RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS TRIANGULO RECTANGULO: En

Fs1 FISICA I
Página No.1
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
TRIANGULO RECTANGULO: En geometría, se llama triángulo rectángulo a todo triángulo que posee un ángulo recto, es decir,
un ángulo de 90 grados
EL TEOREMA DE PITAGORAS
El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos
a= Hipotenusa
b = Cateto
c = Cateto
EMPLEO DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
Conociendo los lados de un triángulo, averiguar si es rectángulo
Para que un triángulo sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los dos
menores.
Determinar si el triángulo es rectángulo.
CONOCIENDO LOS DOS CATETOS CALCULAR LA HIPOTENUSA
√
Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
√
Lic. Walter Enrique Castellanos Zetina
√
m
USAC-POPTUN
Fs1 FISICA I
Página No.2
CONOCIENDO LA HIPOTENUSA Y UN CATETO, CALCULAR EL OTRO CATETO
√
√
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m. ¿Cuánto mide otro cateto?
√
LEY DE SENOS Y COSENOS
Resolver un triángulo significa encontrar todos los datos que te faltan, a partir de los datos que te dan (que generalmente son
tres datos).
Nota: No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolver con la ley de los senos. A veces, por los datos
que te dan, sólo la ley de los cosenos lo puede resolver.
En general, si en un problema de triángulos te dan como datos dos ángulos y un lado, usa ley de los senos. Si por el contrario
te dan dos lados y el ángulo que hacen esos dos lados, usa la ley del coseno.
(del alfabeto griego)
α = alpha
β= beta
γ= gamma
LEY DE SENOS
La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo
cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos.
La ley de los Senos dice así:
sen sen
sen


A
B
C

A
B


Donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y ,  y  sonClos ángulos del triángulo:
Observa que las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a su letra mayúscula. O sea, la  está en el ángulo opuesto
de A. La  está en el ángulo opuesto de B. Y la  está en el ángulo opuesto de C. Siempre debe ser así cuando resuelvas un
triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te saldrá mal.
Ejemplo:

Resolver el triángulo siguiente usamos la ley de los Senos:
Llamemos  al ángulo de 27° porque está opuesto al lado B;  al ángulo de 43° y A al lado de 5.
Lo que tenemos entonces es lo siguiente:
A=5
B=
A

B
C=
 = 43°
 = 27°
=
Lic. Walter Enrique Castellanos Zetina


C
USAC-POPTUN
Fs1 FISICA I
Página No.3
El ángulo  es muy fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre suma 180°. O sea que
cuando te den dos ángulos de un triángulo, el tercero siempre sale así:
 = 180° –  – 
Esta fórmula es válida para cualquier triángulo. Así que apréndetela bien porque la usarás mucho en matemáticas.
Sustituimos en ésta expresión los ángulos que nos dan y queda así:
 = 180° –43° – 27° = 180° – 70° = 110°
= 110°
Ya tenemos entonces los tres ángulos: ,  y .
Para encontrar los lados faltantes:
Sustituyendo queda:
Sen 110°
Sen 43°
Sen 27°
sen

sen

sen



B
C
5A
sen
sen
sen


A
B
C
Nos fijamos ahora sólo en los dos primeros términos:
Haremos de cuenta como que el tercer término, (la que tiene la C) no existe ahorita, de la igualdad que está en el recuadro se
puede despejar la B, y calculamos ésta expresión:
Sen 43°
Sen 27°
sen

sen

sen

 B = 5 x 0.4539 / 0.6819 = 3.328
5A
B
C
y esto es lo que vale B.
Ya nada más falta calcular C. Para ello, volvemos a usar la ley de los Senos, pero ahora si nos vamos a fijar en una igualdad que
tenga a la C:
(Observa que ya sustituimos el valor de la B en la igualdad.)
Despejemos la C, hacemos las operaciones y queda:
Sen 110°
Sen 27°
sen

sen

sen

 C = 3.328 x 0.9396 / 0.4539 = 6.889
A
B
C
3.328
C
y con este resultado ya queda resuelto todo el triángulo.
Nota: que si en lugar de haber usado la igualdad de la derecha hubiéramos usado la de los extremos, el resultado habría sido
exactamente el mismoo escrito ya sin el término de en medio: igual despejamos la C, y si haces las operaciones verás que te
dá C = 6.889 igual que antes.
Así pudimos encontrar los valores faltantes del triangulo.
B =3.328
C = 6.89
 = 110°
LEY DE COSENOS
La ley de cosenos se puede considerar como una extensión del teorema de Pitágoras aplicable a todos los triángulos. Ella
enuncia así: el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble
producto de estos dos lados multiplicado por el coseno del ángulo que forman. Si aplicamos este teorema al triángulo de la
siguiente figura obtenemos tres ecuaciones:
a2 = b2 + c2 – 2bc (cos α)
b2 = a2 + c2 – 2ac (cos β)
c2 = a2 + b2 – 2ab (cos γ)

c

b
a
Lic. Walter Enrique Castellanos Zetina

USAC-POPTUN
Fs1 FISICA I
Página No.4
Resolver un triángulo significa obtener el valor de la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos internos.
Para resolver triángulos que nos son rectángulos se utiliza la ley de cosenos y/o la ley de senos. Todo dependerá de los
valores conocidos.
Ejemplo:
 Resolver el triángulo siguiente usamos la ley de los Cosenos:
Supongamos que del triángulo tenemos lo siguiente.
a = 9.3m
b = 5.4m

c
c=
=

 = 26°
b
a
 = 132°

El ángulo  es muy fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre suma 180°. Sale así:
 = 180° –  – 
Sustituimos en ésta expresión los ángulos que nos dan y queda así:
 = 180° –26° – 132° = 180° – 158° = 22°
= 22°
Para calcular el valor del tercer lado, podemos emplear la ley de cosenos:
2
2
2
C = a + b – 2ab (cos γ)
2
2
2
C = (9.3m) + (5.4m) – 2(9.3m)(5.4m)(cos 132°)
2
C = 86.49 + 29.16 – 2(50.22m)(cos 132°)
2
C = 86.49 + 29.16 – 100.44m (– 0.669)
2
C = 115.65+ 67.19
2
C = 182.84m
√
c= 13.52m; Así encontramos los valores faltantes.
c = 13.52m = 22°
Lic. Walter Enrique Castellanos Zetina
USAC-POPTUN