Modelo en Variables de Estado

1.
1.
Modelos Expresados en Variables de Estado
Modelos Expresados en Variables de Estado_________________________ 1
1.1. Introducción_________________________________________________________________________________________________________ 2
1.2. Definición ___________________________________________________________________________________________________________ 2
1.3. Forma General _______________________________________________________________________________________________________ 9
1.4. Solución ___________________________________________________________________________________________________________ 10
1.5. Formas Canónicas. Un Ejemplo ________________________________________________________________________________________ 11
1.6. Resumen __________________________________________________________________________________________________________ 16
02 03 Modelo en Variables de Estado.doc 1
1.1. Introducción
En la representación como función de transferencia no se consideran las variables
internas
No es práctica en sistemas con más de una entrada y una salida
1.2. Definición
Estado: conjunto de variables que describen a un sistema en todo instante.
No hay una única representación para un mismo sistema
Las variables de estado no necesariamente tienen interpretación física
El número de estados coincide con el número de polos de la función de transferencia (en los sistemas SISO)
02 03 Modelo en Variables de Estado.doc 2
Ejemplo 1.1. Tanque Agitado
Fi , Ti
h
Fst
T
Q
F ,T
Masa total en el tanque
ρV = ρ Ah
donde
ρ : densidad del líquido (se supone independiente de la temperatura)
V : volumen del líquido
A, h : área del recipiente y altura del líquido
02 03 Modelo en Variables de Estado.doc 3
E = U ( int ) + K ( cin ) + P ( pot )
como el tanque no se mueve
dK dP
dE dU
=
= 0,
=
=0
dt
dt
dt
dt
para líquidos
dU
dt
dH
dt
siendo H la entalpía total del líquido en el tanque y es,
H = ρVc p (T − Tref ) = ρ Ahc p (T − Tref )
donde
c p : capacidad calórica del líquido en el tanque
Tref : la temperatura a la cual la entalpía específica es cero.
02 03 Modelo en Variables de Estado.doc 4
Se definen las siguientes variables de estado:
xT = [ h T ]
parámetros constantes: ρ , A, c p , Tref
Balance de masa:
d ( ρ Ah )
= ρ Fi − ρ F
dt
Ah& = F − F
Fi , F : caudales de entrada y salida
i
Balance de energía:
Acum. de energía energía de entrada energía de salida energía del vapor
=
−
+
tiempo
tiempo
tiempo
tiempo
dH d  ρ Ahc p (T − Tref ) 
=
= ρ Fi c p (T − Tref ) − ρ Fi c p (T − Tref ) + Q
dt
dt
siendo Q la energía calórica por unidad de tiempo del vapor
suponiendo Tref = 0
02 03 Modelo en Variables de Estado.doc 5
A
dhT
Q
FT
= FT
−
+
i i
dt
ρcp
A
dhT
dT
dh
dT
Q
FT
= Ah
+ AT
= Ah
+ T ( Fi − F ) = FT
−
+
i i
dt
dt
dt
dt
ρcp
Ah
dT
Q
= Fi (Ti − T ) +
dt
ρcp
Las ecuaciones de estado son:
 Ah& = Fi − F

Q
 &
=
−
+
AhT
F
T
T
)
i( i

ρcp

variables de estado:
xT = [ h T ]
variables de salida (medidas):
yT = [ h T ]
variables de entrada (manipuladas):
perturbaciones (no controladas):
u T = [Q F ]
d T = [Ti
Fi ]
parámetros constantes: ρ , A, c p , Tref
02 03 Modelo en Variables de Estado.doc 6
Analizar:
- equilibrio
- una reducción de Ti
- una reducción de Fi
Linealización en un punto de trabajo.
Equilibrio
 Ah& = Fi − F = 0

Q
 &
=
−
+
=0
AhT
F
T
T
)
i( i

ρcp

Fi = F = F0
F0 (Ti 0 − T0 ) = −
Q0
ρcp
02 03 Modelo en Variables de Estado.doc 7
desarrollo en serie entorno al punto de equilibrio
&
&
F
F
dh
dh
1
1
1


i
h& =  −  +
( Fi − F0 ) + ( F − F0 ) = ( Fi − F0 ) − ( F − F0 ) = ( Fi − F )
dF
A
A
A
 A A  0 dFi
 Fi
Fi
Q
Q 
&
=  (Ti − T ) +
T=
(Ti − T ) +
 +
ρ c p Ah  Ah
ρ c p Ah  0
Ah
T −T
Fi
Fi
+ i
−
+
−
−
F
F
T
T
( i i0 )
( i i0 )
(T − T0 ) +
Ah 0
Ah 0
Ah 0
1
+
ρ c p Ah
 F
Q  1
i
( Q − Q0 ) −  (Ti − T ) +
 2  ( h − h0 )
ρ c p A  h 
 A
0
0
 F
Ti 0 − T0 )
(
Fi 0
Fi 0
Q0  1 
1
i0
&
T=
Fi +
Ti −
T+
Q − 
(Ti 0 − T0 ) +
 2  h

