*
cebidas en igual forma que las de un plano (Tit.5)*
equidistancia (
La equidistancla
$)* La
consecutiva) se
de
consecutiva)
adopta de
se adopta
ferencia. de cota entre una línea de nivel y la consecutive)
acuerdo a los accidentes del terreno y a la precision
precisión deseada.
deseada.
10
10
5.
0,
/r
f ig
•
31*
ir
representación,
se
representación,
la. representacion
Es importante tener presente que, al operarse en la
se
consecutj_
líneas
nivel
comprendida
dos
entre
de
acepta que. la superficie
Ifneas de nivel consecutj_
determinado
entorno
cálculo en
en determ
vas , es reglada. Es decir, al realizar un calculo
inado entorno
fueran
líneas
las
si
dos
inmediatas fueran lí_
de la superficie, procedemos como
ITneas inmediatas
es_
superficie
es plana en
en el entorno
entorno es_
neas de nivel de un plano, y que la
es
me¬
cuanto mepreciso cuanto
mas preciso
tanto mas
tudíado. En consecuencia, el resultado sera tanto
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
-
Carlos J
-
C hesñeva r
IIi VV 1122
se aparte la superficie verdadera de la forma plana en
entorno,
en ese entorno.
TOS
NSL
10
5
--
'
inacjon de la
Por ejemplo, la determinación
cota
la cota
por
de P (punto, de una superficie
por
superficie
rf i c i e dada
nivel)
por el pprocedimiento
r oced i m i en to se
Ifneas de
se
halado en la f í g 3 5 » sera
pre¬
tanto mas
será tanto
más prehaya
cisa cuánto más próxima a una
recta haya
una recta
superficie,
sido la línea MM de la superficie.
/(N)
/
-ytp)
-
f ig.35
jMo
En el ejemplo siguiente se determina una línea que pertenece
pertenece aa una
una super_
supe£
fície dada, de modo tal que la línea conserva una determinada pendiente
pendiente
(de aplicación en estudios para trazado de caminos, para tendido
de contendido de
con¬
ductos, etc.)
Supóngase conocida una porción territorial por líneas de nivel
equi¬
nivel con equidistancia de 3„metros, en un plano dibujado en escala 1:5.000 (fig.
(fig.36).
(fig.36).
36).
interesa establecer una línea sobre el suelo tal que, uniendo las
zonas
las zonas
A y B, tenga en todo momento una pendiente del 2%.
Recordando que debe admitirse plana a la superficie comprendida entredos
entredós
líneas de nivel consecutivas, es necesario establecer el
e1 intervalo
intervalo de
de uu
2%,
na recta con pendiente del 2%,
2%.
cota el me¬
Tomando como unidad
unidad de cota
2
tro, es Xr = 50 m.
m
-
.
100
2
100
1
Ir =100.
2
~ Ir
_50
líneas
entre Ifneas
Como la equidistancia
tanc i a entre
es de 3 metros, la
rec¬
de rec¬
la porcion
porción de
entre
ta que nos interesa
interesa ubicar
ubicar entre
in_
dos de ellas vale tres
tres veces el in
térvalo’ Ir. Luego,
de
Luego, el intervalo
intervalo de
trabajo 11 vale
m.
It » 33 Ir 150 m.
3u
lOÜ
3
-- -
Ir
Considerando que la representación no está dada en escala
cesarío hallar el valor equivalente a lt en la escala del
ne
natural, es ne
natural,
dibujo:
dibujo:
dibujo:
. -
m.
cm.
0,03 m
. ~~ 33 cm.
150 m. en escala 1: 5.000
De modo que, eligiendo un punto P de la zona A, situado sobre la
línea de
ia
la Ifnea
nivel de cota 3, trazamos un arco de centro P y radio I t “ 3 cm.
deterrru
cm. determj_
determj_
n,
nando dos puntos M0 y N0 en la línea de nivel de cota 6;
6; tanto
como n,
tanto m como
n>
pen¬
son rectas contenidas en esa porción de superficie, y ambas
ambas tienen
tienen
has_
diente 1 en 50, Con centro en N0 se hace otro arco de 3 cm.
radio hasÿ
cm. de radio
llegar aa la
ta cortar la línea de cota 9, y así sucesivamente, hasta llegar
zo¬
la zo¬
pa¬
na B. Es evidente que es posible localizar varios trazados
trazados ddistintos
fí s t i n tos . pa
ra una línea con iguales condiciones de pendiente.
It -
-
4
B
4
21
¿i
18
--
18
—
B
~
15
1512
12
9
9
6
N
3,
"T\Q
1\o
Tvo
3
A
A
_J
ESCALA 1:50.00
a)
fig.36
b)
i)
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
V)
-
METODO DE LA PROYECCION CENTRAL
REPRESENTACION DE LOS ENTES FUNDAMENTALES
!ÿ-
-
V-l
V-1
V 1
Carlos J. Chesñevar
- PARALELISMO-PERTENENCIA
PARALELISMO-PERTENENCI A
SISTEMA DE REPRESENTACION,
proEn el método de la Proyección Central se proyecta
ppro*
proyecta desde
desde un
un centro
centre
ro*
una
particu¬
orientación
pío 0 sobre un cuadro lf , al cual no se asigna
asignauna ori.entacion parti cular. En algunos casos el cuadro será dibujado en
en posición
posicion aparentemente
aparentemente
horizontal, con el único fin de facilitar la interpretación.
de la
figura,
interpretacion.de
interpretacion.de
la figura,
figura,
pero no hablaremos en general de rectas y planos
u
verticales
horizonta¬
pianos verticales u horizontales, sino de direcciones y orientaciones relativas
(en
relativas
cu
a
relativas (en
(en relación
relacion al
al cua¬
cuad ro)
-
.
En la representación bidimensional , la posición de
11IT se
O0 respecto
respecto
se
de 0
respect o'aa f
se in¬
in¬
(llamado
principally
(
dividualiza con su proyección ortogona 1 O0 (llamado
1 1 amado punto
punto principally un
un
i a ).) cuyo
círculo de centro 0o (llamado círculo de distancia)
1 e laladi£
i o vale
va
rad
dis_
distancia
cuyo radio
radio
vale
dis_
tanda d (distancia de O a lí , llamada distancia
distancia principal).
principal).
O
a)
2>-
b)
\
¿d
TT
.
'\ú°
•o0
*o0
•O0
f i g •1
traToda recta que pase por O, es una recta proyectante
sistema.
proyectante del
del sistema.
sistema. La
La tratraproyección
pun
los
de
za en Tí de cualquier recta proyectante, es la proyeccion de los
puntos
puntos
tos
que la misma contiene.
proyectante
traza
La
Todo plano que pasa por O, es un plano proyectante
sistema.
proyectante del
del sistema.
sistema. La
La traza
traza
de
las
rectas
proyección
que
de
en íf de cualquier plano, proyectante, es la proyección
rectas
proyeccion de las rectas que
que
el mismo contiene.
al
paralelo
1
aal
es
contiene
Llamaremos plano anterior al plano Tí que contiene
contiene aaa 0O0 yy es
paralelo
e.sestratos:
espacio
tres
estratos:
tres
cuadro Tí (fig.2). Quedan así definidos en el espacio
espacio tres estratos:
plano
el
impropio.
Primer Estrato: Limitado por el plano anterior y el
el plano
piano impropio.
impropio.
y
el
Segundo Estrato: Limitado por el plano anterior yy el
cuadro.
el cuadro.
cuadro.
impropio.
plano
Tercer Estrato: Limitado por el cuadro y el plano
piano impropio.
impropio.
a)
b)
7T
T-0
=+
n
V
A 0o
I
fig.2
oO
Tt 0
Ii
?
7?TT
'i
J Q».
.A
.¿SE.
- ITITIT
III
2." REPRESENTACION DE LA RECTA.
trala
por
trala trapor la
determinada
La proyección r de una recta cualquiera r queda determinada
determina
da por
)*
(fig-3).
contiene
que
la
za del plano proyectante
<
con
que
coincide
rr coincide
con 11laaa
que r'
coincide con
no individualiza a r, puesto que
Es evidente que r
proyectante.
plano
mismo
proyectante.
plano proyectante.
proyecciónÿ de todas las rectas contenidas en el mismo piano
Es necesario entonces agregar otros elementos.
desu
la
1ÿ
proyección
su
proyección
la proyeccio
Iÿde
desu
Si a la proyección r‘ se agrega la traza. Tr de r y
yy la
n
I).
representación.
la
de
partir
representación.
partir
de
la
a
r
,
puede reconstruirse
punto impropio I r
de Puede
acion.
la represent
expre
entonces
r.
expre
entonces expre
Puede entonces
r. Puede
El punto 1ÿ es llamado punto de fuga de la recta r.
-
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
-2
VV-2
Carlos J. Chesñevar
iMSaaoic*.-'
sa r se :
(proyección
Una recta r queda individualizada cuando se conoce su imagen
yeccion
(pro
imagen (proyección
r1), su traza y su fuga.
f i g.3
loo
-í
Jo.
o
?
r
r
I
\0
r
i
77
„0o
.0.
A
7T.
Í0o
r'
r1
r*
r‘r
Tr
IV,
r
r
a)
\
b)
c)
c)
c)
De lo anterior se deduce que:
= Tr
Para una recta proyectante» es r
Ir
yy 11'r
r1,
Para una recta paralela al cuadro, debe darse, además de
piano
un plano
r‘, un
de r1,
que la c o atenga.
Para una recta del cuadro, es r s r'; son impropios
-
Tr
3." REPRESENTACION DEL PUNTO,
que
lala
Un punto P no queda individualizado por su proyección P', , puesto
que la
puesto que
rayo
proyectanÿ
misma coincide con la de todos los puntos que contiene elel rayo proyectarÿ
in
ecta
proy
tequecontieneaP.
eses postcontenga
posi¬
P,P,es
a a P,
posi~
contenga a
decirse:
decirse:
rse:
deci
imagen,
traza
lala imagen,
traza
Un punto P queda individualizado por su proyección P' y la
imagen,traza
y fuga de una recta que lo contiene.
Agregando a P1 la representación de una recta qué
ble reconstruir rigurosamente a P. Puede entonces
,m
a)
b) 4 IT
i
1,
IOo \ ji
X?
P'.
„0o
<A
77"
rn
ImIm
ni
f ig
.
Tm
-&ÿ
4-“ REPRESENTACION DEL PLANO,
para
Un piano genérico &< define su traza
para
en H' ; ella no esessuficiente
suficiente
sufic ientepara
impropia
recta
S i se agrega la proyección id de la larecta
individualizar a oi
impropia
recta impropia
dede
par
el
<*: )
)oc.,> )el
par
parde
iw de o< (determinada por un plano proyectante paralelo a aoc
t el
in¬
decir,
lo
es
, es esdecir,
rectas paralelas tÿ
permite ahora reconstruir a
decir,lo loin¬in¬
.
dividualizan.
.
decirse:
ahora
Puede ahora
decirse:
ahoradecirse:
Un plano queda representado por su traza y su fuga.
La recta i
es llamada recta fuga del plano
a)
b)
a<
r°
I
¡L\
toe
7T
t <K.
\
1
,0,
,0o ,0*
\\
¿ Oo
\
T i g.5
T
Y T
-
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
Carlos J . Chesñevar
VV-3
-3
V-3
De lo anterior se deduce:
-
Para un plano proyectante, es tÿ a i L
impropias.
Para un plano paralelo al cuadro, traza y fuga son
son impropias.
improplas. Es
Es nece¬
necesario dar un punto del plano para individualizarlo.
Individualizarlo.
za r 1 o .
PARALELISMO Y PERTENENCIA,
5-.- RECTAS PARALELAS,
Dos rectas
rectas paralelas
parale.las tienen
tienen en
en
impropio.
corÿ
punto
común el
impropio.
el punto. impropio. En
En co¿
con
secuencia,
coinÿ
secuencia,
secuencia sus
fugas serán
sus fugas
seran coin
coirÿ
.
c i dentes
dentes .
'Tm
<5-
.
r*
Tr
Ir = I m
6»
-
f íg.6
PLANOS PARALELOS,
paralelos
co
tienenen
Dos planos
pianos paralelos
paralelos tienenen
tienen en c;o
co
luego,
impropia;
recta
luego,
común la
la recta
recta impropia;
impropia;
uego »
susfugas
coincidentes.
serán
sus fugas
fugas serán
seran coincidentes.
co i nc i den tes.
f ig.7
X
\
7.- RECTA Y PLANO PARALELOS,
A
riv
r'
Tr
/
paralelos,
Una recta
recta yy un
un plano
piano paralelos,
paralelos,
impro¬
un
en
común
punto
tienen én
en común
comun un
un punto
impro¬
punto impro¬
(el
de
punto
impropio
pio,
rec
punto impropio de la
rec
la rec
impro¬
la
pertenece
a
recta
impro¬
ta pertenece aa la
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la recta impro¬
:
laño) . Luego
; el
el punto
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pia del pplano)
piano).
Luego:e!
punto
la
la
pertenece
fuga.de
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de la
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recta pertenece
pertenece aaa la
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fuga
plano.
del
recta fuga
fuga del
del plano.
piano.
Te¿
.
.
f ig .8
/
8." RECTA DE Ull PLANO,
estará
la
recta
Si una recta r pertenece a un plano o£ , 1 a traza de
de la
la recta
recta estará
estara
la
impropio
de
recta
tenida en la traza del plano. Además, el punto impropio
impropio de
de la
recta
la recta
de
fuga
punto
el
fuga
punto
tenece a la recta impropia del plano, por lo que el
de rrr
el punto fuga de
c¿
rá contenido en la recta fuga de
Conclusión:
.
La recta r pertenece al plano
:a i U •
d)
r
'ÿ
«c
<
si
Tr
tÿ
pertenece
pertenece
pertenece aaa tÿ
t ,,
, yy
b> /fp
AF
o,
I
ia
r’
Tr
,
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Ir
f ig.9
ece
perten
pertenece
pertenece
iU
I06
U
too
tec
Tr
_\Tr
Ir
If
If
If
con¬
con¬
conper¬
per¬
per¬
esta_
esta,
esta_
Ir r'r‘
Ir
r1
\
9-- COPLANARIDAD DE DOS RECTAS,
Dos rectas son coplanares si tienen en común un punto,
impropio.
propio o
o impropio.
punto, propio
punto,
propio
impropio.
o
Según la situación de ese punto común, varían las
la
de la
las
características
características
las ca r ac te r f s t i cas de
la
de
representación.
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
Carlos J. Chesñevar
a'
I
I
1'aSlb /
toe
I
lela a
b'
¡ik
a'
—
í ¿ . Las rectas son pa
parale
parale
ralea
las. La traza del piano
plano que 1 a s
contiene es la recta que contiecontiefuga.es
ne a Ta y T ; la fugaes
fuga es la para
para_
f ig . 10
/
lá
Ta
íb
Ib
a’
por I
t*
i,
a.
I¿.
I¿.
t ienen en
en co
= Tÿ . Las rectas tienen
mun un punto del cuadro (las
(las tra
tra_
t ra
zas). La fuga del plano
pi .3 no que 11 aa ss
contiene es la recta
recta
recta que contie¬
c.ontiene a
y I¿. La traza
pa¬
traza es
pa
es la
la pa
ra le 1 a a ÍJ, por Ta 2
,
T
.
== T5bb.
1" q
f i g •1 2
><ía
-
a1 = b'. Las rectas pertenecen
pertenecen al
al
plano proyectante, cuya traza y
fuga coincide con a* y b'.
b1.
b'.
f i g .11
•I&c
M-k
\l-k
V-k
b'
-
=
a1
t oO
/
P'
Tb
íb
Ja
/
-cIce.
H a
común
e_
1¿ • Las
Las rectas
tie
rectas .tí
ti£
nen en
el punto
P.
P. La
La tra¬
tra¬
punto P.
za del plano que la contiene
es
contiene es
la recta- que contiene
contiene aa Ta yy Tbi
la fuga contiene a 1¿
II¿i, yy 1T¿bl
Ta
y
"
~
Ta
Ta. Jb>
f ig. 13
10.- CAMBIO DE REPRESENTACION DE UN PUNTO,
recta aa
de la
la recta
Un punto A dado por su proyección A1 y la representación
ori de
cualquier
otra
por
quedar
individualizado
recta rr
que lo contiene, puede
cualqu ler o t r a recta
1 contenga a
r*
que lo contenga. Para ello, son condiciones necesarias que
que r contenga a
necesario
es
cual
a,
1o
recta
para
A‘, y que r sea coplanar con
la recta
que la
necesarlo que
yy 1
a
I¿
contiene
que
1,-»
que contiene a
y Tr sea paralela a la recta
1frt 99
contiene a
(las paralelas equivalen a traza y fuga del plano que contiene
a).
contiene aa rr yy a).
Ia
Ta
V
f i g.1 4
Ta
k
a‘
VTr
r
,/A
/a1
A
XTr
/ Ta
t;A
A’
k'
b)
a)
Xa
r1
r*r!
t'rur
lá
IkTa
a
c)
c)
c)
11 •- PUNTO DE UN PLANO,
plano.
, sí pertenece a una recta
Un punto P pertenece a un plano
piano.
del plano.
recta del
para
dado,
dado,
plano
del
que
no
es
r
ve_
Sí ei punto está dado por una recta
piano dado, para ve
represen
rif i car si P esta contenido en o¿, debe intentarse un cambio
de represenÿ
carnbio de
posible,
pun_
el pun_
tación de P por medio de una recta del plano. SI ello es
posible, el
es posible,
to pertenece al plano.
.1
>c
>C r
loC
1
rU.
a)
P*
i
/ÿ' Tr
T’r
P
-
ío¿,
ioO
r JC
i
/
f i g . 1 5.
X¡xk
aa
a1Q!
b)
b)
t>)
V-5
v-5
C.Kes nevar
’
'
esxaxM
."IPIHiV'''
2 .-
y;ía
PUNTO DE UNA RECTA.
;
,:.
:"•ÿ:
i
iWTiWWMlflMS
a-'ÿ
B»Jft<rr?«W3«alg.
r*ÿ"1
>> :'•.
/
/
Jm
/
/
A1/ /
/
.
f i g 16
Im
/
Tm
/
.
Ta
a
.
A',
A dado por
A' ,,
por A'
Para que un punto A
*a »> pertenezca aa la rec
Ta e I¿,
re£
ta m, es necesario que
que m1 conten
conterv
conten
con¬
ga a A 1 , y que la recta
que con¬
recta que
contiene a Tg y Tm sea paralela
paralelaa
aa la
I
(es
decir,
e
(es
que contiene a I
1ÿ
decir,
*.a
1 ana res).
que a y m . sean cop lanares)
a
PROBLEMAS GRAFICOS.
13.- RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS DADOS.
genéricas,
cop 1 ana res.
Sean Ay B dos puntos dados por dos recta a y b genéricas,
genericas , no
no coplanares.
1
r1
A1 yy aa
conteniendo
que
La recta r
los contiene, .tiene su proyección r conteniendo aaa A'
B'
.
de representa¬
camblar de
Para determinar traza y fuga de r, es conveniente cambiar
representa¬
cambiar
representauna recta
por una
co
ción a uno de los puntos, de modo que queda representado
representado por
co
recta coÿ
así
un
Será
determinado
planar con la que individualiza al otro punto. Sera
Sera así
asf determinado
un
determ inado
un
siendo entonces
entonces po
plano que contiene a los puntos, al cual pertenece
pío
r, siendo
pertenece r,
p£
sible localizar la traza y la fuga de r
..
b'
a'
Ja
b'b
'*>
a’
Ib
,A‘
Ib'
t
b)
a)
—
la
Via
l'bíIs
\
r'
B'
Tr
\Ta
A*
A’A’
Xa
Ta
.
f ig 17
i*
Tb
iU
'-jU
B’
B'
B’
'Y
Tr
.
