tema 6. números enteros.

TEMA 6. NÚMEROS ENTEROS.
1.INTRODUCCIÓN.
 Aparición tardía del concepto de Z con respecto al de Q.
 Signos +/- procedencia germana frente a p/m de procedencia italiana
 Libro alemán de ámbito comercial del s XV el más antiguo con notación +/"Álgebra Integra".Libro alemán que asienta conceptos del Z y consolida
notación germana pero considera "números absurdos"
 Algebristas italianos del Renacimiento (Cardano) "números ficticios"
 Aceptación de los Z finales sXVI, frances Viète.
Estudio divisibilidad Euclides (mcd, algoritmo de euclides, todo IN divisible
por primo)
 Estudio divisibilidad por Fermat. Generalizo "hipótesis China" para deteminar
numero primos. Un nº, n, primo si 2n-2 múltiplo de n. Hoy se sabe no cierto
 Descomposición de factores estudiado desde antigüedad pero hasta Gauss en
1801 no conceptos teóricos.
2. NÚMEROS ENTEROS. CONSTRUCCIÓN, PROPIEDADES Y OPERACIONES
2.1 Introducción
 Imposibilidad de solucionar la ecuación n+x=m en los N con n>m
 Necesidad conocimiento de los N, para definir y operaciones de Z
2.2Construcion de Z
 Conjunto NxN y regla de equivalencia.
 Demostración es de equivalencia y conjunto cociente=Z (gráfica)
 Notación simplificada con un elemento de la pareja cero. Z+, Z- y 0.
 N=Z+{0}
2.3 Suma en Z. Grupo conmutativo en Z.
 Definición de suma. (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
 Propiedades:
1) Suma bien definida en Z. A partir de saber que + bien definida en N
2) Independencia del representante elegido
3) asociativa
4) Conmutativa
5) Elemento neutro
6) Elemento opuesto
 Grupo aditivo (Z,+)
 Solución ecuación m+x=n en Z.
 Diferencia de Z. Operación inversa de la suma
 Notación simplificada, con un elemento de la pareja que forma Z igual a cero:
-Elemento inverso = -m
-Suma equivalente a la normal, y si n ,mZ+,equivalente suma de enteros
2.4. Multiplicación en Z. Semigrupo multiplicativo.
 Definición de producto en Z. (a,b)·(c,d)=(ac+bd,ad+bc)
 Propiedades:
1) Producto bien definida en Z.A partir de saber que + bien definida en N
2) Independencia del representante elegido (en dos pasos)
3) Asociativa
4) Conmutativa
5) Elemento neutro
6) Elemento absorbente
7) Propiedad cancelativa.
8) Distributiva con la suma
 (Z,) semigrupo cunmutativo con elemento unidad
 Notación simplificada ( un elemento de la pareja es cero). Regla de los signos
2.5 Anillo de (Z,+,)
(Z,+,) Anillo conmutativo unitario. (Z,+) grupo conmutativo.(Z,) semigrupo,
distributiva.
2.6 Los Z como extensión de IN.
 f:NZ, tal que f(n+m)=f(n)+f(m); f(n·m)=f(n)·f(m). Suma y producto en Z
extensión de la suma y producto en N
3.ORDEN EN Z
 Definición de orden estricto de m,nZ: m>n m-nZ+. Cumple:
-
Antisimétrica: m>n  n  m.
No Reflexiva m  m
Transitiva: p>m y m>n  p>n.
 Definición de orden simple de m,nZ: m≥n m-nZ+{0}. Cumple:
-
Antisimétrica: m≥n y n≥m m=n
Reflexiva m≥m
Transitiva: p≥m y m≥n  p≥n.
4. DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS PRIMOS
4.1 Definición de divisibilidad. Propiedades.
 Definición de divisible: a|b: b divisible o múltiplo de a, a divisor o divide a b si
existe tZ* tal que b=a·t
 Relación de preorden (transitiva y reflexiva pero no simétrica) de la
divisibilidad. No de equivalencia.
 Relación de equivalencia para números asociados {a,-a}. Luego son
equivalentes del punto de vista de divisibilidad (podemos estudiar la divisibilidad en N)
 Z~N. Estudio divisibilidad en N.
 Elementos asociados unitarios.
 Propiedades:
a) 1|a para todo a.
b) 1|0, para toda a
c) a|ba|(k1a+k2b)
d) a|b a|bk
4.2 Números primos.
 Definición de números irreducibles pZ-{-1,1,0} si sólo divisible por {-1,1} y
{p,-p}.
 Definición de numero primo.= irreducibles en N.
 Definición de números compuestos (los no primos menos 0 y 1)
 Teorema: si m es compuesto tiene un divisor menor a él que es primo.
4.2.1 Criba o Método de Erastótenes
 Cálculo de números primos. Método de Erastótenes. Justificación del método.
 Corolario ver si número n es primo. Ejemplo.
4.3 Descomposición en números primos.
 Teorema fundamental de la aritmética. Existencia y unicidad de la
descomposición. Demostrar por definición de compuesto y división.
4.4 Máximo común divisor
 Definición de máximo común divisor de dos N. Extensión para n N.
 Métodos de obtención:
a) Teorema de Euclides o del resto. Algoritmo de cálculo. Ejemplo.
b) Descomposición en factores, valido para todos 2 o más números.Ej
 Definición de números primos entre si.
 Proposición: Números primosprimos entre si
4.5 Mínimo común múltiplo
 Definición de mínimo común múltiplo.
 Métodos de cálculo:
a) A partir del mcdmcm=d(a/d)(b/d). Válido para 2 enteros.
Ejemplo
b) Descomposición en factores. Válido para 2 o mas N. Ejemplo.
 Proposición: mcm(a,b)mcd(a,b)=ab
-Colorario mcm(a,b)=ab si a y b son primos entre si
5. ECUACIONES DIOFÁNTICAS
 Ecuación diofántica es aquella con coeficientes enteros en la que sólo se desea
soluciones enteras o naturales
 Ecuaciones diofánticas lineal con una incógnita: A·x=B  x=B/A (sólo si B
múltiplo de A)
 Ecuaciones diofánticas lineal con dos incógnitas: A·x+By=C (suponer AN)
 Si m,n soluciones de A·x+B·y=C (-m,-n) son de A·x+B·y=-C.
Equivalentes
 Dos casos con A,B,CR:
 A·x+B·y=C
 A·x-B·y=C
 Resolución de A·x-B·y=C.
 Caso homogéneo: Si A=a·D y B=b·D (D=mcd(a,b) A·x-B·y=0
equivalente a a·x-b·y=0
 Solución x=t·b, y=t·a para todo valor tZ
 Caso general: x=x0+t·b, y=x0+t·a con (x0,y0) solución particular.
 Resolución de A·x+B·y=C.
 Caso homogéneo: Si A=a·D y B=b·D (D=mcd(a,b) A·x+B·y=0
equivalente a a·x+b·y=0
 Solución x=t·b, y=-t·a para todo valor tZ
 Caso general: x=x0+t·b, y=x0-t·a con (x0,y0) solución particular.
 Métodos de obtención solución particular:
 Euler
 Congruencias
 (…)
6. CONTEXTO CON EL CURRUCULUM DE SECUNDARIA Y BACHILLERATO
 Se estudia en 6º de primaria
 En secundaria es un tema básico en 1º de la ESO y se refuerza en 2º de la Eso.
 Se utiliza en todo el ciclo de la ESO y Bachillerato como herramienta básica p