Iannis Xenakis: Musica y Matematicas

Revista Digital:
Reflexiones y Experiencias Innovadoras en el Aula.
ISSN 1989-2152
DEP. LEGAL: GR 2327/2008 Nº-18 –MARZO DE 2010
“IANNIS XENAKIS: MÚSICA Y MATEMÁTICAS”
AUTORIA
JUAN FRANCISCO PÉREZ FUENTES
TEMÁTICA
INTERDIPLINARIEDAD
ETAPA
ESO
Resumen
LA RELACIÓN ENTRE MÚSICA Y MATEMÁTICAS HA PERMANECIDO DURANTE SIGLOS EN LA
HISTORIA DE LA MÚSICA. EL MEJOR EJEMPLO DE LA MÚSICA DEL SIGLO XX ES XENAKIS,
QUE SE FORMÓ COMO MATEMÁTICO Y COMO ARQUITECTO, ADEMÁS DE CÓMO MÚSICO; LO
CUAL REPERCUTE DECISIVAMENTE EN SU FORMA DE HACER MÚSICA CONTINUAMENTE
RECURRE MODELOS MATEMÁTICOS PARA LA COMPOSICIÓN DE SUS OBRAS.
Palabras clave
Interdisciplinariedad, matemáticas, música, Xenakis, percusión.
Texto:
INTRODUCCIÓN.
“La concepción clásica de la música como un subconjunto de las matemáticas permaneció
durante la Edad Media y no fue hasta el siglo XII cuando se creó una nueva división de las ciencias,
1
llamada escolástica divina, que no la incluía específicamente.”
Los términos “música” y “matemáticas” proceden de los vocablos griegos musiké, “de las musas”, y mathema, que
significa “aquello que se aprende”. Fue Pitágoras quien descubrió que existe una relación numérica entre tonos que
sonaban “armónicos” y fue el primero en darse cuenta de que la música, siendo uno de los medios esenciales de
comunicación y de placer, podía ser medida por medio de razones de números enteros. Descubrió que al dividir una cuerda
en ciertas proporciones era capaz de producir sonidos placenteros al oído. Números y belleza eran uno.
En el siglo XII, compositores e intérpretes al querer separarse de la tradición pitagórica crearon nuevos estilos y
tipos de música. Los experimentos de afinación derivaron en un cambio de la afinación pitagórica a la llamada afinación
justa. Las nuevas afinaciones seguían utilizando las matemáticas para calcular los intervalos, pero no necesariamente
1
GARCÍA, Mario y RÍOS, Rafael. Entre las matemáticas y la música. Valencia, Anuario de la Universidad de Valencia, 2004.
C/Maestro Cebrián, 4 - Bajo 9. - Teléfono 958 10 72 90 - 18003- GRANADA ESPAÑA [email protected]
Revista Digital:
Reflexiones y Experiencias Innovadoras en el Aula.
ISSN 1989-2152
DEP. LEGAL: GR 2327/2008 Nº-18 –MARZO DE 2010
seguían los principios pitagóricos. Este cambio de actitud causó desacuerdo entre los matemáticos, quienes querían una
adherencia estricta a sus fórmulas.
La escala temperada se desarrolló para resolver problemas de afinación y llevó a una música en la que se podía
modular de una tonalidad a otra sin tener que cambiar la afinación de los instrumentos. El temperamento es la forma musical
de mantener series dentro de un espacio definido. La transición de la afinación pitagórica a la temperada tomó siglos, y
ocurrió de una manera paralela al cambio en la relación entre música y matemáticas.
Pero la acústica no es el único nexo entre música y matemáticas. A lo largo de la historia de la música
encontramos numerosos ejemplos de la relación entre los números y la composición musical. Friedrich Smend introdujo en
la musicología el alfabeto numérico. Smend y Martin Jansen pasaron muchos años tratando de descubrir los significados de
los números que se repiten en las obras de J. S. Bach. Partieron de la premisa que cada relación numérica en la partitura
fuera colocada allí conscientemente por el compositor y por lo tanto podría ser considerada como un símbolo. La ausencia
de pruebas históricas sobre el empleo de números en la composición parece extraordinaria en vista de la cantidad de
escritos sobre Bach y el simbolismo de número. Una serie de técnicas con números basadas en el trabajo de Smend se han
ido desarrollando y han sido aceptadas a fuerza de repetirlas.
