Guia 1 Algebra I I

Guia 1 Algebra II
Marzo 2013
Grupo A
Name
1. Escriba una matriz A = (aij ) de orden nxn, para n =2, 3 con las características indicadas
a) 0 ≤ aij ≤ 1,
c)
n
i=1
aij =
n
j=1
n
j=1
aij = 1 ∀i; b) aij = (−1)i+j ;
aij = 1; d)
e) akj = ik−j donde
n
i=1
aij =
n
j=1
aij =
n
i=1
aii =
n
i=1
ai(n+1−i) ;
i2 = −1
2. Sea x ∈ R , si [x] = es la parte entera de x ( es decir el menor entero que es
mayor o igual a x ) construya las sgtes matrices.
a) A = (aij )3x5 donde aij = [ji ]; b) B = (bij )4x3 donde bij = [i + ji ];
]; d) D = (dij )4x3 donde dij =
c) C = (cij )3x3 donde cij = [ j+1
i+2
i+j
k=1
k;
3. Sean A = (aij )3x3 con aij = 0 si i > j y 1 en caso contrario,
B = (bij )3x3 con bii = 1; b(i+1)i = bi(i+1) = 1 y cero en caso contrario
Encuentre una matriz X tal que AX = B
4. Teniendo presente igualdad de matrices, determine x, y ∈ R tales que :
x y2
x2 y
a)
−1
1
1 −1
=
; b)
x2 + 3x
5 − y2
=
−3
2y + 4
5. Sean M ∈ Mmxn (K) y α ∈ R entonces definimos
la matriz αM como la matriz de orden mxn tal que [αM ]ij = α[M]ij ∀i, j
Si M, N ∈ Mn (K) y α, β ∈ K demuestre que:
i) (α + β)M = αM + βM; ii) α(M + N) = αM + αN
iii)
α(βM) = (αβ)M
6. Encuentre matrices X, Y ∈ M2 (R) tales que verifiquen :
3X + 4Y =
−2X + 3Y =
7. Sean A =
5 2
−12 9
8 −7
−9 −6
2 −8
10
6
; B=
1 −1
2 −3
; C=
0
2
−2 −4
Analice si existen λ1 , λ2 , λ3 ∈ R tales que: λ1 A + λ2 B + λ3 C = 0




1 2
2 −2
1 −4 6
8. Si A =
B = −2 3  C = 1 −1 
2
i 3
5 7
1 −2
Calcular B + C;
BA;
A(2B − 3C); A + At ; BC t ; B t At ; (AAt )2
Nota: Sea A ∈ Mmxn (K) entonces definimos la matriz At como la matriz
de orden nxm tal que
[At ]ij = [A]ji ∀i, j
La matriz At ∈ Mnxm (K) se llama la matriz transpuesta de A, ver propiedades
en ejercicio 27
9. Efectuar las siguientes operaciones

2
2 1 1
3
n
n
2 1
1 1
cos α −senα


a) 3 1 0
; b)
; c)
; d)
;
1 3
0 1
senα
cos α
0 1 2

 
4 −1 2
x
3
1 0 −1
1 1



−1
0
1
y 
f
)
(x
y
z)
·
e)
1
−3 3
1 1
3
2
1 0
z


1 1 1
10. a) Sea A =  1 1 1  encuentre A2 y deduzca An
1 1 1




1 1 0
1 ap bp
b) Sea A =  0 1 1  encuentre A2 y A3 haciendo Ap =  0 1 ap 
0 0 1
0 0 1




1 −1 −1
an bn bn
1 −1  demuestre que An tiene la forma  bn an bn 
11. Sea A =  −1
bn bn an
−1 −1
1
y los elementos an ; bn satisfacen la relación de recurrencia un = un−1 + 2un−2 ,
obtenga an y bn .
12. Demuestre que toda matriz A =
a b
c d
, satisface
la ecuación matricial X 2 − (a + d)X + (ad − bc)I2 = 0
13. Sea f (t) = −2 + 5t − 3t2 encuentre f (A) donde A =

