Trabajo y Energía en Cuerpos Rígidos: Principios Físicos

18.3 TRABAJO DE UN MOMENTO DE PAR
Considere el cuerpo de la figura 18-10a, el cual se somete a un momento de par M
= Fr. Si el cuerpo experimenta un desplazamiento diferencial, entonces el trabajo
realizado por las fuerzas del par se puede determinar si se considera el
desplazamiento como la suma de una traslación distinta más rotación. Cuando el
cuerpo se traslada, el trabajo de cada fuerza lo realiza sólo el componente de
desplazamiento a lo largo de la línea de acción de las fuerzas dst, figura 18-10b. Es
obvio que el trabajo “positivo” de una fuerza anula el trabajo “negativo” de la otra.
Cuando el cuerpo experimenta una rotación diferencial dθ alrededor del punto
arbitrario O, figura 18-10c, entonces cada fuerza experimenta un desplazamiento
dsθ = (r / 2) dθ en la dirección de la fuerza. Por consiguiente, el trabajo total realizado
es
𝑑𝑈𝑀 = 𝐹 (
𝑟
𝑟
𝑑𝜃 ) + 𝐹 ( 𝑑𝜃 ) = (𝐹𝑟)𝑑𝜃
2
2
= 𝑀𝑑𝜃
(Fig. 18-10)
El trabajo es positivo cuando M y dU tienen el mismo sentido de dirección y negativo
si estos vectores están en el sentido opuesto. Cuando el cuerpo gira en el plano a
través de un ángulo finito θ medido en radianes, desde θ1 hasta θ2, el trabajo de un
momento de par es por consiguiente
𝜃2
𝑈𝑀 = ∫ 𝑀𝑑 𝜃
(18.12)
𝜃1
Si el momento de par M tiene una magnitud constante, entonces
𝑈𝑀 = 𝑀(𝜃2 − 𝜃1)
(18.13)
18.4 PRINCIPIO DE TRABAJO Y ENERGÍA
Aplicar el principio de trabajo y energía a cada una de las partículas de un cuerpo
rígido y con la suma algebraica de los resultados, puesto que la energía es un
escalar, el principio de trabajo y energía para un cuerpo rígido resulta
𝑇1 + ∑ 𝑈1−2 = 𝑇2
(18.14)
Esta ecuación establece que la energía cinética inicial de traslación y rotación del
cuerpo, más el trabajo realizado por todas las fuerzas externas y momentos de par
que actúan en el cuerpo a medida que se mueve desde su posición inicial hasta su
posición final, es igual a su energía cinética final de traslación y rotación. Observe
que el trabajo de las fuerzas internas del cuerpo no tiene que considerarse. Estas
fuerzas actúan en pares colineales iguales pero opuestos, de modo que cuando el
cuerpo se mueve, el trabajo de una fuerza anula el de su contraparte. Además,
como el cuerpo es rígido, entre estas fuerzas no hay movimiento relativo, de modo
que no se realiza trabajo interno. Cuando varios cuerpos rígidos están conectados
por pasadores, o por cables inextensibles o engranados unos con otros, puede
aplicarse la ecuación 18-14 a todo el sistema de cuerpos conectados. En todos
estos casos las fuerzas internas, que mantienen los diversos miembros juntos, no
realizan trabajo y por consiguiente se eliminan del análisis.
PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS
El principio de trabajo y energía se utiliza para resolver problemas cinéticos que
implican velocidad, fuerza y desplazamiento, puesto que estos términos intervienen
en la formulación. Para su aplicación, se sugiere el siguiente procedimiento.
Energía cinética (diagramas cinemáticos).
• La energía cinética de un cuerpo se compone de dos partes. La energía cinética
1
de traslación se refiere a la velocidad del centro de masa, 𝑇 = 2 𝑚𝑣𝐺 2 y la energía
cinética de rotación se determina por el momento de inercia del cuerpo con respecto
al centro de masa,
1
𝑇 = 2 𝐼𝐺 𝜔2 . En el caso especial de rotación alrededor de un eje fijo (o rotación
alrededor del CI), estas dos energías cinéticas se combinan y pueden expresarse
1
como 𝑇 = 2 𝐼𝑜 𝜔2, donde 𝐼𝑜 es el momento de inercia con respecto al eje de rotación.
