(x + 2).

CASO 1 DE FACTORIZACIÓN FACTOR COMÚN
(Hay factor común entre los números)
8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)
El factor común es el número 4: El Máximo Común Divisor entre los números.
7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4 - x8 = x2. (7 + 11x - 4x3 + 3x2 - x6)
El factor común es x2.: La x elevada a la menor potencia con que aparece.
9x3 - 6x2 + 12x5 - 18x7 = 3x2. (3x - 2 + 4x3 - 6x5)
9x2ab - 3xa2b3 + x2az = xa. (9xb - 3ab2 + xz)
36x4 - 48x6 - 72x3 + 60x5 = 12x3. (3x - 16x3 - 6 + 5x2)
(x + 1).3 - 5x. (x + 1) + (x + 1).x2 = (x + 1). (3 - 5x + x2)
4/3 x - 8/9 x3 + 16/15 x7 - 2/3 x5 = 2/3 x. (2 - 4/3 x2 + 8/5 x6 - x4)
12x2 + 18x3 - 24x5 + 30x4 - 6x8 = 6x2. (2 + 3x - 4x3 + 5x2 - x6)
CASO 2 DE FACTORIZACIÓN FACTOR COMÚN EN GRUPOS
4a + 4b + xa + xb =
4.(a + b) + x.(a + b) =
(a + b).(4 + x)
Saco factor común "4" en el primer y segundo término; y factor común "x" en el tercer y cuarto término. Los
dos "resultados" son iguales: (a + b). Luego, saco como factor común a (a + b).
4a - 7x2a + ya + 4z - 7x2z + yz =
a.(4 - 7x2 + y) + z.(4 - 7x2 + y) =
(4 - 7x2 + y).(a + z)
Aquí hay 6 términos, y dos maneras posibles de agrupar: 2 grupos de 3 términos, o 3 grupos de 2 términos. En
este caso agrupé de a 3 términos.
CASO 3 DE FACTORIZACIÓN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
x
3
2.3.x
6x
Busco dos términos que sean "cuadrado" de algo. Son: x2 y 9. Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego
verifico 2.x.3 = 6x ("doble producto del primero por el segundo"). Dio igual que el otro término. El polinomio
es un cuadrado "perfecto". El resultado de la factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)2
x2 - 10x + 25 = (x - 5)2
x
(-5)
2.(-5).x
-10x
Tomo como bases a "x" y "(-5)", ya que (-5)2 también es 25. Y con (-5), la verificación del doble producto da
bien. El resultado es la suma de las bases, al cuadrado. O sea (x + (-5))2 , que es igual a (x - 5)2.
CASO 4 DE FACTORIZACIÓN CUATRINOMIO CUBO PERFECTO
(Todos los términos son positivos)
x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3
x
2
3.x2.2
6x2
3.x.22
12x
Las bases son x y 2. Los dos "triple-productos" dan bien (6x2 y 12x). El resultado de la factorización es "la
suma de las bases, elevada al cubo".
(Con términos negativos)
x3 - 9x2 + 27x - 27 = (x - 3)3
x
3.x2.(-3)
-9x2
-3
3.x.(-3)2
27x
Las bases son x y -3, ya que (-3)3 es igual a -27. Y los dos "triple-productos" dan bien. El resultado es (x + (3))3, que es igual a (x - 3)3
CASO 5 DE FACTORIZACIÓN DIFERENCIA DE CUADRADOS
(Fácil)
x2 - 9 = (x + 3).(x - 3)
x
3
Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x y 3. Se factoriza multiplicando la "suma de las bases" por la
"resta de las bases".
(Con potencias distintas de 2)
x6 - 4 = (x3 + 2).(x3 - 2)
x3 2
x6 es también un cuadrado, es el cuadrado de x3. Ya que (x3)2 es igual a x6
(Con términos "compuestos")
36x2 - a6b4 = (6x + a3b2).(6x - a3b2)
6x
a3b2
Los términos pueden estar compuestos por varios factores, y no una sola letra o número. Pero todos deben ser
cuadrados.
x2 - y2 = (x + y).(x - y)
b2 - 1 = (b + 1).(b - 1)
x2 - 9/25 = (x + 3/5).(x - 3/5)
x6 - 4 = (x3 + 2).(x3 - 2)
25 – 36m4 (5 + 6m2) (5 – 6m2)
100 – m2 n6 (10 + mn3) (10 – mn3)
X2Y4Z6 – 144 = ( XY2Z3 + 12) ( XY2Z3 - 12)
CASO 6 DE FACTORIZACIÓN SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO
(Suma de Potencias Impares)
x5 + 32 = (x + 2).(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16)
x
2
Cociente: x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16
Los dos términos son potencias quintas. Ya que 32 = 25.