1 1 0
14. Si A =  0 1 1  encuentre A50
0 0 1
1 2
3 1

15. Sean A = (a1 a2 a3 ... an )t ; B = (b1 b2 b3 ... bn ) encuentre
a) AB; BA; b) B t At ; c) At + B
16. Encuentre A, B ∈ M5 (R) no nulas tales que AB = 0




2 −3 −5
−1
3
5
4
5  y B =  1 −3 −5 
17. Sean A =  −1
1 −3 −4
−1
3
5
2
verifique las siguientes igualdades
a) (A + B)(A − B) = A2 − B 2 b) (A + B)2 = A2 + B 2 c) (A − B)2 = A2 + B 2
analice si estas igualdades son siempre válidas para cualquier A, B ∈ M3 (R),
en caso que no lo fuera, mencione un contrejemplo.
18. Hallar todas las matrices que conmutan con la matriz A dada.


1 0 0
1
2
1 1
a) A =  0 1 0  ; b) A =
; c) A =
−1 −1
0 1
3 1 2


0 1 0 0
 0 0 1 0 

d) A = 
 0 0 0 1 
0 0 0 0
19. Demuestre que :

λ 0
20. Si A =  2λ λ
3λ 2λ
∀A ∈ Mn (K), A2 = In ⇐⇒ (A + I)(A − I) = 0

0
0  calcule An ( Ayuda : exprese A = λI3 + λB )
λ
21. Verifique que la ecuación matricial

1
2
3
2

2 −1
X − X − 5X + 5I = 0 admite la solución A =
0
0

 
1
1 −1
1



2
1
0
4
22. Hallar una matriz X tal que :X
=
1 −1
1
1
23. Se dice que A ∈ Mn (R) es ortogonal ⇐⇒ AAt = I

0
0 
1

−1 3
3 2 
−2 5
t
Se dice que A ∈ Mn (C) es Hermítica o Hermitiana ⇐⇒ A∗ = A = A
Se dice que A ∈ Mn (C) es Antihermítica o Antihermitiana ⇐⇒ A∗ = −A
Se dice que A ∈ Mn (C) es unitaria ⇐⇒ AA∗ = I
A2 = I
Se dice que A ⇐⇒ es involutiva
a) Demuestre que si A posee dos de las tres propiedades siguientes :Simétrica,
involutiva, ortogonal entonces A también posee la tercera.
b) Demuestre que si A posee dos de las tres propiedades siguientes: real,
unitaria, ortogonal entonces A también posee la tercera.
24. Demuestre que:
a) Si P es idempotente, entonces Y = 2P − I es involutiva
b) Si Q es involutiva, entonces Y = 12 (Q + I) es idempotente
25. Demuestre que A, B conmutan ⇐⇒ At y B t conmutan
3


1 2 3
26. Sea A =  4 5 6 ,
7 8 9
a) Escriba A como la suma de una matriz simétrica y de otra antisimétrica.
b) Escriba A como la suma de dos matrices triangulares
27. Sean A, B ∈ Mn (K) demuestre que :
a) (A + B)t = At + B t , b) (AB)t = B t At , c) A es simétrica ⇐⇒ At = A ,
d) (At )−1 = (A−1 )t .¿ Qué ocurre si A es antisimétrica ?
t
28. Si A, B ∈ Mn (C) y A∗ = A demuestre que :
a) ((A)∗ )∗ b) (A + B)∗ = A∗ + B ∗ , b) (AB)∗ = B ∗ A∗
29. Sean A =
2 − 3i 4 + 2i
3i
5
encuentre (AB)∗ =
−2 −2 + i
3 − 2i 4 + 2i
y B=
; A∗ + B ∗ =
30. Demuestre que: si A es simétrica entonces A∗ es simétrica
Si A es antisimétrica ¿cómo es A∗ ?
31. ¿Cuál es la forma de una matriz triangular y simétrica ?
32. Si A es invertible entonces demuestre que
B es simétrica ⇐⇒
At BA es simétrica
33. Encuentre una expresión para la potencia (A + B)p en los casos:
i) B = In ;
ii) AB = BA;
iii) Se cumple ii) y B es nilpotente.
34. Determine cuáles de las matrices que se dan son Hermitianas.




