TEMA 1:
DINÁMICA DE LAGRANGE
Vicent Vives Mas, Jorge Ribera Esplugues y Rubén Otalora Peña
Profesor: Antonio Reig
Índice
1. Introducción
2
2. Principio de D’Alembert
3
3. Ecuación de Lagrange para sistemas no-conservativos
3
4. Ecuación de Lagrange para sistemas conservativos
3
5. Guı́a-burr@s para resolver los problemas
4
6. Problemas resueltos
5
1
1.
Introducción
Una ligadura es una condición que fija ciertas propiedades de las trayectorias que
pueden seguir las partı́culas de un sistema, como es su movimiento.
Por ejemplo, una masa puntual libre en un espacio bidimensional no tiene ligaduras,
por lo tanto su movimiento no se verá restringido en ninguna dirección del plano. En
cambio, como se puede ver en la Figura 1, el plano inclinado solo permite el movimiento
de la masa puntal en la dirección de la pendiente.
Figura 1: Masa puntual m en un plano inclinado
Existen dos tipos de clasificación de las ligaduras:
→ Reónomas: que varı́an con el tiempo.
→ Esclerónomas: que no varı́an con el tiempo.
Holónomas: dependen de las posiciones y del tiempo, y no de las velocidades.
No-holónomas: se pueden expresar en función de las velocidades de las partı́culas.
Las ligaduras holónomas (las que estudiaremos en este curso) reducen los grados de
libertad.
Los grados de libertat son las posibilidades que tiene un cuerpo para moverse en el
espacio. Estos coinciden con las coordenadas generalizadas, que no son más que el número
de coordenadas necesarias para describir completamente el movimiento de un cuerpo, y
por tanto su posición.
Volviendo al ejemplo de la Figura 1, como estamos en el plano del papel, solo tenemos
dos grados de libertad por defecto. El plano inclinado es una ligadura, por tanto nos
reduce los grados de libertad a uno. Como hemos dicho, los grados de libertad coinciden
con el número de coordenadas generalizadas, que en este caso, serı́a la coordenada s.
2
2.
Principio de D’Alembert
El Principio de D’Alembert nos dice que todo sistema de puntos materiales se encuentra en equilibrio si se añaden las fuerzas de inerica. Esto significa que partiendo de
la segunda ley de Newton tenemos
~ = ΣF~ = m~a
R
Si pasamos la masa por la aceleración al otro lado de la ecuación como fuerza de inercia,
pasaremos de la dinámica a la estática
ΣF~ − m~a = 0
Con esto, podemos trabajar con el principio de los trabajos virtuales, que nos dice que
Σ(F~ − ϕ
~ i )δ~ri = 0
A partir de aquı́ se trabajará para llegar a la ecuación de Lagrange en sus dos formas.
3.
Ecuación de Lagrange para sistemas no-conservativos
Un sistema no conservativo es aquel en el cual se puede encontrar energı́a disipada.
Esto lo causa una fuerza no conservativa que realiza trabajo, como por ejemplo, cuando
un cuerpo rueda deslizando existe un trabajo de la fuerza de rozamiento que hace perder
energı́a en forma de calor.
Definiendo
∂~r
Qj = ΣF~
∂qj
llegamos a la ecuación de Lagrange para sistemas no conservativos:
d
dt
4.
Ç
∂T
∂ q̇j
å
−
∂T
= Qj
∂qj
Ecuación de Lagrange para sistemas conservativos
Los sistemas conservativos pueden contener fuerzas no conservativas siempre que éstas
no realicen trabajo. Un ejemplo es cuando un cuerpo rueda sin deslizar, ya que la fuerza
de rozamiento es una fuerza no conservativa, pero al no haber movimiento no realiza
trabajo.
Para determinar la ecuación de Lagrange para sistemas conservativos definiremos
antes el lagrangiano L como:
L=T −U
siendo T la energı́a cinética y U la energı́a potencial.
3
Ası́ pues, obtenemos la siguiente ecuación:
d
dt
Ç
∂L
∂ q̇j
å
−
∂L
=0
∂qj
Nuestro objetivo en los problemas será buscar la ecuación del movimiento a partir de la
ecuación de Lagrange. Para esto, debemos plantear tantas ecuaciones como coordenadas
generalizadas (o grados de libertad) tiene el sistema. Una vez planteadas deberemos
integrarlas para ası́ llegar a las ecuaciones del movimiento.
5.