Ts
Ts
to¿.
'**<
Ib
Jb
recta
s1Ii conteniendo
Ello es posible, por ejemplo, llevando por I¿ la recta
conteniendo aa
recta s1
por Tá
A1, de modo que
qu£
coincida con I¿ • Con una.-paralela
para 1 e 1 a aa Ig v“ I¿
lá que
que_
I¿ por
queda definida
T
tÿ
,
definida
da determinada Ts; uniendo posteriormente Ts con T|j
Tu queda
,
def
ida
t
in
,
y con una paralela a ella por J¿ s
•
1 a fuga ?!<•
i L? .
luego, Tr
r; luego,
pertene¬
El plano o<f contiene a A y a B y consecuentemente aa r;
r;
luego,
Tr pertene¬
ce a tÿ e I pertenece a
Ia
-
.
.
14 •-PLANO QUE CONTIENE A UN PUNTO Y UNA RECTA.
paralela aa r,
r, la
la
Representando una recta s que contenga a A y sea paralela
r,
minación de iK.es inmediata.
i
s‘.
.
s'
s’
a'
A1
Ta
I
a'
Ja
Ja
la
A'
AA’\
Ta
!
&
Ia
Ta
Js
Js
Ts
Ir
Tr
a)
Tr
.
f i g 18
- K':
/
I:
A•I
r*
deter¬
dete.rdeter¬
V
IV -5-5 Ik
Is
IV
Ir
Ts
rr’
/
/
bj>
b;
lo£
í.U
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
15. r
-
Carlos J
Chesfievar
,V-6
V-6
;v-#
.
wcteaaaaf
'
INTERSECCION DE DOS PLANOS.
/V.
y
es aquélla que verifica la
La recta común a los planos
cond Ifelón
on
f c If ón
la
de pertenencia respecto tie los dos planos simultáneamente..
En consecuencia, la traza de r queda determinada por la Intersección
intersección
fntersecelon de
las trazas de los planos, y ©1 punto de fuga por la Intersección
intersección
fntersecelon de las
rectas de fuga
.
a)
b)
.
Tr
Tr
f í g 19
\
\*ü,
-fXx
Ut-
Aÿt
Aÿ>
\
Yv(p
\
16.- INTERSECCION DE UNA RECTA CON UN PUNO.
Se
utiliza nuevamente un plano auxiliar f que contenga a
y
determina en r* la proyección P' del punto
ción' dec*.
.
,
r.
intersec¬
Intersect
La Intersec¬
r. La
P,
común
P,
P, cpmtin aa rr yy
•
«o*
VlV A
/t]f
te*.
b)
i'o*
A).
?
. . Im
r1
r1
IV
Tr
TmTm
P
.
II-
f i g 20
TrTr
17.~ PUNO POR UN PUNTO, PARALELO A UNA RECTA DADA.
rec
Para que el plano contenga al punto, es suficiente que contenga
rec
contengaaa a lalarec
fuga
conten¬
ta a; para que sea paralelo a r, es suficiente que su recta
recta
recta fuga conten¬
;;
ga al punto fuga de r. De modo que uniendo I¿ con If queda
definida
quedadefinida
iÿ
por Ta.
la traza
es una paralela a
í nf
í n I !~
rectas,
Puesto que A puede estar representado por infinitas rectas,
5nfin
hay infini¬
rectas,hay
tas soluciones para el problema.
-
aV
A
/
/loe
tot,
Ta
'
b)
a)
Ta
A-
loi.
/
/
.*
4
TaiV
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/
Tr
r'
v' r!
Tr
TrTr
r
Ir
fig.21
?•
!
!'
• •* •
-
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
*.
V-7
V-7
Carlos J, Chesñevar
asaos
ttE
PROBLEMAS METRICOS
18-” ABATIMIENTO DE UN PLANO PROYECTANTE
Aunque el plano proyectante (plano que pasa por 0)
0) es
es un
un elemento
elemento con
ucon ucomo
bicaclón excepcional , es necesario estudiar su abatimiento
etapa
re
abat f m lento como etapa ppreÿ
pre
vía al análisis de los abatimientos de planos situados
tuados en
poslclones ge¬
eri posiciones
ge¬
néricas.
En princfpios interesa establecer la posición del centro
00
centro de
de proyección
proyecclon 0
abatido, para lo cual es válido el análisis realizado
11,
Cap.
T
t.
í
envTé'l
t,
H,
i
en,;al Cap.
izado en,Té!
Cap. If, Tit.
3 0 , f i g . 54. El radio de giro 0 ~ R del punto 0, se obtiene
abatiendo
el
obtfene abat f endo el
de_
triángulo 0RQo (fi.g.22—. b) ; el arco de centro R, con
radio,
con ese
radio,permite
ese radio,
permfte de_
d£
terminar el centro abatido (0) .
.
V
W
*y=¡V
/
41
/T-.
i
/
/
(0)
0o
R
-
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k= ’y :
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Co
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\
RR V :
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4..’
,-v.
f íg.22
—
\
\\
’ycf
0*
0*
V --0
i
a)
b)
b)
b)
una
Para determinar la posición que asume en el abatimiento
abatimiento una
una
tenerse
22,
en
fig.
nida
el plano proyectante Y de la
debe tenerse
tenerse
la recta abatida contiene a Tr y que r es paralela al
rayo
al rayo
I
pasa
(r)
.
que
¿
que
la
Luego,
auxiliar
es
determina 1
recta que pasa
pasa
lela a la recta que une (o) con I ¡- (fig.23~b).
conte
recta
recta
recta rrr conte_
conte
que
en
cuenta
en
cuenta
en cuenta que
que
proyectante
proyectante
proyectante
T
parapor
por
rr ,„ para¬
por T
paraTr,
.. v;
r
í*;
tyaJV2 r\
Tr
/
/
/
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V
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-
f I g .23
X
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Tr
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*ÿ
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\\\
RE*
RE;
Ir
a)
A.
V
o,
/
•
0*
Mwmn
b)
b)
mediante
obtiene mediante
se obtiene
, se
mediante
obtiene
El abatimiento de un punto P de r, de proyección P‘,,
se
aal aequivale
equivale
ello
(P);
(P);
ello
(r)
en
a
a~
al
(P); ell.o equi vale al
la recta que une (0) con P‘, que corta
24).
(f?g.2/s).
(fig.
P
por
pasa
que
.2 A).
batimiento dte 1 rayo proyectante
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
b)
r
a)
V
p
p’
0
I
/
/ Tr
/
/
y
/
/
fj,-
tysiyar'
N
"\óf
pv
Tr
7
0')
(rj
(r)
/
\oj
Apryÿ
to
/tpTvÿÿW
1
Oo
/ RV'7
/
/
ír,
R\
.
f i g 24
7
/
v-8
V-8
Carlos J. Chesñevar
Ir
.9 . “ ABATIMIENTO DE UN PLANO NO PROYECTANTE
—
\\
\
Ho*
una Fi¬
de una
Ffuna
de
Forma
Fi¬
Verdadera Forma
Forma de
gura plana.
il girar el plano c* alrededor de su traza hasta superponerse
superponerse
con
con
superponerse con
la recta de
siguiente:
abatida puede obtenerse considerando lo siguiente:
siguiente:
to¬
to¬
If ,,, to¬
1í
1f
En el abatimiento, el punto traza de la recta se mantiene
la
en la
en
la
mantiene
mantiene en
del plano.
rayo proyectante auxiliar de cada recta
to de fuga) es paralelo a la recta.
El
.
traza
traza
traza
pun¬
su pun¬
pun¬
(rayo que determina
su
determina su
determina
piano
plano
Los rayos auxiliares de las rectas de u están contenidos
el
el
en el
en
plano
contenidos en
su
proyectante auxiliar de oi (plano por 0, paralelo a <* , que
determina su
que
su
determina
que determina
recta de fuga ij, )
.
las
auxiliar,las
auxiliar,
Si son abatidos sobre TT tanto ot como el plano proyectante
las
proyectante
proyectante auxiliar,
conservan
conservan
rectas de << y los res pect i vos rayos auxiliares proyectantes
proyectantes
proyectantes conservan
í,¿
el paralelismo en el abatimiento, puesto que los ejes de
giro
giro tÿ
de giro
t,ÿ eee ij;
tÿ
i=4
sonparalelos.
establen consecuencia, 1 a d 1 s pos i c i ón de una recta de
queda
queda estable¬
estable¬
abatida queda
ada mediante la utilización combinada de dos circunstancias:
as:
circunstancias:
circunstanci
) La traza Tr de la recta es un "punto de paso" de la recta
(r).
(r).
abatida (r).
recta
abatida
recta abatida
consecuentemenconsecuentemen) El abatimiento del plano proyectante auxiliar de =* (y consecuentemen¬
direccion
rece i ón
a dirección
di
1la
permite conocer
conocer la
te del rayo proyectante auxiliar de r)
de (r) (es paralela a la recta que une (0) con 1¿).
M
r'
<
r.
o
¡*\
i
v /
l
/
/
!\
L J/i(0)
/
/
ZTrr
Lt«
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\
lo<£-
\
Tr
Ir
/
/
A
/rÁ
Ob i(6)
%-M)
*7
\\ \
\
N.
\
\\ \
\s
f ig.25
7r~7
7o»0*
770“
Trif .
i?.
\
a)
b)
b)
b)
!.
proyec
de proyec
proyec
r,de
de
r,
de r,
de
’ara conocer la posición en el abatimiento de un punto P de
1a
(0)
(0)yyy P1,
P > la
P1,
la
;íón P‘, debe construirse una recta auxiliar que contenga
contenga aaa (0)
segrnentos
segmentos
los segmentos
que los
los
:ua 1 corta a (r) en (P). En efecto, puede comprobarse que
al
contiene,
al
los contiene,
contiene.al
los
* ( P ) y 0“(ü) son paralelos, por lo que hay un plano que los
(f j_
(0).
(0).(fj_
(P)
(fj_
(P)yyy(O).
;ua 1 pertenece P1; en consecuencia, estarán alineados P 1 ¡,,(P)
-
jura
26)
.
i
-
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
Carlos J
.
V-9
V-9
Chesñevar
anmi
a)
b)
b)
fa)
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s\ \.
\
£I’r,
\
0“0U
Por medio del proceso que acaba de estudiarse, es posible
ver_
posible conocer
conocer la
la ver_
ve£
proyección
su
por
dada
ó,
dadera forma de cualquier figura contenida en
dada por su proyeccion ó,
6,
figura
a_
1
p
una
por el contrario, es posible representar por su proyección
proyecc
i
ón
a_
'proyeccion una figura pla_
na conocida (abat imiento inverso). Posteriormente sera
será
sera estudiada
estudiada la
la homo
homo
cual
se
logia que se genera en el abatimiento, mediante la
11aa
la cual se facil.ita
faciljta
construcción gráfica,
NOTA: Es importante tener presente que, cuando es abatido
Harras_
abatido un
Harras_
un pp1 1aaano
no,,,"arras_
de
desplazamiento
puntra" consigo a todos sus puntos y sólo a ellos. El desp 1 azam i en to - de pun¬
puniciode
cond
c
t
i otos ajenos al plano que gira no debe asociarse en igualdad
igualdad de condicioincorrecto
es
ello
Por
nes, al desplazamiento de los puntos del plano. Por
Por ello es
es incorrecto
incorrecto
(o),
en
(0), óó6 que
en
decir que, al abatirse oc sobre ff , el centro 0 se sitúa
(0),
situa
en
que el
el
posición
((O)-P1.
rayo proyectante 0 P 1 se ubica, al girar o*. , en (O)-P'.
0 ) P 1 . La
e_e_
La posicion de
de e_
aba¬
el
con
asociadas
ba
a
elementos
sos
se dedujo anal izando -circunstancias asociadas con el. aba¬
t ¡miento de oí.,- pero no son consecuencia directa del
mismo.
del mismo.
mismo.
-
-
•
-
20.- CORRESPONDENCI A H0M0L0GICA ENTRE PROYECCION YY ABATIMIENTO
ABATIMIENTO DE
UNA F1
DE UNA
FI
GURA PLANA.
(Cap.
perspective
Puesto que un abatimiento puede concebirse como una
una pe
(Cap.
pers
pectiivv iidad
r spect
dad (Cap.
genera
perspectivas
3)
una
Ill, fig.
y que la proyección de dos figuras perspectivas
perspectivas genera
genera una
una
plana
figura
una
en
homología (Cap.lll, T i t . 2) , la representación de una
Pr£
figura plana
una figura
plana en
en Pro
Proÿ
homólogos.
yeccíón Central y su abatimiento, son conjuntos homólogos.
homologos.
persuna
corresponden
en
En efecto, las figuras F de <* y (F) de IT , se corresponden
corresponden en
una esta¬
en una
parsquedan
1T
,
quedan
esta¬
1T,
pectiyidad de centro
; al proyectarse desde 0 sobre
sobre IT, quedan
esta(proyec¬
tÿ
(proyec¬
tÿ
blecidas F’ y (F), figuras homologas. El eje de homología
hornologfa es
tÿ (proyeces(0)
(puesto
es
(0)
(puesto
homología
es
ción del eje de p e r s pee t i v i dad ) y el centro de homología
hornologfa es (0) (puesto
spect
de
per
dad
spect
per
de
centro
que (0) coincide con la proyección desde 0 del centro
centro de per spect iii vvv iii dad
dad
pers_
de
planos
la
los
$<*,). Se trata de un caso particular, ya que uno de
de
pers_
la
planos
de
pers_
de los pianos dela
figuras
figuras
las
de
una
consecuencia,
pectivídad coincide con el cuadro; en consecuencia,
consecuencia, una
figuras
una de
de las
las
coincide
homología
homología
de
perspectivas coincide con su proyección, y el eje de
de hornologfa coincide
coincide
con el eje de perspect i V i dad
.
a)
£>c
c
\
/r,
F'
xa
YYV
0¿
\
X\
{
\
X
r
O
YV
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\
\
\\
\
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(F)
i*
1Oo
TT
r
\
\
\
&
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CFJ<(F)<
f ig.27
:o0o
u*
w
¿i
A—
0o
0o
0o
'01
'01
CO)
b)
b)
b)
impro¬
punto
de todo
todo
impro¬
punto improproyección
todo punto
La recta de fuga del plano contiene a la proyección
proyeccio
n de
<<
abatido,
de
conjunto
«<
abatido,
pio del plano c< ; luego, todo punto impropio del conjunto
de << abatido,
conjunto de
fuga
de
la
que
recta
fuga
de fuga
la recta
que la
recta de
tfene su homólogo en i
anterior que
Se deduce de lo anterior
homología
existen
la
)
homología
existen
de un plano es una recta límite (Cap.lll, T í t 3 de la
la hornologfa ex
is ten
(fÍg.2Ü)
plano.
del
puntos
(fíg.2$)
te entre la proyección y el abatimiento de los puntos
plano. (fig.
del piano,
puntos del
25)
.
.
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
VV-10
- 1100
-
Carlos J. Chesñevar
/
(r),
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p'
Ooÿ
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IVHK'
IVHM.'
VIVHH'
f ig .28
\
S-'S
S-S
b)
i(M)aa
/rAx
Ax* **
i
<c
Se determina a continuación la verdadera forma de 1 a figura
ABC,
contení
i
con ten~
igura ABC,
ABC, contení
da en el plano
——
/ÿ
/
0*
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XX
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B'
-
\
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a'a'a'
(MÜ
C'
C' \ \
\
Ua)
1(a)
A
a)
f ig . 29
b)
b)
b)
1(A)
(A)
ilA)
(MU
(MU
(M)ÿ
Í1-*
PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTA Y PLANO»
un
de
fuga
de
un
de un
fuga de
de fuga
.a posición del punto de fuga de una recta o de la recta de
cuadro
el
con
ro
cuad
cuadro
con elel
Nano, depende del ángulo que la recta o el plano forman con
paplanos
papianos pafuga, yyy planos
»sií es que rectas paralelas tienen el mismo punto dé fuga,
trazas
las
que
trazas
las trazas
que las
alelos la misma recta de fuga. En general, puede decirse que
de
recta
recta
de
recta de
recta óó6 recta
nd i v ? dua 1 I za.n la posición (punto de paso en TT de una recta
relativa,
dirección
a,
relativ
relativa,
reccion
a s o en 1T de un plano) y las fugas individualizan la dirección
re
orientación
re
re
recta)
orientacion
ó la orientación
.ángulo de la recta con IT ó inclinación de la
ativa (ángulo del plano con 1f ó inclinación del plano).
direcciones
dlrecciones uu u <3
* u e d e entonces preverse que toda cuestión subordinada a direcciones
sí)
podrá
ser
se r
sf)podrá
podra ser
tentaciones relativas (ángulos con 1T ó de elementos entre sí)
planos
y
rayos
pianos
rayos y y planos
expresada o analizada sólo en función de fugas (o de los rayos
=ÿ<. es
per_
proyectante
per_
es pejÿ
proyectante<*.<*.es
¡royectantes auxiliares). En efecto, si un plano no proyectante
x
será
a
paralelo
¡x.
PeL
per_
CK
sera pejÿ
jendicular a una recta no proyectante r, todo plano paralelo
paraleloa a será
rere_
posiciones
i
ones
c
pos i
re_
sendicular a toda, recta paralela a r; en consecuencia, las posiciones
fuga
de
punto
fuga
puntodedefuga
lativas de la recta de fuga común a todos los planos y del punto
a
construcla
constru
:omún a todas .las rectas, quedan condicionadas de acuerdo a a lalaconstrue-e: i ón gráfica que indica la figura 30.
)
GEOMETRÍA
DESCRIPTIVA ~ Carlos J
-
VVV-111 11
C hesñeva r
-Wd
..
r
cA.
cA,
cA
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\
s
i¿Áa,
y,
IT
TT
-*2-
Oo
I'r
IV
Ir
b)
b)
-
f i g 30
-
Dado entonces un plano
por su traza y su fuga (fig.31),
(fig.'3l),
(fig.
31), para
para determi¬
e term i ddetermi
lie
na'r el punto de fuga de las rectas perpendiculares
Oí se comienza por lie
res aa ¡*
dibuja
var una recta perpendicular a ieL por 0o, determinando
ra
un
R;
se
ra_
R
dibuja
R;
un
;
minando
dio, del círculo de distancia perpendicular a la recta
anterior y se
se une
une
recta anterior
su extremo 0“ con R, La perpendicular a R-0ÿ por 0* determina
punto I
determí
el punto
determi na el
su tra
buscado. Una recta con fuga en n » cualquiera sea su
proyeccion yy su
tra
su proyección
za, es perpendicular a c< .
¿U.
ín
X'Inn
A
/1
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/
0 /
0o
Oo
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A
„0o
/
/
/
/
.
f i g 31
RRR
b)
b)
a)
todos
de
la
todos
de todos
fuga de
la fuga
fuga
fuga, la
fuga,
su fuga,
Dada una recta r por su proyección» su traza y su
(f-ig.32).
análoga
.
32}
forma
(f
.
g
i
oga
(f-ig.32).
análoga
ana
1
forma
los planos perpendiculares a r se determina en forma
(f
0*
\1
/ \\\
\
i-v:\
ír
°0o
Rfe
rl
a)
Tr
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Oo
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OÍ.
