Parte I

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1 – Matemáticas 1
Parte I
Preliminares
Prof: José Antonio Abia Vian
Grados de Ing. Industrial : Curso 2012–2013
2 – Matemáticas 1 : Preliminares
Capı́tulo 1
Números Complejos
Este tema de números complejos es más informativo que recordatorio, siendo el uso explı́cito de los complejos
escaso en las asignaturas de Matemáticas 1 y 2. Sin embargo conocer su existencia e interrelación con los
reales es muy útil para la descomposición y busqueda de raı́ces de polinomios, o en la resolución de ecuaciones
diferenciales; también en asignaturas de electricidad, teorı́a de la señal, etc. usan de ellos.
1.1
Los números complejos
Conocemos y manejamos ya diversos conjuntos de números, los naturales N = {0, 1, 2, 3, . . .} , los enteros
n
: n ∈ Z, m ∈ Z−{0}} y los números reales R (o decimales
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} , los racionales Q = { m
que completan los “huecos” entre los racionales con los irracionales R = Q ∪ I ). Cumpliendo N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R .
Nota: Un número real puede describirse en la forma e.d1 d2 d3 . . . dn . . . , un número entero seguido de infinitos
decimales. Si, a partir de uno de ellos, todos los decimales son cero ó los decimales se repiten periódicamente el
z{
z{
número es racional (ası́, 13 = 0. 3 = 0.33333 . . . , luego 1 = 0. 9 = 0.99999 . . . ).
Tenemos definidas unas operaciones de suma y producto en cada conjunto que son “internas” (suma o
producto de naturales es natural, suma o producto de enteros es entero, etc.) y coherentes con la cadena de
contenciones (si sumamos dos enteros como racionales o reales, el resultado es el mismo que si los sumamos
como enteros). A efectos prácticos, son las mismas operaciones para todos los conjuntos.
Sin embargo, no tienen en cada conjunto las mismas propiedades: en N ni para la suma ni para el producto
existe inverso (ni la resta ni la división de naturales es, en general, un natural), en Z existe el inverso para
la suma pero no para el producto (la resta de enteros es entera pero no la división) y tanto en Q como en R
podemos restar y también dividir por valores distintos de cero.
La otra operación o manipulación básica entre números, la potencia (una generalización
del producto) nos
√
1
distingue más estos dos últimos conjuntos. Ası́ 2 ∈ Q (luego a R), pero 2 2 = 2 ∈
/ Q, aunque sı́ se cumple
1
que 2 2 ∈ R .
En R , es cierto que si x e y son reales con x ≥ 0 , entonces xy ∈ R; pero no se cumple cuando x < 0 .
Para resolver este “defecto” se contruyen los números complejos: un conjunto C que contenga a R , que sus
operaciones suma y producto permitan restar y dividir y sean coherentes con las operaciones de los subconjuntos,
y que para la potencia se verifique además que si z, w ∈ C, entonces z w ∈ C .
1.2
El plano complejo
Consideremos el conjunto R2 y contruyamos en él unas operaciones suma y producto que funcionen como
deseamos. Sobre R2 tenemos definida una operación suma que sı́ es interna:
(a1 , b1 ) ∈ R2 , (a2 , b2 ) ∈ R2 , y (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 ) ∈ R2 ,
con operación inversa la resta (suma de opuestos) y una operacion producto escalar, que no es interna,
(a1 , b1 ) ∈ R2 , (a2 , b2 ) ∈ R2 , y (a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) = a1 a2 + b1 b2 ∈ R
y no admite una operación inversa.
Dotar a R2 de una operación “producto” interna, con un funcionamiento análogo al funcionamiento del
producto en R crea una nueva estructura conocida como el conjunto de los números complejos y también
como plano complejo o cuerpo complejo.
Esta operación producto “ ∗” se define de la forma siguiente:
(a1 , b1 ) ∗ (a2 , b2 ) = (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + b1 a2 ).
Ası́, el conjunto de los números complejos, C , está formado por R2 con dos operaciones básicas: suma “+”
(la suma de R2 ) y el producto complejo “ ∗ ” (definido arriba). Es decir, C = (R2 , +, ∗) .
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3 – Matemáticas 1 : Preliminares
1.2.1
1.2 El plano complejo
Forma binómica de un número complejo
El producto (complejo) tiene por elemento neutro (1, 0) , pues
(1, 0) ∗ (a, b) = (a, b) ∗ (1, 0) = (1a − 0b, 0a + 1b) = (1a, 1b) = (a, b).
De hecho, para cualquier real λ , se tiene que (λ, 0) ∗ (a, b) = (λa − 0b, 0a + λb) = (λa, λb) ; como en R2
también sabemos que λ(a, b) = (λa, λb) , pueden identificarse los elementos (λ, 0) con los números reales λ , es
decir, en C podemos decir que (λ, 0) = λ a todos los efectos.
Como (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + (0, b) = a + b(0, 1) , haciendo (0, 1) = i el número complejo se escribe
(a, b) = a + ib, que se denomina forma binómica del número complejo. Del elemento i se dice que es la
unidad imaginaria, y se cumple que i2 = ii = (0, 1) ∗ (0, 1) = (−1, 0) = −1 .
En la forma binómica, el producto se efectua como un producto de binomios habitual, pues:
(a+ib)(c+id) = ac + iad + icb + i2 bd = (ac−bd) + i(ad+cb) = (ac−bd, ad+cb) = (a, b) ∗ (c, d)
Con esta nueva notación, suele escribirse C = {a + ib : a, b ∈ R} (a veces C = R + iR) y se denotan los
elementos de C por z = a + ib; y se representan en el plano R2 que se denomina entonces plano complejo, al
eje se abcisas se le denomina eje real y al de ordenadas eje imaginario.
Definición 1.- Si z = a + ib es un número complejo, al valor real a se le llama se llama parte real de z ,
Re(z) = a, y al valor real b la parte imaginaria, Im(z) = b, es decir, z = Re(z) + i Im(z) .
Si la parte imaginaria de z es cero, el complejo es un número real y, suele indicarse con z ∈ R . Si la parte
real de z es cero se dice que es imaginario puro y, suele indicarse con z ∈ iR.
El cero en C es el cero real (0, 0) = 0 + i0 = 0 .
Proposición 2.- Sea z ∈ C − {0} , entonces existe un único w ∈ C tal que zw = 1 .
Demostración:
En
efecto, con z = a + ib y w = x + iy , zw = ax − by + i(ay + bx) y zw = 1 = 1 + i0 ⇐⇒ el sistema
ax − by = 1
−b
a
2
2
tiene solución única. Que es cierto, con x = a2 +b
2 e y = a2 +b2 ( a + b 6= 0 pues z 6= 0 ).
bx + ay = 0
Si z = a + ib, el inverso se denota por z −1 =
1.2.2
1
z
y viene dado por la expresión z −1 =
a
a2 +b2
+ i a2−b
+b2 =
a−ib
a2 +b2
.
Conjugado de un número complejo
Definición 3.- Sea z = a+ib un complejo, se llama conjugado de z al número complejo z = a+i(−b) = a−ib.
Nota: Con la notación de R2 , el conjugado de (a, b) es (a, −b) y son simétricos respecto al eje real (de abcisas).
Propiedades 4.- Sean z, w ∈ C , entonces
a) z = z ;
z + w = z + w;
zw = z w ;
b) z = z ⇐⇒ z = a + i0 ∈ R ;
c) z + z = 2 Re(z) ;
1.2.3
z −1 = (z)−1 .
z = −z ⇐⇒ z = 0 + ib ∈ iR .
z − z = i2 Im(z) .
.
Módulo de un número complejo
√
Definición 5.- Sea z = a + ib ∈ C. Se denomina módulo (o norma) de z al valor real |z| = + a2 + b2 .
√
√
Nota: Si z es real, z = a + i0 = a, se tiene que |z| = + a2 + 02 = + a2 = |a| , es decir, el módulo complejo
coincide con el valor absoluto real.
Propiedades 6.- Sean z, w ∈ C , entonces
a) |z| ≥ 0 ;
|z| = 0 ⇐⇒ z = 0 .
b) |Re(z)| ≤ |z| ;
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|Im(z)| ≤ |z| ;
|z| ≤ |Re(z)| + |Im(z)| .
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4 – Matemáticas 1 : Preliminares
c) |z| = |z| :
2
1.3 Forma polar de un número complejo
1
z
|z| = zz ;
z
zz
z
|z|2
.
|z − w| ≥ |z| − |w| .
d) |z + w| ≤ |z| + |w| ;
=
=
−1 z = |z|−1 .
e) |zw| = |z| |w| ;
.
Definición 7.- Se llama distancia entre z y w al valor real d(z, w) = |z − w| .
Del módulo, son inmediatas las propiedades
a) d(z, w) ≥ 0 ;
1.3
d(z, w) = 0 ⇐⇒ z = w .
b) d(z, w) ≤ d(z, t) + d(t, w) , ∀ t ∈ C .
Forma polar de un número complejo
Sea z = a + ib = (a, b) . Un punto de R2 queda perfectamente determinado mediante su distancia al origen |z|
y el ángulo θ que forma con el eje polar (el semieje real positivo).
Definición 8.- Sea z = x + iy un número complejo no nulo. Se llama argumento de z y se designa por
arg(z) a cualquier número real θ que verifique que
z = x + iy = |z| cos θ + i |z| sen θ = |z| (cos θ + i sen θ).
Se dice entonces que z está en forma polar (o módulo argumental) y denotarse por z = |z|θ .
Como las funciones seno y coseno son periódicas de perı́odo 2π , arg(z) está determinado salvo múltiplos de
2π ; es decir, hay infinidad de argumentos de z , pero dos cualesquiera de ellos difieren en múltiplos de 2π . Si
fijamos como argumento preferido el arg(z) ∈ (−π, π] , puede obtenerse de
arccotg xy ,
π + arccotg xy ,
arg(z) ∈ (−π, π] = −π + arccotg xy ,


π


2,


− π2 ,







si
si
si
si
si
x>0
x<0
x<0
x=0
x=0
π + arccotg
e
e
e
e
y
y
y
y
≥0
<0
>0
< 0.
y
x
arccotg
−π + arccotg
y
x
y
x
Al argumento que se encuentra dentro del intervalo de tamaño 2π elegido como preferente suele denominarse
argumento principal y denotarse por Arg(z) . Con este concepto, todos los argumentos de z se pueden describir
mediante:
arg(z) = Arg(z) + 2kπ , ∀ k ∈ Z.
Aunque estamos habituados a manejar el argumento en el intervalo [0, 2π) ó (0, 2π] , es más usual tomar el
intervalo (−π, π] ó el [−π, π) como preferente debido sobretodo a:
Operaciones multiplicativas en forma polar 9.- Si z = |z|θ y w = |w|δ , se cumple que:
a) z = |z|(−θ) ;
b) zw = (|z| |w|)θ+δ ;
1.3.1
−1
z −1 = (|z|
z
w
)(−θ) .
|z|
= ( |w|
)θ−δ ;
n
z n = (|z| )nθ .
.
Raices complejas
Proposición 10.- Un complejo z 6= 0 tiene n raı́ces n -ésimas distintas. Si θ es un argumento de z , son
precisamente
1
1
z n = (|z| n ) θ + 2kπ , para k = 0, . . . , n − 1.
n
n
Demostración:
n
Un complejo w es la raı́z n -ésima de z , si se verifica que wn = z ; es decir, si |w| = |z| y n arg(w) = arg(z) =
1
θ+2kπ
θ + 2kπ (alguno de los argumentos de z ). Luego |w| = |z| n y arg(w) = n , con k ∈ Z; pero con todos estos
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5 – Matemáticas 1 : Preliminares
1.4 Ejercicios
argumentos sólo se obtienen n números complejos distintos, los mismos que se obtienen tomando los n valores
de k = 0, 1, . . . , n − 1 . Es decir, existen n , y sólo n , complejos distintos que son raı́ces n -ésimas de z , que son
1
1
+ i sen θ+2kπ
z n = |z| n cos θ+2kπ
, con k = 0, . . . , n − 1.
n
n
Observación 11.- Es claro de la prueba anterior que las
raı́ces n -ésimas de un complejo están distribuidas
rep
gularmente en una circunferencia de radio n |z|. Por
ejemplo, las raı́ces quintas de z = r π3 , son los 5 números
complejos
√
√
π .
π
= 5 r 15
(i) z0 = 5 r 15
+ 2π0
5
√
√
π
(ii) z1 = 5 r 15
= 5 r 7π
.
+ 2π1
5
15
√
√
π
= 5 r 13π
.
(iii) z2 = 5 r 15
+ 2π2
5
15
√
√
√
π
(iv) z3 = 5 r 15
= 5 r 19π
= 5 r −11π .
+ 2π3
5
15
15
(v) z4 =
√
5
π
=
r 15
+ 2π4
5
√
5
=
r 25π
15
√
5
s z = r π3
s
z1 =
z2 =
√
5
r 13π
15
√
5
r 7π
15
s
s
z0 =
z3 =
√
5
s
s
r 19π
15
z4 =
√
5
√
5
r
π
15
r 25π
15
r −5π .
15
que quedan distribuidos como en la figura aneja.
1.3.2
La exponencial compleja
Definición 12.- Si z = a + ib, se define la exponencial compleja por ez = ea (cos b + i sen b)
Proposición 13.- Se verifican las siguientes propiedades:
a) Si z = a ∈ R , entonces ez = ea+i0 = ea (cos 0 + i sen 0) = ea y la exponencial compleja coincide con la
exponencial real.
b) Si z = ib ∈ iR, entonces eib = e0+ib = e0 (cos y + i sen y) = cos y + i sen y .
Entonces, si z = a + ib, se tiene que ez = ea eib .
p
c) |ez | = |ea | |eiy | = ea |cos y + i sen y| = ea cos2 y + sen2 y = ea .
De donde ez 6= 0 , para todo z ∈ C .
d) ez = ez ,
(ez )−1 = e−z
y
ez+w = ez ew , para todo z, w ∈ C .
e) ez es periódica de perı́odo 2πi y si ez = ew , entonces z − w = 2kπi, con k ∈ Z.
Nota: Si z 6= 0 , puede escribirse como z = |z| ei Arg(z) que se denomina forma exponencial de z .
Definición 14.- Sea z un número complejo no nulo. Se dice que un número complejo w es un logaritmo de
z , y se escribe w = log z , cuando ew = z .
Proposición 15.- Sea z un número complejo no nulo, los logaritmos de z son todos los commplejos
log(z) = ln |z| + i arg(z)
(uno por cada argumento de z )
Al valor Log(z) = ln |z| + i Arg(z) que se le llama logaritmo principal de z y cualquiera de los otros logaritmos
de z se obtienen de: log(z) = Log(z) + 2kπi , ∀ k ∈ Z.
1.4
Ejercicios
1.1 Efectuar las siguientes operaciones, expresando el resultado en forma binómica:
√
2+i
2−i
5
−1
i ;
;
+ i;
;
i344 + (−i)231 ;
2i
1+i
(1 − i)(2 − i)(i − 3)
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(1 + i)5 + 1
;
(1 − i)5 − 1
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6 – Matemáticas 1 : Preliminares
1.4 Ejercicios
1.2 Usar, cuando sea posible, las propiedades
√
2 + i
2 − i
−1 i ; + i ;
; 2i 1+i
del módulo para calcular:
5
(1 − i)(2 − i)(i − 3) ;
344
i (−i)231 ;
i(1 + i)5 2(1 − i)5 ;
1.3 Expresar en forma exponencial, z = |z| ei arg(z) , los complejos siguientes:
√
a) −8
b)
−1 − i
(−
c)
3+i 3
)
2
h
i−2
4 cos( π2 ) + 4i sen( π2 )
d)
1.4 Expresar en forma binómica los complejos siguientes (tomar Arg(z) ∈ (−π, π] ):
a)
√
π
b) e1−i 2
2 eiπ
c) iei
7π
4
Log(i3 )
d)
π
Log(2e1+i 3 )
e)
1.5 Hallar todos los valores complejos de:
1
a) i 2
b)
1
86
c)
1
(−1) 3
√
3
(− 3 + i) 5
d)
e)
h
2π
4 cos( 2π
3 ) + 4i sen( 3 )
i− 34
1.6 Si se sabe que 1 + i es una raı́z cúbica de z , hallar z y las demás raı́ces.
1.7 Describir geométricamente las regiones del plano complejo:
a)
|z − i| = 1
b) z 2 = 4
e)
z = −z
f)
Im(z) ≤ 0
c)
0 ≤ Arg z ≤
g)
Re(z) > 2
π
2
d) z = z
h)
Re(z) + Im(z) = 1
1.8 ¿Que valores de z verifican que |z + 1| < |z − i| ?
1.9 Resolver las ecuaciones:
z3
2
4
+ (i + 1)z 2 − (2 − i)z = 0
a) z 4 + 2 = 0
b) z 2 + 2z − i = 0
c)
d) z 3 = −1
e) z 6 = iz
f) z + (3 − 2i)z 2 = 6i
1.10 Hallar los z para los que
a) ez ∈ R
b)
Re(ez ) = 0
c)
|e−iz | < 1
d) ez = −1
e)
e2z = i
f) ez = e−z
1.11 Resolver la ecuación z 4 = z .
1.12 Probar que son ciertas las siguientes desigualdades:
|a + bi| ≤ |a| + |b| ≤
√
2 |a + bi| .
1.13 Probar las propiedades de la exponencial compleja dadas en c) y d) de la proposición 13.
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7 – Matemáticas 1 : Preliminares
Capı́tulo 2
Polinomios
2.1
Introducción. Nociones básicas
Los conjuntos de números Q, R y C , verifican que la suma y el producto son operaciones internas, es decir la
suma o producto de racionales es racional, de reales es real y de complejos es compleja. Además, en ellos existe
inverso para la suma y para el producto (resta y división también internas).
A los conjuntos con este tipo de caracterı́sticas se les denomina cuerpos (a los conjuntos de arriba se les
dice cuerpos conmutativos pues el producto es comnutativo, ab = ba) y se usan como conjuntos de números (o
escalares) asociados a otros elementos: los polinomios, las matrices, los vectores, . . . .
En esta sección, formalizaremos los conocidos polinomios e investigaremos algunas de sus propiedades y
también entenderemos el significado del cuerpo asociado.
Definición 16.- Se llama polinomio en la indeterminada X y con coeficientes en un cuerpo conmutativo K,
a toda expresión formal del tipo siguiente:
a0 + a1 X + a2 X2 + ... + an Xn , siendo a0 , a1 , . . . , an elementos de K
Los números a0 , . . . , an son los coeficientes del polinomio, y de cada sumando ai Xi se dice el término de
grado i o monomio de grado i del polinomio. Al conjunto de todos los polinomios en la indeterminada X con
coeficientes en K lo denotamos por K[X] :
n
o
K[X] = a0 + a1 X + · · · + an Xn : ∀ i, ai ∈ K
Nosotros trabajaremos generalmente con K = R ó K = C (y alguna vez con K = Q). Ası́:
n
o
R[X] = a0 + a1 X + · · · + an Xn : ai ∈ R es el conjunto de los polinomios reales (con coeficientes reales),
n
o
C[X] = a0 + a1 X + · · · + an Xn : ai ∈ C es el de los polinomios complejos (con coeficientes complejos),
n
o
Q[X] = a0 +a1 X+· · ·+an Xn : ai ∈ Q es el de los polinomios con coeficientes racionales, . . .
Notar que por ser Q ⊆ R ⊆ C también Q[X] ⊆ R[X] ⊆ C[X] .
La letra X no representa ningún valor, no es una variable ni una incognita: es un mero soporte para el exponente (recordemos, polinomio=expresión formal). En otras palabras lo realmente significativo del polinomio,
es la sucesión ordenada de sus coeficientes. Ası́:
3 + 8X − 9X2 ≡
8X − 9X2 + 3 ≡
3 + 8X2 − 9X5 ≡
X ≡
12 ≡
(3, 8, −9, 0, 0, . . .)
(3, 8, −9, 0, 0, . . .)
(3, 0, 8, 0, 0, −9, 0, 0, . . .)
(0, 1, 0, 0, 0, . . .)
(12, 0, 0, 0, 0, . . .)
Es util abreviar la escritura de todos los términos usando la notación del sumatorio
n
X
P (X) = a0 + a1 X + ... + an Xn =
ai Xi (por convenio, X0 = 1 )
i=0
Definición 17.- Sea P (X) =
n
P
i
ai X un polinomio. Si an 6= 0 , diremos que P (X) tiene grado n , Es decir, el
i=0
mayor exponente de X que tenga coeficiente no nulo. Y lo denotaremos por gr(P ) = n .
Los polinomios de grado cero son de la forma P (X) = c, con c ∈ K y c 6= 0 . Al polinomio cero, P (X) = 0 ,
no se le asigna ningún grado.
Definición 18.- Diremos que dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y los coeficientes de cada
n
m
P
P
término son iguales. Es decir, si P (X) =
ai Xi y Q(X) =
bi Xi , entonces:
i=0
i=0
P (X) = Q(X) ⇐⇒ n = m y ∀ i, ai = bi .
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8 – Matemáticas 1 : Preliminares
2.1 Introducción. Nociones básicas
Expresiones tales como X2 −12 = X+5 son pues absurdas, como lo serı́a escribir 5 = 18 , ya que ambos polinomios
son distintos.
Ejemplo 19 Encontrar a, b, c, tales que 3X + 5X2 + 12X4 = (a + 1)X + 5X2 + 2cX4 + (2a + b)X6 .
Para que coincidan deben tener la misma sucesión de coeficientes, es decir,
3X + 5X2 + 12X4 ≡ (0, 3 , 5, 0, 12, 0, 0 , 0, . . ., 0, . . .),
2
(a + 1)X + 5X + 2cX4 + (2a + b)X6 ≡ (0, a + 1, 5, 0, 2c, 0, 2a + b, 0, . . ., 0, . . .),
deben ser iguales. Igualando coeficiente a coeficiente se obtiene el sistema de ecuaciones:

