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1.
Sistemas Físicos
1. Sistemas Físicos _________________________ 1
1.1. Introducción ___________________________________________ 2
1.2. Sistemas Mecánicos _______________________________________ 3
1.3. Sistemas Eléctricos _______________________________________ 5
1.4. Sistemas Hidráulicos ______________________________________ 7
1.5. Sistemas Múltiples ______________________________________ 12
1
1.1.
Introducción
Sistemas lineales y no lineales.
No existen sistemas lineales
Pero, .... en este curso simplificaremos todos los sistemas a sistemas lineales.
2
1.2.
Sistemas Mecánicos
Ejemplo 1. Traslación Mecánica
Ley de Newton
ma   F
[1.1]
ma  t   bv  t   kx  t   p  t 
[1.2]
d 2 x t 
dx  t 
m
 b
 kx  t   p  t 
dt 2
dt
[1.3]
m
d 2 x t 
dt
2
f
dx  t 
dt
 kx  t   p  t 
 g   m seg 2    Nseg m   m seg    N m   m   N 

[1.4]
[1.5]

3
Ejemplo 2. Rotación Mecánica
Ley de Newton
J   P
[1.6]
Ahora quiero ver cómo varía la velocidad
J   t   b  t   P  t 
[1.7]

 rad
   Nm 
 Nmseg 2   rad
2    Nmseg 
seg 

seg 

[1.8]
4
1.3.
Sistemas Eléctricos
Ejemplo 3. Circuito Eléctrico
Ley de Kirchhoff
L
di
1
 Ri   idt  e
dt
C
[1.9]
tensión en el condensador
ec 
1
idt

C
[1.10]
 H   A seg    A   1 F   Aseg   V 
[1.11]
En términos de carga eléctrica,
dq
2
di
1
dq
1
d
q
dq 1
L  Ri   idt  L dt  R  q  L
R  q
dt
C
dt
dt C
dt
dt C
d
d 2q
dq 1
L
R  qe
dt
dt C
[1.12]
[1.13]
5
comparar esta ecuación con la de traslación mecánica.
Ejemplo 4. Sismógrafo
mx0  b  x0  xi   k  x0  xi   0
y   x0  xi 
my  by  ky  0
6
1.4.
Sistemas Hidráulicos
Ejemplo 5. Nivel de Líquidos
Qo  K H
linealizando
qo  R0 h
la constante
dv
 qi  qo
dt
dh
A  qi  Ro h
dt
7
Ejemplo 6. Sistema de Dos Tanques
q1 
A1
h1  h2
R1
dh1
 q  q1
dt
h2
 q2
R2
A2
dh2
 q1  q2
dt
8
Ejemplo 7. Sistema Neumático
Se define
 Kg 
d P  m 2  variaciòn de diferencia de presión de gas
R


dq
variaciòn de caudal
 Kg

 seg 
 Kg 
dm
d
 m3  variaciòn de la masa de gas acumulado
3 
C
V
  m 

dp
dp
variaciòn de presión de gas
 Kg 
2
 m 
9
en una aproximación, se puede considerar
d
1

dp nRgasT
para una misma temperatura, esta variación es constante
En la figura, se intenta controlar la presión interior, variando la presión de
entrada
R
d P pi  po

dq
q0
C
dm qdt
d

V
dpo dpo
dpo
Cdpo  qdt
dpo pi  po

dt
R
dp
RC o  po  pi
dt
C
10
11
1.5.
Sistemas Múltiples
Ejemplo 8. Sistemas múltiples
m1
x1  b1  x1  x2   k1 x1  u1
m2 
x2  b1  x2  x1   k2 x2  u2
12
Ejemplo 9. Acelerómetro
la caja está unida a la estructura del avión
mx0  b  x0  xi   k  x0  xi   mgsen    0
y  x0  xi
my  by  ky  mxi  mg sen  
nuevas variables
z  y
mg
sen  
k
w  
xi
mz  bz  kz   mw
b
k

z  z  z   w
m
m
13
Ejemplo 10. Tren de Engranajes
J11  f11  T1  Tm
J 22  f 22  T3  T2
igualdad de trabajos
T11  T2 2
T2  T1
N2
N1
J 33  f33  Tl  T4
T4  T3
N4
N3
3   2
N3
N N
 1 1 3
N4
N2 N4
14
N
N N
J11  f11  1 J 22  f 22  1 3 J 33  f33  Tl  Tm
N2
N2 N4





