10/1/2014

TERCERA LECCIÓN CONTROL AUTOMÁTICO
ENERO 10 DE 2014
En la figura se muestra un sistema de control realimentado. El problema de diseño es la selección de
los parámetros α y β. Usando el método del lugar de las raíces:
a) (30 p) Haciendo β = 0, dibuje con todos los detalles posibles la trayectoria de las raíces para
variaciones en el parámetro α.
b) (30 p) Con α = 0.3, dibuje con todos los detalles posibles la trayectoria de las raíces para
variaciones en el parámetro β.
c) (20 p) Aplicando comparación de coeficientes, escoja el valor de β de manera que el tiempo
de asentamiento para las raíces dominantes sea igual a 3.2 segs. para α = 0.3.
d) (20 p) Determine las raíces características para α = 0.3 y el valor de β encontrado en c).
¿Existe en realidad dominancia de 2do. orden? Justifique su respuesta.
Solución.
a.)
 s 1
4
; Gp( s ) 
; H ( s)  1
 s 1
s ( s  2)
4( s  1)
E.C.: 1  GH ( s )  0  1 
0
s ( s  2)(  s  1)
Gc( s ) 
  0 ; 0     ; 1  K  F ( s)  0  1  
Asíntotas : n  2 ; m  1 
Centroide :  a 
n  m 1
 j 1 p j   i 1 zi
n
m
nm
Angulos _ asíntotas : a 
4s
4s
 0 ; 1 
0
s 2  2s  4
( s  1  3 j )( s  1  3 j )

(1  3 j )  (1  3 j )  (0)
 2
1
(2q  1)
180o
nm
; q  0,1, 2,..., ( n  m  1)
a  180o
Angulo _ salida _ polos _ complejos :
m
n
i 1
k 1
k j
 j _ salida    s j  zi    s j  pk
180o  (180  tan 1 3)  90o 180o  150o
Punto _ llegada _ eje _ real :
s 

e
;  
 2  2  4
d
;
4
d
 2  2 e  4
 e
 0.5
4 e

e
 (2  2)  ( 2  2  4)
 0   e  2
4 2
b.)
  0.3 ; 0     ; 1  K  F ( s)  0  1  
Asíntotas : n  2 ; m  3 
Centroide :  a 

n
j 1
p j   i 1 zi
n  m 1
m
nm
Angulos _ asíntotas : a 
s 2 ( s  2)
s 2 ( s  2)
 0 ; 1 
0
s  3.2s  4
( s  1.6  1.2 j )( s  1.6  1.2 j )
2

(1.6  1.2 j )  (1.6  1.2 j )  (2)
 1.2
1
(2q  1)
180o
nm
; q  0,1, 2,..., ( n  m  1)  0
a  180o
Angulo _ salida _ polos _ complejos :
m
n
i 1
k 1
k j
 j _ salida    s j  zi    s j  pk
180o  tan 1
1.2
1.2
 2(180  tan 1 )  90o 180o  87.82o
0.4
1.6
c.)
  0.3 ; Ts  3.2 seg ; Ts 
4
; n  1.25
n
4( s  1)
4(0.3s  1)
E.C.: 1  GH ( s )  0  1 
 0 ; 1
0
s ( s  2)(  s  1)
s ( s  2)(  s  1)
s ( s  2)(  s  1)  4(0.3s  1)  0 ;  s 3  (2   1) s 2  3.2 s  4  0
2   1 2 3.2
4
1. s 3 
s 
s 0



Por _ comparación _ de _ coeficientes _ con _ una _ de _ tercer _ orden :
2. ( s  r )( s 2  2n s  n2 )  0  s 3  (2n  r ) s 2  (2n r  n2 ) s  rn2  0

2  1
1  0.5
 2n  r  2.5  r  r 
 a.




3.2
 2n r  n2  2.5r  n2
b.



4
4
c.
 rn2
;
 n2


r

3.2
4
c.  b.  d .
 2.5r 
 3.2r  2.5 r 2  4

r
a.  d
3.2
1  0.5

 1  5.18
 1  0.5 
2
 2.5 
  4  0.625  3.1  0.7  0 ;    0.22
 

 2
2
d.
 2   1  2  2  4 
4
s 
s  0

  
  
s1  4.06


3
2
s  6.54s  14.54s  18.18  0   s2  1.24  1.71 j
 s  1.24  1.71 j
 3
  0.3 ;   0.22 ; s 3  
Dominancia ?
D
D 4.06
D  5d ;
5 ;

 3.28  5
d
d 1.26
No _ hay _ dominancia _ de _ segundo _ grado.