Tr
Tr
Tr
b)
b)
b)
ree
una
un
punto
entre
rec
una rec
punto I,!,
un punto
entre un
Ip! yyy una
La relación establecida en la forma estudiada entre
dis¬
de
círculo
al
respecto
disde
cfrculo
al
ijc
dis¬
respec to al círculo de
del cuadro» se denomina an t i po 1 ar i dad respecto
ta
a
1la
que
iei,
la
recta
iÿi, yyy que
que la
recta ¡«i,
de la
la recta
tancia. Se dice que el punto 1ÿi es el antipolo de
perpendicularidad
de
condición
dad
1
a
i
r
i
cu
rpend
pe
de
condicion de perpendicularidad
es la antipolar del punto I,!,. La condición
recta
siguiente:
modo
siguiente:
modo siguiente:
del modo
entre recta y plano puede entonces expresarse del
fuga
de
punto
el
sí,
si
fuga
de fuga
punto de
el punto
sf, si
si el
-Una recta y un plano son perpendiculares entre sí,
la
corresponden
en
an.tipol¿
antipola
!a
en la antipoU
corresponden en
de la recta y la recta de fuga del plano se corresponden
11aa
que
deci
también
rse que
que
decirse
tambien decirse
la
ridad respecto al círculo de distancia. (Puede también
antipolo
de
la
sea
el
la
re£
de
po
o
i
1
an.tipolo
sea
de la re£
el ant
condición es que el punto de fuga de la recta sea el
re£
antipolar
plano
la
sea
antipolar
la antipolar
piano sea
sea la
ta de fuga del plano, ó que la recta de fuga del plano
del punto de fuga de la recta).
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
Carlos J. Chesñevar
V- 1I 22
35ÍSf7JS»'CK53*M«
Z’STi'.MZKiiVSr KS«S«
22.- PERPENDI CULARIDAD ENTRE
RECTAS,
Se puede asegurar que una recta es perpendicular a otra,
otra, si se demuestra
que una de ellas pertenece a un plano perpendicular a la otra. EEss cond
condi¬
?
ción equivalente a la anterior que una de las rectas sea paralela a
un
plano perpendicular a la otra, resultando más útil esta ultima forma e
n
en
el método de la proyección centra 1 , puesto que la condicion
condición de paralel
U
paralelé
is
mo tiene menores requerimientos que la condición de pertenencia.
Dada entonces una recta a (fig.33), puede asegurarse que otra recta b es
perpendicular a la recta a, sí b es paralela a todos los pianos
planos perperid_i_
per pen di
perpendi
cularés a la misma; para ello, el punto de fuga I¿ debe pertenecer a la
, que es la antipolar del punto f
recta de fuga
-
.
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fig.33
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-ka.
=?>b -ka.
(3.ka
(3-k o.
(3-ka.
j=í>b
antipolar del'otro
del'otro se
Dos puntos tales que cada uno pertenece a la recta antipolar
se
per_
Dos
rectas
son per_
llaman puntos ant í rec f procos Luego, puede enunciarse: Dos rectas son
procos.
.
reefíí procos
rec
pendículares entré st , cuando sus fugas son puntos a n t i rec
.
23.™ PERPENDICULARIDAD ENTRE PLANOS,
si se
comprueba
se comprueba
Se puede asegurar que un plano es perpendicular a otro, sí
mis¬
otro.
mis
For la
la mis¬
Por
que uno de ellos contiene a una recta perpendicular al otro. Por
la
condición
utilizar
condicion
ma razón que en el punto anterior, es conveniente utilizar la condición
ellos
dee ellos
es
paraleÿ
p a r a 1 e_
e$ paraleÿ
e 1 1 os es
equivalente: Un plano es perpendicular a otro, si uno de
lo a una recta perpendicular al otro.
-
perpendicular
(f i g •3ÿ) , otro plano /ñ será perpendicular
perpendicular aa
Dado entonces un plano
cuales
su
cuales tienen
su
,
tienen su
cuales
las
a
perpendiculares
si /3 es paralelo á las rectas
la
fuga
P
de
debe
$
la
antipolo
P
Luego,
de
fuga
de
debe
la
,
recta
la
fuga
iÿ •
de
debe
punto de-fuga en I
contener a 1ÿ.
A/,(3
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j—> p-L
otra,
de
antipolo
se
otra, se
se
de la
la otra,
antipolo de
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Dos rectas tales que cada una contiene al punto antipolo
son
planos
Dos
son
pianos
son
Bos
planos
enunciarse: Dos
llaman rectas ant i recíprocas Puede entonces enunciarse:
ant
recfprocas..
ant ii recíprocas
perpendiculares entre sí, cuando sus fugas son rectas antirecíprocas.
.
GEOMETRIA DESCRIPTIVA -Carlos J. Cbesñevar
24.- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS»
__
13
V"
V ““ 13
sa&atsam
a una
una
que pertenecen
pertenecen aPara determinar la distancia entre dos puntos A yy B que
contiene aa
que contiene
recta r, se realiza el abatimiento del plano proyectante
proyectante que
(Tit.
abatimiento,
22-24).
abatimiento,
la ve.r
ver
la recta
así, en el aba 1 1 m 1 en t o , la
18, fig.
Se obtiene asf,-en
dadera magnitud del segmento AB (fig.35)*
8'
B'
Q)
IB)
IB)
r
B
¥
0>
%
X
—
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fig.35
ír
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LL
,
,
RR
(r)
r)
(r)
Si
_
A'
{'A)/
\
\
XV
fxV
b)
b)
r*
r*
a)
los puntos estuviesen dados por dos rectas, es necesario
pre¬
obtener pre~
necesario obtener
) >> oo bien
viamente la recta que los cont i ene (T i t 1 3 , fig.
que
plano que
bien un
un piano
f i g.17)
1 7)
pase por ellos (Tit. 14, f i g ,1 8 ) ; en este ultimo caso,
el
puede apl
aplicar
caso, se
caso,
se puede
fear el
abatimiento estudiado en el título 19 (en general
deter_
general,
general,
plano que
el piano
se de.teÿr
que se
, el
mine tendrá una posición genérica).
Si
.
.
25.- DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO.
Li.) se
(
La distancia entre el punto A (A', a , T a » Ti) y el piano
, << U.)
Li.)
se
(tÿ
piano «ÿ (
»,
Es
determina con igual criterio que. e! aplicado en el Cap.
.70.
.
Cap .. II,
II,
II, fig,
ff i g.
Es
70
d£
cir, se representa una recta n que contiene al punto
perpendicular
yes
punto AA y
es perpendicular
)
al plano »¿(fig.36). Determinado el punto interseccion
»c(T i t.1 6)
de nn con
con «<(Tit.l6)
i ntersecc i ón de
el problema se reduce a determinar la distancia entre
pun_
el pun.
punto yy el
ese punto
entre ese
to A (Tit. 24)
-
.
tu1
wy
4
\
\
\
Iq
o»
—
•
,0a
t
U
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/
\\
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\
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1\
\\
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\ /
\
A
\
Á
A’
RR
n'
f ig.36
Ufa
Ua
Ta
b)
b)
n
a)
26.- DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA.
-
El procedimiento es análogo al aplicado en el Cap.
decir,
decir,
es declr,
Cap. 11,
II,
II, fig.
ff * g 71;
7 ? » es
se conduce por A un plano o< per pend i cu 1 a r a la recta
Para deterdeterr. Para
dada r.
recta dads
¡vi i nar
o-c , se procede a cambiar de representación
medio
por medio
punto A,
A, por
A,
on al punto
de una recta m que tenga su fuga Irj, en la antipolar de
de 1ÿ..«
If
.
Los pasos siguientes (no Incluidos en la flg.37)
flg.37)
determinar
en determinar
consisten en
37) conslsten
el punto intersección de c< con r, y la distanciael pun
ese punto
punto yy el
distancia entre ese
purÿ
to A, equivalente a la distancia entre r y A.'
-
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
V-1144
V-
Carlos J. Chesñevar
a'
R
A’
A
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Xa
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j_sfc~
Im
b)
Tr
Tp
Tr
27.- DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS,
La distancia entre dos planos paralelos
distanÿ
y ft es equivalente
d i s tan_
la dístan_
equfvalente aa la
perpendicular
cía entre dos recta a y b definidas en ¡>< y (2> por un plano
perpendicular
piano Y
~i perpendicular
al
a los mismos. Si el plano Y es situado de modo que contenga
segmento
al segmento
contenga al.
Siendo
0-0o, su traza es perpendicular a las trazas de
y de (S> . Siendo proye£
proye£
tante, Y contiene al rayo auxiliar de las recta a y b, por
Enes in¬
que es
lo que
por lo
efecto,
mediata la determinación de las rectas abatidas. En efecto,
(a) contiene
(a)
contiene
efecto, (a)
a Ta y es paralela a Iá“G*; (b) contiene a Tÿ y es paralela
(a). La
d¡£
(a).
La dis_
dis_
paralela aaa (a).
..
Lancia entre (a) y ( b ) equivale a la distancia entre =ÿ:y
.
ft .
I
/
<y
f O.
Ja
i
!
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a)
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a
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b)
28.- DISTANCIA DE UN PUNTO AL
/9
/
f ig.38
a)
a)
a)
CUADRO,
siendo NNN
PN,
siendo
segmento
PN * siendo
segmento PN,
La distancia entre P y el cuadro está dada por el segmento
el
Abatiendo
piano
plano
el plano
Abatiendo el.
el pie de la perpendicular al cuadro que pasa por P. Abatiendo
llevan¬
conocida
llevanllevan¬
conocida
P-N
queda
conocida
,
la
y
P,
distancia
a
a
que
contiene
0-0o
Y
determina
El punto N- se determina
previamerÿ
determina previame£
previame£
do por N una perpendicular a t„.5¡¿
te llevando por Tr una paralela a I¿-Q0.
.
'O*
\0«
'O'*
—
\
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\\
\\
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p'
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X
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a)
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Tr
f ig.39
íMjL
/
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s.l i /
//
/
//
IV
I'rIV
b)
\\
r*
r*r1
GEOMETRÍA
DESCRIPTIVA
15
V”
V-15
Carlos J. Chesñevar
-.Kr.-., 1ÿ7
29.“ DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS ALABEADAS «
la perpendicu¬
La distancia entre dos rectas gausas ay b, medida sobre ¡a
perpendicuI l,
el Cap.
en
aplicado
común,
lar
se obtiene con igual criterio que el
Cap.lí,fj_
gura 72. En el método de la proyección central, la representation
representación de ese
modelo geométrico resulta mas simple que en los otros metodos
re
repre¬
métodos de rep
sentación. En efecto (fig.40), la fuga
de la perpendicular coroun
común nn
i
queda de inmediato establecida como antipolo de la recta
(que
11
(que con
recta i ¿
contͣ
ne a
e I¿, puesto que £ es paralelo a las recta aa yy b)
b) .
. Los
Los planos><
planos
*
y /$ por a y b, con sus fugas pasando por I n > determinan al cortsrse
la
la
cortarse
recta n, que resulta asf coplanar con a y con b y perpend
i cular aa lasmlsÿ
perpendicular
las mís_
mas (puesto que lo es a ¿ )
B (intersecÿ
La distancia v.erdadera
verdadera entre A yy 8
(mterse£
(mterse£
ción de n con a y con b respectivamente), obtenida de acuerdo a lo
esta¬
lo establecido en el T i í 2 4 , equivale a la distancia entre- a yy bb.
.
b.
-
.
.
4{l‘n
/ps
\
\
\
&
a’
b\
OD
\
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1
-J- As
bb*,
\
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y(jn
y
y
°rh
y/
Tb
TQ
Ta
a)
S?B'
n'
.
f i g 40
4
A
b)
b)
y/
\
También puede determinarse la distancia entre dos rectas gausas si
si se con
con
duce por cada una de ellas un plano paralelo a la otra (fig.41),
(fig.4l), y se m_i.
(ffg.41),
de luego la distancia entre los planos.
bÚ
b'
1
„0a
Ql
•o.b—
°.hr~
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b}
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*)
8
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A
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V-
v>
v
J?
J».
A. ¡j
.9
,4.V/
vcJV
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
-
V 1 66
6
Carlos J. Chesñevar
30.- ANGULO ENTRE DOS RECTAS,
El ángulo que forman dos rectas gausas a y b es equivalente al que f
foro rman dos rectas coplanares paralelas a las mismas. Luego,
Luego» los rayos pproro yectantes auxiliares de a y b forman entre sf un ángulo
,
án¬
,, igual al an
gulo que forman a y b (fíg.42). El abatimiento del piano
plano proyectante Y
que contiene a los citados: rayos proyectantes, permite medir el angulo
ángulo
que forman a y b
-
-
.
b,
4
T
\
\
G
to)
t°)
Vf\r
•X\
O
Xt
Ta
Tb
i'b
\ 7ibC&r
X--:
\
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Ta
\
-w
Wtf
*Tb
f ig.42
b)
b)
Xí%
>
Á.
Ic¿
a)
31.- ANGULO ENTRE DOS PLANOS,
equiva¬
un diedro
diedro equiva¬
Los planos proyectantes auxiliares de <=< y /2> determinan un
queda
definida
y /3
La sección normal del mismo queda definida
lente al que forman
ii s_
mmisÿ
es lo
que es
lo que
lo m
por un plano £ perpendicular a la arista del, diedro1 (ó, lo
fuga
Luego,
diedro).
la
uto , perpend i cu 1 a r a los dos planos que forman el diedro). Luego, la fuga
i vamente).
respectivamente).
respect
de £ debe contener a los antipolos de i«L e i ¿ (1ÿ e 1ÿ respectivamente).
entre
ángulo
angulo ifif entre
El abatimiento del plano proyectante £ permite medir el ángulo
auxiliares
proyectantes
de
las rectas a y b , ,i ntersecc i ones de £ con los proyectantes auxiliares de
.
.
por tx. yy
, que equivale a la medida del diedro forreado por
y
.
*<ÿ
(b)e
\
>£,
ím
,'2
S'S
'°í
IW
\\
\
/ \
%
X
f ig.43
32.- ANGULO ENTRE RECTA Y PLANO.
fig.76,
conduce
.76 » se
conduce
se
se
conduce
De acuerdo al procedimiento utilizado en el Cap. II, fig.76»
el
determinándose
anel án¬
rm i nandose el
ánpor la recta un plano perpendicular al plano dado, determinándose
Para
dada.
recta
ase
.
Para
dada Para ase
recta dada.
ase
guio entre la recta intersección de los planos y la recta
, se conduce la
gu.rar la perpendicularidad de £ con
te me'd i r eí
permi
de
t
imiento
abat
El
de
polo
ant i
ü
(recta intersección de °*-y £ ), equivalente al ángulo
.
el
fuga
por
fuga de
de £
por
eel1
fuga
t£ por
de
y
r
entre
ángulo
rye
entre r y e
angulo entre
e
ángulo
entre
.
entre rrr yyy <**-.
entre
GEOMETRÍA
DESCRIPTIVA
- Carlos
V-T1 77
V-
J. Chesñevar
V-t 7
(0)
/
je
O0
/
a)
la
/ÿ\j£\0o
X
i
\
X
X
X
’\oÿ,
TY
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f ig
SF
ía
\
aa
V'
\\
le
le
a
\
W
. 44
b)
b)
Ta
\c&
»
Ta
[Ta
b)
Ta
33.- ANGULO DE UNA RECTA CON EL CUADRO (INCLINACION DE
RECTA).
UNA RECTA),
(INCLINACIONDE UNA
DE UNA RECTA)
se puede
puede determinar
determinar aa_
La inclinación de una recta (ángulo con el cuadro) se
~ a_
se
pued
e
que
determin
cuadro
al ar
contiene
batiendo e! plano proyectante perpendicular al cuadro que contiene
rra
al
a_
cuad
ro
que
cont
indica
figura
iene
la
yo proyectante auxiliar de la recta, tal como lo índica la figura 45.
45.al r£
nd t ca la figura 45.
de la
función de
la distancia
distancia
Es evidente que la inclinación de una recta es función
func
ion
de
fugas
cuyas
equidistan
la
distancia
de su fuga al punto principal; luego,
las rectas cuyas fugas equidistan
s
fuga
s
dean
geométrico
lugar
equi
Elcuya
del punto principal, tienen la misma 'inclinación. El
dist
lugar geométrico
de
lugar geometri
mismaEl inclinación,
en¬
inclinación,
es
co
todos los puntos de fuga de las rectas con una misma
es en¬de
a
incl
inac
principal.
ejem¬
el
En
ion,
tonces una circunferencia, con centro en el puntomism
es enprincipal. En el ejem¬
prindecipa
l.
de'
punto
la
circunferen
plo de la figura 45, toda recta cuya fuga sea un punto
En
el
ejemla c i rc.un f eren_
¡las
de- la circ
s)
.ren_
y
m
rectas
unfe
cía que pasa por I , tendrá una inclinación
; 1 a so rectas
(e jpunt
s).
(ej:las rectasm my y s).
.
(01
/
I
(01
/ \\
Oq
* *
\
Y’scP-'f
r'
\
\
'W
0o
\
l’r
TS>
,Is
a)
*
Tr
i
pi
X'I'm
m
Tm
Tm
I'm
b)
b)
b)
f ig.45
se
en 0o se
con centro
centro en
cuadro con
Por la razón apuntada, las circunferencias del cuadro
0o
cuad
ro
inclina¬
con
de
cent
círculo
el
ro
en 0o se
denominan CIRCULOS DE INCLINACION. Para construir el círculo de inclina¬
el
(0)
una
cfrc
por
ulo
lleva
de
incl
se
ina(0)
una
por
angular,
lleva
se
valor
ción correspondiente a determinado
comple¬
ángulo
se
1
1
eva
un
dís.tancia
por
(0)
una
un ángulo comple¬
recta que forme con el radio del círculo de dis.tancia
dis.
tanc
angu
determinar.
ia
un
lo
comp
interesa
le¬
determinar.
que
interesa
círculo
ángulo
correspondiente
al
mentario del
raal ar.
interesa determin
raal
perpendicular
Queda establecido así el radio del mismo, sobre la perpendicular
perp
endi
cula
al
rar
dio
por
l.levada
0o.
para
Inclinación
de
para
Se observa que e¡ círculo de; distancia es el círculo de inclinación
ten¬
mayor
inclinación
de
incl
inac
para
ion
tenmayor
inclinación
con
Las
rectas
de
45°.
las rectas con inclinación
exterior
en
incl
distancia,
y
el
inac
mayo
ion
r
tenexterior
y
distancia,
en
el
dpi
de
círculo
fuga
el
interior
en
su
drán
distancia,
los
hany representado
en el
exterior
los
las de inclinación menor de 45°. En la figura 46 se han representado
han
repr
esen
tado
70°.
los
círculos de inclinación, de 10° en 1.0o, entre 20° y 70°.
70°.
Carlos J. . Chesñevar
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
-
V-l
V 18
/
/
/
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j
/
/
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W'
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\
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i
f
V>-
j.
t
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Jo*
t
1
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«b:
\
i
CUÿ-U
;
!
/
/
/
I
:
/
f í g . -46
34*- ANGULO DE UN PLANO CON EL CUADRO (INCLINACION DEL PLANO),
PLANO').
PLANO').
dedemáxima
incli¬
máxima
La inclinación de un plano es la de una recta del plano de
incl imaxima incli¬
una
el
cuadro
con
(es
una
decir, queda medida por el ángulo que forma con
nación.
cuadro.una
conelel cuadro
mismo).
recta del plano que es perpendicular a la traza del mismo).
mismo)*
punto
susu punto
tendrán
, tendrán
punto
Todas las rectas de máxima inclinación de un plano
tendransu
que
recta
por
una
que
del plano, en el punto definido por
de fuga en la fuga
recta
una
a
por una rect que
la
a
equivale
la
la
a
pasa por 0O y es perpendicular a i i*.
a
La inclinación de mm mequivale
vale
equi
.
