Preguntas Propuestas

Preguntas Propuestas
3
Álgebra
Teoremas de desigualdad
A)[– 2; 10⟩
1. Halle el intervalo de variación de la expresión
C)[– 2; 10]
B)[1;10⟩
xy
+ 5 si se sabe que:
z
x ∈⟨– 20; – 8⟩, y ∈ ⟨– 2; – 1⟩ y z ∈ ⟨5; 8⟩.
f=
A)⟨6; 13⟩
B)⟨5; 7⟩ C)⟨6; 12⟩
D)⟨4; 10⟩
E)⟨4; 12⟩
D)⟨– 2; 1⟩
E)[– 2; 1⟩
6. Calcule el mínimo valor de
2. Si x ∈[3; 8], entonces, halle la variación de la
expresión
2
.
3x − 5
2 3
A)  ;  19 4 
A)
1
 x +1

S=
∈R − < x ≤ 0
2
 2x + 1

calcule el menor elemento de S.
1
C)1
2
D) − 1 E)– 1
2
4. Respecto a la expresión
f( x ) =
2
x2 + 1
z=
B)z > 2
D)1 < z ≤ 2
E)z < – 2
8. Dada la ecuación
5. Halle la variación de la expresión
f(x)=3x2 – 6x+1
si se sabe que x ∈ ⟨– 1; 2].
determine la menor solución
a 2
B) + C)2
2 a
D)3E)
8
3
9. Halle el mínimo valor de la expresión
D)– 2 ≤ f(x) < 3
E)– 1 ≤ f(x) < 2
a 3
a 2

 x − −   x − −  = 0; a > 0
2 a
3 a
a 2
A) + 2 a
indique lo correcto.
C)1 ≤ f(x) ≤ 2
Indique la proposición verdadera.
C)z ≤ 1
, −1 < x ≤ 1
B)0 ≤ f(x) ≤ 2
a
b
+
b
a
A)– 2 < z < 1
A)– 1 ≤ f(x) ≤ 2
...
B)3 C)2
7. Para a, b ∈ R con a > 0, b > 0 y a ≠ b se define
3. Dado el conjunto
B)
1
2
D) 2 E)1
1 1
B)  2 ; 1  C)  ; 
19 2 
19 4 
3
2 1
D)  ; 2 E)  ; 
19 
19 4 
A)2
 y  2 1 
+
  ⋅  x + 2  dado que {x; y} ⊂ R .
x 
y 
 1 1
T = ( x + y)2  + 
 x y
2
si se sabe que {x; y} ⊂ R+.
A)2
B)4 C)9
D)16E)18
2
Álgebra
10. Sean a y b números reales positivos, en-
14. Dada la ecuación con raíces complejas
3x2+(m+a)x+m= – 2, halle el máximo valor
entero que puede tomar m.
tonces halle el menor valor de la expresión
1 

 a + b +
.
ab 
A)
1
3
A)10
B)9 C)8
D)7E)6
B)1 C)3
UNMSM 2007 - II
D) 3 2 E) 3 3
15. Sea la inecuación x2+mx+n < 0 de conjunto
solución ⟨2; 3⟩. Determine el valor de m + n .
m− n
Inecuaciones polinomiales
11. Luego de resolver la inecuación en x
3x+4m ≤ 25 se obtuvo
CS={x ∈ R / x ≤ 7}
indique el menor valor de m.
A)1
B)2 C)0
D)– 2E)– 1
12. Calcule la suma de todos los números enteros
positivos que satisfacen simultáneamente las
B)5 C) − 1
11
1
D)11 E)
11
A)5
16. Respecto de la inecuación cuadrática
inecuaciones.
x2+(n – 1)x+1 ≥ 0, indique lo correcto.
I.Si n=3, la inecuación tiene infinitas soluciones.
II.Si n=1, la inecuación tiene solución única.
III.Si – 1 ≤ n ≤ 3, la inecuación tiene CS ⊂ R.
A)VVV
B)VFVC)FVV
D)FFVE)VFF
3 n + 24
n
 5 + 14 ≤
2

1
n
+

− 29 ≤ −10
 4
17. Si la inecuación cuadrática
A)2849
B)2848
C)2850
D)2949
E)2948
UNMSM 2008 - II
13. Determine el conjunto solución de la inecuación cuadrática x2+(b – a)x – ab > 0 considere
b < a <0.
A)R
B)⟨a; – b⟩
C)⟨– ∞; a⟩ ∪ ⟨ – b; + ∞⟩
D)⟨– ∞; – b⟩ ∪ ⟨a; + ∞⟩
E)⟨– ∞; – a⟩ ∪ ⟨b; + ∞⟩
– 2x2+K ≥ nx3+(n – 1)x tiene como CS={b}, halle el valor de K.
A)
1
8
1
B) − C)8
8
D)
1
1
E) −
4
4
18. Sea los polinomios
f(x)=ax2+5x+3; a ≠ 7
g(x)=7x2+ax+2
que cumplen la condición
f(x) ≥ g(x) – 2x para todo valor real de x.
Calcule el valor de n2+5, si n es el menor entero que toma a.
A)51
B)77C)14
D)43E)69
3
Álgebra
19. Encuentre el intervalo de variación de α tal
que las raíces de la ecuación
x2+(2α – 1)x+4=α sean
I.positivas.
II.negativas.
A) −∞; −
15   15
;4
; 
2   2
B) −∞; −
15  1
; ; 4
2  2
1
C) −∞;  ;
2
D) −∞; −
D)f(x) ∈[– 2; 2⟩
E)f(x) ∈⟨– ∞; 2]
22. Luego de determinar el valor de verdad (V) o
falsedad (F) de las siguientes proposiciones,
indique la alternativa correcta.
I.Si 2 x − 1 = 3 → x ∈{−1; 0; 2}
II.Si x − 2 = − 4 → x = −2 ∨ x = 6
III.Si f( x ) = x − 2012 + 5 → fmín = 5
15
;4
2
15   15
1
;+∞ ; ;4
 ∪
2   2
2
15  1 15 
E) −∞;
; ;

