universidad de chile facultad de ciencias fisicas y

UNIVERSIDAD DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA INDUSTRIAL
ANÁLISIS COMPARATIVO DE MODELOS DE TASAS DE INTERÉS PARA
EL CASO DE LAS OPCIONES INCRUSTADAS EN DEUDA HIPOTECARIA.
UNA APLICACIÓN AL MERCADO CHILENO
TESIS PARA OPTAR AL GRADO DE MAGÍSTER
EN GESTIÓN DE OPERACIONES
MEMORIA PARA OPTAR AL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL INDUSTRIAL
YONATAN MEYER SHEVAT
PROFESOR GUIA:
SR. JOSE MIGUEL CRUZ GONZÁLEZ
MIEMBROS DE LA COMISIÓN
SR. RAFAEL EPSTEIN NUMHAUSER
SRA. VIVIANA FERNANDEZ MATURANA
SR. CHRISTIAN LARRAIN PIZARRO
SANTIAGO DE CHILE
NOVIEMBRE, 2007
UNIVERSIDAD DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA INDUSTRIAL
ANÁLISIS COMPARATIVO DE MODELOS DE TASAS DE INTERÉS PARA
EL CASO DE LAS OPCIONES INCRUSTADAS EN DEUDA HIPOTECARIA.
UNA APLICACIÓN AL MERCADO CHILENO
TESIS PARA OPTAR AL GRADO DE MAGÍSTER
EN GESTIÓN DE OPERACIONES
MEMORIA PARA OPTAR AL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL INDUSTRIAL
YONATAN MEYER SHEVAT
PROFESOR GUIA:
SR. JOSE MIGUEL CRUZ GONZÁLEZ
MIEMBROS DE LA COMISIÓN
SR. RAFAEL EPSTEIN NUMHAUSER
SRA. VIVIANA FERNANDEZ MATURANA
SR. CHRISTIAN LARRAIN PIZARRO
SANTIAGO DE CHILE
NOVIEMBRE, 2007
TEMA DE TESIS PARA OPTAR AL TITULO DE
INGENIERO CIVIL INDUSTRIAL Y GRADO DE MAGÍSTER
EN GESTION DE OPERACIONES.
ALUMNO
: YONATAN MEYER SHEVAT
PROF. GUIA
: JOSE MIGUEL CRUZ
FECHA
: 12/11/07
Análisis Comparativo de Modelos de Tasas de Interés Aplicado al Mercado Chileno de Opciones
Incrustadas en Créditos Hipotecarios
La venta reciente en Chile de créditos hipotecarios a tasa variable con techo, ha generado la necesidad,
por regulación, de evaluar la opción incrustada implícita que se genera. El objetivo de esta tesis es
evaluar los modelos de valorización de estas opciones aplicándolos al mercado chileno. Los modelos a
implementar son Black (1976) debido a su simpleza y popularidad, y una metodología más compleja
como la de los modelos de no arbitraje, que comprenden, entre otros, al modelo de Black Derman Toy
(1990) en su versión a volatilidad constante (BDT 1) y a volatilidad variable (BDT 2), Ho Lee (HL)
(1986) y Hull and White (HW) (1993). La pregunta a analizar es, si las características que presenta cada
uno de los modelos, en términos de sus supuestos y grado de complejidad, compensan el costo de su
implementación dadas las características del mercado chileno.
Este trabajo analiza, para los diferentes modelos mencionados, el valor de mercado obtenido, así como
su sensibilidad y estabilidad a cambios en las estructuras de tasas de interés (nivel, pendiente y
curvatura) y a la estructura de volatilidad. Los resultados indican que los factores que mayor influencia
tienen en el valor de la opción son, la volatilidad, y en menor medida, el nivel de la parte larga de la
estructura de tasas.
Los resultados muestran que el modelo más popular, es decir Black, entrega resultados similares a los
otros modelos en condiciones relativamente normales. Esto es una ventaja dado que su naturaleza
analítica lo hace más fácil de implementar, ya que el resto de los modelos requieren usar la técnica de
árboles binomiales.
Por otra parte, BDT 1 muestra gran robustez a escenarios de stress. En contraste, BDT 2 a pesar de
tener más grados de libertad, resulta menos estable dada la alta volatilidad de la parte corta de la
estructura de tasas reales del mercado chileno.
A su vez, HW a volatilidad constante presenta la ventaja de poseer reversión a la media lo cual es
consistente con diversos estudios que muestran que las tasas tienden a un valor de equilibrio. A pesar de
esto, el modelo se comporta de manera inestable ante volatilidades bajas.
Finalmente, HL es similar a BDT, con la salvedad que los retornos son absolutos, lo que implica que el
árbol de tasas puede entregar estructura de tasas negativas, lo cual resulta inconsistente para tasas largas
reales. Los resultados muestran que al estresar la parte larga de la estructura de tasas y volatilidad, los
resultados de este modelo son cada vez más sensibles y menos estables numéricamente.
Aunque bajo condiciones normales, todos los modelos entregan resultados razonables, bajo condiciones
de stress, la mayoría de los modelos muestra debilidades en su implementación. Sin embargo, es el
modelo BDT 1 quien presenta las mayores fortalezas al momento de enfrentar un importante desafío del
mercado chileno cual es la alta volatilidad de las tasas reales en la parte corta de la curva.
DEDICATORIA
A mi familia que me ha apoyado incondicionalmente en todo
momento.
“ Las casualidades más banales son las que
finalmente dan sentido a la vida”
AGRADECIMIENTOS
Al profesor José Miguel Cruz le agradezco su apoyo durante todo
este largo trabajo. En gran parte gracias a él, hoy en día tengo certeza de
cual es el área de trabajo a la cual me quiero dedicar y desarrollar
profesionalmente.
A Gonzalo Maturana, que ha sido de alguna u otra forma el socio
emprendedor que he tenido en el mundo de las finanzas. Quisiera agradecer
su excelente disposición y entrega, en todo momento.
A Juan Pablo Risco y Rafael Zúñiga, por su disponibilidad,
sugerencias y valiosos comentarios.
TABLA DE CONTENIDOS
DEDICATORIA.............................................................................................................................................2
AGRADECIMIENTOS.................................................................................................................................4
TABLA DE CONTENIDOS.........................................................................................................................5
ÍNDICE DE FIGURAS .................................................................................................................................7
ÍNDICE DE TABLAS ...................................................................................................................................9
RESUMEN...................................................................................¡ERROR! MARCADOR NO DEFINIDO.
INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................................11
CAPÍTULO I................................................................................................................................................17
1.
DEFINICIÓN Y CONTEXTO DEL DERIVADO A ESTUDIAR..............................................17
1.1.
MERCADO HIPOTECARIO EN CHILE ............................................................................................17
1.2.
CRÉDITO HIPOTECARIO MIXTO CON TECHO MÓVIL ..................................................................22
1.2.1. Caracterización del crédito...................................................................................................23
1.2.2. Teoría de opciones en créditos hipotecarios con techo .......................................................26
1.2.3. Incorporando la opción incrustada en el crédito .................................................................28
1.3.
MARCO NORMATIVO ..................................................................................................................29
CAPÍTULO II ..............................................................................................................................................32
2.
MODELOS DE TASAS.....................................................................................................................32
2.1.
2.2.
2.3.
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE MODELOS DE TASA DE INTERÉS ...............................................32
COMPORTAMIENTO ESTOCÁSTICO DE LAS TASAS .......................................................................34
MODELOS DE NO ARBITRAJE .......................................................................................................36
CAPÍTULO III.............................................................................................................................................40
3.
MODELOS A IMPLEMENTAR .....................................................................................................40
3.1.
BLACK DERMAN TOY .................................................................................................................41
3.1.1. Construyendo árboles para tasas cortas con BDT..............................................................43
3.1.2. Implementación de BDT 1.....................................................................................................46
3.1.3. Implementación de BDT 2.....................................................................................................48
3.2.
HO LEE ........................................................................................................................................51
3.3.
HULL AND WHITE .......................................................................................................................51
3.3.1. Introducción a árboles trinomiales.......................................................................................51
3.3.2. Implementación de Hull y White ajustado por retorno ........................................................53
CAPÍTULO IV .............................................................................................................................................56
4.
CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE DE LA OPCIÓN............................................................56
4.1.
COMPLICACIONES PARA EL CÁLCULO DE LA OPCIÓN ..................................................................56
4.1.1. Criterio de granularidad.......................................................................................................56
4.1.2. Base 100.................................................................................................................................57
4.2.
CONSTRUYENDO LA DINÁMICA DEL CRÉDITO ...........................................................................58
4.2.1. Valor presente de la opción usando paso anual...................................................................60
4.2.2. Valor presente de la opción usando paso mensual ..............................................................66
4.2.3. Cálculo de griegas.................................................................................................................74
CAPÍTULO V...............................................................................................................................................78
5.
BLACK................................................................................................................................................78
CAPÍTULO VI .............................................................................................................................................81
6.
INPUTS NECESARIOS PARA LA VALORIZACIÓN ...............................................................81
6.1.
6.2.
CARTERA HIPOTECARIA..............................................................................................................81
INPUTS DE MERCADO...................................................................................................................81
6.2.1.
6.2.2.
6.2.3.
6.2.4.
Estructura de tasas................................................................................................................82
Volatilidad .............................................................................................................................83
Coeficiente de reversión α.....................................................................................................89
Griegas ..................................................................................................................................89
CAPÍTULO VII ...........................................................................................................................................92
7.
METODOLOGÍA Y RESULTADOS DE LA VALORIZACIÓN...............................................92
7.1.
7.2.
VALIDACIÓN DE LOS MODELOS ...................................................................................................92
METODOLOGÍA ............................................................................................................................93
CAPÍTULO VIII........................................................................................................................................101
8.
CONCLUSIONES............................................................................................................................101
8.1.
RESULTADOS OBTENIDOS .........................................................................................................101
8.1.1. Valorización anual ..............................................................................................................101
8.1.2. Valorización mensual ..........................................................................................................114
8.2.
CONCLUSIONES .........................................................................................................................118
BIBLIOGRAFÍA .......................................................................................................................................124
ANÉXOS .....................................................................................................................................................127
A.
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON...........................................................................................127
A.1.
A.2.
NEWTON RAPHSON UNIDIMENSIONAL ......................................................................................127
NEWTON RAPHSON BIDIMENSIONAL.........................................................................................130
B.
SOLUCIÓN ANALÍTICA PARA HO LEE .................................................................................133
C.
SOLUCIÓN ANALÍTICA PARA HULL & WHITE..................................................................134
D.
OBTENCIÓN DE TASAS A DISTINTO PLAZO VÍA BDT1 MENSUAL .............................135
E.
VP CRÉDITO SIN TECHO USANDO FORWARD...................................................................138
F.
RESULTADOS ANÁLISIS – PASO ANUAL -............................................................................140
F.1.
F.2.
F.3.
F.4.
F.5.
G.
VALOR DE LA OPCIÓN EN FUNCIÓN DE Β0..................................................................................140
VALOR DE LA OPCIÓN EN FUNCIÓN DE Β1..................................................................................140
VALOR DE LA OPCIÓN EN FUNCIÓN DE Β2..................................................................................141
VALOR DE LA OPCIÓN EN FUNCIÓN DE Τ. ..................................................................................141
VALOR DE LA OPCIÓN EN FUNCIÓN DE LA VOLATILIDAD..........................................................142
RESULTADOS ANÁLISIS – PASO MENSUAL – .....................................................................143
G.1.
G.2.
G.3.
G.4.
G.5.
G.6.
RESULTADOS DE BDT 1 MENSUAL VS. BDT 1 ANUAL ............................................................143
GRÁFICA DE GRIEGAS CASO Β0 ANUAL VS. MENSUAL ..............................................................144
GRÁFICA DE GRIEGAS CASO Β1 ANUAL VS. MENSUAL ..............................................................145
GRÁFICA DE GRIEGAS CASO Β2 ANUAL VS. MENSUAL ..............................................................146
GRÁFICA DE GRIEGAS CASO Τ ANUAL VS. MENSUAL ................................................................147
GRÁFICA DE GRIEGAS CASO VOLATILIDAD ANUAL VS. MENSUAL ...........................................148
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1-1: Participación de mercado relevante para bancos en el mercado de créditos hipotecarios no
endosables según montos.....................................................................................................................21
Figura 1-2: Participación de mercado relevante para bancos en el mercado de créditos hipotecarios no
endosables según número de operaciones. ..........................................................................................22
Figura 1-1-3: Dinámica de pagos. .................................................................................................................25
Figura 1-1-4: Valor de la call determinado por la ecuación (1.1) para un determinado mes de un caplet en
función del nivel de r al momento de fijación.....................................................................................27
Figura 2-1: Reversión a la media...................................................................................................................36
Figura 2-2: Familia de modelos para valorizar derivados de la tasa de interés............................................39
Figura 3-1: Primeros tres pasos en un árbol binomial para la tasa corta......................................................44
Figura 3-2: Discretización binomial de Modelos de Trayectorias Brownianas independientes..................46
Figura 3-3: Ramificación en árboles trinomiales..........................................................................................52
Figura 4-1: Esquema general del proceso de valorización de la opción y griegas para un crédito particular.