<=<. ,
inclinación de
para
ángulo
elelángulo
Puesto que GQ-I,], es el radio del círculo de inclinación para
anguloHJfHJf
parael
rse:
Las
enunc
la
la fuga de] plano resulta tangente al mismo. Luego, puede
Las
enunc
Las
iarse:
puede enunc la rse:
son
inclinación,
rectas de fuga de todos los planos que tengan la misma inclinación,
son
incl inacion, son
tangentes al círculo que corresponde a tal inclinación.
COI
\
\
\
y
v9Q°-y yO y‘
y ¡s
aI
\
í/
\y
v
ím
l'mIm
m
fia. 47
a.)<
y
y
Oo
b) b)
b)
rt
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
-
V-l
9
V-19
V.-19
Carlos J. Chesñevar
35.- RECTAS DE UN PLANO,, CON INCLINACION ?M '‘TINTA A LA DEL PLANO,
PLANO,
PLANO;
in¬
de un plano que tengan
inde term t rtada
Kenyan determinada
la
t
Que
ia t r a_
clinación, es necesario asegurar las respectivas condiciones:
a_
condiciones:
fu~
za y la tuga de la recta pertenezcan respectivamente aa la traza
traza y la fu¬
in
ga del plano, y que las fugas de las rectas pertenezcan
círculo
cf rcu lo de ín
al circulo
íji
pertenezcan al
de
la
con
recta
clinación correspondiente. La intersección del círculo
cfrculo con la
(Queda¬
(Quedafuga del plano determinara las fugas de las rectas en
cuestion. (Queda¬
en cuestión.
plano
del
rán determ i nados dos puntos, uno o ninguno, según la ubicación
piano
ubicación
ubicaciSn
y el círculo considerado).
Si es necesario localizar
rectas
con
fuga
con
fuga en
en
en
con fuga
En el ejemplo de la figura *¡8, todas las rectas de
son rectas del plano con i nc I 5 nac i ón de 30°.
e
ee I¿
,30o
30°
.30°
—
(0)
JM*
\
A
5»
7
'
X
X
y
0o
ibibibZ-
a)
bbbV
Tb
Tb
Tb
b)
b)
b)
.
\ÿyr’
f i g 48
\
36.- PLANOS QUE CONTIENEN A UNA RECTA, CON INCLINACION
DISTINTA
DE
DE
LA DE
INCLINACION
LA
D ISTI NTA AAA LA
INCLINACION DISTINTA
LA RECTA a
de
con
planos
de
Dada la recta r, nos proponemos determinar los planos
con inclinación
inclinación
inclinacion de
pianos con
tangentes
rectas
serán
es
tangent
tangentes
contienen. Las fugas de tales planos serán
rectas
rectas
seran
contie¬
las
al círculo de inclinación de 25°, y contendrán a
;;; las
contie¬
trazas
fcrazas contie¬
las trazas
nen a Tr y son paralelas a las respectivas fugas.
25° que la
fuga
es
recta
de
la
es
Se observa que el problema tiene dos soluciones si la
rectaes
de la
fuga de
iaia recta
la fuga
la
fuga
solución
si
ga
u
la
r
exterior al círculo de inclinación considerado, una solución
la
ruga
n
si
si
solucio
pertenece a) círculo, y ninguna sí es interior.
25°
25°
25°
(0)
a)
\)ÿ°
\
A
Tr
/
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//ÿ
\
y
\>
y
/
0
A.
IV
.
f ¡g 49
JL
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b)b)
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I
i
4
.
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
i
VI)
u¡uau
:«32;
üíiicsatfl
-
os J
C«.
1 -1
VVI-1
VI-1
Chesñeva r
PERSPECTIVA CONICA
1-- FUNDAMENTOS
con
de p£
con el fin
fin de
En los métodos de perspectiva se representan los objetos
poÿ
objet
os
con
el
finde
de
A
los
diferencia
de
1
los mismosos
ner de manifiesto la forma aparente
mismos. A dfferencia de
los
anteriores, en los
los
métodos de representación estudiados en los capítulos
anteriores»
capft
ulos
anter
iores
en
,
los
cuales se resolvían problemas geométricos en relación
relación
los elementos re_
re_
relaciona los
los la
eleme
ntos re
perspec¬
presentados (determinación de formas,, magnitudes, etc.),a con
con
etc.)que
, con
la perspec¬
efectivamen¬
tiva se pretende reproducir la sensación del observador que
obser
vador
que
efect
ivamenelegido.
te contempla el objeto desde un sitio convenientemente
conven i en teniente
temen
te
elegi
do.
Desde luego, esa sensación es función de la forma del objeto yy de la
po¬
la po¬
del objet
oresporidencia
y de la pocor
sición relativa del puesto de observación. Establecer esa
correspondencia
ecer esa cor resportdencia
es el objeto del estudio déla perspectiva.
distancia fini¬
La perspectiva cónica supone al observador situado
fini¬
situadoa auna
una distancfa
finies enton_
proyección)
ta del ob j eto ; e V pun to de observación (o centro de proyección)
enton_
de
proye
ccion
)
es
enton
(o
(o rayos
proyec¬
rayos proyecces propio, y en el mismo convergen los rayos visuales
visua
les (oElrayos
proye
tantes) dirigidos a los puntos s í gn i f i cat i vos del
decconjunto
cuerpo.
conjunto
cuerp
o.
El
conju
nto
de
proyección, determj_
cuadro de proyección,
¡las trazas de los mismos en la pantalla o
de
proye
ccion
,
determ
j_
na la perspectiva del cuerpo.
siguiente,
supone
siguiente, supone
La perspectiva paralela, que se estudia en el capítulo
capftulo
sigui'ente
,rayos
supone
paralelos
los
que el punto de observación es impropio, resultando
rayos
los
resultando
parale
lo-s
los
rayos
proyectantes. Tal ficción se. justifica tratándose de cuerpos de escasas
escasas
de
cuerp
os
de
escas
dibujosas
observador,
dimensiones o ubicados muy distantes del observador,
observador,permitiendo
permi
t
e
d
n
o
i
dibujos
más expeditivos que los realizados en perspectiva cónica.
conica.
2-- SISTEMA DE REPRESENTACION
.ÿ
cónica
De acuerdo a las definiciones del punto, anterior, la perspectiva cónica
la persp 00 representa
a conica
representa
es una proyección central en la que el centro de proyección ectiv
proye
0 repre
el ccion
mancuadro
se
ntanse senta
la ubicación del observador, suponiéndose además que
que
el
cuadr
o
se mantiene vertical (fíg.1).
terreno)
(o terreno)
suelo (o
representa
El plano horizontal tf, (llamado geometral) representa
representa el
terreno)
el
(o
suelo
el
cuerpo
represen¬
a
represen¬
"apoyado"
sobre. el cual generalmente se considera
el cuerpo a representar.
En relación al mismo sé mide la altura del observador.
observador.
Debe advertirse que, en principio, el geometral es un elemento auxiliar,
es un elemento
yy eTíVi ,, liar,
en auxi
no un cuadro de proyección. La perspectiva queda establecida
estab
lecid
en
a
IT
,
elio no requiere la superposición de los p 1 anos líj y tí
como sucedía eny el
11 ,,, como
ytT
como
suced
faen
el
técnicas
que ad_
método de Monge. No obstante se estudiarán luego algunas
técnicas que
aó_
algun
as
tecni
cas
que
adÿ
miten distintas formas de abatimiento del plano Tí,..
Tf,
En el modelo de la figura 1, quedan definidos los siguientes elementos:
-
-
-
siguientes elementos:
1 ..
, llamada fundamenta
fundamental.
(u horizonte).
i zonta
zonta 1 (u
0 o • 1 1 amada hor
horiz
ontal (u horizonte).
La recta f, intersección de tí, con IT
La recta h, paralela a f por
inferior
Los puntos 0 y £, llamados puntos de distancia superior
superior ee inferior
inferior
pect i vamente
e izquierdo
Los puntos D y D, llamados puntos de distancia derecho
derecho e izquierdo
.
pect ivamente
.
Cuadro
zfF
...
_
i
h
1L
I
0
Geometral
V
-Q_
P_
res
res
res
res_
re¿
res_
>6i 0
i
Q>
iOo
íA
A Qo
[D
iD
D
I
f
I
i
/
if
r—‘o-
ü£
üi
Hi
Q
0
ix
f
fíg 1
a)
b)
iJ
l
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
I -2
V 1-2
Carlos J. Chesñévar
las ca racter íst i cas de la proyección central
De acuerdo a
d uce:
l
(Cap.V),
(Cap.V),
), se de
(Cap.V
a) El horizonte h es la recta de fuga de todo plano horizontal.
horizontal.
horizontal. En conse
h. En parti¬
cuencia, toda recta horizontal tiene su punto de fuga en
en h.
cular:
a-l) Toda recta horizontal con inclinación de 45° (ángulo
) tie_
(ánguloo con 1T
Tf )
(angul
tieÿ
ti£
ne su fuga en el punto de distancia derecho o en el
izquierdo.
izquierdo.
el izquierdo.
a-2) Toda recta perpendicular a IT tiene su fuga en el punto
principal 0Q.
punto principal
0Q.
en un
a-*3) Las perspectivas de rectas horizontales paralelas concurren
un
concurren
concurren en
punto del horizonte (fugas coincidentes).
b) Rectas verticales (perpendiculares a
tas perpendiculares a la horizontal.
ííj )
perspectivas
tienen por perspectivas
rec¬
rec¬
perspectivas rec¬
la
;) Planos verticales tienen trazas y fugas perpendiculares aaa la
la horizon¬
horizontal.
de
además
las
Es necesario tener presente la consideraciones anteriores, además
las
de las
ademas de
siguientes pautas:
-
superior
poste
El objeto a representar se ubicará siempre en el diedro superior
poste
superior poste
r i or
-
El cono óptico (de vértice 0 y eje 0-Qo; conjunto de
tes dirigidos aí contorno del cuerpo) debe tener una
yor de 30°
:
.
~
.
rayos
proyectan¬
rayos
proyectanrayos proyectan¬
semiabertura
noma
ra noma
ma
i abertu
sem
ertura
no
semiab
3-- PERSPECTIVA DE UN PUNTO
posi¬
la
casos,
)el elemento a representar se debe conocer en todos los casos,
posi¬
casos, la
la posi¬
es¬
cuerpo
un
esción en relación al sistema cuadro-observador. En general, un
cuerpo es¬
un cuerpo
de
proyección
segunda
de
ion
proyección
proyecc
tará dado por un sistema de proyecciones (primera y segunda
de
segunda
3onge, llamadas planta y elevación respectivamente).
ortogonales
z,
z,
En principio adoptaremos una ter-jrj* de ejes mutuamente ortogonales
o.rtogonales xxx yyy z,
posi_
la
definida
pos
la pos£
según lo indica- la figura 2, en rll ación a la cual queda definida
[
definida la
ción de un punto P por sus tres coordenadas x , yyP , z
P
P
kz2
Az
AZ
h
9
IZ
—
/X
'
-y
f
0oOo
-A
+y
HH
~7H
f i g.2
otcowíü rjmttMjw/ewimít
a)
b)
perspecti¬
las
La perspectiva P quedará definida por la intersección de. las
perspectilas perspecti¬
par
de
de
rectas
vas de dos rectas: que contengan a P. La elección de ese par
de
pardede rectas
rectasde_
cidirá el proceso gráfico a seguir.
cuadro,
perpendicular,
alal cuadro,
Un modo de hacerlo es por medio de una recta n, perpendicular
cuadro,
perpendicular,al
P.P.
conteniendo
y otra . recta horizontal m, con inclinación de 45°, ambas conteniendo
conteniendoaa a P.
y
n,
para
principal
Las fugas de esas rectas son ya conocidas (punto principal
0o0opara
paran,n, y y
principal0o
consecuencia,
esessuf_í_
sufji,
punto de distancia derecho o izquierdo para m)
sufji_
consecuencia,es
En consecuencia,
para
cuestión,
para
cíente determinar las trazas de n y m para el punto P en cuestión,
cuestion, para
definen
cortarse
que queden de inmediato determinados n' y m', que al cortarse
definen aa a
cortarsedefinen
P(, perpectiva de P.
.
'•Ui
-
V- \
-
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
EB»
Parios J. Chssñevar
VI “3
"3
••
*BKSS»iMWJ*S5cams*#
rzar
la- construction
Puede' observarse (fig.3) que es posible % 1 s fcemat ¡-zar la
construcción gra_
gr£
fica, teniendo en cuenta que:
a) La traza Tn tiene en el sistema zÿy idénticas coordenadas
de
delI
coordenadas aa las
las
punto considerado.
b) La traza Tm tiene igual coordenada en z que el punto,
punto, yy se
t ra aa
encuentra
se encuen
(dado que
una distancia de Tn igual a la coordenada segun
según xx del punto
que
punto (dado
la Inclinación de m es de hS° > es P ~TfiB,TrV"Tm)
..
A?
A?
I?
rn
p
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iIfcfia
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ITT
™7H
Xp
a)
—
+y
+y
*<**«
*<**«
b)
Otro modo de lograr la perspectiva de un punto, es
es asociando
asociando el ssistema
i sterna
(llamaremos aa es
cuadro-geometral con los cuadros del método de Monge
Monga (llamaremos
esta
ta
técnica Perspectiva Con i ca ASoc i ada al Método de Monge
Monge)
Monge)
e!pl<s
admite el
Se admits
).« Se
pie
gado de los cuadros, resultando cada elemento dado
por sus
dos proyeeoio
proyaeoio
sus dos
dado per
nes, Incluso el centro 0. Se opera teniendo en cuenta
que la
perspectiva
la perspective
cuenta que
de un punto P es la traza en tí del rayo que pasa per
por el punto
considera¬
punto consfderado y por el centro de proyección 0.
La primera proyección
por 0>j
del rayo r se conduce por
segunda
la segunda
0-¡ yy PP *j-j 9„ yy la
proyección r 2 por
y Pg- La traza, vertical Ir equivale
la perspeeti~
perspecti¬
vale
aa la
va ,P 1 de P (pu esto que tí esta identificado conTfÿ).
conTfÿ).
(fíg.í})
f f g . k)
Tf& ).. ((fíg.í})
.
.
.
’
.
ffit-
0(|S 02
0
J.
P' i-
"Hi
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-
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\
\
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a Pura
altura
observ,
observ,
obwrVi
I
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fig.i!
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PaTr
Pair
(alejam.
7 ¡ (alejam.
7
7
alejam.
\.
\.
j
íobasrv.
obaerv.
'1
i
técnica, anterior,
técnica,
anterior.
anterior.
Es conveniente tener presente la concepción de la tecnlca.
aauunn
puntos, ya
numero elevado
ya
puntos,
elevado de puntos,
cuando su aplicación no es :adecuada para un ndmero
proyecciones y la ffgura
perspec¬
figura perspec”*
que se superponen en el dibujo las dos proyecciones
tiva.
-
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
-'4
V I -k
-4
Carlos J. Chesñevar
PERSPECTIVA DE FIGURAS CONTENIDAS EN EL GEOMETRAL.
.os elementos contenidos en el geometral (coordenada en z nula)p
nu
pe.rm
a) perm
nu 1 a)
e.r m i ten ,
»or ?u situación particular, establecer técnicas distintas,
generalmente
distintas, generalme
nte
\és simples, para obtener sus perspectivas (p.ej: la traza de toda recta
(el geometral está contenida en la fundamental ; la fuga en 1 a horizontal ).
;oanterioT* agregado a la circunstancia de que es frecuente
co*
recuente que se co¬
cotozca a un cuerpo por su planta y su elevación, índica que lai
construct ruecons
rue¬
:ión de una perspectiva puede desdoblarse en dos aspectos*.
i) Representación de la perspectiva de la planta (oprimer
primera
proyección
(o primera
a proyección
proyecc ion o
proyección ortogonal del cuerpo en el geómetra 1 )
i) Perspectiva de puntos que no pertenecen al geometral, en función
de
funcion
de
la perspectiva de sus primeras proyecciones.
e describen a continuación algunas formas de establecer la perspectiva
perspectiva
perspectiva
e un puntp de 1 geomet ra 1
na manera d,f hacerlo es, determinando la perspectiva de dos.
arbi
dos rectas
arb i
rectas arbir a r i as . (de 1. ‘ geome t ral), que contengan a 1 punto. En la figura 5-a
5-a
i ndT
5~a se
se indi
a 1 a cónS truccfón rea íi zada en lí, , por raediode ¡acual se
se determina
Va"
determina Va*
Va
osi c i onde las trazas y la distancia de las fugas al punto
punto
principal.
to principal.
principal. EE
lo pert i me dibujar en TT ( f i g 5 ~ b } las' rectas perspectivas aí
q ue
a \11 yy bb{
í1\1 ,, que
e cortan en P¡.
a técnica aplicada en este caso suele! denominarse "método de
de los
dos pun
los dos
pun
purÿ
;
~
os de fuga"
.
.
,
-
-
.
!
x
H-A =1 a,“0«
pi
H-B=l’br0o
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A
B"
H
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;
&
ü
4
4,
4
Ofc
+ysi
P:P:R1i
Tb i
fig.5
ó'
6'
\6'
7
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\
/
i
a)
Tbi
V.
7*Ts
i
Oí
i
+y=f
+ysf
+y=f
ía
5=
.
b)
utilizan
tambiéndos
ta.mbiendos
utilizan tambiéndos
En el llamado "método de los puntos de distancia" se utilizan
(fig.6),.
Sólo
45a
Solo
(fig-6).
(fig.6),. Sólo
A5~que
rectas que contienen al punto, pero con inclinación de 45a
fugas
las
fugas
las
que
es necesario determinar las trazas de esas rectas, puesto que las fugas
izquierdo).
izquierdo)
coinciden con los. puntos de distancia (derecho o izquierdo).
o .
zfi4
i
A¿
TT
.x
v;
6[
O»
h
.
fig 6
r
,45o
45“
í
*ysf
•Tb
-Jb)
I'afD
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4 +yg(
Jb
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;
RV
$/
H"
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’•
.
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
Il -5
VVI-5
Carlos J. Chesñevar
¡,; r v ¡s ir
,v
Cuando la figura del geometral está definida por ana
una c..urv&
, pue
regul1 a r ,
curva
pu£
1.i.rr regu
de aplicarse el "método del cuad r i cu 1 ado" (f i g 7 ) Consiste,
en.
i ste
d í bu ja
arr un
Cons is
en dibujar
t e. endibuj
cuadriculédo en Tíi con rectas paralelas y perpendiculares
0 b te_
perpendicu lares al cuadro. Obte
nida la perspectiva de la cuadrícula en tí (con auxilio de la recta m)
m) se
dibuja sobre la misma el tramo de curva que a cada
corresponde
cuadrado corresponde
cade cuadrado
en el geometral. Se obtiene así la perspectiva aproximada
figura;
aproximada de la figura;
será tanto más precisa cuanto más densa sea la retícula
l
izada.
úti
1
uti
a
reticul
. .
