Capítulo 4 - parte 1 (1)

FACULTAD DE INGENIERÍA
FÍSICA (FLUIDOS, ACÚSTICA Y CALOR)
Ondas - Parte 1
Ondas Mecánicas
2019
Física (Fluidos , Acústica y Calor)
Cap. 4. Ondas-Mecánicas
TEMARIO:
 Conceptos básicos sobre ondas.
 Tipos de ondas mecánicas.
 Ondas periódicas.
 Descripción matemática de una onda.
 Rapidez de una onda transversal.
 Energía de una onda.
 Interferencia de ondas.
 Ondas estacionarias.
 Cuerdas vibrantes.
Física (Fluidos , Acústica y Calor)
Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Introducción – Revisión del M.A.S.
Física (Fluidos , Acústica y Calor)
Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Introducción – Revisión del M.A.S.
Física (Fluidos , Acústica y Calor)
Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Introducción – Revisión del M.A.S.
Física (Fluidos , Acústica y Calor)
Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Introducción – Revisión del M.A.S.
Introducción
Física (Fluidos , Acústica y Calor)
Cap. 4. Ondas-Mecánicas
 Hemos visto o vivido ante fenómenos vibratorios:
 Sonidos musicales
 Temblores
 Se presenta como una perturbación en un medio
 La perturbación transporta energía
 Las ondas electromagnéticas no necesitan medio,
pueden viajar en el vacío.
 La interferencia da el sonido musical a una
frecuencia determinada como frecuencia de modo
normal.
https://youtu.be/gUO3WQ1Yz2Y
https://youtu.be/U-L23G8lPQ8 https://youtu.be/87PU7kI_E2I
Física (Fluidos , Acústica y Calor)
Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Ondas Mecánicas – Ondas Periódicas
Onda Mecánica
Es una perturbación que viaja por un
material o sustancia que es el medio por
donde la onda se desplaza ya sea
longitudinal, transversal o ambas.
Las partículas que constituyen el medio sufren desplazamiento de varios tipos
 Onda Transversal: Los desplazamientos del medio son perpendiculares
a la dirección de propagación de la onda.
 Onda Longitudinal: Los desplazamientos del medio son paralelos a la
dirección de propagación de la onda.
 En algunos casos se puede tener la combinación de los dos tipos de
ondas con desplazamientos del medio tanto transversales como
longitudinales.
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Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Ondas Mecánicas – Ondas Periódicas
 En cada caso hay un estado de equilibrio.
 La onda viaja por el medio con rapidez v denominada rapidez de onda; no es la velocidad
de las partículas, las partículas del medio no viajan sino se desplazan, oscilando entre la
posición de equilibrio. Las ondas transportan energía de un medio a otro, más no materia.
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Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Ondas Mecánicas – Ondas Periódicas
Onda Periódica: Se forma cuando las partículas del medio se mueven con un
movimiento repetitivo o periódico alrededor de su punto de equilibrio.
Solo un pulso viaja a lo largo de la cuerda, la cuerda vuelve a su posición de
equilibrio cuando el pulso a pasado, pero si tenemos en vez de un pulso un M.A.S.:
ω  2πf
T
1 2

f

A  amplitud
f  frecuencia
T  periodo
  frecuencia angular
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Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Ondas Mecánicas – Ondas Periódicas
 Una onda periódica es una sucesión de crestas y
valles que pueden ser senoidales.
 Al pasar una onda senoidal por un medio, las
partículas toman desplazamientos armónicos
simples con la misma frecuencia.
 La longitud de onda (λ) es la distancia a la cual un
punto de la onda se repite.
 Para una onda periódica la rapidez de onda es:
v