N12
N12 N 32   
N12
N12 N 32   N12 N 32
 J1  N 2 J 2  N 2 N 2 J 3  1   f1  N 2 f 2  N 2 N 2 f3  1  N 2 N 2 Tl  Tm
2
2
4
2
2
4
2
4




J1eq1  f1eq1  T1eql  Tm
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Ejemplo 11. Tanque Agitado
Fi , Ti
h
Fst
Q
T
F ,T
Masa total de líquido en el tanque
V   Ah
donde,
 : densidad del líquido (se supone independiente de la temperatura)
V : volumen del líquido
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A, h : área del recipiente y altura del líquido
E  U  int   K  cin   P  pot 
como el tanque no se mueve
dK dP

 0,
dt
dt
dE dU

0
dt
dt
para líquidos
dU dH

dt
dt
siendo H la entalpía total del líquido en el tanque y es,
H  Vc p T  Tref    Ahc p T  Tref

donde
c p : capacidad calórica del líquido en el tanque
Tref : la temperatura a la cual la entalpía específica es cero.
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Se definen las siguientes variables de estado:
xT   h T 
parámetros constantes:  , A, c p , Tref
Balance de masa:
d   Ah 
  Fi   F
dt
Ah  F  F
Fi , F : caudales de entrada y salida
i
Balance de energía:
Acum. de energía energía de entrada energía de salida energía del vapor



tiempo
tiempo
tiempo
tiempo
dH d   Ahc p T  Tref  

  Fi c p T  Tref    Fi c p T  Tref   Q
dt
dt
siendo Q la energía calórica por unidad de tiempo del vapor
18
suponiendo Tref  0
A
dhT
Q
 FT

FT

i i
dt
cp
A
dhT
dT
dh
dT
Q
 Ah
 AT
 Ah
 T  Fi  F   FT

FT

i i
dt
dt
dt
dt
cp
Ah
dT
Q
 Fi Ti  T  
dt
cp
Las ecuaciones de estado son:
 Ah  Fi  F

Q
 
AhT

F
T

T


i i

cp

variables de estado:
xT   h T 
variables de salida (medidas):
yT  h T 
variables de entrada (manipuladas):
u T  Q F 
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d T  Ti
perturbaciones (no controladas):
Fi 
parámetros constantes:  , A, c p , Tref
Analizar:
- equilibrio
- una reducción de Ti
- una reducción de Fi
Linealización en un punto de trabajo.
Equilibrio
 Ah  Fi  F  0

Q
 
AhT

F
T

T

0


i
i


c
p

Fi  F  F0
F0 Ti 0  T0   
Q0
cp
20
desarrollo en serie entorno al punto de equilibrio


h   Fi  F   dh  F  F   dh  F  F   1  F  F   1  F  F   1  F  F 
i
0
0
i
0
0
i


dF
A
A
A
 A A  0 dFi
 Fi
Fi
Q
Q 

T
  Ti  T  
Ti  T  
 
Ah
 c p Ah  Ah
 c p Ah  0
T T
F
F
 i
 Fi  Fi 0   i Ti  Ti 0   i T  T0  
Ah 0
Ah 0
Ah 0
1

 c p Ah
 F
Q 1
i
 Q  Q0    Ti  T  
 2   h  h0 
 c p A  h 
 A
0
0
 F
Ti 0  T0 
Fi 0
Fi 0
1
Q0  1 
i0

T
Fi 
Ti 
T
Q  
Ti 0  T0  
 2  h

Ah0
Ah0
Ah0
 c p Ah0
 c p A  h0 
 A
21
  h   0
    
 T   a21

  h  1
 T   0
  
0   h   0 b12  Q   0 bd 12   Ti 








a22  T  b21 0   F  bd 21 bd 22   Fi 
0  h 
1  T 
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Ejemplo 12. Columna de Destilación Binaria
- mezcla líquida (saturada) de A
yB
 mol 
 Flujo molar de entrada
- Ff 
 min 