0 = 0




3 = a+1







 5 = 5
 3 = a+1
a = 2
a = 2
0 = 0
c = 6
c = 6
=⇒ 12 = 2c
=⇒
=⇒
12 = 2c





0
=
2a
+
b
b
=
−2a
b = −4


0 = 2a + b



0
=
0


···
2.1.1
4
Operaciones en IK[X]
Sean P (X) =
n
P
ai Xi y Q(X) =
i=0
m
P
bi Xi polinomios de K[X]
i=0
Definición 20.- Llamaremos suma de los polinomios P y Q al polinomio P + Q, obtenido de:
P (X) + Q(X) =
n
X
!
i
ai X
i=0
+
m
X
máx{n,m}
!
i
bi X
i=0
=
X
(ai + bi )Xi
i=0
Si, m > n, entonces an+1 = an+2 = · · · = am = 0 , es decir, completamos con coeficientes cero.
Nota: gr(P + Q) ≤ máx{gr(P ), gr(Q)}
Ejemplo Para P (X) = 3 + 6X2 − 5X4 y Q(X) = 2 − 8X − 6X2 + 7X6 , se tiene
P + Q = 3 + 6x2 − 5X4 + 2 − 8X − 6X2 + 7X6
= 3 + 0X + 6X2 + 0X3 − 5X4 + 0X5 + 0X6 + 2 − 8X − 6X2 + 0X3 + 0X4 + 0X5 + 7X6
= (3 + 2) + (0 − 8)X + (6 − 6)X2 + (0 + 0)X3 + (−5 + 0)X4 + (0 + 0)X5 + (0 + 7)X6
= 5 − 8X + 0X2 + 0X3 − 5X4 + 0X5 + 7X6 = 5 − 8X − 5X4 + 7X6 .
y podemos comprobar que gr(P + Q) ≤ máx{gr(P ), gr(Q)} = máx{4, 6} = 6 .
Definición 21.- Llamaremos producto de los polinomios P y Q al polinomio P · Q, obtenido de:
! m
! n+m
n
i
X
X
X
X
i
i
P (X) · Q(X) =
ai X
bi X =
ci Xi , donde ci =
ak bi−k
i=0
i=0
i=0
k=0
Nota: gr(P · Q) = gr(P ) + gr(Q) .
Observaciones:
? El neutro de la suma es el polinomio cero P (X) = 0 y del producto el polinomio 1 , P (X) = 1 .
? El inverso para la suma: de P (X) es (−1)P (X) = −P (X) .
? No hay inversos para el producto: si el polinomio P (X) = X tuviera un inverso Q(X) , tendrı́a que ocurrir
que P (X)Q(X) = 1 . Pero entonces 0 = gr(1) = gr(P · Q) = 1 + gr(Q) ≥ 1 .
? Se cumplen las propiedades asociativas y distributivas.
? Si P (X) 6= 0 y P (X)Q(X) = 0 , entonces Q(X) = 0 .
En efecto, si fuera gr(Q) = 0 con Q(X) = k 6= 0 , entonces P (X)Q(X) = kP (X) 6= 0 (absurdo); y si
gr(Q) > 0, entonces gr(P Q) > 0 y P (X)Q(X) 6= 0 (también absurdo), luego Q(X) = 0 .
? Si P (X) 6= 0 y P (X)Q(X) = P (X)R(X) , entonces Q(X) = R(X) . (Inmediata de la anterior.)
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9 – Matemáticas 1 : Preliminares
2.2
2.2 Division euclı́dea de polinomios. Divisibilidad y factorización
Division euclı́dea de polinomios. Divisibilidad y factorización
El conjunto K[X] tiene en muchos aspectos una profunda semejanza con el conjunto Z de los enteros (algebraicamente tienen la misma estructura, ambos son anillos conmutativos). Repasamos brevemente algunos hechos
básicos que ocurren en Z, para después hacer el estudio paralelo en K[X] .
? Dados a, b ∈ Z, b 6= 0 existen q, r ∈ Z únicos tal que a = qb + r con 0 ≤ r < |b| (la división entera o
euclı́dea, con q y r el cociente y el resto).
? Dados a, b ∈ Z, se dice que ” b divide a a ” (o que ”a es múltiplo de b”) si existe c ∈ Z tal que a = bc.
Se escribe b | a y significa que el resto de la división entera de a entre b es 0 .
? Si a, b ∈ Z, se llama máximo comun divisor de a y b, mcd(a, b) , a un entero d tal que: d | a y d | b y es
el mayor, es decir, para cualquier otro δ ∈ Z tal que δ | a y δ | b entonces δ | d .
? mcd(a, b) = mcd(±a, ±b) = mcd(b, a) .
? El Algorı́tmo de Euclides permite calcular el mcd(a, b) sin necesidad de utilizar la descomposición de
a y b en factores.
La realización práctica del algoritmo se dispone ası́:
a
r1
q1
b
r2
q2
r1
r3
q3
r2
···
···
···
···
···
···
rn−1
qn−1
rn−2
rn
qn
rn−1
0
a = bq1 + r1
b = r1 q2 + r2
r1 = r2 q3 + r3
···
rn−1 = rn qn+1 + 0
qn+1
rn
donde qi y ri son respectivamente los cocientes y restos de las divisiones, y rn = mcd(a, b) .
La conclusión es correcta, pues por ser a = q1 b + r1 y d un divisor de a y b, a y b se descomponen en
a = da1 y b = db1 , luego r1 = a − bq1 = da1 − db1 q1 = d(a1 − b1 q1 ) y d divide a r1 . Luego cualquier
divisor de a y b lo es también de b y r1 . Análogamente b = q2 r1 + r2 y por el mismo proceso los
divisores de b y r1 también lo son de r1 y r2 . El proceso es mcd(a, b) = mcd(b, r1 ) = mcd(r1 , r2 ) =
· · · = mcd(rn−1 , rn ) = rn pues rn | rn−1 y rn | rn .
? Un elemento p ∈ Z se dice irreducible si los únicos enteros que lo dividen son 1 , −1 , p y −p. A los
enteros irreducibles positivos se los llama números primos. El 1 no suele considerarse primo.
? Todo número entero n admite una descomposición única (salvo el orden de los factores) de la forma
n = (±1)pt11 pt22 · · · ptrr con pi número primo ∀ i.
Ejemplo El mcd(711, 243) = 9 y el mcd(−300, 432) = 12 pues
2
711 243
225 18
2.2.1
1
225
9
12 2
18 9
0
−300
132
−1
432
36
3
3
132 36
24 12
1
2
24 12
0
División entera o euclı́dea de polinomios
Regresemos de nuevo a K[X] , y veamos que podemos encontrar resultados bastante análogos:
Definición 22.- Dados P (X) y Q(X) con Q(X) 6= 0 , existen dos únicos polinomios C(X) y R(X) tales que:
P (X) = C(X) · Q(X) + R(X) , siendo R(X) = 0 ó gr(R) < gr(Q) .
Si R(X) = 0 , se dice que Q(X) divide a P (X) y se escribe Q(X) | P (X) . También se dice que Q(X) es un factor
de P (X) (de P (X) = C(X) · Q(X) , claramente).
Nota: El método de división de polinomios es el conocido por los alumnos. Los polinomios constantes, de grado
cero, dividen a todos los polinomios y el polinomio cero es múltiplo de cualquiera.
Definición 23.- Se dice que D(X) es un máximo común divisor de P (X) y Q(X) si se verifica que D(X) | P (X)
y D(X) | Q(X) y es el mayor, es decir, si para cualquier otro ∆(X) ∈ K[X] tal que ∆(X) | P (X) y ∆(X) | Q(X)
entonces ∆(X) | D(X) .
El mcd de dos polinomios está determinado salvo un factor constante. En particular, puede elegirse un
mcd mónico (coeficiente del término de mayor grado 1 ) que con esta condición adicional es único.
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2.2 Division euclı́dea de polinomios. Divisibilidad y factorización
Definición 24.- Un polinomio P (X) de grado n > 0 se dice reducible en K[X] si existen Q(X) y C(X)
polinomios no constantes de K[X] tales que P (X) = Q(X)C(X) .
Si no es reducible en K[X] , se dice irreducible en K[X] .
Observaciones:
? Si Q(X) y C(X) reducen a P (X) , entonces 0 < gr(Q) < gr(P ) y 0 < gr(C) < gr(P ) .
? En consecuencia, los polinomios de grado 1 son siempre irreducibles.
? Las constantes no se consideran irreducibles.
? Un polinomio es o no irreducible en K[X] . Ası́, X2 + 1 es irreducible en R[X] mientras que no lo es en
C[X] , pues X2 + 1 = (X − i)(X + i) .
? Si Q(X) | P (X) , entonces kQ(X) | P (X) , para todo k ∈ K. Por ello suele trabajarse con divisores mónicos.
? El Algoritmo de Euclides es válido en K[X] para obtener el máximo común divisor de dos polinomios.
Teorema 25.- Todo polinomio P (X) ∈ K[X] admite en K[X] una descomposición única en la forma
m1 m 2
m r
P (X) = k Q1 (X)
Q2 (X)
· · · Qr (X)
donde k ∈ K y los Qi (X) son polinomios irreducibles mónicos.
2.2.2
Raı́z de un polinomio
Dado un polinomio P (X) = a0 + a1 X + · · · + an Xn ∈ K[X] y α ∈ K, denotaremos por P (α) al resultado de
efectuar en K los cálculos: a0 + a1 α + · · · + an αn .
Definición 26.- Se dice que α ∈ K es una raı́z del polinomio P (X) ∈ K[X] si P (α) = 0 .
Teorema 27.- α ∈ K es raı́z de P (X) ⇐⇒ (X − α) | P (X) .
Demostración:
Siempre podemos dividir P (X) entre X − α y su división entera es P (X) = C(X) · (X − α) + R(X) donde R(X) = 0
ó gr(R(X)) < gr(X − α) = 1 , es decir R(X) es cero ó es una constante distinta de cero luego R(X) = k ∈ K y
tenemos que: P (X) = C(X) · (X − α) + r , luego P (α) = C(α) · (α − α) + r = r . Como P (α) = r se puede concluir
que
P (α) = 0 ⇐⇒ r = 0 ⇐⇒ P (X) = C(X) · (X − α) ⇐⇒ (X − α) | P (X)
Corolario 28.- Un polinomio, de grado mayor que 1, irreducible en K[X] no tiene raı́ces en K.
Nota: El resultado inverso “si no tiene raı́ces en K entonces es irreducible en K[X] ” no es cierto. Por ejemplo,
en R[X] , el polinomio X4 + 5X2 + 4 = (X2 + 1)(X2 + 4) es reducible, pero no tiene raı́ces en R.
La condición “de grado mayor que 1” es obvia, pues los polinomios de grado uno aX + b son siempre
irreducibles y siempre tienen una raı́z.
Definición 29.- Diremos que α ∈ K es una raı́z de multiplicidad m del polinomio P (X) ∈ K[X] , si se cumple
que P (X) = (X − α)m · Q(X) , con Q(α) 6= 0 .
Lema 30.- Sea P (X) = Q(X)R(X) . Si α ∈ K es raı́z de P (X) con multiplicidad m y Q(α) 6= 0 (no es raı́z de
Q(X) ), entonces α es raı́z de R(X) con multiplicidad m .
.
Teorema 31.- Un polinomio de grado n posee, a lo más, n raı́ces (contadas con sus multiplicidades).
Demostración:
En efecto, si P (X) tiene r raı́ces α1 , α2 , . . . , αr , de multiplicidades respectivas m1 , m2 , . . . , mr , entonces P (X) = (X − α1 )m1 (X − α2 )m2 · · · (X − αr )mr Q(X) , por el Lema 30 anterior. Luego n = gr(P (X)) =
m1 + m2 + · · · + mr + gr(Q(X)) , por lo que el número de raices, m1 + m2 + · · · + mr , es a lo más n .
Corolario 32.- Un polinomio de grado n con n + 1 raı́ces es el polinomio 0 .
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2.2.3
2.2 Division euclı́dea de polinomios. Divisibilidad y factorización
Factorización de polinomios de coeficientes complejos
El siguiente resultado (que no es elemental) aporta la información necesaria:
Teorema fundamental del Algebra 33.- Todo polinomio con coeficientes complejos, de grado mayor o igual
que uno posee al menos una raiz compleja.
Corolario 34.- En C[X] :
? Un polinomio de grado n tiene n raı́ces (contadas con sus multiplicidades).
? Todo polinomio de grado n ≥ 1 se descompone en producto de n factores de grado 1.
? Los únicos polinomios irreducibles son los de grado 1.
Ejemplos
? 4X2 − 8X + 13 = 4 X − (1 + 32 i) X − (1 − 32 i)
?
1 4
2X
2.2.4
π
+ 8 = 12 (X4 + 16) = 12 (X − 2ei 4 )(X − 2ei
3π
4
)(X − 2e−i
3π
4
π
)(X − 2e−i 4 )
4
Factorización de polinomios en R[X]
Puesto que R ⊆ C, un polinomio de R[X] puede mirarse como perteneciente a C[X] , y se descompone en factores
lineales en C[X] . Ahora bien, estos factores puede que no pertenezcan todos ellos a R[X] .
Lema 35.- Sea P (X) =
n
P
ai Xi ∈ R[X] . Si α es una raı́z compleja (y no real) de P (X) , entonces α también es
i=0
raı́z de P (X) , y con la misma multiplicidad que α .
.
Nota: Los polinomios de grado 2 formados como en la demostración del lema anterior (por (X − α)(X − α) con
α no real), son irreducibles en R[X] .
Teorema 36.- Todo polinomio de coeficientes reales y grado mayor o igual que 1 se descompone en R[X] como
producto de factores irreducibles de grado 1 o de grado 2.
Nota: La factorización del polinomio ası́ obtenida es única (por la unicidad de la factorización compleja):
P (X) = an (X − α1 )m1 · · · (X − αr )mr (X2 + c1 X + d1 )n1 · · · (X2 + ct X + dt )nt
donde αi ∈ R son las raı́ces reales, y los coeficientes reales de los polinomios de grado 2 se obtienen con
cj = −(βj + βj ) y dj = βj βj , de las raı́ces βj y βj complejas de P (X) .
Corolario 37.- Un polinomio real de grado impar tiene al menos una raı́z real.
2.2.5
Factorización de polinomios de coeficientes racionales
Sea P (X) =
n
P
i=0
mi i
ni X
un polinomio de Q[X] . Entonces, si m∗ es el mı́nimo común múltiplo de los denominadores
ni , el polinomio P∗ (X) = m∗ P (X) tiene todos sus coeficientes enteros, y las mismas raı́ces que P (X) .
En consecuencia, basta estudiar las raı́ces de un polinomio de coeficientes enteros:
Teorema 38.- Sea P (X) = a0 + a1 X + · · · + an−1 Xn−1 + an Xn un polinomio con ai ∈ Z, ∀ i. Entonces,
1.- Si P (X) posee una raı́z α ∈ Z , entonces α | a0 .
2.- Si P (X) posee una raı́z α =
(La expresión de α =
p
q
p
q
∈ Q, entonces p | a0 y q | an .
debe estar simplificada al máximo, es decir, mcd(p, q) = 1 .)
.
Nota: La utilidad del teorema estriba en que se puede construir una lista de candidatos a raı́ces y basta
comprobar si cada uno de ellos es o no raı́z del polinomio.
41 2
3
Ejemplo Hallar las raı́ces racionales del polinomio P (X) = 7X4 + 95
4 X + 4 X − 20X − 3 .
4
3
2
Buscamos las raı́ces racionales de Q(X) = 4P (X) = 28X + 95X + 41X − 80X − 12 .
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2.2 Division euclı́dea de polinomios. Divisibilidad y factorización
? Como 12 = 22 3 , sus divisores son 1, 2, 3, 4 ( 22 ), 6 ( 2 · 3 ) y 12 ( 22 3 ) y los negativos −1 , −2 , −3 , −4 ,
−6 y −12 .
Comprobamos si Q(1) = 0 , si Q(2) = 0 , si Q(−1) = 0 , etc. Si lo hacemos usando la división por Ruffini,
tenemos además la descomposicion del polinomio
−2
28
+
28
95
41 −80 −12
−56 −78
74
12
39 −37
−6
0= Q(−2)
y se tiene Q(X) = (X + 2)(28X3 + 39X2 − 37X − 6)
Buscamos ahora las raı́ces de Q1 (X) = 28X3 + 39X2 − 37X − 6 , y la lista de candidatos se reduce a ±1 ,
±2 , ±3 y ±6 (desaparecen ±4 y ±12 )
−2
28
+
28
39 −37 −6
−56
34
6
−17
−3
0= Q1 (−2)
y se tiene Q(X) = (X + 2)2 (28X2 − 17X − 3)
Buscamos ahora las raı́ces de Q2 (X) = 28X2 − 17X − 3 , y la lista de candidatos se reduce a ±1 y ±3 .
Ninguno de ellos es raı́z, por lo que buscamos las raı́ces fraccionarias:
? Como 28 = 22 7 , sus divisores positivos son 1, 2, 7, 4, 14 y 28 . Las posibles raı́ces racionales de Q2 son:
±1
±1
±1
±1
±1
±3
±3
±3
±3
±3
2 , 4 , 7 , 14 , 28 , 2 , 4 , 7 , 14 y 28 (son todas distintas y están simplificadas al máximo).
28
+
28
− 17
−17
−4
−21
−3
3
0= Q2 ( −1
7 )
y se tiene Q(X) = (X + 2)2 (X + 71 )(28X − 21)
Luego la descomposición final es: Q(X) = 28(X + 2)2 (X + 17 )(X − 43 ) .
Por supuesto, como el polinomio Q2 es de grado 2, es más fácil y sencillo obtener sus raı́ces de la manera
√
17± (−17)2 −4(−3)28
habitual α =
.
2·28
4
Nota: Para evaluar un polinomio real a mano o con calculadora, es muy útil reescribirlo de manera que se
pueda hacer con sumas y productos sucesivos, sin almacenaje. Por ejemplo,
P (X) = a4 X4 + a3 X3 + a2 X2 + a1 X + a0 = (a4 X3 + a3 X2 + a2 X + a1 )X + a0
= ((a4 X2 + a3 X + a2 )X + a1 )X + a0 = (((a4 X + a3 )X + a2 )X + a1 )X + a0
y basta realizar las operaciones, sucesivamente de dentro a fuera.
2.2.5.1
Descomposición en fracciones simples
P (X)
. Se dice que está simplificada, si P (X) y Q(X) no
Dados P (X), Q(X) ∈ K[X] , se considera la fracción racional Q(X)
tienen divisores comunes (salvo las constantes), es decir, considerando los divisores mónicos, mcd(P (X), Q(X)) =
1.
Las fracciones racionales reales y complejas admiten una expresión equivalente que es suma de fracciones
racionales más simples que simplifican su manejo. El proceso para encontrar dicha expresión se denomina descomposición en fracciones simples (de esta manera se usa en integración, series de potencias, variable compleja,
etc.).
P (X)
Supondremos que la fracción Q(X)
está simplificada y gr(P (X)) < gr(Q(X)) . De no ser ası́, podremos hacer:
? Si
P (X)
Q(X)
y mcd(P (X), Q(X)) = D(X) 6= 1 , la expresión equivalente
? Si gr(P (X)) ≥ gr(Q(X)) , entonces
P (X)
Q(X)
= C(X) +
R(X)
Q(X)
P (X)/D(X)
Q(X)/D(X)
está simplificada.
, con gr(R(X)) < gr(Q(X)) .
y obtener una fracción que sı́ lo cumple.
Consideremos la descomposición de Q (eliminamos el soporte X del nombre de los polinomios, por comom2
mr
1
didad) en producto de polinomios mónicos irreducibles: Q = Qm
1 Q2 · · · Qr . En C[X] , todos los polinomios
irreducibles son de grado 1 luego los Qi son de grado 1, es decir, Qi (X) = X − αi . Pero en R[X] , los polinomios irreducibles pueden ser de grado 1 o de grado 2, es decir, de la forma Qi (X) = X − ai o de la forma
Qi (X) = X2 + bi X + ci .
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2.3 Ejercicios
Se plantea entonces la fracción
tendrán mi sumandos, en la forma
P
Q
··· +
como suma de un cierto número de fracciones: por cada factor Qi se
Tij
Ti1
Ti2
Tim
+ 2 + · · · + j + · · · + mii + · · ·
Qi
Qi
Qi
Qi
donde gr(Tij ) < gr(Qi ) . Entonces,
? En C[X] , todos los numeradores son Tij (X) = tij ∈ C .
? En R[X] , los numeradores son Tij (X) = tij ∈ R si Qi (X) = X − ai (si Qi es de grado 1) y de la forma
Tij (X) = pij X + qij ∈ R[X] si Qi (X) = X2 + bi X + ci (de grado 2).
Para determinar los coeficientes de los numeradores se realiza la suma indicada, poniendo como denominador
mr
1
común Qm
1 · · · Qr , es decir, Q. El polinomio obtenido en el numerador, se iguala a P y, de esta igualdad de
polinomios, se extrae el sistema de ecuaciones que nos permite obtener los valores concretos: este sistema tiene
siempre solución única.
El número de incognitas es siempre igual al gr(Q) y como el polinomio obtenido en el numerador al sumar
es (inicialmente) de grado gr(Q) − 1 también tiene gr(Q) coeficientes. Luego el sistema de ecuaciones tiene
gr(Q) ecuaciones y gr(Q) incógnitas. (Ver ejercicio 19)
P (X)
Q(X)
Ejemplo 39 Sea
3
=
X3 +X2 +3
X3 (X−1)(X2 +1)2
2
.
En R[X] , Q(X) = X (X − 1)(X + 1) , pero en C[X] , Q(X) = X3 (X − 1)(X − i)2 (X + i)2 . Luego
X3 + X2 + 3
=
− 1)(X2 + 1)2
X3 (X
en R[X] , siendo tij , pij , qij ∈ R .
X3 (X
2
t11
t12
t13
+ 2 + 3
X
X
X
+
t21
X−1
+
p31 X + q31
p32 X + q32
+ 2
X2 + 1
(X + 1)2
Y en C[X] , con los valores tij ∈ C, se tiene
X3 + X2 + 3
t11
t12
t13
t21
t31
t32
t41
t42
=
+ 2 + 3 +
+
+
+
+
− 1)(X − i)2 (X + i)2
X
X
X
X−1
X − i (X − i)2
X + i (X + i)2
Para calcular los coeficientes en el caso de R[X] , hacemos:
a
b
c
d
eX + f
gX + h
aX2 +bX+c
d
eX3 + f X2 + (e+g)X + f +h
P
= + 2+ 3+
+ 2
+ 2
=
+
+
2
3
Q X X
X
X−1
X +1
(X + 1)
X
X−1
(X2 + 1)2
(aX2 +bX+c)(X−1)(X2 +1)2 + dX3 (X2 +1)2 + (eX3 +f X2 +(e+g)X+f +h)(X−1)X3
C(X)
=
=
X3 (X − 1)(X2 + 1)2
Q(X)
=
(a+d+e)X7 +(b−a+f −e)X6 +(c−b+2a+2d+e+g−f )X5 +(2b−2a−c+f+h−e−g)X4 +(a−2b+2c+d−f −h)X3 +(b−a−2c)X2 +(c−b)X−c
X3 (X−1)(X2 +1)2
e igualando los coeficientes de P (X) = 0X7 + 0X6 + 0X5 + 0X4 + X3 + X2 + 0X + 3 con los del polinomio construido
C(X) , se obtiene el sistema (1) de 8 ecuaciones y 8 incógnitas con solución única.
También puede construirse un sistema equivalente obligando a que ambos polinomios coincidan en 8 valores
(uno más que el grado), pues si P (αi ) = C(αi ) para α1 , . . . , α8 todas distintas, el polinomio P (X) − C(X) tiene
8 raı́ces y, por el corolario 32, es el polinomio 0 ; luego P (X) = C(X) . Por ejemplo, podemos construir un sistema
a partir de (2):


3=P (0) =C(0)
 0=a+d+e







0
=
b
−
a
+
f
−
e
5=P (1) =C(1)








0
=
c
−
b
+
2a
+
2d
+
e
+
g
−
f
3=P (−1)=C(−1)






0 = 2b − 2a − c + f + h − e − g
15=P (2) =C(2)
(1)
(2)
 1 = a − 2b + 2c + d − f − h
 −1=P (−2)=C(−2)






1
=
b
−
a
−
2c
39=P (3) =C(3)








0
=
c
−
b
−15=P
(−3)=C(−3)






3 = −c
83=P (4) =C(4)
4
2.3
Ejercicios
2.14 Encontrar las raı́ces de P (X) = X3 − 2X2 − 5X + 6 y Q(X) = 2X5 − 5X3 + 2X en R[X] , y sus expresiones
factorizadas. Hacerlo también en Q[X] .
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14 – Matemáticas 1 : Preliminares
2.3 Ejercicios
2.15 Probar que el polinomio X2 + 2X + 2 divide a P (X) = X4 + 4 , y obtener de ello todas las raı́ces de P (X)
en C[X] , ası́ como su expresión factorizada en R[X] .
2.16 Sean P (X) = X5 + 3X4 + 3X3 + 3X2 + 2X y Q(X) = X3 − 3X2 + X − 3 dos polinomios de coeficientes reales.
a) Usar el algoritmo de Euclides para hallar su máximo común divisor.
b) Encontrar su mı́nimo común múltiplo.
c) Factorizar ambos polinomios en R[X] .
d) ¿Cuáles son sus factorizaciones en C[X] ?
2.17 Calcular el polinomio real mónico, máximo común divisor de
X4 − 6X3 − 16X2 + 54X + 63
X19 − 9X18 + 21X17 + X16 − 30X15
y
¿Qué raı́ces tienen en común? ¿Podemos usar esto para obtener todas las raı́ces de ambos polinomios?
¿Son todas sus raı́ces reales?
2.18 ¿Cuántos polinomios reales de grado 2 que tengan por raı́ces el 0 y el 1 hay? ¿Cuál es su expresión?
2.19 El polinomio, P (X) , de coeficientes reales y grado 3, tiene a 1 y −1 por raı́ces. ¿Puede asegurarse que la
tercera raı́z es también real?
Si P (0) = 1 , ¿cuál serı́a la tercera raı́z de P ?
2.20 Resolver la ecuación 2x4 − x3 − 4x2 + 10x − 4 = 0 sabiendo que 1 − i es una de las raı́ces del polinomio
asociado.
2.21 Probar que si α es una raı́z de multiplicidad 5 del polinomio P , entonces α es una raı́z de multiplicidad
4 de P 0 (el polinomio derivado de P ).
2.22 Encontrar la multiplicidad de la raı́z r :
a) r = 2 , en X5 − 5X4 + 7X3 − 2X2 + 4X − 8 .
b) r = −2 , en X5 + 7X4 + 16X3 + 8X2 − 16X − 16 .
c) r = 1 , en X5 − 5X4 + 7X3 − 2X2 + 4X − 5 .
2.23 Sea P (X) = (1 − X) X(X + a)(X − 1 − b) − (a + X)(a − aX + ba) . Hallar todas las raı́ces y estudiar su
multiplicidad en función de los valores de los parámetros a y b.


