Universidad Central de Venezuela Facultad de Ciencias Escuela de

Universidad Central de Venezuela
Facultad de Ciencias
Escuela de Matemática
Ecuaciones en Derivadas Parciales
LISTA DE EJERCICIOS N◦ 6:
1. Resolver la ecuación de Laplace dentro del rectángulo 0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ y ≤ H, con las siguientes
condiciones de contorno:
(a)
∂u
(0, y)
∂x
= 0,
(b)
∂u
(0, y)
∂x
= g(y),
(c)
∂u
(0, y)
∂x
= 0,
(d) u(0, y) = g(y),
(e) u(0, y) = 0,
(f) u(0, y) = f (y),
(g)
∂u
(0, y)
∂x
= 0,
(h) u(0, y) = 0,
∂u
(L, y)
∂x
= 0,
∂u
(L, y)
∂x
= 0,
u(L, y) = g(y),
u(L, y) = 0,
u(L, y) = 0,
= 0,
u(π, y) = 0,
u(x, H) = f (x).
u(x, 0) = 0,
u(x, 0) = 0,
∂u
(x, 0)
∂y
u(x, 0) =
u(L, y) = 0,
∂u
(L, y)
∂x
u(x, 0) = 0,
= 0,
u(x, H) = 0.
u(x, H) = 0.
u(x, H) = 0.
∂u
(x, 0),
∂y
∂u
(x, 0)
∂y
= 0,
u(x, 0) =
u(x, 0) = 0,
u(x, H) = f (x).
∂u
(x, H)
∂y
= 0.
0, x > L/2,
∂u
(x, H) = 0.
∂y
1, x < L/2,
x,
x ∈ [0, π/2],
u(x, 1) =
π − x, x ∈ [π/2, π].
2. Considérese la función u que satisface la ecuación de Laplace en el rectángulo 0 < x < L,
0 < y < H, con las siguientes condiciones de contorno
∂u
(0, y) = 0,
∂x
∂u
(L, y) = 0,
∂x
∂u
(x, 0)
∂y
∂u
(x, H)
∂y
= 0,
= f (x).
(a) Sin resolver este problema, explicar brevemente la condición fı́sica bajo la cual existe solución.
(b) Resolver este problema por el método de separación de variables. Demostrar que el método
funciona sólo bajo la condición deducida en el apartado (a).
3. Resolver la ecuación de Laplace dentro del cı́rculo de radio 1 sujeta a la condición de borde
Rπ
∂u
(1,
θ)
=
f
(θ)
(−π
<
θ
<
π)
donde
f (θ)dθ = 0.
∂r
−π
4. Resolver la ecuación de Laplace dentro del cuarto de cı́rculo de radio 1 (0 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ r ≤ 1)
con las siguientes condiciones de contorno:
(a)
∂u
(r, 0)
∂θ
= 0, u(r, π/2) = 0, u(1, θ) = f (θ).
(b)
∂u
(r, 0)
∂θ
= 0,
∂u
(r, π/2)
∂θ
= 0, u(1, θ) = f (θ).
(c) u(r, 0) = 0, u(r, π/2) = 0,
(d)
∂u
(r, 0)
∂θ
= 0,
∂u
(r, π/2)
∂θ
∂u
(1, θ)
∂r
= 0,
= f (θ).
∂u
(1, θ)
∂r
= g(θ).
Demostrar que la solución del apartado (d) existe sólo si
π/2
R
g(θ)dθ = 0. Explicar fı́sicamente esta
0
condición.
5. Resolver la ecuación de Laplace dentro de un semicı́rculo (0 < θ < π, 0 < r < a) con las condiciones de contorno:
(a) u = 0 sobre el diámetro y u(a, θ) = g(θ).
(b) El diámetro está aislado y u(a, θ) = g(θ).
6. Resolver la ecuación de Laplace dentro de un sector circular de 60◦ de radio a, sujeto a las condiciones de contorno:
(a) u(r, 0) = 0, u(r, π/3) = 0, u(a, θ) = f (θ).