3
i
1 2i 1 − i
1
1−i
0  b)
−i 
a)  2i
c)  −2i 3
1−i
0
1 −3
1−i i
−1






1 1
i
1−i 1 0
1 1−i
i
0 i 3  f) 
i
1 −i 
d)  1 2 −i  e) 
−i i 3
−1 2 −i
1−i
i
i


3
i 4−i
2i 0
−i 
g) 
1 − i −i 2 − i
35. Demuestre que toda matriz A ∈ Mn (C) puede ser expresada como la suma
de una matriz Hermitiana y una Antihermitiana.
36. Sean A, B ∈ Mn (R) se define A × B = AB − BA,
Demuestre que : a) A × B = −B × A;
4
b) A × (B + C) = A × B + A × C
37. Demuestre que:
Si A ∈ M2x1 (R) y B ∈ M1x2 (R) entonces AB no es invertible
38. Demuestre que ∼ es una relación de equivalencia en Mn (IR)
F
39. Utilizando operaciones elementales por filas determine la matriz escalonada reducida
equivalente a cada una de las matrices siguientes:




1 −2 3 −1
3 1 2 1 0 0
1 2
A=
; B =  2 −1 2 3  ; C =  2 1 1 0 1 0  ;
2 5
3 1 2 3
1 −3 0 0 0 1






0 1 3 −2
0
1 2
1
2 −1
2 
D =  2 1 −4 3  ; E =  −1 3 0  ; F =  −1 1
2 3 3 −1
1 −2 1
2 −1 1




2 3 4
1 2 −3



4 3 1 ; H=
0 1 2 ;
G=
1 2 4
0 0 1




1 1
1
1
1 3 −5 7


 0 1 2 −3 
 ; K =  1 1 −1 −1 
J =
 1 −1 1 −1 
 0 0 1
2 
1 −1 −1 1
0 0 0
1
40. Para las matrices F y G del ejercicio anterior ¿ Es F ∼ G ? justifique
F
41. Demuestre que:
Si A ∈ M2x1 (IR) y B ∈ M1x2 (IR) entonces AB no es invertible
42. Encuentre Operaciones Elementales por Filas τ1 , τ2 , τ3 , ...τs tales que:




4 6 2
4 6
2
B = τs ◦ τs−1 ◦ ... ◦ τ3 ◦ τ2 ◦ τ1 (A); donde A =  5 3 1  y B =  1 −1 −1 
4 10 5
1 2
4


3 1 2 1 0 0

2 1 1 0 1 0 
Sea B =
1 −3 0 0 0 1
a) Encuentre R escalonada reducida por filas tal que B ∼ R y
F
t
t
b) Encuentre H invertible tal que R = B H
43. Determine el valor de λ de modo que la matriz dada sea invertible.




1
−1
i
1 1 1
A =  1 + i −1 + i 1 − i  ; B =  1 λ 1 
2 + i −2 + i
λ
1 1 λ
44. Determine la matriz inversa de:
i) A = (aij )3x3 , con aij = 2160/(i + j − 1)
5
ii) Las matrices de los ejercicios 34; 39 y 43.- cuando corresponda.
Si A =
1 2
5 3
6 0
0 −1
a) Hallar una matriz P invertible tal que P −1 AP =
6 0
0 −1
b) Determine (x, y) ∈ IR2 tal que (x y)
x
y
=1
45. En Mn (R)
(a) Demuestre que: Si BA = In y AC = In entonces B = C
(b) Sea W ∈ Mn (R) tal que Wt W = In y sea H = In −2WWt (Matriz de Householder)
Pruebe que H es simétrica e invertible y H−1 = Ht
46. En Mn (R)
(a) Sea N una matriz cuadrada tal que Nr+1 = 0 para algún r > 0.
Pruebe que I − N es invertible y que su inversa es I + N + N2 +N3 +N4 + ... + Nr


