5.1 Estas funciones son una forma matemática de describir el sistema de preferencia. Más importante que el valor en que una utilidad es mayor a otra, es el orden, esto debido a que la función de utilidad es un instrumento para asignar un número a todas las canastas de consumo, donde la más preferidas tendrán un numero más alto a las que se prefieren menos. Debido a la importancia del orden y no del valor absoluto de la función, la utilidad tiene un carácter ordinal. 5.2. Las transformaciones monótonas son una serie de números que se transforman de tal forma que se mantiene el orden original. En este caso, lo único importante al ordenar es el lugar que ocupa cada opción y no el valor que asume. Así, la utilidad de la canasta (x1, x2) será mayor que la utilidad de la canasta (y1, y2), sí y solo sí, la canasta (x1, x2) es estrictamente preferida a la canasta (y1, y2). En términos matemáticos: u (x1, x2) > u (y1, y2) <=> (x1, x2) (y1, y2) Asimismo, como las funciones de utilidad siempre deben ser crecientes, porque excluye el punto de saciedad, entonces toda la transformación monótona de la función de utilidad debe representar al mismo sistema de preferencia, matemáticamente: f [ u (x1, x2)] > f [ u (y1, y2)] <=> u (x1, x2) > (y1, y2) (x1, x2) (y1, y2) 5.5. Cuando un consumidor ha elegido una casta de consumo, es importante conocer cómo cambia su utilidad cuando varían las cantidades de los bienes que la componen, ya sea tan solo por el cambio en uno de los bienes o en ambos. Suponiendo que un agente consume la canasta de bienes (x1, x2), la variación de la utilidad total cuando se obtiene una cantidad adicional del bien 1, permaneciendo constante la cantidad del bien 2, se denomina utilidad marginal del bien 1 (UM1). Si la función de utilidad total se representa por U (x1, x2), matemáticamente la utilidad marginal del bien 1 se representa por la derivada parcial de la función respecto al bien 1: Sin embargo, para los economistas, los que más importan son los pequeños cambios, por ello se emplean los límites en los que el incremento de x(∆x), tiende a 0, es decir, el cambio infinitesimal. La utilidad marginal del bien 1, mide la variación de la utilidad total cuando se incrementa el bien 1 manteniéndose constante la cantidad del bien 2. La variación siempre es positiva para preferencias regulares. Entonces, la utilidad marginal del bien 2, será: La utilidad marginal del bien 2, cuantifica el cambio de la utilidad cuando aumenta el bien 2 manteniéndose constante la cantidad del bien 1. La relación marginal de sustitución en términos económicos es la relación a la que un consumidor está dispuesto a sustituir unidades del bien x2, por una unidad adicional del bien x1. Esta describe la relación de cambio que existe entre los dos bienes y será negativa en tanto las preferencias sean regulares, ya que cuando se agrega una unidad del bien 1 se debe reducir la cantidad del bien 2 para que el consumidor permanezca en el mismo orden de preferencia. La relación marginal de sustitución se mide por la siguiente expresión: Cuando las variaciones son infinitesimales, la RMS mide la pendiente de la curva de indiferencia que corresponde a una canasta de bienes dada, es decir, cuantificar la cantidad que se deja de consumir del bien 2 para obtener la unidad adicional del bien 1 permaneciendo en la misma curva de indiferencia. Así pues, para determinar la RMS se modifican las cantidades de ambos bienes de tal forma que la variación total de la utilidad sea igual a cero y se permanezca en la misma curva de indiferencia. Ocupando el diferencial total de la curva de indiferencia y suponiendo una variación de consumo tal que la variación de utilidad sea cero para que el consumidor se desplace sobre la misma curva de indiferencia, entonces: Como la derivada parcial de la función de utilidad respecto al bien 1 se denomina utilidad marginal del bien 1 (UMg1) y la derivada parcial de la función de utilidad respecto al bien 2 se denomina utilidad marginal del bien 2 (UMg2), ambos conceptos económicos se sustituyen en el diferencial total de la función de utilidad así: Despejando los diferenciales de los bienes 1 y 2 se obtiene la relación marginal de sustitución: 5.6. La RMS es decreciente conforme se tienen más unidades del bien q. Cuando se tiene mucho de un bien y poco del otro, es factible intercambiar varias unidades del bien cuantioso por una adicional del bien escaso. Pero conforme se van teniendo menos unidades del bien cuantioso se reduce la cantidad a la que se está dispuesto a intercambiarlo por el bien que ya no es tan escaso. El gráfico ilustra por medio de triángulos generados por los diferenciales el hecho de que la RMS es negativa, conforme se tienen más unidades del bien 1 se reduce la cantidad del bien 2 y los triángulos se van reduciendo.