Obt£
ZF
: ,.z
Az
hZ
'
‘
Oo=I‘n
Oo=I'n
Oo=In
h
f¡g.7
-
ím=D
Im-DI
Im=D
+7L
ML
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•ÿTrns Tat
-y
-3vy=f
H
a)
TmaTa
TmSTaii\
/nñsTa
K
\
+y
+y
+y
HH
b)
geo
delgeo
del geo
El procedimiento usado en las figuras 8 y 9 supone
abatimiento
abatimiento del
el abatimiento
supon.e el
al
esta¬
contrario
sentido
al esta¬
estametral sobre el cuadro, haciéndose el giro en sentido
contrario al
sentido contrario
sistema
blecido para el método de Monge; por esa razón, se
este
sistema
este sistema
llama aaa este
se llama
í
"método de a ba t i m i en to i nd i recto" ¿
•
abatj_
el abat|_
en
situada,
La figura del geometral (semiplano posterior) queda
en el
queda
abatj_
situada, en
queda situada,
)
(
se
P
punto
de
un
)
(
|se
(Pj)
se
miento, debajo de la fundamental
punto
P|
un
punto
La perspectiva P]
P;
de
un
P]
en
homo
una homo
una
en una
homo
corresponden
determina teniendo en cuenta que esos puntos se corresponden
corresponded'en
su¬
sulogfa con eje en la fundamental y cent ro en el punto
de
punto
de distancia
distancia
distancia su¬
punto de
equivale
perior. En efecto, el abatimiento del geometral sobre
equivale
cuadro
el
cuadro equivale
sobre
el cuadro
sobre el
tfes_
des_
a una perspect i v i dad de centro Se y eje f; al proyectarse
sistema
sistema de¿
proyectarse
ese
ese sistema
proyectarse ese
h
1
es
Ill),
cua
a
en
ues uude 0 sobre tí se genera la citada homología (Cap. Ill),
la cual
cual hh es
en ,1,1a
Ill), en,
del
del
na recta límite (h contiene a las perspectiva de los
impropios
impropios del
puntos
los
puntos impropios
los puntos
.
geómetra 1
)
.
-
En la figura 8 b se obtiene pj, perspectiva de
recta cualquiera que pasa por el punto (Pÿ).
de
de
auxilio
con
auxilio de
con auxilio
p1
P1
P1 ,,, con
Tfel,
Tfel-j
IfeTi
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una
una
una
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a)
|(+x)
y(+x)
b)
b)b)
-
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
-
VV II -66
Cb.e.sñe.V3 r ..
Carlos.
uÿS9eawoioct?»t
C ,
iangulo A*|
En la figura 9. se ha determinado la :perspecti v¡a <d.el triángulo
A-|
Bjj|
Cj,
Cj,
Ai BBj
geometral.
contenido, en el
ZRT
. tx
,Z
ZTrrÍTTÍ
‘
B,
5a
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rico
CO
co
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fig.9
(A.
\ .
i-
(B,
(B,l*
tB,
jcx)
(X)
y(x)
a)
V*
b)
b)
5-- MEMC ION DE COTAS EN PERSPECTIVA,
-
necesario determi¬
Obtenida la perspectiva de la planta de un cuerpo , es necesario
dete.rnidetermi
puntos
pertene
nar, en función de la misma, la perspectiva dé los puntos
tos que no
no pertene
cen al geometral. Es preciso entonces estudiar el modo de determinar
determinar
determi nar 1la
a
de su
su
perspectiva de un punto cuando se conoce la perspectiva de
su planta y su
cota o altura.
es con¬
aspecto,
Si bien los sistemas de las figuras 3 y 4 resuelven ese aspecto,
as pec to , es
con¬
indi¬
que
método
veniente considerar, por su sencillez y practicidad, el método
indimetodo
indi¬
altura")
ca la figura 10 (llamado "método de la planta y. la altura").
r a M ).
que contiene
aal1
Si se representa la perspectiva de una rectal-horizontal que
con t \ ene al
contiene.
sus
misma recta,
punto considerado y la perspectiva.- de--' la planta de la misma
recta,
recta,
sus
distancia
horizontal, yy la
puntos de fuga coincidirán en un punto de la horizontal,
distarieia
la distancia
il
es i). es
fundamental),
entre sus trazas (ubicadas en una perpendicular a la fundamenta
11 )
fundamenta
gúal a la cota del punto
perspectiva
De lo anterior se deduce el proced imí ento: para determinar
la perspectiva
perspect iva
nar la
la
determinar
1
su
]
de
perspectiva
de su
P
PPi
de un punto P cuando se conoce su cota h y la perspective
perspectiva P
1 de
(intersec¬
desde
(intersec¬
(intersecdesde Tai
planta: se conduce por P;j una
recta cualquiera a] ; desde
Ta<l de P,
T‘ai
que
P, qü£
P,
cota de
la cota
cota
la
queÿ
ción ide ' lái misma con f ) se mide perpendicularmente a f la
de
con
h
(intersección
de
con
(intersección
on
i
de
h
con
ntersecc
dando determinado el punto Ta; al unirse Ta con Ia
perpendicular
la
perpendicular
aaa
perpendicular
*
la
La intersección de la
la- recta aj) queda determinada a
(se
1
dice
P
punto
(se
dice
P
dice
P
punto
punto
del
Pj
con a1 determina 1 a «per spect i va P
f '-l levada por
vamente
tguales).
• P 1
iguales).
vamente iguales).
que los segmentos P“j
y Ta -j
Tg són perspect i vamente
9
.
<
-
.
-
-
TT
tir
h
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T°i
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a)
b)
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
6.- PERSPECTIVA DE UN
-
.
ríos J
- '« «
VV 1-7
Chesñeva r
V-;1 1 ii'.IV-.Ms’MnXliiaBtgü
•- •-
CUERPO,
roen ppro¬
dado en
cuerpo dado
un cuerpo
En la figura 11 se ha obtenido la perspectiva de un
de
recursos de
los recursos
combina los
yecciones de Honge, siguiendo una metodología que combina
1 a re
10. Es
Es aplicable aalare
las construcciones realizadas en las figuras h y 10.
utilización
su utilization
frecuente su
presentación de paralelepípedos, por lo cual es frecuente
esdenomina aa esello se
se denomina
para el dibujo de perspectivas de edificios. Por ello
ta técnica "método de los arquitectos".
f i g. 1 1
Tz
Kz
h
Mx
%
i
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K
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6
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GEOMETRIA DESCRIPTIVA
PERSPECTIVA PARALELA
Vil)
VIVII -I
I -1
Carlos J. Chesñevar
AXONOMETRIA)
CA)
PERSPECTIVA AXONOMETRÍ
AXONOMETRICA)
(o
1*- SISTEMA DE REPRESENTACION
observación)
En este caso» el centro de proyección (o puntos de
de observación)
observacion )es
es improÿ
Improÿ
paralelas
rectas
paralelos,
y
pío. Los rayos de proyección son entonces paralelos,
paralelos, y rectas paralelas
resultan paralelas en la proyección,
,\Z
X
Az
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iyy
y
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'K1
b)
b)
b)
a)
//
el obje¬
A los efectos de establecer la correspondencia que
q ue existe
entre el objeexiste entre
a
referido
to representado y la representación, se supone que
aquel está
que aquél
esta referido a
planos
definen
tres
que
una terna de ejes x y z, mutuamente ortogonales,
ortogonales, que definen tres pianos
tres
y
tf, 0*2 IÍ3 ( f i g 1 ) : cada punto P define tres coordenadas
coordenadas Xp
Xp yp.Zp.
yp.Zp y tres
.
proyecciones ortogonales P-j
P2 p3*
de ejes,
.el
el
1T
Al proyectarse desde un centro S«, sobre un cuadro
terna
cuadro 1F
la terna
1T la
ejes,
terna deIT ejes,
.el
-pun¬
1
e
en
definidos
el
punto y las tres proyecciones ortogonales, quedan
quedan def tni.dos- en If el pun¬
P'-j
P)
PP ’i 1
(perspectiva axonométr i ca verdadera del punto
to P
P),, los
punto P),
los puntos
puntos
I
P)
las
de
y
P)
axonométrica
proyección
(primera,
y
P
segunda
y
tercera
proyeccion axonometrica de P)y
3
las
P‘2
.
z)
Las
y
ejes
z)
x
los
.
de.
rectas x .y1 z' (ejes axonomét r i eos , perspectiva
perspective de. los ejes x y z). Las
paralelas.
rectas
líneas así obtenidas en tí configuran tres familias
familias de
de rectas
rectas p.aralelas.
!
s
z
¥2
¥2
m
¿HT
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f ig.2
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H¿f
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GEOMETRIA DESCRIPTIVA
A2
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I -2
VV II 1-2
Carlos J. Chesñevar
TT
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xftl
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i
p;
X’
yy/
c)
b)
mod ifien
modifi¬
enIT
proyecta
IT modifi¬
TT
proyecta en
Puesto que cada magnitud real {cada coordenada) se proyecta
(el
(el
transformación
ransf ormac i on (el
cada, se deduce que, si se conoce el' coeficiente de transformación
para
para cada
cada
proyectada)
cada
proyectada) para
que transforma la coordenada real en la coordenada proyectada)
sy
'y
valores
y£ Zp,
va-lores x¡í
y¡!>
uno de los ejes, es posible establecer en x 1 y 1 z 1 los valores
Zp
Zp,,'y
x¡>
Xp y¡!>
la
ubicala
del
ubica¬
del
función
funcion
obtener en consecuencia P'. Los coeficientes serán función del la ubicade 11
de
direccion
dirección
del
ción del cuadro TT en relación a la terna x y z, y de la dirección
centro S» en relación al cuadro.
.-
co¬
coelementos,
elementos, co
Se estudiarán a continuación dos formas de disponer esos elementos,
a.
f
r
t
axonbme
a
axonometría
la
a
1
axonometría.
la
distinta
r res pond i endo en cada. caso una clasificación
2.- AXONOMETRIA ORTOGONAL
Az
nz'
T2
c/
f
Z
f ¡9.3
1
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GEOMETRIA DESCRIPTIVA
--
Carlos J
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I IJ .-3.
V VI
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Ches novar r
K3
aOttrainriTOTOfic:
dedeTosejes
los
superse ubicado §| sMadr© IT de modo que no contenga
contenganinguno
ejes
ngyno
losejes
n
i
al
ares
1
i
cu
rect.>".
recta", perpend
perpendiculares
x y z} el centro So éi el punto Impropió de las
las
recta". perpendiculares al
cuadro (es decir, se proyecta or togona 1 men te) .
De las condiciones anteriores se deduce:
,
planos
los
Tí, TT2 Tí¿
a) El triángulo XY2 (definido por las trazas enenff
lf tFde
Tíá
de
los
pianos
,
Tfÿ
Tf1
l o.
i empre. acutángu
llamado triángulo fundamental) será s sfempre
acutangufo.
obtusos.
b) Los ejes x'y'.'y'z', z'x' , formarán siempre
ángulog
sfempreángulos
angulosobtusos.
obtusos.
(cada
e
triángulo
(cada
del
c) Los ejes axonomét r i eos contienen a las alturas
ttrllngulo
alturas del
{cada
e
conque
je axonométrico es perpend i cu 1 a r a 1 lado opuesto
opuesto alal vértice
que convertice
)
l§
.
Tfa1T2
.
t í e ne
.
puede
d) Puesto que se proyecta or togona 1 mente , todo
puede
todo plano
pi ano paralelo
paralelo aa a ITIF conse
puede
resultado.
igual
En
ser utilizado cómo cuadro de proyección con
resultado.
fgual un
con
resulta
do.
En
conse
cuenc i a , el sistema axonométrico representado
representado por
pordeunun triángulo
trfangulo funda¬
funda¬
Luego,
su
sino
Luego,
mental dado no depende del tamaño del mismo
de
forma.
mismo slnohomotecia,
de su forma.
tuego,
forma.
Individuaÿ
todos Tos triángulos que se corresponden en
en una
homotecia, individua¬
una homotecia,
individual
1 izan el mismo sistema axonométrico.
la co¬
mide
lala cual
e) La unidad axonométrica (o unidad reducida, con
con
rnjde lala co¬
con
cual se
se
coequiva¬
es
axonométrico,
eje
equiva¬
ordenada en un eje axonométrico) en cada eje axonométrico,
axonometrico,es
es
equiva¬
ejes re
los
en
utilizada
(la
ejes
rere
lente al producto de la unidad verdadera (la
(laeje
utiliza
ejes
los
en
da
el
res
con
axonométrico
ales) por el coseno del ángulo que forma el
el
res
con
el eje axonometrico con el res
pect i vo eje real
<*ÿ
ángulos <x
los
de los
ángulos
/2>pyyy
f ) Llamando u.' $ y y'a los ángulos complementarios
complementarios
de
(b
os
angulos
los
i
tar
de
reales,
resulta
ejes
los
% que forman los ejes axonomét r icos con los
reales, resulta
los ejes
ejes reales,
resufta
2 tíC 4 eos 2
1
eos
+
equivalentes:
Reemplazando por las expresiones equivalentes:
ent es:
.
-
1$ eos2 t'
(1
-eos2 o< )
+ (T
-eos2 ¡i )
-eos2
Y )) sa83 11t
1
+ ((l-cos
ÿY)
Í
•
»ÿ
de don de r e s u 11a qu e :
2
eos 2 rf 4 eos 2 (b + eos2 ~Í
fijar’
pueden fijar*
no
puedan
reduce
Lo anterior indi cá que los coeficientes de reducción
ion
reducci
dn no
fijar*
pueden
no el
qut
de
dos
tercero
s;e arbitrariamente, sino que establecidos ;dos
ellos»
qtn
el
de
tercero
ellos#
dos
de
el
los,
el
tercero
qwt
que
menor
debe
ser
coeficiente
la:
que
la]
menor
ser
debe
da unívocamente determinado (cada coeficiente
coeficlente
debe
ser
que
t
manor
la
unidad)»
1la
a unidad)»
ni dad, y la s Urna de dos de ellos mayor que la
unidad) «
uno
vale
cada
Si los tres' coeficientes de reducción son iguales,
iguales,
fgUales, cada
cada uno
vale \pjjfuno vale
ISOMETRIC;
ORTOGONAL
AXONOMETRIA
En tal caso, la perspectiva se denomina AXONOMETRÍA
ISOMETRIC:
ORTOGONAL
AXOMOME
I
ORTOO0N
TR
A
AL
ISOMETRIC*
equi
látero.
ó MON tíM ETR i C A
El triángulo fundamental es equi
látero.
equ i 1 d te ro 4
perspectivi
tercero,
la
del
SI. des, coeficientes son iguales y distintos del
tercero,
del
tercerofundamental
perspect
, la
la perspéctívi
iesivi
triángulo
METRICA,
El triángulo
. se llama AXONOMETRIA ORTOGONAL Df
trfangulo fundamental
fundamental es
es I-f
eo see Tes .•
TR
la
ÁXONOMETR I A ORTOGONAL
Siendo distintas las tres escalas, se tiene la
la AXONOMETRIA
AXONOMETRIA ORTOGONAL
ORTOGGNAL TR
MET R 1 CA . El triángulo fundamental es escaleno..
de
a partir de
de determinar,
determinar»
En los gráf icos siguientes se muestra el modo de
deque
determ
f na
r , aa partir
de
part
r
f
conoce
posible
hace
íó
,
triángulo fundamental, los ángulos, cíe (h y /
ble conoce
íó
que hace
lo que
hace posi
posible
conoce
=ÿ
.
TR<
tres unidades reducidas.
las
Az’
&
+
4,
gft
.......
\
/
í
i#
I:
/
>Ffo 5 HRA
(árge centror*dfe %í4 t
'
\
X
X
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(óí
f ig.5
•}
/
/
/
/
\ d’V
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..
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X
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A
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óSfeja
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GEOMETRI A
Car 1
-
D E SCR I PT I VA
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"Ch e s ñ e V a r
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V 1 1-4
I A¿i
VI
'TOSS»
••
V
J
'
'ÿ
“
%-
•.
«?
••
Cuando se establecen previamente dos de las unidades- reducidas
(o dos
dos de
de
reducidas
s (o
dos.de
reducida
los a n g u 1 os ), la disposición de los ejes axonomé tríeos se obtiene
el
el
con
obtfene
proceso gráfico señalado en la siguiente figura.'
i
--
i
|
i
(o)
(x)
íx\
CP)
\
I
/
\
>: A
ÍK~~
I
/
\
Q'
/
o'
s/
d'
a)
X
b)
b)
x'
X;
f ig.6
(O)
i
K
—
/ÿ '
/
i
-¿
-X
A
/
¿V
y
í$á
i
/
y
/
/
Sÿy
yY
yV
x
d)
x'
c)
arco centro o'
3-- ’AXONOMETRIA CABALLERA
El cuadro TT está superpuesto con el plano Hj? , dé modo que los
los
axono
ejes axono
los ejes
oblies
obl¡~
métricos y1 zl coinciden con los ejes reales y z. La proyección
obi ies
on
proyecci
(única
unidad
(única
y
magnitud
eje
cuadro;
x'
ubicación
del
de
la
la
al
unidad
ux
(unica
jc.ua
ux
centro
¡reducida) dependence la dirección que se adopte para el centro
En
centro S .. En
con
que
forme
con
que
forme
con
práctica, se dibuja arbitrariamente al eje x‘, de modo
j la
forme
que
modo
zr
9*
v
Jkz sz‘
3ÿ
y.
Uz 5Uz
süz
0
,Uz
!
Cx
Uy
0
j
rt*
fyx‘
Ux
ir=íf2
¥=I2
nvTf2
= o‘
U,2U'y
Uy=Uy
Uy -Uy
y=y'
Ei
5»
Xx'
*fÁ
/
f
f ig.7
a)
30o<« < 60’
L <Ük_< ir
J
T
Ux
b)
b)b)
<>
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
I -5
VVIVI 11—5
i -5
arlos J. Chesñevar
MftVSHJeeUHKMM
r b i t r a r i amen_
el eje y un ángulo comprendido entre 30 y ¿0°, yy se
adopts aarbitrariamen
se adopta
arbitrariam
en
1/2
1/3
re
t
id
rend
te la unidad reducida
iré
, de forma que esté comprendió-.:
1/2 yy 1/3
comp rend i d-.
tre 1/2
1/3
de la unidad verdadera. Es conveniente respetar esos
para oobte¬
abbttee
valores para
esos valores
ner una buena perspectiva.
La construcción de una perspectiva caballera se facilita
h<a
facilita aplicando
aplicarido la
ho_
la hoÿ
axonométrico
logia
mo
que se genera al asociar el sistema axonometrico con
ssistema
i sterna
el sistema
con el
de Monge (fig.8). El abatimiento de Tfj sobre ]f equivale
perspectivj_
equivale aa una
una perspectivj_
perspective
corresponden¬
dad; al proyectarse el sistema desde S« , se establece
una
corresponden-'
establece. una corresponden
c i a homo 1 óg i ca entre los puntos de 1T, abatidos (primera
Monge)
(primera
(primera proyección
Monge)
proyeccion Monge)
y la proyección en íf de esos puntos (primera proyección
...EE11
))
xonome ttrrií ica
aaxonome
proyeccion axonomé
ca)
impropio
eje de la homología es el eje'y; el centro es el punto
de
rec
punto impropio de la
rec
laafi¬
(se
de
una
ta que une los extremos de los segmentos (ux) y u5'
(se
trata
c (se t rata de una aftujC
nidad homológica).
--
** \
u¿
Para determinar la perspectiva del punto P-j, se conduce
(p-j)
(
conduce por
por (Pj)
P ]) una
una rec
rec
al
misma
eje
corta
ta (a]) paralela a (x) ; por el punto en que la-misma
corta
misma corta al eje de
de ho¬
ho¬
mología pasa la recta homologa a], paralela al eje
(puesto
que.
xl
(puesto que,
eje x1
qu e ,rectas
x j (puesto
rectas
)
P
una
paralelas tienen proyecciones paralelas). Pasando
de
j
Pasando por
por ((P-j)
ITnea de
una línea
de
(Pj)
elel
en
a
determina
-j
referencia que contiene al centro de homología UQO ,,, se
a]
se determina en
punto
a]
P].