 f
T
 Una onda puede desplazarse en una, dos o tres
dimensiones.
**Si disminuye la frecuencia aumenta la longitud de ondas, es
decir ondas de todas las frecuencias se propagan con la misma
rapidez – este tipo de onda vamos a estudiar.
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Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Ondas Mecánicas – Ondas Periódicas
La mecánica de una onda periódica longitudinal es
semejante a las transversales, salvo que el M.A.S. de
las partículas del medio son paralelos a la dirección de
propagación de la onda, ejemplo de este movimiento
se tiene en un fluido. La ecuación de velocidad es la
misma.
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Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Ondas Mecánicas – Ondas Periódicas
Ejemplo 1: La onda presentada en la figura, la emite un vibrador de 60 ciclos/s (Hz).
Determine: (a) Amplitud de la onda, (b) frecuencia y longitud de onda, (c) rapidez
de la onda, (e) periodo de la onda.
Ejemplo 2: Se llama ultrasonido a las frecuencias más arriba de la gama que puede
detectar el oído humano, (20 000 Hz). Se usan ondas de ultrasonido para producir
imágenes al reflejarse en las superficies. En un análisis con ultrasonido, las ondas
viajan a 1500 m/s. Para obtener una imagen detallada, λ ≤ 1 mm. ¿Qué frecuencia se
requiere entonces?
Ejemplo: Las ondas sonoras son ondas longitudinales en aire. La rapidez del sonido
depende de la temperatura: a 20 °C es de 344 m/s. Calcule la longitud de onda de una
onda sonora en aire a 20 °C si la frecuencia es de 262 Hz.
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Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Ondas Mecánicas – Ondas Periódicas
Ejemplo: Un pescador nota que su bote sube y baja
periódicamente a causa de las olas en la superficie del
agua. El bote tarda 2.5 s en moverse del punto más alto al
más bajo, una distancia total de 0.62 m. El pescador ve
que la distancia entre crestas es de 6 m. a) ¿Con qué
rapidez viajan las olas? b) ¿Qué amplitud tiene una ola?
c) Si la distancia vertical total recorrida por el bote fuera
de 0.3 m, con todos los demás datos iguales, ¿cómo
cambiarían sus respuestas a las partes a) y b)?
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Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Descripción matemática de una onda
Para describir una Onda se usará una Función de Onda que permite determinar la
posición de una partícula en el medio en cualquier instante de tiempo. Las ondas
objetos de estudio son las senoidales (M.A.S.).
Para ello en su posición de equilibrio se evita el pandeo del hilo.
Para un onda transversal que viaja por ejemplo en la dirección del eje x, una
partícula oscilando alrededor de su posición de equilibrio se desplaza cierta
distancia y; esta distancia y puede ser función tanto de x como del tiempo t. Así la
función y(x,t) se denomina función de onda la cuál describe la onda.
Con la función de onda podemos calcular la velocidad y aceleración de cualquier
partícula, la forma del hilo y todo acerca del comportamiento del medio en
cualquier instante.
Para describir la función de onda se puede realizar un análisis de la gráfica para una
cuerda con M.A.S. en donde se puede observar que una cresta y un valle se pueden
encontrar desfasados medio ciclo (diferencia de fase).
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Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Descripción matemática de una onda
 Las oscilaciones de las partículas en diferentes
puntos no están alineadas.
 El movimiento de la partícula derecha se retrasa
con respecto al de la izquierda., formando
diferencia de fase al mismo instante
Para x= 0
y ( x  0, t )  A cos t  A cos 2ft
 Para t = 0 la partícula tiene su máximo
desplazamiento y a medida que viaja la
perturbación en un tiempo x/v, con v la rapidez
de onda, entonces el movimiento se repite para t
– x/v, entonces la función de onda será:
 
x 
y ( x, t )  A cos   t  
v 
 
Debido a la propiedad del coseno, la ecuación se
puede escribir como:
 x

y ( x, t )  A cos    t 

 v
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Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Descripción matemática de una onda
x

y ( x, t )  A cos 2f   t 
v

Ecuación que representa a una onda senoidal
que viaja en la dirección positiva de x.
La función de onda se puede también expresar en términos del periodo y la
longitud de onda, así:
x t 
y ( x, t )  A cos 2   
 T 
v  f
T  1/ f
Se define el número de onda (k), expresada en rad/m:
Al sustituir en v 
k
2

f , con 𝜆 = 2𝜋/𝑘 y 𝑓 = 𝜔/2𝜋, se consigue que:
  vk
Onda periódica
Por lo que la onda senoidal se puede reescribir como:
y ( x, t )  A coskx  t 
+ en el caso de viaje de onda en dirección de x negativa
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Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Descripción matemática de una onda
La gráfica de la función de onda se presenta en las
figuras adyacentes. Si la onda describe el
movimiento de una cuerda, entonces la gráfica
representa la cuerda en ese instante de tiempo.
Para t = 0,
y ( x, t  0)  A cos kx  A cos 2
x

