Práctica No4 Análisis de Sensibilidad

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Práctica No4
Análisis de Sensibilidad - Interpretación
Económica
4.1 Considere el problema:
Max
s.a.
cx
Ax=b
x ≥0
con A ∈ Rm×n y rango(A) = m. Suponga tener la base B de la solución óptima y que b es
reemplazado por b + λd, donde λ ∈ R y d ∈ Rm . Dar una condición para que la base B sea
óptima para todo λ ≥ 0.
4.2 Considerar los siguientes ppl:
a)
Max
5x1 +x2 +2x3
x1 +x2 + x3 ≤6
s.a.
+ x3 ≤8
6x1
x2 + x3 ≤2
x1 , x2 , x3 ≥0
Usando la tabla óptima del problema:
1) Hallar el dual del problema y su solución óptima.
2) Hallar el rango de valores de c1 y de c2 en los que la base óptima actual continua
siendo óptima.
3) Hallar el rango de valores de b3 en los que la base óptima actual continua siendo
óptima.
b)
Max
s.a.
3x1 +x2 −x3
2x1 +x2 +x3 ≤ 8
4x1 +x2 −x3 ≤10
x1 , x2 ,x3 ≥ 0
Usando el diccionario óptimo del problema:
1) Hallar el dual del problema y su solución óptima.
2) Hallar el rango de valores de b2 para los que la base óptima actual continua siendo
óptima. Si b2 = 12, ¿cuál es la nueva solución óptima?
4.3 Considerar el siguiente PPL:
Max
s.a.
3x1 +x2
2x1 +x2 ≤8
4x1 +x2 ≤10
x1 , x2 ≥0
La solución óptima de este problema es z ∗ = 9, x∗1 = 1, x∗2 = 6. Hallar gráficamente el rango
de valores de b2 para los cuales la base óptima actual continua siendo óptima.
1
4.4 Considerar un PPL con tres restricciones por ≤. Los lados derechos de las restricciones son
10, 15 y 20 respectivamente. En la tabla óptima s2 es una variable básica en la segunda
restricción, con lado derecho de 12. Determinar el rango de valores de b2 para los cuales la
base óptima actual continua siendo óptima (ayuda: si el lado derecho de la restricción 2 es
15 + , esto deberı́a ayudar a encontrar el lado derecho en el diccionario óptimo).
4.5 Una fábrica de muebles fabrica bibliotecas, escritorios, sillas y camas, para lo cual tiene una
capacidad de producción medida por la cantidad de materia prima disponible (117 unidad de
metal y 420 de madera) y la disponibilidad de 225 horas de mano de obra. Los requerimientos
para cada tipo de mueble y los beneficios de la venta de cada uno son:
una biblioteca requiere 3 horas de trabajo, una unidad de metal y 4 de madera, y da
un beneficio de 19$.
un escritorio requiere dos horas de trabajo, una unidad de metal y 3 de madera y da
un beneficio de 13$.
una silla requiere una hora de trabajo, una unidad de metal y 3 de madera, y da un
beneficio de 12$.
una cama requiere 2 horas de trabajo, una unidad de metal y 4 de madera y da un
beneficio de 17$.
Suponiendo que se puede vender todo lo que se produce, determinar el programa de producción que maximice el beneficio de la empresa.
A partir de la solución optima anterior resolver las siguientes variaciones que pueden surgir:
a) el beneficio de cada escritorio crece de 13 a 15$.
b) la disponibilidad de metal crece de 117 a 125 unidades por dı́a.
c) la compañı́a quiere producir mesas de café que requieren 3 horas de trabajo, una unidad
de metal, 2 de madera, y dan un beneficio de 14$.
d ) el número de sillas fabricadas tiene que ser al menos 5 veces el número de escritorios.
e) se decide cambiar el modelo de las sillas y para fabricar el nuevo se requieren 4 unidades
de madera.
