Anexo A Introducción a las Matrices

Anexo A
Introducción a las Matrices
A.1.
Definiciones y teorı́a básicas
Los elementos de las matrices que aparecen en este curso son números o funciones. Los
designaremos con el apelativo común de escalares.
Definición A.1 (Matrices) Una matriz A es un ordenamiento regular de escalares (recordemos, números o funciones):


a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n 


A =  ..

..
 .

.
am1 am2 . . . amn
Si una matriz tiene m filas y n columnas, se dice que su tamaño es m por n (se escribe
m × n). Una matriz n × n se llama matriz cuadrada de orden n.
El término aij representa el elemento de la i-ésima fila y la j-ésima columna de una matriz
A de tamaño m × n; con ello, una matriz A, m × n, se escribe en la forma A = (aij ) m × n, o
simplemente A = (aij ). Una matriz A, 1 × 1, es sólo un escalar (un número o una función).
193
194
Introducción a las Matrices
Definición A.2 (Igualdad de matrices) Dos matrices m × n, A y B, son iguales si
aij = bij para toda i y j.
Definición A.3 (Matriz columna) Una matriz columna X es cualquier matriz con n filas
y una columna:


x11
 x21 


X =  ..  = (xi1 ) n × 1
 . 
xn1
Una matriz columna se llama también vector columna o simplemente vector.
Definición A.4 (Producto de matrices por escalares) Si k es un escalar y A una matriz m × n, el producto de k por A es una nueva matriz que se define de la siguiente manera:


ka11 ka12 . . . ka1n
 ka21 ka22 . . . ak2n 


kA =  ..
 = (kaij ) m × n,
..
 .

.
kam1 kam2 . . . akmn
en donde k es un escalar; es decir, un número o una función.
Ejemplo 1. Productos de matrices por escalares
 

10 −15
2 −3
a) 5  4 −1  =  20 −5 
1
6
1 30
6

 

1
et
b) et  −2  =  −2et 
4
4et

Es de notar que para toda matriz A, el producto kA es igual al producto Ak, por ejemplo,
µ ¶ µ −3t ¶ µ ¶
2
2
2e
−3t
=
e−3t
e
=
−3t
5e
5
5
Definición A.5 (Suma de matrices) La suma de dos matrices m × n, A y B, se define
como la matriz
A + B = (aij + bij ) m × n
En otras palabras, para sumar dos matrices del mismo tamaño, se suman los elementos
correspondientes.
A.1 Definiciones y teorı́a básicas
195
Ejemplo 2. Suma de matrices




2 −1 3
4 7 −8
4
6 yB= 9 3
5  es
La suma de A =  0
−6 10 −5
1 −1 2

 

2+4
−1 + 7 3 + (−8)
6 6 −5
4+3
6 + 5  =  9 7 11 
A+B = 0+9
−6 + 1 10 + (−1) −5 + 2
−5 9 −3
Ejemplo 3. Matriz expresada en forma de suma de matrices columna


3t2 − 2et
La matriz  t2 + 7t  se puede expresar como la suma de tres vectores columna:
5t

  2  
 
  
 


3t2 − 2et
3t
0
−2et
3
0
−2
 t2 + 7t  =  t2  +  7t  +  0  =  1  t2 +  7  t +  0  et
5t
0
5t
0
0
5
0
La diferencia de dos matrices m × n se define en la forma acostumbrada: A − B = A + (−B),
en donde −B = (−1)B.
Definición A.6 (Multiplicación de matrices) Sea A una matriz con m filas y n columnas, y B otra con n filas y p columnas. El producto AB se define como la siguiente matriz
n
X
m × p cuyo elemento en la posición (i, j) es
aik bkj . Es decir,
k=1



AB = 

a11
a21
..
.
a12
a22
. . . a1n
. . . a2n
..
.
am1 am2 . . . amn





b11 b12 . . . b1p
b21 b22 . . . b2p
..
..
.
.
bn1 bn2 . . . bnp



=


a11 b11 + a12 b21 + . . . + a1n b1n . . . a11 b1p + a12 b2p + . . . + a1n bnp
=  a21 b11 + a22 b21 + . . . + a2n bn1 . . . a21 b1p + a22 b2p + . . . + a2n bnp 
am1 b11 + am2 b21 + . . . + amn bn1 . . . am1 b1p + am2 b2p + . . . + amn bnp
à n
!
X
=
(m × p)
aik bkj

k=1
196
Introducción a las Matrices
Obsérvese con detenimiento la Definición A.6. El producto AB = C sólo está definido
cuando el número de columnas en la matriz A es igual al número de filas en B. El tamaño
del producto se puede determinar con
Am×n Bn×p = Cm×p .
Se debe observar también que los elementos de la i-ésima fila de la matriz producto AB
se forman aplicando la definición del producto escalar de la i-ésima fila de A por cada una
de las columnas de B. En efecto, recordemos que dado dos vectores de n componentes:
a = (a1 , a2 , . . . , an ) y b = (b1 , b2 , . . . , bn ), el producto escalar de a por b se define como
a · b = a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn .
Ası́, el elemento de la posición (i, j) de AB es ai · bj , siendo ai la i-ésima fila de A y bj la
j-ésima columna de B.
Ejemplo 4. Multiplicación de matrices
µ
a) Si A =
4 7
3 5
¶
µ
yB=
µ
AB =