Para x = 0,
y ( x  0, t )  A cos(t )  A cos t
t
y ( x  0, t )  A cos 2
T
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Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Descripción matemática de una onda
Si la onda viaja en la dirección – x, la función de onda es:
x

x t 
y ( x, t )  A cos 2f   t   A cos 2   
v

 T 
y ( x, t )  A cos(kx  t )
La cantidad (𝑘𝑥 ± 𝜔𝑡) se le denomina fase. Para una cresta la fase es 0, 2π, 4π, etc;
y para un valle π, 3π, 5π, etc.
La velocidad de fase será:
𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
dx 

dt
k
Ejemplo 3: Una onda transversal viaja por una cuerda, con A = 0,3cm, λ = 12cm y v =
6 cm/s y se representa por,
 2

y ( x, t )  A cos 
( x  vt )
 

(a) En t=0, calcule y a intervalos Δx=1,5cm desde x=0 hasta x=12cm, graficar.
(b) Repita los cálculos para t=4s y t=0,8s, graficar. ¿En qué dirección viaja la onda?
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Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Velocidad y aceleración de partículas
Usando la función de onda se puede determinar la velocidad de una partícula en
una onda transversal vy, al derivar la función de onda y con respecto a t:
y ( x, t )
v y ( x, t ) 
 Asen ( kx  t )
t
La amplitud máxima de esta velocidad es ωA la cual puede ser mayor, menor o
igual a la velocidad de la onda, dependiendo de la amplitud y frecuencia de la
onda.
La aceleración para cualquier partícula será la segunda derivada parcial de la
función de onda con respecto a t:
 2 y ( x, t )
2
2
a y ( x, t ) 



A
cos(
kx


t
)



y ( x, t )
2
t
La aceleración es igual a −𝜔2 por su desplazamiento y siempre está opuesta a las
direcciones de la velocidad y posición de la partícula.
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Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Velocidad y aceleración de partículas
Se puede derivar parcialmente con respecto a x, así la primera derivada
corresponde a la pendiente de la cuerda en cualquier punto, mientras que la
segunda derivada parcial con respecto a x representa la curvatura de la cuerda
(igual que el análisis de máximos y mínimos).
 2 y ( x, t )
2
2


k
Acos
(
kx


t
)


k
y ( x, t )
2
x
Al hacer 𝜔 = 𝑣𝑘 y utilizar la ecuación de la aceleración, se puede obtener la
ecuación de onda:
 2 y ( x, t )
2
2

2
t


v
 2 y ( x, t )
k2
x 2
 2 y ( x, t )
1  2 y ( x, t )
 2
2
x
v
t 2
La ecuación de onda se cumple sea que la onda viaje en
sentido positivo o negativo de x.
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Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Velocidad y aceleración de partículas
La ecuación de onda es una de las más importantes dentro de la física, esta
ecuación puede tener solución para cualquier función de perturbación incluso no
senoidal y no periódica. La figura muestra el comportamiento de las partículas en la
cuerda:
El concepto de función de onda también se aplica a las ondas longitudinales como
el sonido.
Rapidez de una onda transversal
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Cap. 4. Ondas-Mecánicas
La rapidez de onda es una propiedad importante y su determinación depende tanto
de la tensión que se le someta a la cuerda así como la masa por unidad de longitud
de la misma (μ = densidad lineal), para el caso de la onda mecánica en la cuerda.
Se podría decir que:
 Al aumentar la tensión, aumenta la fuerzas de restitución que tienden a enderezar la
cuerda cuando se la perturba, aumentando así la rapidez de la onda.
 Al aumentar la masa haría el movimiento más lento, reduciendo la rapidez.
Se presenta el método conceptual sencillo para determinar la rapidez en una
cuerda.
La figura muestra una cuerda en equilibrio, sometida a una tensión F en sus extremos y
densidad lineal μ. El peso de la cuerda es despreciable (para evitar el pandeo)
Rapidez de una onda transversal
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Cap. 4. Ondas-Mecánicas
El efecto de aplicar la fuerza Fy en t = 0 a la cuerda es realizar que el movimiento se
propague, poniendo cada vez más masa en movimiento a lo largo de la cuerda a la
misma velocidad.
Aplicando el principio cantidad de movimiento – impulso para un punto de la
cuerda en un instante de tiempo t:
Fy t  mv y
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Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Rapidez de una onda transversal
 A medida que el tiempo aumenta, también aumenta el impulso, pero como la
velocidad es constante, entonces el cambio de masa en la cuerda hace que la
cantidad 𝑚𝑣𝑦 cambie.
 Para un instante t, la cuerda sube una distancia 𝑣𝑦 𝑡 mientras que el punto P
avanza una distancia 𝑣𝑡.
 La Fuerza total en el extremo izquierdo tiene dos componentes: F (constante en
la dirección de x) y Fy .Con lo cual en la posición desplazada la tensión en la
cuerda es (𝐹 2 + 𝐹𝑦2 ); y la cuerda se estira un poco.
Al aplicar triángulos semejantes en la figura, se encuentra las siguientes relaciones:
Fy
F

