Clase práctica de Matrices-Determinantes

Laureate Internacional Universities ®
Tó pi co s d e mat emá ti ca 1 EP E - M A1 1 2
Clase práctica - Unidad 2
Tema: Matrices - Determinantes - Inversa.
Objetivos:
Al final de la clase, el alumno deberá ser capaz de:
 Utilizar las propiedades de las operaciones matriciales para efectuar transformaciones en
expresiones algebraicas matriciales.
 Efectuar operaciones matriciales de transposición, suma, producto por un escalar y producto
matricial.
 Resolver problemas de aplicación mediante el empleo de las matrices.
 Utilizar las propiedades de un determinante para efectuar el cálculo manual en los casos de
orden reducido.
 Calcular determinantes mediante el escalonamiento de la matriz.
 Calcular la inversa de una matriz de orden 2.
 Modelar problemas mediante el empleo de las matrices.
I. EJERCICIOS
1. Conteste la pregunta o diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas,
justificando su respuesta:
a. Sean A, B y C matrices entonces se cumple que: AB+CA = A(B+C)
b. Si det(A) = det(B), ¿debe A ser igual a B ?
c. Si A y B son matrices invertibles del mismo orden se tiene: (A+B)-1 = A-1 + B-1
i  j , i  j

2. Construya la matriz A=(aij)3x3 , donde aij =  0
, i  j y determine: (A - 2I)At .
 2i  j , i  j

I: matriz identidad.
3. Dadas las matrices:
3

A 
2,

1 

2
B
0

1
 1
3 
,
1 

C  4  2 3 ,
 4  1 0
D

0 1 2
Calcule si es posible:
i) B  D t
4. Dadas las matrices:
ii)2 At C
 1  3
,
5 
A = 
2
Hallar la matriz X de :
iii) DA  (CB)
iv) AC
4  1
6 
B = 
2
(AB) t - 2X = 3(Bt - A)
1
5. Dada la matriz A = ( aij) de orden 3x3, para la cual aij = i + j -2 , donde 2AI - 3X = I , I
matriz identidad de orden 3. Calcule det(X).
6. Calcular los siguientes determinantes
a)
1
3
2
1
6
0
0
4
5
b)
 1
7. Dada la matriz A =  2

 0
0
3
1
4
1
0
2
2
1
3
2 1
c)  1 0 3
4
1
1
3
5
2
0
2
2
3
1 1
 1 1  , determine el valor de a, si det(A) = 1
3 a 
3
1

 3  8
8. Hallar la inversa, si en caso existe: a) 
1
0
9. ¿Existe la inversa de las matrices? a)  1 1

  1
0
 1
 1
2 
3 5 

6 10
b) 
0
3
 2
1
3
b) 1

1
0 
3
  1 2 a  2
tiene inversa?
0
3 
 a 1
4 
10. ¿Para que valor de a la matriz  5

11. Costos de materias primas. Una empresa usa cuatro diferentes materias primas M1,
M2, M3 y M4 en la elaboración de su producto. El número de unidades de M1, M2, M3
y M4 usadas por unidad del producto elaborado son 4, 3, 2 y 5, respectivamente. El
costo por unidad de las cuatro materias primas es de $5, $7, $6 y $3, respectivamente.
Exprese el costo total de las materias primas por unidad del producto como una
operación matricial.
12. El gobierno esta impulsando un plan de vivienda por todo el país. En el norte un
contratista de construcción de casas prefabricadas ha aceptado pedidos por cinco
casas de estilo ranchero y siete casas de estilo campestre, además las unidades de
materias primas y de manos de obra que utiliza para cada uno de los tipos de
edificación se muestra en la tabla:
Acero
Madera
Mano de obra
Ranchero
5
20
13
Campero
7
18
17
Mediante una operación matricial determine:
a) La cantidad de cada una de las materias primas que necesita el contratista para
cumplir los contratos.
b ) El costo para el total de casas de cada uno de los estilos, si el acero cuesta $ 15.0
por unidad, la madera $ 8.0 por unidad y la mano de obra $200 por unidad.
Monterrico, 7 de mayo del 2007
2
RESPUESTAS
1. a) Falsa, AB+CA  AB+AC, ya que CA
 AC
1 3
2 4
,B= 

 , se tiene det(A)=det(B) pero A  B.
1
1
1
1




1 0 
2 0
1 / 3 0 
c) Falso, no se cumple para A= 
, B= 
, ya que (A+B) -1 = 


y
0
1
0
2
0
1
/
3






b) No necesariamente, contraejemplo A = 
A-1+B-1=
1 0 1 / 2 0  3 / 2 0 
 0 1  +  0 1 / 2 =  0 3 / 2 

 
 

0 0  1


2. A= 3 0 1 , (A -2I)At =


 4 5 0 
6
3. i)   1

 1
 1  7  8
  1 10 2 


 0 12 41
 1
4  , ii) No es posible iii) No es posible
3 
4.  11/ 2 3 / 2  5.
 5
25/ 2

20
27
12  6 9 
iv)  8  4 6


 4  2 3
 8  3
b) No existe
1 
3
6. a) 87 b) 18 c) -218 7. 8 8. a) 
9. a) Si existe d) No existe
10. a  47
11.
4
3 2 5
5 
 7  = $68
 
6 
 
3
3