a −a 0
2.24 Sea la matriz A =  −a a 0  . Encontrar las raı́ces, y su multiplicidad en función de los valores de
b 0 2b
los parámetros a y b, del polinomio P (X) = det(XI − A) .
2.25 Expresar como suma de fracciones simples los cocientes siguientes, sin hallar los valores de los coeficientes:
a)
X2 +1
X4 −6X3 −16X2 +54X+63
b)
X−5
(X−1)(X3 −1)
c)
X+5
2X4 −X3 −4X2 +10X−4
d)
X2 +2
X5 +7X4 +16X3 +8X2 −16X−16
e)
X3 −3X2 +X−3
X5 +3X4 +3X3 +3X2 +2X
f)
X5 +3X4 +3X3 +3X2 +2X
(X3 −3X2 +X−3)3
(Nota: Todos los polinomios de este ejercicio aparecen en alguno de los anteriores.)
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15 – Matemáticas 1 : Preliminares
Capı́tulo 3
Funciones, lı́mites y continuidad
3.1
3.1.1
Funciones reales de variable real
Los números reales
Los números reales son de sobra conocidos, sus operaciones básicas ası́ como su identificación con los puntos de
“la recta real”, por lo que sólo vamos a mencionar aquı́ algunas de sus propiedades (la mayorı́a conocidas) que
son imprescindibles en el desarrollo de este tema.
Propiedades de orden 40.- Denotaremos por R+ = {x ∈ R : x > 0} y R− = {x ∈ R : x < 0}
1.- Antisimétrica: Si x ≤ y e y ≤ x =⇒ x = y .
2.- Transitiva: Si x ≤ y e y ≤ z =⇒ x ≤ z .
3.- Total : Para cualesquiera x, y ∈ R:
o bien x ≤ y ,
4.- Si x ≤ y , entonces x + z ≤ y + z para todo z ∈ R
o bien y ≤ x .
(si x < y =⇒ x + z < y + z ).
5.- Si x ≤ y , entonces x · z ≤ y · z para todo z ∈ R+
(si x < y =⇒ x · z < y · z ).
6.- Si x ≤ y , entonces x · z ≥ y · z para todo z ∈ R−
(si x < y =⇒ x · z > y · z ).
7.- Si 0 < x < y , entonces 0 <
1
y
<
1
x
.
Las propiedades de acotación siguientes garantizan que los números reales “llenan” la recta real, lo que nos
permite decir que recorremos de manera continua un subconjunto de R .
Definición 41.- Sea A ⊆ R , diremos que el conjunto A está acotado superiormente si existe algún K ∈ R
tal que x ≤ K , para todo x ∈ A; es decir, todos los elementos de A son menores que K . Del valor K diremos
que es una cota superior de A.
Análogamente, A está acotado inferiormente si existe k ∈ R tal que k ≤ x , para todo x ∈ A y diremos
que k es una cota inferior de A. Diremos que A está acotado si lo está superior e inferiormente.
Propiedad del extremo superior 42.- Todo subconjunto no vacı́o A ⊆ R y acotado superiormente admite una
cota superior mı́nima, es decir, ∃ Γ ∈ R tal que:
a) x ≤ Γ ; ∀ x ∈ A
b) Si K < Γ , entonces ∃ x ∈ A verificando que K < x ≤ Γ .
Se dice que Γ es el extremo superior o supremo de A y se denota por sup A ó ext sup A. Si Γ pertenece
a A, se dice que Γ es el máximo de A , y escribiremos máx A = Γ .
Propiedad del extremo inferior 43.- Todo subconjunto no vacı́o A ⊆ R acotado inferiormente admite una
cota inferior máxima, es decir, ∃ γ ∈ R tal que:
a) γ ≤ x ; ∀ x ∈ A
b) Si γ < k , entonces ∃ x ∈ A verificando que γ ≤ x < k .
Se dice que γ es el extremo inferior o ı́nfimo de A y se denota por inf A ó ext inf A. Si γ pertenece a A,
se dice que γ es el mı́nimo de A, y escribiremos mı́n A = γ .
Nota: Que Γ = sup A es equivalente a que para cada ε > 0 existe x ∈ A con Γ − ε < x ≤ Γ . Es decir, que
para cualquier valor más pequeño que el superior hay algún elemento del conjunto más grande que él.
Análogamente, γ = inf A ⇐⇒ para cada ε > 0 existe x ∈ A con γ ≤ x < γ + ε .
Ejemplo El conjunto A =
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1
n
o
n
: n ∈ N = 1, 12 , 13 , 14 , . . . está acotado superior e inferiormente.
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16 – Matemáticas 1 : Preliminares
3.1 Funciones reales de variable real
En efecto, n1 ≤ 1 < 2 para todo n , luego 2 es una cota superior del conjunto (de hecho, cualquier número
mayor o igual a 1 lo es). También está acotado inferiormente, pues n1 es positivo luego 0 < n1 para todo n y 0
es una cota inferior de A (cualquier número negativo es también una cota inferior).
Luego A es un conjunto acotado y tiene supremo e ı́nfimo: como el supremo es la mı́nima cota superior,
sup A = 1 , pues 1 es una cota superior y si K < 1 , existe el 1 ∈ A tal que K < 1 ≤ sup A = 1 luego K no es
una cota y 1 es la más pequeña.
Como el ı́nfimo es la máxima cota inferior, inf A = 0 , pues es una cota y para cualquier k > 0 , puedo
encontrar un n suficientemente grande para que 0 < n1 < k (por ejemplo, para k = 0.00001 , se tiene que
1
1
0 < 100001
< 100000
= k ).
Además, sup A = 1 ∈ A luego máx A = 1 ; lo que no ocurre con el ı́nfimo, pues inf A = 0 ∈
/ A, luego
6 ∃ mı́n A.
4
3.1.2
Valor absoluto de un número real
Definición 44.- Sea a ∈ R, se llama valor absoluto de a, y se representa por |a| , al número real dado por
√
a, si a ≥ 0
2
|a| = + a =
−a, si a < 0
Propiedades del valor absoluto 45.a) |a| ≥ 0 , ∀ a
y
|a| = 0 ⇐⇒ a = 0
d) |a| ≤ k ⇐⇒ −k ≤ a ≤ k
b) |ab| = |a| |b|
e) |a + b| ≤ |a| + |b|
−1
c) a−1 = |a|
f) |a| − |b| ≤ |a − b|
.
El valor absoluto y su uso como distancia es clave en las definiciones de conjuntos y conceptos como el lı́mite
y la continudad, la derivación e integración.
Nota: Con el valor absoluto, diremos que A es acotado ⇐⇒ existe K > 0 tal que |x| ≤ K , ∀ x ∈ A.
n
o
Ejemplo El conjunto A = 1, 12 , 13 , 14 , . . . del ejemplo anterior está acotado pues n1 ≤ 1 para todo n .
3.1.3
Intervalos y entornos en R
Los subconjuntos de R, están formados por puntos separados o por intervalos (“trozos”) de la recta real o por
uniones de ellos; pero no sólo eso, sino que la validez de algunos resultados depende del tipo de intervalo usado.
Pero además, los intervalos centrados en un punto (que llamaremos entornos) son básicos en la construcción de
la mayorı́a de los conceptos del Cálculo.
Definición 46.- Dados los números reales a y b con a ≤ b, se llama intervalo abierto de extremos a y b, y
se representa por (a, b) , al conjunto:
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}.
Se llama intervalo cerrado de extremos a y b, y se representa por [a, b] , al conjunto:
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}.
Análogamente se definen:
y los intervalos no acotados:
(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} y [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}
(a, +∞) = {x ∈ R : a < x} y [a, +∞) = {x ∈ R : a ≤ x}
(−∞, b) = {x ∈ R : x < b} y (−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}
En los intervalos cerrados, inf[a, b] = mı́n[a, b] = a y sup[a, b] = máx[a, b] = b, mientras que en los abiertos
inf{(a, b)} = a y sup{(a, b)} = b pero no tiene ni máximo ni mı́nimo.
En los no acotados, como [a, +∞) , se tiene inf[a, +∞) = mı́n[a, +∞) = a pero no existe el superior (a veces
se escribe sup A = +∞ , para indicar que el conjunto no está acotado superiomente).
Naturalmente, R es también un intervalo R = (−∞, +∞) . Y, [a, a] = {a} pero (a, a) = (a, a] = [a, a) = ∅ .
Definición 47.- Llamaremos entorno de centro a y radio ε > 0 , y escribiremos E(a, ε) , al conjunto:
E(a, ε) = {x ∈ R : |x − a| < ε} = {x ∈ R : a − ε < x < a + ε} = (a − ε, a + ε) .
Llamaremos entorno reducido de centro a y radio ε > 0 , E ∗ (a, ε) , al conjunto
E ∗ (a, ε) = E(a, ε) − {a} = {x ∈ R : 0 < |x − a| < ε} .
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17 – Matemáticas 1 : Preliminares
3.2 Funciones reales de variable real
3.1.4
Algunas operaciones con números reales
3.1.4.1
Potencias racionales y reales de un número real
Las potencias racionales, xr , se definen paulatinamente a partir de las potencias naturales:
n)
? para n ∈ N y x ∈ R , definimos xn = x · x · · · x .
? para z ∈ Z y x ∈ R − {0} , definimos x0 = 1 y si z < 0 , xz = (x−1 )−z .
√
1
? para n ∈ N y x ∈ R+ , definimos x n = n x como el α ∈ R tal que αn = x
√
z
? para r = nz , con z ∈ Z y n ∈ N , y x ∈ R+ , definimos x n = n xz .
y se verifican las siguientes propiedades:
(1) xr y r = (xy)r
(2) xr xs = xr+s
(3) (xr )s = xrs
(4) Si 0 < x < y , entonces 0 < xr < y r si r > 0
y
(5) Si r < s se tiene que xr < xs cuando x > 1
y
0 < y r < xr si r < 0
xs > xr cuando 0 < x < 1 .
√
Antes de terminar, un pequeño apunte sobre las raices n -ésimas, n x para x ≥ 0 : si n es impar, existe un
único número real α > 0 tal que αn = x ; y si n es √
par, existe un
único número real α > 0 tal que αn = x y
√
n
n
n
(−α) = x . Por ello, si n es par siempre se escribe x > 0 y − x < 0 para distinguir entre el valor positivo
y el negativo.
Potencias reales.- Las potencias reales de un número real, xα , con x > 0 y α ∈ R se extienden de las
racionales (aunque no de manera sencilla) y verifican las mismas propiedades de (1) a (5) que las potencias
racionales.
3.1.4.2
Exponencial real de base e
La exponencial de base e que a cada x ∈ R le asigna el número real ex . Las propiedades de las potencias,
establecen la validez de:
(1) ex+y = ex ey
(2) Si x < y se tiene que ex < ey
(3) ex > 0
(Genéricamente, tenemos exponenciales de base a, para cualquier a > 0 , con propiedades similares.)
3.1.4.3
Logaritmo neperiano real
Para cada x ∈ (0, +∞) , se define el logaritmo neperiano, ln x como el valor real α tal que eα = x ; es decir, la
operación recı́proca a la exponencial.
(1) ln(xy) = ln x + ln y
(2) ln(xy ) = y ln x
(3) Si 0 < x < y se tiene ln x < ln y
(Genéricamente, para cada exponencial ax , tenemos el logaritmo en base a , loga x .)
3.2
Funciones reales de variable real
Definición 48.- Llamaremos función real de variable real, a cualquier aplicación f : A −→ R , donde A ⊆ R.
Al conjunto A lo denominaremos dominio de f y escribiremos A = Dom(f ) .
Si x ∈ A escribiremos y = f (x) para indicar que y ∈ R es la imagen de x por medio de f .
El recorrido o conjunto imagen de f , que suele denotarse por f (A) , será:
n
o n
o
f (A) = f (x) ∈ R : x ∈ A = y ∈ R : ∃ x ∈ A con y = f (x) = Img f
Nota: Si la función viene dada sólo por la expresión y = f (x) , sobreentenderemos que el dominio es el máximo
subconjunto de R para el cual f (x) ∈ R , es decir, Dom(f ) = {x ∈ R : f (x) ∈ R}
√
Ejemplo Sea f : [−1, 1] −→ R dada por f (x) = 1 − x2 . Se tiene que:
√
Dom(f ) = [−1, 1] : pues x ∈ [−1, 1] =⇒ 0 ≤ x2 ≤ 1 =⇒ 1 − x2 ≥ 0 =⇒ 1 − x2 = f (x) ∈ R.
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18 – Matemáticas 1 : Preliminares
3.2 Funciones reales de variable real
2
2
2
f ([−1, 1]) ⊆ [0, 1] , ya que x ∈
√[−1, 1] =⇒ 0 ≤ x ≤ 1 =⇒ −1 ≤ −x ≤ 0 =⇒ 0 ≤ 1−x ≤ 1 =⇒ 0 ≤
2
si k ∈ [0, 1] , se tiene k = f 1 − k ; luego f ([−1, 1]) = [0, 1] .
Para f dada por f (x) =
1
1−x2
√
1−x2 ≤ 1 y,
, su dominio se obtendrá de:
1
∈ R ⇐⇒ 1 − x2 6= 0 ⇐⇒ x2 6= 1 ⇐⇒ x 6= ±1
1 − x2
f (x) ∈ R ⇐⇒
luego Dom(f ) = R − {1, −1} = (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, +∞) .
Definición 49.- Llamaremos gráfica de la función dada
por y = f (x) , y lo denotaremos por graf(f ) , al subconjunto de R2
n
o
graf(f ) = (x, y) ∈ R2 : x ∈ Dom(f ) e y = f (x)
n
o
= (x, f (x)) ∈ R2 : x ∈ Dom(f )
Además, Img(f ) = R − [0, 1) .
4
y
f (a)
r
graf(f )
(a, f (a))
f (c)
(c, f (c))
r
r(b, f (b))
f (b)
x
a
c
b
Definición 50 (Operaciones con funciones).- Sea f y g funciones reales de variable real. Entonces son
funciones reales de variable real las siguientes:
2.- (Producto)
1.- (Suma)
(f +g)(x) = f (x) + g(x)
f (x)
f
3.- (Cociente)
g (x) = g(x)
(f g)(x) = f (x) · g(x)
4.- (Composición)
(g ◦ f )(x) = g(f (x))
en los conjunto donde tenga sentido. Es decir:
Dom(f /g) = Dom(f ) ∩ Dom(g) − {x : g(x) = 0}
n
o
Dom(g ◦ f ) = x ∈ Dom(f ) : f (x) ∈ Dom(g)
Dom(f +g) = Dom(f ) ∩ Dom(g)
Dom(f g) = Dom(f ) ∩ Dom(g)
Ejemplo Sean f (x) =
√
2 − x y g(x) =
√
x2 − 1 . Se tiene que
Dom f = {x ∈ R : 2 − x ≥ 0} = {x ∈ R : 2 ≥ x} = (−∞, 2]
Dom g = {x ∈ R : x2 − 1 ≥ 0} = {x ∈ R : x2 ≥ 1} = (−∞, −1] ∪ [1, +∞) = R − (−1, 1)
√
√
Luego el dominio de (f + g)(x) = 2 − x + x2 − 1 es
Dom(f + g) = Dom f ∩ Dom g = (−∞, 2] ∩ (−∞, −1] ∪ [1, +∞) = (−∞, −1] ∪ [1, 2]
√
√
que coincide con el de (f g)(x) = √ 2 − x x2 − 1 .
Para el dominio de ( fg )(x) = √x2−x
, como g(x) = 0 si x2 − 1 = 0 , es decir, si x = ±1 ,
2 −1
Dom fg = (Dom f ∩ Dom g) − {−1, 1} = (−∞, −1] ∪ [1, 2] − {−1, 1} = (−∞, −1) ∪ (1, 2]
y, finalmente el dominio de (g ◦ f )(x) =
q√
√
( 2 − x)2 − 1 = 1 − x será
√
√
(1) Dom(g ◦ f ) = x ∈ (−∞, 2] : 2 − x ∈ Dom g = x ∈ (−∞, 2] : 2 − x ≥ 1
= {x ∈ (−∞, 2] : 2 − x ≥ 1} = {x ∈ (−∞, 2] : 1 ≥ x} = (−∞, 1]
(1) como
√
2 − x ≥ 0 , se tiene
√
2 − x ∈ Dom g si
√
2 − x ∈ [1, +∞) , es decir, si
Dominio de algunas funciones elementales 51.√
? Raı́z: f (x) = n x y Dom f = [0, +∞) .
? Potencia real:
? Exponencial:
f (x) = xα
f (x) = ex
? Logaritmo neperiano:
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y
y
Dom f = (0, +∞) .
Dom f = R .
f (x) = ln(x)
y
Dom f = (0, +∞) .
√
2 − x ≥ 1.
Con
4
√
n
x = 0 ⇐⇒ x = 0 .
Con xα > 0 para todo x .
Con ex > 0 para todo x .
Con ln x = 0 ⇐⇒ x = 1 .
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19 – Matemáticas 1 : Preliminares
? Seno:
f (x) = sen(x)
? Coseno:
f (x) = cos(x)
? Tangente:
? Tangente hiperbólica:
α>1
y
Con cos x = 0 ⇐⇒ x =
Dom f = R.
sen x
cos x
ex −e−x
2
f (x) = ch(x) =
y
ex +e−x
2
f (x) = th(x) =
α=1
π
2
+ kπ con k ∈ Z.
π
Dom f = R − { π2 + kπ : k ∈ Z} = dk∈Z ( −π
2 + kπ, 2 + kπ) .
y
f (x) = sh(x) =
? Coseno hiperbólico:
Con sen x = 0 ⇐⇒ x = kπ con k ∈ Z,
Dom f = R.
f (x) = tg(x) =
? Seno hiperbólico:
α < −1
y
3.2 Funciones reales de variable real
sh x
ch x
y
y
Con sh x = 0 ⇐⇒ x = 0 .
Dom f = R .
Con ch x ≥ 1 para todo x .
Dom f = R .
Dom f = R.
f (x) = ex
ch(x)
sh(x)
0<α<1
1
1
1
th(x)
π
2
1
1
π
−1 < α < 0
f (x) = ln(x)
sen(x)
cos(x)
tg(x)
1
f (x) = xα
Fig. 3.1. Gráficas de algunas funciones elementales.
Definición 52.- Sea f : A −→ R, con A ⊆ R. Diremos que f es una función acotada si el conjunto imagen
f (A) está acotado. Es decir, si existe K > 0 tal que |f (x)| ≤ K para todo x ∈ A.
Ejemplo
? El seno y el coseno están acotadas en R, pues |sen x| ≤ 1 y |cos x| ≤ 1 para todo x ∈ R.
x
? La función f : R−{0} −→ R, con f (x) = |x|
, está acotada en su dominio pues para todo x ∈ R, se tiene
x
− |x| ≤ x ≤ |x| , y para todo x 6= 0 , −1 ≤ |x| ≤ 1 . (De hecho, |f (x)| = 1 , ∀ x 6= 0 .)
? La función th(x) está acotada en R. En efecto, si x ≥ 0 , se cumple que ex ≥ 1 ≥ e1x = e−x , luego
x
−x
0 ≤ ex − e−x < ex + e−x y entonces 0 ≤ eex −e
+e−x < 1 . Como th(−x) = − th(x) (comprobarlo), cuando
x < 0 , se tiene −1 < th(x) < 0 , por lo que |th(x)| < 1 , para todo x ∈ R .
4
3.2.1
Monotonı́a. Funciones inversas
Definición 53.- Sea f : A −→ R diremos que f es creciente o monótona creciente en el conjunto A, si
para cualesquiera x, y ∈ A , con x < y , se verifica que f (x) ≤ f (y) .
Diremos que f es decreciente o monótona decreciente en el conjunto A, si para cualesquiera x, y ∈
A , con x < y , se verifica que f (x) ≥ f (y) .
Diremos que f es creciente (resp. decreciente) en el punto a ∈ A, si existe un entorno E(a, δ) tal que
∀ x, y ∈ E(a, δ) con x < a < y se cumple f (x) ≤ f (a) ≤ f (y) (resp. f (x) ≥ f (a) ≥ f (y) ).
Nota: Si las desigualdades son estrictas, diremos estrictamente creciente y estrictamente decreciente.
Ejemplo Por las propiedades enunciadas anteriormente, las funciones ex , ln x y xα con α > 0 son estrictamente crecientes en sus dominios; y si α < 0 , xα decrece estrictamente en (0, +∞) (ver gráficas arriba).
La función f (x) = x1 es estrictamente decreciente en cada punto de su dominio R−{0}, pero no es monótona
decreciente en el conjunto (ya que −1 < 1 pero f (−1) = −1 < f (1) = 1 .)
4
Definición 54.- Se dice que f : A −→ R es inyectiva en A si f (x) 6= f (y) para todo x, y ∈ A, con x 6= y .
Ejemplo Las funciones estrictamente crecientes o estrictamente decrecientes en un conjunto son inyectivas.
La función f (x) = x2 es inyectiva en [0, 1] y también en [−1, 0] , pero no lo es en el conjunto [−1, 1] puesto
que f (−1) = 1 = f (1) con 1 6= −1 .
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20 – Matemáticas 1 : Preliminares
3.3 Lı́mite y continuidad de una función en un punto
Definición 55.- Sean f : A −→ R y B = f (A) . Si f es inyectiva en A, llamaremos función inversa de f en
A, y la denotaremos por f −1 , a la función f −1 : B −→ A tal que f −1 (f (x)) = x , para todo x ∈ A .
Ejemplo 56 ? La función f : [0, ∞) −→ R con f (x) = x2 , tiene inversa en ese conjunto (es
√ estrictamente
√
−1
−1
−1
creciente en él) y es f : [0, ∞) −→ [0, ∞) dada por f (y) = y .
[ f (f (x)) = x2 = |x| = x ]
? La función f : (−∞, 0] −→ R con f (x) = x2 , tiene inversa en ese conjunto (es estrictamente
decreciente
√
√
en él), que es f −1 : [0, ∞) −→ (−∞, 0] dada por f −1 (y) = − y .
[ f −1 (f (x)) = − x2 = − |x| = x ]
? La función f : (0, +∞) −→ R con f (x) = xα , tiene inversa en el conjunto (es estr. creciente si α > 0 y
1
1
decreciente si α < 0 ), que es f −1 : (0, ∞) −→ R dada por f −1 (y) = y α . [ f −1 (f (x)) = (xα ) α = x1 = x ]
? La función f : R −→ (0, ∞) con f (x) = ex , tiene inversa en R (es estrictamente creciente en él), que es
f −1 : (0, ∞) −→ R dada por f −1 (y) = ln y .
[ f −1 (f (x)) = ln(ex ) = x ln(e) = x ]
? La función f (x) = sen x , tiene inversa en el conjunto [− π2 , π2 ] (es estrictamente creciente en él), la función
f −1 : [−1, 1] −→ [− π2 , π2 ] que llamaremos arcoseno y denotaremos f −1 (y) = arcsen y .
(El seno no tiene inversa en [0, 2π] , pues no es inyectiva en ese conjunto)
? La función f (x) = cos x , tiene inversa en el conjunto [0, π] (es estrictamente decreciente en él), la función
f −1 : [−1, 1] −→ [0, π] que llamaremos arcocoseno y denotaremos f −1 (y) = arccos y .
? La función f (x) = tg x , tiene inversa en el conjunto [− π2 , π2 ] (es estrictamente creciente en él), la función
f −1 : R −→ [− π2 , π2 ] que llamaremos arcotangente y denotaremos f −1 (y) = arccotg y .
? La función f (x) = sh x , f : R −→ R , tiene inversa en R (es estrictamente creciente en él),
p la función
f −1 : R −→ R que llamaremos argumento del sh y denotaremos f −1 (y) = argsh y = ln(y + y 2 + 1) .
−1
? La función f (x) = ch x , tiene inversa en [0, ∞) (estrictamente creciente), la función
p f : [1, ∞) −→ [0, ∞)
que llamaremos argumento del ch y denotaremos f −1 (y) = argch y = ln(−y + y 2 + 1) .
−1
? La función th: R −→ (−1, 1) , tiene inversa en R (estrictamente creciente), la
qfunción f : (−1, −1) −→ R
que llamaremos argumento de la th y denotaremos f −1 (y) = argth y = ln
y+1
y−1
.
4
Nota: La gráfica de f −1 es simétrica, respecto de la bisectriz del primer cuadrante, a la gráfica de f .
En efecto, si (x, y) ∈ graf(f ) con y = f (x) , entonces, el punto (y, f −1 (y)) ∈ graf(f −1 ) es de la forma
(y, f −1 (y)) = (y, f −1 (f (x))) = (y, x) .
1
Puede observarse esto en la figura 3.1 de la página 19, para ex y su inversa ln(x) y xα y su inversa x α .
3.3
Lı́mite y continuidad de una función en un punto
Definición 57.- Un punto x0 ∈ R se dice punto de acumulación de un conjunto A si, y sólo si, para cada
ε > 0 se tiene que E ∗ (x0 , ε) ∩ A 6= ∅. Es decir, x0 es un punto de acumulación de un conjunto A si en cada
entorno de x0 hay otros puntos de A.
De los puntos de A que no son de acumulación, se dice que son puntos aislados de A.
Nota: Es decir, x0 es punto de acumulación de A si “cerca” de x0 siempre hay (otros) puntos de A , por
pequeño que hagamos el cı́rculo de cercanı́a; en consecuencia, a un punto de acumulación de un conjunto
siempre podremos acercarnos con puntos del conjunto. Sólo ası́ tiene sentido la definición del lı́mite siguiente.
Definición 58.- Sea f : A −→ R y sea x0 ∈ R un punto de acumulación de A . Se dice que el lı́mite de la
función f (x) cuando x tiende a x0 es L, y se representa por
lı́m f (x) = L,
x→x0
(también con f −→ L, cuando x → x0 )
si, y sólo si, para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ A y 0 < |x − x0 | < δ , entonces |f (x) − L| < ε.
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21 – Matemáticas 1 : Preliminares
3.3 Lı́mite y continuidad de una función en un punto
El significado de esta farragosa definición serı́a lo siguiente: “el lı́mite en x0 de f es L si la imagen de cada x
cercano a x0 está cerca de L”. Puede quedar un poco más claro expresando esta crecanı́a mediante entornos:
La definición anterior es, evidentemente, equivalente a:
L+ε
Diremos que el lı́mite de la función f cuando x tiende a
x0 es L si, y sólo si, para cada entorno de L, E(L, ε) ,
existe un entorno reducido de x0 , E ∗ (x0 , δ) tal que si
x ∈ A ∩ E ∗ (x0 , δ) , entonces f (x) ∈ E(L, ε) .
L
L−ε
En la figura de la derecha vemos que, en efecto, para los puntos
cercanos a x0 (en fondo rojo) sus imágenes (en fondo rojo) están
dentro de la cercanı́a de L fijada (en fondo verde).
x0 −δ
√
Ejemplo Para f : [0, +∞) −→ R dada por f (x) = x , se tiene que lı́m f (x) = 0 .
x0
x0 +δ
x→0
2
Para cada
∈ [0, +∞) y 0 < |x − 0| < δ , es decir, si 0 < x < ε2 se verifica
√ ε > 0 , tomamos δ = ε > 0 , si x√
√
√
√
2
que x < ε = ε , pero esto es lo mismo que x = | x| = | x − 0| < ε.
4
Nota: Para el lı́mite no importa la función en el punto, sino su valor
en puntos cercanos
(ponemos 0< |x − x0 | < δ en la definición).
n
Ası́, f (x) =
x, x6=1
2, x=1
2
r
1
b
tiene lı́m f (x) = 1 aunque f (1) = 2 , ya que
x→1
si x → 1 y x 6= 1 , la función toma los valores f (x) = x en esos
puntos y entonces lı́m f (x) = lı́m x = 1 .
x→1
f
g
r
1
x→1
Y también la función g(x) = x tiene por lı́m g(x) = lı́m x = 1 .
x→1
1
1
x→1
El valor de la función en el punto es primordial sin embargo para el concepto de continuidad:
Definición 59.- Sea f : A −→ R , se dice que f es continua en el punto x0 ∈ A si, y sólo si, para cada ε > 0
existe δ > 0 tal que si x ∈ A y |x − x0 | < δ entonces |f (x) − f (x0 )| < ε.
Observación: Si el punto x0 no está aislado, la definición es equivalente a que lı́m f (x) = f (x0 ) .
x→x0
Ejemplo
La función de la nota anterior f (x) =
n
x, x6=1
2, x=1
no es continua en 1 , pues lı́m f (x) = 1 6= f (1) ;
x→1
mientras que la función g(x) = x sı́ lo es pues lı́m g(x) = 1 = g(1) .
√
√x→1
√
También es continua en 0 la función f (x) = x del ejemplo anterior, pues lı́m x = 0 = 0 .
x→0
4
Ejemplo 60 La función f (x) = ex es continua en 0 .
En efecto, por ser ex estrictamente creciente:
x
δ
x
x
δ
si 0 < x < δ , es 1 < e < e , luego 0 < e − 1 = |e − 1| < e − 1
δ
si −δ < x < 0 es e−δ < ex < 1 , luego 0 < 1 − ex = |ex − 1| < 1 − e−δ = e e−1
< eδ − 1 .
δ
Entonces, para cada ε > 0 tomamos δ = ln(1 + ε) y si 0 < |x| < δ , se tiene que
|ex − 1| < eδ − 1 = eln(1+ε) − 1 = (1 + ε) − 1 = ε
x
Luego se cumple que lı́m e = 1 = e0 y ex es continua en 0 .
4
x→0
3.3.1
Algunos resultados interesantes
Proposición 61.- Sea f : A −→ R y x0 un punto de acumulación de A . Entonces
a) lı́m f (x) = L ⇐⇒ lı́m (f (x) − L) = 0
x→x0
b) lı́m f (x) = 0 ⇐⇒ lı́m |f (x)| = 0
x→x0
x→x0
x→x0
c) Si h = x − x0 , entonces lı́m f (x) = L ⇐⇒ lı́m f (x0 + h) = L
x→x0
h→0
Demostración:
Basta observar que la definición de lı́mite para el segundo término de la 1 a equivalencia:
para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que si 0 < |x − x0 | < δ =⇒ |(f (x) − L) − 0| = |f (x) − L| < ε
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22 – Matemáticas 1 : Preliminares
3.3 Lı́mite y continuidad de una función en un punto
para el segundo término de la 2 a equivalencia:
para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que si 0 < |x − x0 | < δ =⇒ ||f (x)| − 0| = |f (x)| < ε
y para el segundo término de la 3 a equivalencia:
para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que si 0 < |h| = |x − x0 | < δ =⇒ |f (x0 + h) − L| = |f (x) − L| < ε
coinciden con la definición de los lı́mites para los respectivos primeros términos de la equivalencias.
Los resultados a) y c) anteriores deben considerarse definiciones equivalentes de la definición de lı́mite y
nos permiten transformar un lı́mite en un lı́mite de valor 0 o a un lı́mite en el punto 0 . Con el apartado b)
cambiamos la función por otra “acotable”, lo que cobra interés tras los resultados siguientes:
Proposición 62.- Sean f, g, h: A −→ R y x0 un punto de acumulación de A.
1.- Si f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) en A y lı́m f (x) = L = lı́m h(x) , entonces lı́m g(x) = L
x→x0
x→x0
x→x0
2.- Si g está acotada en A y lı́m f (x) = 0 , entonces lı́m g(x) · f (x) = 0
.
x→x0
x→x0
Ejemplo El lı́m x sen x1 = 0 , pues lı́m x = 0 y el seno está acotado (|sen y| ≤ 1 , para cualquier y ∈ R ). 4
x→0
x→0
3.3.1.1
Lı́mites y continuidad con las operaciones básicas
El cálculo de los lı́mites y, por tanto el estudio de la continuidad, se extiende ampliamente y de manera sencilla
mediante las operaciones básicas de las funciones:
Propiedades 63.- Si lı́m f (x) = L1 ∈ R y lı́m g(x) = L2 ∈ R, entonces:
x→x0
x→x0
a) lı́m [f (x) + g(x)] = lı́m f (x) + lı́m g(x) = L1 + L2 .
x→x0
x→x0
x→x0
b) lı́m [f (x) · g(x)] = lı́m f (x) · lı́m g(x) = L1 · L2 .
f (x)
x→x0 g(x)
c) lı́m
x→x0
x→x0
x→x0
lı́m f (x)
=
x→x0
lı́m g(x)
x→x0
=
L1
L2
,
siempre que L2 6= 0 .
.
Corolario 64.- Sean f y g funciones continuas en un punto x0 ∈ A , entonces:
1.- f + g es continua en el punto x0 .
2.- f g es continua en el punto x0 .
3.-
f
g
es continua en el punto x0 siempre que g(x0 ) 6= 0 .
Ejemplos
n)
? La función f (x) = xn es continua en R: lı́m xn = ( lı́m x) · · · ( lı́m x) =
x→x0
x→x0
x→x0
lı́m x
n
x→x0
= xn0
? En general, si P (X) es un polinomio, lı́m P (x) = P (x0 ) , luego continuo en todo R .
x→x0
? Y una función racional, f (x) =
P (x)
Q(x)
, será continua en los puntos de su dominio (salvo en aquellos a con
P (x)
x→x0 Q(x)
Q(a) = 0 , pero esos no pertenecen al dominio) y en todos ellos lı́m
=
P (x0 )
Q(x0 )
.
? f (x) = ex es continua en R , pues lo es en 0 (Ejemplo 60) y, para los demás puntos, se tiene
lı́m ex = lı́m ex0 +h = lı́m ex0 eh = ex0 lı́m eh = ex0 e0 = ex0
x→x0
h→0
h→0
h→0
4
Teorema 65.- Sean f : A −→ R y g: f (A) −→ R . Si lı́m f (x) = b y g es continua en b, entonces
x→a
lı́m g(f (x)) = g(b) = g lı́m f (x) .
x→a
.
x→a
Corolario 66.- Si f es continua en a y g continua en f (a) , entonces g ◦ f es continua en a.
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23 – Matemáticas 1 : Preliminares
3.3 Lı́mite y continuidad de una función en un punto
Ejemplo La función f (x) = x − 1 es continua en 1 por ser polinómica;
la función g(x) = |x| es continua
√
en 0 = f (1) , pues lı́m x = 0 =⇒ lı́m |x| = 0 = |0| ; y h(x) = x es continua en 0 = g(0) . Entonces, la
x→0
x→0
p
|x − 1| es continua en 1 .
composición (h ◦ g ◦ f )(x) = h(g(f (x))) = r
p
q
p
Además, lı́m |x − 1| = lı́m |x − 1| = lı́m (x − 1) = |0| = 0 .
4
x→1
x→1
x→1
Imponiendo condiciones sobre la función f , podemos dar una variante del teorema 65 anterior que prescinde
de la condición de continuidad de g :
Proposición 67 (Convergencia propia).- Sean f : A −→ R y g: f (A) −→ R . Si lı́m f (x) = b, con f (x) 6= b
x→a
para todos los x de un entorno reducido E ∗ (a, δ0 ) de a, entonces
lı́m (g ◦ f )(x) = lı́m g(f (x)) = lı́m g(y).
x→a
.
y→b
f (x)→b
y, si y 6= 1
, no continua en 1. Para f (x) = ex se cumple la condición pedida, pues
2, si y = 1
lı́m f (x) = 1 6= ex = f (x) si x 6= 0 (es est. creciente), luego
lı́m g(f (x)) = lı́m g(y) = 1 . (En efecto, como
Ejemplo Sea g(y) =
x→0
x→0
y→1
g(f (x)) = g(ex ) = ex si ex 6= 1 , se tiene lı́m g(f (x)) = lı́m ex = 1 ).
x→0
x→0
1, si x 6= 0
Sin embargo, si tomamos la función f (x) =
, que no verifica la condición de la proposición
0, si x = 0
( lı́m f (x) = 1 = f (x) si x 6= 0 ), se tiene que:
lı́m g(f (x)) = lı́m g(1) = 2 6= lı́m g(y) = 1 .
4
x→0
3.3.1.2
x→0
x→0
y→1
Lı́mites laterales
Definición 68.- Sean a < c < b y f : (a, c) ∪ (c, b) −→ R .
? Diremos que L1 es el lı́mite por la izquierda de f en c, si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que
cuando x < c y 0 < |x − c| < δ , se tiene que |f (x) − L1 | < ε.
? Diremos que L2 es el lı́mite por la derecha de f en c, si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que cuando
x > c y 0 < |x − c| < δ , se tiene que |f (x) − L2 | < ε.
Los representaremos, respectivamente, por
lı́m f (x) = lı́m f (x) = L1
x→c
x<c
y
x→c−
lı́m f (x) = lı́m f (x) = L2
x→c
x>c
x→c+
Proposición 69 (Lı́mites laterales).- Sean a < c < b y f : (a, c) ∪ (c, b) −→ R . Entonces
⇐⇒
lı́m f (x) = L
x→c
Ejemplo Sea f (x) = |x| =
x→0
.
x→c+
x, si x ≥ 0
. Entonces
−x, si x < 0
lı́m |x| = lı́m− −x = 0
x→0−
lı́m f (x) = lı́m f (x) = L
x→c−
y
lı́m |x| = lı́m+ x = 0
x→0+
=⇒
x→0
lı́m |x| = 0
4
x→0
Nota: Si sólo hay función en un lado, el lı́mite coincide con el lı́mite lateral. Por ejemplo, lı́m
x→0
√
x = lı́m
x→0+
√
x,
pues en los puntos a la izquierda de 0 no está definida la función.
Definición 70.- Si f no es continua en un punto x0 , pero se cumple que lı́m− f (x) = f (x0 ) ó que lı́m+ f (x) =
x→x0
x→x0
f (x0 ) , se dice que f es continua por la izquierda o continua por la derecha en x0 .
Ejemplo Todas son funciones discontinuas en 1 , la tercera es continua por la derecha y las dos últimas son
continuas por la izquierda.
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24 – Matemáticas 1 : Preliminares
3.3 Lı́mite y continuidad de una función en un punto
r
b
b
b
r
b
b
r
r
1
1
1
1
1
La discontinuidad de la primera función suele denominarse evitable (porque basta “rellenar el hueco” para hacerla continua), de la quinta se dice de salto infinito y de las tres restantes de salto finito.
4
3.3.2
Lı́mites con infinito
De manera similar a como se definen los limites para valores reales, podemos definir lı́mites donde la variable se
acerca a +∞ ó a −∞ , o que sea la función la que pueda tomar valores cércanos a ellos (valores, tan grandes que
superan cualquier cota K > 0 , o tan pequeños que rebasan cualquier cota por abajo −K < 0 ). Las definiciones
son análogas, sin más que cambiar la aproximaciones a puntos reales por aproximaciones a ∞ :
Definición 71.- Si f es una función real de variable real, se tienen las siguientes definiciones:
si, para cada K > 0 , existe δ > 0 tal que si 0 < |x − x0 | < δ =⇒ f (x) > K
lı́m f (x) = +∞
x→x0
lı́m f (x) = L
x→−∞
si, para cada ε > 0 , existe M > 0 tal que si x < −M =⇒ |f (x) − L| < ε
lı́m f (x) = −∞
si, para cada K > 0 , existe M > 0 tal que si x > M =⇒ f (x) < −K
x→+∞
Análogamente: lı́m f (x) = −∞ , lı́m f (x) = L , lı́m f (x) = +∞ , lı́m f (x) = +∞ y lı́m f (x) = −∞ .
x→x0
x→+∞
Ejemplo Para a > 0 ,
lı́m ax = +∞
x→+∞
x→+∞
y
lı́m
x→0−
1
x
x→−∞
= −∞ .
x→−∞
En efecto:
K
? para cada K > 0 tomamos M = K
a > 0 y si x > M , entonces f (x) = ax > aM = a a = K
1
1
1
? para cada K > 0 tomamos δ = K > 0 y si −δ < x < 0 , entonces f (x) = x < −δ = −K
4
Las operaciones del resultado Propiedades 63 son válidas también cuando tenemos lı́mites en el infinito o con
valor infinito, aunque aparecen situaciones cuyo resultado no puede determinarse usando las reglas generales.
Si lı́m f (x) = a y lı́m g(x) = b, donde tanto x0 como a y b pueden ser ±∞, el valor del lı́mite para las
x→x0
f
g
x→x0
funciones f + g , f · g ,
f +g
a = −∞
a∈R
a = +∞
f ·g
a = −∞
a<0
a=0
a>0
a = +∞
b = −∞
−∞
−∞
b = −∞
+∞
+∞
−∞
−∞
y f g , se obtiene de las siguientes tablas:
b∈R
−∞
a+b
+∞
b<0
+∞
ab
0
ab
−∞
b = +∞
+∞
+∞
b=0
0
0
0
b>0
−∞
ab
0
ab
+∞
f
g
b = −∞
a = −∞
a<0
a=0
a>0
a = +∞
b<0
+∞
0
0
0
a
b
a
b
fg
a=0
0<a<1
a=1
a>1
a = +∞
+∞
+∞
b = 0+
−∞
−∞
b=0
|∞|
|∞|
b>0
−∞
b = +∞
a
b
0
0
0
0
−∞
b = +∞
−∞
−∞
b = 0−
+∞
+∞
0
−∞
−∞
b = −∞
+∞
+∞
0
0
|∞|
|∞|
a
b
+∞
+∞
b<0
+∞
ab
1
ab
0
b=0
1
1
1
+∞
b>0
0
ab
1
ab
+∞
b = +∞
0
0
+∞
+∞
|∞| En estos casos, no se garantiza la existencia del lı́mite, pero sı́ que se tiene fg −→ +∞ .
Hay siete indeterminaciones clásicas, indicadas con
(i) ∞ − ∞
(ii)
0·∞
(iii)
∞
∞
(que en el fondo se reducen a dos (i) e (ii)):
(iv)
0
0
(v)
1∞
(vi)
00
(vii)
∞0
Nota: Teniendo en cuenta que ab = eb ln a , las indeterminaciones (v), (vi) y (vii) se reducen a 0 · ∞ .
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25 – Matemáticas 1 : Preliminares
Ejemplo 72
2
lı́m x +2x+1
2
x→+∞ 3x−2x
3.3 Lı́mite y continuidad de una función en un punto
+∞
= ( −∞
)=
−1
2
x2 + 2x + 1
lı́m
= lı́m
x→+∞ 3x − 2x2
x→+∞
Ejemplo 73
lı́m
x→0
x3 −3x+2x2
3x3 −2x
= ( 00 ) =
3
2
.
x2 +2x+1
x2
3x−2x2
x2
1+
= lı́m
3
x
x→+∞
+ x12
1+0+0
−1
=
=
0
−
2
2
−2
2
x
4
.
x3 − 3x + 2x2
x(x2 − 3 + 2x)
x2 − 3 + 2x
0−3+0
−3
3
= lı́m
= lı́m
=
=
=
3
2
x→0
x→0
x→0
3x − 2x
x(3x − 2)
3x2 − 2
0−2
−2
2
lı́m
Ejemplo 74
√2x
lı́m
x→+∞ x+ x2 +2x
4
= ( +∞
+∞ ) = 1 .
2x
√
= lı́m
x→+∞ x +
x2 +2x x→+∞
lı́m
x
x
+
2x
x
√
x2 +2x
x
2
= lı́m
√
x→+∞
1+
2
x
√ +2x
x2
= lı́m
x→+∞
teniendo en cuenta que cuando x → +∞ , será x > 0 y por tanto x = |x| =
√
1+
2
q
=
1+ x2
√ 2
1+0+1
=1
x2 .
4
√
lı́m
x2 + 2x − x = (∞ − ∞) = 1 .
√
√
√
p
( x2 + 2x − x)( x2 + 2x + x)
( x2 + 2x)2 − x2
2
√
√
x + 2x − x = lı́m
= lı́m
lı́m
x→+∞
x→+∞
x→+∞
x2 + 2x + x
x2 + 2x + x
2
2
x + 2x − x
2x
= lı́m √
= lı́m √
=1
2
2
x→+∞
x→+∞
x + 2x + x
x + 2x + x
Ejemplo 75
Ejemplo 76
x→+∞
lı́m (1 + x1 )x = e
x→+∞
Por definición, e =
1
n+1
1
x
≤
<
1+
1
n
4
de donde
lı́m (1 +
n→+∞
1
1 + n+1
≤
1 n
y para cada x >
n)
1 + x1 < 1 + n1 . De esta
0 , existe n ∈ N con n < x ≤ n + 1 , luego con
desigualdad y de n < x ≤ n + 1 , tenemos que:
1
(1 + n+1
)n+1
1 n 1 x 1 x 1 n+1
1 1 n
≤
1
+
≤ 1+
< 1+
=⇒
<
1
+
1
+
1
n+1
x
n
x
n
n
1 + n+1
n+1
x
n+1
1
1 n
1
n+1
=⇒
1+
1+
≤ 1+
<
n+2
n+1
x
n
n
si x → +∞ , entonces n y n+1 → +∞ , por lo que se cumple que
e ≤ lı́m (1 + x1 )x ≤ e .
x→+∞
4
Nota: La Proposición 67 de convergencia propia cobra nuevo interés con los lı́mites con infinitos (para los que
también es válida), pues la condición de continuidad no es aplicable en muchos de estos casos. Además, la
condición de convergencia propia, que cuando f (x) → ∞ sea f (x) 6= ∞ se cumple de manera obvia.
Ejemplo Consideremos y = −x en (1), y z = h(y) = y − 1 en (2) entonces
lı́m (1 + x1 )x
x→−∞
(1)
=
=
y y
−y
lı́m (1 − y1 )−y = lı́m ( y−1
= lı́m ( y−1
) = lı́m (1 +
y )
y→+∞
lı́m (1 +
y→+∞
y→+∞
1
y−1 )(1
+
y→+∞
1 y−1 (2)
= lı́m (1
y−1 )
y→+∞
+
y→+∞
1
lı́m (1
y−1 ) z→+∞
1 y
y−1 )
+ z1 )z = 1 · e = e
4
Continuidad de algunas funciones elementales 77.- (Ver sus gráficas en la figura 3.1 de la página 19.)
? f (x) = ex es continua en R y lı́m ex = 0 y lı́m ex = +∞ .
x→−∞
x→+∞
? f (x) = ln x es continua en (0, +∞) y lı́m+ ln x = −∞ y
x→0
? f (x) = xα continua en (0, ∞) y lı́m xα = 0 y
x→0+
? f (x) = sh x es continua en R y
? f (x) = ch x es continua en R y
? f (x) = th x es continua en R y
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lı́m xα = ∞ si α > 0 (resp. ∞ y 0 si α < 0 ).
x→+∞
lı́m sh x = −∞ y
x→−∞
lı́m ch x = ∞ y
x→−∞
lı́m th x = −1 y
x→−∞
lı́m ln x = +∞ .
x→+∞
lı́m sh x = +∞ .
x→+∞
lı́m ch x = +∞ .
x→+∞
lı́m th x = 1 .
x→+∞
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26 – Matemáticas 1 : Preliminares
3.3 Lı́mite y continuidad de una función en un punto
? f (x) = sen x y f (x) = cos x son de periódicas de periodo 2π , continuas en R y 6 ∃ lı́m f (x) .
x→±∞
? f (x) = tg x es de periodo π , continua en su dominio y
lı́m + tg x = −∞ y lı́m
tg x = ∞ .
π−
x→ −π
2
3.3.3
x→ 2
.
Infinitésimos e infinitos equivalentes
Definición 78.- Se dice que una función f es un infinitésimo en x0 si lı́m f (x) = 0 .
x→x0
Una función f (x) se dice que es un infinito en x0 si lı́m f (x) = +∞ (o −∞).
x→x0
f (x)
x→x0 g(x)
Definición 79.- Dos infinitésimos en x0 , f y g , se dicen equivalentes en x0 si lı́m
f (x)
x→x0 g(x)
Dos infinitos en x0 , f y g , se dicen equivalentes en x0 si lı́m
= 1.
= 1.
Proposición 80.- Si g(x) y h(x) son infinitésimos (o infinitos) equivalentes en x0 , entonces
f (x)
f (x)
lı́m g(x)f (x) = lı́m h(x)f (x)
y
lı́m
= lı́m
,
x→x0
x→x0
x→x0 g(x)
x→x0 h(x)
siempre que los segundos lı́mites existan.
Demostración:
Si existe lı́m f (x)h(x) y lı́m
g(x)
x→x0 h(x)
x→x0
= 1 , entonces:
g(x)
x→x0 h(x)
lı́m h(x)f (x) = lı́m
x→x0
· lı́m h(x)f (x) = lı́m
x→x0
x→x0
g(x)h(x)f (x)
h(x)
= lı́m g(x)f (x)
x→x0
Análogamente para el otro caso.
Algunos infinitos e infinitésimos conocidos 81.- Usaremos la notación f ∼ g
infinitos o infinitésimos equivalentes:
an xn + · · · + a1 x + a0 ∼ an xn cuando x → ±∞
an xn + · · · + a1 x ∼ a1 x
sen(x) ∼ x
cuando x → 0
tg(x) ∼ x
2
sen x1 ∼ x1
cuando x → ±∞
1 − cos(x) ∼ x2
ln(1 + x) ∼ x
cuando x → 0
ex − 1 ∼ x
2
sh(x) ∼ x
cuando x → 0
ch(x) − 1 ∼ x2
lı́m ln(x)
x→1 x−1
para indicar que f y g son
cuando
cuando
cuando
cuando
cuando
x→0
x→0
x→0
x→0
x→0
En efecto, lı́m ln(x)
= lı́m ln(x)
= lı́m ln(1+t)
= lı́m tt = 1
t
x→1 x−1
x−1→0 x−1
t→0
t→0
2
x
x→0⇒x →0
x→0⇒ 2 →0
x sen( x
xx
xx
2)
2
lı́m
=
= lı́m ex2 2−1 =
= lı́m x22 = 12
2
sen( x2 ) ∼ x2
x→0 ex −1
x→0
x→0
ex − 1 ∼ x2
x → +∞ ⇒ x1 → 0
1
lı́m 2x sen( x ) =
= lı́m 2x x1 = 2
sen( x1 ) ∼ x1
x→+∞
x→+∞
Ejemplos
.
= 1.
4
Nota: La hipótesis de la Proposición, en el sentido de que los infinitésimos (o infinitos) sean factores o divisores
de la función, deben tenerse muy presentes pues sólo ası́ garantizaremos el resultado. El ejemplo siguiente
muestra cómo al sustituir un sumando por otro se falsea el resultado.
Sabemos que sen x y x son infinitésimos equivalentes en x = 0 , pero sen x no puede ser sustituido por x
en el lı́mite: lı́m senxx−x
, pues si lo hacemos obtendrı́amos como lı́mite 0 cuando su valor correcto es −1
3
6 .
x→0
Los infinitésimos o infinitos equivalentes son funciones que tienen un comportamiento “similar” en el lı́mite,
pero no igual. Por ello, si los usamos en sumas o restas podemos eliminar esa diferencia (como ocurre en el
lı́mite anterior) y dejar sin sentido el lı́mite.
Al sustituir sen x por x en la resta de arriba estamos asumiendo que son iguales, pues sutituimos sen x − x
3
por 0 , lo que no es cierto (es sen x − x 6= 0 si x 6= 0 ); de hecho, el seno es más parecido a sen x ≈ x − x6 con
3
lo que la deferencia es más parecida a sen x − x ≈ − x6 que a 0 .
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27 – Matemáticas 1 : Preliminares
3.3.4
3.3 Lı́mite y continuidad de una función en un punto
Ası́ntotas de una función
Una buena ayuda para la representación de la gráfica de las funciones son las ası́ntotas. La gráfica de f es
una representación en el plano R2 formada por los puntos (x, y) con la condición y = f (x) luego de la forma
(x, f (x)) ; por consiguiente, la gráfica puede tener puntos que se alejan hacia el infinito. Basta tener en cuenta
que si el dominio es R , cuando x → +∞ los puntos de la gráfica se alejan hacia + ∞, lı́m f (x) .
x→+∞
Estos alejamientos de la gráfica se llaman ramas infinitas de la función, y puede ocurrir que la función se
“parezca” a una recta en estas ramas infinitas. Las rectas cumpliendo que la distancia de los puntos de una
rama infinita a esa recta tienda hacia 0 a medida que se alejan, se denominan ası́ntotas de la función.
Dado que en R2 , los puntos se alejan en la forma (x, ∞) , (∞, y) o (∞, ∞) (aquı́, ∞ puede ser tanto +∞
como −∞ ), buscaremos tres tipos de ası́ntotas: verticales, horizontales e inclinadas.
Ası́ntotas verticales
Si lı́m f (x) = ±∞ tenemos una rama infinita a la izquierda del punto x0 y la recta x = x0 es una ası́ntota
x→x−
0
vertical de esa rama (el signo del lı́mite +∞ o −∞, nos indicará el comportamiento de la rama infinita).
Si lı́m+ f (x) = ±∞ hay rama infinita a la derecha de x0 y la recta x = x0 es ası́ntota vertical de esa rama.
x→x0
Ası́ntotas horizontales e inclinadas Aunque la búsqueda de ası́ntotas horizontales e inclinadas pueden
verse como procesos distintos, en ambos casos la variable x se aleja hacia el infinito (x, f (x)) → ∞, lı́m f (x)
x→∞
y también, la recta es de la forma y = mx + n (con m = 0 para las horizontales).
Si buscamos una recta y = mx + n cumpliendo que f (x) − (mx + n) −→ 0 cuando x → +∞ , también se
f (x)
n
cumplirá que f (x)−mx−n
−→ 0 , de donde f (x)
x
x − m − x −→ 0 luego se tendrá que m = lı́m
x . Y conocido
x→+∞
m , se tendrá f (x) − (mx + n) −→ 0 ⇐⇒ f (x) − mx −→ n , de donde n = lı́m f (x) − mx .
x→+∞
En consecuencia, existirá ası́ntota cuando x → +∞ (o en +∞ ), si existen y son reales los valores de los
lı́mites m = lı́m f (x)
y n = lı́m f (x)−mx, siendo y = mx + n es la ası́ntota buscada. (Análogo en −∞ ).
x
x→+∞
Ejemplo
x→+∞
, tiene por dominio, Dom(f ) = (−∞, −1) ∪ (1, 3) ∪ (3, +∞) .
La función f (x) = √(x−1)(x+2)|x|
2
2
(x −1)(x−3)
Como el numerador, es continuo en R, las ası́ntotas verticales (si existen) estarán en los puntos donde se anule
el denominador, es decir, −1 , 1 y 3 .
(−2) · 1 · |−1|
(x − 1)(x + 2) |x|
lı́m f (x) = lı́m p
=
= −∞
0+
x→−1−
x→−1−
(x2 − 1)(x − 3)2
(x − 1)(x + 2) |x|
(x + 2) |x|
x−1
3
x−1
lı́m f (x) = lı́m+ p
= lı́m+ p
· lı́m √
= · lı́m+ √
=0
2 x→1
x→1
x→1
x2 − 1
(x2 − 1)(x − 3)2
(x − 3)2 x→1+ x2 − 1
30 (x − 1)(x + 2) |x|
30
=
+∞
lı́m
f
(x)
=
lı́m− f (x) = lı́m− p
=
= +∞
0+
0+
x→3+
x→3
x→3
(x2 − 1)(x − 3)2
x→1+
Luego las ası́ntotas verticales son x = −1 (cuando x → −1− , f (x) → −∞ ) y x = 3 (cuando x → 3− ,
f (x) → +∞ y cuando x → 3+ , f (x) → +∞ ).
Estudiamos las ası́ntotas en +∞,
(x − 1)(x + 2)
|x|
f (x)
= lı́m p
lı́m
=1·1=1
2
2
x→+∞
x→+∞
x
x
(x − 1)(x − 3)
p
(x − 1)(x + 2)x − x (x2 − 1)(x − 3)2
p
n = lı́m f (x) − x = lı́m
x→+∞
x→+∞
(x2 − 1)(x − 3)2
m = lı́m
x→+∞
2
x(x−1)(8x −3x−13)
=4
= lı́m p
p
x→+∞
(x2 −1)(x−3)2 (x−1)(x+2) + (x2 −1)(x−3)2
y = x+4
@
@
x=3
@
@
y = −x−4@
x = −1
luego y = x+4 es ası́ntota de f cuando x → +∞ . Análogamente,
se obtiene que y = −x − 4 es ası́ntota cuando x → −∞.
4
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28 – Matemáticas 1 : Preliminares
3.4
3.4 Teoremas del lı́mite y de continuidad
Teoremas del lı́mite y de continuidad
Teorema 82 (de acotación y del signo para lı́mites).- Sean f : A ⊆ R −→ R y x0 un punto de acumulación de A. Si lı́m f (x) = L ∈ R , existe un entorno E(x0 , δ) tal que f está acotada en E ∗ (x0 , δ) ∩ A.
x→x0
Además, si L 6= 0 , el valor de f (x) tiene el mismo signo que L.
Demostración:
Sea ε > 0 fijo, entonces existe E ∗ (x0 , δ) tal que |f (x) − L| < ε , luego L − ε < f (x) < L + ε , para todo
x ∈ E ∗ (x0 , δ) . En consecuencia, f está acotada en dicho entorno reducido.
Para la segunda parte, basta tomar ε tal que 0 < L−ε < f (x) si L > 0 , o tal que f (x) < L+ε < 0 , si L < 0 .
Corolario 83.- Si f : A −→ R es continua en x0 , entonces f está acotada en algún entorno de x0 .
Además, si f (x0 ) 6= 0 , el valor de f (x) tiene el mismo signo que f (x0 ) .
3.4.1
Teoremas de continuidad en intervalos cerrados
Teorema de Bolzano 84.- Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y que toma valores de signo opuesto
en a y b (es decir, f (a)f (b) < 0 ) entonces ∃c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0 .
.
Teorema de los valores intermedios 85.- Si f : [a, b] −→ R es continua en [a, b] y f (a) 6= f (b) , entonces para
cada k entre f (a) y f (b) , existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = k .
Demostración:
Supongamos f (a) < f (b) , y sea f (a) < k < f (b) . La función g: [a, b] −→ R dada por g(x) = f (x)−k es continua
en [a, b] y verifica que g(a) = f (a)−k < 0 y g(b) = f (b)−k > 0 , luego por el Teorema de Bolzano (84) existe
c ∈ (a, b) tal que g(c) = f (c) − k = 0 , es decir, con f (c) = k . Análogamente si f (b) < f (a) .
Corolario 86.- Sea I un intervalo de R y f : I −→ R continua en I , entonces f (I) es un intervalo de R .
.
Teorema de acotación 87.- Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] , entonces f está acotada
en dicho intervalo. Es decir, existe M > 0 tal que |f (x)| ≤ M , para todo x ∈ [a, b] .
.
Teorema de Weierstrass 88.- Si f es una función continua en el intervalo [a, b] , entonces f alcanza un
máximo y un mı́nimo en [a, b] . Es decir, ∃ α, β ∈ [a, b] tal que f (α) ≤ f (x) ≤ f (β) , ∀x ∈ [a, b] .
.
Corolario 89.- Si f es continua en (a, b) y lı́m f (x) = l1 ∈ R y lı́m f (x) = l2 ∈ R , la función f está
x→b−
x→a+
acotada en (a, b) .
3.5
(También es cierto cuando a es −∞ y cuando b es +∞ .)
.
Ejercicios
3.26 Usar las Propiedades del orden 40 y las de las operaciones descritas en el apartado 3.1.4, para probar que:
entonces 0 < x2 < y 2
entonces 0 < |x| < |y|
entonces 0 < x2 < x
entonces x1 < y1 < 0
√
√
i) si 0 < x < y , entonces 0 < x < y
a)
c)
e)
g)
si
si
si
si
0 < x < y,
0 < x < y,
0 < x < 1,
y < x < 0,
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y < x < 0 , entonces 0 < x2 < y 2
y < x < 0 , entonces 0 < |x| < |y|
1 < x, entonces 1 < x < x2
1
1
y < x < 0 , entonces 0 < |y|
< |x|
√
√
j) si 0 < x < y , entonces − y < − x < 0
b)
d)
f)
h)
si
si
si
si
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29 – Matemáticas 1 : Preliminares
3.5 Ejercicios
3.27 Hallar el dominio de las funciones reales de variable real dadas por:
√
(i) f1 (x) = x2 − 2x
(iv) f4 (x) = ln |x|
(vii) f1 (x) + f2 (x)
(x) f7 (x) =
√
√x−1
x+1
(xi) f8 (x) = ln(f6 (x))
(xiii) f3 (x) · f3 (x)
(xvi)
q
(iii) f3 (x) = x−1
x+1
(vi) f6 (x) = ln(2 − x2 )
(ix) f21(x) + f31(x)
q
(xii) f9 (x) = √x−1
x+1
p
(ii) f2 (x) = − |x| − x
√
(v) f5 (x) = ln x
(viii) f3 (x) − f1 (x)
(xiv) f9 (x) · f7 (x)
f4 (x)+f5 (x)
f8 (x)
(xvii)
(xv)
(f5 ◦ f8 )(x)
(xviii)
f6 (x)
f1 (x)
+
f1 (x)
f6 (x)
(f1 ◦ f4 ◦ f2 )(x)
a) Expresar la funciones f2 y f4 como funciones definidas a trozos.
b) ¿Por qué los dominios de f3 y de f7 son distintos?
c) ¿Cuál será el dominio de la función f2 ◦ f2 ? Obtener su expresión.
3.28 Sean f y g dos funciones reales de variable real monótonas. Probar que:
a) Si f es (estrictamente) creciente, las funciones f (−x) y −f (x) son (estric.) decrecientes.
b) Si f es (estrictamente) decreciente, las funciones f (−x) y −f (x) son (estric.) crecientes.
c) Si f es (estric.) creciente y positiva, la función
1
f (x)
d) Si f es (estric.) decreciente y positiva, la función
caso y en el anterior si la función f es negativa?
es (estric.) decreciente.
1
f (x)
es (estric.) creciente. ¿Qué ocurrirá en este
e) Si f y g son crecientes (decrecientes), f + g es creciente (decreciente).
f) Buscar una función f creciente y una g decreciente tales que f + g sea creciente; y otras para que
f + g sea decreciente.
g) Si g es creciente y f es creciente (decreciente), g ◦ f es creciente (decreciente).
h) Si g es decreciente y f es creciente (decreciente), g ◦ f es decreciente (creciente). ¿Que ocurrira si
la monotonı́a de g es estricta? ¿Y si lo es la de f ? ¿Y si lo son ambas?
3.29 Usar los resultados del ejercicio anterior, para probar lo siguente:
a) Probar que f (x) =
b) Sabiendo que e
crecientes.
x
1
x2 +1
es creciente en (−∞, 0) y decreciente en (0, +∞) .
es esctirtamente creciente en R y que x = eln x , probar que sh(x) y ln(x) son
c) Probar que f (x) =
x2 −1
x2 +1
es creciente en (0, +∞) y usarlo para probar que th(x) es creciente en R .
3.30 Sea f : R −→ R, se dice que f es par si f (−x) = f (x) , y que es impar si f (−x) = −f (x) .
a) Comprobar si sen x , cos x , tg x , sh x , ch x , th x y xn , para n = 0, ±1, ±2, . . ., son pares o impares.
b) Si f es par y creciente en (0, +∞) , ¿será también creciente en (−∞, 0) ?
c) Si f es impar y creciente en (0, +∞) , ¿será también creciente en (−∞, 0) ?
d) ¿Que caracterı́stica especial cumplen las gráficas de las funciones pares? ¿Y las de las funciones
impares? Justificar la respuesta
3.31 Para las funciones que aparecen en el Ejemplo 56 anterior, dibujar su gráfica y la de su inversa en los
dominios indicados.
Si una función f : A −→ B es creciente (decreciente) en A , ¿dirı́as que su inversa f −1 : B −→ A también
es creciente (decreciente) en B ?
Probarlo en el caso de creer que es cierto, o en el caso de creer que es falso, justificarlo con un ejemplo.
3.32 Sean las funciones f , g y h , funciones reales definidas por:
 2 1
 2x − 2 , si x ∈ (−∞, −1]
1, si x ≤ 0
1 − x2 , si x ∈ (−1, 0)
f (x) =
; g(x) =
;
−1, si x > 0