Cuando es una suma de potencias impares, hay que dividir al polinomio por la suma de las bases: (x + 2). Y la
división se suele hacer con la regla de Ruffini.
Divido (x5 + 32):(x + 2), y el resultado de la división es: x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16. El resto dá 0. Se factoriza
como (x + 2).(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16), es decir: "la suma de las bases multiplicada por el resultado de la
división".
Pero también hay otra forma de factorizar este tipo de polinomio, que consiste en aplicar una reglita para
construir el cociente sin hacer ninguna división. En cada ejemplo, se dá la explicación para hacerlo de las dos
maneras.
La variedad de los siguientes ejemplos está pensada para las distintas situaciones que se presentan al utilizar el
método de la división con la regla de Ruffini. Con el método de la regla, casi no hay variedad de situaciones:
todos los ejercicios
(Resta de Potencias Impares)
x3 - 8 = (x - 2).(x2 + 2x + 4)
x
2
Cuando es una resta de potencias impares, hay que dividir por la resta de las bases.
CASO 7 DE FACTORIZACIÓN TRINOMIO X2 + B + C
x2 + 3x + 2 =
Abres dos paréntesis ( ) donde va la X en cada uno ya que esta elevada al cuadrado
(x
).(x
)
Los signos los obtienes asi:
x2 + 3x + 2 =
+ por +
(x + ).(x + )
Buscar dos números positivos que multiplicados den 2 y sumados den 3.
Sacas el mínimo común múltiplo de 2 2
1
Obtienes como resultado el 2 que multiplicado por 1 = a 2 y sumados 2+1= 3
(x + 1).(x + 2) Esta es la factorización de x2
+ 3x + 2 =
Otro ejemplo:
X6 — 13X3 + 42
Tienes X6 que se puede factorizar como X3 y X3
(X3
) ( X3
)
Buscamos los signos que llevan dentro del paréntesis
X6 — 13X3 + 42
Más por menos = a menos
(X3 —
) ( X3
)
X6 — 13X3 + 42
Menos por más = a menos
(X3
—
) ( X3
— )
Buscamos dos números negativos que multiplicados den 42 y sumados de 13
42 2
21 3
7 7
1
2 * 3 = 6 y —6 * — 7 = 42
(menos por menos da más)
y (—6) + (— 7) = — 13
El resultado de factorizar mi trinomio X6 — 13X3 + 42 = es (X3 — 6 ) * ( X3 — 7 )
CASO 8 DE FACTORIZACIÓN TRINOMIO AX2 + B + C
6X2 — 10X + 4
(Sacas el número que tienes en tu primer término, en este caso es el 6, pones entre
paréntesis toda tu ecuación y divides todo entre el número que sacaste, en este caso
es 6, todo para establecer una igualdad y que no modifiques nada)
6X2 — 10X + 4
6 (6X2 — 10X + 4)
6
(Amplificas tu ecuación multiplicando el 6 que tienes afuera por toda la ecuación,
solo que en el segundo término, para ahorrar un paso, dejas tus números en este
caso 10X y el 6 lo encierras en un paréntesis, queda el segundo termino así; 10X
(6). Todo dividido entre 6)
36X2 — 10X(6) + 24
6
Factorizar esta ecuación. 6 por 6 = 36, abres dos paréntesis
36X2 — 10X(6) + 24
6
(6X
) (6X
)
Buscas los signos que deben de llevar:
36X2 — 10X(6) + 24
36X2 — 10X(6)
— 10X(6) + 24
6
Más por menos da menos (menos por mas da menos)
(6X — ) * (6X — )
6
Todo entre 6, que no se te olvide.
Buscamos dos números que multiplicados nos den 24 y sumados nos den 10
mcm. de 24
24
12
6
3
1
2
2
2
3
2 por 2 por 2 = 8 y 8 por 3 = 24 pero sumados 2+2+2+3= 9 estos números no
nos sirven. Vamos a volver a buscar nuestro mcm de 24.