• Los diagramas cinemáticos de velocidad pueden ser útiles para determinar 𝑣𝐺 y 𝜔
o para establecer una relación entre 𝑣𝐺 y 𝜔 .
Trabajo (diagrama de cuerpo libre).
• Trace un diagrama de cuerpo libre del cuerpo cuando se encuentra en un punto
intermedio a lo largo de la trayectoria que incluya todas las fuerzas y momentos de
par que realizan trabajo en el cuerpo cuando se desplaza a lo largo de la trayectoria.
• Una fuerza realiza trabajo cuando se desplaza en su dirección.
• Las fuerzas que son funciones de desplazamiento deben integrarse para obtener
el trabajo. Gráficamente, el trabajo es igual al área bajo la curva de fuerzadesplazamiento.
• El trabajo de un peso es el producto de su magnitud y el desplazamiento vertical,
Uw= Wy. Es positivo cuando el peso se mueve hacia abajo.
1
• El trabajo de un resorte es de la forma 𝑈𝑆 = 2 𝑘𝑠 2 , donde k es la rigidez del resorte
y s es su alargamiento o compresión.
• El trabajo de un par es el producto del momento de par por el ángulo en radianes
a través de los que gira, UM = Mθ.
• Como se requiere la adición algebraica de los términos de trabajo, es importante
especificar el signo apropiado de cada término. Específicamente, el trabajo es
positivo cuando la fuerza (momento de par) actúa en la misma dirección que su
desplazamiento (rotación); de lo contrario es negativo.
Principio de trabajo y energía.
• Aplique el principio de trabajo y energía 𝑇1 + ∑ 𝑈1−2 = 𝑇2 . Como ésta es una
ecuación escalar, puede utilizarse para determinar sólo una incógnita cuando se
aplica a un solo cuerpo rígido.
18.5 CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA
Cuando un sistema de fuerzas que actúa en un cuerpo rígido se compone de sólo
fuerzas conservadoras, puede utilizarse el teorema de la conservación de la energía
para resolver un problema que de lo contrario se resolvería con el principio de
trabajo y energía. Este teorema suele ser más fácil de aplicar puesto que el trabajo
de una fuerza conservadora es
independiente de la trayectoria y depende sólo de las posiciones inicial y final del
cuerpo.
Energía potencial gravitacional. Como el peso total de un cuerpo puede
considerarse como concentrado en su centro de gravedad, su energía potencial
gravitacional se determina al conocer la altura de su centro de gravedad sobre o
bajo un plano de referencia horizontal.
(18.15)
𝑉𝑔 = 𝑊𝑦𝐺
En este caso la energía potencial es positiva cuando 𝑦𝐺 es positiva hacia arriba,
puesto que el peso tiene la capacidad de realizar trabajo positivo cuando el cuerpo
regresa al plano de referencia, figura 18-16. Asimismo, si G está bajo el plano de
referencia (−𝑦𝐺 ), la energía potencial gravitacional es negativa, puesto que el peso
realiza trabajo negativo cuando el cuerpo vuelve al plano de referencia.
Fig. 18-17
Fig. 18.16
Energía potencial elástica. La fuerza desarrollada por un resorte elástico también
es una fuerza conservadora. La energía potencial elástica que un resorte imparte a
un cuerpo conectado cuando el resorte se alarga o comprime desde una posición
no deformada (s=0) hasta una posición final s, figura 18-17, es
1
𝑉𝑒 = + 𝑘𝑠 2
2
(18-16)
Conservación de la energía. En general, si un cuerpo se somete tanto a fuerzas
gravitacionales como elásticas, la energía potencial total puede expresarse como
una función potencial representada como la suma algebraica
𝑉 = 𝑉𝑔 + 𝑉𝑒
(18-17)
Aquí la medición de V depende de la ubicación del cuerpo con respecto a un plano
de referencia seleccionado.