9 −2
6 8
¶
,
4 · 9 + 7 · 6 4 · (−2) + 7 · 8
3 · 9 + 5 · 6 3 · (−2) + 5 · 8

µ
5 8
−4 −3
b) Si A =  1 0  y B =
2
0
2 7

5 · (−4) + 8 · 2
AB =  1 · (−4) + 0 · 2
2 · (−4) + 7 · 2
¶
µ
=
78 48
57 34
¶
¶
,
 

5 · (−3) + 8 · 0
−4 −15
1 · (−3) + 0 · 0  =  −4 −3 
2 · (−3) + 7 · 0
6 −6
En general, la multiplicación de matrices no
esto es, AB 6= BA. En la
µ es conmutativa;
¶
30 53
parte a) del Ejémplo 4 obsérvese que BA =
, mientras que en la parte b) el
48 82
producto BA no está definido porque en la Definición A.6 se pide que el número de filas de
la primera matriz, en este caso B, sea el mismo número que el número de columnas de la
segunda, en este caso A. Cosa que no sucede en el el caso b) del Ejemplo 4.
Nos interesa mucho el producto de una matriz cuadrada por un vector columna.
Ejemplo 5. Multiplicación de matrices y vectores El producto de una matriz A,
m × n, y un vector columna b, n × 1, es un vector ciolumna Ab de tamaño m × 1. Ası́, por
ejemplo
A.1 Definiciones y teorı́a básicas
197


 
 

2 −1 3
−3
2 · (−3) + (−1) · 6 + 3 · 4
0
a)  0 4 5   6  =  0 · (−3) + 4 · 6 + 5 · 4  =  44 
1 −7 9
4
1 · (−3) + (−7) · 6 + 9 · 4
−9
µ
¶µ ¶ µ
¶
−4 2
x
−4x + 2y
=
b)
3 8
y
3x + 8y
La matriz Identidad. Para un entero

1
 0

In =  ..
 .
0
positivo n, la matriz n × n

0 0 ... 0
1 0 ... 0 


..

.
0 0 ... 1
es la matriz identidad. Según la Definición A.6, para toda matriz A,n × n,
AIn = In A = A
También se comprueba con facilidad que si X es una matriz columna n × 1, entonces In X =
X.
La matriz Cero. Una matriz,m × n, formada cuyos elementos son todos el número cero
se llama matriz cero y se representa con 0m×n ; por ejemplo,


µ ¶
µ
¶
0 0
0
0 0
02×1 =
, 02×2 =
, 03×2 =  0 0 
0
0 0
0 0
y ası́ sucesivamente. Cuando el tamaño de la matriz cero se puede deducir por el contexto,
o cuando se ha dado explı́ictamente con anterioridad, se suele prescrindir del subı́ndice que
indica el tamaño y se ecribe simplemente 0. Por ejemplo, si A y 0 son matrices de m × n,
entonces
A+0=0+A=A
Propiedad asociativa. Aunque no lo demostraremos, la multiplicación matricial es
asociativa. Si A es una matriz m × p, B una matriz p × r y C una matriz r × n, entonces
A(BC) = (AB)C
es una matriz de m×n. El paréntesis indica la prioridad en la operación. Ası́, A(BC) significa
que multiplicamos primero B y C y entonces hacemos el producto de A por el resultado
obtenido al multiplicar B y C. Nótese que la asociatividad indica que independeinetmente
de la prioridad en las operaciones, el resultado es el mismo.
198
Introducción a las Matrices
Propiedad distributiva. Si todos los productos están definidos, la multiplicación es
distributiva respecto la suma:
A(B + C) = AB + AC
y (B + C)A = BA + CA
Determinante de una matriz. Con toda matriz cuadrada A, hay un número asociado
llamado determinante de la matriz que se representa mediante det A. La fórmula general
para calcular el determinate de la matriz cuadrada A de orden n es
X
a1σ(1) a2σ(2) · · · anσ(n
σ
donde el sumatorio está extendido a las n! permutaciones σ de los números (1, 2, . . . , n). Ası́,
si n = 3, las 3! = 6 permutaciones posibles de (1, 2, 3) son: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1),
(3, 1, 2) y (3, 2, 1). Por lo tanto, si A es 3 × 3 entonces
det A = a11 a22 a23 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 + a13 a22 a31 .
Por lo general para matrices cuadradas de tamaño grande el cálculo del determinante
es una labor costosa cuando se hace a mano y el uso de ordenadores es aconsejable. Los
métodos ideados para el cálculo de determinantes mediante ordenadores (métodos numéricos)
no se basan en la definición, sino en ciertas propiedades de las matrices. En este curso sólo
habrá que calcular determinantes de matrices de tamaño 3 a lo más. Para ello la fórmula
de más arriba es suficiente. No obstante, hay una fórmula que permite reducir el cálculo del
determinante de una matriz n × n a la suma de n determinantes de matrices de tamaño
(n − 1) × (n − 1). Es la fórmula conocida como desarrollo del determinante por los elementos
de una fila y que se debe, aunque con una formulación mucho más general, a Laplace:
det A = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + · · · + ain Ain
en donde Aij = (−1)i+j det Ãij y Ãij es la matriz que se obtiene de A al quitar la i-ésima fila
y la j-esima columna.
Ejemplo 6. Determinante de una matriz cuadrada.