3
,
si
x
∈
[0,
∞)
2
1−x
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(
h(x) =
−x3 −1
2−x2 ,
si |x + 1| ≤ 1
x2 +2
2x+4 ,
si |x + 1| > 1
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30 – Matemáticas 1 : Preliminares
3.5 Ejercicios
a) Describir la casuı́stica de f y h mediante la pertenencia de x a intervalos (como la función g )
b) Describir la casuı́stica de g y h mediante desigualdades de x (como la función f )
c) Obtener su dominio y el de las funciones |f | , |g| , f +g y f ·h.
d) Hallar las expresiones de |f | , |g| , f +g y f ·h, como funciones definidas a trozos.
e) Encontrar el dominio y la expresión de las funciones compuestas f (x2 ) y g(2 − x) .
f) Encontrar el dominio y la expresión de las funciones g ◦ f y f ◦ g .
3.33 Calcular los siguientes lı́mites:
a)
d)
g)
j)
7x3 +4x
lı́m
2
3
x→−∞ 3x−x −2x
x2 −4
lı́m 2
x→−2 x (2+x)
√
lı́m x2 + 3x −
x→∞
√
1−4x2
lı́m
2x+1
−1 +
x→ 2
7x3 +4x
lı́m 3x−x
2 −2x3
x→∞ √
1+4x2
lı́m
x→∞ 4+x
lı́m (2 − x2 )2x
x→0 √
|x|−x
lı́m √ 2
x→0− x −2x
b)
e)
1−x
h)
k)
c)
f)
i)
l)
3
lı́m 7x 2+4x 3
x→0 3x−x −2x
2
lı́m senx2 x
x→∞
2x
lı́m (x2 + 2) x−10
x→+∞
lı́m
x→1+
√ 1
x2 −x
−
q
x+1
x−1
3.34 Usar lı́mites laterales para verificar la existencia o no de los siguientes lı́mites:
√
a)
lı́m
x→1
(1−x)2
x−1
x
x→0 |x|
b)
lı́m
c)
lı́m
x→0
1
x
−
1
|x|
d)
lı́m
x→0
|x|
x
−1 x
3.35 Probar, razonadamente, que los siguientes lı́mites valen 0 :
√
2
lı́m ( x − 1) ex +2
a)
lı́m x2 sen x1
b)
x→1
c)
x→0
(x−a)2
x→a |x−a|
lı́m
3.36 Usar la continuidad de las funciones, para hallar:
a)
lı́m ln
q
x→0
3+
(1−x)2
x2 +1
b)
1
lı́m tg(ln(cos(e− x )))
x→0
c)
lı́m
x→π
q
1
1 + cos2 (π th( |x−π|
))
3.37 Encontrar infinitésimos e infinitos equivalentes a:
√
a) sen2 1 − x2 , cuando x → −1+ √
c) 1q− cos((2 − x2 )2 ), cuando x → 2
1−x
e)
3x3 +12x2 , cuando x → 0
√
b)
1 + x2 + 2x4 , cuando x → ∞
d) ln(1 − x1 ), cuando x → −∞
g) ln(x2 ), cuando x → 1
i) sen(x), cuando x → 2π
h) 1 − e2x , cuando x → 0
j) tg(−x6 ), cuando x → 0
f)
cos(x), cuando x →
π
2
5
3.38 Calcular, si existe, el valor de:
a)
3.39
lı́m
x→0
ln(cos x)
x2
b)
lı́m
x→0
sen2 x+ex −1
th(2x)
c)
lı́m x3 sen( x31+x )
x→∞
d)
3
5
lı́m 7x tg(x −x 2)
x→0 (cos(2x)−1)
(x)
a) Si f y g son ifinitésimos cuando x → a y lı́m fg(x)
= L 6= 0 , probar que f (x) y L · g(x) son
x→a
infinitésimos equivalentes cuando x → a.
b) Si β es una raı́z de multiplicidad m del polinomio P (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 , probar que P (x)
y k(x − β)m son infinitésimos equivalentes cuando x → β , para algún valor k 6= 0 .
3.40 Usar el resultado
a)
lı́m f (x) = lı́m f (a + h)
x→a
ln(x2 )
x→1 x−1
lı́m
b)
x3 +23
x→−2 x+2
lı́m
3.41 Usar el logaritmo neperiano, para probar que
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para calcular
h→0
c)
lı́m √3 sen(π+x)
x→π −
1−cos(x−π)
lı́m (1 + x1 )x = e y que
x→+∞
d)
cos x
lı́m 2x−π
x→ π
2
lı́m (1 + x1 )x = e .
x→−∞
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31 – Matemáticas 1 : Preliminares
3.5 Ejercicios
3.42 Calcular, si existe, el valor de:
a)
lı́m
x→∞
x
1 − x1
b)
lı́m
x→∞
3−x
1−x
2−x
c)
lı́m
x→1
2
x+1
3−x
1−x
3
lı́m (1 + cos x) cos x
d)
x→ π
2
√
x2 −3
x+1
3.43 Considerar las funciones reales de variable real dadas por f (x) =
√x−1
3−x2
y g(x) =
.
Estudiar la continuidad de f y g en sus dominios de definición (indı́quese también la continuidad lateral,
si ha lugar).
3.44 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en su dominio:
a)
f (x) =
(
c)
f (x) =
sen x
x ,
si x 6= 0
1, si x = 0
√
√
x2 +x− 2
x−1 √ ,
3 2
4 ,
si x 6= 1
si x = 1
(
x2 −4
x2 (2+x) ,
x, si |x| > 1
x3 , si |x| ≤ 1
b) f (x) =
d) f (x) =
si x 6= −2
0, si x = −2

 ax + 1, si x < 3
a + b, si x = 3 es continua en R ?
3.45 ¿Para que valores de las constantes a y b, f (x) =
 2
bx − 2, si x > 3
3.46 Sean las funciones f, g, h: R −→ R , definidas a trozos mediante:
f (x) =
1, si x ≤ 0
;
−1, si x > 0
 2 1
 2x − 2 , si x ≤ −1
1 − x2 , si − 1 < x < 0 ;
g(x) =

3
1+x2 , si x ≥ 0
(
h(x) =
−x3 −1
2+x2 ,
2
x +2
2x+4 ,
si |x + 1| ≤ 1
si |x + 1| > 1
a) Estudiar la continuidad de cada una de ellas (indı́quese también la continuidad lateral).
b) Hallar las expresiones de |f | , |g| , f +g y f ·h, como funciones definidas a trozos.
c) Estudiar la continuidad de las funciones anteriores. ¿Qué ocurre en los casos donde no puede aplicarse
la regla general?
d) Realizar lo pedido en los apartados b) y c) para la función g ◦ f .
3.47 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones según los valores del parámetro a :
(
a) fa (x) =
a − x, si x ≤ a
x(a2 −x2 )
a2 +x2 , si x > a
b) fa (x) =





x2 a
a2 +x2 ,
x
2,
2
a x
a2 +x2 ,
si x < a
si x = a
si x > a
3.48 Probar que las gráficas de las funciones f (x) = ex y g(x) = 3x , se cortan al menos en dos puntos del
intervalo [0, 2] .
3.49 Estudiar si las funciones del ejercicio 3.44 están acotadas superior e inferiormente.
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32 – Matemáticas 1 : Preliminares
Capı́tulo 4
Cálculo de primitivas
4.1
Primitiva de una función
Definición 90.- Diremos que la función F continua en [a, b] , es una primitiva de la función f en el intervalo
[a, b] si y sólo si F 0 (x) = f (x) , ∀x ∈ (a, b) .
Teorema 91.- Si F y G son dos funciones primitivas de la función f en [a, b] , entonces F − G es una función
constante en [a, b] .
Demostración:
Para cada c ∈ (a, b) , se tiene que (F − G)0 (c) = F 0 (c) − G0 (c) = f (c) − f (c) = 0 , luego tiene derivada nula.
Por el teorema del valor medio de Lagrange, para cada x ∈ [a, b] ,
F (x) − G(x) − F (a) − G(a) = (F − G)0 (c)(x − a) = 0,
luego F (x) − G(x) = F (a) − G(a) = k para todo x ∈ [a, b] .
Observación: Como consecuencia del teorema anterior, se tiene que si F es una función primitiva de f en [a, b] ,
entonces {F (x) + C : C ∈ R} es el conjunto formado por todas las funciones primitivas de f en [a, b] .
Definición 92.- Llamaremos
integral indefinida de f al conjunto de todas las primitivas de la función f , y
Z
lo denotaremos por f (x) dx .
Z
Si F es una función primitiva de f , escribiremos únicamente f (x) dx = F (x) + C , con C ∈ R .
Z
Propiedad 93.-
Z
(λf + µg)(x) dx = λ
Z
f (x) dx + µ g(x) dx .
Es decir, una primitiva de la suma y el
producto por escalares se obtiene como suma de primitivas y como primitivas por escalares.
Demostración:
Sean F 0 (x) = f (x)
y
G0 (x) = g(x) . Entonces
((λF + µG)(x))0 = λF 0 (x) + µG0 (x) = λf (x) + µg(x) = (λf + µg)(x),
luego λF + µG es una primitiva de λf + µg .
4.1.1
Tabla de integrales inmediatas
Es usual manejar una tabla de primitivas inmediata, pero que en realidad se reduce a una tabla de derivadas
conocidas:
Z
Z
Z
1
1
xa dx = a+1
xa+1 + C, a 6= −1
dx
=
ln
|x|
+
C
ax dx = ln1a ax + C
x
Z
Z
Z
1
cos x dx = sen x + C
sen x dx = − cos x + C
cos2 x dx = tg x + C
Z
Z
Z
dx
√ 1
√ −1 dx = arccos x + C
dx = arcsen x + C
2
2
sen2 x = − cotg x + C
Z
Z 1−x
Z 1−x
1
−1
ch x dx = sh x + C
1+x2 dx = arccotg x + C
1+x2 dx = arctg x + C
Z
Z
Z
√
1
√ 1
sh x dx = ch x + C
dx = th x + C
dx
=
argsh
x
=
ln(x
+
x2 + 1) + C
2
ch2 x
x +1
Z
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1
1−x2
dx = argth x =
1
2
ln
1+x
1−x
Z
+C
√ 1
x2 −1
dx = argch x = ln(x +
√
x2 − 1) + C
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33 – Matemáticas 1 : Preliminares
4.2
4.2 Métodos de integración
Métodos de integración
4.2.1
Método de sustitución
Si F (x) es una primitiva de f (x) , entonces F (φ(x)) es una primitiva de la función f (φ(x))φ0 (x) , es decir,
Z
f (φ(x))φ0 (x)dx = F (φ(x)) + C.
En efecto, por la Regla de la cadena, (F (φ(x)))0 = f (φ(x))φ0 (x) .
Z
Ejemplo Encontrar una expresión para 4(x2 + 1)3 2xdx .
Solución:
F (x) = x4 es una primitiva de f (x) = 4x3 y, si φ(x) = x2 +1 se tiene φ0 (x) = 2x . Luego F (φ(x)) = (x2 +1)4
es una primitiva de f (φ(x))φ0 (x) = 4(x2 + 1)3 2x . Es decir,
Z
4(x2 + 1)3 2xdx = (x2 + 1)4 + C.
4
Combinando este método con la tabla de integrales inmediatas, podemos componer toda una tabla de
integrales “casi inmediatas”:
4.2.1.1
Tabla de integrales casi–inmediatas
(v(x))a+1
(v(x)) v (x)dx =
+ C, a 6= −1
a+1
Z
av(x)
av(x) v 0 (x)dx =
+C
ln a
Z
sen(v(x))v 0 (x)dx = − cos(v(x)) + C
Z
1
v 0 (x)dx = − cotg(v(x)) + C
2
sen (v(x))
Z
−1
p
v 0 (x)dx = arccos(v(x)) + C
1 − (v(x))2
Z
−1
v 0 (x)dx = arctg(v(x)) + C
1 + (v(x))2
Z
sh(v(x))v 0 (x)dx = ch(v(x)) + C
Z
1
p
v 0 (x)dx = argsh(v(x)) + C
(v(x))2 + 1
Z
1
p
v 0 (x)dx = argch(v(x)) + C.
(v(x))2 − 1
Z
4.2.2
Z
Sea
a 0
Z
1 0
v (x)dx = ln |v(x)| + C
v(x)
Z
cos(v(x))v 0 (x)dx = sen(v(x)) + C
Z
1
v 0 (x)dx = tg(v(x)) + C
cos2 (v(x))
Z
1
p
v 0 (x)dx = arcsen(v(x)) + C
1 − (v(x))2
Z
1
v 0 (x)dx = arccotg(v(x)) + C
1 + (v(x))2
Z
ch(v(x))v 0 (x)dx = sh(v(x)) + C
Z
1
v 0 (x)dx = th(v(x)) + C
ch2 (v(x))
Z
1
v 0 (x)dx = argth(v(x)) + C
1 − (v(x))2
Cambio de variable
f (x)dx. Si x = φ(t) , con φ derivable y existe φ−1 también derivable. Entonces
Z
Z
f (x)dx =
f (φ(t))φ0 (t)dt.
Demostración:
Z
Z
Sean f (x)dx = F (x) + C1 y f (φ(t))φ0 (t)dt = G(t) + C2 . Como F (x) es una primitiva de f (x) se tiene
que F (φ(t)) es una primitiva de f (φ(t))φ0 (t) , luego F (φ(t)) = G(t) + C , y, por tanto, F (x) = F (φ(φ−1 (x))) =
G(φ−1 (x)) + C .
Se hace un cambio de variable x = φ(t) para transformar la integral de partida en otra más sencilla o
inmediata.
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34 – Matemáticas 1 : Preliminares
Z
Ejemplo Hallar
√
3
4.3 Integración según el tipo de función
1 + xdx.
Solución:
Si tomamos 1 + x = t3 , es decir, x = φ(t) = t3 − 1 , φ es derivable, existe φ−1 y es derivable. Entonces,
como dx = φ0 (t)dt = 3t2 dt , se tiene
Z
Z √
Z
Z
√
4
t4
3 √
3
3
3
1 + xdx =
t3 3t2 dt = 3t3 dt = 3 t3 dt = 3 =
1 + x + C.
4
4
4
4.2.3
Integración por partes
En forma clásica, la derivada de un producto se escribe como d(uv) = udv + vdu, de donde udv = d(uv) − vdu.
Entonces
Z
Z
udv = uv − vdu
expresión conocida como fórmula de integración por partes.
Z
Ejemplo Calcular
ln xdx.
Solución:
Si tomamos
4.3
u = ln x
du = x1 dx
, se tiene
, de donde
dv = dx
v=x
Z
Z
Z
1
ln x dx = x ln x − x dx = x ln x − dx = x ln x − x + C.
x
4
Integración según el tipo de función
4.3.1
Integrales racionales
Resumen de resultados conocidos.
ai ∈ R.
Sea la ecuación polinómica P (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn = 0 , con
? Si ai ∈ Z, para todo i , entonces toda raiz entera de P (x) es divisor del coeficiente a0 .
? Si ai ∈ Z, para todo i , el denominador de toda raiz fraccionaria de P (x) es divisor del coeficiente an y
el numerador es divisor del coeficiente a0 .
? Si ai ∈ R, para todo i, y α + βi es una raiz compleja de P (x) entonces, también α − βi es raiz de P (x) .
? Todo polinomio con coeficientes reales puede descomponerse en la forma
P (x) = an (x − r1 )n1 (x − r2 )n2 · · · (x − rs )ns (x2 + p1 x + q1 )m1 · · · (x2 + pk x + qk )mk ,
donde n1 + · · · + ns + 2m1 + · · · + 2mk = n , los ri son las raices reales de P (x) y los términos x2 + pj x + qj
agrupan las raices complejas αj + βj i y αj − βj i (verifican por tanto que p2j − 4qj < 0 ).
4.3.1.1
Descomposición en fracciones simples
Sean Q y P funciones polinómicas reales y
Q(x)
P (x)
la función racional cociente de ambas.
? Si el grado de P es mayor que el de Q se dice que es una fracción propia, en cuyo caso, si P (x) se
descompone como en el punto anterior, Q(x)
P (x) puede descomponerse de manera única en la forma
Q(x)
1
=
·
P (x)
an
A1
A2
An 1
+
+
+ ··· +
(x − r1 )n1
(x − r1 )n1 −1
(x − r1 )
B1
B2
Bn2
+
+
+ ··· +
+
(x − r2 )n2
(x − r2 )n2 −1
(x − r2 )
+···
···
··· +
L1
L2
Lns
+
+
+ ··· +
+
n
n
−1
s
s
(x − rs )
(x − rs )
(x − rs )
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35 – Matemáticas 1 : Preliminares
4.3 Integración según el tipo de función
M 2 x + N2
Mm x + Nm1
M 1 x + N1
+ 2
+ ··· + 2 1
+
m
m
−1
1
1
+ p1 x + q1 )
(x + p1 x + q1 )
x + p1 x + q1
+···
···
··· +
E1 x + F1
E2 x + F2
Emk x + Fmk
+ 2
+ 2
+ ··· + 2
(x + pk x + pk )mk
(x + pk x + qk )mk −1
x + pk x + qk
+
(x2
Descomposición que se denomina en fracciones simples.
? Si el grado de Q es mayor que el grado de P , se dice que la fracción es impropia, en cuyo caso, al dividir
de forma entera el numerador por el denominador, se obtiene que
Q(x)
R(x)
= M (x) +
,
P (x)
P (x)
donde M (x) es un polinomio y
R(x)
P (x)
una fracción propia.
Como P (x) es el polinomio denominador común de los términos de la descomposición, el polinomio Q(x)
debe coincidir con el polinomio que se obtiene en el numerador al sumar las fracciones simples. En consecuencia
los nuevos coeficientes que aparecen en la descomposición son aquellos que hacen iguales ambos polinomios.
4.3.1.2
Integración de funciones racionales
Encontrar una primitiva de
Q(x)
P (x)
, es resolver integrales de los tipos
Z
a)
A
dx
(x−r)k
Z
b)
M x+N
dx
(x2 +px+q)k
a) Estas integrales son inmediatas, pues si k = 1 ,
Z
A
dx = A ln |x − r|,
x−r
y si k > 1 ,
Z
A
dx =
(x − r)k
Z
A(x − r)−k dx = A
A
(x − r)−k+1
1
.
=
−k + 1
1 − k (x − r)k−1
b) Como 4q − p2 > 0 , se tiene que
x2 + px + q = (x + p2 )2 + (q −
donde R =
Z
q
q−
p2
4
y t=
x− p
2
R
p2
4 )
= (x − p2 )2 + R2 = R2 (t2 + 1) ,
, luego haciendo el cambio x = Rt + p2 , con dx = Rdt, se tiene que
Z
Z
Z
1
1
N0
Mx + N
M 0t + N 0
M 0t
dx = 2 k
Rdt = 2k−1
dt +
dt
(x2 + px + q)k
(R )
(t2 + 1)k
R
(t2 + 1)k
(t2 + 1)k
0Z
Z
1
2t
1
M0
N0
M
0
0
= 2k−1
dt
+
N
dt
=
I
+
Ik
k
R
2
(t2 + 1)k
(t2 + 1)k
2R2k−1
R2k−1
integrales que se resuelven de forma inmediata en los siguientes casos:
Z
Z
2t
0
2
? Si k = 1 , I1 = t2 +1 dt = ln |t + 1| ,
I1 = t21+1 dt = arccotg t.
Z
2t
1
1
0
? Si k > 1 , Ik = (t2 +1)
k dt = 1−k (t2 +1)k−1 .
Para resolver Ik , se realiza un proceso que consiste en ir bajando sucesivamente la potencia k hasta que
sea 1, de la forma siguiente
Z
Z
Z 1 − t2 + t2
1 + t2
t2
1
Ik =
dt =
dt =
− 2
dt
(t2 + 1)k
(t2 + 1)k
(t2 + 1)k
(t + 1)k
Z
Z
1
t2
=
dt
−
dt = Ik−1 − I
(t2 + 1)k−1
(t2 + 1)k
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36 – Matemáticas 1 : Preliminares
4.3 Integración según el tipo de función
Haciendo en I integración por partes,
u=t
dv = (1+tt 2 )k dt
se tiene
du = dt
1
1
v = 2(1−k)
(1+t2 )k−1
, luego
Z
1
1
t
1
+
dt
2
k−1
2(1 − k) (1 + t )
2(1 − k)
(1 + t2 )k−1
1
1
t
=
+ 1−
Ik−1
2
k−1
2(k − 1) (1 + t )
2(k − 1)
Ik = Ik−1 −
Si k − 1 = 1 , Ik−1 = I1 = arccotg t . Si k − 1 > 1 , se repite el proceso.
Z
1+x
Ejemplo Calcular
x4 +x3 +x2 dx .
Solución Como P (x) = x2 (x2 + x + 1) , y x2 + x + 1 no tiene raices reales, se tiene
1+x
B
A
Mx + N
A(x2 + x + 1) + Bx(x2 + x + 1) + (M x + N )x2
+
=
+
=
x2 (x2 + x + 1)
x2
x
x2 + x + 1
x2 (x2 + x + 1)
de donde 1 + x = A + (A + B)x + (A + B + N )x2 + (B + M )x3 , es decir,
1 + x + 0x2 + 0x3 = A + (A + B)x + (A + B + N )x2 + (B + M )x3 ,