..............................................................................................................................................................60
Figura 4-2: Sentido de la recurrencia en los flujos que definen la ganancia del crédito..............................65
Figura 4-3: Árbol de cuotas mensuales. ........................................................................................................70
Figura 4-4: Flujos de las cuotas mensuales...................................................................................................70
Figura 7-1: Estructura de tasas asociada a la fecha de valorización.............................................................94
Figura 7-2: 21 Estructuras de tasas a utilizar en función de β0. ....................................................................96
Figura 7-3: 21 Estructuras de tasas a utilizar en función de β1. ....................................................................97
Figura 7-4: 21 Estructuras de tasas a utilizar en función de β2.....................................................................98
Figura 7-5: 21 Estructuras de tasas a utilizar en función de τ. ......................................................................98
Figura 7-6: Diagrama de flujo que resume el proceso de valorización anual de los modelos de no arbitraje
en función de los capítulos anteriores..................................................................................................99
Figura 7-7: Diagrama de flujo con el resumen del proceso de valorización mediante Black. La letra k
simboliza la griega utilizada. 1: Delta, 2: Gamma, 3: Vega. ............................................................100
Figura 8-1: Valor de la opción en función de β0. ........................................................................................101
Figura 8-2: Delta en función de β0. ............................................................................................................102
Figura 8-3: Gamma en función de β0. .........................................................................................................103
Figura 8-4: Vega en función de β0...............................................................................................................104
Figura 8-5: Valor de la opción en función de β0. ........................................................................................104
Figura 8-6: Delta en función de β1. ............................................................................................................105
Figura 8-7: Gamma en función de β1. ........................................................................................................106
Figura 8-8: Vega en función de β1...............................................................................................................106
Figura 8-9: Valor de la opción en función de β2. ........................................................................................107
Figura 8-10: Delta en función de β2. ...........................................................................................................108
Figura 8-11: Gamma en función de β2. .......................................................................................................108
Figura 8-12: Vega en función de β2.............................................................................................................109
Figura 8-13: Valor de la opción en función de τ.........................................................................................109
Figura 8-14: Delta en función de τ. .............................................................................................................110
Figura 8-15: Gamma en función de τ. .........................................................................................................111
Figura 8-16: Vega en función de τ. .............................................................................................................111
Figura 8-17: Valor de la opción en función de la volatilidad. ....................................................................112
Figura 8-18: Delta en función de la volatilidad. .........................................................................................113
Figura 8-19: Gamma en función de la volatilidad. .....................................................................................113
Figura 8-20: Vega en función de la volatilidad...........................................................................................114
Figura 8-21: BDT 1 anual vs. BDT 1 mensual variando β0........................................................................115
Figura 8-22: BDT 1 anual vs. BDT 1 mensual variando β1........................................................................115
Figura 8-23: BDT 1 anual vs. BDT 1 mensual variando β2........................................................................116
Figura 8-24: BDT 1 anual vs. BDT 1 mensual variando τ. ........................................................................117
Figura 8-25: BDT 1 anual vs. BDT 1 mensual variando la volatilidad......................................................117
Figura A-1: El método de Newton extrapola la derivada local para encontrar la siguiente estimación
de la raíz. En este ejemplo, se encuentra la raíz y converge cuadráticamente. ................................127
Figura D-1: Árbol de tasas mensuales usando BDT 1................................................................................135
Figura D-2: Árbol respectivo de precios contingentes. ..............................................................................135
Figura D-3: Ejemplo de recalibración del árbol de precios elementales para encontrar tasas a un
determinado plazo consistentes con el mercado para cualquier nodo (i,j). ......................................136
Figura D-4: Árbol recalibrado. Aplicar (3.11) para obtener la tasa requerida. ..........................................137
Figura G-1: Delta anual vs. Delta mensual variando β0..............................................................................144
Figura G-2: Gamma anual vs. Gamma mensual variando β0. ....................................................................144
Figura G-3: Vega anual vs. Vega mensual variando β0. .............................................................................144
Figura G-4: Delta anual vs. Delta mensual variando β1..............................................................................145
Figura G-5: Gamma anual vs. Gamma mensual variando β1. ....................................................................145
Figura G-6: Vega anual vs. Vega mensual variando β1. .............................................................................145
Figura G-7: Delta anual vs. Delta mensual variando β2..............................................................................146
Figura G-8: Gamma anual vs. Gamma mensual variando β2. ....................................................................146
Figura G-9: Vega anual vs. Vega mensual variando β2. .............................................................................146
Figura G-10: Delta anual vs. Delta mensual variando τ. ............................................................................147
Figura G-11: Gamma anual vs. Gamma mensual variando τ. ....................................................................147
Figura G-12: Vega anual vs. Vega mensual variando τ..............................................................................147
Figura G-13: Delta anual vs. Delta mensual variando la volatilidad..........................................................148
Figura G-14: Gamma anual vs. Gamma mensual variando la volatilidad. ................................................148
Figura G-15: Vega anual vs. Vega mensual variando la volatilidad. .........................................................148
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 1-1: Caracterización de los actores del mercado de mutuos hipotecarios no endosables según el
monto y el número de operaciones. .....................................................................................................21
Tabla 3-3-1: Modelos consistentes con las estructuras de mercado a implementar y sus principales
características. ......................................................................................................................................40
Tabla 6-1: Resumen inputs de la cartera de créditos hipotecarios mixtos con tas techo móvil necesarios
para valorizar la opción........................................................................................................................81
Tabla 7-1: Detalle de la estructura de mercado correspondiente a la valorización......................................95
Tabla 7-2: Resultados de la estimación de parámetros de la curva usando Nelson Siegel..........................96
Tabla F-1: Valor de la opción para los distintos modelos en función de β0...............................................140
Tabla F-2: Valor de la opción para los distintos modelos en función de β1...............................................140
Tabla F-3: Valor de la opción para los distintos modelos en función de β2...............................................141
Tabla F-4: Valor de la opción para los distintos modelos en función de τ.................................................141
Tabla F-5: Valor de la opción para los distintos modelos en función de la volatilidad ............................142
Tabla G-1: Resumen comparación resultados BDT 1 anual vs. BDT 1 mensual. .....................................143
Resumen
Análisis Comparativo de Modelos de Tasas de Interés Aplicado al Mercado Chileno de
Opciones Incrustadas en Créditos Hipotecarios
La venta reciente en Chile de créditos hipotecarios a tasa variable con techo, ha generado
la necesidad, por regulación, de evaluar la opción incrustada implícita que se genera. El
objetivo de esta tesis es evaluar los modelos de valorización de estas opciones
aplicándolos al mercado chileno. Los modelos a implementar son Black (1976) debido a
su simpleza y popularidad, y una metodología más compleja como la de los modelos de
no arbitraje, que comprenden, entre otros, al modelo de Black Derman Toy (1990) en su
versión a volatilidad constante (BDT 1) y a volatilidad variable (BDT 2), Ho Lee (HL)
(1986) y Hull and White (HW) (1993). La pregunta a analizar es, si las características
que presenta cada uno de los modelos, en términos de sus supuestos y grado de
complejidad, compensan el costo de su implementación dadas las características del
mercado chileno.
Este trabajo analiza, para los diferentes modelos mencionados, el valor de mercado
obtenido, así como su sensibilidad y estabilidad a cambios en las estructuras de tasas de
interés (nivel, pendiente y curvatura) y a la estructura de volatilidad. Los resultados
indican que los factores que mayor influencia tienen en el valor de la opción son, la
volatilidad, y en menor medida, el nivel de la parte larga de la estructura de tasas.
Los resultados muestran que el modelo más popular, es decir Black, entrega resultados
similares a los otros modelos en condiciones relativamente normales. Esto es una ventaja
dado que su naturaleza analítica lo hace más fácil de implementar, ya que el resto de los
modelos requieren usar la técnica de árboles binomiales.
Por otra parte, BDT 1 muestra gran robustez a escenarios de stress. En contraste, BDT 2
a pesar de tener más grados de libertad, resulta menos estable dada la alta volatilidad de
la parte corta de la estructura de tasas reales del mercado chileno.
A su vez, HW a volatilidad constante presenta la ventaja de poseer reversión a la media
lo cual es consistente con diversos estudios que muestran que las tasas tienden a un valor
de equilibrio. A pesar de esto, el modelo se comporta de manera inestable ante
volatilidades bajas.
Finalmente, HL es similar a BDT, con la salvedad que los retornos son absolutos, lo que
implica que el árbol de tasas puede entregar estructura de tasas negativas, lo cual resulta
inconsistente para tasas largas reales. Los resultados muestran que al estresar la parte
larga de la estructura de tasas y volatilidad, los resultados de este modelo son cada vez
más sensibles y menos estables numéricamente.
Aunque bajo condiciones normales, todos los modelos entregan resultados razonables,
bajo condiciones de stress, la mayoría de los modelos muestra debilidades en su
implementación. Sin embargo, es el modelo BDT 1 quien presenta las mayores fortalezas
al momento de enfrentar un importante desafío del mercado chileno cual es la alta
volatilidad de las tasas reales en la parte corta de la curva.
INTRODUCCIÓN
Un derivado es un instrumento financiero cuyo flujo efectivo de
pagos en el futuro dependerá del valor que tome un activo subyacente. Este
activo puede ser una acción, un commodity, la tasa de interés o alguna
moneda, entre otros. Dentro de los derivados más conocidos se encuentran
los contratos forwards, swaps y opciones. Una revisión de todos estos
productos se puede revisar en Hull (2005). La evolución del mercado de
derivados ha implicado la incorporación de nuevos productos, cada vez
más complejos. Un cuestionamiento natural que surge es cuánto valen estos
productos y cómo se valorizan.
El mercado mundial de instrumentos derivados ha tenido un
explosivo crecimiento en los últimos años alcanzando a Junio del 2004 un
tamaño de aproximadamente 270 trillones de dólares entre los mercados
tradicionales y los de transacciones fuera de bolsa (Over the Counter).
En esta tesis se requiere valorizar una opción que se genera en un
crédito hipotecario relativamente nuevo en el mercado chileno, y muy
demandado a la vez. Este crédito tiene la particularidad de ofrecer una tasa
variable acotada superiormente por un techo. Es decir, la tasa que
determina la cuota a pagar es función del mínimo entre la tasa variable
vigente (tasa de interés de mercado) y una tasa techo fijada por la
institución financiera y que permanece fija durante toda la vida del crédito.
La cuota fijada es válida por un año y se paga mes a mes. La tasa de
mercado y techo son tasas anuales. El pago de cuotas se vuelve a
determinar cada doce meses bajo el mismo mecanismo y así sucesivamente
hasta que se termina de pagar la totalidad de la deuda. Por lo tanto, si
aumenta la tasa de mercado a tal punto que ésta sobrepasa la tasa techo, el
deudor paga la tasa techo y por ende, se protege al riesgo de alza de tasas.
Este crédito hipotecario es conocido en el mercado como un crédito
hipotecario con tasa techo móvil.
De lo anterior, se desprende que este crédito posee un conjunto de
opciones incrustadas cada vez que se redefine la tasa. La opción incrustada
se genera como la diferencia entre lo que se hubiera pagado si es que no
hubiese existido una tasa techo (su costo de oportunidad) y lo que
realmente se paga, es decir, considerando el mínimo entre la tasa variable
acordada y la tasa techo. El valor presente del conjunto de opciones define
el valor total de la opción. En este trabajo el valor presente del conjunto de
opciones se denominará el valor de la opción.
Hay que recalcar que la Superintendencia de Bancos e Instituciones
Financieras (SBIF), como ente fiscalizador de este mercado, ha exigido
llevar a cabo un importante proceso de capacitación a todo banco o
institución financiera que ofrezca este tipo de créditos con el fin de que
éstos implementen un modelo para valorizar la opción. La SBIF ha
fiscalizado y validado los modelos utilizados por las instituciones
financieras.
Desde la aparición de Black y Scholes (1973), diversos modelos han
surgido en la literatura para valorizar opciones. La teoría de opciones ha
tenido un vertiginoso desarrollo con modelos cada vez más complejos y
que involucran como principal marco conceptual la aplicación de cálculo
estocástico y en particular, la teoría de valorización neutra al riesgo. Un
análisis formal se puede ver en Shreve (2004).
En mercados más desarrollados, una de las vertientes más populares
para valorizar opciones sobre tasas de interés es la de modelos de
estructuras de tasas de no arbitraje. Estos modelos tienen dos características
principales. Estudian la dinámica ó estructura temporal de tasas de interés
(curva cero cupón) a través del tiempo asumiendo que las tasas se
comportan de manera aleatoria y segundo, permiten deducir estructuras de
tasas para cualquier instante futuro de forma tal que los precios de los
bonos cero cupón que se generan ínter temporalmente son consistentes con
las estructura temporal de mercado spot al momento de la valorización. En
esta tesis se denomina estructuras de mercado a la estructura de tasas y de
volatilidad spot. En particular, se ajustan a la estructura de tasas vigentes y
en modelos más complejos a la estructura de volatilidades.
Lo anterior permitirá establecer una metodología para simular el
valor futuro de la tasa de interés variable y generar además, los factores de
descuento que harán posible calcular el valor presente del conjunto de
opciones. La tasa variable por convención de mercado es la TAB, que
puede estar en pesos o en unidades de fomento dependiendo el crédito. El
desafío es precisamente modelar implícitamente como se comporta la TAB
mediante la construcción de su estructura de tasas y volatilidad teórica, en
donde, bajo este contexto, la tasa variable ofrecida por la institución
financiera, al momento de redefinición de la cuota debiera ser la tasa anual
de su respectiva curva cero vigente más un spread que se le cobra al deudor
para generar una ganancia
Matemáticamente, se modela el comportamiento de la tasa de interés
en el tiempo mediante una ecuación diferencial estocástica (E.D.E.) que se
redefine en el tiempo de manera de ser consistente con las estructuras de
mercado. Cada modelo representa una E.D.E. distinta.