3 6 2
Ası́, si A =  2 5 1 , y desarrollamos det A por los elementos de la primera fila:
−1 2 4


µ
¶
µ
¶
µ
¶
3 6 2
5 1
2 1
2 5


2 5 1
det A = det
= 3 det
− 6 det
+ 2 det
2 4
−1 4
−1 2
−1 2 4
= 3(20 − 2) − 6(8 + 1) + 2(4 + 5) = 18
Si A tiene uns fila (o columna) con muchos elementos cero, por nuestra comodidad debemos
desarrollar ese determinante por los elementos de esa fila (o columna).
A.1 Definiciones y teorı́a básicas
199
Definición A.7 (Rango de una matriz) .- Se define el rango de una matriz A, m × n,
como el tamaño de la mayor submatriz cuadrada de A con determinante distinto de cero
El cálculo del rango de una matriz es una tarea muy costosa cuando se quiere utilizar esta
definición. De hecho, casi nunca se utiliza. Veremos que mediante operaciones elementales
por filas se obtiene el rango de una matriz de una manera mucho más sencilla. Hay que
decir, no obstante, que para matrices muy grandes el cálculo del rango de una matriz es un
problema muy complicado, en general.
Definición A.8 (Transpuesta de una matriz) La transpuesta de la matriz A = (aij ),
m × n, es la matriz AT n × m representada por


a11 a21 . . . am1
 a12 a22 . . . am2 


T
A =  ..
.. 
 .
. 
a1n a2n . . . amn
En otras palabras, las filas de A se convierten en las columnas de su traspuesta, AT .
Ejemplo 7. Transpuesta de una matriz




3 6 2
3 2 −1
a) La transpuesta de A =  6 5 2  es AT =  6 5 2  .
2 1 4
2 1 4
 
5

0 , entonces X T = (5 0 3).
b) Si X =
3
Definición A.9 (Inversa de una matriz) Sea A una matriz n × n. Si existe una matriz
B n × n tal que
AB = BA = In ,
en donde In es la matriz identidad, entonces B es la inversa de A y se representa con
B = A−1 .
Definición A.10 (Matrices no singulares y singulares) Sea A una matriz n × n. Si
det A 6= 0, se dice que A es no singular. Si det A = 0, entonces A es singular.
200
Introducción a las Matrices
El siguiente teorema especifica una condición necesaria y suficiente para que una matriz
cuadrada de números reales o complejos tenga inversa.
Teorema A.11 (La no singularidad implica que A tiene una inversa) Una matriz de
números reales o complejos A n × n tiene inversa A−1 si y sólo si A es no singular.
El teorema que sigue describe un método para hallar la inversa de una matriz no singular.
Teorema A.12 (Fórmula de la inversa de una matriz) Sea A una matriz no singular
n × n, y sea, como más arriba, Aij = (−1)i+j Mij , donde Mij es el determinante de la matriz
de (n − 1) × (n − 1) obtenido al eliminar la i-ésima fila y la j-ésima columna de A. Entonces
A−1 =
1
(Aij )T
det A
(A.1)
Cada Aij en el Teorema A.12 es tan sólo el cofactor (o menor con signo) del elemento
aij correspondiente a A. Obsérvese que en la fórmula (A.1) se utilizan las transpuesta.
Para una matriz 2 × 2
µ
A=
a11 a12
a21 a22
¶
se tiene A11 = a22 , A12 = −a21 , A21 = −a21 y A22 = a11 . Entonces
µ
¶T
µ
¶
1
1
a22 −a21
a22 −a12
−1
=
.
A =
det A −a12 a11
det A −a21 a11
Para una matriz no singular 3 × 3

µ
A11 = det
a22 a23
a32 a33
¶
,
a11 a12
A =  a21 a22
a31 a32
µ
a21
A12 = − det
a31

a13
a23  ,
a33
¶
a23
a33
µ
,
etcétera. Para calcuar la inversa, trasponemos y llegamos a


A11 A21 A31
1 
A12 A22 A32 
A−1 =
det A
A13 A23 A33
Ejemplo 8. Inversa de una matriz 2 × 2
A13 = det
a21 a22
a31 a32
¶
,
A.1 Definiciones y teorı́a básicas
201
µ
Vamos a calcular la inversa de A =
1 4
2 10
¶
En primer lugar det A = 10 − 8 = 2 6= 0, de modo que A es no singular y por el Teorema
A.12, A−1 existe. De acuerdo con (A.1),
µ
¶ µ
¶
1
10 −4
5 −2
−1
A =
=
.
−1 12
2 −2 1
µ
¶
2 2
No toda matriz cuadrada tiene inversa. La matriz A =
es singular porque det A =
3 3
0; por consiguiente, A−1 no existe.
Ejemplo 9. Inversa de una matriz 3 × 3