Como el trabajo de fuerzas conservadoras puede escribirse como una diferencia de
sus energías potenciales, es decir,(∑ 𝑈1−2 )𝑐𝑜𝑛𝑠 = 𝑉1 − 𝑉2 , ecuación 14-16,
podemos reescribir el principio de trabajo y energía para un cuerpo rígido como
𝑇1 + 𝑉1 + (∑ 𝑈1−2 )𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠 = 𝑇2 + 𝑉2
(18-18)
En este caso (∑ 𝑈1−2 )𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠 representa el trabajo de las fuerzas no conservadoras,
como la fricción. Si este término es cero, entonces
𝑇1 + 𝑉1 = 𝑇2 + 𝑉2
(18-19)
Esta ecuación se conoce como energía mecánica de conservación. Establece que
la suma de las energías potencial y cinética del cuerpo permanece constante
cuando el cuerpo se mueve de una posición a otra. También es válida para un
sistema de cuerpos rígidos lisos conectados por pasador, libres de fricción, cuerpos
conectados por cuerdas inextensibles y cuerpos acoplados con otros cuerpos. En
todos estos casos, las fuerzas que actúan en los puntos de contacto se eliminan del
análisis, puesto que ocurren en pares colineales iguales pero opuestos y cada par
de fuerzas se recorre una distancia igual cuando el sistema se desplaza.
Es importante recordar que solamente los problemas que implican sistemas de
fuerzas conservadoras pueden resolverse con la ecuación 18-19. Las fuerzas de
fricción u otras fuerzas resistentes al avance, las cuales dependen de la velocidad
o aceleración, son no conservadoras. El trabajo de fuerzas como ésas se transforma
en energía térmica utilizada para calentar las superficies de contacto, y por
consiguiente esta energía se disipa en el medio circundante y no puede
recuperarse. Por consiguiente, los problemas que implican fuerzas de fricción se
resuelven ya sea por el principio de trabajo y energía de la forma de la ecuación 1818, si es pertinente, o por las ecuaciones de movimiento.
PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS
La ecuación de conservación de la energía se utiliza para resolver problemas que
implican velocidad, desplazamiento y sistemas de fuerzas conservadoras. Para su
aplicación se sugiere el siguiente procedimiento.
Energía potencial.
• Trace dos diagramas que muestren el cuerpo localizado en sus posiciones iniciales
y final a lo largo de la trayectoria.
• Si el centro de gravedad, G, se somete a un desplazamiento vertical, establezca
un plano de referencia horizontal fijo con respecto al cual se medirá la energía
potencial gravitacional del cuerpo Vg.
• Los datos de elevación 𝑦𝐺 del centro de gravedad del cuerpo con respecto al plano
de referencia y de la extensión o compresión de cualquier resorte de conexión
pueden determinarse con la geometría del problema y anotarse en los dos
diagramas.
• La energía potencial se determina con 𝑉 = 𝑉𝑔 + 𝑉𝑒 . Donde 𝑉𝑔 = 𝑊𝑦𝐺 , la cual puede
1
ser positiva o negativa y 𝑉𝑒 = + 2 𝑘𝑠 2 , la cual siempre es positiva.
Conservación de la energía.
• Aplique la ecuación de conservación de la energía 𝑇1 + 𝑉1 = 𝑇2 + 𝑉2.
EJERCICIOS:
18-41. El carrete tiene masa de 50 kg y radio de giro Ko = 0.280 m. Si el bloque A
de 20 kg es liberado del reposo, determine la distancia que debe caer para que el
carrete tenga velocidad angular ω= 5 rad/s. ¿Cuál es la tensión en la cuerda
mientras el bloque está en movimiento? Desprecie la masa de la cuerda.
