1 . E

Electromagnetismo
11..EELLEECCT
TR
RO
OS
ST
TÁ
ÁT
TIICCA
A vvss M
MA
AG
GN
NEET
TO
OS
ST
TÁ
ÁT
TIICCA
A
((eenn eell vvaaccííoo))
1.1 CARGAS Y CORRIENTES
Electrostática:
Cargas puntuales q ( netas, libres o ligadas pero estáticas)
Distribuciones: lineales λ , superficiales σ y volúmicas ρ (“ )
Magnetostática: Cargas puntuales q a velocidad constante
Corrientes: lineales
r
Ι , superficiales κ
r
J
o volúmicas
11..22 CCA
AM
MPPO
OSS EELLÉÉCCTTRRIICCO
O YY M
MA
AGGN
NÉÉTTIICCO
O
Campo eléctrico generado por una carga puntual en origen:
r
E=
Campo eléctrico generado por q puntual en cualquier punto:
r
E=
Campo magnético generado por q moviéndose a
r
v:
r
r
E creado por distribución volumétrica de carga : E =
r
B
creado por corriente volumétrica
q
4πε 0 ⋅ r
r
⋅ ur
r r
q ⋅ (r − r ´)
r r 3
4πε 0 ⋅ r − r ´
r µ 0 q ⋅ vr ⋅ (rr − rr´)
B=
r r 3
4π
r − r´
1
4πε 0
∫
v
r
r
r
ρ (r ´) ⋅ (r − r ´)
r r 3
r − r´
r r
r r
r r
r µ0
J (r ´) × (r − r ´)
⋅
J (r ´) Biot-Savart : B =
dV
r r 3
4π V∫
r − r´
11..33 D
DIIPPO
OLLO
OSS EELLÉÉCCTTRRIICCO
OSS YY M
MA
AGGN
NÉÉTTIICCO
OSS
Dipolo eléctrico: Dos cargas de igual magnitud y distinto signo separadas l
Una espira por la que circula intensidad define un momento magnético
Momento dipolar de un dipolo eléctrico:
Momento magnético de una espira :
[email protected]
2
r
r
r r r
p = q ⋅l ⎯
⎯→ τ = p × E ext
r
r
r r r
m = I ⋅ S ⋅u ⎯
⎯→ τ = m × B
r
m
dV
Electromagnetismo
r
Un dipolo eléctrico o una espira experimentan un momento o par de fuerzas τ que
tiende a colocar su momento dipolar o magnético paralelo al campo E o B exterior aplicado
11..44 PPO
OTTEEN
NCCIIA
ALL EELLÉÉCCTTRRIICCO
O YY PPO
OTTEEN
NCCIIA
ALL M
MA
AGGN
NÉÉTTIICCO
O VVEECCTTO
ORR
V de una carga estática puntual:
r
V (r ) =
V de una distrib. volumétrica de carga
r
A
r
A
de una corriente volumétrica
q
r r
4πε 0 r − r ´
r
r
ρ (r ) : V (r ) =
r r r
µ
J : A(r ) = 0
4π
de un dipolo magnético en puntos lejanos:
∫
V
1
4πε 0
∫
V
r
r r ⋅ dv
r − r´
ρ (r ´)
r r
J (r ´)
r r ⋅ dv
r − r´
r r
r r
µ0 m × r
A(r ) =
⋅
4π r 3
11..55 RREELLA
ACCIIÓ
ÓN
N CCA
AM
MPPO
O--PPO
OTTEEN
NCCIIA
ALL
Potencial eléctrico:
r
r
b r
− ∇V = E ⎯
⎯→ V = − ∫ E ⋅ dl
a
Potencial magnético vector:
r r
∇× A = B ⎯
⎯→
r
r
r
r
∫∫ B ⋅ dS = ∫ A ⋅ dl
Distribución finita: elegimos potencial cero en el infinito
Para definir
r
A
imponemos que
r
∇A = 0
11..66 FFU
UEERRZZA
ASS EELLÉÉCCTTRRIICCA
ASS YY M
MA
AGGN
NÉÉTTIICCA
ASS (( LLoorreennttzz ))
Fuerza experimentada por q en presencia de
Fuerza experimentada por q moviéndose a
Fuerza de Lorentz :
r
v
r
E:
( Ver tema 6 )
r
r
Fe = q ⋅ E
r
en presencia de B :
r
r r
Fm = q ⋅ v × B
r
r
r r
F = q⋅v × B + q⋅ E
Fuerza eléctrica sobre una distribución de carga :
Fuerza magnética sobre una corriente :
Fe = ±∇Ue
r r
r
r
r r
Fm = ∫ I ⋅ dl × B ⇒ Fm = ∫ J × B ⋅ dV
V
[email protected]
Electromagnetismo
11..77 FFLLU
UJJO
OSS EELLÉÉCCTTRRIICCO
O YY M
MA
AGGN
NÉÉTTIICCO
O
Flujo de campo eléctrico a través de una superficie:
r
Flujo de campo magnético que atraviesa una superficie:
Como
r
r
φ m = ∫∫ B ⋅ dS
y además
r r
∇× A = B
r
φ = ∫∫ E ⋅ dS
entonces
r
r
r
r
φ m = ∫∫ B ⋅ dS
φ m = ∫ A ⋅ dl
11..88 EECCU
UA
ACCIIO
ON
NEESS FFU
UN
ND
DA
AM
MEEN
NTTA
ALLEESS D
DEE EEM
M EEN
N VVA
ACCÍÍO
O
Divergencia del campo eléctrico:
r ρ
∇⋅E = n
ε0
r
Divergencia del campo magnético: ∇ ⋅ B = 0 ( no existen monopolos)
r
Rotacional del campo eléctrico: ∇ × E = 0 (conservativo) Campos estáticos!
