induccion matematica

LA INDUCCIÓN MATEMÁTICA
Alfonso Garcés Báez
FCC-BUAP
Uno de los retos más interesantes en matemáticas es la parte donde se trata la
forma de raciocinio que conduce a la verdad. Antes de hablar de los
ingredientes que componen una demostración por inducción matemática,
haremos un viaje por Bagdad con los creadores del álgebra y escucharemos un
diálogo entre el astrónomo Abul Hassan Ali y el Gran Calculador Beremiz (de
“El hombre que calculaba” por Malba Tahan).
El astrónomo Abul Hassan preguntó:
¿Es posible extraer en matemática una regla falsa de una propiedad verdadera?
Quiero oír tu respuesta, ¡oh Calculador!, ilustrada con un ejemplo sencillo y
perfecto.
Beremiz
calló,
durante
un
rato,
reflexivamente. Luego salió del recogimiento
y dijo:
- Admitamos que un algebrista curioso
deseara determinar la raíz cuadrada de un
número de cuatro cifras. Sabemos que la raíz
cuadrada de un número es otro número que,
multiplicado por sí mismo, da un producto
igual al número dado. Es un axioma en
matemáticas. Vamos a suponer aún que el
algebrista, tomando libremente tres números a
su gusto, destacase los siguientes números:
2025, 3025 y 9081.
Iniciemos la resolución del problema por el
número 2025. Hechos los cálculos para dicho
número, el investigador hallaría que la raíz
cuadrada es igual a 45. En efecto 45 veces 45 es igual a 2025. Pero se puede
comprobar que 45 se obtiene de la suma de 20+25 que son partes del número
2025 descompuesto mediante un punto, de esta manera: 20.25.
Lo mismo podría comprobar el matemático con relación al número 3025, cuya
raíz cuadrada es 55 y conviene notar que 55 es la suma de 30+25, partes
ambas del número 3025.
Idéntica propiedad se destaca con relación al número 9801, cuya raíz cuadrada
es 99, es decir 98+01.
Ante estos tres casos, el inadvertido algebrista podría sentirse inclinado a
enunciar la siguiente regla:
Para calcular la raíz cuadrada de un número de cuatro cifras, se divide el
número por medio de un punto en dos partes de dos cifras cada una, y se
suman las partes así formadas. La suma obtenida será la raíz cuadrada del
número dado.
Esa regla, visiblemente errónea, fue
deducida de tres ejemplos verdaderos. Es
posible en matemática, llegar a la verdad
por simple observación; no obstante hay
que poner cuidado especial en evitar la
falsa inducción.
El método de demostración por
inducción se aplica sobre los índices o
una variable que toma su valor del
conjunto de los números naturales en una
expresión matemática y se desarrolla en
dos o tres pasos, es recomendable el
desarrollo con las tres componentes
siguientes:
1. Caso Base (n = 1). Se demuestra la
veracidad de la expresión matemática
para el caso en que la variable o literal en
cuestión tenga el valor más pequeño, es decir, uno.
2. Hipótesis de Inducción (n = h). En este paso, se distingue la hipótesis y la
tesis. Se escribe la expresión matemática original, sustituyendo la variable n
de toda la expresión por h, simplificándola de la forma más conveniente ya
que esta expresión será utilizada en el siguiente paso y constituye la hipótesis
de inducción. Esta etapa es muy importante y debe incluir todas las
suposiciones cuando la variable en cuestión toma este valor, principalmente
cuando se trabaja sobre la longitud de una cadena (string) o de una lista de
fórmulas bien construidas que forman parte de la prueba de un teorema en el
caso de lógica.
3. Caso General (n = h +1). Este último paso es para el caso en que la variable
n toma el valor igual a h +1 en la expresión original, lo cual constituye la tesis
o lo que se quiere demostrar. Ahora, utilizando la hipótesis de inducción se
demuestra la veracidad de la tesis inductiva. Se debe hacer una construcción
matemática que nos conduzca a la tesis inductiva y que necesariamente utilice
la hipótesis de inducción en alguna parte de su desarrollo, para esto es
necesario regularmente, representar con formas válidas y equivalentes una o
las dos puntas de la construcción, como si se trataran de trozos de plastilina
que deben moldearse para su exacto acoplamiento en algún paso de la
demostración.
A continuación ejemplificaremos la demostración por inducción.
Demostraremos la veracidad de la siguiente proposición:
1) Analizamos la veracidad de la proposición para el caso n =1.
Desarrollando cada miembro de la ecuación, tenemos:
De donde se obtiene: 3 = 3.
Por lo tanto la proposición es verdadera para n = 1.
2) Suponemos la veracidad de la proposición para el caso n =h.
Hipótesis de inducción:
3) Demostración del caso general (n = h+1).
Tesis inductiva, es decir, lo que se quiere demostrar:
Haciendo las operaciones, obtenemos:
A partir de la hipótesis inductiva haremos el desarrollo necesario y suficiente
en ambos miembros de la ecuación para llegar a la tesis inductiva:
Por lo tanto, queda esto demostrado (QED) y
¡ La Proposición es Verdadera para todo n en N !