1 = A
 A=1


1=A+B
B=0
obteniendose el sistema
con soluciones
. Entonces
0
=
A
+
B
+
N
N



 = −1


0=B +M
M =0
Z
Z
Z
Z
dx
dx
−1 4
dx
dx
=
−
=
−
4
1 2
x2 (x2 + x + 1)
x2
x2 + x + 1
x
3
(x
−
3
2) + 1
√
Z
Z
3
−1 4
−1 4
dx
2 dt
−
=
−
=
√ )2 + 1
x
3
x
3
t2 + 1
( 2x−1
3
−1
2
−1
2
2x − 1
=
− √ arccotg t =
− √ arccotg √
+C
x
x
3
3
3
4.3.2
4
Integración de funciones trigonométricas
Cambios de variable especı́ficos.
? Integrales de los tipos:
Z
sen(mx) cos(nx)dx
Z
Z
cos(mx) cos(nx)dx
sen(mx) sen(nx)dx.
se resuelven usando las relaciones
(1) + (2) :
2 sen x cos y = sen(x + y) + sen(x − y)
(3) + (4) :
2 cos x cos y = cos(x + y) + cos(x − y)
(3) − (4) : −2 sen x sen y = cos(x + y) − cos(x − y)
obtenidas a partir de la fórmulas trigonométricas:
(1) sen(x + y)=sen x cos y + sen y cos x
(2) sen(x − y)=sen x cos y − sen y cos x
Z
? Integrales de la forma
(3) cos(x + y)=cos x cos y − sen x sen y
(4) cos(x − y)=cos x cos y + sen x sen y
senm x cosn xdx con m, n ∈ Z.
– Si m es impar se resuelven usando el cambio t = cos x .
– Si n es impar con el cambio t = sen x .
– Si m y n son pares positivos se resuelven utilizando las fórmulas del ángulo mitad
sen2 x =
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1 − cos(2x)
2
cos2 x =
1 + cos(2x)
2
sen x cos x =
sen(2x)
.
2
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37 – Matemáticas 1 : Preliminares
Z
? Integrales de la forma
4.3 Integración según el tipo de función
tgn xdx ,
Z
cotgn xdx con n ∈ N se calculan mediante las fórmulas:
tg2 x = sec2 x − 1
Z
Ejemplo Hallar
Z
cotg2 x = cosec2 x − 1
sen2 x cos2 xdx .
sen4 x cos2 xdx =
=
=
=
=
=
=
2 Z
1 + cos 2x
1
1 − cos 2x
1 − cos 2x − cos2 2x + cos3 2x dx
dx =
2
2
8
Z 1
1 + cos 4x
1 − cos 2x −
+ cos3 2x dx
8
2
Z
Z
Z
Z
1
1
1
1
1
cos 2xdx −
cos 4xdx +
cos3 2xdx
dx −
8
2
8
16
8
Z
x
sen 2x sen 4x 1
t = sen 2x
3
cos 2xdx =
−
−
+
dt = 2 cos 2xdx
16
16
64
8
Z
dt
x − sen 2x sen 4x 1
x − sen 2x sen 4x
1
t3
(1 − t2 ) =
−
+
−
+ (t − )
16
64
8
2
16
64
16
3
x − sen 2x sen 4x sen 2x sen3 2x
−
+
−
+C
16
64
16
48
sen 4x
sen3 2x
x
−
+−
+C
16
64
48
Z 4
Cambios más generales para
Z las integrales trigonométricas.
Las integrales de la forma
R(sen x, cos x)dx , siendo R(sen x, cos x) una función racional en sen x y cos x .
? Si se cumple R(sen x, cos x) = R(− sen x, − cos x) entonces la integral se puede reducir a una integral
racional empleando el cambio t = tg x .
dt
Es decir, x = arccotg t −→ dx =
.
1 + t2
1
1
t
Por otra parte 1 + tg2 x =
=⇒ cos x = √
y por tanto sen x = √
.
cos2 x
1 + t2
1 + t2
Z
? En general, una integral del tipo
R(sen x, cos x)dx se transforma en una integral racional utilizando el
cambio
t = tg
4.3.3
Z
x
2dt
x
=⇒ = arccotg t −→ dx =
,
2
2
1 + t2
cos x =
1 − t2
1 + t2
y
sen x =
2t
.
1 + t2
Integración de funciones exponenciales e hiperbólicas
R(ax )dx ; siendo R(ax ) una función racional en ax .
El cambio t = ax convierte dicha integral en racional:
t = ax =⇒ dt = ax ln adx =⇒ dx =
Dado que ch x =
ex +e−x
2
y sh x =
ex −e−x
2
dt
t ln a
Z
, resulta que entonces cualquier integral del tipo
R(sh x, ch x)dx
se puede resolver por el cambio anterior. Pero también existen unas relaciones entre las funciones hiperbólicas
que hacen que su integración sea similar a la de las funciones trigonométricas:
ch2 x − sh2 x = 1
sh2 x =
ch 2x − 1
2
ch2 x =
ch 2x + 1
2
1
ch2 x
De entre todos los casos que nos aparecen en la integración de funciones racionales hiperbólicas destacamos:
sh 2x = 2 sh x ch x
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1 − th2 x =
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38 – Matemáticas 1 : Preliminares
? Cambio t = th x =⇒ dx =
? Cambio t = th
Z
Ejemplo Hallar
x
2
4.3 Integración según el tipo de función
dt
1−t2
=⇒ dx =
ch x =
2dt
1−t2
√ 1
1−t2
ch x =
1+t2
1−t2
sh x =
√ t
1−t2
sh x =
2t
1−t2
ex −1
ex +1 dx.
x
Solución Con el cambio t = e , se tiene dt = ex dx = tdx , luego
x
Z
Z
Z (e + 1)2 ex
2
1
t − 1 dt
+ C.
dx =
=
−
dt = 2 ln |t + 1| − ln |t| = ln ex + 1
t+1 t
t+1
t
ex
4.3.4
4
Integrales irracionales
Z
? Integrales de la forma
pq1 p2
pk 1
ax+b q2
ax+b qk
R x, ax+b
,
,
.
.
.
,
dx , siendo R una función racional
cx+d
cx+d
cx+d
en esas variables y las fracciones
p1 p2
pk
q1 , q2 , . . . , qk
irreducibles.
Sea n = mcm(q1 , q2 , . . . , qk ) , el cambio de variable tn =
racional. (Ver ejemplo 4.2.2.)
Z
p
? Integrales del tipo
R(x, a2 − x2 )dx
ax+b
cx+d
transforma la integral irracional en una
Se resuelven mediante alguno de los cambios: x = a sen t ó x = a cos t ó x = th t .
Z
p
? Integrales del tipo
R(x, a2 + x2 )dx
Se resuelven mediante alguno de los cambios: x = a tg t ó x = a sh t .
Z
p
? Integrales del tipo
R(x, x2 − a2 )dx
Se resuelven mediante alguno de los cambios: x = a sec t ó x = a ch t .
Z
√
Ejemplo Encontrar
1 − x2 dx.
Solución Con el cambio x = sen t , dx = cos tdt . Entonces
Z p
Z p
Z √
Z
1 − x2 dx =
1 − sen2 t cos tdt =
cos2 t cos tdt = cos2 tdt
Z
t
sen 2t
arcsen x sen(2 arcsen x)
1
(1 − cos 2t)dt = −
=
−
+C
=
2
2
4
2
4
4.3.4.1
4
Integrales binomias
Z
Las integrales binomias, son de la forma
xp (a + bxq )r dx , con p, q, r ∈ Q.
Chebichev probó que es posible racionalizar la integral binomia cuando es entero uno de los tres números
p+1
siguientes: r, p+1
q ,
q + r.
? Si r ∈ N , entonces se desarrolla (a + bxq )r según el binomio de Newton.
1−q
? Si r ∈
/ N , haremos el cambio: t = xq =⇒ dx = 1q t q dt, por tanto
Z
Z
p+1
1
xp (a + bq )r dx =
t q −1 (a + bt)r dt.
q
– Si r ∈ Z, con r negativo, la integral siempre se va a poder convertir en una racional con el cambio
1
p+1
u = t s siendo s ∈ N el denominador de la fracción irreducible m
s = q − 1.
– Si r ∈
/ Z, pero
con lo que si
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p+1
q
p+1
q
∈ Z, la integral se ha convertido en un tipo ya estudiado. Si no
r
Z
Z
p+1
p+1
1
1
a + bt
t q −1 (a + bt)r dt =
t q −1+r
dt,
q
q
t
+ r ∈ Z la integral se ha convertido de nuevo en una del tipo anterior.
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39 – Matemáticas 1 : Preliminares
Z
Ejemplo Hallar
Solución Como r =
Como
Z
7
2
1
1
4.4 Ejercicios
1
x 2 (1 + x 3 )− 2 dx.
1
−1
2
∈
/ N, hacemos el cambio t = xq = x 3 , luego x = t3 y dx = 3t2 dt . Entonces
Z
Z
Z
1
3
1
7
1
− 21
− 21 2
2
3
2
x (1 + x ) dx = t (1 + t) 3t dt = 3t 2 (1 + t)− 2 dt
1
∈
/ Z, multiplicamos y dividimos por t− 2 , obteniendo
7
2
− 12
3t (1 + t)
Z
dt = 3
t
7
1
2−2
1+t
t
− 21
Z
dt = 3
u6
2udu
u
=6
2
3
(1 − u ) (1 − u2 )2
t
3
t
1+t
12
(
2
dt = u =
→
t=
dt =
u2
1−u2
2udu
(1−u2 )2
)
u8
du
(1 − u)5 (1 + u)5
r
q
1
t
x3
que es una integral racional en u. Se resuelve, y teniendo en cuenta que u = 1+t =
se obtiene el
1
Z
=3
Z
u8
du = 6
(1 − u2 )5
t
1+t
Z
1+x 3
resultado buscado.
4.4
4
Ejercicios
4.50 Encontrar la expresión de las siguientes integrales indefinidas:
Z
1)
Z
2
tg xdx
Z
4)
e
Z
7)
Z
10)
cos xdx
5)
Z
1 − x2 dx
8)
Z
√ dx
ex −1
11)
Z
13)
Z
16)
Z
19)
Z
22)
Z
25)
Z
28)
Z
31)
Z
34)
Z
37)
Z
40)
Z
43)
Z
46)
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Z
4
x(3x + 1) dx
Z
− sen x
√
2)
2
3)
Z
x
1+x4 dx
6)
1+x
√ dx
1+ x
9)
Z
Z
ln(2x)
x ln(4x) dx
12)
Z
x sen xdx
14)
x4 −6x3 +12x2 +6
x3 −6x2 +12x−8 dx
17)
dx
(x+1)2 (x2 +1)2
20)
Z
cos x cos2 (3x)dx
tg3
x
4
+ tg4
Z
x
4
cos5 x
sen3 x dx
Z
23)
Z
dx
26)
Z
29)
Z
dx
cos6 x
32)
3 sen x+2 cos x
2 sen x+3 cos x dx
35)
ch4 xdx
38)
Z
Z
arccotg xdx
15)
dx
(x+1)(x2 +x+2)2
18)
x8
(1−x2 )5 dx
21)
Z
Z
Z
cos x2 cos x3 dx
24)
sen5 xdx
27)
cos6 (3x)dx
30)
Z
Z
Z
cos2 x
sen6 x dx
33)
dx
cos x+2 sen x+3
36)
Z
Z
√
x+1+2
√
dx
(x+1)2 − x+1
41)
√ dx√
x+ 3 x
44)
√dx
(x−2) 5x−x2 −4
47)
Z
sh3 x ch xdx
Z q
x x−1
x+1 dx
Z
39)
Z
42)
x−4 (1 + x2 )
x(2x + 5)10 dx
√dx
x x2 −2
ln2 xdx
x3 +x−1
(x2 +2)2 dx
x
x6 +1 dx
2x+1
(x2 +4)3 dx
tg2 (5x)dx
sen3
45)
−1
2
48)
cos5 x2 dx
dx
1+3 cos2 x
dx
ex +1
dx
sh2 x+ch2 x
dx
√
(2−x) 1−x
√
Z
dx
x
2
sen4 xdx
Z
√ dx
x x2 +4x−4
Z
6x2 +4
x3 +2x+7 dx
x
dx
x2 −x−2
2x
√
dx.
3
1+x3
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40 – Matemáticas 1 : Preliminares
Capı́tulo 5
Matrices y sistemas lineales
5.1
Definiciones básicas
Una matriz es una tabla rectangular de números, es decir, una distribución ordenada de números. Los
números de la tabla se conocen con el nombre de elementos de la matriz. El tamaño de una matriz
se describe especificando el número de filas y columnas que la forman. Si A es una matriz de m filas y
n columnas, Am×n , se usará aij para denotar el elemento de la fila i y la columna j y, en general, se
representará por


a11 a12 · · · a1n
 a21 a22 · · · a2n 


A = (aij ) 1≤i≤m = (aij )m×n =  .
..
..  .
1≤j≤n
 ..
. ··· . 
am1 am2 · · · amn
Dos matrices son iguales si tienen igual tamaño y los elementos correspondientes de ambas matrices iguales.
Una matriz An×n (ó An ) se denomina matriz cuadrada de orden n y de los elementos de la forma a11 ,
a22 , . . . , ann se dice que forman la diagonal principal. De una matriz A1×n se dice que es una matriz fila
y de una matriz Am×1 que es una matriz columna.
5.1.1
Operaciones con las matrices
Las matrices con las que trabajaremos habitualmente serán matrices reales, es decir que sus elementos sean
números reales. Sin embargo, los resultados y definiciones dados aquı́ son igualmente válidos para el cuerpo de
los complejos.
Suma: Si A y B son dos matrices del mismo tamaño, m×n , la suma A + B es otra matriz de tamaño m×n
donde el elemento ij de A + B se obtiene sumando el elemento ij de A con el elemento ij de B . Es decir,
si A = (aij )m×n y B = (bij )m×n , entonces A + B = (aij + bij )m×n .
El neutro de la suma es la matriz cero, 0 , con todos sus elementos cero, y la matriz opuesta de A , se
designa por −A, y es −A = (−aij )m×n .
Producto por escalares: Si A es una matriz m×n y k ∈ R un escalar, el producto kA es otra matriz del
mismo tamaño donde cada elemento de A aparece multiplicado por k . Es decir, kA = (kaij )m×n .
Evidentemente, −A = (−1)A y A − B = A + (−B) .
Producto de matrices: Si Am×n y Bn×p el producto AB es otra matriz de tamaño m × p tal que, el
elemento eij de AB se obtiene sumando los productos de cada elemento de la fila i de A por el elemento
correspondiente de la columna j de B . Es decir,


b1j
n

X

 b2j 
eij = FiA × CjB = ai1 ai2 · · · ain  .  = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj =
aik bkj
 .. 
k=1
bnj
A
B
(lo denotaremos por eAB
ij = Fi × Cj cuando queramos significar la fila y columna que intervienen).
Observación: La definición dada de producto de matrices requiere que el número de columnas de la primera
matriz, A, sea igual que el número de filas de la segunda matriz, B , puesto que para el cálculo de eij ha de
haber tantos elementos en la fila i (número de columnas de A) como en la columna j (número de filas de B ).
En forma sinóptica con los tamaños (m×n) · (n×p) = (m×p) .
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41 – Matemáticas 1 : Preliminares
5.1 Definiciones básicas


b11
a11 a12 a13 a14
 b21

 a21 a22 a23 a24 
 b31
a31 a32 a33 a34 3×4
b41

b12
b22
b32
b42
b13
b23
b33
b43
b14
b24
b34
b44



b15
e11 e12 e13 e14 e15

b25 
=  e21 e22 e23 e24 e25 
b35 
e31 e32 c33 e34 e35 3×5
b45 4×5
Nota: Cada elemento de la matriz producto puede obtenerse de manera independiente, por lo que no es necesario
calcularlos todos si sólo son necesarios unos pocos. Ası́:
A
B
? eAB
ij = Fi · Cj .
? FiAB = FiA · B .
? CjAB = A · CjB .
? eABC
= FiA · CjBC = FiA · B · CjC .
ij


0 ··· 0
1 ··· 0 

.. . . ..  , formada por ceros excepto en la diagonal principal que tiene
. . 
.
0 0 ··· 1
unos, de llama matriz identidad y es el neutro del producto de matrices (tomada del tamaño adecuado). Es
decir, para toda Am×n se tiene que Im Am×n = Am×n y Am×n In = Am×n .
1
0

La matriz cuadrada I = In =  .
 ..
Propiedades 94.- Suponiendo tamaños adecuados para que las operaciones sean posibles:
a) A + B = B + A
(conmutativa de la suma).
b) A + (B + C) = (A + B) + C ;
c) A(B + C) = AB + AC ;
A(BC) = (AB)C
(A + B)C = AC + BC
(asociativas de la suma y del producto).
(distributivas por la izquierda y por la derecha).
d) a(B + C) = aB + aC ; ∀a ∈ R .
e) (a + b)C = aC + bC ; ∀a, b ∈ R.
f) a(BC) = (aB)C = B(aC) ; ∀a ∈ R.
En general, NO es cierto que:
? AB = BA
? Si AB = 0 tengan que ser A = 0 ó B = 0
? Si AB = AC necesariamente sea B = C
0 1
3 7
−1 −1
0 0
0 17
, B=
y C=
tenemos AB =
6= BA =
,
0 2
0 0
0 0
0 0
0 0
es decir AB =
6 BA y AB = 0 con A 6= 0 y B 6= 0 . Además AC = 0 = AB , pero B 6= C .
4
Ejemplo 95 Con A =
5.1.2
Matriz transpuesta
Definición 96.- Si A es una matriz m×n llamamos matriz transpuesta de A a la matriz At de tamaño
n×m que tiene por filas las columnas de A y por columnas las filas de A. Es decir, el elemento ij de At
coincide con el elemento ji de A.


t
a11 a21
a11 a12 a13
=  a12 a22 
a21 a22 a23
a13 a23
Proposición 97.- Se verifican las siguientes propiedades:
1.- (At )t = A.
4.- (AB)t = B t At
2.- (A + B)t = At + B t .
y, en general,
3.- (kA)t = kAt .
(A1 A2 · · · An )t = Atn · · · At2 At1 .
Demostración:
t
t
B t At
Las tres primeras son claras. Veamos la cuarta: eij
= FiB × CjA = CiB × FjA = FjA × CiB = eAB
ji . Luego
t t
t
B A = (AB) .
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42 – Matemáticas 1 : Preliminares
5.2
5.2 Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales
Definición 98.- Se denomina ecuación lineal de n variables (o incógnitas), xi , aquella ecuación que puede
expresarse en la forma: a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b, donde los ai , b ∈ R.
Una solución de la ecuación lineal es un conjunto ordenado de números reales (s1 , s2 , . . . , sn ) , tales que
a1 s1 + a2 s2 + · · · + an sn = b. Al conjunto de todas las soluciones de una ecuación se le denomina conjunto
solución de la ecuación
Nota: Una ecuación lineal de 2 variables, ax + by = c, es una representación analı́tica de una recta del plano
XY , las soluciones de la ecuación son cada uno de los puntos de la recta y el conjunto solución es toda la recta,
todos los puntos de la recta. En una ecuación lineal no pueden aparecer productos, ni potencias, ni expresiones
trigonométricas, . . . , de las variables.
Definición 99.- Se denomina sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas a la reunión de m
ecuaciones lineales sobre las mismas n incógnitas, y se escribe en la forma:

a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1



 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
..
..

.
.



am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm
Una n -upla (s1 , s2 , . . . , sn ) es solución del sistema si es solución de todas y cada una de las ecuaciones.
x+y = 2
. El par (−7, 9) es la solución del sistema, pues es solución
2x + y = −5
de cada una de las 2 ecuaciones, es decir (ver la nota anterior), es el único punto común a las dos rectas.
De lo anterior es evidente que también un sistema puede no tener solución (dos rectas paraleras no tienen
puntos en común) o infinitas (si las dos ecuaciones representan la misma recta).
Ejemplo Consideremos el sistema
Si un sistema no tiene solución, suele decirse que es incompatible; si existe solución y es única compatible
determinado y compatible indeterminado si tiene un conjunto infinito de soluciones.
Lenguaje matricial de los sistemas de ecuaciones Un sistema de ecuaciones lineales, también puede
escribirse como AX = B donde A = (aij )m×n , X = (xi )n×1 y B = (bj )m×1 .





 x1
b1
a11 a12 a13 · · · a1n
 x2 
  b2 
 a21 a22 a23 · · · a2n  


  x3 
AX = 
= . =B
 ··· ··· ··· ··· ··· 
 ..   .. 
am1 am2 am3 · · · amn  . 
bm
xn
La matriz A se denomina matriz de los coeficientes, la matriz columna B se denomina matriz de los términos
independientes y una S = (si )n×1 es solución de sistema si verifica que AS = B .
Ejemplo Para el sistema del ejemplo anterior
x+y = 2
1 1
x
2
←→
=
;
2x + y = −5
2 1
y
−5
5.2.1
(−7, 9) es solución, pues
1 1
2 1
−7
9
=
2
−5
4
Matrices elementales
Definición 100.- Llamaremos operación elemental en las filas de las matrices, a las siguientes:
a) Intercambiar la posición de dos filas.
b) Multiplicar una fila por una constante distinta de cero.
c) Sumar a una fila un múltiplo de otra fila.
Definición 101.- Se dice que una matriz cuadrada En×n es una matriz elemental si se obtiene de efectuar
una sola operación elemental sobre la matriz identidad In×n .
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43 – Matemáticas 1 : Preliminares
5.2 Sistemas de ecuaciones lineales
Teorema 102.- Si la matriz elemental Em×m resulta de efectuar cierta operación elemental sobre las filas de
Im y si Am×n es otra matriz, el producto EA es la matriz m×n que resulta de efectuar la misma operación
elemental sobre las filas de A .
.
Ejemplo Son matrices elementales las matrices




0 1 0
1 0 0
E1 =  1 0 0  , E2 =  0 2 0 
0 0 1
0 0 1

y

1 0 0
E3 =  0 1 0  ,
3 0 1
que se obtienen de I3 , intercambiando la primera con la segunda fila (F1 ↔ F2 ), multiplicando la segunda fila
por 2 ( 2F2 ) y sumando a la tercera fila la primera fila multiplicada por 3 (F3 + 3F1 ), respectivamente. Y si
A = (aij )3×4 , se tiene




a21 a22 a23 a24
a11 a12 a13 a14
E1 A =  a11 a12 a13 a14  , E2 A =  2a21 2a22 2a23 2a24  y
a31 a32 a33 a34
a31 a32 a33 a34


a11
a12
a13
a14
.
a21
a22
a23
a24
E3 A = 
4
a31 +3a11 a32 +3a12 a33 +3a13 a34 +3a14
Observación 103.- Es claro, que una vez realizada una operación elemental puede deshacerse mediante otra
operación elemental: ası́, si intercambiamos la fila i con la fila j , la operación elemental que lo deshace es
intercambiar de nuevo la fila i con la fila j ; si multiplicamos la fila i por k 6= 0 se deshace multiplicándola
de nuevo por k1 y si sumamos a la fila i la fila j multiplicada por k lo deshacemos restando a la fila i la fila
j multiplicada por k (sumando la fila j multiplicada por −k ). Denotando por E1∗ , E2∗ y E1∗ a las matrices
elementales que deshacen las operaciones elementales dadas por las matrices elementales E1 , E2 y E3 del
ejemplo anterior, tenemos que






1 0 0
0 1 0
1 0 0
E2∗ =  0 21 0  y E3∗ =  0 1 0  .
E1∗ =  1 0 0  = E1 ,
0 0 1
−3 0 1
0 0 1
Entonces, si E ∗ es la matriz elemental que deshace la operación realizada por E , se tiene que E ∗ (EA) = A.
Teorema 104.- Si E es una matriz elemental, los sistemas AX = B y (EA)X = EB tienen las mismas
soluciones.
Demostración:
En efecto, si S es solución del primer sistema, AS = B , luego (EA)S = E(AS) = EB y S es también solución
del segundo. Y viceversa, si (EA)S = EB y E ∗ es la matriz elemental que deshace E , multiplicando en la
igualdad, se tiene: E ∗ (EA)S = E ∗ EB =⇒ AS = B .
5.2.2
Método de Gauss
El resultado anterior asegura que haciendo sobre el sistema AX = B únicamente operaciones elementales
llegamos a un sistema con las mismas soluciones (sistema equivalente). La búsqueda sistemática de un sistema
equivalente que proporcione las soluciones de manera sencilla se conoce con el nombre de método de Gauss:
Mediante operaciones elementales, se hacen ceros en la matriz de coeficientes del sistema, para obtener una
matriz escalonada, con ceros por debajo de la “escalera”. Esta matriz escalonada debe cumplir:
1.- Si una fila consta únicamente de ceros debe ir en la parte inferior de la matriz.
2.- Si dos filas seguidas no constan solo de ceros, el primer elemento distinto de cero de la fila inferior debe
encontrarse más a la derecha que el primer elemento distinto de cero de la fila superior.
El primer elemento distinto de cero de cada fila lo llamaremos elemento principal y las incógnitas correspondientes a estos elementos incógnitas principales. (Los elementos principales “marcan” la escalera.)
Definición.- En un sistema lineal AX = B , se llama matriz ampliada del sistema a la matriz (A|B) formada
añadiendo a la matriz de coeficientes A la matriz columna de los términos independientes B .
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44 – Matemáticas 1 : Preliminares
5.2 Sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo 105

5x3 + 10x4 + 15x6 = 5 


x1 + 3x2 − 2x3 + 2x5 = 0
2x1 + 6x2 − 5x3 − 2x4 + 4x5 − 3x6 = −1 


2x1 + 6x2 + 8x4 + 4x5 + 18x6 = 6
Para aplicar sobre este sistema el método de Gauss, debemos hacer operaciones elementales sobre la matriz
A de los coeficientes y, las mismas operaciones sobre B para que se mantenga la equivalencia (Teorema 104).
Luego apliquemos el método a la matriz ampliada del sistema (A|B) :


5
0 0 5
10 0 15
 1 3 −2 0 2 0
0 

(A|B) = 
 2 6 −5 −2 4 −3 −1  Por la operación (a) cambiamos la fila 1 por
la fila 2 (F1 ↔ F2 )
6
2 6 0
8 4 18


1 3 −2 0 2 0
0
 0 0 5
5 
10
0
15


 2 6 −5 −2 4 −3 −1  Por (b) hacemos cero el 2 de F3 (F3 − 2F1 ) y
el de F4 (F4 − 2F1 )
6
2 6 0
8 4 18


1 3 −2 0 2 0
0
 0 0 5
10
0
15
5 
1


 0 0 −1 −2 0 −3 −1  Hacemos 40 el −1 de F3 (F3 + 5 F2 ) y el 4 de
F4 (F4 − 5 F2 )
0 0 4
8 0 18
6