4.6 Radioco produce dos tipos de radios. El único recurso escaso que se necesita para producir
radios es mano de obra. Hasta el momento, la compañı́a cuenta con dos empleados. El
empleado 1 desea trabajar no más de 40 horas semanales y recibe $5 por hora. El empleado
2 desea trabajar hasta 50 horas por semana y recibe $6 por hora. Tanto los precios como los
recursos necesarios para fabricar cada tipo de radio se dan en la siguiente tabla:
empleado 1
empleado 2
costo materia prima
precio
radio 1
1 hora
2 horas
$5
$25
radio 2
2 horas
1 hora
$4
$ 22
Plantear el problema que maximice los beneficios de Radioco, y usando el diccionario óptimo
resolver:
a) ¿Para qué valores del precio de la radio 1 la base actual seguirı́a siendo óptima?
b) ¿Para qué valores del precio de la radio 2 la base actual seguirı́a siendo óptima?
c) Si el empleado 1 deseara trabajar sólo 30 horas por semana, ¿seguirı́a la base actual
siendo óptima?
d ) Si el empleado 2 deseara trabajar hasta 60 horas por semana, ¿seguirı́a la base actual
siendo óptima?
e) Si el empleado 2 estuviera dispuesto a trabajar sólo 48 horas semanales, ¿cuál serı́a el
beneficio de Radioco? Verificar la respuesta determinando el número de radios de cada
tipo que se producirı́an.
2
f ) Se está considerando la producción de un tercer tipo de radio. Las especificaciones serı́an
las siguientes: precio, $30; 2 horas de trabajo del empleado 1; 2 horas de trabajo del
empleado 2; costo de materia prima, $3. ¿Le conviene a Radioco producir radios tipo
3?
4.7 Beerco produce dos tipos de cerveza a partir de maı́z, lúpulo y malta y debe plantear el
siguiente PPL para maximizar beneficios:
Max
s.a.
40c1 +50c2
c1 + 2c2 ≤40
(restricción para el maı́z)
c1 + c2 ≤30
(restricción para el lúpulo)
2 c1 + c2 ≤40
(restricción para la malta)
c1 ,
c2 ≥0
donde c1 es la cantidad de barriles de cerveza tipo 1 producidos y c2 es la cantidad de barriles
de cerveza tipo 2 producidos.
Usando el diccionario óptimo, resolver:
a) Hallar el dual del problema y su solución optimal.
b) Hallar los rangos de valores del precio de la cerveza 1 y del precio de la cerveza 2 para
los cuales la base actual es óptima.
c) Hallar los rangos de valores de la cantidad disponible de maı́z, lúpulo y malta para los
cuales la base actual es óptima.
d ) Beerco está considerando producir licor de malta. Un barril de licor de malta requiere
0.5 lb de maı́z, 3 lb de lúpulo y 3 lb de malta y se vende a $50. ¿Le conviene a Beerco
producir licor de malta?
e) ¿Cuál es la solución óptima del dual de este nuevo problema?
4.8 Ballco produce pelotas grandes, pelotas medianas y pelotitas de tenis. Cada tipo de pelota
requiere tiempo en tres departamentos: corte, cosido y empaquetado, como se muestra en la
siguiente tabla (expresada en minutos):
pelotas grandes
pelotas medianas
pelotitas
tiempo de corte
10
15
8
tiempo de cosido
15
15
4
tiempo de empaquetado
4
3
2
De acuerdo a consideraciones de comercialización, se deben producir al menos 1000 pelotas
medianas. Cada pelota mediana se puede vender a $3, cada pelota grande a $5 y cada
pelotita de tenis a $4. Se hallan disponibles un total de 18000 minutos de tiempo de corte,
18000 minutos de tiempo de cosido y 9000 minutos de tiempo de empaquetado. Ballco quiere
maximizar sus beneficios.
Plantear el problema y a partir del diccionario óptimo resolver:
a) Hallar el dual del problema y su solución óptima.
b) Mostrar que el problema de Ballco tiene una solución óptima alternativa. Encontrarla.