VA= 0.2ω = 0.2(5) = 1 m/s
T1 + V1 = T 2 + V2
1
1
(0 + 0) + 0 =2 (20)(1)2 + 2 [50(0.280)2 ](5)2 − 20(9.81)𝑠
s = 0.301 m
BLOQUE
𝑇1 + ∑ 𝑈1−2 = 𝑇2
1
0 + 20(9.81)(0.301) − 𝑇(0.301) = (20)(1)2
2
𝑻 = 𝟏𝟔𝟑 𝑵
18-42. Cuando la barra esbelta AB de 10 kg tiene posición horizontal se encuentra
en reposo y el resorte no está estirado. Determine la rigidez k del resorte de manera
que el movimiento de la barra es detenido momentáneamente cuando ésta ha
girado hacia abajo 90°.
T1 + V1 = T2 + V2
1
1.5
0 + 0 = 0 + (𝑘)(3.3541 − 1.5)2 − 98.1( )
2
2
k = 42.8 N/m
18-43. La rueda de 50 lb tiene radio de kG = 0.7 pies con respecto a su centro de
gravedad G. Si rueda sin deslizar determine su velocidad angular cuando ha girado
90° en sentido de las manecillas del reloj desde la posición mostrada, el resorte AB
tiene rigidez k = 1.20 lb/pie y tiene longitud no estirada de 0.5 pies. La rueda es
liberada del reposo.
T1 + V1 = T2 + V2
1
0 + (1.2)[√(3)2 + (0.5)2 − 0.5]2
2
1 50
1 50
1
(0.7)2 ] 𝜔2 + (
= [
) 𝜔2 + (1.20)(0.9292 − 0.5)2
2 32.2
2 32.2
2
𝝎 = 𝟏. 𝟖 𝒓𝒂𝒅/𝒔
18-44. La puerta está hecha a partir de una pieza cuyos extremos se mueven a lo
largo de las guías horizontal y vertical, si la puerta se encuentra abierta, θ = 0°, y
entonces es liberada, determine la rapidez con que su extremo A golpea el tope
colocado en C. suponga que la puerta es una placa delgada de 180 lb con ancho
de 10 pies.
T1 + V1 = T2 + V2
1 1 180
1 180
0+0= [ (
) (8)2 ] 𝜔2 + (
) (𝜔)2 − 180(4)
2 12 32.2
2 32.2
ω = 6.3776 rad/s
𝑣𝑐 = 𝜔(5) = 6.3776(5) = 𝟑𝟏. 𝟗 𝒎/𝒔
18.45. Las dos barras son liberadas del reposo en la posición θ. Determine sus
velocidades angulares en el instante en que están en posición horizontal. Desprecie
la masa del rodillo en C. cada barra tiene masa m y longitud L.
ENERGÍA POTENCIAL:
𝑉1 = 2(
𝑚𝑔𝐿
sin 𝜃) = 𝑚𝑔𝐿𝑠𝑖𝑛 𝜃
2
𝑉2 = 0
ENERGÍA CINÉTICA:
T1 = 0
1
1
𝑇2 = 2 (𝐼𝐴𝐵 )𝐴 𝜔2𝐴𝐵 + 2 (𝐼𝐵𝐶 )𝐶 𝜔2 𝐵𝐶
=
1 1 2 2 1 1 2 2
( 𝑚𝐿 ) 𝜔 + ( 𝑚𝐿 )𝜔
2 3
2 3
=
1 2 2
𝑚𝐿 𝜔
3
CONSERVACIÓN DE ENERGÍA:
T1 + V1 = T2 + V2
0 + 𝑚𝑔𝐿𝑠𝑖𝑛 𝜃 =
1 2 2
𝑚𝐿 𝜔 + 0
3
𝟑𝒈
𝜔𝐴𝐵 = 𝜔𝐵𝐶 = 𝜔 = √ 𝐬𝐢𝐧 𝜽
𝑳
18.46. Un neumático de automóvil tiene masa de 7kg y radio de giro k G = 0.3. Si es
liberado del reposo en el punto A sobre el plano inclinado, determine su velocidad
angular cuando alcanza el plano horizontal. El neumático rueda sin deslizar.
𝑣𝐺 = 0.4𝜔
Dato en el punto más bajo.
