IES El Cabanyal 2n batxillerat Física 14/10/2015

IES El Cabanyal 2n batxillerat Física
14/10/2015 UNIDAD 1 (bloque II de las pruebas de acceso) Vibraciones y ondas
Las cuestiones se valoran sobre 1,5 puntos y los problemas sobre 2 puntos.
Parte correspondiente al período de clase 60 min
CUESTIONES
1. Una masa de 40 g está unida a un muelle colocado horizontalmente de constante
recuperadora 2 N/m. Se desplaza 10 cm y se suelta. Determina la energía cinética y la energía
mecánica cuando esté a 5 cm del punto de equilibrio.
PROBLEMAS
1. Una onda de frecuencia 40 Hz se propaga a lo largo del eje X en el sentido de las x crecientes.
En un cierto instante temporal, la diferencia de fase entre dos puntos separados entre sí 5 cm es
π/6 rad.
1) ¿Qué valor tiene la longitud de onda? ¿Cuál es la velocidad de propagación de la onda? (1,4
puntos).
2) Escribe la función de onda sabiendo que la amplitud es 2 mm (0,6 puntos).
2. Dos fuentes armónicas transversales están situadas en las posiciones x = 0 m y x = 2 m. Las
dos fuentes generan ondas que se propagan a velocidad de 8 m/s a lo largo del eje OX con
amplitud 1 cm y frecuencia 0,5 Hz. La fuente situada en x = 2 m emite con una diferencia de fase
de +π/4 rad con respecto a la situada en x = 0.
a) Escribe la ecuación de ondas resultante de la acción de estas dos fuentes. (1 punto)
b) Suponiendo que sólo se tiene la fuente situada en x = 0 m, calcula la posición de al menos
un punto en el que el desplazamiento transversal sea y = 0 m, en el instante t = 2 s. (1
punto)
IES El Cabanyal 2n batxillerat Física
14/10/2015 UNIDAD 1 (bloque II de las pruebas de acceso) Vibraciones y ondas
Las cuestiones se valoran sobre 1,5 puntos y los problemas sobre 2 puntos.
Parte correspondiente al período de recreo 30 min
CUESTIONES
2. Una partícula realiza un movimiento armónico simple (MAS) y tiene una aceleración dada por
ax = - 4π2.x. Determina la ecuación del MAS, suponiendo que en el instante inicial se
encuentra en el punto de equilibrio con velocidad positiva de 0,8π m/s.
3. Explica en qué consiste el fenómeno de absorción de una onda y deduce el valor de la
constante de absorción en función del valor del espesor de semiabsorción.
4. ¿Qué son las ondas estacionarias? Explica en qué consiste este fenómeno, menciona sus
características más destacables y escribe un ejemplo en el que se muestren dichas
características.
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IES El Cabanyal 2n batxillerat Física
14/10/2015 UNIDAD 1 (bloque II de las pruebas de acceso) Vibraciones y ondas
CUESTIONES
1. Una masa de 40 g está unida a un muelle colocado horizontalmente de constante recuperadora
2 N/m. Se desplaza 10 cm y se suelta. Determina la energía cinética y la energía mecánica
cuando esté a 5 cm del punto de equilibrio.
Respuesta
La energía mecánica en un MAS es constante, por lo que tiene el mismo valor en el extremo que
en el punto de equilibrio o en cualquier otro punto.
Em = Ec + Ep = ½ KA 2 = ½ 2.0,1 2 = 0,01 J
En un punto x = 0,05 m, la energía potencial es Ep = ½ Kx 2 = ½ 2.0,05 2 = 0,0025 J. La energía
cinética es Ec = Em – Ep = 0,01 - 0,0025 = 0,0075 J
2. Una partícula realiza un movimiento armónico simple (MAS) y tiene una aceleración dada por
ax = - 4π2.x. Determina la ecuación del MAS, suponiendo que en el instante inicial se encuentra
en el punto de equilibrio con velocidad positiva de 0,8π m/s.
Respuesta
La aceleración en un MAS es ax = dvx/dt = -Aω2.cos (ωt +φo)= - ω2x; si ax = - 4π2 x, entonces,
ω = 2π rad/s. La velocidad es vx =- Aω2.sen (ωt +φo) ⇒ vmax = Aω, o sea, la amplitud es,
A = vmax/ω = 0,8π/2π = 0,4 m
La elongación es x = A cos (ωt +φo), esto es,
x = 0,4 sen(2πt +φo), pero en t = 0 está en x = 0, con velocidad positiva ⇒ φo = 0
La ecuación del MAS es x = 0,4 sen(2πt).
