Recurso M.1.2 - LEMA PROJECT

Recurso M.1.2
MODELIZACIÓN ▪ ¿Qué es la modelización? ▪ Recurso M.1.2 página 1
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Recurso M.1.2
MODELIZACIÓN ▪ ¿Qué es la modelización? ▪ Recurso M.1.2 página 2
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MODELIZACIÓN ▪ ¿Qué es la modelización? ▪ Recurso M.1.2 página 3
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MODELIZACIÓN ▪ ¿Qué es la modelización? ▪ Recurso M.1.2 página 4
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MODELIZACIÓN ▪ ¿Qué es la modelización? ▪ Recurso M.1.2 página 5
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MODELIZACIÓN ▪ ¿Qué es la modelización? ▪ Recurso M.1.2 página 6
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Recurso M.1.2
Tarea:
Contexto
Conocimiento matemático
Soluciones
Actividad de quien la resuelve
MODELIZACIÓN ▪ ¿Qué es la modelización? ▪ Recurso M.1.2 página 7
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Recurso M.1.3
Directrices para la reflexión
Respecto al contexto de la tarea:
¿Es real? ¿Es auténtica? ¿O es una reproducción más o menos
distorsionada de un segmento de la realidad con un propósito
únicamente didáctico?
¿Es interesante para los alumnos? ¿Es relevante para sus vidas
(vida diaria, democrática, crítica, profesional)?
Respecto al conocimiento matemático implicado:
¿Está determinado por completo? ¿Es posible utilizar distintos
elementos de conocimiento matemático (incluso de dominios
matemáticos distintos)?
Respecto a las soluciones esperadas:
¿Cuántas soluciones se esperan?
¿Cuál es la naturaleza de la(s) solución(es) esperada(s)? ¿Un
número, una medida, un gráfico, una expresión algebraica, un
cuadro?
¿Hasta qué punto es importante la relación entre la solución
obtenida y el punto de partida?
Respecto a la actividad del que resuelve el problema:
¿Se espera que él o ella lleven a cabo un procedimiento
proporcionado por adelantado como la manera óptima de resolver
la tarea? ¿O se espera que explore la situación, construya distintas
maneras de trabajar, busque nuevas preguntas, interprete y valide
su solución?
MODELIZACIÓN ▪ ¿Qué es la modelización? ▪ Recurso M.1.3 página 1
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Recurso M.1.4
Contexto
Conocimiento
matemático
Soluciones
Actividad de
quien la
resuelve
TAREA
1
TAREA
2
TAREA
3
TAREA
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TAREA
5
TAREA
6
MODELIZACIÓN ▪ ¿Qué es la modelización? ▪ Recurso M.1.5 página 1
© LEMA 2007
Recurso M.1.5
Este recurso proporciona algunas sugerencias sobre cómo uno podría trabajar con
las tareas contenidas en este módulo.
Tarea 1: «Firmar contra una nueva ley»
Intenta calcular, aproximadamente, el volumen que ocupan las hojas de papel que
contienen las firmas. Las suposiciones deben hacerse basándose en el número de firmas por
hoja y en si ambas caras del papel se utilizan o no.
Por ejemplo: 10 firmas por hoja en una sola cara sólo requerirían 4.000.000 ÷ 10 = 400.000
hojas.
¿Cuál es el volumen que ocupa este número de hojas de papel?
Se puede utilizar una caja normal, que contiene 2.500
hojas de papel (las medidas son aproximadas):
31 cm x 23 cm x 25 cm = 25.000 cm3 = 0,025 m3
Esto quiere decir que 400.000 ÷ 2.500 = 160 cajas
necesarias, que ocupan, aproximadamente: 160 x 0,025
= 4 m3
Finalmente, necesitamos saber la capacidad de cada furgoneta.
Esta información puede encontrarse en una página web de alquiler de furgonetas:
“Ford Transit – 5 puertas – Capacidad de carga 5.5m3 (aprox.).”
Por lo tanto, una sola furgoneta es suficiente para llevar las firmas al Congreso.
Considerando que se ha hecho una estimación por lo bajo del número de firmas por hoja,
parece que no se necesitaban 10 furgonetas.
Tarea 2: «Frecuencia cardiaca»
Se proporcionan dos funciones que describen la relación entre la edad, x, y la
Frecuencia Cardiaca Máxima Recomendada (FCMR):
MRHR old ( x)
220 x frente a MRHR new ( x)
208 0,7 x
Hay que hallar la edad después de la cual la nueva fórmula proporciona una mayor
Frecuencia Cardiaca Máxima Recomendada.
