2 . E

Electromagnetismo
22.. EELLEECCT
A
TRRO
OS
ST
TÁ
ÁT
TIICCA
A vvss.. M
MA
AG
GN
NEET
TO
OS
ST
TÁ
ÁT
TIICCA
((eenn pprreesseenncciiaa ddee m
maatteerriiaa))
22..11 CCO
ON
ND
DU
UCCTTO
ORREESS EEN
N EEQ
QU
UIILLIIBBRRIIO
O EELLEECCTTRRO
OSSTTÁ
ÁTTIICCO
O
Electrones externos se comportan como carga libre en presencia de un campo
externo.
r
E
r
E
induce una separación de cargas en los conductores que tiende a compensar el
campo en el interior del conductor, alcanzándose el equilibrio electrostático cuando el campo
en el interior del conductor es nulo.
σ
→
Las cargas se distribuyen en la superficie originando una
→
El campo eléctrico es normal a la superficie en cada punto
→
Para cualquier punto de la superficie
→
La superficie del conductor es una superficie equipotencial
E=
Etg = 0
σ
ε0
22..22 M
MA
ATTEERRIIA
ALLEESS M
MA
AGGN
NÉÉTTIICCO
OSS
Átomo posee carga estática y corrientes atómicas de e- que si bien no suponen un
transporte neto de carga, sí que generan campo magnético
comporta como un dipolo caracterizado por su
→
Materiales diamagnéticos:
r
B . Por tanto un átomo se
r r
r
m = mc + m s
r
r
r
mc = m s → m = 0
pero en presencia de un campo
magnético e- orbita más despacio para mantener su órbita variando
invariante el momento spin
campo
→
r
B
r
mc
, permaneciendo
r
r
m s y originando un momento dipolar m no nulo antiparalelo al
exterior aplicado.
Materiales paramagnéticos:
r
mmacrosc. = 0 . Al aplicar
r
m≠0
pero están distribuidos al azar originando
r
B externo algunos momentos se orientan paralelos a él originando un
momento macroscópico no nulo.
→
Materiales ferromagnéticos:
[email protected]
r
mmacrosc. ≠ 0
en ausencia de
r
B
externo. Microcorrientes.
Electromagnetismo
22..33 VVEECCTTO
ORREESS PPO
OLLA
ARRIIZZA
ACCIIÓ
ÓN
N YY M
MA
AGGN
NEETTIIZZA
ACCIIÓ
ÓN
N
- Vector polarización:
r
∑ pi
P = Lim
∆V →0 ∆V
- Vector magnetización:
Distribución de dipolos eléctricos en material
r
r
m
∑
M = Lim
∆V →0 ∆V
Distribución de dipolos magnéticos.
22..44 D
DEEN
NSSIID
DA
AD
DD
DEE CCA
ARRGGA
A YY CCO
ORRRRIIEEN
NTTEESS
- Densidad volumétrica de cargas:
ρ = ρl + ρ p
- Densidad volumétrica de corrientes:
r
r r
J neta = J l + J m
- Densidad superficial de carga de polarización ( polarización uniforme ):
- Densidad volumétrica de carga de polarización ( pol. no uniforme ):
- Corrientes magnéticas superficiales ( magnetización uniforme ) :
r r
σ p = P⋅n
r
ρ p = −∇P
r
r r
Km = M × n
- Corrientes magnéticas volumétricas ( magnetización no uniforme ) :
r
r
Jm = ∇× M
22..55 RREEFFO
ORRM
MU
ULLA
ACCIIÓ
ÓN
N CCA
AM
MPPO
O EELLÉÉCCTTRRIICCO
O YY M
MA
AGGN
NÉÉTTIICCO
O
r
B
r
E
creado por
creado por
[email protected]
r r
r r
r r r µ0
µ
J (r ´) × (r − r ´)
J (r ´) : B =
dV + 0
⋅∫
r
r
3
4π Ω
4π
r − r´
r
ρ: E=
1
4πε 0
⋅∫
Ω
r
r
r
ρ (r ´) × (r − r ´)
r r 3
r − r´
1
dV + 0
4πε 0
r r
r r
K m (r ´) × (r − r ´) r
∫∫ ∂Ω rr − rr´ 3 dS
∫∫
r
r
r
σ p (r ´) × (r − r ´) r
∂Ω
r r 3
r − r´
dS
Electromagnetismo
22..66 CCA
AM
MPPO
O EELLÉÉCCTTRRIICCO
O YY M
MA
AGGN
NÉÉTTIICCO
O EEN
NM
MA
ATTEERRIIA
ALLEESS
- Deducción del vector
r
r
r
r r
r
D : ρ l = ε 0 ⋅ ∇E + ∇P = ∇(ε 0 E + P ) = ∇D
r
r
r
r
r⎤
r
⎡B
B
- Deducción del vector
Jl = ∇ ×
−∇× M = ∇×⎢ − M ⎥ = ∇× H
µ0
⎣ µ0
⎦
r ρn
r
r
Donde se ha usado ∇ ⋅ E =
y ∇ × B = µ0 ⋅ J n
r
H:
ε0
- Desplazamiento eléctrico
r r
r r
r
⎯→ ρ l = ∇D
D : D ≡ ε0E + P ⎯
- Intensidad de campo magnét:
- Ley de Gauss integral:
r
H:
r
r
r
r
r
B
H≡
−M ⎯
⎯→ J l = ∇ × H
r r
D
∫∫ dS = ql
- Ley de Ampere integral :
Ley de Gauss
µ0
(Gauss)
r r
H
∫ dl = I l
Ley de Ampere
Muy útil con simetrías.