v yt
vt
Impulso tranversal 
Fy  F
Fy t  F
vy
v
vy
v
t
Rapidez de una onda transversal
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Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Momento Lineal Transversal  mv y  vt v y
El momento lineal aumenta con el tiempo no porque la rapidez aumenta sino
porque más masa se pone en movimiento, pero el impulso sigue siendo la variación
del momento lineal;
F
vy
v
t  vtv y
v
F

Rapidez de una onda
transversal en una cuerda
Un segundo método para llegar al mismo resultado consiste en aplicar la segunda
ley de Newton a una parte de la cuerda para encontrar la ecuación de onda de
manera que se pueda comparar con la ecuación de onda ya conocida y obtener la
rapidez de la onda transversal en la cuerda. – (Sugerencia: El estudiante deberá
realizar la demostración)
Rapidez de una onda transversal
Física (Fluidos , Acústica y Calor)
Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Ejemplo 4: Un alambre de cobre de 2,4 mm de diámetro tiene 3 m de
longitud y se usa para suspender una masa de 2 kg de una viga. Si se envía
una perturbación transversal a lo largo del alambre golpeándolo ligeramente
con un lápiz, ¿Con que rapidez viajará la perturbación?
Ejemplo 5: Un extremo de una cuerda horizontal se conecta a una punta de
un diapasón eléctrico que vibra a 120 Hz. El otro extremo pasa por una
polea y sostiene una masa de 1,5 kg. La densidad lineal de la masa de la
cuerda es de 0,055 kg/m. (a) ¿Qué rapidez tiene una onda transversal en la
cuerda? (b) ¿Qué longitud de onda tiene? (c) ¿Cómo cambian las respuestas
de los incisos (a) y (b), si la masa se aumenta a 3 kg?
Energía del movimiento ondulatorio
Física (Fluidos , Acústica y Calor)
Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Las ondas transportan energía que está
asociada al trabajo realizado por cada porción
del medio al aplicarle una fuerza al medio
adyacente al mismo.
La figura muestra la acción de las
fuerzas en un cuerda en un punto a.
La cuerda a la izquierda de a ejerce una fuerza sobre la cuerda a la derecha y
viceversa. En la figura (b) se representa la fuerza que ejerce en a con las
componentes F y Fy. La razón 𝐹𝑦 /𝐹𝑥 (𝑭𝒙 = 𝑭 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒇ó𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂) es el negativo de la
pendiente de la cuerda en a, así:
y ( x, t )
Fy ( x, t )   F
x
Es negativo debido a que Fy es
negativa, y su pendiente es positiva.
Una onda puede transportar energía de una región del espacio a otra.
Al moverse el punto a en la dirección y, Fy efectúa trabajo en ese punto
transfiriendo energía a la parte derecha de a.
Energía del movimiento ondulatorio
Física (Fluidos , Acústica y Calor)
Cap. 4. Ondas-Mecánicas
La rapidez con que se realiza el trabajo (Potencia) se calcula de:
y ( x, t ) y ( x, t )
P ( x, t )  Fy ( x, t )  v y ( x, t )   F
x
t
La potencia es la razón instantánea de transferencia de energía por la cuerda. La
expresión es válida para cualquier onda en una cuerda. Al calcular las derivadas la
y ( x, t )
potencia será:
 Asen ( kx  t )
P ( x, t )  FkA sen kx  t 
2
2
t
y ( x, t )
  kAsen(kx  t )
x
La potencia nunca es negativa, es decir nunca se transfiere energía en la dirección opuesta a la
propagación de la onda (debido al sen2). Además en la onda electromagnét. es indepen. de ω.
Usando 𝜔 = 𝑣𝑘 y sustituyendo K, además 𝑣 2 = 𝐹/𝜇, la ecuación
se puede expresar:
P ( x, t ) 
El máximo valor es:
El valor medio:
F  2 A2sen 2 kx  t 
Pmáx 
Pmed 
1
2
F  2 A2
F  2 A2
Intensidad de ondas
Física (Fluidos , Acústica y Calor)
Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Cuando se transfiere energía en las tres dimensiones espaciales se define la
INTENSIDAD (I) como la rapidez con que la onda transporta energía, por unidad de
área a través de una superficie perpendicular a la dirección de propagación.
Intensidad = potencia media por unidad de área
𝑊
𝑚2
Para un fuente esférica la onda se propaga
igualmente en todas las direcciones con lo que la
intensidad es proporcional a la distancia al
cuadrado de la fuente (r2). Si la potencia de la
fuente es P, entonces I1 para una esfera de radio
r1 es:
P
I1 
4r12
.
Física (Fluidos , Acústica y Calor)
Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Intensidad de ondas
Si en el medio que se propaga la onda no absorbe energía, es decir la potencia de
onda se mantiene constante, se tiene que para la intensidad I2 en una esfera con
radio r2 esta dada por una expresión similar, como la potencia es la misma en ambos
casos, entonces:
4r I  4r I
2
1 1
2
2 2
I1 r22
 2
I 2 r1
Ley del inverso del cuadrado para la
intensidad
Ejemplo 4: Un alambre de piano con masa de 3 gramos y longitud de 80 centímetros
se estira con una tensión de 25 Newtons. Una onda con frecuencia de 120 Hertz y
amplitud de 1,6 milímetros viaja por el alambre. (a) Calcule la potencia media que
transporta esta onda. (b) ¿Qué sucede con la potencia media si la amplitud de la
onda se reduce a la mitad?
Ejemplo 5: Imagine que efectúa mediciones y determina que se están propagando
ondas sonoras igualmente en todas direcciones desde una fuente puntual y que la
intensidad es de 0,026 𝑊/𝑚2 a una distancia de 4,3 metros de la fuente. (a) Calcule
la intensidad a una distancia de 3,1 metros de la fuente. (b) ¿Cuánta energía sonora
emite la fuente en una hora si su emisión se mantiene constante?
Física (Fluidos , Acústica y Calor)
Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Interferencia de ondas, condiciones de frontera y superposición
La INTERFERENCIA DE ONDAS se produce por los fenómenos de reflexión de ondas