1 3 −2 0 2 0 0
 0 0 5 10 0 15 5 


Cambiamos F3 por F4 (F3 ↔ F4 )
 0 0 0
0 0 0 0 
0 0 0
0 0 6 2


1 3 −2 0 2 0 0
 0 0 5 10 0 15 5 


Esta matriz es escalonada, y nos proporciona
 0 0 0
0 0 6 2 
el sistema equivalente
0 0 0
0 0 0 0


x1 + 3x2 − 2x3 + 2x5 = 0 

 x1 = −3x2 + 2x3 − 2x5

5x3 + 10x4 + 15x6 = 5
x3 = 5−10x54 −15x6
=⇒
6x6 = 2 


x6 = 26

0=0
cuyas soluciones se encuentran fácilmente sustituyendo de abajo hacia arriba, obteniéndose: x6 = 13 , x3 = −2x4 ,
x1 = −3x2 − 4x4 − 2x5 , donde x2 , x4 y x5 pueden tomar cualquier valor. Es decir, todas las soluciones son:
(−3x2 − 4x4 − 2x5 , x2 , −2x4 , x4 , x5 , 13 ) para cualquiera valores de x2 , x4 y x5 .
4
Si el último elemento principal está en la columna ampliada, el sistema no tiene solución: claramente una de
las ecuaciones equivalentes será 0x1 + · · · + 0xn = k (con k 6= 0 por ser un elemento principal de la ampliada)
y esta igualdad no se cumple para ningún valor posible de las incógnitas.
Nota: Si el sistema tiene solución, por ser los elementos principales no nulos se garantiza que las incógnitas
principales pueden despejarse; como valor concreto o en función de las incógnitas no principales.
Cuando el sistema tiene solución, pueden despejarse tantas incógnitas como elementos principales haya. Luego
? Si el número de elementos principales es menor que el número de incógnitas el sistema tiene infinitas
soluciones. (Las soluciones quedan en función de las incógnitas no despejadas. Ver ejemplo 105.)
? Si el número de elementos principales es igual al número de incógnitas el sistema tiene solución única.
5.2.2.1
Sistemas homogéneos
Definición 106.- Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es homogéneo si tiene todos los términos
independientes cero; es decir, un sistema de la forma AX = 0 .
Un sistema homogéneo siempre tiene solución pues X = 0 es una solución del sistema. A esta solución suele
llamarse la solución trivial y de cualquier otra solución distinta de ésta se dice solución no trivial.
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45 – Matemáticas 1 : Preliminares
5.2.2.2
5.2 Sistemas de ecuaciones lineales
Método de Gauss-Jordan
El método de Gauss-Jordan continúa el método de Gauss, haciendo operaciones elementales para conseguir
una matriz escalonada reducida: los elementos principales son 1 y en las columnas de dichos unos todos los
demás elementos son cero; es decir, despeja las incógnitas principales.
Ejemplo 107

1 3
 0 0
0 0

1 3

 0 0
0 0

1 3

 0 0
0 0

1 3

 0 0
0 0
Continuando con el sistema del ejemplo 105 (quitada la fila de ceros, que no interviene):

−2 0 2 0 0
5 10 0 15 5  Hacemos 1 los elementos principales multiplicando 15 F2 y 16 F3
0
0 0 6 2

−2 0 2 0 0

1 2 0 3 1  hay que hacer cero el 3 de F2 y C6 (a26 ): F2 − 3F3
0 0 0 1 13

−2 0 2 0 0

1 2 0 0 0  hay que hacer cero el −2 de F1 y C3 (a13 ): F1 + 2F2
0 0 0 1 13


0 4 2 0 0
 x1 = −3x2 − 4x4 − 2x5

x3 = −2x4
1 2 0 0 0  luego

1
x6 = 31
0 0 0 1 3
obteniéndose, naturalmente, las mismas soluciones que antes.
5.2.3
4
Rango de una matriz y Teorema de Rouché
Definición 108 (1 a definición del rango).- Se llama rango de una matriz A y se denota por rg(A) al
número de filas distintas de cero que aparecen en alguna de las formas escalonadas de la matriz A .
Nota: La definición es consistente (el rango no depende de la matriz escalonada usada), pues cada matriz
escalonada obtenida de A se corresponde con un sistema lineal equivalente, con la mismas soluciones, luego se
pueden despejar el mismo número de incógnitas en cualquiera de ellos; por lo que todas las escalonadas tienen
el mismo número de filas no nulas.
Teorema de Rouché 109.- Sea el sistema AX = B , sistema de m ecuaciones con n incógnitas. Entonces
AX = B tiene solución si, y sólo si, rg(A) = rg(A|B) .
Si rg(A) = rg(A|B) = r , toda solución puede expresarse en la forma X = V0 +t1 V1 +t2 V2 +· · ·+tn−r Vn−r , con
V0 una solución particular de AX = B y las n -úplas V1 , . . . , Vn−r soluciones del homogéneo AX = 0 .
.
Resumiendo: En un sistema AX = B de m ecuaciones con n incógnitas,
r = n → Solución única.
? si r = rg(A) = rg(A|B) = r =⇒ Sist. Compatible (con sol.)
r < n → Infinitas soluciones.
? si r = rg(A) 6= rg(A|B) = r + 1 =⇒ Sist. Incompatible (no tiene solución).
Ejemplo Tomemos la solucion obtenida en el ejemplo 105: (−3x2 − 4x4 − 2x5 , x2 , −2x4 , x4 , x5 , 31 ) , para
todo x2 , x4 y x5 . Podemos escribirla en la forma

 
  






0 − 3x2 − 4x4 − 2x5
0
x1
−3
−4
−2
 x2   0 + x2 + 0x4 + 0x5   0 
 1 
 0 
 0 

  
 






 x3   0 + 0x2 − 2x4 + 0x5   0 
 0 
 −2 



 =   + x2 
=
 + x4 
 + x5  0  = V 0 + t 1 V 1 + t 2 V 2 + t 3 V 3
 x4   0 + 0x2 + x4 + 0x5   0 
 0 
 1 
 0 

  

 





 x5   0 + 0x2 + 0x4 + x5   0 
 0 
 0 
 1 
1
1
x6
0
0
0
3 + 0x2 + 0x4 + 0x5
3
y X = V0 + t1 V1 + t2 V2 + t3 V3 es solucion para todo t1 , t2 y t3 . Entonces, para t1 = t2 = t3 = 0 , X = V0 es
solución del sistema luego AV0 = B ; para t1 = 1 y t2 = t3 = 0 , X = V0 + V1 es solución del sistema, luego
B = A(V0 + V1 ) = AV0 + AV1 = B + AV1 de donde AV1 = 0 por lo que V1 es solución del sistema homogéneo
AX = 0 ; y análogamente para V2 y V3 .
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46 – Matemáticas 1 : Preliminares
5.3
5.3 Matrices cuadradas
Matrices cuadradas
Una matriz cuadrada A se dice triangular superior, si todos los elementos por debajo de la diagonal principal
son nulos, es decir: aij = 0 , para cualquier ij tal que i > j . Una matriz cuadrada A se dice triangular
inferior, si todos los elementos por encima de la diagonal principal son nulos, es decir, aij = 0 , para cualquier
ij tal que i < j .
Una matriz cuadrada A se dice que es diagonal, si es triangular superior e inferior, es decir, si son cero
todos los elementos que no están en la diagonal principal.
Una matriz cuadrada A se dice simétrica si A = At , es decir, si aij = aji para todo ij ; y se dice
antisimétrica si A = −At , es decir si aij = −aji para todo ij .
5.3.1
Matrices inversibles
Definición 110.- Si A es una matriz cuadrada de orden n , An×n , y existe Bn×n tal que AB = BA = I se
dice que A es inversible y que B es inversa de A.
Nota: Es claro de la definición que también B es inversible y A una inversa de B .
Por definición, se ha de verificar que AB = I y también que BA = I ; sin embargo es suficiente con que se
verifique una de ellas para que la otra también se verifique (se verá en el Corolario 119).
Proposición 111.- Si una matriz cuadrada A tiene inversa, esta es única. Y la denotaremos por A−1 .
Demostración:
Supongamos que B y C son inversas de A. Al ser B inversa de A es I = AB , multiplicando a esta igualdad
por C y teniendo en cuenta que C es inversa de A obtenemos que C = C(AB) = (CA)B = IB = B .
Recordando los comentarios hechos en la Observación 103, es claro el siguiente resultado para matrices
elementales.
Proposición 112.- Las matrices elementales son inversibles y sus inversas son también elementales:
? De intercambiar dos filas, intercambiarlas de nuevo.
? De multiplicar una fila por k 6= 0 , multiplicar esa fila por 1/k .
? De sumar a una fila un múltiplo de otra, restar a esa fila el múltiplo sumado.
Teorema 113.- Si A y B son dos matrices inversibles, entonces AB es inversible y
(AB)−1 = B −1 A−1 .
−1 −1
En general, (A1 A2 · · · Ak )−1 = A−1
k · · · A2 A1 .
Demostración:
Basta comprobar que es cierto:
(AB)(B −1 A−1 ) = A(BB −1 )A−1 = AIA−1 = AA−1 = I
(B −1 A−1 )(AB) = B −1 (A−1 A)B = B −1 IB = B −1 B = I.
La generalización es inmediata.
Propiedades 114.1.- (A−1 )−1 = A .
2.- (An )−1 = (A−1 )n .
3.- (kA)−1 = k1 A−1 .
Definición 115.- Una matriz cuadrada, A, se dice ortogonal si A−1 = At .
Teorema 116.- Sea A una matriz cuadrada de orden n . Son equivalentes:
a) A es inversible.
b) El sistema AX = B tiene solución única para todo Bn×1 .
c) El sistema homogéneo AX = 0 tiene solución única.
d) Por operaciones elementales en A puede llegarse a la identidad.
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47 – Matemáticas 1 : Preliminares
5.3 Matrices cuadradas
Demostración:
a)⇒ b) A es inversible, luego existe A−1 . Si se multiplica por A−1 en la igualdad AX = B se tiene que
A−1 AX = A−1 B , luego X = A−1 B es la solución del sistema y es la única.
b)⇒ c) Es un caso particular.
c)⇒ d) Como la solución del sistema AX = 0 es única, al aplicar el método de Gauss-Jordan a la matriz A la
escalonada reducida tiene que ser, necesariamente I (ver observación 117 siguiente).
d)⇒ a) Si existen matrices elementales tales que Ek · · · E2 E1 A = I , multiplicando sucesivamente en la igualdad
por sus inversas, se obtiene A = E1−1 E2−1 · · · Ek−1 I como producto de matrices inversibles y, por tanto, es
inversible. Además, A−1 = Ek · · · E2 E1 .
Observación 117.- Para una matriz cuadrada, cualquier matriz escalonada obtenida de ella es triangular
superior (tiene ceros por debajo de la diagonal), pues el elemento principal de la fila 1 está en la posición 11
o más a la derecha, luego el elemento principal de la fila 2 está en la posición 22 o más a la derecha, y en
general el elemento principal de la fila i está en la posición ii o más a la derecha. Luego para toda fila i, los
elementos aij con j < i son cero, que es la caracterización de matriz triangular superior.
Ası́ pues, una matriz escalonada cuadrada, o tiene elemento principal en cada fila (y en consecuencia están
todos en la diagonal principal de la matriz) o tiene al menos una fila de ceros.
En particular, si llevamos la matriz cuadrada a la forma de matriz escalonada reducida, esta escalonada
reducida o es la matriz identidad o tiene al menos una fila de ceros.
Corolario 118.- Una matriz An×n , es inversible ⇐⇒ rg(A) = n
Corolario 119.- Sea A una matriz cuadrada. Entonces
a) Si existe B tal que BA = I , entonces A es inversible y B = A−1 .
b) Si existe B tal que AB = I , entonces A es inversible y B = A−1 .
Demostración:
Si BA = I , consideremos el sistema AX = 0 . Multiplicando por B en ambos lados se tiene que BAX =
B0 = 0 , pero al ser BA = I , X = 0 es la única solución del sistema y, por tanto, A es inversible. Entonces,
A−1 = IA−1 = BAA−1 = B . Analogamente, en b).
Corolario 120 (Cálculo de A−1 por el método de Gauss-Jordan).- Si A es inversible, existen matrices
elementales tales que Ek · · · E2 E1 A = I y A−1 = Ek · · · E2 E1 . Luego haciendo en I las mismas operaciones
elementales que efectuemos sobre A para llegar a la identidad se tendrá que:
(A|I) −→ (E1 A|E1 I) −→ (E2 E1 A|E2 E1 I) −→ · · · −→ (Ek · · · E1 A|Ek · · · E1 I) = (I|A−1 )


1 0 −2
Ejemplo Sea la matriz A =  0 2 1  . Encontremos A−1 :
1 1 −1



1 0 −2 1 0 0
1
F3 −F1
(A|I) =  0 2 1 0 1 0  −→  0
1 1 −1 0 0 1
0

1
F3 −F2
−→  0
0


0 −2 1 0 0
1 0 −2
F2 −F3
2 1 0 1 0  −→  0 1 0
1 1 −1 0 1
0 1 1


0 −2 1 0 0
1 0
F1 +2F3
1 0 1 1 −1  −→  0 1
0 1 −2 −1 2
0 0

1 0 0
F3 −F2
1 1 −1  −→
−1 0 1

0 −3 −2 4
0 1 1 −1  = (I|A−1 )
1 −2 −1 2
4
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48 – Matemáticas 1 : Preliminares
5.4
5.4 Ejercicios
Ejercicios
5.51 Sean las matrices


3 0
A =  −1 2 
1 1
B=
4 −1
0 2
C=
1 4 2
3 1 5


1 5 2
D =  −1 0 1 
3 2 4


6 1 3
E =  −1 1 2 
4 1 3
a) Calcular cuando se pueda: 3C − D , (AB)C , A(BC) , ED , DE , (4B)C + CA y CA + B 2 .
Indicar porqué no es posible en los otros casos.
b) Calcular, haciendo el menor número de operaciones posible, la fila 1 de CA, la columna 2 de CD y
los elementos 23 y 12 de la matriz CDE .
c) Hallar para cada una de ellas una matriz escalonada e indicar cual es su rango.


1 2 3
5.52 Encontrar las matrices elementales que llevan la matriz A =  0 1 2  a una matriz escalonada.
1 0 3

x + 2y − z − t = 0 
x + z − t = −2
5.53 Considerar el sistema
(1)

−x + 2y − 3z + t = 4
a) ¿ (−2, 2, 2, 0) y (1, 0, −1, 2) son solución del sistema (1)?
b) Encontar todas las soluciones de (1)
c) Encontar todas las soluciones del sistema
x − y + z − t = −3
x + 6y − 5z − t = 4
(2)
d) ¿Cuáles de las soluciones de (1) son también solución de (2)? ¿Tiene (2) alguna solución que no lo
sea de (1)?
5.54 Estudiar cada uno de los siguientes sistemas:
a)

x + 2y − z = 2 
2x + y + z = −1

3x + 3y + 2z = −1
x+y+z
2x + 3z
3x + y + 4z
5x + y + 7z
b)
=
=
=
=
3
4
7
9




c)




x + 2y − z + t = 0 
−x + 4y − 5z + 7t = 2

2x + y + z − 2t = −1
Si existe solución, expresarla en la forma descrita por el Teorema de Rouché.




1 4
8 6 −6
 −2 3  P 2 0 0
5.55 Hallar una matriz P tal que:
=  6 −1 1  .
0 1 −1
1 −2
−4 0 0




1 5 2
1 2 −2
5.56 Considerar las matrices A =  −1 0 1  y B =  −2 3 −3  .
1 −1 1
3 2 4
a) Hallar todas las matrices columna X3×1 que verifican la igualdad
ABX = BAX .
t
b) ¿Los sistemas BX = 0 y B X = 0 tienen las mismas soluciones? Justificar la respuesta.
5.57 Hallar los valores de los coeficientes de las descomposiciones en fraciones simples del ejercicio 2.25 de
polinomios:
a)
d)
X 2 +1
X 4 −6X 3 −16X 2 +54X+63
2
X +2
X 5 +7X 4 +16X 3 +8X 2 −16X−16
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b)
e)
X−5
(X−1)(X 3 −1)
3
2
X −3X +X−3
X 5 +3X 4 +3X 3 +3X 2 +2X
c)
X+5
2X 4 −X 3 −4X 2 +10X−4
f)
X 5 +3X 4 +3X 3 +3X 2 +2X
(X 3 −3X 2 +X−3)3
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49 – Matemáticas 1 : Preliminares
5.4 Ejercicios
5.58 Estudiar cada uno de los sistemas siguientes, según los valores de los parámentros:


x + 2y − z = a

 x + 2y + 4z = 1
2x + y + z = 1 − a
x + 2y + 2az = 2
a)
b)


3x + (1 + a)y + az = 1 − a
ax + 4y + 4az = 4a


5x − (a + b)y + 7z =


 x+y+z = a−3

2x − ay + 3z =
ax + y = 0
c)
d)
x+y+z =



ax + y + az = 0

3x − 3y + 4z =
8+b
4
3
7
5.59 Usar el método de Gauss para saber cuales de las siguientes matrices tienen inversa y calcularlas:







0 0 1
1 −2 3 −4
1 1 3
8 6 −6
0 1 1
 −2 3 4 −3 

a)  3 4 1 
b)  6 −1 1 
d) 
c) 
1 1 1
 3 4 −3 2 
−1 −1 −1
−4 0 0
2 1 0
−4 −3 2 −1

2
1

0
0
5.60 Sea A una matriz cuadrada de orden n tal que la suma de los elementos de cada columna es cero. Probar
que rg(A) < n. ¿Es A una matriz inversible?
5.61 Probar que si A es una matriz cuadrada, la matriz A+At es simétrica y la matriz A−At es antisimétrica.
Probar que en una matriz cuadrada antisimétrica la diagonal principal está formada únicamente por ceros.


1 2 3
5.62 Sea A =  0 1 2  .
1 0 −1
a) Encontar todas las matrices B3×3 tales que AB = 0 .
¿Qué relación tienen estas matrices con las soluciones del sistema AX = 0 ?
b) Encontar todas las matrices C3×3 tales que CA = 0 .
c) Encontar todas las matrices D3×3 tales que AD − DA = 0 .
5.63 Sean A y B matrices cuadradas tales que AB = 0 . Demostrar que si B 6= 0 , entonces A no es inversible.
5.64 Sean A y B dos matrices de igual tamaño. Probar que si existe C inversible tal que AC = BC entonces
A = B.
5.65 Sea A una matriz cuadrada y E una matriz elemental. Probar que AE t realiza sobre las columnas de A
la misma operación elemental que hace EA sobre las filas de A.
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50 – Matemáticas 1 : Preliminares
Capı́tulo 6
Determinante de una matriz
6.1
Determinante de una matriz cuadrada
Definicin 121.- Sea A una matriz cuadrada de orden n . Llamaremos producto elemental en A al producto
ordenado de un elemento de cada fila, cada uno de los cuales pertenece a columnas distintas. Es decir, una
expresin de la forma a1j1 a2j2 · · · anjn con todos los jk distintos.
Llamaremos producto elemental con signo al valor (−1)N a1j1 a2j2 · · · anjn donde el nmero N , para cada
producto elemental, es el nmero de “inversiones del orden” en el conjunto de las columnas {j1 , j2 , . . . , jn } , es
decir, el nmero de veces que cada ndice jk es menor que los anteriores a l.
Ejemplo 122 {2, 4, 1, 3} . Para calcular las inversiones tenemos que ver cuantas veces 4 , 1 y 3 son menores
que sus anteriores. Para el 4 , hay inversin cuando 4 < 2 , no. Para el 1 , cuando 1 < 2 , si ; y cuando 1 < 4 , si.
Y para el 3 , cuando 3 < 2 , no; 3 < 4 , si ; y 3 < 1 , no. El conjunto presenta entonces tres inversiones, N = 3 .
Definición 123.- Definimos la funcin determinante en el conjunto de las matrices de orden n , como la funcin
que asigna a cada matriz A el nmero real, que denotaremos por det(A) det A |A|, y cuyo valor es la suma
de todos los productos elementales con signo que se pueden formar en A:
X
det(A) = |A| =
(−1)N a1j1 a2j2 · · · anjn .
(j1 ,j2 ,...,jn )
Expresin del determinante de las matrices de orden
1, 2 y 3. Los determinantes de las matrices de
los primeros rdenes de magnitud se obtienen de la forma: a11 = a11 y
a11 a12 a21 a22 = a11 a22 − a12 a21
a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32
a31 a32 a33 Estas expresiones admiten una regla nemotcnica grfica para recordar la construccin de los productos elementales
y el signo, siguiendo las direcciones de las diagonales principal y secundaria (para matrices de orden 3 se conoce
como Regla de Sarrus):
sign( ) = +
sign( ) = −
s
s
@
@
s @s
s
@
s
@
s
s
s
s
@
@
s
@s @s
@
@
@
@s
s @s @
s
s
s
s
s
s
Observación: Cada uno de los productos elementales con
0
signo se corresponde con el determinante de una matriz
0
3
(−1) a12 a24 a31 a43 = que se forma haciendo cero todos los elementos que no
a31
estan en el producto. Es claro, pues cualquier otro producto
0
tendr alguno de sus factores distinto de estos y, en consecuencia, ser 0 . De manera similar son
dos resultados recogidos en la proposicin siguiente.
a12 0 0 0 0 a24 0 0 0 0 a43 0 inmediatos los
Proposición 124.1.- Si A es una matriz que tiene una fila o una columna de ceros, entonces |A| = 0 .
2.- Si A es una matriz triangular superior o triangular inferior, |A| es el producto de los elementos de la
diagonal principal, es decir, |A| = a11 a22 · · · ann . (En todos los dems productos elementales aparece al
menos un 0: si hay algn elemento por encima de la diagonal, hay alguno por debajo.)
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51 – Matemáticas 1 : Preliminares
6.1.1
6.1 Determinante de una matriz cuadrada
Determinantes y operaciones elementales
Teorema 125.- Sea An×n una matriz. Se tiene que:
a) si A0 es la matriz que resulta de multiplicar una fila de A por una constante λ 6= 0 , entonces det(A0 ) =
λ det(A) .
b) si A0 es la matriz que resulta de intercambiar dos filas de A , entonces det(A0 ) = − det(A) .
c) si A0 es la matriz que resulta de sumar a la fila k un mltiplo de la fila i, entonces det(A0 ) = det(A) .
.
Corolario 126.- Una matriz con dos filas iguales tiene determinante cero.
Corolario 127.a) Si E es la matriz elemental resulta de multiplicar una fila de I por k ∈ R, entonces det(E) = k .
b) Si E es la matriz elemental que resulta de intercambiar dos filas de I , entonces det(E) = −1 .
c) Si E es la matriz que resulta de sumar a una fila k un mltiplo de la fila i, de I , entonces det(E) = 1 .
Demostración:
a) det(E) = k det(I) = k ;
6.1.1.1
b) det(E) = − det(I) = −1 ;
c) det(E) = det(I) = 1 .
Clculo de determinantes por reduccin a la forma escalonada
El teorema anterior nos ofrece la posibilidad de calcular el determinante de una matriz usando el mtodo de
Gauss. Si tenemos que Ek · · · E2 E1 A = R , donde R es la matriz escalonada que se obtiene al aplicar el mtodo
de Gauss, se tiene que
det(R) = det(Ek Ek−1 Ek−2 · · · E1 A) = δk det(Ek−1 Ek−2 · · · E1 A)
= δk δk−1 det(Ek−2 · · · E1 A) = · · · = δk δk−1 δk−2 · · · δ1 det(A),
donde δi es k , −1 1 , segn la operacin elemental que represente Ei . Luego
det(A) =
1
δ1
· · · δ1k det(R) =
1
δ1
· · · δ1k r11 r22 · · · rnn
pues R es una matriz triangular superior (recordar observacin 117 de pg. 47) y det(R) = r11 r22 · · · rnn .
6.1.2
Otras propiedades del determinante
Teorema 128.- Si A y B son matrices cuadradas de orden n , entonces
det(AB) = det(A) · det(B)
.
Teorema 129.- Sea An×n entonces, A es inversible ⇐⇒ det(A) 6= 0 .
Demostración:
Si A es inversible I = AA−1 , luego det(I) = det(AA−1 ) = det(A) det(A−1 ) , pero al ser det(I) = 1 6= 0 ,
necesariamente ha de ser det(A) 6= 0 .
Si A no es inversible, por la parte 3 de la demostracin del Teorema 128 (Anexo 0, pg. 67), se tiene que
det(AI) = 0 = det(A) det(I) y como det(I) = 1 , debe ser det(A) = 0 .
−1
Corolario 130.- Si A es inversible, A−1 = |A| .
Teorema 131.- Si A es una matriz cuadrada, entonces |At | = |A|.
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.
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52 – Matemáticas 1 : Preliminares
6.2
6.2 Desarrollo por cofactores
Desarrollo por cofactores
Definición 132.- Sea A una matriz cuadrada, llamaremos menor del elemento aij , y lo denotaremos por
Mij , al determinante de la submatriz que se forma al suprimir en A la fila i y la columna j . Al nmero
(−1)i+j Mij lo llamaremos cofactor del elemento aij y lo denotaremos por Cij .
Ejemplo A partir de la matriz A de abajo, construimos los cofactores C21 , eliminando la fila 2
1, y C34 , eliminando la fila 3 y columna 4 :


0 −1
0 −1 2 5 0 −1 2 5
 1 2 0 −2 
3+4 1 2
 −→ C21 = (−1)2+1 1 2 0 −2 C
=
(−1)
A=
34
2 −1
2 −1 1 3  2 −1 1 3 
0 2
0 2 4 −2
0 2 4 −2
y la columna
2
0
1
4
5 −2 3 −2 Teorema 133.- El determinante de una matriz A se puede calcular multiplicando los elementos de una fila (o
de una columna) por sus cofactores correspondientes y sumando todos los productos resultantes; es decir, para
cada 1 ≤ i ≤ n y para cada 1 ≤ j ≤ n :
det(A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + · · · + ain Cin y det(A) = a1j C1j + a2j C2j + · · · + anj Cnj
Ejemplo
11 12 13
21 22 23
31 32 33
= 21(−1)2+1 12 13 + 22(−1)2+2 32 33 1+3 21 22 2+3 = 13(−1)
31 32 + 23(−1)
11 13 2+3 11
+
23(−1)
31
31 33
11 12 3+3 11
+ 33(−1)
21
31 32 .
12 32 12 22 Corolario 134.- Si desarrollamos una fila de una matriz A por los cofactores de otra distinta, el resultado es
cero; es decir,
ai1 Cj1 + ai2 Cj2 + · · · + ain Cjn = 0, si i 6= j .
Idntico resultado para las columnas.
Demostración:
Es claro, pues si en A hacemos la fila j igual a la fila i , la matriz obtenida A0 tiene determinante cero y
0
0
0
0 = |A0 | = a0j1 Cj1
+ a0j2 Cj2
+ · · · + a0jn Cjn
= ai1 Cj1 + ai2 Cj2 + · · · + ain Cjn
Definición 135.- Dada una matriz A cuadrada de orden n , llamaremos matriz de cofactores de A a la
matriz que tiene por elementos los cofactores de A, C = (Cij ) , y llamaremos matriz adjunta de A a la
matriz de cofactores traspuesta, Adj(A) = C t .
Nota: Tambin es usual utilizar las denominaciones de menor adjunto para el cofactor y matriz adjunta para la
matriz de cofactores (sin trasponer). En este caso, los resultados son idnticos a los que aqu se presentan con la
nica consideracin a tener en cuenta es que donde aparece Adj(A) tendr que aparecer Adj(A)t .
Teorema 136.- Si A es una matriz inversible, entonces A−1 =
Demostración:
Si probamos que A · Adj(A) = |A|I
efecto, aplicando el teorema 133 y el

a11 a12
 a21 a22

A · Adj(A) = AC t =  .
..
 ..
.
Adj(A) .
entonces, como |A| =
6 0 , ser
corolario 134 anteriores,

· · · a1n
C11 C21 · · · Cn1
 C12 C22 · · · Cn2
· · · a2n 

..   ..
.. . .
.
..
. .  .
. ..
.
an1 an2 · · · ann
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1
|A|
C1n C2n · · · Cnn
A
Adj(A)

|A|

= I y A−1 =
|A| 0 · · · 0
  0 |A| · · · 0
 
 =  ..
.. . .
.
  .
. ..
.
0 0 · · · |A|
1
|A|
Adj(A) . En



 = |A| · I

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53 – Matemáticas 1 : Preliminares
Ejemplo


1 2 3
A =  4 5 −4  ;
−3 −2 −1
A−1
6.3 Rango de una matriz
 5 −4 − 4 −4 4 5 −3 −1 −3 −2  −2 −1  1 2 2 3 1 3 1 

−
=
−3 −1 − −3 −2 |A| 
 −2 −1
1 2
1 3  2 3 − 4 5
5 −4 4 −4
t




−13 −4 −23

1
 =
 16 8 16 

40

7 −4 −3

Regla de Cramer 137.- Sea AX = B , un sistema de n ecuaciones con n incgnitas, tal que A es inversible,
entonces el sistema tiene como nica solucin:
b1 a12 · · · a1n a11 b1 · · · a1n a11 a12 · · · b1 b2 a22 · · · a2n a21 b2 · · · a2n a21 a22 · · · b2 ..
..
..
.. . .
.. . .
.. . . .. .. .. .
. . . . . . .
.
.
.
.
bn an2 · · · ann an1 bn · · · ann an1 an2 · · · bn x1 =
, x2 =
, . . . , xn =
.
.
|A|
|A|
|A|
6.3
Rango de una matriz
Definición 138 (Segunda definicin del rango).- Se llama rango de una matriz Am×n , rang(A) rg(A) , al
mximo orden que resulta de considerar todas las submatrices cuadradas que pueden formarse eliminando filas
y columnas completas de A y cuyo determinante sea distinto de cero.
Del determinante de una submatriz cuadrada de orden r de A , formada eliminando filas y columnas completas, de suele decir que es un menor de orden r de A, por analoga a la denominacin dada en la definicin 132
a los menores de un elemento.
Resulta evidente que para Am×n , se tiene rg(A) ≤ mı́n{m, n} . Esta nueva definicin de rango de una matriz es
equivalente a la dada anteriormente:
“el rango de una matriz es el nmero de filas distintas de cero que aparecen en alguna de las formas
escalonadas de la matriz”,
puesto que el menor formado con las filas y columnas que contienen a los elementos principales de la matriz
escalonada es distinto de 0, y cualquier menor de orden mayor es cero.
Corolario 139.- Si A es una matriz, rg(A) = rg(At ) .
Demostración:
De la nueva definicin de rango y de |M | = |M t | para cualquier submatriz cuadrada de A.
Proposición 140.- Sea A una matriz m×n , entonces
a) Si existe un menor de orden r distinto de cero el rg(A) ≥ r .
b) Si todos los menores de orden r son cero el rg(A) < r .
Demostración:
a) es claro, pues como r es el orden de un menor distinto de cero, el mximo de los rdenes de los menores
distintos de cero es al menos r .
b) Si todos los menores de orden r son cero, como un menor de orden r + 1 puede descomponerse como
suma de menores de orden r por constantes, todos los menores de orden r + 1 son cero y, tambin todos
los menores de orden mayor. Luego rg(A) < r
En una matriz m×n , el nmero de menores de orden r que podemos formar puede ser muy alto, de hecho es
m n
r
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r
=
m!
n!
,
r!(m − r)! r!(n − r)!
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54 – Matemáticas 1 : Preliminares
6.4 Ejercicios
es decir, todas las posibles elecciones de r filas de entre las m y de r columnas de entre las n . Por tanto, para
ver que una matriz tiene rango menor que r usando los menores, hemos de comprobar que cada uno de los
n!
m!
r!(m−r)! r!(n−r)! menores son cero. Sin embargo, el coste de la evaluacin por menores, puede reducirse usando
el siguiente resultado:
Orlado de menores 141.- Sea Am×n una matriz, y Mr×r una submatriz de A con determinante distinto de
cero. Entonces, si el determinante de todas las submatrices de orden r + 1 que se pueden conseguir en A
aadiendo una fila y una columna a M son cero, el rango de A es r .
.
Este resultado nos indica el mtodo –conocido como “orlado de menores”– para encontrar el rango de una
matriz usando los menores:
“Buscamos un menor de orden uno distinto de cero: si no existe rg(A) = 0 ; si existe M1 6= 0
entonces rg(A) ≥ 1 , y buscamos un menor de orden 2 distinto de cero de entre los que “orlan” al
anterior : si todos ellos son cero, por el resultado anterior, el rg(A) = 1 ; si algn M2 6= 0 entonces
rg(A) ≥ 2 , y buscamos un menor de orden 3 distinto de cero de entre los que orlan a M2 : si no
existe rg(A) = 2 , y si existe M3 6= 0 entonces rg(A) ≥ 3 , y buscamos . . . .”
6.4
Ejercicios