0 1 2
(b) Sea N =  0 0 3 usar a) para hallar (I − N)−1
0 0 0
47. Sean X = (x1 x2 x3 ...xn )t e Y = (y1 y2 y3 ...yn )
(a) Pruebe que Tr(XYt ) = Xt Yt
(b) Es XYt invertible ? Justifique
48. a) Si A, B y A + B ∈ Mn (IR) son invertibles entonces
pruebe que A−1 +B−1 es invertible y
(A−1 +B−1 )−1 = A(A + B)−1 B
b) Si A, B y A + B−1 ∈ Mn (IR) son invertibles entonces
(A−1 +B)−1 = A(A + B−1 )−1 B−1
pruebe que A−1 + B es invertible y
49. Sean A, B, C matrices tales que C2 = 0; BC = CB y A = B + C
demuestre que Ak+1 = Bk [B + (k + 1)C]; k ∈ N
50. a) Sea A es una matriz invertible, demuestre que:
Si
(A−1 +A)t = 0 entonces A2 = −I
51. b) Sean A y B matrices tales que : B2 = B y B + Bt AB = Bt A
entonces demuestre que B = 0
6
52. Sea A2 = −A
a) Demuestre que
b) Demuestre que
A + A3 +A5 +A7 +.... + A2n+1 = (n + 1)A, ∀n ∈ N
1 2
1 3
53. Sean A =
54. Si
A2n = −A, ∀n ∈ N
B=
−1 1
0
1
Determine X tal que
(2X − A−1 )t = BX








1 −1 1
1
−1
4
4 0  , B =  3  , Ct =  2  , D =  −2 
A=  2
1
2 3
−1
1
3
resuelva la Ecuación: AX + BCD = B




1 2
1
1 2 3
55. Si A−1 =  0 −1 2  y (A + B)−1 =  2 3 1  , hallar la matriz B
1 3
4
3 1 2








1 −1
1 1 1
1 1
2
1
2 1

 −1
1 
1 0 , C =
56. Sean A =  0 1 0  , B =  −1 0
, D = 2 2 
 2
0 
1 2 3
3 1
2
−1 1 1
0
1
a) Calcular A−1
b) Usar A−1 para resolver la ecuación AX + BC = D
57. Dadas las matrices A =
0 3
1 0
y B=
0 1
4 3
, resuelva la siguiente ecuación
matricial
XB(A + A2 ) − (XB − B2 )A − B2 A = A
58. Considerando la función F :M2 (R) −→ M2 (R) tal que F(A) = A(I2 −At )
a) Si A =
1 2
3 4
hallar F(A−1 )
b) Demuestre que: F(I2 −At ) = [F(At )]t


−1
2 1 −1
0 1
 2 −1 0
1
3 1 

59. Sea A = 
 0
1 1 −1
3 1 
−1
1 1
0 −1 2
(a) Hallar el Rango de la matriz A
ρ(A) y
(b) Hallar una matriz Reducida equivalente por filas con A
60. Hallar el rango de las

2a

2
H=
2
siguientes matrices



b 1
a 1 1 2
ab 1  J =  2 a a 1 
b a
2 1 1 2
7
61. Sea

1
 3
B=
 2
1

0 −1 3
3
0 6 

3
1 3 
0
0 2
Analice si B es invertible., si lo fuera hallar B−1
62. En
M5 (R) Encuentre el siguiente producto:
t
−1
1
E32 (−1)·E−1
4 (−2) · E13 · E24 (− 2 )·E 32 (2) · E53 (−1)
63. Sean G1 = F31 (1);
G2 = C13 (2),
G3 = F32 ,
G4 = C52 (2),
y G7 = C41 (2)
G5 = F4 (−2), G6 = F24 (1)


−1
2 3
0 3
 2
1
3
5 1 

M=
 1 −1 3 −1 1 
2
0 1
2 2
(a) Obtener una matriz B a partir de M al aplicar, en el mismo orden, las operaciones
elementales G1 , G2 ,G3 , ... y G7
(b) Hallar matrices elementales
E1 , E2 , E3 y E4 ∈ M4 (R) y E1 , E2 y E3 ∈ M5 (R)
64.
tales que