(b)
∂u
(r, 0)
∂θ
= 0,
∂u
(r, π/3)
∂θ
= 0, u(a, θ) = f (θ).
7. Resolver la ecuación de Laplace dentro de un anillo circular (a < r < b) con las siguientes condiciones de contorno:
(a) u(a, θ) = f (θ),
u(b, θ) = g(θ).
(b)
∂u
(a, θ)
∂r
= 0, u(b, θ) = g(θ).
(c)
∂u
(a, θ)
∂r
= f (θ),
∂u
(b, θ)
∂r
= g(θ).
Si existe alguna condición de solubilidad, enunciarla y explicarla fı́sicamente.
8. Resolver la ecuación de Laplace dentro de un sector circular de 90◦ de un anillo (a < r < b,
0 < θ < π/2) con las condiciones de contorno siguientes :
(a) u(r, 0) = 0 u(r, π/2) = 0 u(a, θ) = 0, u(b, θ) = f (θ).
(b) u(r, 0) = 0 u(r, π/2) = f (r) u(a, θ) = 0, u(b, θ) = 0.
9. Consideremos la ecuación de Laplace en un rectángulo 0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ y ≤ H, con las condiciones
de contorno
∂u
(0, y) = 0,
∂x
∂u
(L, y) = g(y),
∂x
∂u
(x, 0) = 0,
∂y
∂u
(x, H) = f (x).
∂y
(a) ¿Cuál es la condición de solubilidad y su interpretación?
(b) Demostrar que u(x, y) = A (x2 − y 2 ) es una solución si f y g son constantes (bajo la condición
del apartado (a)).
(c) Bajo la condición del apartado (a), resolver el caso general (f y g no constantes). Indicaciones:
RL
Usar el apartado (b) y el hecho de que f (x) = fav + (f (x) − fav ), donde fav = L1 f (x)dx.
0
10. Resolver la ecuación de Laplace en el paralelepı́pedo 0 < x < L, 0 < y < W , 0 < z < H, sujeta a
las condiciones de contorno
(a)
(b)
∂u
(0, y, z)
∂x
= 0,
∂u
(x, 0, z)
∂y
∂u
(L, y, z)
∂x
= f (y, z),
∂u
(x, W, z)
∂y
∂u
(0, y, z)
∂x
= 0,
∂u
(x, 0, z)
∂y
u(L, y, z) = g(y, z),
= 0,
= 0,
= 0,
∂u
(x, W, z)
∂y
= 0,
∂u
(x, y, 0)
∂z
= 0,
∂u
(x, y, H)
∂z
∂u
(x, y, 0)
∂z
∂u
(x, y, H)
∂z
= 0.
= 0,
= 0.
11. Resolver la ecuación de Laplace dentro de un cilindro semicircular sujeta a las condiciones de
frontera: u(r, θ, 0) = 0, ∂u
(r, θ, H) = 0, u(r, 0, z) = 0, u(r, π, z) = 0 y u(a, θ, z) = β(θ, z).
∂z
12. Resolver la ecuación 4u(x, y) = F (x, y) sobre un rectángulo (0 < x < L, 0 < y < H), sujeta a
(a) ∂u
(0, y) = 0,
∂x
soluciones?
∂u
(L, y)
∂x
= 0,
∂u
(0, y)
∂x
∂u
(L, y)
∂x
= 0, u(x, 0) = 0,
(b)
= 0,
∂u
(x, 0)
∂y
= 0,
∂u
(x, H)
∂y
∂u
(x, H)
∂y
= 0. ¿En qué situaciones existen
= 0.
13. Resolver el siguiente ejemplo de ecuación de Poisson 4u(x, y) = e2y sin(x), sujeta a las condiciones
de borde: u(0, y) = 0, u(x, 0) = 0, u(π, y) = 0 y u(x, L) = f (x).