o en general cuando dos o más ondas pasan por la misma región al mismo tiempo
(onda inicial y reflejada se traslapan en la misma región del medio).
 Cuando el extremo de una cuerda está sujeto a un soporte, la onda incidente
ejerce una fuerza en este soporte, la reacción a esta fuerza en el soporte genera
una onda reflejada que viaja en dirección opuesta (recular).
El pulso reflejado es invertido al incidente.
 El caso opuesto es un extremo libre por ejemplo la cuerda sujeta a un anillo
deslizante. El anillo y la varilla mantienen tensión pero no fuerza transversal. Se
produce oscilación al llegar un pulso por lo cual nuevamente se produce una
onda reflejada en dirección opuesta a la propagación de la onda.
El pulso reflejado no es invertido.
Un ejemplo típico es el eco
Interferencia de ondas, condiciones Física (Fluidos , Acústica y Calor)
Cap. 4. Ondas-Mecánicas
de frontera y superposición
Física (Fluidos , Acústica y Calor)
Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Interferencia de ondas, condiciones de
frontera y superposición
Las condiciones en el extremo de la cuerda, como
soporte rígido o la ausencia total de la fuerza
transversal, se denominan condiciones de
frontera.
Al traslaparse los pulsos y pasarse mutuamente,
el desplazamiento total de la cuerda es la suma
algebraica de los desplazamientos individuales
de cada pulso. El desplazamiento cero en O se
debe a que el pulso reflejado se encuentra
invertido relativo al pulso incidente.
Física (Fluidos , Acústica y Calor)
Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Interferencia de ondas, condiciones de
frontera y superposición
La figura ahora muestra dos pulsos que viajan en
direcciones opuestas pero ahora no se
encuentran invertidos, el desplazamiento en O
ya no es cero, pero la pendiente de la cuerda en
ese punto si es cero, debido a la ausencia de
fuerza transversal en ese punto.
Esta situación corresponde a tener el
extremo libre de la cuerda unida a un anillo
deslizante, para este caso el pulso reflejado
no se invierte.
Física (Fluidos , Acústica y Calor)
Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Interferencia de ondas, condiciones de frontera y superposición
El PRINCIPIO DE LA SUPERPOSICIÓN establece que el desplazamiento real de
cualquier punto de una cuerda se puede obtener sumando el desplazamiento que
tendría el punto si sólo estuviera presente cada onda por separado.
y ( x, t )  y1 ( x, t )  y2 ( x, t )
Este principio se cumple debido a que la ecuación de onda es una función lineal,
por ende la función de onda también lo es. Por lo tanto si dos funciones y1 y y2
satisfacen la ecuación de onda por separado, entonces su suma y = y1 + y2 también
satisface esta ecuación de onda.
Por este motivo se puede distinguir la voz
de una persona y el sonido de un parlante.
Este principio también cumplen las ondas electromagnéticas, como la luz, además un medio
que no obedece la ley de Hooke, la ecuación de onda no es lineal y el principio no se cumple.
Ondas estacionarias en una cuerda
Se puede producir una onda
estacionaria cuando una onda
senoidal es reflejada por un
extremo fijo de una cuerda.
La figura muestra una cuerda
sometida a un M.A.S.
Se
observa la superposición de
ondas, visualmente la cuerda
parece
subdividirse
en
segmentos.
Onda incidente y la onda
reflejada opuesta producen una
onda estacionaria en una cuerda
Física (Fluidos , Acústica y Calor)
Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Ondas estacionarias en una cuerda
Física (Fluidos , Acústica y Calor)
Cap. 4. Ondas-Mecánicas
En una onda que viaja por la cuerda, la amplitud es constante y el patrón de onda se
mueve con rapidez igual a la rapidez de la onda. En cambio en esta cuerda sujeta al
extremo el patrón de la onda permanece en la misma posición en la cuerda y su
amplitud fluctúa.
Se denomina nodos a los puntos que nunca se mueven y entre nodos se tiene
antinodos (o vientre) donde la amplitud del movimiento es máximo.
Dado que el patrón no parece estar en
movimiento a lo largo de cuerda, la
onda se llama estacionaria. Una onda
que si se mueve a lo largo de la cuerda
es una onda viajera.
El principio de la superposición establece como la onda incidente y reflejada se
combinan para formar una onda estacionaria. La siguiente figura explica este
fenómeno de producir la onda estacionaria a raíz de sumar los desplazamientos en
cada punto de las ondas incidente y reflejada.
Física (Fluidos , Acústica y Calor)
Ondas estacionarias
en una cuerda
Ondas estacionarias en una cuerda
Física (Fluidos , Acústica y Calor)
Cap. 4. Ondas-Mecánicas
 En los nodos los desplazamientos se cancelan
(Interferencia destructiva).
 En los antinodos los desplazamientos se suman
dando un desplazamiento resultante grande
(Interferencia constructiva).
 La distancia entre un nodo y un antinodo es
media longitud de onda : λ/2
Se puede deducir la función de onda sumando las funciones de onda de la onda
incidente y reflejada.
y1 ( x, t )   A coskx  t 
y2 ( x, t )  A coskx  t 
Onda incidente que viaja a la izquierda
Onda reflejada que viaja a la derecha
y ( x, t )  A coskx  t   coskx  t 
Ondas estacionarias en una cuerda
y ( x, t )  2 Asenkx sent
y ( x, t )   ASW senkx sent
Física (Fluidos , Acústica y Calor)
Cap. 4. Ondas-Mecánicas
ASW  2 A
Onda estacionaria en una cuerda, extremo fijo en x = 0
En la onda estacionaria se consigue la misma rapidez de propagación, la misma
longitud de onda, pero diferente amplitud: 2A
Se puede usar esta ecuación para determinar las posiciones de los nodos, los cuales
cumplen que sen𝑘𝑥 = 0 y esto ocurre si:
 2 3
 2 3
x  0, ,
,
,  x  0, 2 , 2 , 2 , 
k k
k
kx  0,  ,2 , 
k
2