En muchos casos, debido a la naturaleza de estos modelos, se pierde
el tratamiento analítico para valorizar la opción. Es por ello que se deben
realizar simulaciones de Montecarlo o métodos numéricos. En esta tesis, se
escoge el segundo enfoque. De esta forma, se implementarán estos modelos
mediante un enfoque discreto o reticulado usando árboles de tasas. Con
ello será posible simular las distintas trayectorias esperadas de la tasa a
través del tiempo discretizando la E.D.E. En esta tesis, se discretiza la
E.D.E. usando un paso1 anual. Esto implica considerar árboles de flujos de
pagos anuales y para ello se considerará una cuota anual como
aproximación de doce cuotas mensuales.
Usar un paso anual puede llevar a errores de precisión dado que se
requiere que la discretización del proceso involucre una granularidad
pequeña (paso mensual, diario, etc.). Mientras más granular sea la
discretización, mayor es la probabilidad de converger a un estacionario que
defina el valor de la opción de manera precisa. La ventaja de usar un paso
anual es que el árbol entrega de manera directa la tasa variable a un año y
los procesos de cálculo requieren menos tiempo de computación. Sin
embargo, el enfoque no está en la precisión si no en realizar un análisis
comparativo entre los modelos. Además, construir un árbol con paso
mensual implica generar tasas anuales consistentes con ese árbol mensual
lo que es complejo y requiere mayor tiempo computacional.
Una vez determinada la dinámica de la tasa, se debe agregar la
información financiera asociada al crédito como el spread del deudor, plazo
residual del crédito, etc., y con ello será posible calcular los árboles de
cuotas, saldos insolutos y ganancias que permitirán obtener el valor de la
opción.
Además, es interesante realizar un análisis de sensibilidad del valor
de la opción. Esto implica cuantificar en cuánto varía la opción al haber
una fluctuación en las estructuras de mercado. En finanzas, estas
sensibilidades se conocen como griegas. En particular, las griegas a
analizar son Delta, Gamma y Vega2. Las griegas tienen un significado
financiero mucho más potente en el sentido que permiten crear estrategias
de cobertura. En consecuencia, mediante el cálculo de griegas es posible
1
O granularidad.
Delta es el valor de la variación lineal en el valor de la opción cuando las tasas de mercado fluctúan.
Gamma es la variación cuadrática en el valor de la opción ante un mismo evento. Vega identifica en
cuanto varía la opción al haber una fluctuación en la volatilidad de mercado.
2
tomar posiciones en determinados instrumentos financieros con el fin de
inmunizar la exposición al riesgo de fluctuación de tasas.
En la literatura existe una amplia variedad de modelos de no
arbitraje, cada uno consta de E.D.E. distintas. Entre los modelos más
conocidos y utilizados por parte de académicos y profesionales en
mercados más desarrollados como EE.UU. se pueden encontrar los de
Black Derman Toy (1990), Hull y White (1993), Ho Lee (1986), Black y
Karasinski (1991), Heath, Jarrow y Morton (1992), entre otros. De manera
arbitraria, se ha escogido implementar los primeros tres modelos. Sin
embargo, el primer modelo se implementará en dos modalidades. La
primera se hará ajustando la dinámica de tasas a la estructura de tasas
tomando la volatilidad constante y la segunda, ajustando por estructura de
tasas y de volatilidad. Black Derman Toy a volatilidad constante, es el
único modelo de no arbitraje implementado en el mercado chileno, aunque
las instituciones financieras que lo han adoptado son pocas. El resto de los
modelos se implementará de manera consistente con la curva cero y a
volatilidad constante.
Es importante notar que el principal modelo utilizado en el mercado
chileno para valorizar derivados de la tasa de interés es Black (1976). Este
es un modelo analítico que no considera la consistencia futura en la
dinámica ínter temporal de tasas. Por su simpleza es considerada el
referente en el mercado local para ser implementada en desmedro de los
modelos de no arbitraje. Por lo tanto, se implementa este modelo para ser
usado como referencia del mercado.
El objetivo principal de esta tesis es realizar un análisis costo
beneficio que indique si existe realmente una diferencia importante en los
resultados entregados por los modelos tales que estos compensen el costo
de su implementación. Para ello, se implementarán los tres modelos de no
arbitraje anteriormente mencionados y Black (1976). Estos cuatro modelos
se contrastarán mediante el cálculo del valor de la opción y las griegas de
una cartera de créditos hipotecarios mixtos con techo móvil en Chile. El
término mixto implica que en una primera etapa, la tasa que determina los
pagos es fija por un número determinado de años y luego se produce la
redefinición de tasa cada año.
De acuerdo a lo anterior, como objetivos específicos se establecen:
•
Aprender sobre la aplicación de estos modelos y estudiar el marco
teórico que los subyace.
Encontrar ventajas y desventajas de cada uno de estos modelos y
poder entregar una recomendación.
• Estudiar la estabilidad de los modelos. Se requiere ver como se
ajustan éstos ante determinados inputs. Esto quiere decir que para
determinadas estructuras de mercado, el valor de la opción no se
puede calcular ya que el árbol se indefine en el método de ajuste a la
estructura de tasas o por que pueden haber probabilidades de
transición de estados negativas. No es el objetivo proponer o corregir
el modelo usando una metodología conocida, el fin es dar a conocer
cuando sucedan estos problemas en la valorización.
• Implementar Black Derman y Toy (1990) a volatilidad constante con
un paso mensual y anual para ver si los errores de precisión son
significativos.
•
La metodología se divide en 5 partes. Las primeras 3 partes asumen
que los inputs y parámetros necesarios para realizar la valorización son
conocidos.
La primera parte consiste en modelar la dinámica de tasas de interés
de acuerdo a los procesos estocásticos que rigen los modelos a
implementar. Tal como se mencionó, la implementación de estos modelos
se realizará en un enfoque discreto o reticulado mediante árboles de tasas.
Con ello será posible simular las distintas trayectorias esperadas de la tasa a
través del tiempo.
La segunda parte consiste en calcular la opción y griegas. La
importancia de simular las distintas trayectorias esperadas de la tasa,
representada por estos árboles de tasas, permitirán definir la dinámica de
tasas y factores de descuento. Agregando la información financiera de cada
crédito de la cartera será posible determinar la dinámica de cada uno de
estos lo cual permitirá construir árboles de cuotas, saldos insolutos y
ganancia y con ello, calcular el valor presente del valor esperado de la
opción y griegas.
La tercera parte, valoriza la opción y griegas usando la fórmula de
Black (1976). El tratamiento de la opción según Black (1976) se ve en un
capítulo aparte ya que el cálculo de ésta difiere en gran parte con respecto a
la metodología utilizada en los modelos de no arbitraje.
La cuarta parte detalla el tratamiento y supuestos de todos los inputs
necesarios para la valorización de la opción y sus griegas.
La quinta parte consiste en realizar un análisis comparativo de estos
modelos en función de la estructura de marcado asociada a la fecha de la
cartera. Para realizar este análisis en el caso de la estructura de tasas, se
parametriza la curva y con ello será posible obtener variantes de la curva
original en términos de nivel, pendiente y curvatura. Para ello, se ha
escogido usar el método de Nelson y Siegel (1987). Además se varía la
volatilidad en función del nivel. De este modo, es posible ver como se
adapta cada uno de los modelos ante determinadas estructuras de mercado,
en términos de su estabilidad y el valor de la opción y griegas. Finalmente,
se entregan las conclusiones que identificarán las ventajas y/o desventajas
de cada uno de estos modelos.
Hasta la fecha, no se han encontrado trabajos realizados por
académicos nacionales usando esta metodología para valorizar este tipo de
derivados.
La estructura de este informe consta de las siguientes partes:
En el capítulo I se hace un contexto del mercado hipotecario en Chile
y se procede a explicar el producto crédito hipotecario mixto con tasa techo
móvil mediante la construcción de la dinámica de flujos y la opcionalidad
que se genera en cada fecha donde se redefine la tasa mediante teoría de
opciones. Además se presenta el marco normativo que motiva el cálculo de
la opción. El capítulo II procede a explicar el enfoque de los modelos de
tasas los cuales permiten simular la estructura temporal de tasas de interés
y por ende, aportan la data necesaria para definir el nivel de tasas y factores
de descuento para cualquier instante futuro y a cualquier plazo. En
particular, se revisan los modelos de no arbitraje y la forma de modelar la
dinámica de tasas en el tiempo de manera genérica. En el capítulo III se
detallan los distintos modelos a implementar en un marco teórico. El
capítulo siguiente muestra como se construye la dinámica del crédito en
base a sus flujos y se muestra el cálculo del valor presente de la opción y el
cálculo de griegas. En el capítulo V se calcula el valor de la opción usando
la fórmula de Black (1976). El capítulo VI se introduce la cartera de
créditos a analizar y se muestra como se obtienen los parámetros de los
distintos modelos a implementar con los supuestos que hay por detrás. El
capítulo VII muestra la metodología de trabajo para valorizar la opción y
las griegas y el análisis de sensibilidad sobre las estructuras de mercado.
Finalmente, en el capítulo VIII, se presentan los resultados más relevantes
y las conclusiones.
CAPÍTULO I
1. DEFINICIÓN Y CONTEXTO DEL DERIVADO A ESTUDIAR
1.1. Mercado Hipotecario en Chile
Según la definición de la SBIF un crédito hipotecario (C.H.) es:
“Un préstamo a mediano o largo plazo que se otorga para la compra, ampliación,
reparación o construcción de una vivienda, compra de sitios, oficinas o locales
comerciales, o para libre disponibilidad.
La propiedad adquirida queda en garantía a favor del Banco (o hipotecada) para
asegurar el cumplimiento del crédito.
Los plazos a los cuales se otorgan estos créditos son de varios años, lo cual debe
ser informado dentro de las características del crédito, debido a que hacen variar
los costos y tasas de interés.”
En Chile, en la mayoría de los casos, estos créditos se emiten en
unidades de fomento (UF) y en pocos casos, en pesos.
Los créditos hipotecarios se distinguen por el tipo de documento que da
origen a la obligación del pago y se pueden clasificar en3:
Crédito Hipotecario con Letras de Crédito: Se financia con un instrumento
que emite el banco, llamado "letras hipotecarias". Éstas pueden ser
transadas por el banco en la Bolsa de Valores o ser adquiridas por éste o
un tercero, obteniéndose así los recursos que financian el crédito otorgado
al deudor. El precio que se obtiene por la venta de estas letras varía de
acuerdo a las condiciones del mercado, por lo que puede generarse una
diferencia positiva o negativa entre el valor de la letra ("valor par") y el
precio al que ésta se transa. En la escritura debe precisarse la parte
contratante que se hará cargo o se beneficiará de esta diferencia. En caso
que resulte ser el deudor, éste deberá pagar la diferencia negativa que
eventualmente se produzca. Algunas características son:
• Plazo de crédito: superior a un año.
3
Algunos de los datos han sido obtenidos de un estudio realizado por Flores (2006).
• Monto máximo del crédito: Hasta el 75% del menor valor de
tasación del inmueble ofrecido en garantía y del precio de venta del
mismo.
• Monto máximo del dividendo: Para viviendas cuyo valor de tasación
sea menor igual a 3.000 UF, el dividendo no puede exceder el 25%
de los ingresos del prestatario.
• Período de gracia: El primer dividendo vence el mes subsiguiente a
aquel en que se celebra el contrato de crédito.
• Tasa de interés: Fija o flotante. La tasa flotante no puede superar en
más de 3 puntos porcentuales con respecto a la tasa de interés que se
aplique en la fecha en que comience la vigencia del crédito.
• Condiciones de prepago: El deudor está facultado para realizar
reembolsos parciales o totales.
• Securitización: No son susceptibles de ser securitizados.
Una descripción detallada del mercado de letras hipotecarias en Chile se
puede ver en Vucina (2004).
Mutuo Hipotecario endosable: En este caso el Banco financia el préstamo
con recursos propios. El solicitante del crédito recibe el monto aprobado y
no se genera una diferencia como puede ocurrir en los créditos otorgados
con letras hipotecarias. Este tipo de crédito puede ser transferido por parte
del banco mediante endoso, el que queda registrado en la escritura pública
respectiva. Sin perjuicio de lo anterior, la administración del crédito queda
radicada en el banco, por lo que, el canal de comunicación del deudor para
todos los efectos sigue siendo éste.
• Plazo de crédito: De uno a treinta años.
• Monto máximo del crédito: Hasta el 80% del menor valor de
tasación del inmueble ofrecido en garantía y del precio de venta del
mismo.
• Monto máximo del dividendo: No existen restricciones regulatorias
al respecto.
• Período de gracia: No puede ser superior a 3 meses después de la
fecha de otorgamiento.
• Tasa de interés: Fija o flotante.
• Condiciones de prepago: Se deben considerar la disposiciones de la
ley N° 18.010, en su artículo N° 10, para pagos anticipados,
modificados en la ley N° 19.528, artículo 3 N°5 del 04.11.1997.
• Securitización: Existe autorización expresa para la securitización de
tales tipos de créditos.
