Matemática GUINV005M2-A16V1 Guía: Las fracciones también tienen letras Matemática - Segundo Medio Sección 1 Objetivo Me concentro • Relacionar las operaciones de fracciones con las operaciones de fracciones algebraicas. • Resolver problemas que involucren fracciones algebraicas. Lee detenidamente el enunciado, luego responde cada una de las preguntas. En una fracción tanto el numerador como el denominador toman valores numéricos enteros, los cuales pueden ser iguales o diferentes entre sí. El cero es un valor numérico que generalmente dificulta la comprensión del valor del cociente en una fracción. Observa los siguientes ejemplos: 8 5 0 33 15 7 12 0 58 58 ¿Cuál de las fracciones representa al cero? Ordena de mayor a menor los números fraccionarios del ejemplo. ¿Cómo se transforma un número fraccionario a decimal? Amplificando. Simplificando. Dividiendo numerador por denominador. Dividiendo denominador por numerador. 15 Plantea una situación problemática con la fracción 7 ¿Existe una situación que se pueda plantear usando la fracción 2 Cpech - Nivelación 12 ? ¿Cuál? Justifica. 0 Las fracciones también tienen letras Sección 2 Desarrollo iento mi conocim Ejercitando En una carrera de relevos 4x100 m es importante tanto la coordinación del equipo, como la rapidez de cada participante. En un entrenamiento del equipo chileno, se registraron los siguientes tiempos: Distancia Tiempo 100 m t segundos Corredor del segundo tramo 100 m t – 2 segundos Corredor del tercer tramo 100 m t + 1 segundos Corredor del cuarto tramo 100 m t – 3 segundos Corredor del primer tramo La rapidez es el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo empleado, entonces, ¿cuál es la expresión que representa la rapidez lograda por cada corredor? Rapidez Corredor del primer tramo Corredor del segundo tramo Corredor del tercer tramo Corredor del cuarto tramo ¿Cuál es el corredor que demoró menos?________________________________________________________________ Ten presente... x , con y y cociente corresponde al resultado de la división x : y. Un número fraccionario se expresa de la forma 0. El Una Fracción algebraica es aquella fracción en que al menos el denominador es una expresión algebraica. Ejemplos: 2 , 3 x , a2 + 4a a+4 2x a 1 • Recuerda Que x NO correspon de a una fracción 4 algebraica, ya que es equivalente a 0,25x y este es un tér mino algebraico con coeficiente fracc ionario. Cpech - Nivelación 3 Matemática - Segundo Medio Ejercitando x 1. Calcula las fracciones que se generan de 2x + 1 cuando x = 0, 1, 2, 3, 4 2. Determina las restricciones de las siguientes fracciones algebraicas. Observa el ejemplo. nes que s o condicio e n io c a it Lim situación n en una e c u d ro p se da. determina Ejemplo: a) x x x 5 5=0 x=5 Así, b) x x 5 3 restricción de esta fracción existe para todo valor de x, menos cuando este es 5 (x x 2x 5). ¿Cómo interpretas la expresión del paréntesis? x debe ser mayor a 5. x debe ser distinto a 5. x debe ser 5. c) a+4 2 d) x2 9 x+3 e) 4 x _____ x2 25 Estrategias de resolucion Restricciones de una fracción: 1. Se identifica el denominador de la fracción, y se iguala a 0. 2. Se plantea una ecuación. 3. Una vez resuelta, la(s) solución(es) de la ecuación representa(n) el(los) valor(es) que NO puede tomar la fracción. ¿Cómo una fracción quedaría indeterminada? Dejando el numerador y denominador iguales. Convirtiendo el numerador en 0. Dejando el denominador con un número distinto a 0. Convirtiendo el denominador en 0. 4 Cpech - Nivelación Las fracciones también tienen letras Ten presente... AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Cuando se amplifica una fracción algebraica, se multiplica el numerador y denominador por términos numéricos y/o algebraicos, por ejemplo: 7 4 28 7 ____ ____ ____ = · = 8p 4 2p 1 2p 1 4 o bien 7 7 (p + 1) _______________ 7p + 7 ____ ____ 2p 1 = 2p 1 · (p + 1) = 2p2 + 2p p 1 Para simplificar una fracción algebraica, primero debes factorizar cada expresión y luego, anular cada factor común que encuentres en el numerador y denominador a la vez. 12x 4 8x + 16 = 4 · (3x 1) 1 · (3x 1) = 8 · (x + 2) 2 · (x + 2) 1 · (x 5) 1 x 5 = = ____ 2 (x + 5)(x 5) x + 5 x 25 Ejercitando 1. Pedro determinó que la expresión 2 x____ 9 NO es una fracción algebraica, ya que dice es equivalente a x x+3 3. ¿Qué procedimiento realizó Pedro? ¿Qué concepto previo deberás utilizar? Lo que dice Pedro es verdad siempre y cuando x sea distinta de 3, ¿por qué? Términos semejantes. Productos notables. Suma de expresiones algebraicas. Potencias. 2. Determina la fracción algebraica irreductible en cada uno de los siguientes casos. 2 x 6x + 8 a) __________ 4x b) 3m _____n n 3m 16 El binomio (x expresión: 1), es equivalente con la (x + 1) x+1 (1 x) (1+ x) Cpech - Nivelación 5 Matemática - Segundo Medio Ten presente... Para multiplicar fracciones algebraicas, primero se factorizan los numeradores y denominadores en ambas fracciones; luego se simplifican por los factores comunes numéricos y/o algebraicos que existan y, finalmente, se multiplican los términos restantes. 