3. Explica en qué consiste el fenómeno de absorción de una onda y deduce el valor de la
constante de absorción en función del valor del espesor de semiabsorción.
Respuesta
Según la ley de absorción, la intensidad de la onda (energía en la unidad de tiempo por unidad de
superficie), I, después de atravesar cierto espesor ∆x de una sustancia que absorbe parte de la
energía de una onda, depende de la intensidad con que llega Io y del espesor, según la ley de
Beer, es la función exponencial I = Io e-β∆x, donde β es el coeficiente de absorción. Cuando la
intensidad de la onda se reduce a la mitad (en tal caso I = Io/2), el espesor que atraviesa se llama
espesor de semiabsorción ∆x1/2. Si se aplica la ecuación en estas condiciones se obtiene:
Io/2 = Io .e-β.∆x1/2,
Tomando logaritmos neperianos queda: Ln ½ = β.∆x1/2 = 0,693, ⇒ β = 0,693/∆x1/2
4. ¿Qué son las ondas estacionarias? Explica en qué consiste este fenómeno, menciona sus
características más destacables y escribe un ejemplo en el que se muestren dichas características
Respuesta
Se trata de una interferencia entre una onda que viaja en sentido positivo y otra onda idéntica,
pero desfasada π radianes y que viaja en sentido opuesto, de ecuaciones y1 = A sen (wt – kx),
y2 = - A sen (wt + kx), respectivamente. El resultado de la interferencia es un movimiento
ondulatorio “confinado” en cierto espacio que “no viaja”, donde los puntos del medio vibran con un
MAS cuya amplitud depende de la posición de la partícula en el espacio de la interferencia. La
ecuación de una onda estacionaria confinada entre los extremos fijos, en una dimensión, es:
y(x,t) = 2.A.sen kx. cos(ωt). Esta ecuación no es la de una onda “viajera”, porque es la ecuación
de un movimiento armónico simple (“y” depende del instante t), donde A es la amplitud de las
ondas que interfieren. El valor de la amplitud del movimiento resultante depende de la distancia x
del punto considerado, es 2.A.sen kx depende de la posición x de las partículas.
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En los extremos x = 0 y x = L, el valor del seno es nulo (si la onda está confinada entre dos
puntos), y se trata de puntos que no vibran, se llaman nodos. En el caso de x = L/2 (x = λ/4) el
valor del seno es máximo y habrá un antinodo o vientre (punto de máxima amplitud).
Como ejemplo se pueden proponer las ondas estacionarias
Antinodo
producidas en una cuerda tensa sujeta por ambos extremos
(por ejemplo, la de una guitarra o cualquier instrumento
musical de cuerda), en la que, al pulsarla, la onda avanza
Nodos
hasta el extremo, donde se refleja, viajando en sentido
contrario, con lo que se producen ondas estacionarias, donde la distancia entre dos nodos es,
precisamente la longitud de la cuerda. Si se hace vibrar la cuerda con un diapasón de frecuencia
n veces la frecuencia fundamental, los extremos serán siempre nodos, mientras que aparecerán n
antinodos o vientres, como se muestra en la figura.
Antinodos o vientres
Nodos
Otro ejemplo, en tubos sonoros se produce una onda
estacionaria, en la que el antinodo está situado en el
extremo abierto del tubo.
PROBLEMAS
P1. Una onda de frecuencia 40 Hz se propaga a lo largo del eje X en el sentido de las x
crecientes. En un cierto instante temporal, la diferencia de fase entre dos puntos separados entre
sí 5 cm es π/6 rad.
1) ¿Qué valor tiene la longitud de onda? ¿Cuál es la velocidad de propagación de la onda? (1,4
puntos).
2) Escribe la función de onda sabiendo que la amplitud es 2 mm (0,6 puntos).
Respuesta
1) El desfase espacial está relacionado con la distancia ∆x entre dos puntos y el número de ondas
k mediante, δ = ∆x.k (1) y la longitud de onda está relacionada con el número de ondas λ = 2π/k
(2), de aquí que λ = 2π.∆x/δ (3) λ = 2π.0,05.6/π = 0,6 m.