6.66 Suponiendo que
a
det(A) = 5 , siendo A =  d
g
−a −b −c f i b) 2d 2e 2f −g −h −i c
d e
a) g h
a b
a g h
e) b h e c i f 2a − d d g f) 2b − e e h 2c − f f i 
b c
e f  , calcular
h i
a+d b+e c+f
e
f
c) d
g
h
i
g) det(3A)
a
b
c d) d−3a e−3b f −3c 2g
2h
2i h) det(2A−1 )
6.67 Hallar el valor exacto del determinante de la derecha:
a) Usando nicamente el mtodo de Gauss
b) Mediante el desarrollo por cofactores
c) Aplicando simultaneamente ambas tcnicas para resolverlo ms
rpida y fcilmente.
i) det((2A)−1 )
0
2
3
0
−1
1
−2
2
1
1
2
3
1
2
−1
0
4
0
0
2
4
0
0
0
1
2
−1
3
4
0
0 2 1 0 1 2
6.68 Sea A una matriz cuadrada de orden n tal que la suma de los elementos de cada fila es cero. Demostrar
que A no es inversible.
6.69 Sean A y B matrices de orden n tales que A 6= 0 , B 6= 0 y AB = 0 . Demostrar que det(A) = det(B) = 0 .
6.70 Calcular los posibles valores del determinante de una matriz ortogonal.
6.71 Sea A una matriz antisimtrica de orden n impar. Demostrar que det(A) = 0 .
6.72 Si A es una matriz de orden n probar que | Adj(A)| = |A|n−1 .
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55 – Matemáticas 1 : Preliminares
Anexo 1: Demostraciones
Preliminares
Números complejos
Demostración de:
Propiedades 4 de la página 3
Propiedades 4.- Sean z, w ∈ C, entonces
a) z = z ;
z + w = z + w;
z −1 = (z)−1 .
zw = z w ;
b) z = z ⇐⇒ z = a + i0 ∈ R ;
z = −z ⇐⇒ z = 0 + ib ∈ iR .
z − z = i2 Im(z) .
c) z + z = 2 Re(z) ;
Demostración:
Si z = a + ib y w = c + id , se tiene que:
a) z = a − ib = a + ib = z .
z + w = (a − ib) + (c − id) = (a + c) − i(b + c) = z + w ;
z w = (a − ib)(c − id) = (ac − (−b)(−d)) + i(−bc − ad) = (ac − bd) − i(bc + ad) = zw ;
a
−b
a
b
b
−1 .
− i a2 +(−b)
2 = a2 +b2 + i a2 +b2 = a2 +b2 − i a2 +b2 = z
n
a=a
b) z = z ⇐⇒ a − ib = a + ib ⇐⇒ −b=b
⇐⇒ b = 0 ⇐⇒ z = a ;
n
a=−a
⇐⇒ a = 0 ⇐⇒ z = ib.
z = −z ⇐⇒ a − ib = −a − ib ⇐⇒ −b=−b
(z)−1 = (a − ib)−1 =
a
a2 +(−b)2
c) z + z = (a + ib) + (a − ib) = 2a = 2 Re(z) ;
z − z = (a + ib) − (a − ib) = i2b = i2 Im(z) .
Demostración de:
Propiedades 6 de la página 3
Propiedades 6.- Sean z, w ∈ C, entonces
a) |z| ≥ 0 ;
|z| = 0 ⇐⇒ z = 0 .
b) |Re(z)| ≤ |z|;
|Im(z)| ≤ |z| ;
2
c) |z| = |z| :
|z| = zz ;
d) |z + w| ≤ |z| + |w| ;
1
z
|z| ≤ |Re(z)| + |Im(z)| .
=
z
zz
=
z
|z|2
.
|z − w| ≥ |z| − |w| .
−1 z = |z|−1 .
e) |zw| = |z| |w|;
Demostración:
√
a) |z| = + a2 + b2 ≥ 0 ;
2
|z| = 0 ⇐⇒ |z| = 0 ⇐⇒ a2 + b2 = 0 ⇐⇒ a = b = 0 ⇐⇒ z = 0 .
b) Como todos los módulos son valores reales positivos, basta probar las desigualdades para sus cuadrados:
2
2
2
2
2
2
|Re(z)| = |a| = a2 ≤ a2 + b2 = |z| y también |Im(z)| = |b| = b2 ≤ a2 + b2 = |z| .
2
2
2
2
(|Re(z)| + |Im(z)|)2 = (|a| + |b|)2 = |a| + |b| + 2 |a| |b| = a2 + b2 + 2 |a| |b| = |z| + 2 |a| |b| ≥ |z| .
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56 – Matemáticas 1 : Preliminares
c) |z| = |a − ib| =
Anexo 1
p
√
a2 + (−b)2 = a2 + b2 = |z| .
2
zz = (a + ib)(a − ib) = a2 − (−b2 ) + i(−ab + ab) = a2 + b2 = |z| .
2
2
2
d) |z + w| = (z + w)(z + w) = (z + w)(z + w) = zz + ww + zw + zw = |z| + |w| + zw + zw
2
2
2
2
2
2
= |z| + |w| + 2 Re(zw) ≤ |z| + |w| + 2 |Re(zw)| ≤ |z| + |w| + 2 |zw|
2
2
2
2
2
= |z| + |w| + 2 |z| |w| = |z| + |w| + 2 |z| |w| = (|z| + |w|)
|z| = |z − w + w| ≤ |z − w| + |w| =⇒ |z − w| ≥ |z| − |w|
|w| = |w − z + z| ≤ |w − z| + |z| = |z − w| + |z| =⇒ |z − w| ≥ |w| − |z|
se tiene la otra desigualdad propuesta |z − w| ≥ |z| − |w| .
Como
2
2
2
e) |zw| = (ac − bd)2 + (ad + bc)2 = a2 c2 + b2 d2 + a2 d2 + b2 c2 = (a2 + b2 )(c2 + d2 ) = |z| |w| ;
|z| z −1 = zz −1 = |1| = 1 .
Demostración de:
Operaciones multiplicativas en forma polar 9 de la página 4
Operaciones multiplicativas en forma polar 9.- Si z = |z|θ y w = |w|δ , se cumple que:
−1
z −1 = (|z|
a) z = |z|(−θ) ;
b) zw = (|z| |w|)θ+δ ;
z
w
)(−θ) .
|z|
= ( |w|
)θ−δ .
n
c) z n = (|z| )nθ .
Demostración:
Las pruebas son sencillas usando que z = |z| (cos θ + i sen θ) y que
(cos θ + i sen θ)(cos δ + i sen δ) = cos θ cos δ − sen θ sen δ + i(sen θ cos δ + cos θ sen δ)
= cos(θ + δ) + i sen(θ + δ).
a) z = |z| (cos θ + i sen θ) = |z| (cos θ − i sen θ) = |z| cos(−θ) + i sen(−θ) = |z|−θ .
|z| cos(−θ)+i sen(−θ)
−1
1
1
z −1 = z1 = |z|z 2 =
= |z|
cos(−θ) + i sen(−θ) = ( |z|
)−θ = (|z| )−θ .
|z|2
b) zw = |z| (cos θ + i sen θ) |w| (cos δ + i sen δ) = |z| |w| cos(θ + δ) + i sen(θ + δ) = |zw|θ+θ0 .
z
w
|z|
1
= zw−1 = |z|θ ( |w|
)−δ = ( |w|
)θ−δ .
n)
n
c) z n = |z|θ |z|θ · · · |z|θ = (|z| )
n
n)
θ+···+θ
= (|z| )nθ .
En particular se verifica la fórmula de Moivre:
(cos θ + i sen θ)n = cos nθ + i sen nθ.
Polinomios
Demostración de:
Lema 30 de la página 10
Lema 30.- Sea P (X) = Q(X)R(X) . Si α ∈ K es raı́z de P (X) con multiplicidad m y Q(α) 6= 0 (no es raı́z de
Q(X) ), entonces α es raı́z de R(X) con multiplicidad m .
Demostración:
Si P (α) = 0 , como P (α) = Q(α)R(α) y Q(α) 6= 0 , entonces R(α) = 0 y α es raı́z de R(X) . De donde
R(X) = (X − α)R1 (X) y P (X) = Q(X)(X − α)R1 (X) .
m
Como P (X) = (X − α)m C(X) , con C(α) 6= 0 , se tiene
que P (X) = (X − α) C(X) = Q(X)(X − α)R1 (X) , de
donde 0 = (X − α)m C(X) − Q(X)(X − α)R1 (X) = (X − α) (X − α)m C(X) − Q(X)R1 (X) y como X − α 6= 0 tiene
que ser (X − α)m−1 C(X) = Q(X)R1 (X) = P1 (X) tiene en α una raı́z de multiplicidad m − 1 .
Luego el polinomio P1 (X) = Q(X)R1 (X) tiene una raı́z en α que no lo es de Q(X) , luego es raı́z de R1 (X) ,
por lo que R1 (X) = (X − α)R2 (X) y, como antes se puede construir el polinomio P2 (X) = (X − α)m−2 C(X) =
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57 – Matemáticas 1 : Preliminares
Anexo 1
Q(X)R2 (X) , con R(X) = (X − α)R2 (X) . Repitiendo el proceso de manera sucesiva, se llega a un polinomio
Pm−1 (X) = (X − α)C(X) = Q(X)Rm−1 (X) , con R(X) = (X − α)m−1 Rm−1 (X) .
Y ahora, como α tiene que ser raı́z de Rm−1 (X) , Rm−1 (X) = (X − α)Rm (X) y C(X) = Q(X)Rm (X) . Como
C(α) = Q(α)Rm (α) y C(α) 6= 0 y Q(α) 6= 0 , necesariamente Rm (α) 6= 0 y, por tanto R(X) = (X − α)m Rm (X) ,
con Rm (α) 6= 0 , de donde α es una raı́z de R(X) de multiplicidad m .
Demostración de:
Lema 35 de la página 11
Lema 35.- Sea P (X) =
n
P
ai Xi ∈ R[X] . Si α es una raı́z compleja (y no real) de P (X) , entonces α también es
i=0
raı́z de P (X) , y con la misma multiplicidad que α .
Demostración:
Veamos que α es también raı́z de P (X) . Teniendo en cuenta que ai ∈ R y que entonces ai = ai ,
P (α) =
n
X
ai αi =
i=0
n
X
ai αi =
i=0
n
X
ai αi =
i=0
n
X
ai α i =
i=0
n
X
ai αi = P (α) = 0 = 0
i=0
Entonces, en la descomposición de P (X) aparecen los factores X − α y X − α , pero como su producto (X −
2
α)(X − α) = X2 − (α + α)X + αα = X2 − 2 Re(α)X + |α| ∈ R[X] , se descompone en R[X] en la forma P (X) =
2
(X2 − 2 Re(α)X + |α| )P1 (X) . En consecuencia, si la multiplicidad de α es m > 1 , el polinomio P1 (X) ∈ R[X]
tiene a α como raı́z de multiplicidad m − 1 . Y repitiendo el proceso hasta sacar todas las raices, se obtiene que
α y α tienen la misma multiplicidad.
Demostración de:
Teorema 38 de la página 11
Teorema 38.- Sea P (X) = a0 + a1 X + · · · + an−1 Xn−1 + an Xn un polinomio con ai ∈ Z, ∀ i. Entonces,
1.- Si P (X) posee una raı́z α ∈ Z, entonces α | a0 .
2.- Si P (X) posee una raı́z α =
(La expresión de α =
p
q
p
q
∈ Q, entonces p | a0 y q | an .
debe estar simplificada al máximo, es decir, mcd(p, q) = 1 .)
Demostración:
Si α ∈ Z es raı́z de P : 0 = a0 + a1 α + · · · + an−1 αn−1 + an αn = a0 + α(a1 + · · · + an−1 αn−2 + an αn−1 ) y
−a0 = α(a1 + · · · + an−1 αn−2 + an αn−1 ) ; de donde el entero −a0 se descompone en dos factores α ∈ Z y
a1 + · · · + an−1 αn−2 + an αn−1 ∈ Z (por ser suma y producto de enteros), luego α divide a a0 .
n−1
n
n
n−1
n−1
q+an p
n−1 p
Si α = pq ∈ Q es raı́z de P : 0 = a0 + a1 pq + · · · + an−1 pqn−1 + an pqn = a0 q +a1 pq +···+a
qn
el numerador debe ser cero. Como antes, sacando primero p factor común y luego q , se llega a:
n
de donde
? −a0 q n = p(a1 q n−1 + · · · + an−1 pn−2 q + an pn−1 ) luego p | a0 q n pero como no divide a q , entonces p | a0
? −an pn = q(a0 q n−1 + a1 pq n−2 + · · · + an−1 pn−1 ) luego q | an pn pero como no divide a p , entonces q | an
(Los factores de las últimas igualdades son todos enteros, pues p ∈ Z, q ∈ Z y los ai ∈ Z.)
Funciones, lı́mites y continuidad
Demostración de:
Propiedades del valor absoluto 45 de la página 16
Propiedades del valor absoluto 45.a) |a| ≥ 0 , ∀ a y |a| = 0 ⇐⇒ a = 0
d) |a| ≤ k ⇐⇒ −k ≤ a ≤ k
b) |ab| = |a| |b|
e) |a + b| ≤ |a| + |b|
−1
c) a−1 = |a|
f) |a| − |b| ≤ |a − b|
Demostración:
a) |a| ≥ 0 por la definición. Para la segunda parte, si |a| = 0 , o bien a = |a| = 0 , o bien a = − |a| = 0 ,
luego necesariamente a = 0 ; la otra implicación es obvia pues |0| = 0 .
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58 – Matemáticas 1 : Preliminares
Anexo 1
b) Consideremos los casos: si a ≥ 0 y b ≥ 0 se tiene |ab| = ab = |a| |b| ; si a ≤ 0 y b ≤ 0 se tiene
|ab| = ab = (−a)(−b) = |a| |b|; y si a ≤ 0 y b ≥ 0 , entonces |ab| = −ab = (−a)b = |a| |b| .
c) De 1 = |1| = a−1 a = a−1 |a| , se obtiene el resultado.
d) Si |a| ≤ k , ó a = |a| ≤ k que cumple la segunda desigualdad ó −a = |a| ≤ k , pero entonces −k ≤ a y se
cumple la primera. Si −k ≤ a ≤ k , se tiene k ≥ −a ≥ −k , por lo que −k ≤ |a| ≤ k .
e) Como ∀ x , x ≤ |x| , ó |a + b| = a + b ≤ |a| + |b| , o bien |a + b| = −a − b ≤ |−a| + |−b| = |a| + |b| .
f) |a| = |a − b + b| ≤ |a − b| + |b|, luego |a| − |b| ≤ |a − b| ; y con b se tiene |b| − |a| ≤ |b − a| . Luego
− |a − b| = − |b − a| ≤ −(|b| − |a|) = |a| − |b| ≤ |a − b| y por d) se concluye la prueba
Demostración de:
Proposición 62 de la página 22
Proposición 62.- Sean f, g, h: A −→ R y x0 un punto de acumulación de A.
1.- Si f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) en A y lı́m f (x) = L = lı́m h(x) , entonces lı́m g(x) = L
x→x0
x→x0
x→x0
2.- Si g está acotada en A y lı́m f (x) = 0 , entonces lı́m g(x) · f (x) = 0
x→x0
x→x0
Demostración:
1.- Si lı́m f (x) = L = lı́m h(x) , entonces para cada ε > 0 :
x→x0
x→x0
existe δ1 tal que si 0 < |x − x0 | < δ1 , entonces L − ε < f (x) < L + ε
existe δ2 tal que si 0 < |x − x0 | < δ2 , entonces L − ε < h(x) < L + ε
luego tomado δ = mı́n{δ1 , δ2 } , si 0 < |x − x0 | < δ , entonces L − ε < h(x) ≤ g(x) ≤ f (x) < L + ε .
2.- Si g está acotada, existe K > 0 tal que |g(x)| ≤ K , para todo x , luego se verifica que
0 ≤ |g(x)f (x)| ≤ K |f (x)| , para todo x
Por el apartado anterior, si probamos que lı́m K |f (x)| = 0 , entonces lı́m |g(x)f (x)| = 0 y se tiene que
x→x0
x→x0
lı́m g(x)f (x) = 0 (por la proposición 61).
x→x0
Como lı́m f (x) = 0 ⇐⇒ lı́m |f (x)| = 0 , para cada ε > 0 existe δ > 0 , tal que si 0 < |x − x0 | < δ se
x→x0
ε
K
verifica que |f (x)| <
x→x0
. Entonces, si 0 < |x − x0 | < δ se tiene que
|K |f (x)| − 0| = K |f (x)| < K
ε
=ε
K
lo que concluye la prueba.
Demostración de:
Propiedades 63 de la página 22
Propiedades 63.- Si lı́m f (x) = L1 ∈ R y lı́m g(x) = L2 ∈ R, entonces:
x→x0
x→x0
a) lı́m [f (x) + g(x)] = lı́m f (x) + lı́m g(x) = L1 + L2 .
x→x0
x→x0
x→x0
b) lı́m [f (x) · g(x)] = lı́m f (x) · lı́m g(x) = L1 · L2 .
x→x0
f (x)
x→x0 g(x)
c) lı́m
x→x0
lı́m f (x)
=
x→x0
lı́m g(x)
x→x0
=
x→x0
L1
L2
,
siempre que L2 6= 0 .
Demostración:
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59 – Matemáticas 1 : Preliminares
Anexo 1
1.- Por la definición de lı́mite, tenemos que
lı́m f (x) = L1 ⇐⇒ para cada ε > 0 , ∃ δ1 > 0 tal que si 0 < |x − x0 | < δ1 =⇒ |f (x) − L1 | <
ε
2
lı́m g(x) = L2 ⇐⇒ para cada ε > 0 , ∃ δ2 > 0 tal que si 0 < |x − x0 | < δ2 =⇒ |g(x) − L2 | <
ε
2
x→x0
x→x0
luego tomando δ = mı́n{δ1 , δ2 } , tenemos que: para cada ε > 0 existe δ = mı́n{δ1 , δ2 } > 0 tal que si
0 < |x − x0 | < δ (luego menor que δ1 y menor que δ2 ), entonces
|(f (x) + g(x)) − (L1 + L2 )| = |f (x) − L1 + g(x) − L2 | ≤ |f (x) − L1 | + |g(x) − L2 | <
2.- Como lı́m f (x)g(x) = L1 L2 ⇐⇒ lı́m
x→x0
x→x0
ε ε
+ =ε
2 2
f (x)g(x) − L1 L2 = 0 , veamos esto último. Pero
f (x)g(x) − L1 L2 = f (x)g(x) − L2 f (x) + L2 f (x) − L1 L2 = f (x)(g(x) − L2 ) + L2 (f (x) − L1 )
y sabemos que lı́m (f (x)−L1 ) = 0 , lı́m (g(x)−L2 ) = 0 , f (x) está acotada en algún entorno de x0 (Th
x→x0
x→x0
de acotación) y L2 es constante. Por el segundo resultado de la Proposición 62, lı́m f (x)(g(x) − L2 ) = 0
x→x0
y lı́m L2 (f (x) − L1 ) = 0 , luego lı́m f (x)g(x) − L1 L2 = 0 + 0 = 0 .
x→x0
x→x0
3.- Por ser
Como
f (x)
g(x)
1
g(x)
la función
= f (x) ·
− L12 =
1
g(x)
1
x→x0 g(x)
, por el apartado anterior, basta probar que lı́m
L2 −g(x)
g(x)L2
=
1
g(x)L2 (L2
=
1
L2
.
− g(x)) , lı́m (g(x) − L2 ) = 0 y L2 es constante, si probamos que
x→x0
1
g(x)
está acotada en un entorno de x0 , por la Proposición 62 tendremos que lı́m
x→x0
1
g(x)) = lı́m g(x)
− L12 = 0 , lo que prueba el resultado.
1
g(x)L2 (L2
−
x→x0
En efecto, si L2 6= 0 , por el teorema del signo, o bien −K < g(x) < −k < 0 si L2 < 0 , o bien
1
1
1
0 < k < g(x) < K si L2 > 0 . Entonces, 0 < k < |g(x)| < K y, por tanto, 0 < K
< |g(x)|
< k1 , luego g(x)
está acotada.
Demostración de:
Teorema 65 de la página 22
Teorema 65.- Sean f : A −→ R y g: f (A) −→ R . Si lı́m f (x) = b y g es continua en b, entonces
x→a
lı́m g(f (x)) = g(b) = g lı́m f (x) .
x→a
x→a
Demostración:
Como lı́m f (x) = b,
x→a
para cada ε1 > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x − a| < δ entonces |f (x) − b| < ε1 .
Por otra parte, si g es continua en b se tiene que:
para cada ε > 0 existe δ1 > 0 tal que si |y − b| < δ1 entonces |g(y) − g(b)| < ε.
Entonces, haciendo ε1 = δ1 y reuniendo ambas conclusiones:
para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x − a| < δ se tiene |f (x) − b| < ε1 = δ2 y, por tanto,
|g(f (x)) − g(b)| < ε.
En consecuencia, lı́m g(f (x)) = g(b) = g lı́m f (x) .
x→a
Demostración de:
x→a
Proposición 67 de la página 23
Proposición 67 (Convergencia propia).- Sean f : A −→ R y g: f (A) −→ R. Si lı́m f (x) = b, con f (x) 6= b
x→a
para todos los x de un entorno reducido E ∗ (a, δ0 ) de a, entonces
lı́m (g ◦ f )(x) = lı́m g(f (x)) = lı́m g(y).
x→a
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f (x)→b
y→b
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60 – Matemáticas 1 : Preliminares
Anexo 1
Demostración:
Como lı́m f (x) = b, para cada ε1 > 0 existe δ1 > 0 tal que si 0 < |x − a| < δ1 entonces |f (x) − b| < ε1 , y
x→a
como f (x) 6= b en E ∗ (a, δ0 ) , si tomamos δ = mı́n{δ0 , δ1 } , se tiene que:
para cada ε1 > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x − a| < δ entonces 0 < |f (x) − b| < ε1 .
Por otra parte, si L = lı́m g(y) se tiene que:
y→b
para cada ε > 0 existe δ2 > 0 tal que si 0 < |g(y) − L| < δ2 entonces |g(y) − L| < ε.
Entonces, haciendo ε1 = δ2 y reuniendo ambas conclusiones:
para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x − a| < δ se tiene 0 < |f (x) − b| < ε1 = δ2 y, por
tanto, |g(f (x)) − L| < ε.
En consecuencia, lı́m g(f (x)) = L = lı́m g(y) .
x→a
Demostración de:
y→b
Proposición 69 de la página 23
Proposición 69 (Lı́mites laterales).- Sean a < c < b y f : (a, c) ∪ (c, b) −→ R. Entonces
⇐⇒
lı́m f (x) = L
x→c
lı́m f (x) = lı́m+ f (x) = L
x→c−
x→c
Demostración:
Si lı́m f (x) = L, para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x − c| < δ se tiene que |f (x) − L| < ε.
x→c
En particular, si 0 < |x−c| < δ y x < c se cumple, luego lı́m− f (x) = L y también si x > c , por lo que
x→c
lı́m+ f (x) = L .
x→c
Recı́procamente, si lı́m− f (x) = lı́m+ f (x) = L, se tiene que
x→c
x→c
para cada ε > 0 existe δ1 > 0 tal que si 0 < |x − c| < δ1 y x < c se tiene |f (x) − L| < ε
para cada ε > 0 existe δ2 > 0 tal que si 0 < |x − c| < δ2 y x > c se tiene |f (x) − L| < ε
tomando d = mı́n{δ1 , δ2 } , para cada x con 0 < |x − c| < δ sea x < c ó x > c se cuple la definición de lı́mite
en c. Luego lı́m f (x) = L .
x→c
Demostración de:
Continuidad de algunas funciones elementales 77 de la página 25
Continuidad de algunas funciones elementales 77.? f (x) = ex es continua en R y lı́m ex = 0 y lı́m ex = +∞ .
x→−∞
x→+∞
? f (x) = ln x es continua en (0, +∞) y lı́m+ ln x = −∞ y
x→0
? f (x) = xα continua en (0, ∞) y lı́m+ xα = 0 y
x→0
? f (x) = sh x es continua en R y
? f (x) = ch x es continua en R y
? f (x) = th x es continua en R y
lı́m xα = ∞ si α > 0 (resp. ∞ y 0 si α < 0 ).
x→+∞
lı́m sh x = −∞ y
x→−∞
lı́m ch x = ∞ y
x→−∞
lı́m th x = −1 y
x→−∞
lı́m ln x = +∞ .
x→+∞
lı́m sh x = +∞ .
x→+∞
lı́m ch x = +∞ .
x→+∞
lı́m th x = 1 .
x→+∞
? f (x) = sen x y f (x) = cos x son de periódicas de periodo 2π , continuas en R y 6 ∃ lı́m f (x) .
x→±∞
? f (x) = tg x es de periodo π , continua en su dominio y
tg x = ∞ .
lı́m + tg x = −∞ y lı́m
π−
x→ −π
2
Demostración:
Ya hemos probado que ex es continua en R y sabemos que
x→ 2
lı́m ex = +∞ (basta recordar que ex es creciente,
x→+∞
luego o está acotada, o no lo está y su lı́mite es +∞ , pero como 2n → +∞ y 2n < en , los valores en no están
acotados). Veamos lo demás:
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61 – Matemáticas 1 : Preliminares
?
Anexo 1
lı́m ex = lı́m e−x = lı́m
x→−∞
1
x
x→+∞ e
x→+∞
=0
lı́m ln x
? Para cada a ∈ (0, ∞) , eln a = a = lı́m x = lı́m eln x = ex→a
; y como la exponencial es estrictamente
x→a
x→a
creciente, debe ser ln a = lı́m ln x . Luego ln es continua en a .
x→a
Como ln x es estrictamente creciente y continua, y +∞ = lı́m x = lı́m ln ex =
x→+∞
acotada por lo que
lı́m ln(ex ) , no está
ex →+∞
x→+∞
lı́m ln x = +∞ .
x→+∞
Análogamente, −∞ =
lı́m x =
x→−∞
lı́m ln ex = lı́m ln(ex ) , no está acotada inferiormente por lo que
x→−∞
ex →0+
lı́m ln x = −∞ .
x→0+
? Como xα = eα ln x es continua por ser composición de continuas y si α > 0:
lı́m xα = lı́m eα ln x =
lı́m
eα ln x = 0
y
lı́m xα = lı́m eα ln x =
x→0+
x→0+
α < 0: lı́m+ xα = lı́m+ eα ln x =
x→0
? sh x = e
x
? ch x = e
x
x→0
lı́m eα ln x = +∞
α ln x→+∞
−e−x
2
, luego continua y
+e−x
2
, luego continua y
x
x→∞
α ln x→−∞
y
x→∞
lı́m xα = lı́m eα ln x =
x→∞
x→∞
eα ln x = +∞
lı́m
= ( 0−∞
2 ) = −∞ y
x→+∞
ex −e−x
2
= ( ∞−0
2 ) = +∞ .
ex +e−x
2
x→−∞
= ( 0+∞
2 ) = +∞ y
ex +e−x
2
x→+∞
= ( ∞+0
2 ) = +∞ .
lı́m
−x
x
−x
lı́m
lı́m
x→−∞
eα ln x = 0
α ln x→−∞
ex −e−x
2
lı́m
x→−∞
2x
sh x
e −e
e −e
e −1
2
? th x = ch
x = ex +e−x , luego continua y como th x = ex +e−x = e2x +1 = 1 − e2x +1 :
2
2
lı́m th x = lı́m 1 − e2x +1 = 1 − 0+1 = −1
y
lı́m th x = lı́m 1 −
x→−∞
lı́m
α ln x→∞
x→+∞
x→+∞
2
e2x +1
= (1 −
2
∞+1 ) =
1
? De geometrı́a sabemos ya que las funciones seno y coseno son periódicas de
periodo 2π .
Para la continuidad, veamos primero que sen(x) y cos(x) lo son en x = 0 :
x>0
Por la construcción geométrica del seno, sabemos que en una circunferencia de
radio 1, la longitud del arco recorrido coincide con la amplitud del ángulo en
radianes, luego si x ∈ (− π2 , π2 ) , se cumple 0 ≤ |sen(x)| ≤ |x| (ver figura). Es
decir, que −x ≤ sen(x) ≤ x y como 0 = lı́m −x ≤ lı́m sen(x) ≤ lı́m x = 0 , se
x→0
x→0
x
sen x
sen x
x<0
x→0
x
cumple que lı́m sen(x) = 0 = sen(0) . Luego el seno es continuo en x = 0 .
x→0
Para ver que lı́m cos(x) = cos(0) = 1 , probemos que lı́m 1 − cos(x) = 0 :
x→0
x→0
x 2
2 x
lı́m 1 − cos(x) = lı́m 2 sen ( 2 ) = 2 lı́m sen( 2 ) = 2 · 02 = 0
x→0
x→0
x→0
Veamos ahora que son continuas en todo punto x0 de R.
lı́m sen(x) = lı́m sen(x0 + h) = lı́m sen(x0 ) cos(h) + sen(h) cos(x0 )
h→0
h→0
= sen(x0 ) lı́m cos(h) + lı́m sen(h) cos(x0 ) = sen(x0 ) · 1 + 0 · cos(x0 ) = sen(x0 )
x→x0
h→0
h→0
lı́m cos(x) = lı́m cos(x0 + h) = lı́m cos(x0 ) cos(h) − sen(x0 ) sen(h)
x→x0
h→0
h→0
= cos(x0 ) lı́m cos(h) − sen(x0 ) lı́m sen(h) = cos(x0 ) · 1 + sen(x0 ) · 0 = cos(x0 )
h→0
h→0
La periodicidad de las funciones asegura que no existe el lı́mite lı́m sen x , pues cuando n → ∞ los puntos
x→+∞
x = 2πn y los puntos x =
π
2
+2πn se alejan hacia +∞ y sucede que lı́m sen( π2 +n2π) = lı́m sen( π2 ) = 1
n→∞
n→∞
y lı́m sen(n2π) = lı́m sen(0) = 0 , que son valores distintos.
n→∞
n→∞
? Para la continuidad de la tangente bastan las propiedades del cociente tg x =
Demostración de:
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sen x
cos x
.
Algunos infinitos e infinitésimos conocidos 81 de la página 26
Grados de Ing. Industrial : Curso 2012–2013
62 – Matemáticas 1 : Preliminares
Anexo 1
Algunos infinitos e infinitésimos conocidos 81.- Usaremos la notación f ∼ g
infinitos o infinitésimos equivalentes:
an xn + · · · + a1 x + a0 ∼ an xn cuando x → ±∞
a n xn + · · · + a 1 x ∼ a 1 x
sen(x) ∼ x
cuando x → 0
tg(x) ∼ x
2
cuando x → ±∞
1 − cos(x) ∼ x2
sen x1 ∼ x1
ln(1 + x) ∼ x
cuando x → 0
ex − 1 ∼ x
2
sh(x) ∼ x
cuando x → 0
ch(x) − 1 ∼ x2
para indicar que f y g son
cuando
cuando
cuando
cuando
cuando
x→0
x→0
x→0
x→0
x→0
Demostración:
?
an xn +an−1 xn−1 +···+a1 x+a0
an xn
x→±∞
= lı́m 1 +
an xn +an−1 xn−1 +···+a2 x2 +a1 x
a1 x
x→0
= lı́m
lı́m
? lı́m
? Veamos que lı́m
x→0
sen x
x
x→±∞
an−1 1
an x
an n−1
x
x→0 a1
+
+ ··· +
an−1 n−2
a1 x
a1
1
an xn−1
+ ··· +
+
a0 1
an xn
a2
a1 x
= 1 + 0 + ··· + 0 + 0 = 1
+ 1 = 0 + 0 + ··· + 0 + 1 = 1
= 1 , con una pequeña argucia geométrica (ver figura):
En una circunferencia de radio 1, la longitud del arco recorrido coincide con la amplitud del ángulo (en radianes), luego si x ∈ (0, π2 ) , se tiene que 0 < sen(x) < x < tg(x)
1
x
< cos(x)
y tomando lı́mites:
de donde, dividiendo por sen(x) , se tiene 1 < sen(x)
x
1
x
1 ≤ lı́m+ sen(x) ≤ lı́m+ cos(x) = 1 . Luego lı́m+ sen(x) = 1 .
x→0
x→0
(− π2 , 0) ,
x
x>0
tg x
sen x
sen x
x→0
Si x ∈
se tiene que 0 > sen(x) > x > tg(x) de donde, dividiendo por sen(x)
1
x
x
< cos(x)
como antes. Luego lı́m− sen(x)
= 1.
(que es negativo), se tiene 1 < sen(x)
tg x
x<0
x
x→0
? lı́m
x→0
tg x
x
= lı́m
x→0
sen x 1
x cos x
= 1 · 1 = 1.
? Considerando y = g(x) =
1
x
lı́m g(x) = 0+ con g(x) 6= 0 para todo x , luego por la proposición 67 de
,
x→+∞
convergencia propia, se tiene:
? lı́m
1−cos x
x→0
?
= lı́m
x2
2
lı́m
x→0+
2 sen2 ( x
2)
x2
2
x→0
ln(1+x)
x
= lı́m
x→0+
1
x
? Para calcular lı́m
x→0
sh x
x→0 x
? lı́m
x→0
ch(x)−1
x2
2
= lı́m
Demostración de:
x→0
x→+∞
lı́m
sen g(x)
g(x)
sen( x
2)
1
x
2
x
2
x→0
x→0+
e −1
x
ex −e−x
2x
x→0
= lı́m
=
= lı́m
1
(1)
=
sen y
y
= lı́m+
y→0
sen y
y→0 y
lı́m
1
lı́m (1+x) x
x→0+
2
(Idem si x → −∞)
= 1.
= 1.
(1) Con y = g(x) =
x
2
.
(1) = ln
lı́m (1+ y1 )y = ln(e) = 1
y→+∞
y luego
Análogamente, para x → 0− :
el ejemplo 76.
= ln
lı́m (1 + y1 )y = ln(e) = 1 .
y→−∞
, consideramos y = g(x) = ex − 1 , est. creciente y con lı́m g(x) = 0 . Ademas
ex −1
x→0 x
1 + y = ex y ln(1 + y) = x . Luego:
? lı́m
1
x
ln(1+x) = lı́m ln(1+x) x = ln
x→0−
x
1
x
sen2 ( x
2)
x 2
x→0 ( 2 )
= lı́m
Considerando en (1)
y = g(x) =1
ln(1+x)
lı́m
= ln lı́m (1 + x) x
x
x→0−
sen
lı́m
x→+∞
e2x −1
x
x→0 e 2x
= lı́m
ex +e−x
2
x2
2
−1
lı́m
=
1
x
x→0 e
lı́m
ex +e−x −2
2
2 x2
x→0
= lı́m
x→0
y
y→0 ln(1+y)
= lı́m
e2x −1
x→0 2x
lı́m
(1)
= 1 · lı́m
y→0
e2x+1−2ex
ex x 2
x→0
= lı́m
= 1.
ey −1
y
(ex−1)2
x 2
x→0 e x
= lı́m
= 1.
(1) y = g(x) = 2x .
= lı́m
1
x
x→0 e
2
ex −1
x→0 x
lı́m
= 1.
Teorema de Bolzano 84 de la página 28
Teorema de Bolzano 84.- Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y que toma valores de signo opuesto
en a y b (es decir, f (a)f (b) < 0 ) entonces ∃c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0 .
Demostración:
Podemos suponer que f (a) < 0 y f (b) > 0 . Tomemos c0 =
a+b
2
el punto medio entre a y b:
Si f (c0 ) = 0 , como c = c0 ∈ (a, b) , es el punto buscado. Si f (c0 ) 6= 0 pueden darse dos casos:
? si f (c0 ) > 0 , como f (a) < 0 y f continua en [a, c0 ] , el teorema se reduce al intervalo [a, c0 ] ;
? si f (c0 ) < 0 , como f (b) > 0 y f continua en [c0 , b] , el teorema se reduce al intervalo [c0 , b] .
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63 – Matemáticas 1 : Preliminares
Anexo 1
En un caso u otro el teorema queda probado si lo hacemos en el intervalo [a1 , b1 ] ⊂ [a, b] (bien [a, c0 ] o bien
[c0 , b] ) de longitud b1 − a1 = b−a
2 , en el cual f es continua, f (a1 ) < 0 y f (b1 ) > 0 .
1
En este intervalo, tomamos su punto medio c1 = a1 +b
. Si f (c1 ) = 0 es el punto buscado; si f (c1 ) 6= 0 se
2
1
= b−a
puede, como hicimos antes, reducir el teorema al intervalo [a2 , b2 ] ⊂ [a1 , b1 ] de longitud b2 − a2 = b1 −a
2
22
en el cual f es continua, f (a2 ) < 0 y f (b2 ) > 0 .
Repitiendo sucesivamente el proceso anterior, y si ninguno de los puntos medios, cn , verifica que f (cn ) = 0 ,
entonces hemos construido una sucesión de intervalos cerrados encajados
[a, b] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ · · · ⊃ [an , bn ] ⊃ · · ·
con bn − an =
b−a
2n
,
f (an ) < 0
y
f (bn ) > 0 .
Además, los puntos an extremos inferiores verifican que
a ≤ a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an ≤ · · · ≤ b,
luego el conjunto A = {an : n ∈ N} está acotado superiormente (por b) y, por tanto, existe c = sup A ; como
a ≤ an ≤ b se cumple a ≤ c ≤ b luego c ∈ [a, b] . Por ser c = sup A, para cada ε > 0 existe an0 ∈ A con
c − ε < an0 ≤ c, y como an crece con n , para cada n ≥ n0 se tiene an0 ≤ an ≤ c. Luego
c − ε < an0 ≤ an ≤ c < c + ε,
b−a
n
n→∞ 2
Como lı́m (bn − an ) = lı́m
n→∞
∀ n ≥ n0
⇐⇒
|an − c| < ε,
∀ n ≥ n0
⇐⇒
lı́m an = c
n→∞
= 0 y lı́m an = c, entonces lı́m bn = c y, por ser f continua en [a, b] ,
n→∞
n→∞
se tiene que 0 ≥ lı́m f (an ) = f (c) = lı́m f (bn ) ≥ 0 , luego f (c) = 0 . En consecuencia, existe c ∈ [a, b] con
n→∞
n→∞
f (c) = 0 y, como f (a) < 0 y f (b) > 0 , c 6= a y c 6= b, luego c ∈ (a, b) .
Demostración de:
Corolario 86 de la página 28
Corolario 86.- Sea I un intervalo de R y f : I −→ R continua en I , entonces f (I) es también un intervalo de
R.
Demostración:
Supongamos primero que f (I) no está acotado ni superior ni inferiormente. Entonces, para cada y ∈ R , existe
algún valor mayor que él en f (I) , y < f (b) ∈ f (I) , y existe algún valor de f (I) menor que él, y > f (a) ∈ f (I) ,
luego f (a) < y < f (b) . Como a y b son del intervalo I , el intervalo [a, b] ⊆ I (o [b, a] ⊆ I ), luego por el
teorema de los valores intermedios 85 existe c entre a y b tal que f (c) = y , luego y ∈ f (I) y f (I) = R.
Supongamos ahora que f (I) no está acotado inferiormente pero sı́ superiormente, y sea Γ = sup f (I) .
Entonces, por ser extremo superior, para cada y < Γ , existe un punto f (b) ∈ f (I) tal que y < f (b) ≤ Γ y, por
no estar f (I) acotado inferiormente, existe a ∈ I , tal que f (a) < y < f (b) . Luego por el teorema 85 existe
c entre a y b tal que f (c) = y , luego y ∈ f (I) de donde (−∞, Γ) ⊆ f (I) . Pero como Γ es el superior del
conjunto, f (I) = (−∞, Γ) ó f (I) = (−∞, Γ] (según que el superior sea máximo o no lo sea).
La prueba, para los dos casos que restan, son enteramente análogas.
Demostración de:
Teorema de acotación 87 de la página 28
Teorema de acotación 87.- Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] , entonces f está acotada
en dicho intervalo. Es decir, existe M > 0 tal que |f (x)| ≤ M , para todo x ∈ [a, b] .
La prueba de este resultado se incluye en la prueba del siguiente; el Teorema de Weierstrass 88.
Demostración de:
Teorema de Weierstrass 88 de la página 28
Teorema de Weierstrass 88.- Si f es una función continua en el intervalo [a, b] , entonces f alcanza un máximo
y un mı́nimo en [a, b] . Es decir, ∃α ∈ [a, b] tal que f (α) ≤ f (x) , ∀x ∈ [a, b] y ∃β ∈ [a, b] tal que f (x) ≤ f (β) ,
∀x ∈ [a, b] .
Demostración:
La demostración de este resultado y del Teorema de acotación 87 anterior, que vamos a exponer aquı́ no son
todo lo rigurosas que serı́a de desear, por dos razones: la primera, que se hace uso del Teorema de BolzanoWeierstrass (Un conjunto infinito y acotado de R, tiene al menos un punto de acumulación) que no se incluye
en estos apuntes y, en segundo lugar, que simplificaremos del proceso (con una muy breve explicación) en aras
de entender el sentido de la prueba.
Por el Corolario 86, como J = [a, b] es un intervalo, su imagen f (J) es un intervalo de R .
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64 – Matemáticas 1 : Preliminares
Anexo 1
Veamos primero, que el intervalo f (J) está acotado. Supngamos que es un intervalo no acotado superiormente,
en cuyo caso, el conjunto {n ∈ N} ⊆ f (J) y existen puntos xn ∈ [a, b] tales que f (xn ) = n . Los puntos son
distintos, pues tienen imágenes distintas por la aplicación f y son infinitos, luego el conjunto T = {xn : n ∈
N} ⊆ [a, b] es infinito y acotado por lo que tiene al menos un punto de acumulación l (Teorema de BolzanoWeierstrass enunciado arriba). En aras de no complicar el proceso supondremos que es punto de acumulación
de todo el conjunto T , es decir, que lı́m xn = l (ser punto de acumulación, significa que nos podemos acercar
n→∞
tanto como queramos al punto l con puntos del conjunto T ; luego que l es el lı́mite de los puntos de un
subconjunto infinito de T , por lo que tiene un funcionamiento similar a si fuera todo T –en cualquier estudio
sobre sucesiones de números reales puede consultarse con más detalle esta simplificación–).
Como a ≤ xn ≤ b se tiene que a ≤ lı́m xn ≤ b, luego que l ∈ [a, b] . Entonces, por ser f continua en [a, b] ,
n→∞
lı́m f (xn ) = f lı́m xn = f (l) ∈ R; pero por su construcción, lı́m f (xn ) = lı́m n = ∞ ∈
/ R, lo que es
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
absurdo. En consecuencia, f (J) tiene que estar acotado superiormente.
Análogamente, se obtiene que f (J) está acotado inferiormente, lo que prueba el Teorema de acotación 87.
De lo anterior, f (J) es un intervalo acotado de R, luego de la forma [c, d] o [c, d) o (c, d] o (c, d) .
Veamos si d está o no en el conjunto. Por ser d = sup f (J) , para cada n ∈ N , existe xn ∈ [a, b] tal que
f (xn ) = d − n1 < d, como las imágenes de los xn son distintas, tenemos un conjunto T = {xn : n ∈ N} infinito
y acotado que tiene un punto de acumulación l . Con
un razonamiento
similar al de la parte anterior, sea
lı́m xn = l ∈ [a, b] y se verifica que lı́m f (xn ) = f lı́m xn = f (l) ∈ R por ser f continua y por otro lado,
n→∞
n→∞
lı́m f (xn ) = lı́m d −
n→∞
n→∞
1
n
n→∞
= d , luego d = f (l) y d ∈ f (J) , por lo que d = máx f (J) .
Análogamente, se prueba que c = mı́n f (J) . Lo que concluye la prueba.
Demostración de:
Corolario 89 de la página 28
Corolario 89.- Si f es continua en (a, b) y lı́m+ f (x) = l1 ∈ R y lı́m− f (x) = l2 ∈ R , la función f está acotada
x→a
x→b
(También es cierto cuando a es −∞ y cuando b es +∞ .)
en (a, b) .
Demostración:
Para que el resultado sea cierto no es necesario que exista el lı́mite en los extremos del intervalo, basta con que
la función esté acotada en algún entorno de ellos. La razón de poner el enunciado con lı́mites está en que es
una manera cómoda de asegurar la acotación y suficiente en la mayorı́a de los casos.
Si lı́m+ f (x) = l1 ∈ R y lı́m− f (x) = l2 ∈ R, por el Teorema de acotación para lı́mites 82, existe E(a, δ1 )
x→a
x→b
y M1 > 0 tal que |f (x)| ≤ M1 para todo x ∈ (a, a + δ1 ) y existe E(b, δ2 ) y M2 > 0 tal que |f (x)| ≤ M2 para
todo x ∈ (b − δ2 , b) . Entonces, (a, b) = (a, a + δ1 ) ∪ [a + δ1 , b − δ2 ] ∪ (b − δ2 , b) y al ser f continua en el intervalo
[a+δ1 , b−δ2 ] está acotada en él (Th 87), luego existe M3 > 0 , tal que |f (x)| ≤ M3 para todo x ∈ [a+δ1 , b−δ2 ] .
En consecuencia, f está acotada en cada uno de los tres trozos en que hemos dividido el intervalo, por lo que
está acotada; es decir, tomando M = máx{M1 , M2 , M3 } , para todo x ∈ (a, b) , |f (x)| ≤ M .
Si a = −∞ ó b = +∞ , la prueba es idéntica, tomando entornos de −∞ ó +∞ .
Matrices y sistemas
Demostración de:
Teorema 102 de la página 43
Teorema 102.- Si la matriz elemental Em×m resulta de efectuar cierta operación elemental sobre las filas de
Im y si Am×n es otra matriz, el producto EA es la matriz m×n que resulta de efectuar la misma operación
elemental sobre las filas de A .
Demostración:
Sean E1 la matriz elemental que tiene intercambiadas las filas i y j , E2 la matriz elemental de multiplicar la
fila i por λ 6= 0 y E3 la matriz elemental obtenida de sumar a la fila i la fila j multplicada por λ. Entonces