¿Cuántos minutos de tiempo de cosido se usan en la solución óptima alternativa?
c) ¿Qué incremento producirı́a en los beneficios de Ballco el aumento de 1 minuto en la
cantidad disponible de tiempo de cosido? ¿Cómo se relaciona esta respuesta con el hecho
de que la desigualdad de cosido sea restrictiva?
d ) Asumiendo que la base actual sigue siendo óptima, ¿cómo afectarı́a en los beneficios de
Ballco, el aumento en 100 unidades de la demanda de pelotas medianas?
3
4.9 Una empresa produce dos tipos de sillas, S1 y S2. El proceso de fabricación consta de dos
tareas básicas: ensamble y terminado. Una silla S1 requiere de 1,5 hora de ensamble y 1 hora
de terminado dejando un beneficio de 20$. Una silla S2 requiere de 0,5 hora de ensamble y
0,5 hora de terminado dejando un beneficio de 12$. Actualmente se dispone de 100 horas
de ensamblado y 80 horas de terminado. La compañı́a se encuentra realizando negociaciones
salariales. Si usted fuera consultado, ¿qué aconsejarı́a respecto al aumento en el valor de la
hora hombre de ensamble y de terminado?
4.10 En la solución del problema de producción de jamón, panceta y lomito, la solución óptima
indicaba que toda la panceta y todo el lomito debı́an ser ahumados. Sin embargo, cambios
en las condiciones del mercado han hecho que el precio de venta de la panceta fresca se
incremente en x$. ¿Cuál deberı́a ser el aumento para que fuera necesario cambiar el plan de
producción?
4.11 Cornco produce dos productos: PS y QT. Los precios de venta y la cantidad máxima que se
puede vender de cada producto en los próximos tres meses se muestra en la siguiente tabla:
producto
PS
QT
precio
$40
$35
mes 1
demanda
40
53
precio
$60
$40
mes 2
demanda
45
50
precio
$55
$44
mes 3
demanda
50
40
Cada producto se debe procesar por dos lı́neas de ensamble. El número de horas requeridas
por cada producto en cada lı́nea de ensamble se muestra en la siguiente tabla:
producto
PS
QT
lı́nea 1
3 horas
2 horas
lı́nea 2
2 horas
2 horas
El número de horas disponible en cada lı́nea de ensamble durante cada mes se muestra en la
siguiente tabla:
lı́nea
1
2
mes 1
1200
2140
mes 2
160
150
mes 3
190
110
Cada unidad de PS requiere 4 kg. de materia prima, mientras que cada unidad de QT requiere
3 kg. Se pueden comprar hasta 710 kg de materia prima a $3 por kg. Al comienzo del mes 1,
hay disponibles 10 unidades de PS y 5 unidades de QT. Cuesta $10 almacenar una unidad
de cualquier producto por un mes. Resolver el PPL.
a) Hallar la nueva solución óptima si cuesta $11 almacenar una unidad de PS al final del
mes 1.
b) Hallar la nueva solución óptima de la compañı́a si hay disponibles 210 horas de la lı́nea
1 durante el primer mes.
c) Hallar el nuevo beneficio de la compañı́a si hay disponibles 109 horas de la lı́nea 2
durante el mes 3.
d ) ¿Cuánto es lo máximo que Cornco estarı́a dispuesto a pagar por una hora extra de la
lı́nea 1 durante el mes 2?
e) ¿Cuánto es lo máximo que Cornco estarı́a dispuesto a pagar por 1 kg extra de materia
prima?
f ) ¿Cuánto es lo máximo que Cornco estarı́a dispuesto a pagar por una hora extra de la
lı́nea 1 durante el mes 3?
g) Hallar la nueva solución optimal si PS se vende a $50 durante el mes 2.
h) Hallar la nueva solución optimal si QT se vende a $50 durante el mes 3.
i ) Si se invirtieran $20 en comerciales en el mes 2, la demanda de QT aumentarı́a en 5
unidades. ¿Le conviene a Cornco hacer esa inversión?
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