Campo en puntos alejados. Dipolo el ctrico. Desarrollo multipolar del potencial. Polarizaci n de materiales.

Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/2011
Electrostática
•
•
•
•
•
•
Dipolo
Definición
Los conductores en electrostática.
Campo de una carga puntual.
Aplicaciones de la Ley de Gauss
Integrales de superposición.
Potencial electrostático
– Considérese la configuración de la figura.
Por superposición el potencial será
q 1 1
Φ=
 − 
4πε  r+ r− 
:
– En cartesianas:
– Definición e Interpretación. Integrales de superposición.
– Ecuaciones de Poisson y Laplace. Condiciones de Interfase.Condiciones
de regularidad. Teorema de unicidad, teorema del valor medio.
q 
1

Φ=
−
4πε  x 2 + y 2 + ( z − d 2)2

• Campo y potencial eléctrico en puntos alejados: dipolo,
momento dipolar, polarización de materiales.
• Método de las imágenes.
• Sistemas de conductores. Condensadores.
• Energía y Fuerzas.
EyM 3c-1
J.L. Fernández Jambrina
1
2


  d 2 d

d
d
r+ =  r 2 +   − 2r cosθ  = r 1 +   − cosθ  d/2


  2r 

2
2
r



1

1
2
2
 2  d 2

  d 2 d

d
x




r− = r +   + 2r cosθ
= r 1 +   + cosθ




2
r
2


  2r 

1 1
d
1 1
d


≈ 1 + cosθ 
≈ 1 − cosθ 
r− r  2r
r+ r  2r


• Por tanto:
r
d
d/2
P
r
r+
θ
r
r−
y
d/2
-q
x

1

2
x 2 + y 2 + ( z + d 2 ) 
EyM 3c-2
Momento Dipolar
• En realidad el par de cargas iguales y de signo opuesto
de la situación anterior se denomina dipolo cuando se
observan sus efectos a distancias mucho mayores que la
separación entre las cargas, d.
d/2
• Para aproximar el potencial en dicha situación:
2
q
J.L. Fernández Jambrina
Potencial y Campo Lejanos
1
z
• Se denomina dipolo a una configuración de dos
cargas iguales y de signos opuestos.
q
P
r
r+
θ
r
d
• El vector p = qd es una constante propia de la distribución de cargas
que se denomina momento dipolar o potencia del dipolo.
• En función del momento dipolar: Φ =
r
r−
2
y
r r
r
r r
r r  1 
1  (p ⋅ r )
1 1
E = −∇φ = −
∇
∇( p ⋅ r ) + ( p ⋅ r )∇ 3 
=−
4πε  r 3 
4πε  r 3
 r 
– Como
• 448 
 6447
r r

 ∂ (• )
r
∂ (•)
∂ (•)
∇( p ⋅ r ) = ∇ p x x + p y y + p z z  =
xˆ +
yˆ +
zˆ = p x xˆ + p y yˆ + p z zˆ = p
∂y
∂z

 ∂x


r
− 3r
 1 ∂  1
∇ 3  =  3  rˆ = 5
r
 r  ∂r  r 
Φ=
J.L. Fernández Jambrina
r r
p⋅r
r3
4πε r
• Y el campo:
-q
q 1 1
q 1 d
 qd cos θ
−
≈
cos θ =
4πε  r+ r−  4πε r  r
4πεr 2

r
r r
r
ˆ
r
qd ⋅ r
qd ⋅ r
• y llamando d al vector que
Φ (r ) =
=
r
une -q y +q queda:
4πεr 2 4πε r 3
r
r
z
• Resulta:
EyM 3c-3
r
E=
r r r
1  3( p ⋅ r )r r 
− p
4πεr 3  r 2

EyM 3c-4
J.L. Fernández Jambrina
Representación gráfica del potencial y campo
creados por un dipolo eléctrico.
Componentes del Campo
r
• Si: p = qdzˆ = p z zˆ
– Por simetría el campo no tiene componente φ.
z$ = cos θ r$ − sen θ θ$
r r r
r
r
ˆ
– E r = E ⋅ rˆ = 1  3( p ⋅ r )r − pr  ⋅ rˆ = 2 p ⋅ r = p z cosθ

4πεr 3  r 2
4πεr 3 2πεr 3

–
r
Eθ = E ⋅ θˆ =
r r r
r
pz
1  3( p ⋅ r )r r  ˆ − p ⋅ θˆ
− p  ⋅θ =
=
sen θ
4πεr 3  r 2
4πεr 3 4πεr 3

