PRODUCTOS-NOTABLES-–-ALGEBRA-CUARTO-DE-SECUNDARIA

Productos notables
Bombones
En una fiesta hay 15 mujeres y algunos hombres. Primero cada mujer le regala un bombón a cada hombre conocido,
que se lo come inmediatamente. Después cada hombre le regala un bombón a cada mujer desconocida. En total se
regalan 240 bombones.
Con esta información, ¿se puede determinar el número de hombres que hay en la fiesta?
Son productos indicados que tienen una forma determinada,
de los cuales se puede recordar fácilmente su desarrollo,
sin necesidad de efectuar la operación.
6. Desarrollo de un trinomio al cubo
Según Cauchy se puede escribir así:
(a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ca(c+a) + 6abc
1. Trinomio cuadrado perfecto
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Identidad de Legendre
I1: (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)
I2: (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab
2. Diferencia de cuadrados
(a + b) (a - b) = a2 - b2
3. Desarrollo de un trinomio al cuadrado
c)2
a2 +
b2 + c2 +
(a + b +
=
2ab + 2bc + 2ca
(ab + bc + ca)2 = a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc (a + b + c)
4. Desarrollo de un binomio al cubo
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Identidades de Cauchy
I3: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
I4: (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab (a - b)
Relaciones particulares:
(a + b)3 + (a - b)3 = 2a(a2 + 3b2)
(a + b)3 - (a - b)3 = 2b(3a2 + b2)
5. Suma y diferencia de cubos
(a + b) (a2 - ab + b2) = a3 + b3
(a - b) (a2 + ab + b2) = a3 - b3
Otras formas más usuales del desarrollo:
3
(a
+
b
+
c
)
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b) (b + c) (c + a)
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(ab + ac + bc) - 3abc
(a + b + c)3 = 3(a + b + c)(a2 + b2 + c2) - 2(a3 + b3 + c3) + 6abc
7. Identidades de Stevin
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
(x+a)(x + b)(x + c) = 3x+ (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x + abc
(x - a)(x - b)(x - c) = x3 - (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x - abc
8. Identidad trinómica de Argand
(x2m + xmyn + y2n) (x2m - xmyn + y2n) = x4m + x2my2n + y4n
Formas particulares más usuales:
Si: m=1 , n=1
(x2 + xy + y2)(x2 - xy + y2) = x4 + x2y2 + y4
Si: m=1, n=0
(x2 + x + 1) (x2 - x + 1) = x4 + x2 + 1
9. Identidad de Lagrange
(a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 + (ay - bx)2
(a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) =
(ax + by + cz)2 + (ay - bx)2+(bz - cy)2+(az - cx)2
10.Igualdades condicionales
Si: a + b + c = 0, se verifican las siguientes relaciones
notables:
* a2 + b2 + c2 = -2(ab + bc + ca)
* a3 + b3 + c3 = 3abc
* a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2 =
2
(a2 + b2 + c2)2
Problemas resueltos
5. Reducir:
1. Reducir:
L = (x + 4) (x + 2) + (x + 3) (x + 5) - 2x (x + 7) + 7
Solución:
Aplicando: (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
tenemos:
L = x2 + 6x + 8 + x2 + 8x + 15 - 2x2 - 14x + 7
 L = 30
S 
7 5

7 5
7 5
Solución:
Operando:
2
S
2
Solución:
2(7  5)
12
2
 S = 12
Problemas para la clase
1
1
Desarrollando: x2 + 2x   + 2 = 3
x
x
2
 x 
S  x3 
1
x
2
 1 ; luego de “S” :
1   x  1  x 2  1  1 

x 
x 2 
x 3 
Reemplazando: S   x 

1
0   0  S  0

x 

3. Reducir:
S = (x + 1)(x + 2)(x + 3) + (x - 1) (x - 2) (x - 3)
- 2x(x2 + 11) - 1
Bloque I
1. Multiplicar:
Operando :
S = x3 + 6x2 + 11x + 6 + x3 - 6x2 + 11x - 6 - 2x3 - 22x - 1
De donde :
S=-1
a) 1
d)
b) 2
e)
2
(a  b)3  (b  c) 3  (a  c) 3
abc
Si : a + b + c = 0
P
Solución:
Tenemos que: a + b = - c
b + c = -a
a + c = -b
Luego reemplazando:
(-c)3  (-a) 3  (-b) 3 - (a3  b 3  c 3 )
3abc


abc
abc
abc
P = -3
c) 2 2
84
2. Multiplicar:
P  4  15 . 4 
b) 2
e) 16
15
c) 3
3. Operar:
3
3
3
3
3
S   7  2   49  14  4 
 


a) 9
d) 1
4. Reducir:
 

8
8
4
S   2 1
 2 1
 2 1 
 2 1 2




a) 1
d) 4
Solución:
2
( 7  5 ) 2  ( 7  5 ) 2 2( 7  5 )

S
2
2
( 7  5 )( 7  5 )
7  5

1 
2. Si:  x    3 ; hallar: S  x 3  1
x 

x3
P
7 5
b) 5
e) 16
4. Reducir:
P 
a) 2
d) 40
c) 3
 7  3    7  3 
2
b) 10
e) 16
2
c) 20
5. Simplificar:
2
2
x
x
y
y
S         ; x , y  0
y
x
y
x




a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
6. Si:

a+b=4
ab = 1
Hallar: a 
Hallar:
b) 196
e) 194
c) 197
b) x3 + 1
e) x2 + 1
3
c) x 2 + x - 1
3
4. Si: P  4  2
Calcular el valor de: M  P(P  6 ) (P  6 )
7. Si:
a+b=4
ab = 1
Hallar:
a) 6
d) 2
S = a3 + b 3
a) 52
d) 49
b) 51
e) 60
32
b) 8
e) 64
 2 