Uno de los muchos ejemplos en que la música de Bach puede estar más relacionada con las matemáticas puede
ser la coral del final de Kunst der Fuge (El Arte de la Fuga) de Johann Sebastian Bach. En ella determinados motivos se
repiten, por disminución a escalas menores, una y otra vez con distintas variaciones dentro de una región mayor de la pieza.
Así, por ejemplo, varias voces repiten al doble de velocidad la melodía de la voz principal. Este es un ejemplo de pieza
musical “autosemejante” que es una característica de la geometría fractal, un concepto matemático de finales del siglo XX
que sería usado por algunos de los compositores más importantes de dicho siglo, entre los que destacan Messiaen; el
principal maestro de Xenakis que, por su formación en ambos campos, sería el paradigma de la unión entre la música y las
matemáticas
“Aunque la música ya no es una disciplina estrictamente matemática, las matemáticas son
2
inherentes a la música y continuarán influyendo en la evolución de la teoría musical”
IANNIS XENAKIS.
Es uno de los compositores más innovadores de la música del siglo XX. Nació en Braila (Rumania) el 29 de mayo
de 1922 aunque es de origen griego. Se nacionalizó francés viviendo gran parte de su vida en París, donde murió el 4 de
febrero del 2001.
3
Comenzó a componer a los 17 ó 18 años y “siempre fui músico antes que ingeniero” su primera obra (fuera de
catálogo) aplicando la matemática fue Anastenaria (1952-1953). Aunque parezca extraño, las primeras composiciones de
Xenakis eran para orquesta, un medio que le permitió comprender el concepto de masas sonoras. Al principio prefirió la
escritura para cuerdas debido a la abundancia de colores sonoros y la capacidad de moverse entre alturas.
Fue uno de los pocos compositores de su época no interesado en el serialismo, prefirió la formalización, es decir el
uso de un modelo como base de una composición. Contrario también a los movimientos vanguardistas americanos cuya
cabeza más visible era John Cage, Xenakis se negaba a anular el papel del compositor como principal elemento del proceso
creador, fruto de ello surgieron una serie de complejas partituras de innegables capacidades comunicativas, como
Achorripsis (1956-1957).
La dimensión de espacio físico adquiere gran importancia en las obras de Xenakis. Por ejemplo, en Pithoprakta
(1955-6) en el cual la conclusión a unísono está distribuida por toda la sección de cuerda en armónicos muy agudos. Los
sonidos de los metales son tratados de un modo muy similar en Eonta (1963-4), mientras que en Terretektorh y Nomos
Gamma el público se sitúa entre los miembros de la orquesta que están dispersos por todo el espacio interpretativo. Sin
2
3
IBAIBARRIAGA, Iñigo. Música y Matemáticas. De Schoenberg a Xenakis. Bilbao, Kuraia, 2004.
PARASKEVAÍDIS, Graciela. Presencia de Xenakis. Pauta, Ciudad de México, 1 – 6 – 2001, pp. 77.
C/Maestro Cebrián, 4 - Bajo 9. - Teléfono 958 10 72 90 - 18003- GRANADA ESPAÑA [email protected]
Revista Digital:
Reflexiones y Experiencias Innovadoras en el Aula.
ISSN 1989-2152
DEP. LEGAL: GR 2327/2008 Nº-18 –MARZO DE 2010
embargo, Xenakis llegó a la conclusión de que el mejor modo de controlar la dimensión espacial estaba en el empleo de
altavoces, como sucede con los varios cientos usados en Pabellón Philips.