T1 + V1 = T2 + V2
1
0 + 7(9.81)(5) = (7)(0.4𝜔)2
2
1
+ [7(0.3)2 ]𝜔2 + 0
2
𝝎 = 𝟏𝟗. 𝟖 𝒓𝒂𝒅/𝒔
18.47. La polea de disco compuesto consta de un cubo y un borde exterior unido al
disco. Si la polea tiene masa de 3 kg y radio de giro kG = 45 mm, determine la rapidez
del bloque A después que ha descendido 0.2 m desde el reposo. Los bloques A y B
tienen masa de 2 kg cada uno. Desprecie la masa de las cuerdas.
T1 + V1 = T2 + V2
0=
1
1
1
[3(0.045)2 ]𝜔2 + (2)(0.03𝜔)2 + (2)(0.1𝜔)2 − 2(9.81)𝑠𝐴
2
2
2
+ 2(9.81)𝑠𝐵
𝜃=
𝑠𝐵
𝑠𝐵
=
0.03 0.1
𝑠𝐵 = 0.3𝑠𝐴
Por lo tanto:
𝑠𝐴 = 0.2𝑚,
𝑠𝐵 = 0.06𝑚
Sustituyendo y resolviendo:
𝜔 = 14.04 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝒗𝑨 = 𝟎. 𝟏(𝟏𝟒. 𝟎𝟒) = 𝟏. 𝟒 𝒎/𝒔
18.48. En el instante en que el resorte no está deformado, el centro del disco de 40
kg tiene una rapidez de 4 m/s. Desde este punto determine la distancia d que el
disco se mueve hacia abajo por el plano antes de detenerse momentáneamente. El
disco rueda sin deslizar.
Dato en el punto más bajo.
T1 + V1 = T2 + V2
1 1
4 2 1
1
2
(40)(0.3)
[
] ( ) + (40)(4)2 + 40(9.81)𝑑𝑠𝑖𝑛 30° = (200)𝑑 2
2 2
0.3
2
2
100𝑑 2 − 196.2𝑑 − 480 = 0
𝒅 = 𝟑. 𝟑𝟖𝒎
18.50. El conjunto consta de la polea A de 3 kg y la polea B de 10 kg. Si un bloque
de 2 kg es suspendido de la cuerda, determine su rapidez después de que
desciende 0.5 m partiendo del reposo. Desprecie la masa de las cuerdas y trate las
poleas como discos delgados. No ocurre ningún deslizamiento.
T1 + V1 = T2 + V2
0=
1 1
1 1
[ (3)(0.03)2 ] 𝜔2𝐴 + [ (10)(0.1)2 ] 𝜔2 𝐵
2 2
2 2
1
2
+ (2)(𝑣𝑐 ) − 2(9.81)(0.5)
2
𝑣𝑐 = 𝜔𝐵 (0.1) = 0.03𝜔𝐴
𝜔𝐵 = 10𝑣𝑐 ,
𝒗𝒄 = 𝟏. 𝟓𝟐 𝒎/𝒔
𝜔𝐴 = 33.33𝑣𝑐
18.52. La barra esbelta AB de 25 lb está unida a un resorte BC que tiene longitud
no estirada de 4 pies. Si la barra es liberada del reposo cuando θ = 30°, determine
su velocidad angular en el momento en el que θ = 90°.
𝒍 = √(𝟒)𝟐 + (𝟒)𝟐 − 𝟐(𝟒)(𝟒)𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟓𝟎° = 𝟕. 𝟕𝟐𝟕 𝒇𝒕
T1 + V1 = T2 + V2
1
1 1 25
1
25(2) sin 30° + (5)(7.727 − 4)2 = [ (
) (4)2 ] 𝜔2 + 25(2) + (5)(4√2 − 4)2
2
2 3 32.2
2
𝝎 = 𝟏. 𝟏𝟖 𝒓𝒂𝒅/𝒔
18-54. Una cadena con masa insignificante cuelga de una rueda dentada que tiene
masa de 2 kg y radio de giro ko = 50 mm. Si el bloque A de 4 kg es liberado del
reposo en la posición s = 1 m, determine la velocidad angular de la rueda en el
instante s = 2 m.
