Ecuaciones diferenciales de 1o orden 1. Ecuaciones en variables

Ecuaciones diferenciales de 1o orden
Ampliación de Cálculo
1.
Ecuaciones en variables separables
DEF. Se llaman ecuaciones en variables separadas a las ecuaciones diferenciales de primer
orden de la forma:
dy
P (x)
=
, es decir, Q(y)dy = P (x)dx
dx
Q(y)
∫
∫
Solución general: Q(y)dy = P (x)dx + C, C ∈ R
∫
∫
y
Solución particular (y(x0 ) = y0 ):
x
Q(y)dy =
y0
P (x)dx
x0
Nota: A este tipo de ecuaciones pertenecen también :
dy
Q(y) dy
=
y
= P (x)Q(y)
dx
P (x) dx
DEF. Toda ecuación diferencial de primer orden que se puede expresar como una ecuación en
variables separadas se llama ecuación en variables separables
Caso Particular: Las ecuaciones de la forma:
P1 (x)Q1 (y)dx + P2 (x)Q2 (y)dy = 0
se reducen a ecuaciones en variables separadas dividiendo por Q1 (y)P2 (x):
Q2 (y)
P1 (x)
dx +
dy = 0
P2 (x)
Q1 (y)
2.
Ecuaciones homogéneas
DEF. Se dice que la función f (x, y) es homogénea de grado n respecto a x e y si para todo
λ ∈ R se verifica
f (λx, λy) = λn f (x, y)
dy
DEF. La ecuación de primer orden
= f (x, y) se dice que es homogénea si la función f (x, y)
dx
es homogénea de grado 0 respecto a x e y, es decir:
f (λx, λy) = f (x, y),

dy


= f (x, y)
dx
Resolución: Sabemos que


f (λx, λy) = f (x, y),
Tomando λ =
∀λ ∈ R
∀λ ∈ R
( y ) dy
( y)
1
, f (x, y) = f 1,
⇒
= f 1,
x
x
dx
x
Denotamos por u =
y
dy
du
, entonces y = ux ⇒
=
x+u
x
dx
dx
du
x + u = f (1, u),
dx
du
dx
que podemos escribir:
=
(Ec. en variables separadas)
f (1, u) − u
x
Obtenemos la ecuación:
Finalmente se deshace el cambio de variable
3.
Ecuaciones reducibles a homogéneas
(
Son de la forma
′
y =f
a1 x + b1 y + c1
a2 x + b2 y + c2
)
con c1 ̸= 0 o c2 ̸= 0.
Vamos a estudiar la posición relativa de las rectas r1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 y r2 : a2 x + b2 y + c2 = 0.
Para ello consideramos el sistema
{
a1 x + b1 y + c1 = 0
a2 x + b2 y + c2 = 0
Tenemos 3 posibilidades:
a) Las rectas se cortan, el sistema tiene una única solución: (A, B).
{
x̄ = x − A
La ecuación se resuelve usando el cambio de variable
:
ȳ = y − B
dȳ
dy
=
=f
dx̄
dx
(
a1 x + b1 y + c1
a2 x + b2 y + c2
)
(
=f
a1 (x̄ + A) + b1 (ȳ + B) + c1
a2 (x̄ + A) + b2 (ȳ + B) + c2
)
(
=f
a1 x̄ + b1 ȳ
a2 x̄ + b2 ȳ
)
Ahora se trata de una ecuación homogénea
b) La rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones.
En este caso, a1 = αa2 , b1 = αb2 y c1 = αc2 con α ∈ R, por tanto:
y′ = f
(
α(a2 x + b2 y + c2 )
a2 x + b2 y + c2
)
= f (α),
dy = f (α)dx,
y = f (α)x + C
c) Las rectas son paralelas, el sistema no tiene solución: (a1 , b1 ) = λ(a2 , b2 ) pero c1 ̸= λc2 .
dz
dy
= a2 + b2 :
La ecuación se resuelve usando el cambio de variable z = a2 x + b2 y ⇒
dx
dx
(
)
(
)
z ′ − a2
λz + c1
λz + c1
1
(
)
y′ =
=f
; z ′ = b2 f
+ a2 ;
dz = dx
λz + c1
b2
z + c2
z + c2
b2 f
+ a2
z + c2
Ahora se trata de una ecuación en variables separadas.
4.
Ecuaciones exactas
DEF. Una ecuación diferencial de la forma
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
es una ecuación diferencial exacta si la expresión del lado izquierdo es la diferencial total de alguna
función φ(x, y) que llamamos función potencial.