Aunque la música de Xenakis sea a menudo sumamente complicada en los detalles, esos detalles están al servicio
del todo. La forma nunca surge del desarrollo de células temáticas, es la yuxtaposición parecida a un collage o la
superposición de segmentos las que nos muestran fuertes conexiones internas. Las dimensiones de las partes y, la creación
y relajación de la tensión en las obras son determinadas con gran instinto para la dramaturgia musical.
Como arquitecto trabajó con Le Corbusier durante 12 años (1948-1959), período en el que destaca su colaboración
en el diseñó del Pabellón Philips para la Exposición Internacional de Bruselas de 1958. En París, en 1966, fundó en París el
Centro de Estudios Matemática y Música (CEMAMU), dando clases allí y en la Universidad de Indiana, donde fundó un
centro similar. Diseñó el UPIC (Unidad Poliagógica de Información del CEMAMU), en el que se puede dibujar sobre una
pantalla cualquier trazo, y la máquina lo transforma en música. Xenakis consideró este aparato como un útil campo para
trasladar sus planos arquitectónicos a la música. La computadora nos permite la posibilidad de ir a la unidad mínima que
produce el sonido, posibilidad que no tenía la música instrumental tradicional. Se pueden controlar tanto los
encadenamientos sonoros como las orquestaciones, pero la informática es sólo una herramienta. Xenakis entiende que no
hay ruptura entre el pensamiento tradicional y los aspectos modernos de la música contemporánea. La supuesta liberación
de las funciones tonales alcanzada por el dodecafonismo y la música serial es más bien relativa.
Educado en el campo de la ingeniería y la matemática, pasó a interesarse por acoplar ciertos tipos de cálculos
matemáticos a diseños visuales para sus proyectos arquitectónicos. Atraído por las fuertes analogías existentes entre la
música y la arquitectura, a las que vio como realizaciones concretas de cálculos matemáticos abstractos, comenzó a
interesarse cada vez más por las cuestiones de estructura musical.
XENAKIS. MÚSICA Y MATEMÁTICAS.
“La música es una matriz de ideas, de acciones energéticas, de procesos mentales, reflejos a su
vez de la realidad física que nos ha creado [...]. Expresión de las visiones del universo, de sus ondas, de
sus árboles, de sus hombres, de la misma manera que las teorías fundamentales de la física teórica, de la
4
lógica abstracta, del álgebra moderna...”
La serie de Fibonacci, la sección áurea o los alfabetos numéricos han constituido algunos de los ejemplos más
comunes de la aplicación de las matemáticas a la música. Pero no se queda ahí el matrimonio que forman música y
matemáticas ya que desde principios del siglo XX se han venido desarrollando otras muchas técnicas en este sentido: la
probabilidad, la variabilidad o la estadística son conceptos matemáticos que han encontrado cabida en la composición
musical. Sin olvidar que la música está compuesta de sonidos que podemos analizar con conceptos físicos y matemáticas
gracias a la acústica.
Xenakis comenzó a aplicar a la música teorías de probabilidad matemática, especialmente la “ley de los grandes
números” (formulada en el siglo XVIII por el matemático suizo Jacques Bernoulli). En términos sencillos, esta ley establece
que cuanto más aumente el número de ocasiones en que se produzca un hecho casual más posibilidades hay que el
resultado se encamine hacia un fin determinado. Propuso el uso de una media estadística de momentos aislados y de
transformaciones sonoras en un momento dado. El efecto macroscópico podría ser controlado por la media de los
movimientos de los elementos seleccionados. El resultado es la introducción de la noción de probabilidad que implica, en
este caso particular, el cálculo combinatorio. Escapar de esta manera a la categoría lineal en el pensamiento musical. La
rigurosidad matemática de la obra de Xenakis podría hacer pensar en resultados excesivamente intelectuales, pero la
contundencia de sus composiciones genera un impacto emocional ligado a una extrema claridad armónica y estructural.
4
XENAKIS, Iannis. Música. Arquitectura, trad. por Anna Bofill. Barcelona, Antoni Bosch, 1982 [1ª ed.: Musique. Architecture. París,
Casterman, 1976].