Mutuo Hipotecario No Endosable: En este caso el Banco también financia
el préstamo con recursos propios, pero a diferencia del anterior no puede
ser transferido mediante endoso. Es posible securitizar y las condiciones de
prepago también están normadas por la misma ley que los mutuos
hipotecarios endosables. En general, las condiciones de plazo, monto
máximo del dividendo, monto máximo del crédito, seguros, tasas, períodos
de gracia y otros, se ajustan a las condiciones que las partes fijen
libremente. Aquí es posible encontrar alguno de estos productos según tipo
de tasa:
• Crédito Hipotecario a tasa fija: La tasa aplicada al crédito es fija y
por lo tanto el dividendo permanece invariable durante todo el
plazo del crédito. En el caso de créditos en UF, el dividendo es
fijo pero en términos de pesos varia con el IPC
• Crédito Hipotecario a tasa variable: La tasa cambia una vez al año
de acuerdo a un índice de referencia lo cual implica que el
dividendo varía cada cierto tiempo.
• Crédito Hipotecario a tasa variable con techo móvil: Al cambiar
la tasa cada año, ésta se compara con una tasa denominada techo
y fija durante todo el plazo del crédito. La tasa a aplicar
corresponderá al mínimo entre estas dos.
• Crédito Hipotecario a tasa variable con techo fija: Al cambiar la
tasa cada año, ésta se compara con una tasa denominada techo y
fija durante todo el plazo del crédito. Si es que llega a ocurrir que
la tasa variable supera la tasa techo, entonces la tasa a aplicar se
transforma en fija durante todo el plazo residual del crédito y
corresponderá a la tasa techo.
• Crédito Hipotecario mixto: En una primera etapa, que típicamente
son 1, 3 o 5 años, la tasa aplicada al dividendo permanece fija y
posteriormente la tasa aplicada es variable.
• Crédito Hipotecario mixto con tasa techo móvil: Posee las
mismas características que el crédito hipotecario mixto solo que
en la etapa de tasa variable, cada vez que cambia ésta, la tasa a
aplicar corresponderá a un mínimo entre la tasa variable una tasa
techo que es fija.
• Crédito Hipotecario mixto con tasa techo fija: La salvedad con el
crédito anterior es que en la etapa a tasa variable, si ésta supera la
tasa techo al momento de cambio de tasa, entonces la tasa a
aplicar corresponderá a la tasa techo por todo el plazo residual del
crédito.
Dependiendo de la tasa del crédito y éste es para vivienda o fines
generales, se pueden encontrar algunas de las siguientes opciones:
• Plazos desde 5 a 40 años.
• 1 a 12 meses de gracia para el pago del primer dividendo.
• Opción de no pagar uno o dos dividendos al año a partir del
segundo año.
• Sin costo de prepago a partir del 15° mes dadas ciertas
condiciones.
• Financiamiento desde el 75% al 100% del menor valor de
tasación del inmueble ofrecido en garantía y del precio de
venta del mismo.
• Primeros 3 años solo se pagan intereses.
• Posterga un 50% del pago del crédito para pagarlo más
adelante.
La composición de la cartera de créditos ha tenido un notorio
cambio. En 1995, el 86% de los créditos hipotecarios vigentes en el
mercado correspondía a letras de crédito hipotecarias. A junio del 2006,
este porcentaje se redujo a un 35%, con mutuos hipotecarios endosables
ocupando un 10% y con mutuos hipotecarios no endosables mostrando un
notable crecimiento que los ha llevado a ocupar un 55% de la composición
de la cartera. Esto se debe a la mayor demanda en el mercado por créditos
hipotecarios, lo que ha llevado a los bancos a ofrecer productos más
variados, por lo que los mutuos hipotecarios no endosables se han visto
potenciados ya que ofrecen mayor flexibilidad que las letras hipotecarias.
En Chile, el financiamiento habitacional equivale en capital a $MM
9.773.820 lo que representa aproximadamente un 20% del total de
colocaciones bancarias. Los créditos hipotecarios para vivienda superan
largamente a los de fines generales. A
fines del 2005, había
aproximadamente un millón y medio de deudores habitacionales en
créditos de vivienda.
A diciembre del 2005, el 99% del financiamiento habitacional es
entregado por los bancos y sus filiales pese a la aparición de otros actores
como compañías de seguro y las sociedades de leasing habitacional no
bancario.
A continuación, se presentan las principales características del
mercado de los mutuos hipotecarios no endosables en función de los
institutos emisores de este tipo de créditos:
Tabla 1-1: Caracterización de los actores del mercado de mutuos hipotecarios no
endosables según el monto y el número de operaciones.
,
Participación de Mercado de los bancos en Mutuos
Hipotecarios no Endosables en términos de montos
Otros
13%
BBVA
14%
Santander
37%
Chile
15%
Estado
9%
BCI
12%
Figura 1-1: Participación de mercado relevante para bancos en el mercado de créditos
hipotecarios no endosables según montos.
En términos de montos, el líder indiscutido es el banco Santander
Santiago con aproximadamente un 37% del mercado. Sin embargo, en la
figura siguiente, se puede apreciar la cuota de mercado del número de
operaciones donde es posible ver que el que líder el mercado es el banco
Estado y esto tiene que ver principalmente con el mercado objetivo al cual
apunta éste, que es un estrato socio económico medio bajo, por lo que el
monto de sus créditos es más bajo comparativamente.
Participación de Mercado de los bancos en Mutuos
Hipotecarios no Endosables en términos del n° de
operaciones
Otros
16%
Chile
10%
BBVA
9%
Estado
30%
Santander
27%
BCI
8%
Figura 1-2: Participación de mercado relevante para bancos en el mercado de créditos
hipotecarios no endosables según número de operaciones.
Desafortunadamente, no hay información disponible sobre el mercado
de créditos hipotecarios mixtos con tasa techo móvil.
1.2. Crédito Hipotecario Mixto con Techo Móvil
En esta sección se presenta el crédito a estudiar en esta tesis. Para
efectos de este trabajo, este crédito quedará exclusivamente caracterizado
por las condiciones descritas en esta sección.
En los últimos años se ha comenzado a comercializar en el mercado
chileno un tipo de crédito hipotecario que goza de gran popularidad debido
a las ventajosas condiciones que éste ofrece a las personas o entidades que
lo contraen.
Este crédito consiste en endeudarse a una tasa variable de mercado
acotada por una tasa techo4. Es decir, se paga la tasa variable siempre y
cuando esta sea menor que la tasa techo. Si la tasa variable es mayor que el
techo, entonces se paga la tasa techo. En general, estos créditos tienen un
plazo mayor a 20 años, por lo que a mediano o largo plazo es
perfectamente posible que pudieran darse las condiciones tal que la tasa de
mercado tenga un alza considerable y por lo tanto, si no hubiera tasa techo,
el deudor debiera pagar más intereses. Sin embargo, al haber tasa techo, el
4
En Mayo del 2006 se pueden encontrar en la SBIF tasas techos ofrecidas por bancos que varían entre un
6.9% hasta un 7.9% anual.
deudor como máximo, pagará los intereses definidos por ésta. Esto es
altamente beneficioso para él, debido al ahorro generado en el no pago de
más intereses, en caso de que en el futuro las tasas sean mayores a la tasa
techo.
En comparación con créditos definidos netamente a tasa variable en
donde el riesgo de tasas lo asume en su totalidad el deudor, en este caso,
parte de este riesgo se traspasa al banco que debe asumir un costo de
oportunidad por el diferencial entre la tasa variable y la tasa techo, en caso
de que la primera tasa sea mayor a la segunda. En el caso del deudor, el
riesgo de pagar más intereses queda acotado por la tasa techo.
1.2.1. Caracterización del crédito
El crédito anterior se caracteriza de la siguiente forma al ser emitido;
Primero hay un período5 en donde el pago del crédito se determina
mediante una tasa fija. Una vez que expira esta etapa, el pago del capital
insoluto remanente en ese momento se determina mediante el mínimo entre
una tasa variable y una tasa techo que se va actualizando cada año. Este
tipo de créditos se denominan en el mercado como créditos hipotecarios
mixtos con tasa techo móvil.
El pago del crédito se produce mensualmente en donde las cuotas a
pagar en la etapa a tasa fija, quedan determinadas al momento de ser
emitido el crédito mediante esta tasa. Una vez que termina el período a tasa
fija, el pago mensual de los próximos doce meses se definirá mediante una
cuota en función de una tasa que corresponderá al mínimo entre la tasa
variable de mercado vigente en ese momento, y la tasa techo (momento de
fijación). Al fijarse la tasa variable y determinar la tasa a utilizar, se puede
asumir entonces que habrá un año más de pagos a tasa fija. Estas doce
cuotas serán iguales ya que todas se definen con esta misma tasa, saldo
insoluto y plazo residual al momento de fijación. Este momento de fijación
de la tasa se denomina fecha de repricing. Cuando se cumpla un año del
momento de fijación, entonces vendrá una nueva fecha de repricing que
definirá el pago de las próximas doce cuotas y así sucesivamente hasta que
se termine de pagar la totalidad crédito.
En el caso chileno, la tasa variable a la cual se endeuda la persona o
institución que contrae el crédito es la tasa TAB a 360 días. Típicamente, es
la tasa bancaria (TAB) en unidades de fomento (UF) ya que, por lo general,
5
Típicamente 3 o 5 años según información recogida de la SBIF.
los créditos hipotecarios están indexados a la UF para corregir por
inflación. La tasa TAB es una tasa interbancaria activa y que determina la
tasa marginal a la cual se colocaría un nuevo crédito. Esta tasa se calcula
como un promedio sobre la encuesta de la industria ponderado por tamaño.
Por el argumento anterior se asume la TAB como el costo de
oportunidad de la entidad bancaria emisora. Por lo tanto, la tasa variable
que debiera pagar el deudor será la TAB más un spread, que dependerá de
su factor de riesgo crediticio. Además, el spread del deudor es constante
durante toda la duración del crédito. Por lo tanto, se considera el spread del
deudor como la ganancia financiera del banco por sobre su costo (TAB).
La TAB tanto nominal como en UF es una tasa activa (es decir,
siempre positiva) ya que no tiene sentido endeudarse a una tasa negativa. A
lo largo del marco teórico de esta tesis, se hará mención a la tasa variable
de mercado como r, para no caracterizarla exclusivamente como la tasa
TAB.
A continuación se explica detalladamente el flujo de pagos que
caracteriza este crédito. Sin pérdida de generalidad, se analiza una parte del
total de los flujos. Suponiendo que se ha emitido el crédito hoy, sea:
- t1: Tiempo que duran los pagos determinados a tasa fija al momento
de emitirse el crédito. Al igual que el plazo original del crédito, este
período es siempre un entero al momento de emitirse el crédito, por
ejemplo, 3 años, 4 años, etc. ¾ años a tasa fija no es válido. En el
futuro, el plazo residual a tasa fija y el plazo residual del crédito si
pueden ser fracciones de años. La condición es que la diferencia
entre el plazo residual del crédito y el plazo residual de pagos a tasa
fija es siempre un número entero en años.
- t2, t3, t4 : Fechas de repricing. ocurre solamente una vez al año y así
sucesivamente hasta tn en donde ocurre la totalidad de pago del
crédito. Entre cada ti hay 12 meses de diferencia (incluyendo el
tiempo entre t1 y t2).
Gráficamente el flujo de pagos (representado por las flechas
verticales) queda representado por la siguiente figura:
Figura 1-1-3: Dinámica de pagos.
Hay que recordar que las cuotas se pagan mensualmente, por lo
tanto, las flechas asociadas a las cuotas siempre caen en el próximo mes
con respecto a la flecha anterior.
La figura 1-1 se interpreta así:
Hoy, el banco o institución financiera presta el monto requerido
definido como el nocional. Mediante una anualidad en función de la tasa
fija, el plazo del crédito y el nocional, se determinará la cuota a ser pagada
por el deudor mes a mes hasta que expire el plazo a tasa fija t1. Por lo tanto,
durante t1 se pagarán 12*t1 cuotas iguales, mes a mes. Una vez que se
cumple el plazo a tasa fija, comienzan las fechas de repricing en donde
quedará fijada la cuota mensual válida por los siguientes 12 meses
mediante una anualidad en función del mínimo entre la tasa variable r(t1)
vigente en t1 y por ende, desconocida hoy, más el spread sp del deudor y la
tasa techo K, además del saldo insoluto remanente en t1 y el plazo residual
del crédito en t1.
Cuando pase el año se llegará a t2. Ahí ocurrirá el próximo repricing
y se determinará la cuota mensual que se pagará en los próximos 12 meses
existentes entre t2 y t3 en función del mínimo entre la tasa r(t2) más sp y K,
además del saldo insoluto remanente en t2 y el plazo residual del crédito en
t2. Esto ocurrirá sucesivamente hasta que llegue el período de maduración
del crédito, donde se fijarán las últimas 12 cuotas que determinarán el pago
total del crédito. El detalle de estos cálculos se verá en las próximas
secciones.
Por lo tanto, en cada fecha de repricing el deudor va a definir el pago
de sus próximas 12 cuotas con la tasa definida como el mínimo entre la tasa
variable vigente más su spread y la tasa techo. Notar que la tasa techo es
siempre la misma durante toda la duración del crédito.
Condiciones mencionadas en la sección 1.1 como no pago de
dividendos, opciones de prepago, o incluso no mencionadas como la
posibilidad de que el deudor entre en mora, renegocie o incumpla en el
pago del crédito, entre otros, no son consideradas en esta tesis. Solo se
tomará en cuenta la caracterización del crédito explicada en toda la sección
1.2.
