Subido por Daniel A Baez Homa

Investigacion Algebra lineal

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Sistemas de ecuaciones lineales: Un sistema de ecuaciones lineales es
un conjunto de dos o más ecuaciones de primer grado, en el cual se
relacionan dos o más incógnitas.
Clasificación de acuerdo a su solución
Matriz escalonada: una matriz se llama escalonada por renglones o
simplemente escalonada si cumple con las siguientes propiedades:
1. Todos los renglones cero están en la parte inferior de la matriz.
2. El elemento delantero de cada renglón diferente de cero está a
la derecha del elemento delantero diferente de cero del renglón
anterior.
Ejemplos.
En cada renglón diferente de cero la primera entrada diferente de
cero está marcada en color verde.
Método de gauss: modifica el sistema de ecuaciones original para
conseguir eliminar ciertos coeficientes. El mismo proceso puede
realizarse matricialmente, siguiendo exactamente los mismos pasos,
pero sin tener que escribir las incógnitas. Ésta es la única ventaja del
método de Gauss utilizando matrices. Para ello se utiliza la matriz
ampliada. Debe recordarse que:
•
Se pueden intercambiar filas de la matriz porque representan
ecuaciones que también pueden intercambiarse.
•
Pueden intercambiarse columnas, teniendo en cuenta que cada
columna representa los coeficientes de una variable concreta.
Por lo tanto, al final deberemos asociar la solución a la variable
correcta.
Por ejemplo, dado este sistema:
las transformaciones que provoca el método de Gauss en su matriz
ampliada pueden seguirse en esta secuencia (los espacios en blanco
de la matriz sustituyen ceros):
El sistema resultante, sobre el que se aplicará la sustitución hacia
atrás, es el siguiente:
Método Gauss-Jordan: el método de Gauss-Jordan utiliza
operaciones con matrices para resolver sistemas de ecuaciones de n
número de variables.
Para aplicar este método solo hay que recordar que cada operación
que se realice se aplicara a toda la fila o a toda la columna en su
caso.
El objetivo de este método es tratar de convertir la parte de la matriz
donde están los coeficientes de las variables en una matriz identidad.
Esto se logra mediante simples operaciones de suma, resta y
multiplicación. El procedimiento es el siguiente:
•
Primero se debe tener ya el sistema de ecuaciones que se quiere
resolver y que puede ser de n número de variables por ejemplo:
•
Se acomodan los coeficientes y los resultados en una matriz:
•
En el ejemplo, el -3 de la primera matriz se tiene que convertir en
un 1, según la matriz identidad, así que hay que dividir entre -3,
pero como una operación se aplica a toda la fila, entonces toda
la primera fila se tiene que dividir entre –3:
•
Después, como se ve en la matriz identidad, hay que hacer 0
toda la columna debajo del 1, y se hace multiplicando por algo
la fila de arriba y sumándola a la fila de abajo. En este caso, se
multiplica por -4 la fila de arriba y se suma con la
correspondiente posición de la fila de abajo:
•
Para hacer cero el siguiente renglón simplemente hay que
multiplicar por –1 al primer renglón sumarlo al tercero:
•
El siguiente paso para lograr una matriz identidad es obtener el
siguiente 1, que en este caso iría en donde está el 5
en la segunda fila. Para lograrlo hay que dividir toda la
segunda fila entre 5:
•
Después se tienen que hacer 0 los que están arriba y abajo del 1,
que en este caso sería, para el que está arriba R2+R1:
•
Ahora hay que hacer cero la posición a12. En este caso con
hacer R2+R1 es suficiente:
•
Dividir entre 2 R3 nos permite encontrar el otro 1, el de la
posición a33:
•
Ahora necesitamos ceros en las posiciones a13 y a23. Dividir entre
⅓ R3 y sumarlo a R1 nos permitirá encontrar uno de ellos:
•
El último cero lo logramos multiplicando por -⅓R3 y sumándolo
a R2:
•
Al encontrar la matriz identidad se encuentra la solución del
sistema de ecuaciones, pues esto se traduce a:
Regla de Crammer: La regla de Cramer nos permite resolver sistemas
de ecuaciones lineales (SEL) compatibles determinados, es decir, con
una única solución.
El sistema tiene que ser cuadrado (tantas ecuaciones como
incógnitas) y la matriz de coeficientes debe ser regular (determinante
distinto de 0).
Recordad que podemos escribir el sistema de ecuaciones en forma
matricial como:
donde A es la matriz de coeficientes, X es la matriz columna con las
incógnitas y b es la matriz columna con los términos independientes.
Bajo estas condiciones, la regla de Cramer es la siguiente:
La incógnita Xi del sistema AX = b es
donde Ai es la matriz A, pero cambiando la columna i de A por la
columna de términos independientes, b.
Ejemplo:
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