Las ondas estacionarias no transfieren energía, las ondas individuales transportarían
cantidades iguales de potencia en direcciones opuestas, hay flujo local de energía
entre nodos y antinodos adyacentes pero la razón media de transferencia de energía
es cero.
Ondas estacionarias en una cuerda
Física (Fluidos , Acústica y Calor)
Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Ejemplo 6: La figura muestra dos pulsos ondulatorios rectangulares en una cuerda
estirada, que viaja uno hacia el otro. Su rapidez es de 1 mm/s y su peso y su anchura
se muestran en la figura. Los bordes delanteros de los pulsos están separados 8 mm
en t = 0. Dibuje la forma de la cuerda en t = 4 s, t = 6 s y t = 10 s. -15,35 13va
Ejemplo 7: Los antinodos adyacentes de una onda estacionaria en una cuerda están
separados 15 cm. Una partícula en un antinodo oscila en movimiento armónico
simple con amplitud de 0,85 cm y periodo de 0,075 s. La cuerda está en el eje +x,
fija en x = 0. (a) ¿Qué tan separados están los nodos adyacentes? (b) ¿Cuáles son la
longitud de onda, la amplitud, la rapidez de las dos ondas viajeras que forman este
patrón? (c) Calcule las rapideces transversales máxima y mínima de un punto en un
antinodo. (d) ¿Cuál es la distancia mínima en la cuerda entre un nodo a un
antinodo? -15,36 13va
Modos normales en una cuerda
Física (Fluidos , Acústica y Calor)
Cap. 4. Ondas-Mecánicas
En una cuerda se puede producir una onda estacionaria si esta se encuentra fija en
sus extremos.
Si se produce un pulso en la cuerda esta se refleja en sus extremos lo que produce
una onda sonora en el aire (principio de los instrumentos de cuerda). Al establecer
una onda senoidal en la cuerda, se crearán nodos en los extremos de la cuerda y
𝜆
como los nodos adyacentes están separados la distancia , entonces la longitud de la
2
cuerda será:
Ln