Ah0
Ah0
Ah0
ρ c p Ah0
ρ c p A  h0 
 A
  h&   0
 &  = 
 T   a21

  h  1
 T  =  0
  
0   h   0 b12   Q   0 bd 12   Ti 
+
+






a22  T  b21 0   F  bd 21 bd 22   Fi 
0  h 
1  T 
02 03 Modelo en Variables de Estado.doc 8
1.3. Forma General
&&
y ( t ) + ay& ( t ) + by ( t ) = cu ( t )
[1.1]
&&
y ( t ) = − ay& ( t ) − by ( t ) + cu ( t )
[1.2]
x1 ( t ) = y ( t )
x2 ( t ) = y& ( t )
[1.3]
1   x1 ( t )   0
 x&1 ( t )   0
=
 x& t  
 x t  +   u ( t ) = Ax ( t ) + Bu ( t )

 2 ( )   −b − a   2 ( )   c 
y ( t ) = [1 0] x ( t ) = Cx ( t )
 x& ( t ) = Ax ( t ) + Bu ( t )

 y ( t ) = Cx ( t ) + Du ( t )
[1.5]

sX ( s ) − X 0 = AX ( s ) + BU ( s )

 Y ( s ) = CX ( s ) + DU ( s )
[1.6]
[1.4]
para X 0 = 0
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 X ( s ) = ( sI − A) −1 BU ( s )

−1
Y ( s ) = C ( sI − A) BU ( s )
para sistemas SISO
Y ( s)
−1
= C ( sI − A) B + D
U ( s)
[1.7]
[1.8]
no contempla las condiciones iniciales
1.4. Solución
x (t ) = e
A( t −t0 )
t
x0 + ∫ e
t0
A( t −τ )
Bu (τ ) dτ
[1.9]
02 03 Modelo en Variables de Estado.doc 10
1.5. Formas Canónicas. Variables de Fase
Representación en variables de fase
y ( n ( t ) + an −1 y ( n −1 ( t ) + L + a0 y ( t ) = u ( t )
[1.10]
x&1 ( t ) = x2 ( t )
x1 ( t ) = y ( t )
x2 ( t ) = y& ( t )
x&2 ( t ) = x3 ( t )
M
M
[1.11]
xn −1 ( t ) = y ( n −2 ( t ) x&n −1 ( t ) = xn ( t )
x&n ( t ) = − a0 x2 ( t ) − L − an −1 xn ( t ) + u ( t )
xn k = y ( n −1 ( t )
1
 0
 0
0

x& ( t ) =  M
M
 0
0

 -a 0 -a 1
0 

0

 

 x (t ) +  M  u (t )
0

K
 

K -a n-1
 1 
K
K
0
0
M
1
[1.12]
Sistema completo
02 03 Modelo en Variables de Estado.doc 11
bm z m + bm−1 z m−1 + L + b0
Y ( z) = n
U ( z)
n −1
z + an −1 z + L + a0
W ( z) =
1
z + an −1 z
n
n −1
+ L + a0
U ( z)
ya sabemos la forma canónica
Y ( z ) = ( bm z m + bm−1 z m−1 + L + b0 )W ( z )
yk = bm xm+1k + bm−1 xmk + L + b0 x1k = Cxk
1
 0
 0
0

x& ( t ) =  M
M
 0
0

 -a 0 -a 1
yk = [bm
0 
0 
0
0 
 

M  x ( t ) +  M  u ( t )= Ax ( t ) + Bu ( t )
0
K 1 
 

K -a n-1
 1 
K
K
[1.13]
bm−1 L b0 ] xk = Cxk
02 03 Modelo en Variables de Estado.doc 12
+
bn −1 − bn an −1
bn
u
x&n
+
∫
xn
∫
b1 − bn a1
xn −1
x3
∫
x2
y
b0 − bn a0
∫
x1
− an −1
−a1
−a0
02 03 Modelo en Variables de Estado.doc 13
1.6. Ejemplo de Variables de Fase
Sean dos funciones de transferencia en paralelo (tanque calentador agitado):
k1
k2
=
=
[1.14]
G1 ( s )
G2 ( s )
1 + sT1
1 + sT2
k1 (1 + sT2 ) + k2 (1 + sT1 )
k1
k2
[1.15]
G ( s ) = G1 ( s ) + G2 ( s ) =
+
=
1 + sT1 1 + sT2
(1 + sT1 )(1 + sT2 )
T1k2 + T2 k1
k +k
s+ 1 2
Y ( s ) k1 + k2 + (T1k2 + T2 k1 ) s
T1T2
T1T2
=
=
G (s) =
[1.16]
2
T +T
1
U ( s ) 1 + (T1 + T2 ) s + T1T2 s
s2 + 1 2 s +
T1T2
T1T2
Y (s)
b s + b0
[1.17]
G (s) =
= 2 1
U ( s ) s + a1s + a2
&&
y ( t ) + a1 y& ( t ) + a2 y ( t ) = b1u& ( t ) + b2u ( t )
[1.18]
 0
x& ( t ) = 
 − a2
1 
0
x ( t ) +   u ( t )= Ax ( t ) + Bu ( t )

− a1 
1 
[1.19]
y ( t ) = [b1 b2 ] xk = Cxk
02 03 Modelo en Variables de Estado.doc 14
+
b2
u
x&2
+
∫
x2
y
b1
∫
x1
− a2
− a1
02 03 Modelo en Variables de Estado.doc 15
1.7. Resumen
Representación en variables de Estado
Ecuación Diferencial Matricial de Primer Orden
Explicitación del estado interno del sistema
Relación entre función de transferencia y variables de estado.
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