1. Sistemas Físicos

1.
1.
Sistemas Físicos
Sistemas Físicos _______________________________________________ 1
1.1. Introducción _________________________________________________________________ 2
1.2. Sistemas Mecánicos ___________________________________________________________ 3
1.3. Sistemas Eléctricos ____________________________________________________________ 5
1.4. Sistemas Hidráulicos __________________________________________________________ 7
1.5. Sistemas Múltiples ___________________________________________________________ 11
1
1.1.
Introducción
Sistemas lineales y no lineales.
No existen sistemas lineales
Pero, .... en este curso simplificaremos todos los sistemas a sistemas lineales.
2
1.2.
Sistemas Mecánicos
Ejemplo 1. Traslación Mecánica
Ley de Newton
ma = ∑ F
[1.1]
ma ( t ) = −bv ( t ) − kx ( t ) + p ( t )
[1.2]
m
d 2 x (t )
dt
2
= −b
dx ( t )
dt
− kx ( t ) + p ( t )
d 2 x (t )
dx ( t )
m
+f
+ kx ( t ) = p ( t )
2
dt
dt
[ g ]  m seg 2  +  Nseg m   m seg  +  N m  [ m] = [ N ]


[1.3]
[1.4]
[1.5]
3
Ejemplo 2. Rotación Mecánica
Ley de Newton
Jα = ∑ P
[1.6]
Ahora quiero ver cómo varía la velocidad
J ω& ( t ) = −bω ( t ) + P ( t )
[1.7]

 rad
 + [ Nm ]
 Nmseg 2   rad
Nmseg
=
[
]
2
seg 

seg 

[1.8]
4
1.3.
Sistemas Eléctricos
Ejemplo 3. Circuito Eléctrico
Ley de Kirchhoff
L
di
1
+ Ri + ∫ idt = e
dt
C
[1.9]
tensión en el condensador
ec =
1
idt
∫
C
[1.10]
[ H ]  A seg  + [Ω][ A] +  1 F  [ Aseg ] = [V ]
[1.11]
En términos de carga eléctrica,
dq
1
di
dq 1
d 2q
dq 1
dt
L + Ri + ∫ idt = L
+R + q=L
+R + q
dt
C
dt
dt C
dt
dt C
d
d 2q
dq 1
+R + q=e
L
dt
dt C
[1.12]
[1.13]
5
comparar esta ecuación con la de traslación mecánica.
Ejemplo 4. Sismógrafo
mx&&0 + b ( x&0 − x&i ) + k ( x0 − xi ) = 0
y = ( x0 − xi )
my&& + by& + ky = 0
6
1.4.
Sistemas Hidráulicos
Ejemplo 5. Nivel de Líquidos
Qo = K H
linealizando
qo = R0 h
la constante
dv
= qi − qo
dt
dh
A = qi − Ro h
dt
7
Ejemplo 6. Sistema de Dos Tanques
q1 =
A1
h1 − h2
R1
dh1
= q − q1
dt
h2
= q2
R2
A2
dh2
= q1 − q2
dt
8
Ejemplo 7. Sistema Neumático
Se define
 Kg 
d ∆P  m 2  variaciòn de diferencia de presión de gas
R=
=
=
Kg
variaciòn de caudal
dq