2 2 0
Calculemos la inversa de A =  −2 1 1  .
3 0 1

Puesto que det A = 12 6= 0, la matriz dada es no singular. Los cofactores correspondientes
a los elementos de cada fila de A son
µ
¶
µ
¶
µ
¶
1 1
−2 1
−2 1
A11 = det
= 1 A12 = det
= 5 A13 = det
= −3
0 1
3 1
3 0
µ
¶
µ
¶
µ
2 0
2 0
A21 = det
= −2 A22 = det
= 2 A23 = det
0 1
3 1
µ
¶
µ
¶
µ
2 0
2 0
A31 = det
= 2 A32 = det
= −2 A13 = det
0 1
−2 1
2 2
3 0
¶
2 2
−2 1
=6
¶
=6
De acuerdo con (A.1)

A−1
  1

1 −2 2
− 16 16
12
1 
5
1
5
2 −2  =  12
− 61  .
=
6
12
1
1
1
−3 6
6
−4 2
2
Se puede, y conviene, comprobar que, en efecto, A−1 A = AA−1 = I3 .
Dado que la fórmula (A.1) para hallar la inversa de una matriz se basa en el cálculo
de determinantes, para hallar la inversa de matrices no singulares de tamaños grandes no
se emplea, en la práctica este método. Hay otros métodos mucho más eficaces, desde el
punto de vista del cálculo, que tienen que ver con la factorización de matrices yq eu pueden
202
Introducción a las Matrices
encontrarse en cualquier libro de Algebra Lineal Numérica. No los discutiremos aquı́ porque
el tamaño de nuestras matrices no será, en la práctica, nunca mayor que 3.
Como nuestra meta es utilizar las matrices para la resolución de sistemas de ecuaciones
diferenciales lineales de primer orden, necesitaremos otras definiciones adicionales:
Definición A.13 (Derivada de una matriz de funciones) Si A(t) = (aij (t)) es una
matriz m × n cuyos elementos son funciones diferenciables en un intervalo común, entonces se define la derivada de A(t) como la matriz cuyos elementos son las derivadas de los
elementos de A(t). Es decir:
µ
¶
dA
daij
(t) =
(t) (m × n).
dt
dt
Definición A.14 (Integral de una matriz de funciones) Si A(t) = (aij (t)) es una matriz m × n cuyos elementos son funciones continuas en un intervalo que contiene a t y a t0 ,
entonces la integral de A(t) es una matriz cuyos elementos son las integrales de los elementos
de A(t). Es decir:
µZ t
¶
Z t
A(s)ds =
aij (s)ds (m × n)
t0
t0
En otras palabras, para derivar o integrar una matriz de funciones, tan sólo hay que
derivar o integrar cada uno de sus elementos. La derivada de una matriz también se representa
con A0(t).
Ejemplo 10. Derivada o integral de una matriz
Si


sen 2t
X(t) =  e3t 
8t − 1
entonces

X 0 (t) = 
Y
Z
t
0
d
(sen 2t)
dt
d
(e3t )
dt
d
(8t − 1)
dt



2 cos 2t
 =  3e3t  .
8
 Rt
  1
sen 2sds
− 2 cos 2t +
0R
t 3s
1 3t



e − 13
X(x)ds =
=
e ds
3
Rt 0
4t2 − t
(8s − 1)ds
0
1
2

.
A.2 Eliminación de Gauss-Jordan
A.2.
203
Eliminación de Gauss-Jordan
Las matrices son una ayuda insustituible para resolver sistemas algebraicos de ecuaciones
lineales. Recordemos que éstos son de la forma:
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
..
.
(A.2)
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm
donde m es el número de ecuaciones y n el de incógnitas.
Si A representa la matriz de los coeficientes en (A.2), sabemos que se puede usar la regla
de Cramer para resolver el sistema, siempre que m = n y det A 6= 0. Sin embargo, seguir
esta regla es prácticamente imposible si el tamaño de A es mayor que 3. El procedimiento
que describiremos tiene la ventaja de ser no sólo un método eficiente para manejar sistemas
grandes, sino también un método para saber si el sistema (A.2) es consistente (es decir,
admite alguna solución), y, en su caso, hallar todas las soluciones.
Definición A.15 (Matriz aumentada) La matriz aumentada del sistema (A.2) es la matriz de m × (n + 1)


a11 a12 . . . a1n b1
 a21 a22 . . . a2n b2 




..
..