2a 2b 4 · a2 + 2ab + b2 2(a b) (a +b) (a +b) (a b) (a + b) (a + b) = · (a b)(a + b) = 2 · (a b) = a2 b2 2 2·2 Factorizar Simplificar Ejercitando 3a + 6 a2 16 Si los lados de un rectángulo se expresan por ______ cm y ______ cm, ¿cuál es el área de la figura? a 4 a+2 Ten presente... Para dividir fracciones algebraicas, es necesario convertirlas a una multiplicación de fracciones. Para esto la primera fracción se multiplica por el inverso multiplicativo del divisor. Luego se factorizan ambas fracciones y se simplifican por los factores comunes numéricos y/o algebraicos que existan, y finalmente, se multiplican los términos restantes. s2 s 2 1 2s + 1 : s2 + 2s + 1 s 1 s2 1 s 1 (s 1)(s + 1) = s2 2s + 1 · (s + 1)(s + 1) = (s 1)(s 1) · 1 · (s 1) (s + 1)(s + 1) 1 = s+1 Ejercitando Simplifica al máximo la siguiente división de fracciones algebraicas. x2 + 2x 80 __________ x2 4x 32 __________ : = x2 36 x2 + 10x + 24 ¿Qué interpretas por inverso multiplicativo de una fracción? La misma fracción con distinto signo. x y La fracción invertida, es decir, __ => __ y La fracción que representa al cero. 6 Cpech - Nivelación x Las fracciones también tienen letras Sección 3 Resuelvo problemas Resuelve las siguientes situaciones problemáticas, marcando la opción correcta. Cada pregunta tiene especificado el nivel de complejidad. 1. 2. 3. 3x La expresión algebraica _____ permite formar fracciones, reemplazando en la variable números x 6 enteros positivos hasta el 4, ¿qué fracción de las siguientes NO es posible formar? A. __3 2 B. __3 5 C. __3 1 D. __3 4 Menor complejidad c+5 De la fracción algebraica _____ , ¿cuál es el valor restricción que tiene? 3 2c A. c B. c C. c D. c –5 2 3 0 3 2 b) , con b _____ Al simplificar la expresión (3 (b 3) A. 3 B. 1 C. 0 D. 1 Menor complejidad 3, se obtiene: Mayor complejidad Cpech - Nivelación 7 Matemática - Segundo Medio 4. x2 16 Al simplificar la fracción ______ , con x 4x 16 A. B. 5. 6. 4, resulta: x+4 ____ 4 x __ 4 C. x+1 D. x 4 ____ 4 Un automóvil recorre una distancia de (x2 6x + 8) metros en (x 4) segundos, considerando x > 4. ¿Qué expresión representa la rapidez con la que viaja el automóvil? A. ( 5x) m/s B. (x 2) m/s C. (x 6) m/s D. (x 4) m/s A. 1 B. x 2 _____ 2 x +4 _____ 4x + 24 C. D. 8 Mayor complejidad Simplifica la expresión resultante de: 2 x x2 + 3x 10 _____ __________ : = 2 x + 9x + 20 x + 4 7. Menor complejidad Mayor complejidad 1 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones corresponde a una característica propia de las fracciones algebraicas? A. Se puede simplificar por términos numéricos. B. Se puede amplificar por términos algebraicos. C. Tiene valores numéricos restringidos de tomar. D. El numerador debe tener términos algebraicos. Cpech - Nivelación Mayor complejidad Las fracciones también tienen letras ón 4 Secci o lo z i t e t Sin dido apren Lee detenidamente el enunciado, luego responde las preguntas. Hay un envase cilíndrico lleno de agua y se trasvasijará el contenido a otros más pequeños, cuya altura es la tercera parte del de mayor capacidad, asi como el radio es la mitad del que tiene el agua, tal como se muestra en la r . h y su radio a __ siguiente imagen. En resumen, la altura del envase pequeño equivale a __ 2 3 • Recuerda El volumen del cil indro se calcula de la siguient e manera: h · r2 · h r: radio h: altura r 1 ¿Cuál es la expresión que representa la capacidad de cada envase cilíndrico? Envase grande 2 ¿Qué operaciones debes aplicar para calcular la cantidad de envases pequeños que pueden llenarse con el agua del envase grande? (hazle un ticket). Amplificación 3 Envase pequeño Multiplicación Simplificación División ¿Cuántos envases pequeños pueden llenarse con el agua del envase grande? ¿Qué parte se te hizo más compleja en la situación dada? Cpech - Nivelación 9 Matemática - Segundo Medio Evalúa tu desempeño Marca cuánto avanzaste respecto a los contenidos y habilidades desarrollados en esta clase. Identifico los valores que indeterminan una fracción algebraica. No lo entendí Lo entendí Lo entendí y puedo explicarlo M Lorem ipsum dolor sit ame IPSU Simplifico fracciones ctetur adipisicing t eli LOREM tempor incididu nt ut labo t,conse re magna algebraicas. , sed do eiusmod re et dolo No lo entendí Lo entendí Lo entendí y puedo explicarlo 10 Cpech - Nivelación Resuelvo problemas que involucran fracciones algebraicas. No lo entendí Lo entendí Lo entendí y puedo explicarlo Multiplico y divido fracciones algebraicas. LOREM IPSUM Lorem ipsum dolor sit t,conse ame etur ct adipisicing t, eli sed do empor eiusmod t incididu nt ut labo re et dolo re magna No lo entendí Lo entendí Lo entendí y puedo explicarlo Las fracciones también tienen letras s Resuelve tu dudas Utiliza esta sección de la guía para anotar dudas y resolverlas junto a tu profesor(a). Cpech - Nivelación 11 Registro de propiedad intelectual de Cpech. Prohibida su reproducción total o parcial.