1.2.2. Teoría de opciones en créditos hipotecarios con techo
Este tipo de créditos pueden ser visualizados como un derivado sobre
la tasa de interés ya que dependiendo del valor que tome la tasa al
momento de repricing es que se genera una opción incrustada en el crédito.
Esta opción equivale a la diferencia entre lo que el deudor hubiera
pagado si es que no hubiese existido una tasa techo y lo que realmente
paga, es decir, considerando el mínimo entre la tasa variable fijada más el
spread y la tasa techo. Claramente, si la tasa variable más el spread no
exceden el techo, la opción vale cero.
En términos más formales, opciones de tasas techo se denominan
caps, lo cual implica que la tasa de pago acordada queda acotada
superiormente, por una tasa techo.
Notar que se produce una opción para todas las fechas futuras de
repricing. La opción en cada fecha de repricing se denomina caplet y la
secuencia entera de los caplets representa el valor de la cap, que en este
trabajo, también se denominará valor de la opción. A pesar de que en cada
fecha de repricing se produzca una opción, cuando se hable del valor de la
opción se referirá al valor de la cap, a menos que se indique lo contrario.
Dado que cada año se define el pago al fijarse la tasa para los
próximos doce meses es que la fecha de repricing puede verse como el
período de “expiración”6 por lo que se puede considerar cada caplet como
una call de tipo europeo.
Siguiendo la notación de esta sección, se puede demostrar que en la
fecha de repricing t, la componente de opcionalidad incrustada en el
crédito para un pago particular (un mes cualquiera dentro de ese año) se
calcula como una call de tipo europeo:
Call (t ) = max{0, r (t ) + sp − K }
(1.1)
La ecuación (1.1) se puede interpretar como una posición corta en
una call ya que esta representa el costo de financiarle la cobertura de tasas
al deudor. De manera gráfica, esto se puede apreciar en la siguiente figura:
Figura 1-1-4: Valor de la call determinado por la ecuación (1.1) para un determinado
mes de un caplet en función del nivel de r al momento de fijación.
La línea remarcada en negro en la figura 1-1-4 muestra el valor de la
call para un determinado mes de un caplet. Esta opción por lo tanto, genera
un costo para el banco ya que debe asumir el costo de oportunidad por el no
pago de la tasa r de mercado más el spread lo cual análogamente, se puede
ver como el ahorro para el deudor por el no pago de intereses definido
6
Es decir, el período acordado de pago.
como r+sp-K en el caso de que la tasa variable más el spread excedan la
tasa techo al momento de fijación o fecha de repricing.
El objetivo es valorizar el conjunto de opciones en una cartera de
créditos hipotecarios mixtos con techo móvil. Cada crédito de esta cartera
puede tener spreads, plazos residuales a tasa fija y del crédito distintos,
entre otros. En capítulo VI se describe con detalle la información financiera
de la cartera de créditos a valorizar. A continuación, se describe el cálculo
de la opción incrustada en el crédito.
1.2.3. Incorporando la opción incrustada en el crédito
Sea:
- s: meses.
- t: fecha de repricing cualquiera, equivalente a un mes s particular del
año.
- r(t): Tasa variable de mercado anual, compuesta anualmente, vigente
en t y por lo tanto, desconocida hoy. Esta tasa se fija en t, para
determinar la cuota que será pagada mes a mes por los próximos 12
meses.
- sp: Spread crediticio del deudor a cobrar por sobre la tasa cero
cupón.
- SI(s): Saldo insoluto al comienzo de s.
- I(s): Interés a pagar por sobre el saldo insoluto en s.
- K: Tasa techo máxima a pagar por el deudor.
En un crédito hipotecario mixto con techo, dado t, los intereses que
recibe el banco o la institución financiera para un mes s posterior a t pero
anterior a t+12, se determinarán mediante el mínimo entre la tasa techo y
r(t) más el spread:
I ( s ) = SI ( s) * min{r (t ) + sp, K }
(1.2)
Sumando y restando r(t) + sp y arreglando términos:
I ( s ) = SI ( s ) * ([r (t ) + sp − (r (t ) + sp )] + min{r (t ) + sp, K })
I ( s) = SI ( s) * [r (t ) + sp] + SI ( s) * min{K − (r (t ) + sp ),0}
I ( s) = SI ( s) * [r (t ) + sp] − SI ( s ) * max{0, (r (t ) + sp) − K }
(1.3)
Aquí claramente se puede apreciar la opción que corresponde al
segundo término de (1.3) y corresponde a una posición corta en una call, tal
como se aprecia en la ecuación (1.1), luego en cada mes s, se produce una
opción que viene incrustada en el crédito:
I ( s ) = SI ( s) * [r (t ) + sp] − SI ( s) * call (t )
(1.4)
De (1.3) es fácil ver que si r (t ) + sp < K , la call es igual a cero y el
banco recibe en s:
I ( s ) = SI ( s ) * [r (t ) + sp ]
(1.5)
Bajo el mismo razonamiento anterior, si r (t ) + sp > K , la call vale
r (t ) + sp − K y el banco recibe:
I ( s ) = SI ( s ) * K
(1.6)
El flujo de intereses definido en (1.4) es el mismo para los próximos
doce meses posteriores a una fecha de repricing, por lo tanto, lo
verdaderamente relevante es analizar que sucede en cada momento de
fijación, que es cuando se determinan estos flujos, luego, esta opcionalidad
se debe analizar para cada caplet, es decir, al momento en que se fija la
tasa, y existirán al momento de pago a tasa variable, tantas fechas de
repricing como años residuales de crédito.
1.3.
Marco Normativo
El siguiente informe se enmarca dentro de las normas financieras de
operación, intermediación y control del sistema financiero y mercado de
capitales sobre el control del crédito y captación, del compendio de normas
financieras en relación a las operaciones activas y pasivas de los bancos e
instituciones financieras presentadas por el Banco Central de Chile en el
capítulo III.B.2. y el capítulo 12-9 de la Superintendencia de Bancos e
Instituciones Financieras (SBIF).
Esta se refiere a que las instituciones financieras regidas por esta
normativa tienen regulada su exposición a las pérdidas que puedan incurrir
como resultado de cambios adversos en las tasas de mercado, moneda ó
unidades (índices) de reajustabilidad que están expresadas en los
instrumentos, contratos y demás operaciones que registren en el activo o en
el pasivo. Dicha exposición deberá mantenerse en todo momento conforme
a los límites establecidos en esta normativa. En el caso particular de los
créditos hipotecarios mixtos con tasa techo móvil, es necesario medir la
exposición a los riesgos de tasas de interés.
Se propone una metodología estandarizada para la medición de la
exposición de estos riesgos, aunque la SBIF permite al banco o institución
financiera escoger el modelo a implementar para incorporar las opciones
incrustadas. Eso sí, el modelo adoptado por el banco o la institución
financiera deberá pasar estándares de calidad mínimos y ser aprobado por
el organismo fiscalizador en base a criterios técnicos y comerciales7.
Para medir estos riesgos, es necesario cuantificar los flujos asociados
a la brecha temporal existente entre flujos de activos y pasivos de este
crédito que generan requerimientos netos de liquidez a fin de que la
institución pueda cumplir oportunamente con sus obligaciones financieras
conforme a los respectivos vencimientos, tanto en condiciones normales
como en situaciones excepcionales debido a cambios no previstos en las
condiciones generales de mercado o debido a alguna situación particular de
la institución. Algunos de los inputs necesarios para realizar esta
cuantificación, dependerán del valor de la dinámica del crédito y más aún,
de las griegas (y por lo tanto, claramente también del valor de la opción)
generadas por el modelo escogido.
Se exige implementar una política de administración de liquidez en
concordancia con las normas y criterios sobre evaluación de gestión y
solvencia establecidos por la SBIF. Esto permite adoptar medidas cuando la
situación de liquidez se aparte de la política aprobada y ponga en riesgo el
oportuno cumplimiento de las obligaciones de la institución.
Lo anterior tiene su fundamento en relación a los fines declarados en
Basilea (1996), que sugiere un estándar internacional de “buenas prácticas”
para cuantificar el capital necesario de un banco. Luego, una posible
fluctuación en las estructuras de mercado implica una exposición al riesgo
de tasas de interés8 que puede conllevar a pérdidas no esperadas. La
cuantificación de estos riesgos permitirá levantar el capital necesario de
acuerdo a los criterios establecidos en los compendios financieros
anteriormente mencionados que permita a la institución financiera tener el
respaldo financiero que haga frente a estas posibles pérdidas.
7
Circular N°3.325 de la SBIF, emitido el 18-7-2005.
También hay un riesgo de reajustabilidad ya que típicamente los créditos hipotecarios están indexados a
la Unidad de Fomento (UF). En este informe se omite este análisis.
8
Cabe destacar entonces, que la medición de este capital necesario es
un trabajo complementario al realizado en esta tesis y que dependerá en
gran parte de la valorización de la dinámica del crédito, la opción y sus
griegas que servirán como inputs y que dependerán del modelo
implementado.
CAPÍTULO II
2.
MODELOS DE TASAS
2.1.
Introducción a la teoría de modelos de tasa de interés
Los modelos de tasas de interés son esenciales para valorizar
derivados de la tasa. Lo primero que asume este tipo de modelos es que la
evolución de las tasas de interés se encuentra inmersa en un ambiente
estocástico. Esto se refiere con la incertidumbre de saber en el futuro cuál
será el valor de la tasa. Es por ello que se asume una distribución de
probabilidad para la tasa de interés.
Esto es consistente con la forma débil de la hipótesis de eficiencia de
los mercados financieros en el cual cualquier patrón en precios detectado y en consecuencia tasas - es destruido por un mercado eficiente, luego es
imposible definir un patrón futuro para el nivel de la tasa a ciencia cierta.
A medida que el mercado es afectado por nueva información, los precios se
reajustan de acuerdo a las nuevas expectativas. Como la aparición de nueva
información ocurre de manera aleatoria, entonces la variación de precios
también lo debe ser.
Los modelos que simulan el comportamiento futuro de las tasas de
interés mediante un proceso estocástico se denominan modelos de la tasa
corta, que es el retorno obtenido en un tiempo infinitesimalmente corto.
Estos modelos son ampliamente usados para valorizar instrumentos
derivados que dependen del comportamiento que siga la tasa como caps,
floors, opciones europeas sobre bonos o swaps de tipo europeo sobre
bonos, entre otros. El principal supuesto, es que el proceso estocástico que
sigue la tasa se encuentra inmerso en un mundo neutro al riesgo según
Black y Scholes (1973). Esto significa que los individuos son indiferentes
al riesgo, es decir, no exigen una prima por riesgo y por ende, todos los
activos deben rentar la tasa libre de riesgo9.
Definiendo la tasa corta igual a r, en el tradicional mundo neutro al
riesgo, en un período muy corto entre t y ∆t, inversionistas ganan en
promedio r(t)∆t.
9
Ver Hull (2004). Este autor recomienda para un estudio más detallado de la teoría de valoración neutra
al riesgo a Cox, J.C y S.A. Ross(1976) y Smith (1976).
Por lo tanto, a partir de r, es posible deducir el precio teórico de un
bono cero cupón para cualquier instante del tiempo. Usualmente, se define
P(t,T) como el precio en t de un bono cero cupón que paga $1 al momento
de su maduración T. Si se considera r * como el valor promedio de r entre t
y T, el valor del bono en t será igual a:
P(t , T ) = Eˆ [e − r*(T −t ) ]
(2.1)
En donde Ê representa el valor esperado del bono.
La ventaja de usar r, es que no es necesario determinar directamente
la curva de expectativas del agente económico ya es que al ser un mundo
neutro al riego, el precio del riesgo de mercado es cero y por lo tanto, los
cálculos se simplifican ya que cualquier flujo de caja futuro puede ser
valorizado descontando el valor esperado de sus flujos a la tasa libre de
riesgo. La formulación de la teoría de valorización neutra al riesgo se debe
a Ross (1976).
Sin embargo, para poder construir la dinámica de la tasa corta, es
necesario definir los parámetros que rigen el proceso estocástico que sigue
r. Para ello, se deben analizar estructuras de mercado que supuestamente
también sean libres de riesgo en el mundo real (adverso al riesgo). En
Chile, el Banco Central poseen los riesgos crediticios más bajos de la
economía. Usualmente, los retornos que generan los instrumentos emitidos
por esta institución se consideran libres de riesgo ya que la probabilidad de
default es prácticamente despreciable. En consecuencia, a partir de estos
instrumentos es posible generar las estructuras de mercado y por lo tanto,
los inputs relevantes para definir la dinámica de la tasa corta.
En la práctica, la tasa que determina los pagos del crédito es la tasa
TAB anual. Por lo tanto lo ideal sería obtener estructuras de mercado de la
tasa TAB. Esto presenta dos problemas:
Esta curva de mercado no existe ya que en la práctica, esta tasa tiene
un plazo máximo de un año. Lo cual es contraproducente en la
valorización ya que por lo general, estos créditos tienen plazos
mayores a veinte años por lo que se necesitan estructura de mercado
a esos plazos.
• La tasa TAB no es libre de riesgo ya que tiene un retorno mayor a
otros papeles como, por ejemplo, del Banco Central.
•
Estos dos problemas se tratarán con mayor detalle en el capítulo VI.