.
.
an1 an2 . . . ann bn


b1
 b2 


Si B =  .. , la matriz aumentada de (A.2) se expresa como (A/B).
 . 
bm
Operaciones elementales por filas.
Si multiplicamos una de las ecuaciones de un sistema algebraico por un número (distinto
de cero), o si sumamos a una ecuación otra multiplicada por un número o si intercambiamos el
orden en el que aparecen las ecuaciones, las soluciones del sistema obtenido y del original son
las mismas. Es decir, los sistemas son equivalentes. Las matrices aumentadas de los sistemas
obtenidos al realizar estos tres tipos de operaciones se dice que han sido obtenidas al realizar
operaciones elementales por filas sobre la matriz aumentada del sistema original. Ası́,
las operaciones elementales por filas son las siguientes:
204
Introducción a las Matrices
i) Multiplicación de una fila por una constante distinta de cero.
ii) Intercambio de dos filas cualesquiera.
iii) Suma de un múltiplo constante, distinto de cero, de una fila a cualquier otra fila.
Métodos de eliminación.
Uno de los métodos que más utlizamos para resolver sistemas es el llamado método de
eliminación (también es famoso el método de sustitución que a veces es útil para sistemas
pequeños).
El método de eliminación consiste, precisamente, en realizar operaciones elementales por
filas eligiendo las constantes con buen tino. Cuando es aplicado directamente sobre la matriz
aumentada del sistema se conoce con el nombre de método de eliminación de GaussJordan. Este método consiste en efectuar una sucesión de operaciones elementales por filas
hasta llegar a una matriz aumentada que tenga la forma reducida de escalera por filas.
Ésta es una matriz que tiene la siguiente forma:
i) El primer elemento distinto de cero en cada fila es 1.
ii) En las filas consecutivas distintas de cero, el primer elemento 1 en la fila inferior aparece
a la derecha del primer 1 en la fila superior.
iii) Las filas formadas únicamente por ceros están en la parte inferior de la matriz.
iv) Una columna que contiene un primer elemento 1 tiene ceros en todos los demás lugares.
Es decir, la forma de una

0 ··· 0 1
 0 ··· 0 0

 0 ··· 0 0
 .
..
 .
.
 .

 0 ··· 0 0

 0 ··· 0 0
 .
..
 ..
.
0 ··· 0 0
matriz en forma reducida de escalera por filas serı́a como sigue:

∗ ··· ∗ 0 ∗ ··· ∗ 0 ∗ ··· ∗ 0 ∗ ··· ∗
0 ··· 0 1 ∗ ··· ∗ 0 ∗ ··· ∗ 0 ∗ ··· ∗ 

0 ··· 0 0 0 ··· 0 1 ∗ ··· ∗ 0 ∗ ··· ∗ 
..
..
..
.. 

.
.
.
. 

0 ··· 0 0 0 ··· 0 0 0 ··· 0 1 ∗ ··· ∗ 

0 ··· 0 0 0 ··· 0 0 0 ··· 0 0 0 ··· 0 
..
..
..
.. 
.
.
.
. 
0 ··· 0 0 0 ··· 0 0 0 ··· 0 0 0 ··· 0
donde los elementos indicados con ∗ pueden ser cero o distintos de cero. El número de filas
que son distintas de cero es, precisamente, el rango de la matriz.
Ejemplo 11. Forma de escalera por filas
A.2 Eliminación de Gauss-Jordan
205
Las matrices aumentadas


1 0 0 2
 0 1 0 −1 
0 0 0 0
µ
y
0 0 1 −6 0 2
0 0 0 0 1 4
¶
están en la forma escalera por filas.
En la eliminación de Gauss-Jordan nos detenemos una vez obtenida una matriz aumentada en su forma de escalera reducida por filas. Cualesquiera que sean las operaciones que
realicemos para llegar a la forma de escalera reducida produce siempre la misma forma
reducida. Una vez obtenida esta matriz la solución del sistema se obtiene de forma muy sencilla. Los 1’s significativos nos aislan unas cuantas incógnitas (tantas como filas distintas de
cero haya en la forma reducida) que pueden despejarse en función de las demás. Enseguida
veremos un ejemplo. Para facilitar el trabajo introducimos la siguiente notaciuón: :
Sı́mbolo
Rij
cRi
cRi + Rj
Significado
Intercambio de las filas i y j
Multiplicaión de la i-ésima fila por la constante c, distinta de cero
Multiplicaión de la i-ésima fila por c y suma del resultado a la j-ésima fila
Ejemplo 12. Solución por eliminación
Resolvamos el sistema
2x1 + 6x2 + x3 = 7
x1 + 2x2 − x3 = −1
5x1 + 7x2 − 4x3 = 9
eliminación de Gauss-Jordan.
SOLUCIÓN
Efectuamos operaciones elementales por filas en la matriz aumentada del sistema para
obtener

 −2R1 + R2 


2 6 1
1
2
−1
7
−1
1 2 −1 −1
−5R1 + R3
R12
 1 2 −1 −1  −→
 0 2
 2 6 1
7 
3
9 
−→
5 7 −4 9
5 7 −4 9
0 −3 1 14






−1
1 2 −1 −1
1
2
−1
1 2 −1 −1
2
R
3
9  3R2 +R3 
9  11 3 
9 
0 1 32
0 1 23
−→  0 1
−→
−→
2
2
2
2
11
55
0 −3 1 14
0 0 2
0 0 1
5
2