- c f fracción molar de A
-
23
Simplificaciones
- Vapor en plato, despreciable
- Pérdidas de la columna, despreciable
Ecuaciones de Estado
- Para el Plato de entrada: i  f
Masa total:
dM f
 Ff  L f 1  V f 1  L f  V f
dt
 Ff  L f 1  L f
Componente A
d M f xf
dt
F c
f
f
 L f 1 x f 1  V f 1 y f 1  L f x f  V f y f
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- Para el Plato Superior: i  N
Masa total:
dM N
 FR  VN 1  LN  VN  FR  LN
dt
Componente A
d  M N xN 
 FR xD  VN 1 y N 1  LN xN  VN y N
dt
- Para el Plato Inferior: i  1
Masa total:
dM 1
 L2  L1  V  V1  L2  L1
dt
Componente A
d  M 1 x1 
 L2 x2  Vyb  L1 x1  V1 y1
dt
25
- Para el resto de los Platos: i  2 N  1, i  f
Masa total:
dM i
 Li 1  Li  Vi 1  Vi  Li 1  Li
dt
Componente A
d  M i xi 
 Li 1 xi 1  Vi 1 yi 1  Li xi  Vi yi
dt
- Para el Tambor (drum) de Reflujo
Masa total:
dM RD
 VN  FR  FD
dt
Componente A
d  M RD xRD 
 VN y N   FR  FD  xD
dt
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- Para la Base de la Columna
Masa total:
dM B
 L1  V  FB
dt
Componente A
d  M B xB 
dt
 L1 x1  Vy B  FB xB
Estas son las ecuaciones de estado que describen la dinámica de la columna.
Las variables de estado son:
Cantidades de líquido (holdups):  N  2
Concentraciones en líquido:  N  2
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Falta definir:
Ecuaciones de equilibrio:
yi 
 xi
1    1 xi
i  1, 2, , f ,, N , B
Relaciones hidráulicas (fórmula de Francis para represas):
Li  f  M i  i  1, 2, , f ,, N
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Definición de variables y objetivos:
Perturbaciones:
-
Ff , c f
Objetivos:
- Mantener en valores deseados xD , xB , M RD , M B
Las composiciones se especifican por consideraciones de calidad
Las cantidades restantes, por consideraciones operativas (inundación o vaciado)
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Cuidado con especificar más
independientes (grados de libertad).
objetivos
que
el
número
de
variables
Objetivos posibles:
-
Mantener FD , xD , M RD y M B , o
-
Mantener
FB xB M RD M B
, ,
y
,o
Objetivo imposibles:
-
Mantener FD , xD , FB , xB , M RD y M B simultáneamente
30
31
- Planta más compleja. Origen de las perturbaciones
32
Ejercicios
33
34
Ejemplo 13. Servomotores
Dos tensiones desfadas 90 grados.
Fase fija: 60, 400, 1000 Hz.
El signo de Ec da el sentido de giro y el
par generado es proporcional a la amplitud de
Ec.
Relación torque-velocidad. Para cierto
entorno se puede considerar lineal.
J  J m  n2 J c
b  bm  n 2bc
T   K n  K c Ec  J   b
J   b  K n   K c Ec
35
36
Ejemplo 14. Motor Controlado Por Armadura
  K f if
T  K f i f K i ia  Kia
e fcem  eb  K b
La ia  R a ia  eb  ea
J  b  T  Kia
37
38
Ejemplo 15. Motor de CC controlado por Campo
  K f if
T  K f i f K i ia  K 2i f
L f if  R f i f  e f
J   b  T  K 2i f
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Ejemplo 16. Sistema Hidráulico
Relación no lineal
Q  f  X , P 
[1.14]
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Linealización sobre un punto de operación
Q  f  X , P   Q  Q 
Q
X
X X
P P
Q
 X  X   
P
X X
P P
 P  P   
[1.15]
Se podrían tomar incrementos
Q Q  q
X X x
[1.16]
P  P  p
q  k1 x  k 2 p
[1.17]
Volúmenes
A dy  q dt
[1.18]
velocidad de salida
dy
q

dt A
[1.19]
41
A
dy
 k1 x  k2 p
dt
[1.20]
La fuerza desarrollada por el pistón es
F  Ap 
A
dy 
k
x

A

 1

k2 
dt 
[1.21]
La ecuación de la carga
my  by  F 
A
 k1 x  A y 
k2

A2 
Ak
my   b 
  y  1 x
k2 
k2

[1.22]
[1.23]
42
Cuádruple Tanque

3,7 1

62 s  1
 y1  
y 
4,7 1   1 
 2

  30s  1 90s  1
3,7 1   2 

 23s  1 62s  1   u1 
u 

4,7 2
 2

90 s  1

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