1
J.L. Fernández Jambrina
0.5
+0
0
-2
0.5
0.5
-1
1
• Satisfacen las condiciones de regularidad en el infinito:
1
1
 1
lim r E (r ) = lim r  3  = 0
r →∞
r →∞
r 
2
+1
+2
0.5
0
• El potencial y el campo varían con r como 1/r2 y 1/r3
respectivamente.
 1 
lim rφ (r ) = lim r  2  = 0
r →∞
r →∞
r 
1
0.5
Φ
2
r
p = p z zˆ
EyM 3c-5
Campo y potencial eléctrico en puntos alejados:
dipolo, momento dipolar, polarización de materiales
J.L. Fernández Jambrina
0
0.5
1
r
E
1
0.5
Se ha cubierto la zona del origen porque
en ella los resultados no son válidos.
0
0.5
1
EyM 3c-6
1
Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/2011
Ejemplo: Dos casquetes de carga de signo
opuesto.
z
S1
• Se desea obtener el potencial y el campo lejanos
(r>>R) de dos casquetes de carga sobre una esfera
de radio R como se indica en la figura.
Cuadripolo
+σ
• Se denomina cuadripolo a la asociación de tres cargas
de valores -q, -q y 2q dispuestas como se muestra:
z
θ0
R
– La carga neta es nula:
y
q = σ ⋅ 2π ⋅ cos θ 0 ⋅ R 2 + (− σ ) ⋅ 2π ⋅ cos θ 0 ⋅ R 2 = 0
– El momento dipolar se calcula así:
r
r
r
r
x S2
p = ∫∫ ρ S r dS = ∫∫ σr dS + ∫∫ (− σ )r dS
−σ
S1
S2
r
r = R sen θ cos ϕxˆ + R sen θ sen ϕyˆ + R cos θzˆ dS = R 2 sen θdθdϕ
» Al integrar en j se cancelan las componentes x e y (simetría):
θ0
π
2π
2π
r
p = zˆσ  ∫ ∫ R 3 cosθ sen θdθdφ − ∫
R 3 cosθ sen θdθdφ 
 θ =0 φ =0

θ =π −θ 0 ∫φ = 0
2
sen θ 0
3
3
2
= zˆ 2σR ⋅ 2π ⋅
= zˆ 2πσR sen θ 0
2
– Y los resultados pedidos se obtiene por sustitución en las expresiones:
r σR 3 sen 2 θ 0 cosθ r σR 3 sen 2 θ 0
Φ (r ) =
E=
3 cosθ sen θρˆ + (3 cos 2 θ − 1)zˆ
2εr 2
2εr 3
EyM 3c-7
J.L. Fernández Jambrina
[
]
Desarrollo multipolar del Potencial.
r
1
• Partiendo del potencial de una
Φ (r ) =
4πε
distribución de dimensiones finitas:
• En puntos lejanos:
∫∫∫
V
r
ρ (r ′ )
r r dV ′
r − r′
V
[
]
r r −1
r r r r −1
r r −1
r − r ′ = [(r − r ′) ⋅ (r − r ′)] 2 = r 2 + r ′ 2 − 2r ⋅ r ′ 2 =
r
ρ (r ′)
1
r r dv' ≈
r −r′
4πε
r
∫∫∫
V
ρ (r ′ ) 
r
EyM 3c-9
J.L. Fernández Jambrina
Invarianza del momento dipolar.
• El momento dipolar no depende
del origen de coordenadas
escogido siempre que la
carga total de la distribución
sea nula.
d
r
p
d
y
+2q
2
1 1 
d
d 3

x
≈ 1 + cosθ +    cos 2 θ − 1 
r1 r  2r
 r  2
 
2
1 1 
d
d  3

≈ 1 − cosθ +    cos 2 θ − 1 
r2 r  2r
 r  2
 
– El potencial en puntos lejanos será:
r
2q
−q
−q
qd 2
Φ (r ) =
+
+
=
1 − 3 cos 2 θ
4πεr 4πεr1 4πεr2 4πεr 3
(
)
EyM 3c-8
J.L. Fernández Jambrina
r
• Se ha supuesto que un punto es lejano si: r >> r ′
r
• Esta condición depende claramente
r1
del origen de coordenadas.
r
rd
r
• Solución:
r
O1
r
r1′
r
r′
– Hacer los cálculos con un
O
origen de coordenadas
próximo a la distribución y hacer un cambio de origen:
r r r
r r
r r r
r = r − rd
p ⋅ (r − rd ) 
r
r
1  q p ⋅ r1  1
1  q
Φ 1 (r1 ) =
→
Φ (r ) =
r + r3 
r r + r r 3 
4πε  r1
4πε  r − rd
r1 
r − rd 


r
r r
– La nueva condición es: r1 = r − rd >> maxima dimension de la distribucion
r
– rd es un vector de posición un punto arbitrario de la distribución.
– La expresión resultante para el campo eléctrico es:
r r
r r r r r
r
r r
1  q(r − rd )  3[ p ⋅ (r − rd )](r − rd )
p 
E (r ) =
+
− r r 3 
r r 5
4πε  rr − rrd 3 
r − rd
r − rd  