3  5 2  3  5  2 6
a) 0
b) 1
d) 2 6
e) 10
c) 2
10.Multiplicar:
R = (x2 + xy + y2) (x2 - xy + y2) - (x4 + y4)
a) -x2y2
d) x6y6
b) x2y2
e) x8y8
6 3 10 
a) 1
b)
d) 2 2
e) 4
3
6 3  10
c) 2
2
6. Siendo:
A = (a + b)2 - (a - b)2
B = (a2 + b2)2 - (a2 - b2)2
C = (a3 + b3)2 - (a3 - b3)2
c) 16

3
S
9. Multiplicar:
P
c) 3
5. El valor numérico de:
1  3(22  1)(24  1)(28  1)(216  1)(232  1)(264  1)
a) 4
d) 160
b) 9
e) 0
c) 50
8. Calcular el valor de:
S

1
b2 3
a) x 2 - 1
d) x3 - 1
P = (a2 + b2)2
a) 190
d) 198
2
c) x4y4
Obtener: S 
a) 1
d) 4
AB
C
b) 2
e) 4ab
c) -2
7. Si:
x
3a2  b2
a2  3b2
;y
; ab  32
2a
2b
Determinar el valor de:
2
2
w  x  y 3  x  y 3
Bloque II
1. Encontrar el equivalente de:
R = 2(a2 + b2 + c2 + ab + bc + ac)
Si: x = a + b ; y = b + c ; z = c + a
a) x + y + z
b) xyz
c) x2y2z2
2
2
2
d) x + y + z e) xy + yz + zx
2. Hallar el valor numérico de:
E = (a2 - b2) [(a2 + b2)2 - a2b2]
3
Para: a  2  1
a) 2
d) 8
b) 4
e) 16
c) 6
8. Evaluar: E  x10  x 10  3
1
Siendo: x  x 
a) 1
d)
3
b) 2
7
c)
5
e) 3
3
b  2  1
a) 9
d) 6
b) 4 2
e) 1
9. Si:
c) 6 2
ab 
3
100 
a2  b2 
3
3
10  1
10  1
Obtener: N = (a + b)4 - (a - b)4
3. Siendo:
a = x(x2 + 3)  b = 3x2 + 1
a) 100
d) 168
b) 88
e) 60
c) 64
10.Obtener el valor de:
S = (a + b) (a2 + b2) (a4 + b4) (a - b) + 2b8
2  1  b 
Para: a 
a) 28
d) 47
2 1
b) 30
e) 62
c) 34
a) 5
d) 2
P 
1. Reducir:
S = (a + 1) (a - 1) (a4 + a2 + 1)
Si: a  4  15  4  15
a) 9
d) 9999
(a  b)3  (b  c)3  (c  a)3
Calcular: M 
(a  b) (b  c) (c  a)
3. Si:
b) -3
e) 16
6
y 
c) 4
b) 2
e) 8
c) -2

ac
b

b) 1
e) 3
bc
a
 ab  ac  bc
x
3
1
b) 2
e) 5
3 14 3
3 14
 1
5 5
5 5
b) 11
e) 8
c) 3
10.Si: a2 + b2 + c2 = 12
ab + bc + ac = 12
abc = 8
Calcular:
E = a3(ab+ac) + b3(ab+bc) + c3(ac+bc)
Considerar: a + b + c > 0
a) 216
d) -192
b) 192
e) 190
c) -216
2
2
 3x 2y   3x 2y 
1. Reducir: S  






2y 3x
2y 3x




a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
2. Simplificar: P 
6. Simplificar:
(x  y) 4  (y  z) 4  (z  x) 4
2
8
c) 3
Autoevaluación
Calcular: E = 5x3 + 3x + 1
S 
7
c) -1
5. Sabiendo que:
a) 1
d) 4
c) -3
9. Si se cumple que:
(x + y + 2z)2 + (x + y - 2z)2 = 8(x + y)z
Hallar:
a) 1
d) 4
4. Si:
a3 + b3 + c3 = 4abc
a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac + 1
Calcular:
a) 0
d) -3
b) 3
e) 1
 x  y  x  z   z  x 
E  

  
 
 2z   z  y  z  y 
xy  yz  xz
c
a) 3abc
d) -3abc
z 0
3
9 xyz  (x  y  z)
Calcular: L 
ab
c) -1
9
6
a) 1
d) 4
b) 2
e) 3
 a2 b2 c 2   a2  ab  b2  

S          2
 bc ac ab   b  bc  c 2 


 
c) 999
2. Si: a + b + c = 0
x 
a) -2
d) 1
1
1
1


x  yz y  zx z  xy
8. Si: a + b + c = 0 ; reducir:
b) 99
e) 1
a) 3
d) -2
c) 4
7. Si:
x+y+z=1
x3 + y3 + z3 = 4
Calcular:
Bloque III
6
b) 3
e) 1
(x  y) (y  z)2  (x  y)2 (z  x)2  (y  z)2 (z  x)2
c) 3
5 2

5
 2
5 2
5 2
a)
d)
7
3
14
3
b)
e)
7
2
c)
7
6
14
5. Simplificar:
R = (a + b + c + d) 2 - (a + b + c) (a + b + d) (b + c + d) (a + c + d)
a) ab
d) -cd - ab
5
b) ac + cd
e) 0
c) cd + ab
3. Si : a + b + c = 0
Calcular : R 
a) 1
d) - 2
a2  b 2  c 2
ab  bc  ac
b) 2
e) 0
c) - 1
4. Reducir: K  ( 8  3) 2  ( 8  3) 2
a) 20
d) 23
b) 19
e) 40
c) 22
Claves
1. d
4. c
2. d
5. d
3. d