De aquí en adelante se asume que existen estructuras de mercado para la
tasa TAB que están bien definidas, es decir, se encuentran disponibles para
todos los plazos relevantes y son libres de riesgo.
Por lo tanto, en el mundo real, estos retornos libres de riesgo se
determinan a partir de los precios de los bonos libres de riesgo transados en
el mercado. Si se considera la tasa R(t,T) como la tasa de interés compuesta
continuamente de un bono cero cupón de mercado libre de riesgo P´(t,T) en
t con maduración en T, entonces:
P´(t , T ) = e − R (t ,T )(T −t )
(2.2)
de forma tal que
R (t , T ) = −
1
ln P(t , T )
T −t
(2.3)
Luego P = P´ y usando la ecuación (2.1) con (2.3) se llega a que:
R (t , T ) = −
1
ln Eˆ [e − r (T −t ) ]
T −t
(2.4)
(2.4) implica que para determinar la dinámica de tasas definida por
R(t,T) basta determinar el logaritmo natural del valor esperado de la tasa
corta para el intervalo de tiempo entre t y T. Por lo tanto, una vez definido
el proceso estocástico para r, la estructura de curvas cero al inicio y su
evolución a través del tiempo quedan completamente caracterizadas. Un
desarrollo formal de la teoría neutra al riesgo se puede apreciar en Shreve
(2004). Una versión para principiantes puede ser vista en Hull(2005).
2.2.
Comportamiento estocástico de las tasas
En esta sección se muestra entonces como se define el proceso
estocástico para r. Para la tasa corta, típicamente se asumen procesos de
tipo Markovianos10, lo que implica que para predecir su evolución futura la
información relevante compete a su estado actual y no a la información
pasada.
En esta tesis se abordan modelos de un factor, lo cual envuelve una
sola fuente de incertidumbre que viene dado por el nivel futuro de la tasa.
10
Ver Hull(2003) ó Ross (1996)
Sin embargo, estos modelos se pueden generalizar a n factores. En un
enfoque reticulado, la implementación de modelos multi factoriales puede
llegar a ser muy compleja por lo que su implementación se basa
típicamente en simulación de montecarlo11.
En este caso particular, el proceso estocástico de un factor que sigue
la tasa corta se conoce como un proceso de Ito, tal que:
dr = µ (r , t )dt + σ (r , t )dz
(2.5)
En donde µ es la media de la tasa corta, σ representa la desviación
estándar de la tasa corta y z(t) es un proceso de Wiener (usualmente
llamando Movimiento Browniano) que representa la incertidumbre y está
definido como:
z (t ) = ε * t
(2.6)
En donde ε se distribuye Normal con media 0 y varianza 1. Por lo
tanto, z(t) se distribuye Normal con media 0 y varianza t.
Si µ y σ son constantes, al distribuirse ε como una N(0,1), dr se
distribuye N(µ,σ2). Sin embargo, para casos más generales, el hecho de que
µ y σ pueden tomar distintas formas funcionales implica que la distribución
de probabilidad del incremento de tasas dr pueda distribuirse de distinta
forma. Típicamente puede ser normal, lognormal, chi cuadrado, etc.
La ecuación (2.5) se puede interpretar de la siguiente forma; la
variación de la tasa corta depende de una componente determinística
(tendencia o drift) proporcional a la variación del tiempo y una componente
estocástica o el ruido que se produce en torno a esa tendencia a través del
tiempo (dz) reflejado en la desviación estándar (volatilidad o difusión).
Por último, es importante notar que la evidencia empírica
internacional sugiere que las tasas revierten a un valor de equilibrio, por lo
que la implementación de modelos reticulados con reversión a la media se
hacen necesarios. El argumento es el siguiente; cuando las tasas son altas,
la economía se estanca y las inversiones declinan. Esto implica que hay
menos demanda por dinero por lo que las tasas bajan. Cuando las tasas
están bajas, es relativamente barato invertir, por lo que el exceso de
demanda por dinero implica que las tasas deberían debieran subir.
11
El modelo más genérico que se conoce es el de Heath, Jarrow y Morton (1992). Sin embargo, este
modelo asume que el proceso que sigue la tasa corta no es Markoviano .
A continuación se aprecia como la tendencia puede reflejar esta
reversión, para un proceso particular de la tasa corta:
dr = α ( µ − r )dt
(2.7)
Al resolver la EDO (2.7) se obtiene:
r (t ) = µ + (r0 − µ )e −αt
(2.8)
Claramente, en t = 0, el valor de la tasa corta es r0, es decir, el valor
de la tasa spot, y α es la tasa de reversión a la media. Notar que si t→∞, r =
µ, lo cual se puede interpretar como el nivel de la tasa a largo plazo. Lo
anterior se puede apreciar en la figura 2-1.
Si se agrega la componente estocástica a (2.8), el proceso para r
queda definido por:
dr = a ( µ − r )dt + σdz
(2.9)
En valor esperado, el proceso descrito en (2.9) sigue cumpliendo las
características descritas de reversión a la media.
Figura 2-1: Reversión a la media.
2.3.
Modelos de no arbitraje
Los modelos de tasas se pueden subdividir en 2 ramas.
La primera y por cierto la más antigua, son los modelos de equilibrio.
El primero modelo propuesto se debe a Vasicek (1977) que describe el
proceso que sigue la tasa corta según la ecuación (2.9). Otros modelos de
equilibrio más sofisticados son los de Cox, Ingersoll y Ross (1985) ó Fong
y Vasicek (1992).
Sin embargo, el problema de los modelos de equilibrio es que la
valorización de derivados de tasas no incluye información de mercado
suficiente lo que puede llevar a valorizar de manera inapropiada el
instrumento ya que la tasa corta no se ajusta temporalmente a la estructura
de mercado observada si no a una curva teórica definida por los parámetros
del proceso.
Es por ello que a partir del trabajo de Ho Lee (1986) se empieza a
desarrollar la segunda rama de modelos de tasas llamados modelos de no
arbitraje (también conocidos como consistentes con las estructuras de
mercado).
Estos modelos están diseñados para ser consistentes con la
estructura temporal de mercado vigente ya que consideran la tendencia
como dependiente del tiempo12. Esto es por que la forma inicial de la curva
cero rige la trayectoria promedio tomada por la tasa. Si la curva cero tiene
pendiente positiva entre t1 y t2, r tiene una tendencia positiva entre estos
tiempos. Si la curva cero tiene pendiente negativa, entonces r tiene
tendencia negativa. Es decir, el proceso que sigue r no queda determinado
solamente por el drift y la difusión si no también toma en cuenta las
expectativas de mercado, representadas por las curvas cero de modo de
valorizar instrumentos financieros de manera consistente a éstas.
Los modelos de no arbitraje se dividen en 2 familias. La primera
reside en modelos que ajustan solo la tendencia de manera de ser
consistentes con la estructura de tasas y toman la volatilidad constante
como un parámetro dentro del proceso estocástico que sigue la tasa. Estos
modelos de no arbitraje se pueden caracterizar como modelos de
volatilidad equilibrada.
La segunda familia son modelos que automáticamente se adaptan a
las estructuras de mercado observadas, por lo cual, son consistentes con las
estructuras de tasas y también de volatilidades.
12
En contraste con los modelos de equilibrio en que la tendencia no depende del tiempo.
Estos modelos también han tenido sus críticas. Gibson et al. (2001)
dice que ciertas restricciones implicarían que estos modelos no serían
consistentes con la dinámica histórica de tasas y además, los parámetros
estimados día a día podrían ser poco estables lo cual rompería la
consistencia estadística del modelo.
Aunque tanto los modelos de equilibrio como los de no arbitraje
permiten determinar la dinámica de tasas, a diferencia de los modelos de
equilibrio, los modelos de no arbitraje usan la estructura de tasas y
volatilidad vigente como un input y se ajustan a éstas de tal forma que la
dinámica de tasas generada por el modelo para cualquier instante de tiempo
(t,T) sea consistente con las estructuras de mercado actuales. En cambio en
los modelos de equilibrio, las estructuras de mercado vigentes son un
output.
Es por ello que al incluir un drift y una difusión que dependen del
tiempo, varios modelos de equilibrio pueden ser convertidos a modelos de
no arbitraje. Lo relevante es que estos últimos son los más utilizados en
mercados desarrollados.
Sin embargo, para implementar estos modelos y sus supuestos, se
necesitan inputs que efectivamente representen las estructuras de mercado.
Obtener éstas de un mercado poco desarrollado como el chileno puede ser
muy complejo ya que la cantidad de transacciones es baja lo que puede
llevar a que no haya información sobre estructuras de mercado para
determinados plazos todos los días. Esto generaría distorsiones en la
valorización a mercado del derivado ya que los inputs no están
representando de manera exacta las expectativas de mercado. Uno de los
problemas entonces es poder encontrar la data disponible para encontrar las
estructuras de mercado vigentes. Típicamente se deben realizar
interpolaciones para poder completar estas curvas. Dentro de los más
utilizados están los llamados modelos estáticos que realizan interpolaciones
para completar la curva para una fecha determinada. Entre los más
populares se encuentran Nelson y Siegel (1987), Svensson (1994), o
métodos de Splines como el desarrollado por McCulloch (1971). Una
descripción detallada del marco teórico y su implementación se puede
apreciar en Molinare (2002) para determinar la estructura de tasas a partir
de pagarés reajustables con pagos en cupones del Banco Central. Una
metodología más compleja incluye filtros de Kalman. Esta metodología
recursiva permite realizar estas interpolaciones utilizando no solo la
información de una determinada fecha si no también considerando su
correlación con información histórica. Una descripción de esta metodología
se muestra y aplica en Manieu (2005) para estimar la dinámica de la curva
cero real en Chile. En esta tesis se asumirán mercados completos y la data
financiera será obtenida de la base de datos de un banco local. Nelson y
Siegel (1987) se retoma en el capítulo VII.
Hay que notar que también existen modelos generados a partir de las
estructuras de mercado pero que difieren de los modelos de tasas ya que
asumen que la tasa es determinística, pero la variable que genera la opción
es estocástica. En el capítulo V, debido a Black (1976) se habla de manera
más detallada de este tipo de modelos.
En esta tesis se desarrollarán tres modelos de no arbitraje a
volatilidad equilibrada, un modelo consistente con la estructura de tasas y
de volatilidades y un modelo generado a tasa determinística.
En la siguiente figura se puede apreciar un resumen de la familia de
modelos que permiten valorizar derivados de la tasa de interés. El grado de
complejidad aumenta de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha. Entre
paréntesis y en letras cursivas se aprecia el nombre de los modelos que se
implementan y la familia a la cual pertenecen.
Figura 2-2: Familia de modelos para valorizar derivados de la tasa de interés.
CAPÍTULO III
3. MODELOS A IMPLEMENTAR
Hoy en día, la literatura presenta una amplia gama de modelos
consistentes con las estructuras de mercado. Se han escogido 4 modelos a
implementar debido a su gran popularidad entre académicos y
profesionales.
La metodología consiste en implementar estos 4 modelos en un
enfoque reticulado o lattice usando árboles de tasas.
La tabla 3-3-1 muestra la E.D.E. del proceso que rige la tasa para
cada uno de estos modelos y sus principales características.
Modelo
Black Derman Toy 1
Árbol
Binomial
Proceso
Distribución de r
Lognormal
Consistente13
ET
d ln r = θ (t )dt + σdz
d ln r = φ (t )dt + σ (t )dz Lognormal
Black Derman Toy 2 Binomial
ET y EV
Hull & White
Trinomial dr = [θ (t ) − αr ]dt + σdz Normal
ET
dr = θ (t )dt + σdz
Normal
ET
Ho Lee
Binomial
Tabla 3-3-1: Modelos consistentes con las estructuras de mercado a implementar y sus
principales características.
Black Derman Toy no tiene solución fundamental del la E.D.E., por
lo que el cálculo del valor de la opción debe realizarse numéricamente. En
el caso de Hull y White y Ho Lee, es posible encontrar soluciones
fundamentales para la E.D.E. Luego, estos procesos tienen solución
analítica con lo que es posible determinar la dinámica de la tasa y de la
opción de manera analítica. Sin embargo, se decide continuar con el
enfoque reticulado.
Un problema en Ho Lee y Hull y White es que al distribuirse el
proceso Normal, las tasas pueden tomar valores negativos con una
probabilidad positiva. Esto es contraproducente con la evidencia empírica,
ya que la tasa TAB es una tasa activa. La ventaja de Hull and White es que
al haber reversión a la media, la probabilidad de tasas negativas es mucho
menor.
A continuación se describe en detalle el marco teórico de cada uno
de estos modelos para su implementación. Esta es una extracción de la
13
ET = Estructura de tasas. EV = Estructura de volatilidad.
metodología sugerida por Clewlow y Strickland (1998). La convención de
tasas a utilizar son tasas compuestas anualmente, base 30/360. Esto es
válido para todos los modelos a menos que se indique lo contrario.
3.1.
Black Derman Toy
El primer modelo a implementar para estimar la estructura temporal
de tasas de interés es el propuesto por Black, Derman y Toy (1990) (BDT),
muy popular en EE.UU. y ampliamente usado por profesionales y
académicos.
A continuación se describe BDT en términos generales y en la
sección 3.1.1 y 3.2.2 se describe en particular BDT 1 y BDT 2
respectivamente.
Este es un modelo de un factor que permite ajustar la estructura
observada de tasas de interés así como la estructura de volatilidades de la
tasa spot14.