1
R
2 2
206
Introducción a las Matrices
 4R3 + R1 

3
1 0 −4 −10
1 0 0 10
−
R
+
R
2
2 3
9
 0 1 3

 0 1 0 −3 
−→
2
2
0 0 1
5
0 0 1 5

−2R2 +R1
−→
Esta matriz ya se encuentra en su forma reducida de escalera por filas. El sistema correspondiente es
x1 = 10
x2 = −3 ,
x3 = 5
de forma que la solcuión del sistema es x1 = 10, x2 = −3 y x3 = 5.
Ejemplo 13. Eliminación de Gauss-Jordan
Resuélvase
x + 3y − 2z = −7
4x + y + 3z = 5
2x − 5y + 7z = 19
SOLUCIÓN
Resolveremos este sistema con la eliminación de Gauss-Jordan:
 −4R1 + R2 

1 3 −2 −7
1 3 −2 −7
−2R1 + R3
 0 −11 11 33 
 4 1
3
5 
−→
2 −5 7 19
0 −11 11 33

1
− 11
R2 
 −3R2 + R1 

1
1
0
1
1
3
−2
−7
2
− 11 R3
−R2 + R3
 0 1 −1 −3  .
−→  0 1 −1 −3 
−→
0 1 −1 −3
0 0 0
0
Esta es la forma reducida. El sistema correspondiente es
x+z =2
y − z = −3
Por lo tanto el sistema dado de tres ecuaciones y tres incógnitas equivale a otro de dos
ecuaciones y tres incógnitas. La solución general del sistema será
x=2−z
y = −3 + z
Es decir, el sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones y todas las soluciones se obtienen dando a z valores arbitrarios.
A.3 El problema de los valores propios
207
Si el sistema original fuera
x + 3y − 2z = −7
4x + y + 3z = 5
2x − 5y + 7z = 20
entonces la forma reducida de escalera por filas de la matriz ampliada serı́a:


1 0 1
2
 0 1 −1 −3 
1
0 0 0 − 11
y el sistema correspondiente
x+z =2
y − z = −3
1
0 = − 11
Debido a la tercera ecuación este sistema no tiene solución. Es decir el sistema es incompatible.
En conclusión, el método de eliminación de Gauss-Jordan nos proporciona una forma
de conocer si un sistema algebraico de ecuaciones lineales tiene o no solución y, en su caso,
todas las soluciones del sistema.
A.3.
El problema de los valores propios
La resolución analı́tica de sistemas lineales de ecuaciones diferenciales con coeficientes
constantes se basa en la búsqueda de vectores y valores propios de la matriz del sistema.
Para sistemas de dimensión pequeña (a lo más 3) la forma más sencilla y rápida de calcular
los valores propios es obteniendo las raı́ces del polinomio caracterı́stico de la matriz. Para
sistemas de dimensión mayor que 3 (y muy especialmente, por motivos que serı́a largo y
complicado de explicar, para sistemas de dimensión 5 o más) el uso de programas apropiados
de ordenador puede ser el único modo de calcular los valores propios de una matriz. Una vez
obtenidos éstos por el método que sea, la eliminación de Gauss-Jordan sirve para hallar los
vectores propios.
Definición A.16 (Valores propios y vectores propios) Sea A una matriz n×n. Se dice
que un número λ es un valor propio de A si existe un vector solución v, no cero, del
sistema lineal
Av = λv
(A.3)
El vector solución v se dice que es un vector propio de A correspondiente al valor propio
λ.
208
Introducción a las Matrices
El término hı́brı́do eigenvalor se usa como traducción de la palabra alemana eigenwert
que significa ”valor propio”. A los valores propios y vectores propios se les llama también
valores caracterı́sticos y vectores caracterı́sticos, respectivamente.
Ejemplo 14. Vector propio de una matriz

1
Compruébese que v =  −1  es un vector propio de la matriz
1



0 −1 −3
3
3 
A= 2
−2 1
1
En efecto, al multiplicar Av obtenemos



 


1
−2
1
0 −1 −3
3
3   −1  =  2  = (−2)  −1  = (−2)v.
Av =  2
1
−2
1
−2 1
1
Por lo tanto Av = (−2)v con lo que −2 es valor propio de A y v vector propio correspondiente
al valor propio −2.
Si aplicamos las propiedades del álgebra de matrices, podemos expresar la ecuación (A.3)
en la forma alternativa
λv − Av = 0
y también
(λIn − A)v = 0
(A.4)
en donde In es la matriz identidad. Si escribimos v en función de sus componentes:


v1
 v2 


v =  ..  ,
 . 
vn
la ecuación (A.4) equivale a
(λ − a11 ) v1 −
a12 v2
− ··· −
a1n vn
= 0
−a21 v1
+ (λ − a22 ) v2 − · · · −
a2n vn
= 0
..
..
..
..
.
.
.
.
−an1 v1
−
an2 v2
− · · · + (λ − amn ) vn = 0
(A.5)
A.3 El problema de los valores propios
209
Una vez conocido el valor propio λ, el sistema (A.5) es un sistema algebraico lineal homogéneo
de n ecuaciones con n incógnitas. Es homogéneo porque los términos independientes son todos
iguales a cero (es decir, bi = 0, i = 1, 2, . . . , n en (A.2)), y las incógnitas son las componentes
de un vector propio correspondiente al valor propio λ.
Por ser un sistema homogéneo hay siempre un solución obvia (o trivial): v1 = v2 = · · · =
vn = 0. Pero para que v sea un vector propio, por definición, debe ser distinto de cero.
Ası́ pues, la solución trivial no nos sirve.
Ahora bien, se sabe que un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales con n incógnitas
tiene una solución no trivial si y sólo si, el determinante de la matriz de coeficientes es igual
a cero. Ası́, para hallar una solución v distinta de cero de la ecuación (A.5) se debe cumplir
det (λIn − A) = 0
(A.6)
Al examinar (A.6) se ve que el desarrollo del det (λIn − A) por cofactores da un polinomio
de grado n en λ. La ecuación (A.6) se llama ecuación caracterı́stica de A. Ası́ los valores
propios de A son las raı́ces de la ecuación caracterı́stica. Para hallar un vector propio que
corresponda al valor propio λ, se resuelve el sistema de ecuaciones (λIn − A) v = 0, aplicando
la eliminación de Gauss-Jordan a la matriz aumentada (λIn − A|0n×1 ).
Unos ejemplos pueden servir para clarificar estos conceptos.
Ejemplo 15. Valores propios y vectores propios
Determı́nense los valores y hállese un vector propio para cada valor propio de


1
2
1
A =  6 −1 0  .
−1 −2 −1
SOLUCIÓN.
Calculamos el determinante para encontrar la ecuación caracterı́stica (podemos hacerlo,
por ejemplo, usamos los cofacotres de la segunda fila):


λ − 1 −2
−1
0  = λ3 + λ2 − 12λ = 0
det (λI3 − A) = det  −6 λ + 1
1
2
λ+1
Puesto que λ3 + λ2 − 12λ = λ (λ + 4) (λ − 3) = 0, los valores propios son λ1 = 0, λ2 = −4
y λ3 = 3. Para hallar los vectores propios debemos aplicar el algoritmo de Gauss-Jordan a
(λI3 − A|0) con cada uno de los tres valores propios calculados.
210
Introducción a las Matrices
Para λ1 = 0,


−1 −2 −1 0
−1R
0 0  −→1
(0I3 − A|0) =  −6 1
1
2
1 0

1 2 1 0
1
− 13
R2
6
0
−→  0 1 13
0 0 0 0

1 2 1 0
 −6 1 0 0
1 2 1 0


1
2 +R1
 −2R
 0
−→
0
 6R1 + R2 

0
1
2
1
−R1 + R3

 0 13 6 0 
−→
0 0 0 0

1
0 13
0
6
1 13
0 
0 0 0
Ası́, el sistema es compatible (debı́a serlo porque ya hemos visto que det(0I3 − A) = 0) y
tiene infinitas soluciones. El método de Gauss-Jordan nos indica que se pueden despejar las
incógnitas v1 y v2 en función de v3 . Es decir, las soluciones son:
1
6
v3 y v2 = − v3 .
13
13
La infinitas soluciones del sistema se obtienen dando valores distintos a v3 . Como se nos pide
encontrar un vector propio damos a v3 un valor cualquiera. En efecto, cualquier valor de v3
valdrı́a para obtener un vector propio, pero si queremos que las componentes de este vector
sean números enteros podemos escoger v3 = −13. Ası́ un vector porpio serı́a:


1
v1 =  6  .
−13
v1 = −
Procedemos de la misma forma con λ2 = −4,


 −6R1 + R2
−5 −2 −1 0
1
2 −3 0
−5R1 + R2
R31
 −6 −3 0 0 
(−4I3 − A|0) =  −6 −3 0 0  −→
−→
1
2 −3 0
−5 −2 −1 0



 −2R2 + R1 

1 2 −3 0
1 2 −3 0
1 0 1 0
1
−8R
+
R
R
2
3
9 2
 0 9 −18 0  −→
 0 1 −2 0 
 0 1 −2 0 
−→
0 8 −16 0
0 8 −16 0
0 0 0 0

La solución general del sistema será:
v1 = −v3 y v2 = 2v3 .
Eligiendo v3 = 1 se obtiene un vector propio correspondiente al valor propio λ2 = −4:


−1
v2 =  2 
1
A.3 El problema de los valores propios
211
Por último, cuando λ3 = 3, la eliminación de Gauss-Jordan da
 operaciones 

2 −2 −1 0
1 0 1 0
por filas
 0 1 3 0 
0 0 
(3I − A|0) =  −6 4
−→
2
1
2
4 0
0 0 0 0

Ası́
3
v1 = −v3 y v2 = − v3 .
2
Escogiendo v3 = −2 obtenemos un vector propio asociado al valor propio λ = 3:


2
v3 =  3  .
−2
Cuando una matriz A de tamaño n × n tiene n valores propios distintos, λ1 , λ2 , . . . ,
λn , se puede demostrar que se puede obtener un conjunto de n vectores propios linealmente
independientes v 1 , v 2 , . . . , v n ; cada uno correspondiente a un valor propio. (Que n vectores
v 1 , v 2 , . . . , v n sean linealmente independientes significa que la única forma de que la suma
α1 v 1 + α2 v 2 + · · · µ
+ αn¶
v n sea el vector
µ ¶ cero es cuando α1 = α2 = · · · = αn = 0. Por ejemplo,
1
2
los vectores v 1 =
y v2 =
no son linealmente indepencientes porque además de
2
µ ¶
µ ¶
µ ¶
µ ¶ 1
0
1
0
0
si
y v2 =
. Sin embargo,v 1 =
también −2v 1 + v 2 =
0v 1 + 0v 2 =
1
0
0
0
µ ¶
0
es que
son linealmente independientes porque la única forma en que α1 v 1 + α2 v 2 =
0
α1 = α2 = 0.)
Cuando la ecuación caracterı́stica tiene raı́ces repetidas, quizá no sea posible hallar n vectores propios de A linealmente independientes. El siguiente ejemplo muestra esta situación.
Ejemplo 16. Valores propios y vectores propios repetidos
Determı́nense los valores propios y vectores propios de
µ
¶
3 4
A=
.
−1 7
SOLUCIÓN
212
Introducción a las Matrices
Partimos de la ecuación caracterı́stica
µ
¶
λ − 3 −4
det (λI2 − A) = det
= λ2 − 10λ + 25 = (λ − 5)2 = 0
1
λ−7
y vemos que λ1 = λ2 = 5 es un valor propio de multiplicidad dos. En el caso de una matriz
2 × 2, no es necesario la eliminación de Gauss-Jordan, se pueden obtener las soluciones
mediante inspección directa. En este caso, para determinar un vector propio correspondiente
a λ1 = 5, recurriremos al sistema (5I2 − A|0), en su forma equivalente
−2v1 + 4v2 = 0
−v1 + 2v2 = 0
De aquı́ se deduce que v1 = 2v2 . De modo que todos los vectores propios correspondientes al
valor propio λ = 5 tienen la siguiente forma
µ
¶
2v2
v=
v2
con v2 6= 0. Y no podemos encontrar dos vectores propios linealmente independientes. En
efecto, si
µ
¶
µ 0 ¶
2v2
2v2
0
v=
yv =
v2
v20
con v2 6= v20 y ambos distintos de cero, entonces v20 v − v2 v 0 = 0. Es decir, hay números α1 y
α2 distintos de cero tales que α1 v + α2 v 0 = 0, lo que significa que v y v 0 no son linealmente
independientes.
En particular, si escogemos v2 = 1, obtenemos un vector propio:
µ ¶
2
v=
1
El siguiente y último ejemplo nos muestra que también puede suceder que haya dos
vectores propios linealmente independientes correspondientes a un valor propio repetido.
Ejemplo 17. Valores propios y vectores propios repetidos
Hállense los valores propios y vectores propios de


9 1 1
A =  1 9 1 .
1 1 9
A.3 El problema de los valores propios
213
SOLUCIÓN
La ecuación caracterı́stica

λ − 9 −1
−1
det (λI3 − A) = det  −1 λ − 9 −1  = (λ − 11) (λ − 8)2 = 0
−1
−1 λ − 9

indica que λ1 = 11 es un valor propio simple (de multiplicidad 1) y λ2 = λ3 = 8 es un valor
propio de multiplicidad dos.
Para λ1 = 11, la eliminación de Gauss-Jordan da
 operaciones 

1 0 −1 0
2 −1 −1 0
por filas
 0 1 −1 0  .
−→
(11I3 − A|0) =  −1 2 −1 0 
−1 −1 −2 0
0 0 0 0

Por consiguiente, v1 = v3 y v2 = v3 . Si v3 = 1,


1
v1 =  1 
1
es un vector propio correspondiente al valor propio λ1 = 11.
Cuando λ2 = 8,
 operaciones 

−1 −1 −1 0
1 1 1 0
por filas
 0 0 0 0 .
(8I3 − A|0) =  −1 −1 −1 0 
−→
−1 −1 −1 0
0 0 0 0

En la ecuación v1 + v2 + v3 = 0 podemos despejar una de las incógnitas en función de las
otras dos. Ası́, por ejemplo
v1 = −v2 − v3 .
Podrı́amos decir que tenemos 2 grados de libertad: dando valores a v2 y v3 podemos conseguir
dos vectores solución que sean linealmente independientes. Por ejemplo, si por una parte
optamos por v2 = 1 y v3 = 0 y, por otra v2 = 0 y v3 = 1, tenemos que




−1
−1
v2 =  1  y v3 =  0 
0
1
son vectores linealmente independientes.
214
Introducción a las Matrices