Tema3(3

Unidad 2: ECUACIONES
DIFERENCIALES DE
ORDEN SUPERIOR
ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS
CON COEFICIENTES CONSTANTES
Introducción


La ecuación diferencial ay´+by=0 se resuelve ya
sea mediante separación de variables o mediante
la ayuda de un factor de integración.
También al despejar y´ de la ecuación diferencial
ay´+by=0 se obtiene y´=ky, donde k es una
constante.
Lo anterior, revela la naturaleza de la solución
(desconocida); la única función elemental no
trivial cuya derivada es una múltiplo de si misma
es la función exponencial. Entonces podemos
considerar que y=emx. Lo que resta será
determinar el valor de m.
Ecuación auxiliar



Considérese el caso especial de la ecuación de
segundo orden ay´´+by´+cy=0, donde a, b y c son
constantes.
Si se intenta encontrar una solución de la forma:
y=emx, entonces después de sustituir y´=memx y
y´´=m2emx, la ecuación se convierte en
am2emx +bmemx +cemx =0 ó bien
emx[am2+bm+c]=0
Debido a que emx debe ser diferente de cero, es
evidente que la única forma en la que y=emx
satisface la ecuación diferencial es cuando se
elige a m como raíz de la ecuación cuadrática
am2+bm+c=0.
Esta última ecuación se denomina ecuación
auxiliar de la ecuación diferencial ay´´+by´+cy=0
Solución de la ecuación
auxiliar

Las dos raíces de la ecuación auxiliar son:

  b 

 4ac / 2a
2
 m1   b  b  4ac / 2a
 m2
b2
Habrá tres formas de solución general de la
ecuación ay´´+by´+cy=0 que corresponden a
los siguientes tres casos:
 m1 y m2 reales y diferentes (b2-4ac>0).
 m1 y m2 reales e iguales (b2-4ac=0).
 m1 y m2 números conjugados complejos
(b2-4ac<0).
CASO 1: Raíces reales
distintas

Bajo la suposición de que la ecuación
am2+bm+c=0 tiene dos raíces reales
desiguales m1 y m2, se definen dos
soluciones: y1  e m1x y y 2  e m2 x
Estas soluciones son linealmente
independientes en (-Inf,+Inf) y forman un
conjunto fundamental. Se deduce que la
solución general en este intervalo es:
y  c1e
m1 x
 c2 e
m2 x
CASO 2: Raíces reales
repetidas

Cuando m1=m2, necesariamente se obtiene
sólo una solución exponencial y1  e m x.
De la fórmula cuadrática se encuentra que
m1=-b/2a puesto que la única forma en que
se tiene que m1=m2 es tener b2-4ac=0. Con
ello, la segunda solución de la ecuación es
1
y2  e
m1 x
2 m1 x
e
m1 x
m1 x
dx

e
dx

xe
 e 2m1x

Entonces la solución general es:
y  c1e m1x  c 2 xem1x
CASO 3: Raíces complejas
conjugadas

Si m1 y m2 son complejas, se puede
escribir m1    i y m2    i donde  y   0
son reales i2 = -1. De manera formal no hay
diferencia con el caso 1, por consiguiente:
y  c1e ( i ) x  c2 e ( i ) x
en la práctica se prefiere trabajar con
funciones reales, en lugar de
exponenciales complejas. Para este fin se
utiliza la fórmula de Euler e i  Cos  iSen
donde  es cualquier número real.
CASO 3: Raíces complejas
conjugadas…

Se deduce de esta fórmula que:
e ix  Cosx  iSenx
y e ix  Cosx  iSenx
donde se utilizó:
Cos(  x )  Cos( x )

y
Sen(  x )   Sen( x ).
Si se suman y luego se restan e ix
tenemos: e ix  e ix  2Cosx
y e ix
e ix  e ix  2iSenx
( i ) x
( i ) x
 c2 e
Como y  c1e
es una solución
de ay´´+by´+cy=0 para alguna elección de
las constantes c1 y c2.
CASO 3: Raíces complejas
conjugadas…

Las elecciones:c1=c2=1 y c1= 1, c2=-1 dan a su
vez dos soluciones
y1  e ( i ) x  e ( i ) x
y
y 2  e ( i ) x  e ( i ) x
x
ix
 ix
x
y

e
(
e

e
)

2
e
Cosx
Pero: 1
y1  ex (e ix  e ix )  2ie x Senx
Estos dos últimos resultados conducen a que
ex Cosx y ex Senx son soluciones reales de
ay´´+by´+cy=0. Además, estas soluciones son un
conjunto fundamental en (-Inf+Inf). Por
consiguiente la solución general es:
y  c1ex Cosx  c2 ex Senx  ex (c1Cosx  c2 Senx)
Problema

Resuelva las siguientes ecuaciones
diferenciales:
y  3 y  4 y  0
y ( 4 )  2 y  y  0
4 y  4 y  17 y  0
y(0)  1
y(0)  2