Algunos supuestos que contempla la teoría de BDT implican
cambios en los retornos de los bonos perfectamente correlacionados,
retornos esperados en un período iguales (mundo neutro al riesgo) y la tasa
corta se distribuye log normal. Esto previene tasas cortas negativas.
Este modelo se desarrolla algorítmicamente, describiendo la
evolución de la totalidad de la estructura temporal en un enfoque discreto
de tiempo mediante un marco de aplicación binomial de tipo reticulado15.
El objetivo es construir un árbol binomial para la tasa corta de forma
tal que el árbol automáticamente entregue la función de retornos observada
y las volatilidades de los diferentes retornos.
Jamshidian (1991) muestra que en el continuo, el nivel de la tasa
corta en BDT se comporta de la siguiente forma:
r (t ) = U (t )eσ (t ) z (t )
(3.1)
Con U(t) definida como la mediana de la distribución lognormal en
un instante t, σ(t) es el nivel de volatilidad de la tasa corta y z(t) representa
14
15
Recordar que el análisis se sustenta en un mundo neutro al riesgo
También denominado Lattice
el nivel del movimiento Browniano. Para un desarrollo más acabado sobre
este tipo de distribuciones ver Aitchson y Brown (1957).
Tomando el logaritmo natural en (3.1)
ln r (t ) = ln U (t ) + σ (t ) z (t )
(3.2)
Y diferenciando, se obtiene:
d ln r (t ) =
∂ ln U (t )
dt + σ (t )dz (t ) + z (t )σ ´(t )dt
∂t
(3.3)
Despejando z(t) de (3.2) y reemplazando en (3.3),

 ∂ ln U (t ) σ ´(t )
d ln r (t ) = 
[ln r (t ) − ln U (t )]dt + σ (t )dz (t )
+
σ (t )

 ∂t
(3.4)
Definiendo
θ (t ) =
∂ ln U (t ) σ ´(t )
−
ln U (t )
∂t
σ (t )
(3.5)
Se obtiene BDT:


σ ´(t )
d ln r (t ) = θ (t ) +
ln r (t )dt + σ (t )dz (t )
σ (t )


(3.6)
d ln r (t ) = φ (t )dt + σ (t )dz (t )
La ventaja de (3.6) es que permite entender algunos supuestos
implícitos en el modelo. BDT incorpora dos funciones dependientes del
tiempo, Ø(t) y σ(t), escogidos de forma tal que el modelo se ajusta a la
estructura de tasas spot y a la estructura de volatilidades de la tasa corta.
En este modelo, la variación en la tasa corta se distribuye lognormal,
lo cual implica que las tasas no pueden ser negativas. Por ende, una vez que
Ø(t) y σ(t) son escogidos, la futura volatilidad de la tasa corta queda
completamente determinada.
Una consecuencia negativa de lo anterior es que para ciertas
especificaciones de σ(t) la tasa corta puede no revertir a la media.
El modelo tiene la ventaja que la unidad de volatilidad es en
porcentaje, lo que está enmarcado dentro de las convenciones usuales de
mercado.
Desafortunadamente, debido a la Log Normalidad, no existen
soluciones analíticas para el modelo por lo que se requieren procedimientos
numéricos para derivar el árbol de la tasa corta y correctamente entregar
las estructuras temporales de mercado correspondientes.
Muchos profesionales prefieren ajustar solamente la estructura de
tasas, lo cual implica dejar constante la volatilidad futura de la tasa corta, lo
que implica que (3.6) se puede expresar como:
d ln r (t ) = θ (t )dt + σdz (t )
(3.7)
La razón por la cual algunos profesionales prefieren usar (3.7) tiene
que ver con la simplicidad de los modelos de un factor, que no pueden
generar una amplia variedad de estructuras temporales para la volatilidad
debido a la simpleza de su estructura estocástica. Es por ello que la curva
de volatilidades generada está restringida y puede ser bastante irreal con la
evolución futura de la estructura de volatilidades. Los modelos de dos
factores en este sentido presentan una ventaja ya que pueden construir
estructuras de volatilidades más diversas, tal como se muestra en Clewlow
y Strickland (1998).
3.1.1. Construyendo árboles para tasas cortas con BDT
Desafortunadamente, para modelos log normales, se pierde el
tratamiento analítico. El enfoque a utilizar para valorizar derivados de la
tasa de interés consiste en discretizar el modelo continuo y trabajar con
árboles binomiales sobre la tasa corta que deberán ser construidos hasta el
período de maduración del instrumento subyacente al derivado.
Se supone que las curvas de tasas y volatilidades vigentes (t = 0) ya
han sido especificados, es decir, ya se han determinado los precios de los
bonos de descuento y sus asociadas volatilidades para cada ∆t. Para este
modelo, se asumen las probabilidades libres de riesgo16 iguales a ½.
16
Se denominan probabilidades libres de riesgo ya que independiente del estado de la naturaleza en que la
tasa corta se encuentre, el valor presente del valor esperado de los flujos debe rentar la tasa libre de riesgo
Cabe constatar, que por definición, la tasa corta inicial r es el retorno
de un bono que madura al final del primer período ∆t. El siguiente paso
consiste en determinar rU y rD en los nodos que se denominarán U y D, para
poder ajustarlas curvas iniciales especificadas.
Para poder ajustar las curvas iniciales de tasas se necesita que el
árbol correctamente valore el precio de un bono a 2 períodos, es decir, un
bono que valga $1 en cada uno de los 3 períodos en t = 2. (rUU, rUD, rDD).
Esto queda representado gráficamente en la figura 3-1.
Figura 3-1: Primeros tres pasos en un árbol binomial para la tasa corta.
Ahora, para ajustar la curva inicial de volatilidad en cada paso del
tiempo se necesita satisfacer la siguiente relación:




retorno arriba 
1
σ = ln
2
retorno abajo 
(3.8)
donde retornoarriba y retornoabajo están determinados por el árbol como
los rendimientos vistos en los nodos U y D respectivamente.
Las tasas rU y rD son escogidas de acuerdo a un proceso de prueba y
error en base a una técnica de búsqueda numérica para satisfacer estos 2
requerimientos17.
17
Ver Black, Derman y Toy (1990)
El resto del árbol se llena análogamente. Las tasas rUU, rUD y rDD son
escogidas de forma que se ajusten al precio y a la volatilidad del
rendimiento de un bono a tres períodos. Según Black, Derman y Toy
(1990), se puede usar la siguiente relación para limitar la búsqueda a dos
tasas cortas en vez de tres:
2
rUU / rUD = rUD / rDD ⇒ rUD
= rUU rDD
(3.9)
Por lo que rUD queda determinado por las otras 2, lo que típicamente
garantizará una solución única.
Se procederá a usar la técnica de inducción hacia adelante
implementada por Jamshidian (1991) para construir el árbol de manera
eficiente.
Se considera el tiempo t = i y se consideran j estados correspondiente
a los nodos ramificados del árbol para cada i, por lo tanto, para el tiempo i
habrán (i+1) estados j = -i, -i+2, ..., i-2, i. En i = N, j tiene una distribución
normal centralizada con media 0 y varianza N. De este modo, j ∆t se
distribuye normal con media 0 y varianza t, lo cual es lo mismo que un
paseo al azar18, lo que implica que al tender ∆t a cero el proceso binomial
j ∆t converge al proceso de Wiener z(t).
Usando los resultados anteriores, se representa el nivel de la tasa
corta de la ecuación (3.1) en el árbol como:
ri , j = U (i )e σ (i ) j
∆t
(3.10)
es decir, reemplazar t por i y z(t) por j ∆t . Al referirse a ri,j como la
tasa corta (en un período ∆t) esta es la tasa en el nodo i, j. Para construir el
árbol para la tasa corta (es decir, determinar ri,j para todo i, j) se requiere
determinar U(i) y σ(i).
Una representación más didáctica se puede apreciar en el gráfico 3-2:
18
Para una mayor profundización en la teoría del paseo al azar ver Ross ( 1996)
Figura 3-2: Discretización binomial de Modelos de Trayectorias Brownianas
independientes.
En la siguiente sección se aplicará la metodología para implementar
los modelos BDT 1 ajustado por estructura de tasa a volatilidad constante y
BDT 2 ajustado por estructura de tasas y volatilidad.
3.1.2. Implementación de BDT 1
Para determinar ri,j se debe determinar U(i) solamente ya que σ es
constante. Para ello, se usan precios de estado19. Se define Qi,j tal que en el
tiempo 0, este activo paga de la siguiente forma:
$1 si el nodo (i , j) es alcanzado
$0 si no
Por definición, Q0,0 = 1.
Se puede demostrar que el precio de un bono cero cupón que madura
en el tiempo (i+1)∆t puede ser expresado en términos de los precios de
estado descontados a la tasa relevante, es decir:
P (i + 1) = ∑ Qi , j d i , j
j
19
También conocidos como precios contingentes, elementales ó Arrow-Debreu (1954).
(3.11)
donde di,j representa el precio en el tiempo i ∆t en el estado j de un
bono cero cupón que madura en el tiempo (i+1)∆t. Con tasas compuestas,
se tiene:
d i, j =
1
(1 + r )
∆t
(3.12)
i, j
Recordando que los precios de los bonos cero cupón P(i) ya se
conocen a partir de la estructura inicial (de hoy) de retornos (usando R(i) a
partir de (2.2) y suponiendo la misma convención de tasas que la usada en
(3.12)), entonces (3.11) obedece a una relación de no arbitraje.
A priori está relación de no arbitraje no es directa. Al final de esta
sección se explica con más detalle (3.11). Por ahora, se requiere asumir esta
relación.
El proceso de inducción hacia adelante implica ir acumulando
precios de estado a medida que se va progresando a través del árbol. Los
precios de los activos puros se van actualizando en cada (i, j) de los valores
conocidos en i - 1 de acuerdo a la siguiente ecuación:
1
1
Qi −1, j −1 d i −1, j −1 + Qi −1, j +1 d i −1, j +1
2
2
Qi , j =
(3.13)
(3.13) es válida para cualquier nodo (i, j) menos para los nodos
extremos (i, i) y (i, -i). En este caso, hay una trayectoria única de transición
y se tiene:
Qi ,i =
1
Qi −1,i −1 d i −1,i −1
2
Qi , − i =
1
Qi −1, − i +1 d i −1, − i +1
2
(3.14)
(3.15)
BDT ajustado solamente por retorno implica imponer σ igual a una
constante. Lo anterior, implica usar (3.7):
d ln r (t ) = θ (t )dt + σdz (t )
y cambiar (3.10) a:
(3.16)
ri , j = U (i )e σj
(3.17)
∆t
Usando (3.17) y (3.11), en el tiempo i + 1 los bonos cero cupón
pueden ser construidos como:
P(i + 1) = ∑ Qi , j
j
P (i + 1) = ∑ Qi , j
j
1
(1 + ri, j )∆t
(3.18)
1
(1 + U (i) exp(σj
∆t )
)
∆t
Solo U(i) en (3.18) es desconocido, y desafortunadamente, despejar
U(i) no es directo. Luego, se aplica Newton Raphson Unidimensional. Para
ver el detalle del algoritmo, ver anexo A.1.
Por lo tanto, una vez que se conocen para cada estado del tiempo
U(i), se obtiene ri,j para cada nodo j asociado al instante de tiempo i y así
progresivamente se avanza al estado i + 1.
Finalmente si se combina (3.11), (3.13), (3.14) y (3.15) se llega a:
P(i) = ∑ Qi , j
(3.19)
j
Lo que dice (3.19) es que sumando todos los precios contingentes
sobre j para cualquier instante i se recuperan los factores (bonos) de
descuento que permiten recuperar la tasa acorde la ecuación (2.2). De esta
forma, el “precio esperado ó teórico” del bono cero cupón generado por el
árbol con maduración en el instante i debe ser igual al precio del bono de
mercado. Luego la tasa corta generada en cualquier estado (i,j) del árbol
será tal que no haya arbitraje ya que el árbol se ha calibrado a la curva de
retornos de mercado.
3.1.3. Implementación de BDT 2
En este caso se debe usar (3.10) donde ahora σ(i) no es constante:
ri , j = U (i )e σ (i ) j
∆t
(3.20)
Se denotará el primer paso del tiempo (nodo (1,1) en la figura 3-2)
por U y el nodo de abajo (nodo (1, -1)) será denotado por D. Además, sean
PU(i) y PD(i) ( para todo i ≥ 1 ) las correspondientes funciones de descuento
evaluadas en los nodos U y D respectivamente, con RU(i) y RD(i) los
correspondientes retornos de los bonos de descuento derivados según la
ecuación (2.3) a convención de tasas compuestas. Especificando ambos, las
curvas del retorno de la tasa spot y su volatilidad en el tiempo i = 0, es
equivalente a especificar en i = 1 las dos funciones de descuento, PU(i) y
PD(i) ( para todo i ≥ 1 ).
Para que el árbol de la tasa corta pueda ser construido y ajustado a
las curvas iniciales de retorno y volatilidad, PU(i) y PD(i) deben ser
consistentes con los valores conocidos de P(i) y σR(i), en donde P(i) y σR(i)
son datos a partir de la estructura inicial (de hoy) de retornos (usando R(i) a
partir de (2.2) y suponiendo tasas compuestas)) y volatilidades
respectivamente.