J.L. Fernández Jambrina
EyM 3c-10
Cargas ligadas.
O1
r
r1
r
rd
• Si representa un dieléctrico neutro por las cargas que existen en su
interior en el vacío: Las cargas ligadas.
• En presencia de un campo eléctrico las cargas se desplazan: el
dieléctrico se polariza.
r
E=0
r r r
r = r1 + rd
O
r
r r
r r r r
r r r
p = ∫∫∫ ρ (r )r dV = ∫∫∫ ρ (r1 + rd )[r1 + rd ]dV1 = ∫∫∫ ρ 1 (r1 )[r1 + rd ]dV1 =
V
V1 1
424
3
V1
r
ρ1  r1 
r r
r r
r r
r
r
r
r
= ∫∫∫ ρ1 (r1 )r1 dV1 + ∫∫∫ ρ 1 (r1 )rd dV1 = p1 + rd ∫∫∫ ρ1 (r1 )dV1 = p1 + qrd = p1
V1
V1
V1
14
42
14
4244
3
r 443
q
p1
-
+
+
-
+
+
-
EyM 3c-11
Campo y potencial eléctrico en puntos alejados:
dipolo, momento dipolar, polarización de materiales
+
r
E≠0
+
-
+
+
-
+
+
-
+
+
• Cada elemento básico del dieléctrico: átomo, molécula, dominio...se
convierte en un dipolo eléctrico
– Se puede definir una densidad de momento dipolar por unidad de
volumen: el vector polarización.
r
P=
J.L. Fernández Jambrina
r
r2
θ r
-q
r
r r
r ⋅r′

1 + 2 + Ldv'
r


r
r r
r
r r
1 1
1 r
1 q
1 p⋅r
≈
⋅
+
+L
ρ (r ′ )dv' +
ρ (r ′)r ′dv' + L =
3 ∫∫∫V
∫∫∫
V
4πε r 14243 4πε r 1442
4πε r 4πε r 3
44
3
r
q
p
– El potencial en puntos lejanos está controlado por la carga total.
r
r r
– Si la carga total es nula, por el momento dipolar: p = ∫∫∫V ρ (r ′)r ′dV ′
– Si el momento dipolar también es nulo, por momentos de orden superior.
∫∫∫
-q r1
r
p
Condición de punto lejano.
r r − 12
r r
2
1   r′ 
2r ⋅ r ′ 
1  r ⋅r′

= 1 +   −
 ≈ 1 + 2 + L
r   r 
r 2 
r
r

r
1
Φ (r ) =
4πε
P
r
r
– Esta configuración es equivalente a dos dipolos
de sentidos contrarios.
– Con la aproximación
el potencial
r r delr dipolo
r
es nulo. Φ = p ⋅ r + − p ⋅ r
4πεr 3 4πεr 3
– Tomando más términos en el desarrollo:
J.L. Fernández Jambrina
r
r
∆p d p
lim
=
∆V →0 ∆V dV
EyM 3c-12
2
Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/2011
Cargas ligadas. (2)
Cargas ligadas. (3)
• El potencial creado por las cargas ligadas se puede
expresar como la integral de superposición:
ε0
Vr
P
dV’
r r r r
1
P (r ′ ) ⋅ (r − r ′ )
dV ′ =
r r 3
4πε 0
r − r′
ε0
r r
 1 
r
1
r
Φ (r ) =
r′
∫∫∫V P(r ′) ⋅ ∇′ rr − rr ′ dV ′
4πε 0 ∫∫∫V


r
r
r r
 1 
 1 
r − r′
O
• Donde se ha aplicado que:




∇′ r r  = r r 3 = −∇ r r 
 r −r′  r −r′
 r − r′ 
r
r
 P(rr ′ )  ∇′ ⋅ P (rr ′) r r
 1 
• Como:
∇′ ⋅  r r  = r r + P(r ′) ⋅ ∇′ r r 
 r −r′ 


r − r′


 r − r′ 
• Resulta:
r
Φ (r ) =
=
=
1
4πε 0
1
r
 P(rr ′ ) 
r r
− ∇′ ⋅ P (r ′)
dV ′ =
r r
r − r′
0


r r
r
r r
1
P(r ′) ⋅ dS ′
− ∇′ ⋅ P(r ′ )
dV ′ =
r r +
r r
4πε 0 ∫∫∫V r − r ′
r − r′
r r
r r
1
P(r ′) ⋅ nˆ ′
− ∇ ⋅ P(r ′)
r r dS ′ +
r r dV ′
r −r′
4πε 0 ∫∫∫V r − r ′
1
∫∫∫ ∇′ ⋅  rr − rr ′ dV ′ + 4πε ∫∫∫
V
4πε 0
∫∫
1
4πε 0
∫∫
S
S
J.L. Fernández Jambrina
V
r
ρ S (r ′)
6
8
r4r74
P (r ′) ⋅ nˆ ′
1
r r dS ′ +
4πε 0 ∫∫S r − r ′
4πε 0
1
∫∫∫
V
r
ρ (r ′ )
647r48
r
− ∇ ⋅ P(r ′)
r r dV ′
r −r′
– Las cargas ligadas del dieléctrico son equivalentes a:
» Una densidad volumétrica de carga ligada:
r
ρ Ligada = −∇ ⋅ P
» Una densidad superficial de carga ligada
situada en su superficie:
r
ρ S ,Ligada = P ⋅ nˆ
V r
P
ε0
ε0
r
ρ S = n$ ⋅ P
ε0
V
r
ρ = −∇ ⋅ P
V
S
ε0
ε
ε0
Nota: El efecto de las cargas ligadas queda representado por ε
EyM 3c-13
J.L. Fernández Jambrina
EyM 3c-14
Cargas ligadas. (5)
• El desarrollo anterior es válido para puntos exteriores al dieléctrico.
Para puntos interiores se puede dividir el volumen de integración en
dos:
– Una esfera de radio δ centrada en el punto de evaluación.
r r r r
r r r r
– El resto.
r
1
P(r ′) ⋅ (r − r ′ )
1
P (r ′ ) ⋅ (r − r ′ )
Φ (r ) =
dV ′ +
dV ′
r r 3
r r 3
4πε 0 ∫∫∫V −Vδ
4πε 0 ∫∫∫Vδ
r − r′
r − r′
• La dificultad está en la esfera de radio δ: puede no converger.
– Escogiendo un origen de coordenadas
en el centro de la esfera:
r
r r
rr r
r r r r
rp′ = r ′ − r
P(rp′ ) ⋅ rp′ r 2
1
P(r ′) ⋅ (r − r ′)
−1
′
d
V
→
rp′ sen θ ′p drp′ dϑ ′p dϕ ′p
r
r
3
4πε 0 ∫∫∫Vδ
4πε 0 ∫∫∫Vδ rr ′ 3
r −r′
p
– Tomando módulos:
rr r
rr r
max P(rp′ ) rp′
rr
P(rp′ ) ⋅ rp′ r 2
sen θ ′p drp′ dϑ ′p dϕ ′p =4πδmax P(rp′ )
r
∫∫∫Vδ rr ′ 3 rp′ sen θ ′p drp′ dϑ ′p dϕ ′p ≤ ∫∫∫Vδ
rp′
p
– Calculando el límite cuando δ →0:
r
Φ (r ) =
S
Cargas ligadas. (4)
J.L. Fernández Jambrina
• Interpretación:
EyM 3c-15
Campo y potencial eléctrico en puntos alejados:
dipolo, momento dipolar, polarización de materiales
– Calculando el límite cuando δ →0:
rr r
r r
P (rp′ ) ⋅ rp′ r 2
lim
rp′ sen θ ′p drp′ dϑ ′p dϕ ′p ≤ lim 4πδmax P(r ′) = 0
δ →0 ∫∫∫Vδ rr ′ 3
δ →0
p
– Luego la integral converge y por tanto:
r r r r
r r r r
 1

r
P(r ′) ⋅ (r − r ′)
1
P(r ′) ⋅ (r − r ′)
Φ(r ) = lim 
dV ′ +
dV ′  =
r r 3
r r 3

δ →0 4πε 0 ∫∫∫V −Vδ
4πε 0 ∫∫∫Vδ
r −r′
r −r′


r r r r
r r r r
1
P(r ′) ⋅ (r − r ′)
1
P (r ′ ) ⋅ (r − r ′ )
′
′
= lim
d
V
=
d
V
r r 3
r r 3
δ →0 4πε 0 ∫∫∫V −Vδ
4πε 0 ∫∫∫V
r − r′
r − r′
– Por lo que resultados también son válidos para el interior del dieléctrico.
J.L. Fernández Jambrina
EyM 3c-16
3