n  1,2,3, 
2
Entonces solo existe una onda estacionaria si
λ satisface la ecuación anterior, así:
n 
2L
n
n  1,2,3, 
Modos normales en una cuerda
Física (Fluidos , Acústica y Calor)
Cap. 4. Ondas-Mecánicas
A esta serie de longitudes de onda le corresponde una serie de frecuencias, dada
por:
fn 
v
n
n  1,2,3, 
Primera frecuencia o FRECUENCIA FUNDAMENTAL:
Segundo armónico o Primer Sobretono:
Tercer armónico o Segundo Sobretono:
“n-ésimo” armónico:
fn 
v
n
n
v
 nf1
2L
f2 
f3 
v
2
v
3

f1 , f 2 , f 3 , , f n , 
v
1

v
2L
v
v
2
 2 f1
L
2L
3
n  1,2,3, 
Serie armónico:
f1 
v
 3 f1
2L
Modos normales en una cuerda
Física (Fluidos , Acústica y Calor)
Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Una onda con extremos fijos en x = 0 y x = L, tendrá como función de onda la
expresión:
yn ( x, t )  ASW senk n tsenn t
A esta expresión se denomina modo normal, el cuál es el estado en el que todas las
partículas de la cuerda oscilan con la misma frecuencia.
Un oscilador armónico que tiene
una partícula oscilante tiene un
solo modo normal y una sola
frecuencia característica.
La cuerda fija se componen de un
numero infinito de partículas por lo
tanto tiene un número infinito de
modos normales.
Modos normales en una cuerda
Física (Fluidos , Acústica y Calor)
Cap. 4. Ondas-Mecánicas
 Una cuerda vibrante desplazaría al aire con la misma
frecuencia, lo cual nosotros percibimos como un tono.
 Una onda estacionaria para un modo normal no es
pura en su totalidad pues al pulsar una cuerda de una
guitarra o golpear las cuerdas de un piano se crean
muchos modos de vibración los cuales se combinan
entre si según el principio de la superposición.
Varios movimientos armónicos simples están presentes,
el sonido producido por la cuerda es la superposición de
las ondas sonoras senoidales viajeras, que se percibe en
el aire como una onda con gran contenido armónico.
Es posible representar el movimiento de la cuerda
como la superposición de modos normales. Encontrar
el patrón de vibración es la tarea del análisis
armónico- o serie de Fourier.
Física (Fluidos , Acústica y Calor)
Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Ondas estacionarias y cuerdas vibrantes
Para una cuerda fija en sus dos extremos la frecuencia fundamental se encontrará
dada por:
f1 
1
2L
F