C/Maestro Cebrián, 4 - Bajo 9. - Teléfono 958 10 72 90 - 18003- GRANADA ESPAÑA [email protected]
Revista Digital:
Reflexiones y Experiencias Innovadoras en el Aula.
ISSN 1989-2152
DEP. LEGAL: GR 2327/2008 Nº-18 –MARZO DE 2010
Xenakis crea en 1954 una música basaba en el principio de indeterminismo, y que dos años más tarde llamó
música estocástica. La música estocástica se caracteriza por masas de sonido, “nubes”, “galaxias”, donde el número de
elementos es tan grande que la conducta de un elemento individual no puede ser determinada, pero sí la del todo. La
palabra estocástico proviene del griego “tendencia hacia una meta”. Esto significa que la música es indeterminada en sus
detalles, sin embargo tiende a una meta definida. Una de las obras más famosas de Xenakis es Metástasis (1954), su
primera pieza estocástica, para orquesta de 61 músicos. Esta pieza está basada en el desplazamiento continuo de una línea
recta. Tal modelo se representa en la música como un glissando continuo. Esta obra sirvió como modelo para la
construcción del pabellón Philips que, junto con Le Corbusier, Xenakis diseñó para la exposición internacional de Bruselas
de 1958.
En relación con la aplicación de teorías probabilísticas, muchas de las piezas de Xenakis son, en sus propias
palabras: “una forma de composición que no es el objeto en sí, sino una idea en sí, esto es, los comienzos de una familia de
5
6
composiciones” . En 1962 publicó Musiques Formelles , posteriormente revisada, expandida y publicada en inglés como
Formalized Music: Thought and Mathematics in Composition en 1971; una colección de ensayos sobre sus ideas musicales
y técnicas compositivas, considerada una de las contribuciones más importantes a la teoría de la música del siglo XX. Se
trata de un concepto filosófico y estético regido por las leyes de la teoría de las probabilidades y por las funciones
matemáticas que formulan un nuevo dominio de coherencia. La música de Xenakis está construida sobre el lenguaje de las
matemáticas. Aunque en sí misma no constituye un lenguaje, cada pieza musical es compleja que puede ser interpretada de
mil maneras diferentes, sin que alguna de ellas sea la mejor o más verdadera.
Algunos de los modelos matemáticos que el compositor utiliza en sus obras musicales así como en algunas de las
arquitectónicas son:
1. Ley de Maxwell-Boltzmann (es una función estadística desarrollada para modelizar el comportamiento de
sistemas físicos regidos por la mecánica clásica. Esta función estadística fue formulada por los físicos J.C. Maxwell y L.
Boltzmann, rige la distribución de un conjunto de partículas en función de los posibles valores de energía) en Pithoprakta
(1955-1956).
2. Restricciones o limitaciones mínimas en Achorripsis (1956-1957)
3. Distribución aleatoria de puntos en un plano en Diamorphoses (1957).
4. Cadenas de Markov (es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del
evento inmediato anterior) en Analogiques (1958-1959).
5. Distribución de Gauss (distribución probabilística que con más frecuencia aparece en fenómenos reales, también
llamada distribución normal) en ST/10-1,080262 (1956-1962) y en Atreés (1956-1962).
6. La teoría de juegos (utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos, los
llamados “juegos”, y llevar a cabo procesos de decisión. Sus investigadores estudian las estrategias óptimas así como el
comportamiento previsto y observado de individuos en juegos) en Duel (1959) y en Stratégie (1962)
7. El álgebra booleana creada por George Boole (1815-1864). Una estructura algebraica definida para un conjunto
de elementos junto con dos operadores que satisfacen ciertas propiedades en Herma (1961) y Eonta (1964).