Guı́a-burr@s para resolver los problemas
Para resolver los problemas seguiremos los siguientes pasos:
1. Encontrar el número de coordenadas generalizadas que es igual al número de
grados de libertad. OJO que es el apartado más importante!!
2. Determinar si el sistema es conservativo o no. En nuestro caso, la mayorı́a
de los problemas serán de sistemas conservativos. Hay que tener en cuenta si las
rodaduras deslizan o no, si la cuerda de la polea es elástica o no ya que en algunos
de estos casos puede haber pérdidas de energı́a, y por lo tanto que el sistema sea
no conservativo. RECUERDA: un muelle no disipa energı́a.
3. Sacar el Lagrangiano (L = T − U ).
¡¡¡¡IMPORTANTE!!!!
Ejemplo para calcular el lagrangiano de un sólido rı́gido.
Figura 2: Barra articulada en un punto A.
Tomando como referencia el punto A:
T =
1
1
IA ω 2 = IA α̇2 ,
2
|2 {z }
U = Mg
Rot pura
Para el centro de masas G:
1
1
2
T = M vG
+ IG ω 2
|2 {z } |2 {z }
Trans
4
Rot
L
sin α
2
4. Aplicar la ecuación de Lagrange para todas las coordenadas generalizadas sacadas en el primer apartado.
d
dt
Ç
∂L
∂ q̇j
å
−
∂L
=0
∂qj
En la mayorı́a de los casos, con esta ecuación llegamos a una expresión de la aceleración lineal o angular.
5. Integrar para obtener las ecuaciones del movimiento. Recuerda que las constantes que salen cuando integramos serán las condiciones iniciales, es decir, la velocidad inicial y la posición inicial.
6.
Problemas resueltos
Para resolver todos los problemas de este tema seguiremos lo explicado en el apartado
anterior.
Primer problema
Una masa m cae en un plano inclidado sin rozamiento.
Figura 3: Plano inclinado de altura h.
En primer lugar, buscamos las coordenadas generalizadas. Como vemos en la Figura
3, la masa m solo se puede mover en la dirección del plano, por lo tanto solo tendrá una
coordenada generalizada que llamaremos q1 = s. Como el sistema solo está bajo la acción
de la gravedad, es conservativo, por lo tanto podemos aplicar la ecuación de Lagrange
para sistemas conservativos. En el enunciado nos deberán aclarar si se tiene en cuenta el
rozamiento con el suelo o con el aire. En este caso lo podemos menospreciar.
Ahora calculamos el lagrangiano:
1
T = mṡ2 ,
2
U = mg(h − sin α) ,
y = h − h0 , h0 = s · sin α
1
L = T − U = mṡ2 − mg(h − sin α)
2
5
Una vez tenemos ya el lagrangiano, aplicamos la ecuación de Lagrange para sistemas
conservativos:
d
dt
Ç
å
∂L
∂L
∂L
−
=0⇒
= mṡ ,
∂ ṡ
∂s
∂ ṡ
∂L
= mg sin α
∂s
d
(mṡ) − mg sin α = 0 ⇒ ms̈ − mg sin α = 0 ⇒ s̈ = g sin α
dt
Una vez llegamos a una expresión de la aceleración la tenemos que integrar:
1
ṡ = g sin αt + vos ⇒ s = g sin αt2 + vos t + so
2
La constante que sale cuando integramos la aceleración es la velocidad inicial de
la masa m, ya que sustituimos t = 0 y nos queda ṡ(t = 0) = C = vos . Del mismo
modo, cuando integramos la velocidad la constante que sale es la posición incial. En estos
problemas nos dirán en el enunciado cuál es su posición y velocidad inicial, por lo que si
son nulas (como en este caso porque lo dice el enunciado) las podemos eliminar.
Segundo problema
Un cilindro macizo de radio R y masa M se deja caer sobre media superficie cilı́ndrica
de radio 3R, tal y como se muestra el dibujo.
Como ya sabemos, el primer paso es buscar las coordenadas generalizadas. Observando
el dibujo, vemos que la única posibilidad de movimiento que tiene el cilindro es rotar sin
deslizar respecto del punto 0 y del cir de éste, que es el punto de contacto entre el cilindro
y la superficie. Tomaremos α como única coordenada generalizada, ya que con este ángulo
podemos describir todo el movimiento.
El sistema es conservativo puesto que está bajo la acción de la gravedad y nos dicen
que rueda sin deslizar.
El tercer paso, tenemos que encontrar el lagrangiano, a partir de la energı́a cinética y
potencial.