r
r
Rotacional del campo magnético: ∇ × B = µ 0 ⋅ J n
11..99 CCO
ORRO
OLLA
ARRIIO
OA
A LLA
ASS EECCU
UA
ACCIIO
ON
NEESS FFU
UN
ND
DA
AM
MEEN
NTTA
ALLEESS
Las fuentes de campo eléctrico son las cargas
Las fuentes de campo magnético son las cargas en movimiento
r
∇× E = 0
r
∇⋅B = 0
aplicando Stokes:
aplicando Gauss:
r ρ
∇⋅E = n
ε0
r r
E
∫ ⋅ dl = 0
Campos estáticos
r r
B
∫∫ ⋅ dS = 0
Ley de Gauss:
r
r
∫∫ E ⋅ ds =
q neta
ε0
encerrada por la superficie S cerrada
r r
r
r
∇ × B = µ 0 ⋅ J n Ley de Ampere: ∫ B ⋅ dl = µ 0 ⋅ I neta
[email protected]
que atraviesa la sup cerrada por L
Electromagnetismo
EEJJEEM
MPPLLO
O 11 EELLEECCTTRRO
OSSTTÁ
ÁTTIICCA
A
Calcular el campo eléctrico en el origen originado por una distribución esférica de
carga
σ = σ 0 ⋅ cosθ
r
E=
1
4πε 0
∫
de radio R situada en el origen de coordenadas
r
r
σ ⋅ (r − r ´)
s
r r 3 dS
r − r´
r
r =0
r
r
r ´= R ⋅ u r
r
r
− 1 σ 0 cosθ ⋅ R ⋅ u r
−1
E=
dS =
3
∫
4πε 0 s
4πε 0
R
r
E
r
E
π
∫∫
2π
r
σ 0 cosθ ⋅ R ⋅ u r
3
R 2 ⋅ senθ ⋅ dθ ⋅ dφ
R
r
r
r
− 1 π 2π σ 0 cosθ ⋅ R ⋅ ( senθ ⋅ cos φ ⋅ i + senθ ⋅ senφ ⋅ j + cosθ ⋅ k ) 2
=
R ⋅ senθ ⋅ dθ ⋅ dφ
4πε 0 ∫0 ∫0
R3
σ r
= − 0 ⋅k
3ε 0
0
0
Observar la descomposición del vector unitario
r
ur
y el cambio de coordenadas.
EEJJEEM
MPPLLO
O 22 EELLEECCTTRRO
OSSTTÁ
ÁTTIICCA
A
Sobre una esfera de radio R se tiene una distribución volúmica de carga uniforme
ρ0 .
Por un cilindro diametral de radio pequeño se puede mover una pequeña carga –q de masa m.
Establecer la ley de movimiento de la carga.
Mediante Gauss es inmediato:
Aplicando Newton:
r ρ ⋅r r
E = 0 ur
3ε 0
r
q ⋅ ρ0
− q ⋅ E = m ⋅ r´´ queda −
⋅ r = mr´´
3ε 0
Resolviendo la EDO con condiciones iniciales
r (t ) = R cos(ω ⋅ t )
[email protected]
dentro de la esfera
r (0) = R
obtenemos:
r´(0) = 0
⎛ q ⋅ ρ0 ⎞
⎟⎟
donde ω = ⎜⎜
⎝ 3ε 0 m ⎠
1/ 2
oscilador armónico
Electromagnetismo
11..1100 A
APPÉÉN
ND
DIICCEE A
ALL TTEEM
MA
A 11
r
- B
creado por dipolo magnético a gran distancia:
r
r r
r r
µ 0 ⎡ m 3m ⋅ r r ⎤
B(r ) =
⋅ − r + 5 ⋅r⎥
4π ⎢⎣ r 3
r
⎦
r
r
r
r
A = Aρ ⋅ u ρ + Aφ ⋅ uφ + Az ⋅ u z
Coordenadas cilíndricas
x = ρ ⋅ cos φ
y = ρ ⋅ sen φ
z=z
r
r
r
r
dl = dρ ⋅ u ρ + ρ ⋅ dφ ⋅ u φ + dz ⋅ u z
ds = ρ ⋅ dφ ⋅ dz
dv = ρ ⋅ dφ ⋅ dz ⋅ dρ
r
r
r
r
A = Aρ ⋅ u ρ + Aφ ⋅ uφ + Aθ ⋅ uθ
Coordenadas esféricas
x = ρ ⋅ cos φ ⋅ cos θ
y = ρ ⋅ sen φ ⋅ sen θ
z = ρ ⋅ cos φ
r
r
r
r
dl = dρ ⋅ u ρ + ρ ⋅ dθ ⋅ uθ + ρ ⋅ sen θ ⋅ dφ ⋅ u φ
ds = ρ 2 ⋅ sen θ ⋅ dφ ⋅ dθ
dv = ρ 2 ⋅ sen θ ⋅ dρ ⋅ dφ ⋅ dθ
Teorema de Gauss:
Teorema Stokes:
r
r
∂Ω
Ω
r r
r r
F
⋅
d
l
=
∇
×
F
⋅ dA
∫
∫∫
∂l
l
[email protected]
r
∫∫ F ⋅ dA = ∫∫∫ ∇F ⋅ dV
Electromagnetismo
- Espira ≈ dipolo magnético
r r
r r
r µ0
J (r ´) × (r − r ´)
⋅
B=
dV
r r 3
4π V∫
r − r´
r
r
r r r
⎯→ τ = m × B
m = I ⋅ S ⋅u ⎯
r
r r
r r
µ 0 ⎡ m 3m ⋅ r r ⎤
B(r ) =
⋅ − r + 5 ⋅r⎥
4π ⎢⎣ r 3
r
⎦
[email protected]