24
6
1
4
6
Correcto: (—6) * (—4)= 24 menos por menos da más
(6X — 6 ) * (6X — 4 )
y (—6) + (—4) = — 10
6
Vamos a eliminar el 6 que están dividiendo por medio de factorizar nuestros
términos que tenemos en el paréntesis,
(6X — 6 ) * (6X — 4 )
6
3(2X — 2) * 2(3X — 2)
6
3 por 2 = 6
3(2X — 2) * 2(3X — 2)
6
Al quedar eliminado el 6 que dividía, nuestra solución final es:
(2X — 2) (3X — 2)
Listo
6x2 — 11xa — 10a2
Comprobación
(2x — 5a) (3x + 2a)
6x2 + 4xa — 15xa — 10a2
6x2 — 11xa — 10a2
La respuesta correcta es B)
CASO 9 DE FACTOREO CON GAUSS
(Con coeficiente principal distinto de 1)
2x3 - 3x2 - 11x + 6 = (x + 2).(x - 3).(2x - 1)
Divisores del término independiente (6): k = 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6
Divisores del coeficiente principal (2): a = 1, -1, 2, -2
Posibles raíces del polinomio: k/a
Entonces pueden ser raíces: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6, 1/2, -1/2, 3/2, -3/2
El polinomio podría ser divisible por alguno de estos binomios: (x - 1),
(x + 1), (x -2), (x + 2), (x + 3), (x - 3), (x + 6), (x - 6), (x + 1/2),
(x - 1/2),(x + 3/2) ó (x - 3/2). Es decir (x - a), siendo "a" una de esas posibles raíces.
Pruebo hacer varias de esas divisiones, hasta que encuentro que al dividir por (x + 2), el resto dá 0:
| 2 -3 -11 6
|
|
-2| -4 14 -6
2 -7 3 | 0
Cociente: 2x2 - 7x + 3
Resto: 0
Por ahora, la factorización queda: (x + 2).(2x2 - 7x + 3).
En el polinomio de segundo grado que quedó puedo volver a buscar raíces con Gauss, o aplicar el Séptimo
Caso (usar la cuadrática). Voy a seguir con Gauss:
2x2 - 7x + 3 =
Posibles raíces: 1, -1, 3, -3, 2, -2, 1/2, -1/2, 3/2, -3/2
Cuando pruebo dividir por (x - 3), encuentro que el resto dá 0:
| 2 -7 3
|
|
3| 6 -3
2 -1 | 0
Cociente: (2x - 1)
Resto: 0
Como ya tengo todos polinomios de grado 1, la factorización queda así:
(x + 2).(x - 3).(2x - 1)
Según Gauss, es posible encontrar raíces de un polinomio entre los divisores del término independiente, y en los
cocientes que forman esos divisores con el coeficiente principal (k/a). Para factorizar, hay que dividir al
polinomio por (x - raíz), división que tiene como resto 0. Luego, como en el Sexto Caso, se factorizan usando el
concepto de DIVIDENDO = DIVISOR X COCIENTE. (Nota: Para averiguar si un número es raíz del
polinomio uso la división, porque así lo suelen hacer en el Nivel Medio, pero se puede hacer de otra forma)
Estos casos son más difíciles de presentar. Estúdialos y practícalos, solo así los dominaras.
(3a-4b)(3a+4b)=
9a2 – 16b2
25a4 — 30a2b + 9b2
El primer y tercer términos tiene que tener raíz cuadrada perfecta. 25a4 su
raíz cuadrada es 5a2; 9b2 su raíz cuadrada es 3b. El segundo termino tiene
que ser el doble producto de multiplicar las raíces cuadradas obtenidas
(5a2) (3b) por 2 = 30 a2b
Este es el resultado (5a2 – 3b)2
5x - 3x = 2x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
= 5x
Les restas 3x
x
= 2x
Esto es lo que sombreas
x
x
¿Cuál es el duplo de un número aumentado en dos?
Ejemplo: 0,8
Desarrollo
a) El número buscado es : ( n )
b) Planteamiento : .... "el duplo de un número aumentado en dos unidades como 4 es a 7 "
.............. ......... 2 n ...... 4
................ .... -------- = ---.............. ........n + 2 ......7
c) Multiplicando en cruz:
............... ........ 14 n = 4 n + 8
............... ........ 10 n = 8
.......... ...... .......... ....... 8
.............. .............. .n = ----............ .............. ......... 10
.............. .............. .n = 0,8 RESPUESTA