La velocidad de propagación es la distancia recorrida por la onda en la unidad de tiempo, esto es,
el cociente entre la longitud de onda y el período T (que es la inversa del la frecuencia ν), o sea, v
= λ/T = λ.ν = 0,6.40 = 24 m/s.
2) La ecuación general de una onda unidimensional que se propaga en el sentido positivo del eje
X viene dada por y(x,t) = A.cos(ωt – kx + φo (3), donde A es la amplitud, ω la frecuencia angular o
pulsación, k el número de ondas y φo la fase inicial (valor de la función en el instante inicial en el
origen de coordenadas).
La frecuencia ν está relacionada con la frecuencia angular, ω = 2π.ν = 80π rad/s. De la ecuación
(2) k = 2π/λ = 2π/0,6 = 10π/3 m-1.
Dado que la fase inicial es arbitraria, si se toma φo = 0, la ecuación de ondas queda,
y(x,t) = 2.10-3.sen(80π t – 10π/3 x) (SI).
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P2. Dos fuentes armónicas transversales están situadas en las posiciones x = 0 m y x = 2 m. Las
dos fuentes generan ondas que se propagan a velocidad de 8 m/s a lo largo del eje OX con
amplitud 1 cm y frecuencia 0,5 Hz. La fuente situada en x = 2 m emite con una diferencia de fase
de +π/4 rad con respecto a la situada en x = 0.
a) Escribe la ecuación de ondas resultante de la acción de estas dos fuentes. (1 punto)
b) Suponiendo que sólo se tiene la fuente situada en x = 0 m, calcula la posición de al menos
un punto en el que el desplazamiento transversal sea y = 0 m, en el instante t = 2 s. (1
punto)
Respuesta
a) Se pide la ecuación de la onda resultante de la interferencia de dos ondas iguales,
desfasadas δ = π/4. Es decir, se pide la ecuación suma de las correspondientes a cada una
de ellas.
La ecuación de la onda generada por las fuentes situadas en x = 0 y en x = 2m, son,
respectivamente,
y1(x,t) = A.sen(ωt – kx)
(1)
y2(x,t) = A.sen(ωt – kx + π/4)
(2)
La suma, teniendo en cuenta que sen a + sen b = 2.cos (a+b)/2.sen (a-b)/2, es
Y(x,t) = y1(x,t) +y2(x,t) = 2A.cos δ/2sen(ωt – kx + π/8) (3)
Ecuaciones en las que A es la amplitud (A = 0,01 m), ω la frecuencia angular, la cual
está relacionada con la frecuencia, ν, mediante ω = 2π.ν, ⇒ ω = π rad/s; k es el número de
ondas, relacionado con la longitud de onda λ, mediante k = 2π/λ.
La longitud de onda y la frecuencia están relacionadas con la velocidad de propagación
mediante λ = v/ν = 8/0,5 = 16 m. Por consiguiente, el número de ondas es k = π/8 rad/m.
La ecuación de la onda resultante es, sustituyendo los valores en la ecuación (3) es,
Y(x,t) = 0,02 cos π/8.sen(π.t – πx/8 + π/8) (4)
La ecuación (4) corresponde a una onda armónica de la misma frecuencia y número de
ondas que las que interfieren, pero está adelantada en fase en δ/2 respecto de una de ellas
y retrasada en fase δ/2 respecto de la
y
otra. Su amplitud es AT = 2.A.cos δ/2, la
Y
cual depende del desfase de las ondas
y1
que interfieren, de modo que si el
32 m X
desfase es δ = π/4 rad, las ondas están
y2
2m
en contrafase, ⇒ cos δ/2 = 0,924 y se
produce
interferencia
parcialmente
Figura. Interferencia parcialmente constructiva
constructiva AT = 1,85.A. En la figura se
han representado las ondas que interfieren, con 0 < δ < π/2 y la onda resultante.
b) Se pide calcular el punto x en el cual en t = 2 s el valor y1 = 0. La ecuación de ondas de la
primera fuente y1(x,t) = 0,01.sen(π.t – πx/8), en el instante t = 2 s, y1 = 0, o sea,
0 = sen (π.2 – πx/8) ⇒ 2π – πx/8 = 0 + n.2π (siendo n un número natural). Para n = 0, se
tiene x = 16 m.
El resultado es coherente con lo que se esperaba, dado que corresponde a una distancia
de una longitud de onda, en un instante t = 2s en el origen y = 0. Por consiguiente, en
todos los puntos con x = nλ, se tendrá y = 0 en ese instante.
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