8. La teoría de grupos, que estudia las estructuras algebraicas conocidas como grupos (sus clasificaciones,
propiedades y aplicaciones) en Nomos Alpha (1966)
Estos métodos matemáticos fueron introducidos por Xenakis a partir de 1955, otorgándole a la música un carácter
determinado que puede sintetizarse en tres estados:
1. Música estocástica: basada en el en el cálculo de probabilidades.
2. Teoría del juego como estrategia musical.
3. Teoría del conjunto y de la lógica matemática como música simbólica.
BIBLIOGRAFÍA.
5
6
XENAKIS, I. Musiques Formelles [Músicas formales]. París, 1963.
XENAKIS, I. Musiques Formelles [Músicas formales]. París, 1963.
C/Maestro Cebrián, 4 - Bajo 9. - Teléfono 958 10 72 90 - 18003- GRANADA ESPAÑA [email protected]
Revista Digital:
Reflexiones y Experiencias Innovadoras en el Aula.
ISSN 1989-2152
DEP. LEGAL: GR 2327/2008 Nº-18 –MARZO DE 2010
BENSON, Dave. Music: A Mathematical Offering. Aberdeen, University of Aberdeen, 2008.
BOIS, Mario. Iannis Xenakis. The Man and his Music. Londres, Boosey & Hawkes, 1967.
BORBOUDAKIS, Minas. “The percussion instruments through three generations influences and evolutions of composition for
percussion through Varese's Ionisation, Xenakis' Rebonds and Borboudakis' Evlogitaria” en Iannis Xenakis international
symposium. Atenas, 2005, pp. 350 – 354.
BUTCHERS, Christopher. The Random Arts: Xenakis, Mathematics and Music. Tempo, New Series, No. 85, verano 1968,
pp. 2 - 5. Cambridge University Press.
CRUZ, Zulema de la. “Música, matemática e informática” en Música y estadística: 50 aniversario de la creación del Instituto
Nacional de Estadística. Madrid, Instituto Nacional de Estadística, 1995, pp. 133-153.
DI SCIPIO, A. (1998). “Compositional models in Xenakis's electroacoustic music” en Perspectives of New Music, Vol. 35, No.
2, 1998. Seattle, WA: Perspectives of New Music.
FERNÁNDEZ GUERRA, Jorge. “Matemáticas contra serialismo” Scherzo. Madrid, Año XVI, nº 152 (marzo 2001), p. 144.
FAUVEL, J., FLOOD, R., y WILSON, R. (eds.). Music and Mathematics: From Pythagoras to Fractals. Oxford, Oxford
University Press, 2003.
GARCÍA, Mario y RÍOS, Rafael. Entre las matemáticas y la música. Valencia, Anuario de la Universidad de Valencia, 2004.
GEORGAKI, Anastasia; SOLOMOS, Makis; ZERVOS, Giorgos (eds.). “Xenakis’ Keren: A Computational Semiotic Analysis”
en Definitive Proceedings of the International Symposium Iannis Xenakis. Atenas, 2006.
GÓMEZ AMAT, Carlos. “Obituario: Iannis Xenakis: Unió Música y Matemáticas” El Mundo. 5 de febrero de 2001.
GRIFFITHS, Paul. “Xenakis: Logic and Disorder” en Musical Times 116 (1975), pp. 329 - 331.
GRIFFITHS, Paul y TATLOW, Ruth. “Numbers and music.” En Grove Music Online. Oxford Music Online,
http://www.oxfordmusiconline.com/subscriber/article/grove/ music/44483 (acceso el 1de Agosto de 2009).
GUTIÉRREZ DE LA CONCEPCIÓN, Mª Luisa; y GUTIÉRREZ DE LA CONCEPCIÓN, Nieves. “Música y Arquitectura: El
Caso de Xenakis y Le Corbusier” Filomúsica. Nº 71, Madrid, diciembre de 2005.
HARKLEROAD, Leon. The Math Behind the Music. New York, Cambridge University Press, 2006
HOFFMANN,
Peter.
“Xenakis,
Iannis”
en
Grove
Music
Online.
Oxford
http://www.oxfordmusiconline.com/subscriber/article/grove/music/30654 (acceso el 29 de junio de 2009).