1
 1
Sean A = 
 2
1
B = E4 · E3 · E2 · E1 · M · E1 ·E2 ·E3



1
2
3
2 3

4
2 
2 1 

, B = 2
 0
0
0 
1 0 
0 −3 −2
2 3
Hallar matrices E1 , E2 , E3 , ... , ES
65. Sea


C=

tales que
E1 ·E2 ·E3 · · · · ·ES ·A = B

2
0 −1
3
2
1
0
1 

2
1
1
0 
1 −1
0 −1
(a) Hallar una matriz Triangular Inferior T tal que
(b) Hallar una

1
 3
66. Sea D = 
 2
1
matriz Q invertible tal que: T = CQ

0 −1 3
3
0 6 

3
1 3 
0
0 2
(a) Encuentre r tal que :
D∼
Ir 0
0 0
8
C∼T
F
(b) Exprese D como un producto de matrices elementales y/o del tipo Ei (0)


2
0 −1
3
 3
1
0
2 

67. Sea A = 
 2
1
1
0 
1 −1
0 −1
Hallar E1 , E2 , ... Et M.E y/o del tipo Ei (0) tal que
A = E1 · E2 · E3 · E4 · · · Et
68. En M4 (R) Hallar :
(a) Det(E2 (−4)) =
(b) Det(E12 (−1)) =
1
(c) Det(E−1
12 (− 2 )) =
(d) Det(E32 (5) · E32 ) =



69. Utilice operaciones elementales por filas para evaluar el determinante de M = 


70. Sea



A =


1
2 0
3
4 0
−8
9 2
5 −6 0
8
7 0

0
0
0
0 

7 −7 

1
8 
0 −1
(a) Hallar Determinante de A,
(b) ¿Es A invertible?
71. Demuestre que: Si E es una matriz elemental o del tipo Ei (0) entonces
Det(E) = Det(Et )
72. Consecuencia de lo anterior pruebe que :
Si A ∈Mn (K)

1
 2

73. Sea F = 
 3
 2
5
entonces
2
3
4
5
6
3
4
5
6
6
4
5
6
7
8
Det(A) = Det(At )

5
4 

5 

8 
9
Hallar Determinante de F−1
9
1
1 3
3
1 0
0
1 3
4 −2 3
5
1 0
0
1
0
1
0
2
2
2
0
6






74. Sea

1
 1
G =
 1
0
1
0
1
1
1
1
0
1

0
1 
 Justificando
1 
1
Hallar Determinante de G,
75. Hallar los valores de t para los cuales el determinante se anula:
a)
e)
h)
t−1
−2
, b)
1 t−4
t−1
2
, f)
3 t−2
t−1
−1
−2
0 t−2
2
0
0 t−3
t1
−1
−2
0 t−2
2 ,
0
0 t−3
t−1 0
1
−2 t
−1 ,
0 0 t+1
t
4
, g)
5 t−8
i)
c)
t−1 0
1
−2 t
−1 .
0 0 t+1
t−1
2
3
t−2
j)
t
4
5 t−8
76. Calcule los siguientes determinantes:
a)
1
3
4 −1
2
2
0
0
, b)
0 −1
1
4
−2
0 −1
2
x
1
0
1
y
1
1
0
z
1
1
1
1
1
, c)
1
1
0
i −i 1 + i
i
0
i
−1
.
−i
i 0
i
1 + i −1
i
0
77. Calcule las sgtes determinantes:
2 1 1
a) 3 1 0 ;
0 1 2
2 3 4
b) 4 3 1 ;
1 2 4
c)
2
1 −1
2
1
3
2 −3
−1
2
1 −1
2 −3 −1
4
78. Pruebe que Ej (k) = Ej1 E1 (k)Ej1 .
79. Pruebe que Eij = Ei (−1)Eji (1)Eij (−1)Eji (1).
80. Demuestre que el determinante de una matriz triangular inferior L es igual al producto
de sus elementos en la diagonal principal.
81. Compruebe que el Det(A) = Det(At ) para la matriz general de 2x2.
82. Demuestre que Det(A) = Det(At ) ∀A ∈ Mn (K)
83. Sea f cualquier función no-constante de Mn (K) en K, tal que
84. f(AB) = f(A)(f(B)
a) f(I) = 1;
∀A, B ∈ Mn (K) demuestre que:
b) f(Eij (k)) = 1, ∀k ∈ K; c) f(Eij ) = ±1.
10
85. Demuestre
1
1
a)
1
b)
que:
a a2
b b2 = (b − c)(c − a)(a − b)
c c2
1 1 1
a b c
a3 b3 c3
= (b − c)(c − a)(a − b)(a + b + c)
86. Comprobar que:
1 2 10
a)
|A| = 2 3 9
4 5 11
= −4
b) Si B es la matriz que se obtiene de A al multiplicar los elementos de su segunda
columna por 5 hallar |B|
c)
Demostrar que |A| =
1 2 3
1 2 7
2 3 5 + 2 3 4
4 5 11
4 5 8
1 2
7
2 3
3 a partir de |A| restando el triple de los elementos de
4 5 −1
la primera columna a los elementos correspondientes de la tercera columna.
d) Obtenga |D| =
87. Utilice operaciones elementales por filas para