Tengase presente que la homología sólo es aplicable
determinar
pr[
aplicable para
para determinar
determinar la
pri
la pn
encontrar
Para
mera proyección axonométrica (perspectiva de la planta).
encontrar
planta). Para encontrar
la perspectiva del punto P, se lleva por P 1 una paralela
eje
yse
al
zz y.
mi_
paralela al
eje z
al eje
ml_
y- se
se mj_
(puesto
P
la
que
de sobre ella, desde P ¡ , la cota verdadera del punto
(puesto
uu~
punto P (puesto que la
la unidad axonométrica según z es igual a la verdadera),
verdadera),
así
deterÿ
verdadera), quedando
quedando así
asf deter¬
minado P 1
.
A
ai
¥
y
Az
S0*
r
p!/
/
KVL
IR-
ux
ai
/
! A
:
yR\(
\
\
i
1
\
\\
\
\\
\
\\
\\
\\
f;)
fv
\
\
u« /IR
! /
1
x>
-S».x
\
\
\
\
\
\
\
¡(a.)
\
\
\
x'
3
s
\
\
\
\\
\
iy
iy
l
W
t*i)
\
\
\
|(x)
v<x)
fig.8
y= y SLL
i=vy
ii
'<ux>
Kux>
'<ux)
y
/
/
p\/
II
4
0‘0‘tf
i
/
/
Ifelíÿd,
ITsfÿaCni1)|
n2ÿz.
= zZ .
b)
a)
.
.
2,5
de
cubo de
un
paralela
En la figura 9 se representa en perspectiva paralela
de 2,5
paralela un
2,5 ccc rnmm .
un cubo
i
ca
;en
ortogonal
i
sométr
;en
i
ca
ortogonal
sométr
de arista. En el primer caso, en una axonometría
í
axonometría
axonometrfa ortogonal 5 some t r i ca ;en
el segundo, en una axonometría caballera.
z'
Az'
/
¡
l
I—
:
b)
b)
b)
l.
a)
\
K
f i g.9
y)ÿy/
/
IKAIUIUI
n
?
>
4
*
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
Ggsssaaattsxaawai
-
V IIII I - Ii
VI 1 I - i
Carlos J. Chesñevar
ESSáO
VIII)
CURVAS
!•- GENERACION
CARACTERISTICOS,
- CLASIFICACION - ELEMENTOS CARACTERISTICOS.
CARACTERI STT r-J5.
definición, puede con
La forma de generación de una curva, y por ende su
su definición,
ende su como
def ini
cion, puede de
con
de
intersección
intersección
cebirse de distintas maneras: en unos casos resulta
como
resulta
resu
lta
como
i nterseccposi¬
ion de
posi¬
dos superficies; en otros, como lugar geométrico de las
sucesivas
sucesivas
las
geom
de lasi ón
suce
sivas posigeneralmente
ón
ú 1etri
ciones de un punto móvil, resultando esta
t i macoconcepc
ulti
ma
conc
epci
on
generalmdel
ente
desplazamiento
más práctica para definir y clasificar las curvas.
curvas. El
curv
as.
desp
El
azam
1
ento
i
del
punto
punto generador puede ser dado por una ley de movimiento para el
movi
mien
to
para
el
punt
con¬ o
un con¬
para un
mismo, o puede estar condicionado al movimiento establecido para
movi
mien
to
esta
blec
para
ido
un
conetc.)
junto geométrico (línea, figura,
punto.
pertenece el punto.
al cual pertenece
pertenece el punto.
curva infj_
la curva
de la
infj_
puntos de
Llamaremos puntos contiguos o consecutivos a dos puntos
dos puntíinfinitamente
os
la curv
infj_
te a pe¬
n i tamen
Hitamente próximos, y elemento rectilíneo al segmento
nf ide
segmento
segmcomo
ento el
i nflímite
? n i tameal
pen tecual
queño que determinan (puede concebirse a la curva
límite
como
curva
cual
curvelementos
a como el rectilíneos).
lfmite al cual
rectilíneos).
tiende el polígono comprendido por los infinitos
infinitos elementos rect i 1 f neos).
planas yy alabeadas.
Las curvas se clasifican, en principio, en planas
planas y alabeadas.
plano.
CURVAS PLANAS: Todos los puntos de la curva pertenecen
un plano.
pertenecen aa un
pertenecen a un piano.
punto gen£
CURVAS ALABEADAS: Se denominan también de doble curvatura.
curvatura. El punto
gen£
doble curv
a. El punt
un
en
permanecer
eno gen£
un
de
rador se desplaza, en este caso, sin la restricción
deatur
restricción
iccion de
anecerplano.
en un
en perm
el mismo
plano.
plano. En- general, cuatro puntos contiguos no estarán
mismo
estaran en el mismo piano.
En relación a las curvas, se llama:
conti¬
no conti¬
puntos no
dos puntos
RECTA SECANTE: Es la recta que corta a la curva en dos
en dos puntos no conti¬
guos.
a cu
r_
contiguos de
de 1la
puntos contiguos
RECTA TANGENTE: Es la recta que contiene a dos puntos
air_
punt
cont
os
iguo
s
de
a
1
que
cuerda,
con¬
recta
cujr
o
(se
que
con¬
va
puede expresar también como límite de la cuerda, o recta
cuerda, o recta que con¬
tiene a un segmento rectilíneo).
de la
la
punto de
un punto
tangente en
en un
PLANO NORMAL: Es un plano perpendicular a la tangente
tang
ente
en
un
punt
de
o
ala
y
al
mismo
común
a
y
punto
al
común
pasa
por
punto
el
curva. Toda recta de ese plano que
punt
o
comu
al
n
mism
y
o
a
la curva, es una recta normal a la curva.
al
pertenece al
que pertenece
punto, que
un punto,
RECTA NORMAL PRINCIPAL: Es la recta normal, en un
un
punt
o,
que
pertenece al
plano de la curva,
da
plano cb
al plano
que es
normal al
es normal
RECTA B1N0RMAL: Es la recta normal en un punto, que
que es normal al piano de
la curva.
rectilíne¬
elementos rectilíne¬
dos elementos
ANGULO DE CONTINGENCIA: Es el ángulo que forman dos
dos
elemento
s rect
ede
cur¬
contiguos).
un
Para
deilfn
cur¬
arco
un arco
Para
os contiguos (definidos por tres puntos contiguos).
cont
iguo
s).
Para
un
arco
de
cur¬
pun
corresponden
a
esos pun
corresponden a esos
va AB, es el ángulo que forman -las tangentes que
que corresponden a esos pun
tos.
iguos(cu
contiguos(cu
puntos cont
tres puntos
CIRCULO OSCULADOR: Es el círculo que contiene a tres
tres
cont
punt
?guo
os
ede
los
mediatrices
las
ede
loss(cu
yo centro está definido por la intersección de las mediatrices
las
medi
atri
de
ces
elos
puntos).
tres
esos
puntos).
lementos rectilíneos contiguos comprendidos por esos tres
esos tres puntos).
corresponde
que corresponde
osculador que
CENTRO DE CURVATURA: Es el centro del círculo oscuiador
oscu
correspoos
lado
que
r
nde
cu
círculo
un
definen
oscu
círculo
un
definen
ABC,
contiguos
al punto considerado. Tres puntos
ABC,
defi
nen
un
cfrc
ulo
oscu
la
curva.
de
B
punto
el
curva.
la
B
de
punto
el
para
curvatura
de
lador cuyo centro es el centro
para el punto B de la curva.
al
corresponde al
que corresponde
osculador que
RADIO DE CURVATURA: Es el radio del círculo oscuiador
oscu
que corresponde al
lado
r
punto considerado.
í
Normal
Tangen le
f i g.1
BB
B
A
rrr
P
7
a)
b)
Centro de
de
de
curvatura
curvatura
curvatura
1A
Circulo oscuiador
osculador
osculador
,e
le
c
rifV
....
"G E Ó M ET R I A DESCRIPTIVA
-
Carlos J . Chesnevar
-2
V 1III
I ¡MI ”2
en
cociente
como el cocient
een_
CURVATURA: Se define la curvatura media de un arco AB corno
tangentes
extre¬
sus
¿f
(ángulo formado por
tre el ángulo de contingencia
tangentes extremas) y la longitud del arco C = J/s.
1a
expresada por la
La curvatura eri un punto cualquiera de una curva, está expresada
consecuti¬
uticonsec
relación entre el ángulo que forman dos elementos rectilíneos
fneos
rectil
dtf
/
vos (ángulo de contingencia) y el arco comprendido: C == dtf
d If /ds.
ds.
/ds.
En un círculo de radio R, el arco s que corresponde a un ángulo
interior
angulo interior
curvatura:
y vale: s ** f ,R. Reemplazando en la expresión de la curvatura:
curvatura:
C
= í/s =
/ 2T . R
.
—
1/ R
cualquiera
punto
Luego, la curvatura y el radio de curvatura para un punto
cualquiera de
punto cualquiera
recíprocos.
recfprocos.
correspondiente)
una curva (o para el círculo osculador correspondiente)
ente) son
son. recíprocos.
curva
una curva
de una
punto
Los 'conceptos que acaban de definirse valen para cada punto
punto de
contiguos.
s,
contiguo
contiguos,
alabeada, en el plano que definen los dos elementos rectilíneos
fneos
rectil
Para las curvas alabeadas, se define:
ABC
puntos
ABC
PLANO OSCULADOR: Es el plano determinado por tres puntos
contiguos ABC
puntos contiguos
oscu
círculo
al
ene
(o los dos elementos rectilíneos consecutivos) Contiene
oscu
cfrculo oscu
al círculo
Contiene al
pun¬
al
correspondiente
punal pun¬
lador y, en consecuencia, al centro de curvatura
respond i ente al
to B de la curva.
consecuti¬
osculador.es
consecuti¬
La relación entro el. ángulo que forman dos planos osculador.es
osculador.es consecuti¬
de
denomina
la
de la
vos y el elemento de arco comprendido (dtf /ds) se denomina
la
torsion de
torsión
denomina torsión
la
torsión
curva
plana,
curva (es independiente de la curvatura; para una curva
la torsión
torsion
plana, la
curva plana,
es nula-) •
.
2.- PUNTOS SINGULARES DE UNA CURVA.
curva,
la
divide
curva,
la curva,
PUNTO DE INFLEXION: Es un punto en el cual la tangente divide
divide aaa la
B,
(para
punto
el
B,
y tiene en común con ella tres puntos contiguos ABC (para
punto B,
el punto
(para el
el centro de curvatura es impropio).
pasa
generador
punto
pa sa
PUNTO MULTIPLE O NUDO: Es el punto por el cual el punto
pasa
generador
punto generador
más de una vez. Puede haber una o más tangentes.
generador
el
punto
generador
punto generador
PUNTO ANGULOSO O DE RETROCESO; Es el punto en el cual el
el punto
dos
una
Puede
haber
dos
una ooodos
cambia bruscamente el sentido de su des p 1 azamí en to . Puede
haber una
Puede haber
'
tangentes
.
/
h
h
W
Vi
\\
1*2
a) Punto de
angulosos
c) Puntos angulosos
angulo sos
retroceso.
de
o
retroceso.
retroceso.
b) Punto
Múltiple
Inflexión.
vv
f íg.2
3 ‘ ~ CLASIFICACION DE CURVAS POR SU CONDICION EN RELACION
OTRAS»
RELACION
OTRAS
RELACION AAA OTRAS.
8
(que
puede
...
ENVOLVENTE E INVOLUTA: Dada una familia de curvas C1 c2
puede
(que puede
cn
(que
C£
•. cn
C2
c)
en¬
,
ama en¬
se
11llama
móvilil c)c)
concebirse como sucesivas posiciones de una curva móvil
ense llama
, ,se
(tiene
e
n
común
"envuelve"
v o 1 vente de esa familia a la curva E que las "envuelve"
comun
(tiene
en
(ti
ene
i
en
lve"
común
"envue
normal).
lala normal).
tangente
con cada curva, en el punto de contacto, la recta tangente
normal).
tangenteyyy la
dada,
se
familia
La-' curva móvil c que genera con su desplazamiento a lala familia
se
dada, se
familia dada,
denomina involuta de ese sistema.
..cn
de
curvatura
de
EVOLUTA Y EVOLVENTE: El lugar geométrico de los centros
de
decurvatura
curvatura de
centrosde
de
la
curva
C.En
una curva C, define una curva e que se denomina evoluta
C.En
curvaC.En
evolutadede lalacurva
r
relación a e, la curva C se denomina evolvente.
pero
la
curva
pu£
A 1a curva C corresponde estrictamente la evoluta e; pero
pue
perolalacurva
curvaeeepue
~
~~
puede
decir,
tener
de ser evoluta de otras curvas distintas de la C, Es decir,
puede tener
tener
decir,puede
se
aman
evoiuta
varias evolventes. Todas las evolventes de una misma evoluta
1 aman
se 1I 111 aman
evolutase
curvas para lelas
*
.
i
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
-
VVIIVII I -3
1 I -3
Carlos J. Chesñevar
£
Evolula
voluta.
Evolutq
Envolvente
C
C
kÿ
\s
N.
C3
\
\\
e
Involu la
,C2
f íg 3
S
b)
Evolvente
Evolvente..
Evolvente
4°“ CURVAS DE ERROR
e_
se dde_
Son curvas que se construyen en relación a otras
conocidas,
otrasconocidas,
conocidas,cuando
cuando
se d£
caracterís_
algún
elemento
sea determinar en éstas, por métodos gráficos, algun elemento caracterísÿ
caracte
rfs_
a conti¬
. SeSe dan
etc.)"
tico (tangente en un punto, centro de curvatura,
curvatura,etc.)
etc.).dan a continuación algunos ejemplos.
por
secantes
4-a) TANGENTE EN UN PUNTO P DE LA CURVA.- Se trazan
secantes
trazan
trazan varias
varias
secante
por
s
de
e_
partir
P.
A
en
el punto P, y un arco de radio arbitrario con centro
de
e_e_
centro
centro en P.
P.
partir
A
de
(o
proporcita
igual
(o
se arco, se mide sobre cada recta secante un segmento
segmento
proporci£
segmento igual (o proporc
ioÿ
La uula
nal) al segmento de la respectiva secante comprendido
curva.
lala curva.
comprendido en
en
curva.
La
ude
arco
al
corta
n ion de los extremos determina la curva de error
e,
corta
error e,
e,que
que
corta
al
arco
de
tangente t (el
(el punto R corresÿ
-
centro P en un punto R por el cual pasa la tangente
tangente t t
ponde a “cuerda nula").
(el punto
punto RR corresÿ
corresÿ
anterior
el método
4-b) NORMAL PRINCIPAL. EN UN PUNTO DE LA CURVA.- Por
anterior
el
Por
Por
el método
metodo
anterior
perpendicular
una
punto
el
se determina la tangente, y luego se traza por el punto una perpendicular
a la misma, quedando determinada la normal.
arcos
dibujan varios
4-c) NORMAL PRINCIPAL POR UN PUNTO EXTERIOR M.- Se
arcos
Se
dibujan varios
Se dibujan
varios
arcos
ex¬
los
en
centro
con
de centro M que cortan a la curva, y luego los arcos
en
centro
con
arcos
con
arcos
centro
en
losex
ex
magni¬
ala
igual
magni¬
a
la
tramos de los segmentos secantes definidos, con radio
radio
radio
igual
a
la
magniel punto
tud del segmento respectivo» Cada segmento secante
punto
con
interse£
secante
secante con
eldos
con el
punto
interse£
triángulos
define
mismo,
triángulos
cíón de los arcos dibujados en función del mismo,
dos
mismo, define
define
dos
triangu
los
la
determina
A,» BB ...
eq u i 1 á teros simétricos. La unión dé los vértices
la
determina
verticepunto
BN,...
s AA,
determi
la
na
pasa
cual
por
el
pasa
por
curva de error e, que corta a la curva c en el punto
cual
N,
el
N,
punto
por
el
pasa
cual
de
al arco
la normal principal' que contiene a M. (el punto NNN corresponde
corresponde
corresponde al
al arco
de
arco de
centro M que determina cuerda nula)-.
...
a) Tangente por un
punto de la curva.
t
R
nnn
P
\®
P
P
tt
n
f ig.4
B
\
\
£
G?5®!
N
ÍC
Ef
A
<£
~Q'L¿=~
—°¿z
<
0
íT"
t
,c
de
c) Centro
cu
tu ra
Centro
de
cu rva
rvatu
ra
Centro
de curvatu
ra
un
punto.
en un
un punto.
punto.
b) Normal principal por
un punto exterior.
,c
¡C
c
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
-
1 -4
V 1 ¡I \-k
1-4
VI
Vt
Carlos J. Chesnevar
(cen¬
4-d) CENTRO DE CURVATURA PARA UN PUNTO P.- El centro de curvat
curvatura
ura (cen¬
seob
principal,
principal,
ob
tro del círculo osculador) estará sobre la normal princi
la que se
pal, laque
se¬
tiene por el método oportunamente estudiado. Se dibujan luego
va-rias seuego varias
determinan.
cantes que pasan por P y las mediatrices de las cuerdas que
determinant
que determinan.
dj_
perpend_i_
perpen
Desde los puntos en que las mismas cortan a la normal, se miden
miden perpendj_
cularmente segmentos iguales (o proporcionales) a las respectivas
respect* vas cuer¬
extre¬
extredas, quedando determinada la curva dé error e por la unión
union de los extrees el
normal
mos de esos segmentos. La intersección de la curva e con la
(corresponde
(corresponde
spon.de al
centro del círculo osculador correspondiente al punto P (corre
punto de cuerda nula).
.
5.- FORMA DE GENERACION DE ALGUNAS CURVAS,
5-a) CONICAS.- Se. llaman así en razón de que se obtienen
un
al seccionar
seccionar un
obtienen al
y
nomcono con un plano. De la ubicación del mismo depende la forma
el
y
el
nomforma
veremos
el
bre de la cónica (elipse, parábola, hipérbola). Volvere
mos- sobre
tema
tema
el tema
sob r e el
remos
en ocasión de estudiar las secciones planas de un cono.
5-b) CURVAS C I C LO I DALES .- Una curva , puede ser generada por
ude upunto de
un punto
por un
resbalar,
otracur
sobre
na curva móvil m que se desplaza apoyándose, sin resbalar,
otracu
cur_r
res.-ba.lar,' sobre otra
va fija f ( 11 amado mov ¡miento de rodadura).
el
gene
vinculado
punto
Cuando la curva móvil a la cual pertenece o está vinculado
gene
punto gene
el punto
vinculado el
ge-"
se
rador, y la curva fija en 1 a que se apóya la móv i 1, son círculos,
círculos,
ge¬
se
ge¬
se
,
rculos
cf
en
Mama
este
so
ca
neran las curvas cicloidales. A la curva móvil se la llama
en
o
este
caso
este
en
llama
"ruleta" y a la fija "base".
' ..
curva
denomina
se
Según la ruleta sea interior o exterior a la base, la curva se denomina
denomina
es
hipocicloíde o pericícloíde respectivamente. Si el radio
de
es
la
base
base es
la base
de la
radio de
i nf i n i to ( recta ) la curva se llama cicloide ordinaria.
bier,ser
ser
El punto generador, en cada caso, puede pertenecer a la ruleta
oo bien
ser
bien
ruleta o
Según
circuns¬
esa
nscircuns¬
circu
interior o exterior a la misma (siempre en su plano). Según
Segun esa
prolon¬
acortada)
prolon*
tancia, se dice ¡qué la curva es normal ,o reducida (o acortada)
acortada) ooo prolon¬
••
•'
gada (o alargada).
.
.