2  2 2 
A)VFV
23. Determine el menor valor de a, si
1 1
A) − ;
2 2
A)2
B)– 3 C)– 2
D)3E)1
24. Calcule la suma de soluciones de la ecuación
2x −
B)⟨– 1; 1⟩
1
C) −1;
2
D) −1; 0
1
2
Valor absoluto
21. Si – 1 ≤ x ≤ 0, indique el intervalo de variación
de f( x )
1
1
+ 3x − = 5
3
2
1
1
B) − C)
2
6
A)
1
3
D)
1
1
E) −
2
3
25. Luego de resolver la ecuación
E)⟨– 1; 0⟩
...
− 5 + −1
− 3 − −1
a +1 a −1 =
20. Sea el conjunto S={x ∈ R/2x2 – x < 1}. Indique
cuál de los siguientes intervalos es subconjunto
de S.
B)FFVC)VFV
D)FFFE)VVV
2
.
=
1− 1− x
x2 − x = x − 2
indique lo correcto
{ 2; − 2 }
B)CS = { 2}
A)CS =
C)CS={2}
A)f(x) ∈⟨2; +∞⟩
B)f(x) ∈[– 2; 0⟩
C)f(x) ∈⟨– ∞; 2⟩
D)CS={ }
E)CS=[2; +∞⟩
4
Álgebra
26. Halle el producto de soluciones de la ecuación
2 x − 2 = 4 + 4 x − x2
Logaritmos
31. Si logxy=2, logzx=3, el valor de logxyz es
A)0
B)2 C)1
D)3E)4
27. Resuelva el siguiente sistema
 x − 3 ≤ 1

 x + 2 ≥ 1
A)1/6
B)6 C)9
D)1/9E)36
32. Si x e y son números positivos tal que logx2=a,
 x
logy2=b; entonces el valor de 20 log 10  .
 y
A)a+b
B)a – b
C)b – a
D)2(a – b)
E)2(b – a)
A)⟨– ∞; 1] ∪ [– 1/2; 3]
B)⟨– ∞; – 1] ∪ [2; 4]
C)⟨2; 3]
D){ }
E)[2; 4]
28. Dados los conjuntos
{
M = x ∈R
33. Si se cumple que logxy(x)=29, calcule el valor
}
de log xy
x − 3 −1 < 2
6

N =  ∈Z y ∈ M
y


indique el menor elemento de N.
A)0
B)1 C)2
D)3E)4
29. Con respecto a la inecuación x 2 − x ≤ x , de-
A)
B)
1
C)1
2
1
2
 a
b
34. Calcule el valor de log3  
 
que loga0,25=2 y log7293=b.
A)2
B)4 C)3
D)5E)1
35. Si log62=a, log65=b; entonces halle el valor de
B)(CS)C=[0; 2]
C)(CS)=2
log3 2 − log 1 5 en términos de a y b.
6
b
A)a −
1− b
D)e ∈ CS
E)p ∈ CS
30. Sean f( x ) = 2 x − 1 y g( x ) = 3 x + 1
3
2
D)0E) −
termine la alternativa correcta.
1
A)CS = −∞;  ∪ 1; + ∞
5
(29 x 56 y ).
dos funciones y el conjunto
S={x ∈ R / f(x) ≤ g(x)}
Calcule el menor elemento de S.
A)1
B)0 C)2
D) – 1 E) – 2
5
a
b
B) +
2 1− b
C)
a
−b
1− a
b
D)
+a
1− b
a
+b
E)
1− a
Álgebra
36. Calcule el valor de la siguiente expresión.
A)8
D) 1 E) 1
2
8
1 + log6 7 1 + log7 6
+
1 − log6 7 1 − log7 6
A)– 3
B)0 C)1
39. Simplifique la siguiente expresión
1
D) E)– 1
2
1
37. Si se cumple que
1
1
1
1
+
+
+ ... +
log2 3 log 1 3 log 1 3
log 1 3
2
es igual a log(8)– n+log32, calcule el valor de
log3(5n+2).
A)1
B)2 C)3
D)4E)5
40. Si p, q, r ∈R+y
E=
38. Se define en R+ la expresión.
f( x; y ) =
Evalúe
...
 14
colog 2   ⋅ log9 264 + antilog5 (log 9) ⋅ 4log 3
3
A)5
B)21
C)1
D)16
E)25
2n
4
B)4 C)1
log y x + 1
log x y + 1
f( 2; 9)
1
1
1
+
+
+1
log r ( pq) + 1 log q ( pr ) + 1 log p ( qr ) + 1
halle valor de E.
A)1
B)1,5C)3/5
D)3E)2
f(16; 3)
Claves
01 - A
06 - C
11 - A
16 - B
21 - E
26 - A
31 - D
36 - B
02 - B
07 - B
12 - A
17 - B
22 - A
27 - D
32 - B
37 - C
03 - C
08 - B
13 - C
18 - C
23 - C
28 - C
33 - B
38 - E
04 - C
09 - D
14 - B
19 - B
24 - A
29 - C
34 - E
39 - E
05 - A
10 - C
15 - C
20 - A
25 - D
30 - B
35 - E
40 - E
6