MODELIZACIÓN ▪ ¿Qué es la modelización? ▪ Recurso M.1.5 página 1
© LEMA 2007
Recurso M.1.5
Una solución algebraica:
edad x / MRHRnew ( x)
MRHRold ( x)
edad x / 208 0,7 x 220 x
edad x / 0,3x 12
edad x / x
12
0,3
x
40
Desde los 40 años en adelante la nueva fórmula recomienda una frecuencia cardiaca
máxima mayor que la fórmula antigua.
EDAD
FCMR nueva
FCMR antigua
También se puede adoptar un enfoque
aritmético. La Frecuencia Cardiaca Máxima
Recomendada que proporciona cada fórmula
puede calcularse utilizando una hoja de cálculo.
Los datos muestran que a los 40 años la
Frecuencia
Cardiaca
Recomendada
proporcionada por cada fórmula es la misma.
Desde los 40 años en adelante la nueva
fórmula recomienda una frecuencia cardiaca
máxima mayor que la fórmula antigua.
10
11
12
13
14
15
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19
20
21
22
23
24
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29
30
31
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33
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37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
201
200,3
199,6
198,9
198,2
197,5
196,8
196,1
195,4
194,7
194
193,3
192,6
191,9
191,2
190,5
189,8
189,1
188,4
187,7
187
186,3
185,6
184,9
184,2
183,5
182,8
182,1
181,4
180,7
180
179,3
178,6
177,9
177,2
176,5
175,8
175,1
174,4
173,7
210
209
208
207
206
205
204
203
202
201
200
199
198
197
196
195
194
193
192
191
190
189
188
187
186
185
184
183
182
181
180
179
178
177
176
175
174
173
172
171
MODELIZACIÓN ▪ ¿Qué es la modelización? ▪ Recurso M.1.5 página 2
© LEMA 2007
Recurso M.1.5
Tarea 3: «Festival de música»
Esta es una tarea muy abierta. Deben hacerse muchas suposiciones para asegurarse
de que la tarea es lo suficientemente simple como para intentarlo.
Una simplificación posible podría ser distinguir entre el uso de las distintas zonas del
festival:
zona de equipamiento general (entrada, escenarios, camiones, servicios
médicos, bares al aire libre, servicio de seguridad, aseos, etc.),
zona en la que la gente estará de pie escuchando los conciertos,
zona donde se colocarán las tiendas de campaña,
otras zonas: senderos, arbolado...
Hay que asignar un porcentaje a cada zona: por ejemplo, se puede asumir que el
50% se podría utilizar para personas de pie y sus tiendas de campaña y el otro 50%
para equipamiento general, senderos, arbolado... Esto quiere decir que hay
1.800.000 metros cuadrados disponibles para personas.
Trabajando con estos datos, son necesarias nuevas decisiones sobre el espacio
necesario para las tiendas y el espacio necesario para los conciertos. Por ejemplo,
puede ser razonable asignar 1 metro cuadrado por persona que asista al concierto,
aunque las reglas de seguridad pueden sugerir un área mayor. También es
necesario calcular el área que ocupa una tienda (las páginas web de fabricantes de
tiendas sugieren que una tienda para dos personas puede ocupar entre 5 y 6 metros
cuadrados, pero también hay que calcular el espacio entre las tiendas. Diez metros
cuadrados por tienda puede ser una buena estimación). Finalmente, puede
suponerse que todas las personas que asistan al festival utilizarán tiendas para
dormir (esto probablemente no sea así, pero los organizadores tienen que estar
preparados por si acaso).
Con estas aproximaciones y simplificaciones de la situación, una manera de proceder
puede ser fijar un número hipotético de entradas (por ejemplo, 150.000, el número
que se vendió en 2005) y calcular el área necesaria:
Para los conciertos: 150.000 m2
Para las tiendas:
o si es de un solo uso: 10 m 2 * 150.000 1.500.000 m 2
o si es de doble uso: 750.000 m2
Esto sugiere que las suposiciones que hemos hecho tienen que revisarse para
confirmar esta estimación, o que el número de entradas vendidas debe aumentarse.
MODELIZACIÓN ▪ ¿Qué es la modelización? ▪ Recurso M.1.5 página 3
© LEMA 2007
Recurso M.1.5
Tarea 4: «Gas natural»
Para resolver esta tarea necesitamos suposiciones sobre el consumo de gas. El
enfoque más simple es suponer que el consumo de gas es constante si tomamos un
período largo. No obstante, se pueden considerar distintos ritmos de consumo para
períodos distintos.
Para desarrollar el primer caso se pueden considerar distintos enfoques.
Dependiendo de la competencia matemática, se puede utilizar una simulación
aritmética (usando o no una hoja de cálculo) o un enfoque algebraico. En ambos
casos, las representaciones gráficas podrían ser útiles para comparar el consumo de
gas a lo largo del tiempo. Un modelizador más sofisticado podría utilizar parámetros
para controlar y modificar el consumo de gas dependiendo de los resultados que
proporcione su modelo.
Ejemplos:
Mismo consumo (2,5 billones de metros cúbicos) cada año:
o Modelo aritmético: 141,8 ÷ 2,5 = 56,72  hay gas para los siguientes
56 años  en 2050 las reservas de gas natural estarán vacías (a
menos que se encuentren nuevos yacimientos).
o Modelo algebraico: sean x los años desde 1993 y G(x) el gas que
queda en las reservas. Entonces: G( x) 141,8 2,5x . Las reservas
141,8
estarán vacías cuando G(x) 0  x
56,72 . Entonces, 57 años
2,5
después de 1993, las reservas de gas natural estarán vacías (a menos
que se encuentren nuevos yacimientos).
Aumentar el consumo (+10%) cada año1:
o Modelo aritmético (utilizando una hoja de cálculo):
Consumo
Reservas
o
2006
2007
2008
2,5
2,75
3,025
109,3
2009
2010
2011
3,3275 3,66025 4,02628
106,55 103,525 100,198 96,5373
2012
2013
2014
2015
2016
4,4289 4,87179 5,35897 5,89487 6,48436
92,511 88,0821 83,2103 77,8513 71,9564 65,4721
o Modelo algebraico: sean x los años transcurridos desde 2006 y G(x) el
1,1x 1 1
gas que queda en las reservas. Entonces: G ( x) 109,3 2,5
1,1 1
o Modelo gráfico:
1
Empezando en 2007 y considerando que el consumo de gas desde 1993 hasta 2006 ha sido de 2,5 billones de
metros cúbicos anuales de media. Eso quiere decir que habrá 109,3 billones de metros cúbicos a finales de 2006.
MODELIZACIÓN ▪ ¿Qué es la modelización? ▪ Recurso M.1.5 página 4
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Recurso M.1.5
Consumo ascendente (+10%)
120
100
Billones de metros cúbicos
80
60
Consumo de gas
Reservas de gas
40
20
0
200620072008200920102011201220132014201520162017201820192020202120222023
-20
Años
Tarea 5: «Huevos de pascua»
Daniela ha encontrado 23 huevos. Ha encontrado 9 huevos más que Cris  Cris ha
encontrado 23 + 9 = 14 huevos.
Juani ha encontrado tantos huevos como Cris y Daniela juntos  Juani ha
encontrado: 23+14=37 huevos.
Tarea 6: «Vecinos»
El único dato disponible es que hay 8 pisos en el edificio. Más allá de esto, hay que
hacer suposiciones para simplificar y estructurar la situación. Encontrar el intervalo
en el que se encuentra el número de personas en el bloque de pisos es quizá un
mejor enfoque que encontrar una solución única.
La fotografía muestra que el bloque tiene una estructura geométrica regular. Quizá
podría resultar razonable suponer que hay 4 pisos por planta. Esto quiere decir que
hay 32 pisos en total.
Partiendo de esto, podría resultar de mucha ayuda tener más información sobre la
zona en la que está el edificio. Por ejemplo, si es una zona en la que normalmente
todos los pisos están ocupados por completo o es una zona en la que hay muchos
pisos vacíos. O podría ser importante la estructura social de la zona: por ejemplo, si
hay gente joven, gente mayor, familias jóvenes, inmigrantes... Otra información
social, como el número probable de miembros de una familia o el porcentaje de
gente que vive sola, podría ser muy útil también y puede estar disponible en
Internet.
MODELIZACIÓN ▪ ¿Qué es la modelización? ▪ Recurso M.1.5 página 5
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Recurso M.1.5
La estimación más baja sería 0. La más alta es difícil, pero no es corriente que más
de 6-8 personas vivan en el mismo piso (una gran familia): esto nos lleva a un rango
de unas 192-256 personas.
Una estimación realista debe incluir personas que vivan solas (1 persona), familias
jóvenes (sin hijos) o familias mayores (cuyos hijos o hijas ya no viven con ellos, 2
personas) y familias medias (4-6 personas).
Por ejemplo, si la mitad de los pisos los ocupan familias medias, un cuarto por
familias de dos miembros y un cuarto personas viviendo solas, habrá entre 88 y 120
personas.
Si usamos parámetros, si f son las familias medias (4 miembros), a las personas que
viven solas y t las familias de dos miembros, la cantidad total de personas que viven
en el piso puede representarse con la expresión algebraica: T ( f , a, t ) 4 f a 2t
MODELIZACIÓN ▪ ¿Qué es la modelización? ▪ Recurso M.1.5 página 6
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