1
1 3
 3
1 0

 0
1 3

 4 −2 3
5
1 0
88. Suponga que
a b c
d e f
g h i
evaluar el determinante de

0 2
1 2 

0 2 
.
1 0 
0 6
= S. Encuentre:
a+d b+e c+f
d
e
f , c)
g
h
i
a
b
c
d − 3a e − 3b f − 3c .
2g
2h
2i
a b
0 c
y B =
α β
0 γ
,
entonces AB = BA ⇐⇒
b a−c
β α−γ
= 0.
a)
d e f
g h i ,
a b c
b)
89. Pruebe que si A =
90. Pruebe que:
(a12 + a13 ) (a13 + a11 ) (a11 + a12 )
(a22 + a23 ) (a23 + a21 ) (a21 + a22 )
(a32 + a33 ) (a33 + a31 ) (a31 + a32 )
11
a11 a12 a13
= 2 a21 a22 a23 .
a31 a32 a33
91. Para cada una de las siguientes proposiciones, de una demostración o un contraejemplo:
a) det(A + B) = det(A) + det(B), b) det[(A + B)2 ] = [det(A + B)]2 ,
c) det[(A + B)2 ] = det(A2 + 2AB + B 2 ), d) det[(A + B)2 ] = det[A2 + B 2 ].
92. a) Compruebe que se obtiene el mismo resultado si se desarrolla el determinante de la
siguiente matriz, con respecto a cualquier fila o con respecto a cualquier columna.


