7 . E

Electromagnetismo
77.. EECCU
UA
ACCIIO
ON
NEES
SD
DEE M
MA
AX
XW
WEELLLL
77..11 LLEEYY D
DEE FFA
ARRA
AD
DA
AYY--LLEEN
NZZ
Campos variables en el tiempo
Al variar el flujo magnético que atraviesa una espira se induce en ella una corriente. La
relación cuantitativa entre la fem inducida y razón de cambio de flujo ligado se denomina Ley
de Faraday.
Ley de Lenz : La fem inducida hará que fluya una corriente en el circuito cerrado tal que
se oponga al cambio de flujo ligado
- Ley de Faraday (experimental):
ε ind = −
- Postulado fundamental de inducción EM:
dφ m
dt
Siempre se cumple.
r
r
∂B
∇× E = −
∂t
77..22 CCO
ON
ND
DU
UCCTTO
ORR EESSTTÁ
ÁTTIICCO
O EEN
N CCA
AM
MPPO
O VVA
ARRIIA
ABBLLEE
- Fem inducida en circuito de contorno C :
r
C
- Flujo magnético que atraviesa S limitada por C : φ m
r r
d r r
E
⋅
d
l
=
−
B ⋅ dS
∫C
dt ∫S
La ecuación
son generados por
ρn
[email protected]
ε0
r r
r r
= ∫ B ⋅ dS = ∫ A ⋅ dl
S
Aplicando Faraday
r
r
r
r r
∂B r Stokes
∂B
∫CE ⋅ dl = −∫S ∂t ⋅ dS ⎯⎯⎯→ ∇ × E = − ∂t
r ρ
∇⋅E = n
r
ε ind ≡ ∫ E ⋅ dl
unida a
r
r
∂B
∇× E = −
∂t
Consistencia con postulado fdmental.
implican que los campos eléctricos
y campos magnéticos variables en el tiempo.
Electromagnetismo
77..33 CCO
ON
ND
DU
UCCTTO
ORR M
MÓ
ÓVVIILL EEN
N CCA
AM
MPPO
OM
MA
AGGN
NÉÉTTIICCO
O EESSTTÁ
ÁTTIICCO
O
- Fuerza magnética por unidad de carga:
r
r r
Fm / q = v × B
- Interpretación como campo eléctrico inducido con voltaje:
- Fem cinética sobre circuito de contorno C:
r
r
r
r
2 r
V12 = ∫ (v × B ) ⋅ dl
1
r
ε m = ∫ ( v × B ) ⋅ dl
C
77..44 CCO
ON
ND
DU
UCCTTO
ORR M
MÓ
ÓVVIILL EEN
N CCA
AM
MPPO
OM
MA
AGGN
NÉÉTTIICCO
O VVA
ARRIIA
ABBLLEE
- Fuerza electromagnética:
- Observador moviéndose a
-
r
r
r r
F = q⋅v × B + q⋅ E
Lorentz
r r r r
r r r r
r
v , F debida a E´= E + v × B ⎯
⎯→ E´= E − v × B
r
r
r
r
r r
r r r
r r
∂B r
F = q ⋅ E´a ε = ∫ E´dl = ∫ ( E + v × B) ⋅ dl = − ∫
⋅ dS + ∫ (v × B) ⋅ dl
C
C
S ∂t
- Forma general de la ley de Faraday:
r
r
r r
∂B r
ε = −∫
⋅ dS + ∫ (v × B) ⋅ dl
S ∂t
- Recordar que en campos estáticos:
r r
E
∫ ⋅ dl = 0
77..55
FFU
UN
NCCIIO
ON
NEESS D
DEE PPO
OTTEEN
NCCIIA
ALL
Sustituyendo
-
r
r ∂A
(E + )
∂t
r
r r
r
∂B
∇ × A = B en ∇ × E = −
∂t
llegamos a
irrotacional procede de un potencial V:
r
r ∂A
∇ × (E + ) = 0
∂t
r
r
∂A
E = −∇V −
∂t
E debido a acumulación de carga y a campos variable en el tiempo.
[email protected]
Electromagnetismo
77..66
CCO
ORRRRIIEEN
NTTEESS D
DEE D
DEESSPPLLA
AZZA
AM
MIIEEN
NTTO
O
r
r
∂B
∇× E = −
∂t
r
r
Jl = ∇ × H
r
ρ l = ∇D
r
∇⋅B = 0
No son consistentes con el principio de conservación de la carga:
r
r
∇ × (∇ × H ) = ∇J = 0
Para cumplir continuidad se añade el término
r
r
J D = ∂D / ∂t
r ∂ρ
∇J +
=0
dt
llamado densidad de
corriente de desplazamiento.
- Corriente de desplazamiento:
r
r
I D = ∫ J D ⋅ dS
La ecuación modificada queda:
S
r
r r ∂D
∇ × H = Jl +
∂t
Un campo variable con el tiempo producirá un campo magnético aunque no exista un
flujo de corriente libre
- Campo eléctrico variable en el tiempo:
[email protected]
Jc
σ
=
JD ω ⋅ε
Electromagnetismo
7.7 ECUACIONES
DE MAXWELL
r
r
∂B
∇× E = −
∂t
r
r r
∂B r
∫ C E ⋅ dl = −∫S ∂t ⋅ dS
r
r r ∂D
∇ × H = Jl +
∂t
r
r r
r ∂D
∫CHdl = ∫S ( J + ∂t ) ⋅ dS
r r
r
ρ l = ∇D
∫∫ DdS = ∫
r
∇⋅B = 0
r r
B
∫∫ ⋅ dS = 0
V
+ ecuaciones constitutivas:
r
r
D =ε ⋅E
+ condiciones de frontera:
D2 n − D1n = σ l
+ fuerza de Lorentz:
+ ley de Ohm:
[email protected]
r
r
r r
F = q⋅v × B + q⋅ E
r
r
J =σ ⋅E
ρ l ⋅ dV
r
r
B = µ⋅H
Medios HIL
r
r
n × ( H 2t − H 1t ) = K l
Electromagnetismo
77..88 A
APPÉÉN
ND
DIICCEE A
ALL TTEEM
MA
A 77
r
r
φ m = ∫∫ B ⋅ dS = B ⋅ S ⋅ cosθ
ε ind = −
[email protected]
dφ m
dt