•
•
,
Reducida
Base
Ala rqada
Normal
\
HIPOCICLOIDE
HIPOCICLOIDE
HIPOCICLOIDE
fig.5
X
/
K
-'v\
\
/
X \
/
Ruleta
\Nx x
\
\
x
\
X
.
\
\
\
\
\
X
rqada
Ala rqada
rqada
Normal
Normal
Normal
/X
\
Reducida
Reducida
Reducida
H
CICLOIDE ORDINARIA
.
/•V*
*
, , »>•
-
f ig 6
GEOMETRÍA
DESCRIPTIVA
-
Carlos J. Chesñevar
Vil
VVII
I I 1-5
1-5
HBtSCggft
wormala\
Ho
i
Cido
od°
A\ar3„oda
Re¿ÿ2-
PedÿS
X
Rui«i2.
"
\
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SJ
VJ
SJ
S\
Fíg.7
N
•<
\
\
/
/
PER I C i C L 0 I DE
Qase_
\
\
\
\
.-
5-c) ESPIRAL DE ARQU i MEDES
so
Es generada por un punto
desplaza so
punto que
que se
se desplaza
eel1
uno
bre una recta» la que a su vez gira alrededor de
de uno
de sus
sus puntos;
uno de
puntos;
a)
desplazamiento lineal del punto es proporciona] al
angu ¬
a 1 desplazamiento
desp 1 azam t ento angu¬
lar de la recta.
punto generador
Según el sentido de giro de la recta , admitiendo
adm
i t i endo que
generador
el punto
admitiendo
que el
es
espiral
dextrógira,
se eleja del centro de rotación, se dice que la espiral es dextrógira,
dextrogira,
(sentido de las agujas del reloj) o levógira. La
pun_
entre dos
La distancia
pun_
dos purÿ
distancia entre
del
punto
(desplazamiento
(desplazamiento
tos de la curva situados en la recta móvil (desp
en
1 azam i ento de 1 punto en
un giro completo) se llama paso de la espiral.
Eig. 8
ESPIRAL DE
Paso
ARQU I MED ES
por
generadas
admitirse
por
generadas por
5~d) HELICES.- Son curvas alabeadas, que pueden admitirse
admitirse generadas
línea
sobre
una
uniforme)
uniforme)
(con
línea
una
sobre una Itnea
movimiento uniforme) sobre
un punto móvil que se desplaza
de
forme)
rededor de
angular
al
uni
forme)
de
alrededor
angular uni
uni for
me) alrededor
plana, que a su vez gira (con movimiento angular
un eje.
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
-
Carlos J. Chesñevar
VVI
V 1i II 1-6
I -6
'JC'
<w>jff<oiogTOSCTiaicg.'»?
iwsxaíatmaarecjcoia»
el punto generador se desplaza sobre una generatriz
iz de
cilindro, la
generatriz
de un
un ci1indro,la
cilindradla
cual a su vez gira alrededor del eje del cilindro (ambos
(ambos movimientos son
son
uniformes) se genera la hélice cilindrica o hélice ordinaria,
ordinaria. En
desa
ordinaria.
el desa
En el
rrollo de la superficie cilindrica, los puntos de la helice
hélice determinan
determinan uu_
na recta. La distancia entre dos puntos de la hélice contenidos
la mis
en la
contenidos en
mis_
ma generatriz, se d enom ina "paso" de la hélice.
•?
Según el sentido de giro de la recta y de desplazamiento
en to del punto
punto gene¬
gene¬
rador, la hélice puede ser derecha (dextrorsa) o fzquierda
( s inistrorsa)
(s
izquierda (
i n i s t rorsa)
ror sa )
Aplicando la regla "del tirabuzón", 1.a hélice es derecha ... cuando
cuando el
el sent!
sentí
do de avance del punto concuerda con el de un tirabuzon
tirabuzón que
que ggira
i ra en
ii ••
en
gual sentido que la recta; es izquierda en caso contrario.
contrario.
contrario.
-
T
'"V
\|
o
tf)
fO
a,
/
2TTR
F í g.9
-
HELICE CILINDRICA
L1NDR1CA
—
a) yy la
es
hélice es*
a)
(fíg. 10-a)
la helice
En forma similar, se generan la hélice cónica (fig-10—
(fig.lO-b).
también;
fe rica, llamada
loxodrómica
b) HELICE ES.FEfUCA
ESFERICA
/
-hV*
Fig. 10
a) HEL ICE CON I CA
f/
Carlos, J. Chesñevar
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
•i
ates
-
1
!i!Xx-1
X-1
IX) SUPERFICIES,
!•- GENERACION
-
CARACTERISTICOS,
CLASIFICACION -.ELEMENTOS CARACTERISTICOS.
CARACTERISTICOS.
-
definíAl igual que las curvas, las superficies pueden ser
ser
generadas yyy definíser generadas
d ef i n i
puede
considerarse
superficie
co¬
das de diversos modos. En general, una superficie puede considerarse
considerarse co¬
co*
(o
(o
la
línea
de
una
mo el lugar geométrico de las sucesivas posiciones
la
e_n_
posiciones de una
una línea
Ifnea (o la en
en
arre¬
volvente de las posiciones de otra superficie) que
con
desplaza
que
se.
que se-,
desplaza con
se desplaza
con arre¬
arreparaca
glo a cierta ley, sea variando su forma o manteniéndola
constante
ten i endo 1 a constante
constante paraca
para ca
da posición.
o
En muchos casos, pueden aceptarse para una misma
superficie
distintos
misma superficie
superficie distintos
distint'os nimo
mo
generado
admitir
generado
dos de generación. Un cilindro, por ejemplo, se puede
puede
admitir
puede admitir
gene rado
por por una circunferencia que se desplaza, o por
gira
que
recta
una
apo_
por una
una recta
que gira
recta que
apo
gira apo
distintos
de
clasificar
yada en esa circunferencia. Por ello, es posible
de
posible claslficar de distintos
se
modos a las superficies, sin que esas clasificaciones
necesariamente
cac i ones necesariamente
necesa r I amen t e se
se
excluyan. En pr i ncipio son:
por
SUPERFICIES REGLADAS: Las que son (o pueden ser)
una
recta
ser) generadas
generadas por
por una
una recta
recta
en movimiento.
curva
en
por
SUPERF 1C I ES CURVAS : Las que son (o pueden ser) generadas
una
generadas por
por una
una curva
curva en
en
movimiento,
A su vez,
las superficies pueden ser:
de
DESARROLLADLES: Son superficies tales que la totalidad
sus
totalidad
total idad de
de sus
sus
roturas
roturas
produzcan
plano, sin que se produzcan
produzcan roturas
(se cortan
cortan
maciones. Dos generatrices contiguas son coplanares
(se
cortan
anares (se
do propio o impropio),
pueden superponerse con un
elementos
ernen tos
el
elernentos
ni
ni
deforni defor¬
en
un
en
pun_
un pun_
pun
en un
plano
un
sin
con
ALABEADAS: Son las superfices que no pueden superponerse
superponerse con
con un
piano sín
un plano
sin
consecutivas
que se produzcan roturas y deformaciones. Dos generatrices
generatrices consecut i vas
son a 1 abeadas
.
En relación a las superficies, se define:
RECTA TANGENTE EN UN PUNTO.- Es toda recta
superficie que pasa por el punto.
tangente
tangente
tangente aa una
una línea
Ifnea
de
la
de la
la
PLANO TANGENTE EN UN PUNTO: Es el plano que determinan
rectas
tangen_
determi nan dos
dos rectas
rectas tangen
tangenÿ
tes a la superficie en el punto (todas las rectas
un
en
tangentes
tangentes
un
punto
rectas tan gentes en un punto
punto
están conten i das en el plano tangente en el mismo
punto).
punto),
smo punto) »
En una superficie reglada, el plano tangente en un
un punto
punto contiene
c ontiene aaa la
la
recta generatriz que pasa por el punto. Si tal superficie
de¬
superficie reglada
reglada es
dees de™
una
sarrolladle, el plano tangente es el mismo para cualquier
una
cualq-uier punto
punto de
de
una
misma generatriz; si es alabeada, el plano tangente
general
en
d
s
t
dístiji
í
s
tangente es
es en general distirÿ
to para cada punto de una misma generatriz (dicho
una
por
modo,
(dicho de
otro
una
modo,
de otro mode, por una
generatriz de una superficie reglada desarro
b le
1 e pasa
liable
tan_
desarrollab
pasa sólo
solo un
un plano
piano tarÿ
tarÿ
gente; por una generatriz de una superficie reglada
haz
un
pasa
alabeada,
reglada alabeada,
reglada
alabeada, pasa un haz
de planos tangentes a la superficie).
n.
Se dice que una superficie es tangente a otra cuando
comúnn
cuando tienen
t ie n e n en
en común
cornu
punto o una línea, y el plano tangente que contiene
al
elemento
común
contiene al elemento común
comun
tangente a las dos superficies.
RECTA NORMAL EN UN PUNTO: Es la recta que contiene
contiene al
al
de la superficie y es perpendicular al plano tangente
tangente
un
un
es
es
punto
punto considerado
considerado
en
en el
el mismo
mismo punto.
punto.
Normal
Plano tangente
p ,
Ky-
L
—
—
•
y
V
y
v/
"H'
-rj
S*
_
Recia
Recla
ta tangente
tangente
tangen te
Pec
_Punlo
Punto
de frangenciq
tangencia
__Pun
to de
P
P/J
P£.
A
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x
s'
N.
<
\
>
\
a)
f íg. 1
\
b)
b)
b)
GEOMETRíA DESCRIPTIVA
-
I X - 22
Carlos J« Chesñevar
Rano tangente
Plano tangente
sX
R e c la de
/
/h
¡ \
tangencia /
/
-1
/
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/
a)
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4
/ 4T!
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Recia de
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X
\
X
X
\
langencia
\
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b)
b)
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c'1~1
-ri~
4rf
y<
\
S
/
X
\
f ¡g.2
U
k
X
2.- PROYECCIONES DE UNA SUPERFICIE.
El conjunto de los rayos proyectantes (desde un centro de
de
proyección
pro
de proyección
proyeccion pro
pr£
pío o impropio) que son tangentes a una superficie S dada,
dada,
determina
una
una
determine una
dada, determina
superficie circunscrita a la superficie S Si el centro
centro
propio,la
es
la susupropio,la
su¬
es propio,
centro es
perficie circunscrita es cónica, y es cilindrica si el centro
mp
mp roes
ro¬
centro
es iiimprocentro es
.
pió,
La línea de contacto de ambas superficies se llama ’’contorno
aparente"de
"contorno
aparente“de
Mcontorno aparente“de
la superficie S, y divide a la superficie en dos partes:
partes:
"visible"
una
“visible11 Yyy
una "visible”
partes: una
otra ”nb visible" (u oculta),
ge_
que
La traza en el cuadro de proyección de la superficie circunscrita
circunscrita
que ge_
circunscrita que
geÿ
adel
contorno
proyección
atangentes,
neran los rayos proyectantes
es la proyección
contorno adel contorno
proyeccion del
la
super_
pa rente; ella en general no es suficiente para individualizar
individualizar
super_
1 super_
individual izar aaa la
em
em
estarán
que
superficie,
ficie. Las proyecciones de otras líneas de la superficie,
estaran sssiiieifl
que estarán
superficie, que
~
acontorno
del
proyección
p re comprendidas en la figura que encierra la proyección
contorno aadel contorno
proyeccion del
la
en
visible
1a
parte
en la
párente, se di fe rene i an según estén situadas en la parte
visible ooo en
parte visible
respectivamente.
oculta, dibujándolas con trazo continuo y discontinuo respectivamente.
respect I vamente
.
V
-=r-s
/
—
o
----
f i g •3
:
AAZ
A
S*
I
Contorno aparente
dos
de
dos
proyección
de dos
proyeccion de
En la doble proyección ortogonal (Monge) , se tiene la proyección
prop¡£
de
las
propie_
de
las
propieÿ
las
de
conocimiento
contornos aparentes. Tal sistema, agregado al conocimiento
conocimiento
permite
etc.)
permite
etc.) permite
generación,
dades de la superficie representada (forma de generación,
generacion,etc.}
resolver problemas inherentes a la misma.
r?
¡ }
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
-
I IX“3
X-3
X“3
Carlos J. Chesñevar
MUCLSSBms:
£32l
Kv
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A
T
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S
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t:
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\
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‘22'2
v
M
4
Si
s
.
f Ig *»
f--i
3>- CONSIDERACIONES SOBRE SUPERFICIES REGLADAS *
eng
3~a) SUPERFICIES RADIADAS: Son superficies que pueden
pueden ser
engend
endrada
por
ser engendradas
r adass por
en
una recta móvil (generatriz) que se desplaza apoyada
apoyada en un
fijo
un punto
punto fijo
fija.
(vértice) y en una curva (directriz) plana o alabeada,
alabeada,
alabeada, también
fija.
tambten fija.
forma
y
Son siempre des a r ro 1 1 ab 1 es Según la posición del
vértice
la
del vert ice y la forma de
de
la directriz, resulta:
p r oÿ
Superficie Cónica: La directriz es una curva; el vértice
vertice es
un punto
es un
punto proÿ
pr£
pío.
cu
anterior,
r
Superficie Cilindrica: La directriz, como en el caso
anterior, es
caso anterior,
una cur
es una
cur
va; el vértice es un punto impropio.
polígono;
punto
Superficie Piramidal: La directriz es un polígono;
polfgono; eel
elí vértice
vertice un
p u nto
un
.
propio.
es
el
polígono,
Superficie Prismática: La directriz es un polígono,
e( vértice
polfgono, yy ai
vertice es
es
propio.
¡Hi¬
i rn~
i rn
-
casos,
alabeada.
Ila
a
La directriz puede ser una curva plana o alabeada.
alabeada, En
cases, la
ciertos casos,
Ert ciertos
di
la
si
ejemplo,
d
i
ejemplo,
la
(por
si
superficie radiada equivale a una de revolución (por
{por ejemplo, si contie¬
la di
que
perpendicular
recta
rectriz es un círculo cuyo plano es' perpendicular
a r aaa la
recta que
la recta
que contie¬
coivtiese
geri£
superficie
radiada
ne al centro del círculo y al vértice; la superficie
gene
se gene
superficie radiada
radiada que
que se
)
c
1
i
revo
u
ón
ra en tales condiciones es un cono de revolución).
revolucion).
--
.
b) CILINDRICA
CILINDRICA
i
h
a) CONICA
é
1
//.///
7
/
Hj
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I
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JsMZZi&ZU
fig.5
c) PIRAMIDAL
y
A
SUPERFICIES
4
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,/v
RAD I ADAS
/
77 /
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,
/
7
y
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/7
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//
//
7
~7
7
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\y\/„/
/
MX-
rí) PR
d)
PRISMATICA
d)
I SHAT I CA
-
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
A
X-J»
II XX-k
!
Carlos J, Chesñevar
u
«a»»'
3-b) REPRESENTACION DE SUPERFI C I ES RADIADAS.
El contorno aparente de una superficie radiada estará constituido
por rec
rec
constituido por
tas .(generatrices),. La proyección del contorno aparente, en
consecuencia,
en consecuencia,
conseeuenc i a,
queda definida por t razas de planos proyectantes. Cuando la
es
superficie es
la superficie
superficie; si
es pj_
p_[_
cónica o cilindrica, esos planos son tangentes a la superficie;
si es
por
pasan por
que pasan
planos
ramidal o prismática, se dicen planos rasantes (son planos
pianos que
algunas aristas, entendí endose por tales a las generatrices
por
pasan por
que pasan
generatrices que
los vértices del polígono directriz).
.
3-c) SECCIONES PLANAS DE UNA SUPERF Í C I E RAD 1 ADA
superficie yy un
una superficie
un
La curva (o figura) determinada como intersección de una
superficie
es
la superficie
es
plano, se denomina sección plana de la superficie. Si la
puede aque puede
plana, que
aradiada, cualquier sección plana determina una curva plana,
ceptar.se como directriz,.
que. dos
see
es que,
dos see
radiadas es
Una característica importante de las superficies radiadas
sec
(identificando
(identificando
a
las
las
a
sucesiperspectivas
cualesquiera
son
sucesi"
planas
ciones
cando
royectantes,dos
rayos
rayos pp royectantes,dos
vas posiciones de la generatriz con un conjunto de rayos
per s
una perscorresponden en
en una
secciones planas de una superficie radiada se corresponden
de
proyección
la proyección
proyeccion de
pec t i v i dad con centro en el vértice). En consecuencia, la
de
cualquier
una superficie radiada, en cualquier sistema
sistema de
de
dos secciones planas
(Cap. 111).
Ello
permiti¬
III). Ello
representación, determina dos figuras homologas (Cap.lli).
Elio permiti¬
permiti(con
por homología
homología
rá, conocida una de las secciones, determinar la otra por
homologfa (con
proyección
de
rec¬
la rec¬
centro en la proyección del vértice, con eje en la proyección
proyeccion de
tie la
superficie).
ta intersección ile los dos planos que seccionan a la superficie).
-
obtenerse,
desde
desde
La intersección de cualquier superficie radiada puede obtenerse,
de s de
(como recta
ii nd
recta
luego, determinando el punto en que cada generatriz (como
n d ii vv ii
la sección
sección
plana
dual) corta al plano; la unión de todos los puntos es la
plana
seccion
cambio,
es
sufi¬
sufi¬
es
cambio,
en
homológica,
buscada. Para aplicar la correspondencia
sufiel prj_
obtener el
para obtener
ciente hallar la intersección de sólo una generatriz, para
mer par de puntos correspondientes.
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SECCION PLANA
DE UNA PIRAMIDE
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GEOMETRIA DESCRIPTIVA
-
Carlos J
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-
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X 5
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Ches
Chesnevar
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Cuando as necesario determinar < a intersección
>et;cion de
superficie con
de una
una
una superficie
con una
la
plano
recta.
contiene
que
a
recta, se. recurre a la intersección con un piano que contiene a la recta.
recta.
En tal caso, es conveniente usar como auxiliar
iar un
piano proyectante
que
un plano
proyect ante que
hallar
la
contiene a la recta, en razón de que es más simple
\ a sección
simple hallar ia
ph
seccion pía
na (una de sus proyecciones es, un segmento).
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Fig.7
“
INTERSECCION DE UNA RECTA CON
PRISMA
UN PRISMA
CON UN
3~d) S.ECC10NES PLANAS DEL
.
C0N0\-‘\
CONICAS.
CURVAS CONICAS.
CAS.
un pp iII aa
con
es seccionada
seccionada con
Cuando una superficie cónica (dé,, revolución) es
un
con un
la
Según
ubica
se obtienen curvas de segundo erado , llamadas
llamadas Cónicas..
ubica
Conlcas.. Segun la ubica
ción del plano, resulta:
en
ELIPSE: Cuando el plano corta a, todas las generatrices
en puntos
generatrices en
puntos propi
props
perpendicular
el
plano
cu 1l a
a rr
(la circunferencia es un caso particular, con
rpend
plano pe
con el piano
ii cu
uno
de
cada
distancias
de :íJ
de
eje del cono). En la elipse, 1 a suma de las distancias
cada uno de
de
(1a
constante
una
plano,
es
(1a
co
(focos)
constante
una constante (1a co
es una
de su piano,
plano, es
puntos a dos puntos fijos
co
mayor).
semí-eje
tante vale 2a, siendo a la longitud del semi-eje mayor).
de
punto de
PARABOLA: Cuando el plano es paralelo a una generatriz.
Cada punto
punto
generatriz. Cada
recta
(foco) yyy de
una recta
recta
de una
plano (foco)
parábola equidista de un punto fijo de su plano
(foco)
una
piano
ja del mismo (directriz).