• Que es también la frecuencia
fundamental de la onda sonora
generada por la cuerda.
• Los instrumentos musicales muestran
como esta frecuencia depende de las
características del instrumento de
cuerda.
Al manipular la longitud de la cuerda se pueden generar frecuencias diferentes al
igual que al manipular su tensión o usar un tipo diferente de cuerda.
Por ejemplo al aumentar la tensión de la cuerda, genero más frecuencia, y a su vez
más tono, y para bajar la frecuencia aumento la masa de la cuerda.
Física (Fluidos , Acústica y Calor)
Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Ondas estacionarias y cuerdas vibrantes
Ejemplo 8: La forma de una cuerda delgada tensa que está atada por ambos
extremos y oscila en su tercer armónico se describe con la ecuación 𝑦 𝑥, 𝑡 =
5,60𝑐𝑚 𝑠𝑒𝑛 0,0340𝑟𝑎𝑑/𝑐𝑚 𝑥 𝑠𝑒𝑛 50,0𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑡 , donde el origen está en el
extremo izquierdo de la cuerda, el eje x está a lo largo de la cuerda y el eje y es
perpendicular a la cuerda. (a) Dibuje el patrón de onda estacionaria, (b) Calcule la
amplitud de las dos ondas viajeras que constituyen esta onda estacionaria. (c) ¿Qué
longitud tiene la cuerda? (d) Calcule la longitud de onda, la frecuencia, el periodo y
la rapidez de las ondas viajeras. (e) Calcule la rapidez transversal máxima de la
cuerda. (f) ¿Qué ecuación y(x,t) tendría esta cuerda si vibrara en su octavo
armónico?
Ejemplo 9: Una de las cuerdas de 63,5 cm de una guitarra ordinaria se afina para
producir la nota B3 (frecuencia de 245 Hz) vibrando en su modo fundamental. (a)
Calcule la rapidez de las ondas transversales en esta cuerda. (b) Si la tensión de la
cuerda se aumenta en 1,0%. ¿cuál será la nueva frecuencia fundamental? (c) Si la
rapidez del sonido en el aire circundante es de 344 m/s, ¿cuánto valdrá la frecuencia
y la longitud de la onda sonora producida en el aire por la vibración de esta cuerda?
Compárelas con f y ω de la onda estacionaria en la cuerda.
La longitud de onda de cada modo normal depende solamente de la longitud de la
cuerda y no del cambio de tensiones
Física (Fluidos , Acústica y Calor)
Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Ondas estacionarias y cuerdas vibrantes
Problemas Complementarios:
15.18 Una cuerda de 1.50 m que pesa 0.0125 N está atada al techo por su extremo
superior, mientras que el extremo inferior sostiene un peso W. Desprecie la
pequeña variación de la tensión a lo largo de la cuerda producida por el peso de la
misma. Cuando usted da un leve pulso a la cuerda, las ondas que viajan hacia arriba
de esta obedecen la ecuación:
𝑌(𝑥, 𝑡) = (8.5𝑚𝑚) cos(172 𝑚
−1
𝑥 − 4830𝑠
−1
𝑡)
Suponga que la tensión de la cuerda es constante e igual a W.
a) ¿Cuánto tiempo tarda un pulso en recorrer toda la cuerda?
b) ¿Cuál es el peso W?
c) ¿Cuántas longitudes de onda hay en la cuerda en cualquier instante?
d) ¿Cuál es la ecuación para las ondas que viajan hacia abajo de la cuerda?
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Cap. 4. Ondas-Mecánicas
Ondas estacionarias y cuerdas vibrantes
Problemas Complementarios:
13,64 Masa de un cometa.
El 4 de julio de 2005, la nave espacial de la NASA Deep Impact disparó un proyectil a
la superficie del cometa Tempel 1, el cual mide aproximadamente 9km de
diámetro. Observaciones de los restos superficiales liberados por el impacto
mostraron que el polvo, con una rapidez tan baja como 1m/s, podía escapar del
cometa.
a) Suponiendo una forma esférica, ¿cuál es la masa de este cometa? (Sugerencia:
Véase el ejemplo 13.5 en la sección 13.3).
b) ¿Qué tan alejados del centro del cometa estarán los restos cuando hayan
perdido:
i. El 90.0% de la energía cinética inicial en la superficie, y
ii. Toda su energía cinética inicial en la superficie?
Bibliografía
[1] Sears, Zemansky, Young, Freedman: Física Universitaria, Décimo segunda
Edición, Volumen 1 Pearson, 2009
[2] Halliday – Resnick:
Fundamentos de Física
CECSA
1994