(Stokes) Muy útil con simetrías.
r r
D y H dependen de las cargas y corrientes libres y ligadas
r
r
∇D y ∇ × H sólo dependen de las cargas y corrientes libres.
22..77
SSU
DA
AD
D
USSCCEEPPTTIIBBIILLIID
DA
AD
D EELLÉÉCCTTRRIICCA
A--PPEERRM
MIITTIIVVIID
SSU
S
C
E
P
T
I
B
I
L
I
D
A
D
M
A
G
N
É
T
I
C
A
P
E
R
M
E
A
B
I
USCEPTIBILIDAD MAGNÉTICA-PERMEABILLIID
DA
AD
D
- Susceptibilidad eléctrica:
χe
- Susceptibilidad magnética:
χm
- Constante dieléctrica de un material:
εr
- Permeabilidad relativa de un material:
µr
- Permitividad absoluta o permitividad de un material:
- Permeabilidad de un material:
ε = ε0 ⋅εr
µ = µ0 ⋅ µr
- Propiedades dieléctricas lineales e isótropas:
r
r
P = ε0 ⋅ χe ⋅ E
- Propiedades magnéticas del medio lineales e isótropas:
[email protected]
r
r
M = χm ⋅ H
Electromagnetismo
εr = 1+ χe =
ε
ε0
µr = 1 + χ m =
µ
µ0
- Relación:
- Relación:
22..88
EECCU
UA
ACCIIO
ON
NEESS CCO
ON
NSSTTIITTU
UTTIIVVA
ASS
- Partiendo de
r
r r
D = ε0E + P
- Partiendo de
r
r
r
B
−M
H=
µ0
y
y
r
r
P = ε0 ⋅ χe ⋅ E
r
r
M = χm ⋅ H
llegamos a :
llegamos a :
r
r
r
D = ε 0 (1 + χ e ) E = ε ⋅ E
r
r
r
B = µ 0 (1 + χ m ) H = µ ⋅ H
- Medios dieléctricos homogéneos isótropos lineales:
r
r
D =ε ⋅E
- Medios magnéticos homogéneos isótropos lineales:
r
r
B = µ⋅H
22..99
ε = cte
µ = cte
RREESSU
UM
MEEN
ND
DEE EECCU
UA
ACCIIO
ON
NEESS GGEEN
NEERRA
ALLEESS D
DEE CCA
AM
MPPO
O
ρ l = ∇D
r
r
Jl = ∇ × H
r
∇× E = 0
r
r
D =ε ⋅E
r
∇⋅B = 0
r
r
B = µ⋅H
r
+ Condiciones de contorno apropiadas.
[email protected]
Electromagnetismo
22..1100
A
APPÉÉN
ND
DIICCEE EELL TTEEM
MA
A 22
- Densidad volumétrica de corriente:
- Intensidad de corrientes:
r
r
J = N ⋅q⋅v
r r r
r r
dI = J ⋅ n ⋅ dS → I = ∫∫ J ⋅ dS
S
- En conductores filamentales con J uniforme:
J=
I
S
r r
r ∂ρ
dQ
J
J
d
S
⋅
=
−
→
∇
+
=0
∫∫
dt
dt
r
- En corrientes estacionarias: ∇J = 0
- Ecuación de continuidad:
- Ley de Ohm microscópica:
r
r
J =σ ⋅E
- Ley de Ohm macroscópica:
V = I ⋅R
- En conductores filamentales:
R=
l
1 l
⋅ = ρ⋅
S
σ S
r
r
=ε ⋅E)
r
r
= µ⋅H
- En medios IL:
r r r
P D E
(D
- En medios IL:
r r r
M B H
(B
)
Muy útil en problemas con simetrías ( esferas, cilindros, toros...)
r
r
r r r
p = q ⋅l ⎯
⎯→ τ = p × E ext
[email protected]