La dif
superficie. La
HIPERBOLA: Cuando el plano es paralelo al eje.de
ddíf
eje de la
la superficie.
if
puni:
dos
a
hipérbola
la
puni
hipérbola aa dos
rencia entre las distancias de cada punto de la hiperbola
puni:
fijos de su plano (focos) es una constante.
(circular)
la
base (circular)
secciona,
(circular)
secciona, la
la base
SE se da un cono recto y un plano que lo secciona,
la ppp
luego,
guras’
i
vas
perspect
;
luego,
cónica)
vas ; luego, la
son f t guras' perspect fi vas
la sección normal (curva
proyección
homologa
la
de
proyección
homologa de
de la
la proyecc ion
yección de la cónica puede obtenerse como homologa
la base.
<V
homologa
como
puede
obtenerse
homologa
como homologa
obtenerse como
puede obtenerse
También la verdadera forma de la cónica puede
realiza
se
cual
el
sobre
realiza
se realiza
cual se
el cual
sobre el
la base (estando ésta contenida «n el cuadro sobre
rec
la
de
traza
homología
la
es
rec
la ret
de la
traza de
homología es
es la
la traza
abatimiento); el centro de esta última homologra
que
diedro
del
bisector
que fíf
diedro que
del diedro
bisector del
que pasa por el vértice y es normal al plano bisector
ill).
Cap.
(Ver
sección
(Ver Cap.
Cap. ill).
sección (Ver
ma el plano de la base con el plano de la seccion
GEOMETR i A DESCRIPTIVA
-
II XX-6
-66
Carlos J. Chesñevar
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Fig 8
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ELIPSE COMO HOMOLOGA
DE LA C IRC UN FERENC 1 A
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Fig. 9
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LA PARABOLA COMO HOMOLOGA
DE LA CIRCUNFERENCIA.
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Carlos J. Chesñevar
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
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LA HIPERBOLA COMO HOMOLOGA
DE LA CIRCUNFERENCIA.
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3~e) POLIEDROS.
(ca(caplanas
superficies
dé
superficies planas
Los poliedros están definidos por un conjunto de
pianas (ca~
de superficies
Se
regladas.
superficies
Se
ras), lo que justifica su inclusión entre las superficies regladas.
Se
regladas.
sí.
entre
iguales
son
caras
Sí.
entre
iguales
son
caras
cuyas
aquéllos
a
.
regulares
llama poliedros
caras son i gua les entre s f
Son c i neo :
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POLI EDRO
T et r aedro
Hexaedro o cubo
Octaedro
-
CARAS
FORMA
las
de
FORMA
CARAS
de las
FORMA de
las CARAS
equilátero
Triángulo
equilátero
Triángulo
Triangulo equilatero
Cuadrado
Cuadrado
C ua.d r ado equilátero
Triángulo
Triángulo
Triangulo equilátero
equilatero
Pentágono
regular
Pentágono
regular
Pentagono regular
equilátero
Triángulo
Triángulo
Triangulo equilátero
equilatero
de CARAS
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ó
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Icosaedro
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TETRAEDRO
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-
GEOMETRIA DESCRIPTIVA.- Carlos J. Chesñevar
I X-8
8
X 8
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a) Proyecciones
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b) Desa
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a ) . P royecc i ones
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b) Desarrollo
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b) Desarrollo
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a) Proyecciones
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b) Desarrollo
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f i g .15
-
ICOSAEDRO
-
3 f ) HELICOIDES.
helicoj
como directriz.
co i
hell
El helicoí
d i rectriz. El
Son superficies que se generan con una hélice como
El
hélice.
la
a
tangentes
tangentes a la helice. El helicoj
he 1 iI co j1
de desar ro 1 1 a bl e está definido por las tangentes
heapoya en
que se
móvil
la hé¬
en la
se apoya
de axial (o no desar tollable) por una recta móvil
mov i 1 que
cor,
rna
for
que
cor,
ángulo
el
constante
a
que
cor
for rn
constant© el angulo
lice y en el eje del cilindro, si e n d o constante
el mismo.
íTTXT.
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Xí5
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Fig.16
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HELICE
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Fig.17
-
DESARROLLABLE
flEL i CO I DE' DESARROLLABLE
DESARROLLADLE
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GEOMETRIA DESCRIPTIVA
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Carlos J. Chesñevar
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AXIAL
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SUPERFICIES DE REVOLUCION.
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abeada) que
que
a 1 abeada)
Ion las superficies generadas por una línea (plana o alabeada)
ra
g i rs
gtrs
«ÿ?
:
;
ilrededor de una recta fija, llamada eje.
!
aa 11
sección de una superficie de rotación con planos perpendiculares
"
con-con~~
que
planos
con
que
Los
pianos
paralelos.
denominan
que
se
»je, determina círculos
llama"
iguales)
lláma¬
iguales)
llama"
(siempre
curvas
en
:ienen al eje, cortan a la superficie
lo
se lo
aparente,
aparente,
a rente, se
las meridianos. Si: un meridiano coincide con el contorno ap
llama mer i d i ano principal.
\
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«
V
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SUPERFICIE
DE ROTACION
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Paralelos
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Meridianos
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Según la naturaleza de la generatrízy su situación respecto del
eje, 1la
de! eje
eje,
a
superficie de rotación se. denomina:
’(}
’(J
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GEOMETRIA DESCRIPTIVA
-
lxsx-n
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Carlos J. Chesñevar
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tTjBcsw.nrreaa
||CMnv-
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COMO DE ROTACION: Generado por una recta que corta
pro
en un
corta al eje en
punto pro
un punto
pió.
paralela a!
al eje.
CILINDRO DE ROTACION: Generado por una recta paralel'a
ESFERA: Generada por una c¡ rcunferenqía que gira alrededor de uno de sus
diámetros.
TORO: Generado por una circunferencia que gira alrededor de una
de
una recta
recta de
su plano, que no la corta.
alrede¬
ELIPSOIDE DE ROTACION APLANADO: Generado por una
una elipse
elipse- que gira alrededor de su eje menor.
alrede¬
ELIPSOIDE DE ROTACION ALARGADO: Generado por una elipse que gira
gira alrededor de su eje mayor.
PARABOLOIDE DE ROTACION: Generado por una parábola
de
parabola que gira alrededor de
s u e jé
HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA: Generado por una hipérbola
hiperbola que gira alrededor
respecto
de su eje transverso. También lo genera una recta
respecto
pec to a un
recta alabeada res
eje de rotación.
HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS: Generado por una hipérbola
hiperbola que gira alrededor
de su eje focal
.
.
.
.
A-a) SECCION PLANA DE UNA SUPERFICIE DE ROTACION.
ROTACION.
•
-
.
deterrninar la ii n
Pa r a determinar
ve r t i ca 1 . Para
Comúnmente el eje de rotación se ubica vertical.
plano
un
genérico, se utj
generico,
piano genérico,
tersección de la superficie de meridiano m con
en la superficie
defíneen
Tizan planos auxiliares, horizontales. Cada uno define
rec¬
principal) yy una rec¬
un paralelo (cuyo radio se mide sobre el meridiano
meridiano principal)
as i
ta horizontal en el plano dado. Cada plano auxiliar
auxiliar permite obtener así
puntos es la proyec
dos puntos de la curva intersección. La unión de los
las puntos
ción de la sección plana.
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centro
cuyo centro
círculo,
circulo, cuyo
un
un círculo,
En la esfera, cualquier sección plana determina un
esfera,
ñorde
centro
la
nor"
esfera,
esfera,
ñorde
de
centro
el
centro
por
pasa
que
la
recta
una
que
en
será el punto
dei
diámetro
y
el
punto
ese
del
del
diametro
diámetro
y
el
el
punto
ese
ese
Conocido
corta.
sección,
lo
de
plano
uaS al
homologada
como
obtiene
homologade
da la
la
obtiene como homologa
círculo, la proyección de la sección plana se obtiene
misma' sección (círculo) abatida.
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
-
Carlos J. Chesñeva r
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F í g . 21
SECCION PLANA DE UNA ESFERA.
5." INTERSECCION DE SUPERFICIES,
alabeada.
genera!
a ]abeada.
general alabeada.
Dos superficies que se cortan determinan una línea, en general
auxj
superficies
a
auxjÿ
aux{
Para obtener puntos de esa línea, se recurre a superficies
superdos
a
las
super¬
simultáneamente
taneamente a las dos super¬
liares (generalmente planos) que cortan simultáneamente
in
sus in
en sus
definen
definen en
determinación,
las que definen
fácil
de
líneas
en
ficies dadas
tersecc i ones a los puntos comunes buscados .
conque consecantes
te s que
Tratándose desuperficies, radiadas, se utilizan planos secan
generatrices
generatrices
aa
tengan a ips vértices; cada plano auxiliar corta en dos generatrices
dos,
a
dos
¡cortarse
dos,
,
;Cortarse dos aa dos
¡cortarse
cada una de las superficies, las que determinan, al adecuada
de
cantidad
dad
t
i
can
de
cantidad
adecuada
una
Con
cuatro puntos de la curva de intersección.
dibujar
te dibujar
d i buja r
queÿpermite
planos auxiliares, se obtiene un conjunto de puntos que,permite
la curva,
->
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GEOMETRÍA
-
DESCRIPTIVA
-
Carlos J. Chesñevar
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INTERSECCION DE DOS CONOS
-
pi a
las superficies radiadas son prismáticas, es suficiente pasar un pla¬
de
penetra-puntos
los
conocidos
no secante por cada arista. Quedan así
otra
otra,, y por ende los
ción y salida de cada arista de una superficie en la otra,
cortaral cortar¬
las
superficies
vértices del polígono alabeado que determinan
se.
Si
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
-
Carlos J. Chesnevar
I X.X 1 1?k
\l-\k
Jí
£
2
ea H
rreaH
secantes,
Para conocer la dirección de las trazas de los planos secante
secantes,
s, se realjÿ
rectas,
za una construcción auxiliar, llevando por un punto dos recta
rectas,
s, cada una
paralela a una délas familias de generatrices (se trata de estable
cer la
establecerla
alabeadas).
traza horizontal de un plano paralelo a dos rectas alabeadas).
as).
alabead
Si las superficies son de rotación, los planos auxiliares se ubican
de
¡
modo que las secciones planas auxiliares sean de fácil de
determ
.
i
ón
Per
n.ac
t e rm nac
na c i on . P e r
pend i cu 1 a rmen te a los ejes, por ejemplo, con lo cual se produce
producen
n secc¡or
secciones planas circulares.
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V
Fig.24
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INTERSECCION
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DE DOS PRISMAS
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CONOS
DEDE
DOS CONOS
CGNOS DE
DE
ROTACION
DE
ROTACION DE
PARALELOS
EJES PARALELOS
PARALELOS
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Carlos J . C he s nevar.
btUMtTRIA DESCRIPTIVA
x-1
X-1
X-1
saxiu
X)
TRIEDROS.
punto, definen un ángulo
Tres rectas no copl.anares que concurren en un punto,
punto
, defln
angulo
seis:enLaunmedida
son
triedro
valores,
de
un
característicos
triedro. Los
tried
ro
son
seis:
La
de a
de cada una de sus tres caras (dada por el ángulo que forma cada parmedid
angul
o
que
forma
cada
par
de
(ángjj
interiores
diedros
sí)
(ángÿ
y la medida de cada uno de los
rectas entre
diedr
os
inter
(angiu
iores
caras).
lo que forman entre sí cada par de
Un triedro está definido cuando se conocen tres de los seis valores ca¬
tres tres
de los
valores ha¬
cade seis
ángulos,
los ángulos,
racterísticos. Resolver el triedro es, conocidos
conoc
idos
tres
de
los
angulos?hallar los tres restantes.
La resolución se puede efectuar en cualquier sistema de representación.
representación.
ma de repre
sentacion.
conocidos,
se procede
a
Situado el conjunto en función de los elementossiste
conocidos,
eleme
ntos
conoc
se
procede a
idost
efectuar secciones y abatimientos.
estudiar, como
De los seis casos de resolución posibles, no es necesario estudiar,
necesario
iar, como
testantes
concepto
qistema, más de tres casos; se aplica para ios es
el estud
de
restantes
resta
ntes
el
conce
pto de
triedro suplementario.
son
Se define como triedro s up 1 emen t a r i o de otro a aquel cuyas aristas
aquel cuyas
son
rectas
quearist
dos as
perpendiculares a las tres caras del triedro dado.
dado. Puesto
rectas
dado.
Puest
o
que
dos
recta
perpendiculares a los planos de un diedro forman entre sí un ángulo que s
forman
si un de
angul
que
un otrͣ
elementos
es complementario del diedro, la relación entre losentre
tríe
entre
los
eleme
ntos
de
un
dro de caras <*• (b K y died.ros jnterjores á b c y los de su suplementario
tri£
y los de su s up 1 emen t a r i o
de caras Oí.1ÿ í' y diedros á‘ b'c' es:
a
b +
c +
§
S'
= 180°
1 80°
(5 =
T = 1 80°
OL1
•’f
+
=
04
04
--
-f
“
80°
1180°
180°
180°
1 80 °
b 1 + (3
m.
+ ¡3
180°
1
1 80°
c + 'í =
~ 180°
+
180°
-ÿ
£3
interiores,
interiores,
Luego, resolver un triedro del cual se conocen sus diedros
diedros
susvalen
diedrlos
os respectivos
interiores,
por ejemplo, equivale a resolver otro cuyas caras valen
caras
valen
los
respe
ctí vaiv.os
equ
ú 1 t i rao, equiva¬
suplementos de esos ángulos (obtener los diedros de
este último,
de este
diedr
os
de
este
ultim
o,
equiv
a¬
le a conocer Tas caras del primero).
8
~k a
TT2
e -kb
V _kc
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B
C
a)
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Fig.1
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-
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Resolución del
Triedro dadas
Vas tres caras
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M ))
M
C
M)
(N)
(N)
(N)
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b)
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B
B
B
a)
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M*
M"
M*M",
M"
M:
bb
b
GEOMETR i A DESCR i PT I VA
•V
-
-
Carlos J. Chesñevar
X -222
TT2
Fig. 2
-
Dadas las caras
(b yÿtf y el die
d ro b , opuesto a
S b
*\b
*V
c
a)
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Pig. 3 ~ Dadas las caras e< y fb
y el diedro comprendi¬
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a. a
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- -
X!i 1
X! 1
Chesrteva r
SOMBRAS ,
E1 estudio de las sombras concurre a satisfacer dos tipos de necesidades:
necesidades:
s de necede
sidala
des:
un tipo
complemento
Una , puramente artística, para la cual la sombra esdos
un mejoran
complemento
de la
la sen¬
representación de un objeto, a la que agrega efectosesque
efectos que
ran la
senpara mejo
la cual
sación de profundidad. La otra, de naturaleza técnica,
técnica,
¡nte_
int£
teen
ica,
para
la
cual
inte_
en
cir¬
otro
determinadas
resa la sombra que un elemento provocaré sobre
otro
en
dete
rmin
adas
cir~
cunstancias, como una posibilidad concreta.
Para la primera, se acepta convene i ona 1 mente que la fuente luminosa es un
te luminosa
es un
que in¬
punto impropio (los rayos son paralelos) situado en lala fuen
dirección
en
la
dire
ccio
que
n
inobservador).
observador).
del
(arriba,
figura
2
dica la
detrás y a la izquierda
del observador).
posición
En el segundo caso, sera la situación real la que indicará la
la propio
posicion
un punto
ser- cara
relativa de cuerpos y fuente luminosa, la que puede indi
pued
e ser-aunlapunt
o prop
io
gran
debido
o impropio. Los rayos de luz solar (luz natural),
dis¬
do a la paralelos
gran disconsideran
tancia que nos separa del punto de concurrencia, se debi
cons en
i dera
n para
lelos
cada
(Téngase presente que la sombra natural de un puntosevaría
instanÿ
instarÿ
punt
o
varf
a
en cada
de_.rÿ
insta
y hora
lugar, fecha
te; la dirección instantánea de los rayos, para un lugar,
de..
un luga
fecha y horade
la r,
de_
terminados, se calcula con las ecuaciones que estudia
Astronomía
estudia la Astronomfa
de
Posición)
.
Para determinar la sombra de un elemento, es suficiente tener en cuenta la
suftciente
r en si
cuen
efecto,
En tene
analogía del concepto de sombra con el de proyección.
efecto,
proyección.
setaj_
j_ la
proy
ecci
on.
En
efec
to,
si
de
se
j_
proyección, y los rayos
dentifica la fuente luminosa con un centro de proyección,
proy
ecci
on,
y
los
rayo
cualquier
s
cuadro
sobre
o
de
cualquier
o
luz con rayos proyectantes, la sombra sobre un
o sobre aparente"
cualquier
El ro
"contorno
superficie equivale a la proyección del elementó.cuad
El
"con
torn
apar
o
ente"
en
una super
que los rayos proyectantes (tangentes o rasantes) determinan
aete
rmin
an
en
que r
supe
de
una
"separat r i z" , en razón
ficie proyectada (Cap.lX) se llama ahora "separatriz",
"sep
arat
riz"
,
en
razo
de
que
n
iluminada,
separa en el cuerpo o superficie, la parte iluminada de lo no iluminada,
ilum
inad
a
de
lo
ilum
no
inad
luz) de la separatriz
(sombra propia). La proyección (desde la fuente de luz)
separatriza,
luz) deen
ratriz
misma.
enlala
misma.
lasepa
sobre una pantalla, define la sombra que el cuerpodeprovoca
cuerpo provoca en la misma.
trazas de rayos y
Resumiendo, determinar sombras consiste en determinar. trazas
traz
dete
as de rayos aa y
rmin
ar.
sombra")
equivalentes
sombra")
planos (llamados indistintamente "de -luz" o "de
somb
ra")
equi
valentes
lasom a
superficies,
varias
la. som
rayos y planos proyectantes. En un sistema de varias superficies,
vari
supe
as
rfic
ies,
la
som
primera
la
en
determina
en
bra de un punto es la traza que el rayo de luz
dete
rmin
a
en
la
prim
era
superficie opaca que encuentra en su trayectoria.
ejemplos.
En las ilustraciones que siguen se ofrecen algunos ejemplos.
algunos ejemplos.
V
Rayo dd e
e
sombra
sombrad e
Sombra
Sombra
Proyectada
proyec
fada
Sombra
proyec fa da
sombra
Rayo de luz
-4-
.
Fig 1
Ha
—1
J®)
- ;i
Fuen le
de luz
S
\
VXJ
Separalriz
Somb
ra
Sombra
propia
Sombra
propia
propia
L3
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j
5r
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fig >2
4SC
a)
L,
b)
b)
b)
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
-2
X II -2
Carlos J. Chesñevar
Sombra propia
L
ii-- íg
proyectada
Sombra prpyectada
+
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Fíg.3
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J—
JY
X
X
k
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r ti I
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J"2
X*
A
Fíg.4
Fig.A
Fig.4
]
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SOMBRA DE
UN PUNTO
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X
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\
\
y /
•B,
SOMBRA DE CUERPOS
\
\
\
\
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y
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UNA FIGURA
\
\
/
SEGMENTO
-
A"
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X
Fíg.5
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X il
X
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a) SOMBRA DE UN
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1
ii
1
\
Fig.8
Fig-8
\
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I
\
ai
b) En
Axonometría
En Axonometrfa
b)
Hx U*
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lera.
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Cabal 1lera.
Cabal
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a) En Mange.
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Sombra Propia y Proyectada
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Fig.
9
Proyectada
propia
Sombra prop}
a yy Proyectada
Luz enÿP'Üh;t'ó:':>ÿ
de Luz
Fuente de
con Fuente
Propio.
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