14. Resolver la ecuación de Poisson dentro de una caja rectangular, sujeta a la condición u = 0 sobre
los seis lados.
15. Resolver la ecuación 4u(x, y) = Q(r, θ) dentro de un cı́rculo de radio a sujeta a la condición u = f
en el borde del cı́rculo.
16. Resolver la ecuación 4u(x, y) = Q(r, θ, z) dentro de un cilindro circular (0 < r < a, 0 < θ < 2π,
0 < z < H), sujeta a la condición u = 0 sobre la frontera.
17. Considérese la ecuación del calor en una región rectangular bidimensional 0 < x < L, 0 < y < H,
2
∂u
∂ u ∂2u
,
+
=k
∂t
∂x2 ∂y 2
sujeta a la condición inicial u(x, y, 0) = f (x, y). Resolver el problema de valor inicial y analizar
la temperatura cuando t → ∞ si las condiciones de contorno son:
(a)
∂u
(0, y, t)
∂x
= 0,
∂u
(L, y, t)
∂x
= 0,
(b)
∂u
(0, y, t)
∂x
= 0,
∂u
(L, y, t)
∂x
= 0, u(x, 0, t) = 0, u(x, H, t) = 0.
∂u
(x, 0, t)
∂y
= 0,
∂u
(x, H, t)
∂y
= 0.
18. Considérese la ecuación del calor en una región tridimensional 0 < x < L, 0 < y < H, 0 < z < W ,
2
∂ u ∂ 2u ∂ 2u
∂u
=k
+
+
,
∂t
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
sujeta a la condición inicial u(x, y, z, 0) = f (x, y, z). Resolver el problema de valor inicial y
(0, y, z, t) = 0,
analizar la temperatura cuando t → ∞ si las condiciones de contorno son: ∂u
∂x
∂u
∂u
∂u
∂u
∂u
(x,
0,
z,
t)
=
0,
(x,
y,
0,
t)
=
0,
(L,
y,
z,
t)
=
0,
(x,
H,
z,
t)
=
0
y
(x,
y,
W,
t) = 0.
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
19. Considérese la ecuación de ondas para una membrana vibrante rectangular (0 < x < L, 0 < y <
H)
2
∂ 2u
∂ u ∂2u
2
,
=c
+
∂t2
∂x2 ∂y 2
sujeta a las condiciones iniciales
u(x, y, 0) = 0
Resolver el problema de valor inicial si
0.
y
∂u
(0, y, t)
∂x
∂u
(x, y, 0) = f (x, y).
∂t
= 0,
∂u
(L, y, t)
∂x
= 0,
∂u
(x, 0, t)
∂y
=0y
∂u
(x, H, t)
∂y
=
20. Considérese la ecuación
∂2u
= c2
∂t2
∂ 2u ∂ 2u
∂u
+ 2 −k
2
∂x
∂y
∂t
,
con k > 0.
Supongamos que u(x, y, t) = f (x)g(y)h(t). ¿Qué ecuaciones diferenciales ordinarias satisfarán f ,
g y h?
21. Resolver utt = c2 4u con u(a, θ, t) = 0, u(r, θ, 0) = 0 y
∂u
(r, θ, 0)
∂t
= α(r) sin(3θ).
22. Resolver la ecuación del calor, ut = k4u, en un cı́rculo de radio a con temperatura nula sobre toda
la frontera, si inicialmente u(r, θ, 0) = f (r, θ). Analizar brevemente el lim u(r, θ, t). Comparar el
t→∞
resultado con el que serı́a de esperar usando razonamientos fı́sicos.
23. Rehacer el ejercicio anterior, pero ahora con toda la frontera aislada.
24. Resolver la ecuación del calor, ut = k4u, dentro de un cilindro (de radio a y altura H) sujeta a
la condición inicial u(r, θ, z, 0) = f (r, z) (independiente de θ) y a condiciones de contorno de tipo
Dirichlet homogéneas.