E
A
I
A
IA
A
EA
eEA
= FjA

ik = Fi · Ck = Fj · Ck = ejk = ejk , ∀ k =⇒ Fi

E
A
I
A
IA
A
EA
eEA
= FiA
? E = E1 :
jk = Fj · Ck = Fi · Ck = eik = eik , ∀ k =⇒ Fj


E
A
I
A
IA
A
EA
r 6= i, j eEA
= FrA
rk = Fr · Ck = Fr · Ck = erk = erk , ∀ k =⇒ Fr
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65 – Matemáticas 1 : Preliminares
(
? E = E2 :
Anexo 1
E
A
I
A
IA
A
EA
eEA
= λFiA
ik = Fi · Ck = λFi · Ck = λeik = λeik , ∀ k =⇒ Fi
r 6= i
E
A
I
A
IA
A
EA
= FrA
eEA
rk = Fr · Ck = Fr · Ck = erk = erk , ∀ k =⇒ Fr
veamos que FiEA = FiA + λFjA , pues las demás no cambian:
? E = E3 :
E
A
I
I
A
I
A
I
A
IA
IA
A
A
eEA
ik = Fi · Ck = (Fi + λFj ) · Ck = (Fi · Ck ) + (λFj · Ck ) = eik + λejk = eik + λejk , ∀ k
Demostración de:
Teorema de Rouché 109 de la página 45
Teorema de Rouché 109.- Sea el sistema AX = B , sistema de m ecuaciones con n incógnitas. Entonces
AX = B tiene solución si, y sólo si, rg(A) = rg(A|B) .
En caso de tener solución, si rg(A) = r , toda solución del sistema puede expresarse en la forma X =
V0 + t1 V1 + t2 V2 + · · · + tn−r Vn−r , siendo V0 una solución particular de AX = B y los vectores V1 , . . . , Vn−r
soluciones del sistema homogéneo asociado AX = 0 .
Demostración:
Reduciendo la matriz ampliada del sistema por operaciones elementales según el método de Gauss-Jordan,
llegamos a una matriz escalonada reducida, que en la parte correspondiente a A, tiene r unos como elementos
principales. Si reordenamos las columnas para juntar en las r primeras los elementos principales, la matriz
ampliada resultante será:


b01
1 0 · · · 0 a01r+1 · · · a01n
En forma más escueta indicando los tamaños
 0 1 · · · 0 a02r+1 · · · a02n
b02 
podemos escribirla ası́:


 .. .. . .
..
..
..
.. 

 . .
.
.
.
···
.
. 
0

Ir×r
A0r×n−r
Br×1
0

 0 0 · · · 1 a0rr+1 · · · a0rn
br 
0

0m−r×r 0m−r×n−r Bm−r×1
0

 0 0 ··· 0
b
0
·
·
·
0
r+1


 . .
.
..
..
.. 
 .. .. · · · ..
.
···
.
. 
b0m
0 0 ··· 0
0
··· 0
(Nota: Al intercambiar el orden de las columnas de la matriz A, sólo cambiamos el orden de las incognitas. Es
decir, las soluciones serán las mismas pero en otro orden.)
Obviamente el rango de la matriz de los coeficientes es r y el sistema tendrá solución si y sólo si b0r+1 =
= · · · = b0m = 0 , es decir si el rango de la ampliada también es r .
En este caso, (asumiendo una posible reordenación de las incógnitas) el sistema resultante es:

x1 = b01 − xr+1 a01r+1 − xr+2 a01r+2 − · · · − xn a01n



 x2 = b02 − xr+1 a02r+1 − xr+2 a02r+2 − · · · − xn a02n
..

.



xr = b0r − xr+1 a0rr+1 − xr+2 a0rr+2 − · · · − xn a0rn
b0r+2
y la solución, usando parámetros:

x1 = b01 − t1 a01r+1 − t2 a01r+2 − · · · − tn−r a01n




x2 = b02 − t1 a02r+1 − t2 a02r+2 − · · · − tn−r a02n




..


.

xr = b0r − t1 a0rr+1 − t2 a0rr+2 − · · · − tn−r a0rn


 xr+1 = t1



..



.


xn = tn−r
  0
b1
x1
 ..   ..
 .   .

 
 xr   b0r
 

 xr+1  =  0

 
 .   .
 ..   ..

xn
Prof: José Antonio Abia Vian
0
−a01r+1


..


.



 −a0rr+1
+t1 


1




..


.


0
que también podemos escribir en forma matricial teniendo en cuenta que
xr+i = 0 + t1 · 0 + · · · + ti · 1 + · · · + tn−r · 0
−a01n

 ..

 .


0


+· · ·+tn−r  −arn

 0



 .

 ..












y llamando Vi a las matrices columna, podemos escribir
X = V0 + t1 V1 + · · ·+ tn−r Vn−r
como enunciábamos.
1
Grados de Ing. Industrial : Curso 2012–2013
66 – Matemáticas 1 : Preliminares
Anexo 1
Fijándonos en las soluciones se observa que haciendo t1 = · · · = tn−r = 0 , V0 es una solución de AX = B .
Si consideramos el sistema homogéneo asociado AX = 0 , ha de ser V0 = 0 y como solución genérica
obtendremos X = t1 V1 + · · · + tn−r Vn−r . Luego haciendo ti = 1 y tk = 0 , para k 6= i , vemos que X = Vi es
solución del sistema homogéneo AX = 0 .
Determinantes
Demostración de:
Teorema 125 de la página 51
Teorema 125.- Sea An×n una matriz. Se tiene:
a) que si A0 es la matriz que resulta de multiplicar una fila de A por una constante λ 6= 0 , entonces
det(A0 ) = λ det(A) .
b) que si A0 es la matriz que resulta de intercambiar dos filas de A, entonces det(A0 ) = − det(A) .
c) que si A0 es la matriz que resulta de sumar a una fila k un múltiplo de la fila i, entonces det(A0 ) = det(A) .
Demostración:
a) det(A0 ) =
X
X
(−1)N a1j1 · · · λaiji · · · anjn = λ (−1)N a1j1 · · · aiji · · · anjn = λ det(A)
b) Previamente necesitamos el siguiente resultado:
Lema.- Si en el conjunto {j1 , . . . , jn } intercambiamos dos elementos el número de inversiones
de signo cambia de paridad (de par a impar, o viceversa).
Demostración:
Si intercambiamos los elementos consecutivos ji y ji+1 cambia la paridad, pues si antes era
ji < ji+1 ahora es ji+1 > ji , produciéndose una inversión donde antes no la habı́a, y si era
ji > ji+1 ahora ji+1 < ji , con lo que se elimina una inversión que antes habı́a. Como con el
resto de los elementos no se producen modificaciones, si tenı́amos N inversiones ahora tendremos
N + 1 ó N − 1 , luego se cambia de paridad.
Si intercambiamos los elementos ji y jk no consecutivos, podemos hacerlo repitiendo el proceso
comentado arriba, yendo paso a paso intercambiando términos consecutivos. Hacemos por lo
tanto k − i intercambios consecutivos para llevar el elemento ji a la posición k y haremos
k − i − 1 intercambios para llevar jk (que ahora está en la posición k − 1 ) a la posición i . Luego
hay 2(k − i) − 1 , un número impar, de cambios de paridad y, por tanto, cambia la paridad al
intercambiar dos elementos cualesquiera.
Con este resultado, para probar b) basta observar que los productos elementales que aparecen en el
det(A0 ) son los mismos que aparecen en el det(A) , aunque intercambiadas las posiciones de los elementos de las filas en cuestión, es decir, los productos elementales a1j1 · · · akjk · · · aiji · · · anjn de A0 y
a1j1 · · · aiji · · · akjk · · · anjn de A son iguales. Pero como los ı́ndices ji y jk aparecen intercambiando las
posiciones en el desarrollo de los determinantes, tendrán signos contrarios, luego det(A0 ) = − det(A) .
Corolario.- Una matriz con dos filas iguales tiene determinante cero.
Demostración:
Sea B una matriz cuadrada que tiene la fila i y la fila k iguales, entonces por la parte b)
anterior, si intercambiamos las filas i y k que son iguales se obtiene que det(B) = − det(B) es
decir que det(B) = 0 .
X
(−1)N a1j1 · · · aiji · · · (akjk + kaijk ) · · · anjn
X
=
(−1)N a1j1 · · · aiji · · · akjk · · · anjn +
(−1)N a1j1 · · · aiji · · · kaijk · · · anjn
X
= det(A) + k
(−1)N a1j1 · · · aiji · · · aijk · · · anjn .
Como este último sumatorio, que es el determinante de una matriz que tiene la fila i y la fila k iguales,
vale 0, se tiene que det(A0 ) = det(A) .
c) det(A0 ) =
X
Prof: José Antonio Abia Vian
Grados de Ing. Industrial : Curso 2012–2013
67 – Matemáticas 1 : Preliminares
Demostración de:
Anexo 1
Teorema 128 de la página 51
Teorema 128.- Si A y B son matrices cuadradas de orden n , entonces
det(AB) = det(A) · det(B).
Demostración:
La demostración se hace en tres pasos. Primero el caso particular en que A sea una matriz elemental y luego
los casos generales, que A sea una matriz inversible o que no lo sea.
1. Si A es una matriz elemental, por el teorema 125 y corolario 127 anteriores, se tiene que:
a) det(AB) = k det(B) = det(A) det(B)
b) det(AB) = − det(B) = (−1) det(B) = det(A) det(B)
c) det(AB) = det(B) = 1 det(B) = det(A) det(B)
según el tipo de matriz elemental que sea A .
2. Si A es inversible es producto de matrices elementales (teorema 116) y por la parte 1,
det(AB) = det(Ek Ek−1 · · · E1 B) = det(Ek ) det(Ek−1 · · · E1 B) = · · ·
= det(Ek ) · · · det(E2 ) det(E1 ) det(B) = det(Ek ) · · · det(E2 E1 ) det(B) = · · ·
= det(Ek · · · E1 ) det(B) = det(A) det(B).
3. Si A no es inversible, la matriz escalonada reducida, R , obtenida de Ek · · · E1 A = R no es la identidad, luego
A = E1−1 · · · Ek−1 R = E −1 R donde E −1 es inversible (producto de inversibles) y R tiene al menos una fila
de ceros. Luego det(AB) = det(E −1 RB) = det(E −1 ) det(RB) y det(A) det(B) = det(E −1 R) det(B) =
det(E −1 ) det(R) det(B) . Como R tiene al menos una fila de ceros, RB tiene al menos una fila de ceros
y det(R) = 0 = det(RB) . Luego:
det(AB) = det(E −1 ) det(RB) = 0 = det(E −1 ) det(R) det(B) = det(A) det(B) .
Demostración de:
Teorema 131 de la página 51
Teorema 131.- Si A es una matriz cuadrada, entonces |At | = |A| .
Demostración:
Es claro que los productos elementales que aparecen en ambos determinantes son los mismos, luego basta probar
que además tienen el mismo signo.
Si en la matriz A hacemos cero todos los elementos excepto los que intervienen en un producto elemental
dado, obtenemos una matriz B cuyo determinante es precisamente ese producto elemental con signo, es decir
det(B) = (−1)N a1j1 · · · anjn ; si en At hacemos cero los elementos que no intervienen en ese mismo producto
0
elemental se obtiene precisamente B t , y det(B t ) = (−1)N a1j1 · · · anjn . Entonces,


0
0 a3j3 · · · 0

..
..
..  2
  ..


0 · · · 0 0
·
·
·
0
·
·
·
a
·
·
·
0
.
.
.
·
·
·
.
1j1

 a1j1 20
 0 · · · 0 · · · 0 · · · a2j2   0
0
0 · · · anjn 


 0 a2j2 20 · · · 0  a3j3 · · · 0 · · · 0 · · · 0   ..

.
.
.
t
0
0
a
·
·
·
0
3j3
..
.. · · · ..  = |BB | = 

 ..
 .
..
..
..
..
..
..   .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
 .



. . .
.
.
.
.
.
0 · · · 0  .
.
.
 a1j1 0
 .
..
..
.  0
0 · · · anjn · · · 0 · · · 0
0
0 · · · a2njn  ..
.
. · · · .. 
0 a2j
0 ··· 0
2
= a21j1 a22j2 a23j3
· · · a2njn
≥ 0,
y, por tanto, det(B) det(B t ) = det(BB t ) ≥ 0 y ambos factores tienen el mismo signo.
Demostración de:
Prof: José Antonio Abia Vian
Teorema 133 de la página 52
Grados de Ing. Industrial : Curso 2012–2013
68 – Matemáticas 1 : Preliminares
Anexo 1
Teorema 133.- El determinante de una matriz A se puede calcular multiplicando los elementos de una fila (o
de una columna) por sus cofactores correspondientes y sumando todos los productos resultantes; es decir, para
cada 1 ≤ i ≤ n y para cada 1 ≤ j ≤ n :
det(A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + · · · + ain Cin y det(A) = a1j C1j + a2j C2j + · · · + anj Cnj
Demostración:
Sopongamos que desarrollamos por la fila 1 . Si en det(A) agrupamos los términos que involucran a cada a1k ,
tenemos que
X
X
|A| =
(−1)N a11 a2j2 · · · anjn + · · · +
(−1)N a1n a2j2 · · · anjn
(1,j2 ,...,jn )
n
X
=
(n,j2 ,...,jn )


X
(−1)N a1k a2j2 · · · anjn  =

k=1
n
X

a1k 
k=1
(k,j2 ,...,jn )
Por otra parte como C1k = (−1)1+k M1k = (−1)1+k
X

X
(−1)N a2j2 · · · anjn 
(k,j2 ,...,jn )
(−1)Nk a2j2 · · · anjn , basta comprobar que este valor
(j2 ,...,jn )
ji 6=k
coincide con el que aparece entre paréntesis en el sumatorio anterior.
Para cada k , en el conjunto {k, j2 , . . . , jn } aparecen k − 1 inversiones más que en {j2 , . . . , jn } , pues están
todas aquellas que se producen entre los ji más las que se produzcan con el primer elemento k . En efecto, como
en el conjunto {j2 , . . . , jn } aparecen los valores 1 , 2 , . . . , k − 1 , y se tiene que k > 1 , k > 2 , . . . , k > k − 1 ,
aparecen exactamente k − 1 inversiones más. Es decir, (−1)N = (−1)k−1 (−1)Nk , luego




n
n
X
X
X
X
a1k 
(−1)k−1 (−1)Nk a2j2 · · · anjn 
|A| =
a1k 
(−1)N a2j2 · · · anjn  =
k=1
=
n
X
=


a1k (−1)k−1 
k=1
n
X
k=1
(k,j2 ,...,jn )
X
(−1)Nk a2j2 · · · anjn  =
a1k (−1)k+1 M1k =
n
X
a1k (−1)k−1 M1k
k=1
(j2 ,...,jn )
n
X
(j2 ,...,jn )
a1k C1k
k=1
k=1
Para desarrollar por una fila k cualquiera, basta llevar ésta a la fila 1 y aplicar lo anterior. En efecto, si vamos
intercambiando la fila k con cada una de las anteriores, obtenemos una matriz A0 que tiene por fila 1 la fila k
de A, por fila 2 la fila 1 de A, . . . , por fila k la fila k − 1 de A, y las demás igual. Luego hemos hecho k − 1
cambios de fila y, por tanto, |A| = (−1)k−1 |A0 | . Si desarrollamos det(A0 ) por la primera fila, tenemos que
|A| = (−1)k−1 |A0 | = (−1)k−1
n
X
0
a01j (−1)1+j M1j
= (−1)k−1
j=1
=
n
X
akj (−1)k−1 (−1)1+j Mkj =
j=1
n
X
akj (−1)k+j Mkj =
j=1
n
X
akj (−1)1+j Mkj
j=1
n
X
akj Ckj .
j=1
Para el desarrollo por columnas basta recordar que |A| = |At | .
Demostración de:
Regla de Cramer 137 de la página 53
Regla de Cramer 137.- Sea AX = B , un sistema
entonces el sistema tiene como única solución:
b1 a12 · · · a1n a11
b2 a22 · · · a2n a21
..
..
.. . .
.. .
.
.
.
.
bn an2 · · · ann an1
x1 =
, x2 =
|A|
Prof: José Antonio Abia Vian
de n ecuaciones con n incógnitas, tal que A es inversible,
b1 · · · a1n b2 · · · a2n .. . .
. . .. .
bn · · · ann , . . . , xn =
|A|
a11 a12 · · ·
a21 a22 · · ·
..
.. . .
.
.
.
an1 an2 · · ·
|A|
bn b1
b2
..
.
.
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69 – Matemáticas 1 : Preliminares
Demostración:
Si A es inversible la solución única es

C11 C21 · · ·

Adj(A)
1  C12 C22 · · ·
B=
 .
..
..
|A|
|A|  ..
.
.
a1n a2n · · ·
luego cada xj =
Anexo 1
Cn1
Cn2
..
.
ann
X = A−1 B =



b1
b1 C11 + b2 C21 + · · · + bn Cn1
  b2 
1 


 b1 C12 + b2 C22 + · · · + bn Cn2
  ..  =
············
  .  |A| 
b
C
+
b2 C2n + · · · + bn Cnn
1
1n
bn




b1 C1j + b2 C2j + · · · + bn Cnj
, como querı́amos probar.
|A|
Demostración de:
Orlado de menores 141 de la página 54
Orlado de menores 141.- Sea Am×n una matriz, y Mr×r una submatriz de A con determinante distinto de
cero. Entonces, si el determinante de todas las submatrices de orden r + 1 que se pueden conseguir en A
añadiendo una fila y una columna a M son cero, el rango de A es r .
Demostración:
Supongamos, por simplicidad en la notación, que
Consideremos la matriz

a11
···
a1r

..
..
.
.

.
.
.

 ar1
···
arr
ar+11 · · · ar+1r
M es el menor formado por las primeras r filas y columnas.
a1r+1
..
.
a1r+2
..
.
···
..
.
a1n
..
.
arr+1
ar+1r+1
arr+2
ar+1r+2
···
···
arn
ar+1n





donde las lı́neas verticales significan respectivamente M y este menor ampliado a la fila r + 1 y a cada una de
las demás columnas de A. Si hacemos operaciones elementales en las filas, obtenemos
 0

a11 · · · a01r a01r+1
a01r+2 · · · a01n
 .. . .
.
..
..
..
.. 
 .
. ..
.
.
.
. 


0
0
 0 · · · a0rr a0rr+1
arr+2 · · · arn 
0 · · · 0 a0r+1r+1 a0r+1r+2 · · · a0r+1n
y los menores que tenemos ahora son o no cero según lo fueran o no antes. Como M es distinto de cero ha de
ser a011 a022 · · · a0rr 6= 0 y como cada uno de los menores ampliados son cero han de ser a011 a022 · · · a0rr a0r+1r+1 = 0 ,
a011 a022 · · · a0rr a0r+1r+2 = 0 , . . . , a011 a022 · · · a0rr a0r+1n = 0 . Luego, a0r+1r+1 = a0r+1r+2 = · · · = a0r+1n = 0 y la
matriz escalonada queda

 0
a11 · · · a01r a01r+1 a01r+2 · · · a01n
 ..
..
..
..
..
.. 
..
 .
.
.
.
.
.
. 

.
 0 · · · a0rr a0rr+1 a0rr+2 · · · a0rn 
0 ··· 0
0
0
··· 0
Haciendo el mismo proceso para las filas r + 2 hasta m, tenemos que una forma escalonada de A serı́a
 0

a11 · · · a01r a01r+1 a01r+2 · · · a01n
 ..
..
..
..
..
.. 
..
 .
.
.
.
.
.
. 


 0 · · · a0rr a0rr+1 a0rr+2 · · · a0rn 


 0 ··· 0
0
0
··· 0 


 .
..
..
..
..
..
.. 
 ..
.
.
.
.
.
. 
0 ··· 0
0
0
··· 0
y el rango de A es por tanto r .
Prof: José Antonio Abia Vian
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