∂φ


M (x, y) =
(x, y)


∂x
Es decir,


∂φ

 N (x, y) =
(x, y)
∂y
La solución general será φ(x, y) = C
PROP. Si existen las derivadas parciales de M y N y son continuas, entonces
∂M
∂N
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 es una EDO exacta ⇔
=
∂y
∂x
Resolución:

∂φ


(x, y) = M (x, y) (1)

 ∂x
Buscamos φ(x, y) tal que


∂φ


(x, y) = N (x, y)
∂y
∫
Integramos (1) respecto a x: φ(x, y) =
(2)
M (x, y)dx + f (y)
Para hallar f (y) imponemos (2):
N (x, y) =
Entonces f ′ (y) = N (x, y) −
∂
∂y
∂
∂φ
(x, y) =
∂y
∂y
∫
M (x, y)dx + f ′ (y)
∫
M (x, y)dx
)
∫ (
∫
∂
⇒ f (y) =
N (x, y) −
M (x, y)dx dy
∂y
5.
Factor integrante
Dada una ecuación diferencial de primer orden
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
en la que
∂M
∂N
̸=
, se puede buscar un factor µ(x, y) tal que µ(x, y)M (x, y)dx+µ(x, y)N (x, y)dy = 0
∂y
∂x
sea exacta, es decir,
∂(µM )
∂(µN )
=
∂y
∂x
Este factor se llama factor integrante.
Cálculo de µ(x, y):
1. Factor integrante dependiente únicamente de x: µ(x)
∂M
dµ
∂N
µ
=
N +µ
⇒µ
∂y
dx
∂x
dµ
1
=
µ
N
1
Si
N
(
(
∂M
∂N
−
∂y
∂x
∂M
∂N
−
∂x
∫∂y
(
∂M
∂N
−
∂y
∂x
)
=
dµ
N⇒
dx
)
dx (1)
)
= ω(x) es sólo función de x, integrando (1):
(
)
∫
1 ∂M
∂N
ω(x)dx
ω(x)dx ⇒ µ(x) = e
con ω(x) =
−
N
∂y
∂x
ln |µ| =
2. Factor integrante dependiente únicamente
de)y:
(
∫
1
∂N
∂M
µ(y) = e τ (y)dy con τ (y) =
−
M ∂x
∂y
3. µ(v) con v = v(x, y):
∫
µ(v) = e
6.
∂M
∂N
−
∂y
∂x
con α(v) =
∂v
∂v
N−
M
∂x
∂y
α(v)dv
Ecuaciones lineales
DEF. Una ecuación diferencial de la forma
y ′ + P (x)y = Q(x)
con P, Q continuas, es una ecuación diferencial lineal de primer orden.
Resolución:
Buscamos el factor integrante adecuado para las ecuaciones de esta forma. Para ello, se reescribe
la ecuación:
dy + (P (x)y − Q(x))dx = 0
Estudiamos si es posible encontrar un factor integrante que dependa sólo de x:
(
)
}
∂N
P (x) − 0
1 ∂M
M (x, y) = P (x)y − Q(x)
⇒
−
=
N (x, y) = 1
N
∂y
∂x
1
∫
Entonces: µ(x) = e
P (x)dx
Multiplicando la ecuación por este factor, obtenemos una ecuación exacta:
∫
e
P (x)dx
∫
dy + e
P (x)dx
(P (x)y − Q(x))dx = 0

∫
∂φ


(x, y) = e P (x)dx (P (x)y − Q(x)) (1)

 ∂x
Buscamos φ(x, y) tal que

∫

∂φ


(x, y) = e P (x)dx
∂y
(2)
Integramos (1) respecto a x:
∫
∫
∫
∫
P (x)ydx − e P (x)dx Q(x)dx + f (y)
∫ ∫
∫
P (x)dx
= e
y − e P (x)dx Q(x)dx + f (y)
φ(x, y) =
e
P (x)dx
∫
Para hallar f (y) imponemos (2): e
∫
La solución general es: e
7.
P (x)dx y
−
P (x)dx
∫
∫
e
∫
=e
P (x)dx
+ f ′ (y)⇒ f ′ (y) = 0
P (x)dx Q(x)dx
=C
Ecuaciones de Bernoulli
DEF. Una ecuación diferencial de la forma
y ′ + P (x)y = Q(x)y n ,
n ̸= 0, n ̸= 1
con P, Q continuas, es una ecuación diferencial de Bernoulli.
y ′ + P (x)y = Q(x)y n
Si n = 0, entonces se trata de una ecuación lineal
Si n = 1, entonces se trata de una ecuación en variables separadas
Resolución:
1. Se divide la ecuación por y n :
y′
P (x)
+ n−1 = Q(x)
n
y
y
2. Se realiza el cambio de variable: z =
1
y n−1
dz
1 dy
= −(n − 1) n
dx
y dx
z′
+ P (x)z = Q(x)
1−n
obteniéndose una ecuación lineal en z: z ′ + (1 − n)P (x)z = (1 − n)Q(x)
3. Se sustituye en la ecuación: