Anexo Apopular!

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ANEXO A
OPERACIONES Y ALGORITMOS DEL ÁRBOL R
OPERACIONES
BÚSQUEDA
El algoritmo de búsqueda desciende en el árbol desde de la raíz en una forma similar al
árbol B. Sin embargo, más de un subárbol bajo un nodo visitado puede necesitar ser
buscado, ya que no es posible garantizar un buen desempeño del peor caso. Sin embargo,
con datos semejantes el algoritmo de actualización puede mantener unas forma que permita
al algoritmo de búsqueda eliminar regiones irrelevantes del espacio de indexación, y
examinar solamente los datos cercanos al área de búsqueda.
Se denota E.I el índice de entrada del rectángulo E y E.p el identificador de tupla o el
apuntador al hijo.
INSERCIÓN
La inserción de registros de índices para nuevas tuplas de datos es similar a la inserción en
un árbol B, en donde los nuevos registros de índice son adicionados en las hojas, los nodos
que se llenan son divididos y la división se propaga hacia arriba en el árbol.
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ALGORITMOS
BÚSQUEDA
Dado un árbol R donde el nodo raíz es T, encuentra todos los registros de índice donde los
rectángulos se solapan con el rectángulo de búsqueda S.
S1. Buscar subárboles
Si T no es una hoja, chequea cada entrada E para determinar si E.I se
solapa con S. Para todas las entradas que se solapan, invoca s BUSCAR
sobre el subárbol donde el nodo raíz es apuntado por E.p.
S2. Buscar en nodos hojas
Si T es una hoja, chequea todas las entradas de E para determinar si E.I se
solapa con S. Si es así, E es una registro cualificado.
INSERCIÓN
La inserción de registros de índices para nuevas tuplas de datos es similar a la inserción en
un árbol B, en donde los nuevos registros de índice son adicionados en las hojas, los nodos
que se llenan son divididos y la división se propaga hacia arriba en el árbol.
Inserta una nueva entrada de índice E en el árbol R.
I1. Encontrar la posición para un nuevo registro
Invoca Escoger_Hoja para seleccionar un nodo hoja L en el cual se va a
colocar a E.
I2. Adicionar el registro en el nodo hoja
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Si L tiene espacio para otra entrada, adicionar E.
De lo contrario, invocar a Dividir_Nodo para obtener a L y a LL
conteniendo a E y todas las entradas anteriores de L.
I3. Propagar cambios hacia arriba
Invocar Ajustar_Arbol sobre L, y por LL si ocurrió una división.
I4. Aumentar altura en el árbol
Si la propagación de la división de un nodo causa que la raíz se divida,
crear un nuevo nodo raíz donde los hijos son los dos nodos resultantes.
ESCOGER_HOJA
Selecciona un nodo hoja en el cual se va a colocar una nueva entrada de índice E.
CL1. Inicializar
Fije a N a ser el nodo raíz.
CL2. Chequear hoja
Si N es una hoja, retorne N.
CL3. Escoger subárbol
Si N no es una hoja, fije a F a ser la entrada en N, en donde el rectángulo
F.I necesite la mínima ampliación para incluir a E.I. Si existen varias
entradas, escoger la entrada con área de rectángulo más pequeña.
CL4. Descender hasta que una hoja sea alcanzada
Fije a N a ser el nodo hijo apuntado por F.p repita desde CL2.
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AJUSTAR_ ÁRBOL
Asciende desde un nodo hoja L hasta la raíz, ajustando los rectángulos cubiertos y
propagando la división de nodos cuando sea necesario.
AT1. Inicializar
Sea N=L. Si L ha sido dividido previamente, fije NN a ser el segundo nodo
resultante.
AT2. Chequear si terminó
Si N es raíz, parar.
AT3. Ajustar los rectángulos cubiertos por la entrada padre
Fije a P a ser el nodo padre de N, y sea EN la entrada de N en P. Ajustar
EN.I de tal forma que ajuste todas las entradas de los rectángulos cubiertas
por N.
AT4. Propagar división de nodos hacia arriba
Si N tiene un padre NN resultante de una división anterior, crear una nueva
entrada ENN con ENN.P apuntando a NN y ENN.I incluyendo todos los
rectángulos en NN. Adicionar ENN a P si hay espacio. De lo contrario,
invocar a DIVIDIR_NODO para producir a P y a PP conteniendo a ENN y
todas las entradas anteriores de P.
AT5. Moverse hacia el próximo nivel hacia arriba
Fije a N=P y NN=PP si ha ocurrido una división.
Repetir desde AT2.
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DE BORRADO
Remueva los registros de índice E de un árbol R.
D1. Encontrar los nodos que contienen el registro.
Invocar a Encontrar_Hoja para localizar el nodo hoja L que contiene a E.
Parar si el registro no ha sido encontrado.
D2. Borrar registro
Remueva E desde L.
D3. Propagar cambios
invocar Condensar_Arbol, pasando L.
D4. Reducir árbol
Si el nodo raíz sólo tiene un hijo después de que el árbol ha sido ajustado,
hacer que el hijo sea la nueva raíz.
ENCONTRAR_HOJA
Dado un árbol R donde el nodo raíz es T, encuentra el nodo hoja que contiene la entrada de
índice E.
FL1. Buscar subárboles
Si T no es una hoja, chequear cada entrada F en T para determinar si F.I
abarca a E.I. Para cada entrada invocar Encontrar_Hoja sobre el árbol
donde la raíz está apuntada por F.P hasta que E sea encontrada o hasta que
todas las entradas hayan sido chequeadas.
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FL2. Buscar nodo hoja del registro
Si T es una hoja, chequear cada entrada para ver si es E.
Si encuentra a E retorna T.
CONDENSAR_ÁRBOL
Dado un nodo hoja L desde el cual una entrada ha sido borrada, eliminar el nodo si tiene
también pocas entradas y relocalizar las entradas. Propagar la eliminación de nodos hacia
arriba si es necesario. Ajustar todos los rectángulos abarcados en la trayectoria hasta la raíz.
CT1. Inicializar
Fijar N=L. Fije a Q, a ser el conjunto de nodos eliminados, a ser vacio.
CT2. Encontrar la entrada del padre
Si N es la raíz, ir a CT6. De lo contrario, fije a P a ser el padre de N, y fije
a EN a ser la entrada de N en P.
CT3. Eliminar nodos
Si N tiene menos de m entradas, borrar EN de P y adicionar N a Q.
CT4. Ajustar rectángulos abarcados
Si N no ha sido eliminado, ajustar EN.I a contener todas las entradas en N
lo más preciso posible.
CT5. Moverse en el árbol hacia el nivel superior
Fijar N=P y repetir desde CT2.
CT6. Reinsertar las entradas huérfanas
Reinsertar todas las entradas de los nodos del conjunto Q.
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Las entradas eliminadas de los nodos hojas, son reinsertadas en las hojas del árbol
como se describió en al algoritmo de Inserción, pero las entradas de los nodos del
los niveles superiores deben ser colocadas arriba en el árbol, de tal manera que las
hojas de ese subárbol dependiente estarán en el mismo nivel de las hojas del árbol
principal.
ACTUALIZACIÓN
Si una tupla de datos es actualizada de tal forma que el rectángulo cubierto se modifique, el
registro de índice debe ser borrado, actualizado y luego reinsertado, de modo que encuentre
un lugar a la derecha en el árbol.
DIVISIÓN DE NODOS
En orden a adicionar una nueva entrada a un nodo completo que contiene M entradas, es
necesario dividir el conjunto de M+1 entradas en dos nodos. La división deberá hacerse de
tal forma de que la probabilidad, de que los dos nuevos nodos necesiten ser examinados en
búsquedas futuras, sea mínima. Debido a que la decisión de visitar un nodo depende de si
los rectángulos abarcados traslapan el área de búsqueda, el área total de los dos rectángulos
abarcados después de la división, debe ser minimizada. La figura 17 ilustra éste punto. El
área de los rectángulos abarcados en el caso de “mala división” es mucho más grande que la
del caso de “buena división”.
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El mismo criterio debe ser utilizado en e procedimiento de Escoger_Hoja para decidir en
donde se inserta una nueva entrada de índice: en cada nivel del árbol, el subárbol escogido
deberá ser aquel en donde el rectángulo abarcado tenga la menor amplitud.
A continuación se mostrarán los algoritmos para particionar un conjunto de M+1 entradas
en dos grupos.
ALGORITMO EXHAUSTIVO
La forma más directa de encontrar el área mínima del nodo a dividirse, es generando todos
los posibles grupos y escogiendo el mejor. Sin embargo, el número de posibilidades es
aproximadamente 2M-1 y un valor razonable de M es 50. Esto es debido a que un rectángulo
en dos dimensiones puede ser representado por cuatro números de cuatro bytes cada uno. Y
si el apuntador también toma cuatro bytes, cada entrada requiere de 20 bytes. Una página de
1024 bytes deberá contener alrededor de 50 entradas. Por lo tanto, el número posible de
divisiones será muy grande.
ALGORITMO DE COSTO CUADRÁTICO
Este algoritmo pretende encontrar un área pequeña para la división, pero no garantiza
encontrar el área más pequeña. El costo es cuadrático en M y lineal en el número de
dimensiones. El algoritmo escoge dos de las M+1 entradas a ser los primeros elementos de
los dos nuevos grupos, escogiendo el par que gaste la mayor área si ambos fueran colocados
en el mismo grupo, esto es, el área de un rectángulo que abarque ambas entradas, menos el
área de cada una de las entradas que son mayores. El resto de entradas se asignan luego, de
a una, a los dos grupos. En cada paso el área de expansión requerida por adicionar dichas
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entradas a los grupos, es calculada, y la entrada asignada es la que muestre la mayor
diferencia entre los dos grupos.
ALGORITMO DIVISIÓN_CUADRÁTICA
Divide un conjunto de M+1 entradas de índices en dos grupos
QS1. Escoger la primera entrada para cada grupo
Invoca el algoritmo Escoger_Origen para seleccionar dos entradas que
irán a ser el primer elemento de cada uno de los grupos.
QS2. Distribuir entradas
Repetir
Invocar Distribuir_Entradas
Hasta que todas las entradas son distribuidas o hasta que uno de los grupos tenga
M-m+1 entradas.
QS3. Si sobran entradas, asignarlas al otro grupo
ALGORITMO Escoger_Origen
Selecciona dos entradas que irán a ser las primeras en cada grupo.
PS1. Calcular ineficiencia de las entradas agrupadas
Por cada par de entradas E1 y E2 forme un rectángulo J incluyendo a E1.I y
a E2.I.
Calcular d = área(J) - área(E1.I) - área(E2.I)
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PS2. Escoger el par que ocupe más espacio
Escoger el par con mayor d.
ALGORITMO Distribuir_Entradas
DE1. Invocar Escoger_Próximo para escoger la próxima entrada a ser asignada.
DE2. Seleccionar entrada a asignar
Adicionar al grupo donde el rectángulo que lo abarque tenga la
más pequeña amplitud. Si existe empate, éste se resuelve adicionando la
entrada al grupo con área más pequeña, luego al que tenga menos
entradas, luego a cualquier otro.
ALGORITMO Escoger_Próximo
Seleccionar una de las entradas restantes para clasificarla en un grupo.
PN1. Determinar el costo de colocar cada entrada en cada grupo
Para cada entrada E que aún no está en el grupo, calcular d1 = el
incremento del área requerida en el rectángulo cubierto por el grupo 1 al
incluir E.I.
Calcular d2 = en forma similar para el grupo 2.
PN2. Escoger la entrada con mayor preferencia.
Escoger la entrada que tenga la mayor diferencia entre d1 y d2.
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ALGORITMO DE COSTO LINEAL
Este algoritmo es lineal en M y en el número de dimensiones. La División Lineal es
idéntica a la División Cuadrática, pero utiliza una versión diferente en el procedimiento de
Escoger_Origen. El algoritmo de Escoger_Próximo escoge cualquiera de las entradas.
ALGORITMO Escoger_Origen_Lineal
Selecciona dos entradas a ser los primeros elementos en cada uno de los dos grupos.
LPS1. Encontrar los extremos de los rectángulos en todas las dimensiones.
Para cada una de las dimensiones hallar la entrada donde el
rectángulo tenga la parte inferior más alta, y la parte superior más
baja. Registrar la separación.
LPS2. Ajustar la forma del rectángulo almacenado
Normalizar las separaciones dividiendo éstas por el ancho del conjunto
de entradas, en la correspondiente dimensión.
LPS3. Seleccionar el par con máximo extremo
Escoger la pareja con la mayor separación normalizada en cualquier
dimensión.