Music
Online,
IBAIBARRIAGA, Iñigo. Música y Matemáticas. De Schoenberg a Xenakis. Bilbao, Kuraia, 2004.
KYROU, Ariel. Techno Rebelde. Un siglo de músicas electrónicas. Trad. por Manuel Martinez Forega. Madrid, Traficantes de
sueños, 2006. [1ª ed.: Techno Rebelle. Un siecle de musiques electroniques. París, DeNoël, 2002].
LÓPEZ, Julio. La música de la modernidad: (de Beethoven a Xenakis). Barcelona, Anthropos, 1984.
C/Maestro Cebrián, 4 - Bajo 9. - Teléfono 958 10 72 90 - 18003- GRANADA ESPAÑA [email protected]
Revista Digital:
Reflexiones y Experiencias Innovadoras en el Aula.
ISSN 1989-2152
DEP. LEGAL: GR 2327/2008 Nº-18 –MARZO DE 2010
PARASKEVAIDIS, Graciela. Presencia de Xenakis. Pauta, Ciudad de México, 1 - 06 – 2001, pp. 77 y 78.
MORENO SORIANO, Susana. Arquitectura y música en el siglo XX. Barcelona, Fundación Caja de Arquitectos, 2008.
ODIFREDDI, Piergiorgio. Pluma, pincel y batuta: las tres envidias del matemático. Madrid, Alianza, 2007.
PEREYRA, Edgardo. El azar en la música de Xenakis. En Hotel Kafka, http://hotelkafka.com/blogs/PaulAuster/2006/12/elazar-en-la-msica-de-xenakis.html (publicado el 6 de diciembre de 2006)
PUERTO, David del. “El arquitecto” Scherzo. Madrid, Año XVI, n. 152 (marzo 2001), pp. 145 y 146.
SERROU, Bruno. “El estilo Xenakis” Scherzo. Madrid, Año XVI, n. 152 (marzo 2001), pp. 132-134.
______. “He buscado toda mi vida” Scherzo. Trad. por Enrique Martínez Miura. Madrid, Año XVI, n. 152 (marzo 2001), pp.
136-140.
SQUIBBS, R. J. An Analytical Approach to the Music of Iannis Xenakis: Issues in the Recent Music. Tesis. Yale University,
1996.
STEINITZ, Richard. Music, Maths & Chaos. The Musical Times, Vol. 137, No. 1837, marzo de 1996, pp. 14 – 20.
TATLOW, Ruth y GRIFFITHS, Paul. “Numbers and music.” En Grove Music Online. Oxford Music Online,
http://www.oxfordmusiconline.com/subscriber/article/grove/ music/44483 (acceso el 1de Agosto de 2009).
TIBURCIO SOLÍS, Susana. Teoría de la Probabilidad en la Composición Musical Contemporánea. Tesis de la Universidad
Autónoma de Puebla, 2002.
VV.AA. “Xenakis on Xenakis”, en Perspectives of New Music [grabación sonora], vol. 25, Estados Unidos, 1987.
VAGOPOULOU, Evaggelia y WARD, Tim. Xenakis and Brownian motion: a compositional and analytical exploration.
Tesalónica, Abstract Proceedings, julio de 2008.
XENAKIS, Iannis. Música. Arquitectura, trad. por Anna Bofill. Barcelona, Antoni Bosch, 1982 [1ª ed.: Musique. Architecture.
París, Casterman, 1976].
______. Formalized Music. Tought and Mathematics in Music. New York, Pendragon Press, 1992.
______. Música de la arquitectura: textos, obras y proyectos arquitectónicamente escogidos, presentados y comentados por
Sharon Kanach. Madrid, Akal, 2009.
Autoría
· Juan Francisco Pérez Fuentes
· IES Veleta, Granada, Granada
· E-MAIL: [email protected]
C/Maestro Cebrián, 4 - Bajo 9. - Teléfono 958 10 72 90 - 18003- GRANADA ESPAÑA [email protected]