 seg 
 Kg 
3
dm
dρ
 variaciòn de la masa de gas acumulado
m
3 

C=
=V
=  m 
=
dp
dp
variaciòn de presión de gas
 Kg 
2
 m 
9
en una aproximación, se puede considerar
dρ
1
=
dp nRgasT
para una misma temperatura, esta variación es constante
En la figura, se intenta controlar la presión interior, variando la presión de entrada
d ∆P pi − po
R=
≈
dq
q−0
C=
dm qdt
dρ
=
=V
dpo dpo
dpo
Cdpo = qdt
dpo pi − po
=
dt
R
dp
RC o + po = pi
dt
C
10
1.5.
Sistemas Múltiples
Ejemplo 8. Sistemas múltiples
m1 &&
x1 + b1 ( x&1 − x&2 ) + k1 x1 = u1
m2 &&
x2 + b1 ( x&2 − x&1 ) + k2 x2 = u2
11
Ejemplo 9. Acelerómetro
la caja está unida a la estructura del avión
mx&&0 + b ( x&0 − x&i ) + k ( x0 − xi ) − mgsen (θ ) = 0
y = x0 − xi
my&& + by& + ky = − mx&&i + mg sen (θ )
nuevas variables
z = y+
mg
sen (θ )
k
w = &&
xi
mz&& + bz& + kz = − mw
b
k
&&
z + z& + z = − w
m
m
12
Ejemplo 10. Tren de Engranajes
J θ&& + f θ& + T = T
1 1
1 1
1
m
J 2θ&&2 + f 2θ&2 + T3 = T2
igualdad de trabajos
T1θ1 = T2θ 2
T2 = T1
N2
N1
J 3θ&&3 + f 3θ&3 + Tl = T4
T4 = T3
N4
N3
N3
N1 N 3
θ3 = θ 2
= θ1
N4
N2 N4
13
N
N N
J1θ&&1 + f1θ&1 + 1 J 2θ&&2 + f 2θ&2 + 1 3 J 3θ&&3 + f 3θ&3 + Tl = Tm
N2
N2 N4
(
)
(
)

N12
N12 N 32  && 
N12
N12 N 32  & N12 N 32
 J1 + N 2 J 2 + N 2 N 2 J 3  θ1 +  f1 + N 2 f 2 + N 2 N 2 f 3  θ1 + N 2 N 2 Tl = Tm
2
2
4
2
2
4
2
4




J1eqθ&&1 + f1eqθ&1 + T1eql = Tm
14
Ejemplo 11. Tanque Agitado
Fi , Ti
h
Fst
T
Q
F ,T
Masa total de líquido en el tanque
ρV = ρ Ah
donde,
ρ : densidad del líquido (se supone independiente de la temperatura)
V : volumen del líquido
A, h : área del recipiente y altura del líquido
15
E = U ( int ) + K ( cin ) + P ( pot )
como el tanque no se mueve
dK dP
=
= 0,
dt
dt
dE dU
=
=0
dt
dt
para líquidos
dU
dt
dH
dt
siendo H la entalpía total del líquido en el tanque y es,
H = ρVc p (T − Tref ) = ρ Ahc p (T − Tref
)
donde
c p : capacidad calórica del líquido en el tanque
Tref : la temperatura a la cual la entalpía específica es cero.
16
Se definen las siguientes variables de estado:
xT = [ h T ]
parámetros constantes: ρ , A, c p , Tref
Balance de masa:
d ( ρ Ah )
= ρ Fi − ρ F
dt
Ah& = F − F
Fi , F : caudales de entrada y salida
i
Balance de energía:
Acum. de energía energía de entrada energía de salida energía del vapor
=
−
+
tiempo
tiempo
tiempo
tiempo
dH d  ρ Ahc p (T − Tref ) 
=
= ρ Fi c p (T − Tref ) − ρ Fi c p (T − Tref ) + Q
dt
dt
siendo Q la energía calórica por unidad de tiempo del vapor
17
suponiendo Tref = 0
dhT
Q
= FT
A
i i − FT +
dt
ρcp
A
dhT
dT
dh
dT
Q
FT
= Ah
+ AT
= Ah
+ T ( Fi − F ) = FT
−
+
i i
dt
dt
dt
dt
ρcp
Ah
dT
Q
= Fi (Ti − T ) +
dt
ρcp
Las ecuaciones de estado son:
 Ah& = Fi − F

Q
 &
=
−
+
AhT
F
T
T
)
i( i

ρcp

variables de estado:
xT = [ h T ]
variables de salida (medidas):
yT = [ h T ]
variables de entrada (manipuladas):
u T = [Q F ]
18
perturbaciones (no controladas):
d T = [Ti
Fi ]
parámetros constantes: ρ , A, c p , Tref
Analizar:
- equilibrio
- una reducción de Ti
- una reducción de Fi
Linealización en un punto de trabajo.
Equilibrio
 Ah& = Fi − F = 0