2 0
3
 10 1 17  .
7 12 −4
b) SI A = (aij ) ∈ M3 (K), deduzca una expresión general para Det(A), mediante el
desarrollo por la segunda fila de A.
93. Demuestre que si los elementos de una fila en un determinante son no nulos, entonces
podemos hacerlos iguales, mediante multiplicaciones de filas y columnas.94. Sea A ∈ Mn (K), y k una constante cualquiera; demostrar que: |kA| = kn |A|
95. a) Si A es antisimétrica de orden p, demuestre que:
el Det(A) = (−1)p Det(A), y concluya que el Det(A) = 0 si p es impar.
b) Sean A y B matrices de orden n , demuestre que:
si A es invertible , entonces Det(B) = Det(A−1 BA).
96. Una matriz de permutación P ∈Mn (K), es cualquier matriz de orden n que resulta de
permutar ( es decir, reordenar) el orden de las filas de In . De modo más preciso: Cada
fila de P contiene exactamente un elemento diferente de cero, es decir 1; y cada columna
de P contiene exactamente un elemento diferente de cero, es decir 1. Demuestre que
Det(P ) = ±1.
97. Demuestre que :
a) Det(An ) = {Det(A)}n , ∀ n ∈ Z+
b) Si A es invertible, entonces Det(A) = {Det(A)}n ∀ n ∈ Z..
a b c
a b c
a b c
98. Demuestre que:
=
1
abc
1
1
1
a bc b ac c ab
a bc b ac c ab
99. Pruebe que:
a)
4
2
6
8
3
7
1
5
6
5
8
7
1
3
5
2
1
=
3
1 1 1 1
3 14 5 18
; b)
9 2 8 30
12 10 7 2
12
1 a2 a3
1 b2 b3
1 c2 c3
=
bc a a2
ca b b2
ab c c2
100. Sin calcular directamante demuestre que el
b+c c+a b+a
a
b
c
1
1
1
= 0
a) Si A2 = A, entonces A es singular o det(A) = 1. b) det(Ā) = det(A).
101. Utilizando propiedades:
1 α βγ
1 β γα
1 γ αβ
a) Demuestre que
1 α α2
1 β β2 .
1 γ γ2
=
a3 b3 c3
a b c .
1 1 1
b) Exprese como producto de 4 factores
102. Demuestre las siguientes igualdades sin desarrollar las determinantes:
1 1 1
a b c
bc ca ab
a)
a2
b2
c2
d2
b)
a
b
c
d
1
1
1
1
1 1 1
a b c
a2 b2 c2
=
bcd
acd
abd
abc
=
a3
b3
c3
d3
a2
b2
c2
d2
a
b
c
d
1
1
1
1
= (a − b)(a − c)(a − d)(b − c)(b − d)(c − d)
103. Hallar
3 4
5
1 a b+c
1 2
3 ; c)
a) 1 b c + a ; b)
−2 5 −4
1 c a+b
e)
1
2
2
3
i)
3
1
1
1
m)
p)
0 −1
2
3
2 −2
;f)
4
2
1
1
5 −3
1
3
1
1
1
1
3
1
1
1
;j)
1
1
1
2
3
−1
1
2
1 −1
1
−1
1 −1
2
3 −4
5 −6
3 ; d)
4
2 −3
4
3
; g)
2
1
0 1 1 1
1 0 a2 b2
; k)
1 a2 0 c2
1 b2 c2 0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
a
b
c
d
0
1 + i 1 + 2i
1 − 5i
0
2 − 3i ;
1 − 2i 2 + 3i
0
2 3 4
3 6 10
; h)
4 10 20
5 15 35
a2
b2
; l)
c2
d2
6
5
1
0
0
0
0
5
1
0
0
0
6
5
1
0
0
0 ; q)
6
5
1 1 1 0 0
1 2 3 0 0
0 1 1 1 1 ; r)
0 a b c d
0 a2 b2 c2 d2
13
1
0
a
b
0
a
b
−a
0
d
−b −c
0
−d −e −f
−1
1
1
1
1
−4
1
1
1
1
1 −1
1
1
1
1 −4
1
1
1
1
1 −1
1
1 ; o)
1
1 −4
1
1 ; n)
1
1
1 −1
1
1
1
1 −4
1
1
1
1
1 −1
1
1
1
1 −4
5
1
0
0
0
0
1
1
1
1
a
0
c
1
b
;
c
0
c
e
;
f
0
3 −2
1
6
5 −4
2
11
−2
2 −1 −5
1 −6
3
10
−7
7 −3 −16
1
Cos(z) Cos(y)
Cos(z)
1
Cos(x)
Cos(y) Cos(x)
1
0
1
3 ;
4
2
104. Determine los siguientes polinomios definidos por:
P(x) =
a
x
x
x
x
b
x
x
x
x
c
x
x
x
; H(x) =
x
d
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a
x
a
1
x
x
x
a
a
; S(x) =
a
x
1
a
a
a
1
a
a
a
1
a
a
a
105. Exprese el polinomioP(x), como un producto de factores lineales:
x a
x + 2 2x + 3 3x + 4
a x
P(x) = 2x + 3 3x + 4 4x + 5 ; P(x) =
b c
3x + 5 5x + 8 10x + 17
c b
b
c
x
a
c
b
a
x
106. Evalúe las siguientes determinantes:
a)
d)
f)
0
a
b
c
a
0
c
b
b
c
0
a
c
b
; b)
a
0
0
1 1 1
1 a1 3 4
1 −0 a2 4
1
0 0 a3
... ... ... ...
1
0 0 0
1
1
1
1
1
1
...
1
2
1
x
x
x
x
...
x
3
2
1
x
x
x
...
x
4
3
2
1
x
x
...
x
5
4
3
2
1
x
...
x
x
x
x
x
x
y
y
y
x
y
z
z
x
y
; c)
z
u
... 1
... 0
... 0
; e)
... 0
... ...
... an
6
5
4
3
2
1
...
x
...
...
...
...
...
...
...
...
a
0
0
0
...
0
0
b
0
a
0
0
...
0
b
0
1
2
3
4
−1
0
3
4
−1 −2
0
4
−1 −2 −3
0
... ... ... ...
−1 −2 −3 −4
0
0
a
0
...
b
0
0
0
0
0
a
...
0
0
0
...
...
...
...
...
...
...
...
0
0
b
0
...
a
0
0
n
n−1
n−2
n−3
n−4
n−5
.......
1
107. Defina dp como el determinante de la matriz Ap tal que:

ai si j = i



1 si j = i − 1
[Ap]ij =
1 si j = i + 1



0 en otro caso
Demuestre que para p ≥ 3 : dp = ap dp−1 −dp−2 .
14
0
b
0
0
...
0
a
0
... n
... n
... n
;
... n
... ...
... n
b
0
0
0
...
0
0
a
(2nx2n)
108. Demuestre que el determinante de Vandermonde V (x1 , x2 , · · · , xp ) es igual al producto
de todos los términos de la forma (xj − xi ), para i < j, esto es,


1 x1 x21 · · · xp−1
1
 1 x2 x2 · · · xp−1 
2
2
=
(xj − xi ).
V (x1 , x2 , · · · , xp ) = Det 


···
i<j
1 xp x2p · · · xp−1
p
109. Resuelva las siguientes ecuaciones :
1
x
x2
x3
x4
x5
1
a1
a21
a31
a41
a51
2
3
4
1
a2
a2
a2
a2
a52
1
a3
a23
a33
a43
a53
2
3
4
1
a4
a4
a4
a4
a54
...... ...
...
...
...
...
2
3
4
5
1 an−1 an−1 an−1 an−1 an−1
1
1
1
1
1 1−x
1
1
1
1
2−x
1
1
1
1
3−x
1
1
1
1
......
...
...
...
1
1
1
1

−1

3
110. Dada la matriz A =
−2
1
1
1
1
4−x
...
1
...
...
...
...
...
...
...
1
1
1
1
1
...
1

xn−1
an−1
1
an−1
2
an−1
3
an−1
4
...
n−1
an−1
=0;
...
1
...
1
...
1
...
1
...
1
...
...
... (n − 1) − x
=0
3
2
1 −1  , evaluar:
2 −1
a) Los menores M11 , M13 , M22 , M31 , M33 .
b) Los cofactores A12 , A21 , A23 , A32 .
c) El determinante de A.
111. Usando Adjunta, calcule A−1 , si:




0 6 0
1 1 1
a) A =  8 6 8  , b) A =  k r e  ,
3 2 2
k2 r2 e2
112. Demuestre que si A es

1 3 −5
 0 1
2
113. Si A=
 0 −1 1
2 0
0
1
 2
c) A = 
 1
1
invertible entonces la Adj(A) también lo es.

7
−3 

2 
1
a) Encuentre la adjunta de A
b) Encuentre A · Adj(A) y |Adj(A)|
c) Encuentre A−1 si es que existe
15

3
5
3
3
1
2
8
2

1
2 
.
9 
2


4 5 6
114. Encuentre Adj(A) y A · Adj(A) ssabiendo que A =  1 2 3  .
7 8 9
115. Demuestre que si A es no invertible, entonces A · Adj(A) = 0, y que Adj(A) · A = 0;
dé un ejemplo de una matriz A singular que tenga Adj(A) =0.
116. Usar la adjunta para encontrar la inversa, si es que existe, de cada una de las siguientes
matrices:




2 1 1
2 −1
0
4 2
2 −1  .
, b)  −1 0 3  , c)  −1
a)
−1 3
1 2 0
0 −1
2
117. Dé un ejemplo de una matriz A tal que la Adj(A) = 0.
16