1
1
2
T = IG ω 2 + M vG
2
2
DATO: como el cilindro es macizo su momento de inercia respecto a su centro de
masas es IG = 12 M R2 .
Tenemos que buscar la relación entre ω y α̇. Para encontrarla, jugaremos con la
ecuación del campo de momentos:
o
~ = 2α̇R
v~G = v~O + α̇ × OG
o
>+ ω
~ = Rω
v~G = v~cir
~ × OC
Igualando las ecuaciones anteriores llegamos a ω = 2α̇. Por lo tanto, la energı́a cinética
será
T = M R2 α̇2 + 2M R2 α̇2
6
Situando el origen del potencial en la horizontal que pasa por el punto B, la energı́a
potencial será
U = −2M gR cos α
Por lo tanto, el lagrangiano es
L = 3M R2 α̇2 + 2M gR cos α
Aplicando la ecuación de Lagrange para sistemas conservativos
d
dt
Ç
å
∂L
∂L
d
−
= 0 ⇒ (6M R2 α̇) − 2M gR sin α = 0
∂ α̇
∂α
dt
1g
sin α
3R
Ahora integramos respecto al tiempo para llegar a las ecuaciones del movimiento
6M R2 α̈ = 2M gR sin α ⇒ α̈ =
α̇ =
α=
1g
sin αt + α̇0
3R
1g
sin αt2 + α̇0 t + α0
6R
Tercer problema
Una barra de masa M y longitud 2L articulada en A punto fijo, tiene una masa M/2
acoplada en su extremo B unido por un muelle de constante K sin elongar enganchado
al techo.
Figura 4: Barra articulada
Como ya sabemos, el primer paso es buscar las coordenadas generalizadas. Observando
el dibujo, vemos que la única posibilidad de movimiento que tiene la barra es rotar
respecto del punto A, tomaremos α como única coordenada generalizada, ya que con este
ángulo podemos describir todo el movimiento.
El sistema es conservativo puesto que está bajo la acción de la gravedad y del muelle.
Como hemos dicho antes, los muelles no disipan energı́a.
Tenemos que encontrar el lagrangiano, como siempre, a partir de la energı́a cinética
y la potencial en el centro de masas.
7
Aquı́ calculamos la energı́a cinética del sólido barra más la energı́a cinética del punto
material B.
1
1M 2
1
2
+ IG α̇2 +
v
T = M vG
2
2
2 2 B
Ahora, la energı́a potencial de la barra en el punto G, más la energı́a potencial del
punto B y la energı́a potencial del muelle que es Ep = 1/2ky 2 . En este caso, la elongación
y es 2l sin α.
1
M
U = −M gl sin α − g2l sin α + K(2l sin α)2
2
2
El lagrangiano siempre hay que ponerlo en función del las coordenadas generalizadas,
en este caso en función de α. Ahora hay que encontrar una relación cinemática de vG y
vB en función de α, en valor absoluto.
~ = lα̇ ,
|v~G | = |v~A | + |α̇ × AG|
~ = 2lα̇
|v~B | = |v~A | + |α̇ × AB|
1
Como ya sabemos, el IG = 12
M L2 y en este caso L = 2l, por lo tanto, IG = 31 M l2 .
Por lo tanto, el lagrangiano en este caso será:
Ç
1
11 2 2 1M
1
L = M (lα̇)2 +
M l α̇ +
(2lα̇)2 − −M gl sin α − M gl sin α + K(2l sin α)2
2
23
2 2
2
å
Siguiendo los pasos, ahora aplicamos la ecuación de Lagrange para sistemas conservativos:
d
dt
Ç
å
∂L
∂L
d
1
−
= 0 ⇒ (M l2 α̇ + M l2 α̇ + 2M l2 α̇) − (2M gl cos α − 4Kl2 sin α cos α) = 0
∂ α̇
∂α
dt
3
1
M l2 α̈ + M l2 α̈ + 2M l2 α̈ − 2M gl cos α + 4Kl2 sin α cos α = 0
3
10 2
M l α̈ = 2M gl cos α − 4Kl2 sin α cos α
3
3g
6K
α̈ =
cos α −
sin α cos α
5l
5M
Una vez llegados a una expresión de α̈ integramos para buscar las ecuaciones del movimiento.
3g
6K
α̇ =
cos αt −
sin α cos αt + α̇0
5l
5M
3 g
6 K
α=
cos αt2 −
sin α cos αt2 + α̇0 t + α0
10 l
10 M
8