Q
 &
=
−
+
=0
AhT
F
T
T
)
i( i

ρcp

Fi = F = F0
F0 (Ti 0 − T0 ) = −
Q0
ρcp
19
desarrollo en serie entorno al punto de equilibrio
dh&
dh&
1
1
1
 Fi F 
&
h= −  +
( Fi − F0 ) + ( F − F0 ) = ( Fi − F0 ) − ( F − F0 ) = ( Fi − F )
dF
A
A
A
 A A  0 dFi
 Fi
Fi
Q
Q 
&
=  (Ti − T ) +
T=
(Ti − T ) +
 +
ρ c p Ah  Ah
ρ c p Ah  0
Ah
Ti − T
Fi
Fi
+
( Fi − Fi 0 ) +
(Ti − Ti 0 ) −
(T − T0 ) +
Ah 0
Ah 0
Ah 0
1
+
ρ c p Ah
 F
Q  1
i
( Q − Q0 ) −  (Ti − T ) +
 2  ( h − h0 )
ρ c p A  h 
 A
0
0
 F
Ti 0 − T0 )
(
Fi 0
Fi 0
Q0  1 
1
i0
&
T=
Fi +
Ti −
T+
Q − 
(Ti 0 − T0 ) +
 2  h

Ah0
Ah0
Ah0
ρ c p Ah0
ρ c p A  h0 
 A
20
  h&   0
 &  = 
 T   a21

  h  1
 T  =  0
  
0   h   0 b12   Q   0 bd 12   Ti 
+
+






a22  T  b21 0   F  bd 21 bd 22   Fi 
0  h 
1  T 
21
Ejercicios
22
23
Ejemplo 12. Servomotores
Dos tensiones desfadas 90 grados.
Fase fija: 60, 400, 1000 Hz.
El signo de Ec da el sentido de giro y el par
generado es proporcional a la amplitud de Ec.
Relación torque-velocidad. Para cierto entorno
se puede considerar lineal.
J = J m + n2 J c
b = bm + n 2bc
T = − K nθ& + K c Ec = Jθ&& + bθ&
Jθ&& + ( b − K n )θ& = K c Ec
24
25
Ejemplo 13. Motor Controlado Por Armadura
ψ = K f if
T = K f i f K i ia = Kia
e fcem = eb = K bθ&
La i&a + Ra ia + eb = ea
Jθ&& + bθ& = T = Kia
26
27
Ejemplo 14. Motor de CC controlado por Campo
ψ = K f if
T = K f i f K i ia = K 2i f
L f i&f + R f i f = e f
Jθ&& + bθ& = T = K 2i f
28
Ejemplo 15. Sistema Hidráulico
Relación no lineal
Q = f ( X , ∆P )
[1.14]
29
Linealización sobre un punto de operación
Q − f ( X , ∆P ) = Q − Q =
∂Q
∂X
X =X
∆P =∆P
∂Q
( X − X ) + ∂∆
P
X =X
∆P =∆P
( ∆P − ∆ P ) + L
[1.15]
Se podrían tomar incrementos
Q −Q = q
X −X =x
[1.16]
∆P − ∆P = ∆p
q = k1 x − k2 ∆p
[1.17]
Volúmenes
Aρ dy = q dt
[1.18]
velocidad de salida
dy
q
=
dt Aρ
Aρ
dy
= k1 x − k2 ∆p
dt
[1.19]
[1.20]
30
La fuerza desarrollada por el pistón es
F = A∆p =
A
dy 
−
k
x
A
ρ
 1

k2 
dt 
[1.21]
La ecuación de la carga
my&& + by& = F =
A
( k1 x − Aρ y& )
k2

Ak
A2 
ρ  y& = 1 x
my&& +  b +
k2 
k2

[1.22]
[1.23]
31
Cuádruple Tanque

3,7γ 1

62 s + 1
y
 1 
y =
4,7 (1 − γ 1 )
 2

 ( 30 s + 1)( 90 s + 1)
3,7 (1 − γ 2 )

( 23s + 1)( 62s + 1)   u1 
u 

4,7γ 2
 2

90 s + 1

32