T1 + V1 = T2 + V2
1
1
0 = (4)(0.1𝜔)2 + [2(0.05)2 ]𝜔2 − 4(9.81)(1)
2
2
𝝎 = 𝟒𝟏. 𝟖 𝒓𝒂𝒅/𝒔
18-55. Resuelva el problema 18-54 si la cadena tiene masa de 0.8 kg/m. Para el
cálculo desprecie la porción de la cadena que se enrolla sobre la rueda dentada.
T1 + V1 = T2 + V2
0 − 4(9.81)(1) − 2[0.8(1)(9.81)(0.5)]
1
1
1
= (4)(0.1𝜔)2 + [2(0.05)2 ]𝜔2 + (0.8)(2)(0.1𝜔)2 − 4(9.81)(2)
2
2
2
− 0.8(2)(9.819(1)
𝝎 = 𝟑𝟗. 𝟑 𝒓𝒂𝒅/𝒔
18-56. El disco A está articulado en el punto O y pesa 15 lb. Una barra de 1 pie y
que pesa 2 lb, y una esfera de 1 pie de diámetro y peso de 10 lb están soldadas al
disco, como se muestra. Si originalmente el resorte está estirado 1 pie y la esfera
se libera desde la posición mostrada, determine la velocidad angular del disco
cuando ha girado 90°.
T1 + V1 = T2 + V2
1
1 1 15
1 1
2
1 2
(4)(1)2 = [ (
) (2)2 ] 𝜔2 + [ (
) (1)2 ] 𝜔2 + (
) (𝑣𝐺 )2𝑅
2
2 2 32.2
2 12 32.2
2 32.2
1 2 10
1 10
+ [ (
) (0.5)2 ] ω2 + ( ) (𝑣𝐺 )2𝑠 − 2(2.5) − 10(3.5)
2 5 32.2
2 32
1
𝜋 2
+ (4)(1 + 2 ( ))
2
2
(𝑣𝐺 )𝑠 = 3.5𝜔 ,
(𝑣𝐺 )𝑅 = 2.5𝜔
Sustituyendo y resolviendo: 𝝎 = 𝟏. 𝟕𝟑 𝒓𝒂𝒅/𝒔
18-57. En el instante mostrado, la barra de 50 lb está girando hacia abajo a 2 rad/s.
El resorte unido a su extremo siempre permanece vertical debido a la guía de rodillo
instalada en C. Si el resorte tiene longitud no estirada de 2 pies y rigidez k = 6 lb/pie,
determine la velocidad angular de la barra en el instante en que ha girado hacia
abajo 30° por debajo de la horizontal.
T1 + V1 = T2 + V2
1 1 50
1
1 1 50
1
) (6)2 ] (2)2 + (6)(4 − 2)2 = [ (
) (60)2 ] 𝜔2 + (6)(7 − 2)2 − 50(1.5)
[ (
2 3 32.2
2
2 3 32.2
2
𝝎 = 𝟐. 𝟑 𝒓𝒂𝒅/𝒔
18-58. En el instante mostrado, la barra de 50 lb está girando hacia abajo a 2 rad/s.
El resorte unido a su extremo siempre permanece vertical debido a la guía de rodillo
instalada en C. Si el resorte tiene longitud no estirada de 2 pies y rigidez k = 12
lb/pie, determine el ángulo θ, medido por debajo de la horizontal, que la barra gira
entes de detenerse momentáneamente.
T1 + V1 = T2 + V2
1 1 50
1
) (6)2 ] (2)2 + (12)(4 − 2)2
[ (
2 3 32.2
2
1
= 0 + (12)(4 + 6𝑠𝑒𝑛𝜃 − 2)2
2
− 50(3𝑠𝑒𝑛30°)
61.2671 = 24(1 + 3𝑠𝑒𝑛𝜃)2 − 150𝑠𝑒𝑛𝜃
37.2671 = −6𝑠𝑒𝑛𝜃 + 216𝑠𝑒𝑛2 𝜃
Por lo tanto, resolviendo la ecuación cuadrática, x = senθ
𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0.4295
𝜽 = 𝟐𝟓. 𝟒°