El primer paso para construir el árbol es determinar PU(i) y PD(i) para
todo i ≥ 2 . Los valores conocidos en el período inicial, P(i) y las nuevas
funciones definidas PU(i) y PD(i) son relacionadas vía los valores esperados
descontados20:
1
[0.5PU (i ) + 0.5PD (i)] = P(i)
(1 + r0,0 )∆t
i = 2,..., N
(3.21)
Las volatilidades iniciales pueden ser recuperadas aplicando la
ecuación (3.8), que puede ser expresada en términos de PU(i) y PD(i) como:
1  ln P (i ) 
U

σ R (i) ∆t = ln
2  ln PD (i) 
(3.22)
(3.21) y (3.22) permiten encontrar PU(i), como solución de:
PU (i ) + PU (i ) exp( −2σ R (i )
∆t )
= 2 P(i )(1 + r0, 0 ∆t )
(3.23)
Y por lo tanto, PD(i) se expresa como:
PD (i ) = PU (i) exp( −2σ R (i )
20
∆t )
Usando el principio de no arbitraje
(3.24)
PU(i) y PD(i) pueden ser encontradas usando Newton Raphson
Unidimensional. (Ver anexo A.1)
Nuevamente se usa inducción hacia adelante para determinar las
funciones dependientes del tiempo que aseguren consistencia con los datos
de la curva inicial de rendimientos y volatilidades. Sin embargo, ahora los
precios de estado son determinados desde los nodos U y D requiriendo la
siguiente notación:
: El valor visto del nodo U, de un activo que paga $1 si
el nodo (i, j) es alcanzado y $0 si no.
QU ,i , j
: El valor visto del nodo D, de un activo que paga $1 si
el nodo (i, j) es alcanzado y $0 si no.
Q D ,i , j
Por definición, QU1,1 = 1 y QD1,-1 = 1. El árbol es construido
desde ∆t hacia delante usando un procedimiento similar al visto en la
sección 3.1.2. Ahora se tienen dos ecuaciones similares a (3.18):
PU (i + 1) = ∑ QU ,i , j d i , j
(3.25)
PD (i + 1) = ∑ QD ,i , j d i , j
(3.26)
j
j
con:
d i, j =
1
1
=
∆t
(1 + ri , j )
1 + U (i ) exp(σ (i ) j ∆t )
(
)
∆t
(3.27)
(3.25) y (3.26) se resuelven usando Newton Raphson bidimensional.
(Ver anexo A.2).
Una vez que se conoce U(i) y σ(i) a partir de (3.25) y (3.26), se
puede determinar ri,j en el árbol para ese paso del tiempo particular y así
sucesivamente hasta que se determina para todo nodo (i,j) del árbol.
3.2.
Ho Lee
La E.D.E. que sigue la tasa corta en el caso de Ho Lee (1986) es:
dr (t ) = θ (t )dt + σdz (t )
(3.28)
Y la tasa se construye entonces como:
ri , j = U (i) + σj ∆t
(3.29)
El proceso descrito en (3.28) puede ser visto como la versión normal
de BDT 1 o un caso particular de Hull y White con α igual a cero. En este
caso, al tomar la volatilidad constante, el ajuste es solamente en estructura
de tasas.
La metodología utilizada consiste en construir el árbol usando Ho
Lee como la versión normal de BDT 1. Por lo tanto, se debe cambiar (3.16)
y (3.17) por (3.28) y (3.29) respectivamente para luego realizar
exactamente el mismo procedimiento que en BDT 1. La solución analítica
de Ho Lee se puede apreciar en el anexo B.
3.3.
3.3.1.
Hull and White
Introducción a árboles trinomiales
En árboles trinomiales además de fijar el paso del tiempo (∆t)
también se fija el paso del espacio (∆r), lo que implica ajustar las
probabilidades para ajustar el orden en que el cambio en r en el árbol tenga
la media y desviación estándar correctas en cada intervalo ∆t del proceso
que se requiere aproximar.
De este modo, los valores que toma la tasa corta en los nodos
distintos al del estado inicial están igualmente espaciados y tienen la forma
r0,0 + j ∆r, donde j es un entero positivo. El valor del tiempo sigue siendo t
= i ∆t. Por lo tanto, el nodo en el árbol donde t = i ∆t y r0,0 +j ∆r está
referido como el nodo ( i, j).
Según Hull y White (1993), el enfoque trinomial es básicamente un
esquema basado en finitas diferencias, y por condiciones de estabilidad y
convergencia, se sugiere la siguiente relación entre ∆t y ∆r:
∆r = σ 3∆t
(3.30)
La forma en que está dada la ramificación en árboles trinomiales se
muestra en la figura 3-3:
Figura 3-3: Ramificación en árboles trinomiales.
El proceso de ramificación en (a) dice que la dinámica en la tasa
corta r se puede dar con un alza o una baja en r en magnitud ∆r o puede
mantenerse igual. (b) dice que r puede subir en magnitud 2∆r (rama más
alta), subir en magnitud ∆r (rama intermedia) o mantenerse en el mismo
nivel. (c) muestra la misma idea, solo que en este caso lo que se grafica es
la baja en el nivel de la tasa.
La implicancia anterior es que el extra grado de libertad permite
modelar la reversión a la media. Es decir, al haber niveles de tasa muy
altos, estos deberían ajustarse a la baja y viceversa, al haber niveles de tasa
bajos, estos debieran ajustarse al alza. Lo anterior es consistente con la
evidencia empírica registrada en los mercados financieros.
3.3.2. Implementación de Hull y White ajustado por retorno
El proceso a modelar viene dado por la siguiente E.D.E.:
dr = [θ (t ) − αr ]dt + σdz
(3.31)
En este proceso el drift es conocido pero contiene la función
desconocida Ө(t) que es la que permite consistencia con la estructura de
tasas inicial. La volatilidad σ se asume constante y α es el coeficiente de
reversión a la media. La solución analítica de Hull y White se puede
apreciar en el anexo C.
Para poder construir el árbol, Ө(t) debe ser determinado de forma tal
que todos los bonos cero cupón R estén valorizados correctamente.
A continuación, se define la siguiente notación:
Ө(i∆t): Valor de Ө en el tiempo i∆t.
µi,j: tasa del drift r en el nodo (i,j).
PU,i,j: probabilidad de ramificación asociada a la rama de arriba del
nodo (i,j)
pM,i,j: probabilidad de ramificación asociada a la rama del medio del
nodo (i,j)
pD,i,j: probabilidad de ramificación asociada a la rama de abajo del
nodo (i,j)
Para el modelo considerado, µi,j viene dado por µi,j = [Ө(i∆t) –αri,j]∆t.
La tasa corta al inicio del árbol (r0,0) es por definición el rendimiento del
bono cero cupón que madura en el primer ∆t. La metodología propuesta
asume convención de tasas continuas para el factor de descuento de un
período. Esto implica que la convención de tasas cambia a composición
continua. Recordar que a partir de la tasa spot R compuesta anualmente y
usando la misma base, es posible obtener la tasa spot de una tasa con
composición continua Rc para cualquier plazo i mediante la siguiente
identidad:
(1 + R(i)) = exp( Rc (i))
(3.32)
Suponga que el árbol ya ha sido construido para el período n∆t. La
tasa corta en el tiempo i∆t que se aplica entre el período i∆t y (i+1)∆t y por
ende un árbol construido hasta i∆t refleja los valores del rendimiento del
bono cero cupón R(n) para n ≤ i + 1. En construir las ramas entre i∆t y
(i+1)∆t un valor para Ө(i∆t) debe ser calculado de forma tal que el árbol
sea consistente con el rendimiento de un bono cero cupón que madura en
el tiempo i+2 (Es decir, R(i+2)). Una vez que Ө(i∆t) ha sido determinado,
los valores del drift µi,j pueden ser obtenidos. Las ramas que emanan de los
nodos al tiempo i∆t y sus respectivas probabilidades de transición son
entonces elegidas para ser consistentes con el término del drift del proceso
y la volatilidad de la tasa corta, σ. Los 3 nodos a partir del nodo (i,j) son
entonces (i+1,k+1) -nodo superior, (i+1,k) -nodo intermedio y (i+1,k-1) nodo inferior) con k (entero) tal que el valor de éste para ri+1,k sea lo más
cercano posible al valor esperado de r, que por definición es ri,j + µi,j21.
Notar que para un proceso normal, j = k y que para el proceso descrito en
(a) y (b) en la figura 3-3, k = j+1 y k = j-1 respectivamente.
Las probabilidades asociadas a cada nodo son:
pU ,i , j =
σ 2 ∆t + η 2
2∆r
p M ,i , j = 1 −
2
+
η
2∆r
σ 2 ∆t + η 2
∆r 2
(3.33)
p D ,i , j = 1 − pU ,i , j − p M ,i , j
donde η = µ i , j + ( j − k )∆r .
Para derivar Ө(i∆t), se debe usar nuevamente inducción hacia
delante, derivando los precios contingentes a medida que el árbol se va
construyendo, a partir de valores conocidos del paso del estado del tiempo
anterior, vía la siguiente relación:
Qi , j = ∑ Qi −1, s p s , j d i −1, s
(3.34)
s
Con ps,j la probabilidad de moverse del nodo (i-1,s) al nodo (i,j), Q
los precios contingentes y d el factor de descuento asociado a un período.
21
Esto definirá si el proceso de ramificación es de acorde la figura 3-3 según (a), (b) ó (c).
Una vez determinado (3.34), se puede calcular Ө(i∆t) que para este
modelo en el tiempo i-ésimo, viene dado por:
θ (i∆t ) =
σ 2 ∆t
1
1
(i + 2) R(i + 2) +
+ 2 ln ∑ Qi , j exp(−2ri , j ∆t + αri , j ∆t 2 ) (3.35)
∆t
2
∆t
j
Para el primer nodo, (3.35) se escribe como:
2
1
σ 2 ∆t αr0,0 ∆t − 2r0, 0 ∆t
θ (0∆t ) = 2 R(i + 2) +
+
∆t
2
∆t 2
(3.36)
A continuación se presenta el procedimiento completo para construir
el árbol. Asumiendo i > 0 y que Ө((i-1)∆t),Qi-1,j, µi,j , pi-1,j, ri-1.j y di-1,j han
sido calculados para todo j en tiempo i-1, con r0,0 = R(1), Q0,0 = 1:
Paso 1: A partir de µi-1,j y el proceso implícito de ramificación, obtener la
tasa corta y el factor de descuento en el tiempo i:
ri , j = r0,0 + j∆r ∀j en i
d i, j = e
− ri , j ∆t
Asumiendo tasas compuestas continuamente.
Paso 2: Actualizar los precios de estado en el tiempo i de acuerdo a (3.34).
Paso 3: Determinar Ө(i∆t) a partir de (3.35).
Paso 4: Usando Ө(i∆t) y ri,j determinar µi,j para todo j.
µ i , j = [θ (i∆t ) + αri , j ]∆t
Paso 5: Decidir el proceso de ramificación (determinar k).
Paso 6: Calcular las probabilidades de transición usando (3.33).
CAPÍTULO IV
4.
CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE DE LA OPCIÓN
A partir de ahora se asume un enfoque de trabajo basado en árboles
de tasas, cuotas, saldo insolutos y ganancias. Se requiere calcular el valor
presente del conjunto de opciones que se generan en cada caplet. En todo
este capítulo se asumirá que el árbol de tasas ya ha sido construido usando
cualquiera de los modelos descritos en el capítulo III por lo que el nivel de
la tasa para cualquier nodo (i,j) del árbol, es conocido. Por lo tanto, ya que
se conocen las tasas para cualquier instante del tiempo, sólo resta calcular
los respectivos árboles de cuotas, saldos insolutos y ganancias que
permitirán determinar el valor de la opción para cualquier crédito.
4.1.
Complicaciones para el cálculo de la opción
Sin embargo, surgen 2 dificultades para llevar a cabo los cálculos.
Estos tienen que ver con la granularidad (paso escogido) del proceso para
construir el árbol y segundo, la trayectoria que sigue la tasa. En un árbol de
tasas, dado el formato de recombinación del árbol, es imposible saber cual
es la trayectoria seguida.
A continuación se define un criterio de granularidad y segundo, se
trata el problema de la dependencia en la trayectoria de la tasa.
4.1.1. Criterio de granularidad
El hecho de que los créditos se desarrollen de forma mensual
implicaría a priori, generar un árbol de tasas mensuales con flujos de pagos
mensuales (árboles de cuotas, saldo insoluto, ganancia mensuales).
El problema radica en que la tasa que define la cuota y el saldo
insoluto, es una tasa anual. Por lo tanto, a partir de un árbol mensual se
deben encontrar tasas anuales para todos los posibles estados en donde
haya una fecha de repricing, y además que éstas se ajusten a las estructuras
de mercado.
Esto puede ser muy complejo debido al tipo de calibraciones y la
cantidad de iteraciones que se deben efectuar en el árbol de precios
elementales para que efectivamente estas tasas sean consistentes. El tipo de
calibración dependerá del modelo escogido.
Por lo tanto, el análisis se realizará construyendo árboles anuales y
flujos anuales ya que al escoger un paso anual, el árbol de tasas entrega
directamente las tasas anuales de manera consistente y que permiten
calcular la opción. Esto podría, a priori, implicar una pérdida de precisión
en la valorización de la opción en el crédito, sin embargo, el enfoque no
está en la precisión si no en realizar un análisis comparativo entre modelos.
La SBIF no permite la valorización anual tomando en cuenta que
esta es una aproximación de la valorización mensual. A medida que se
genere un paso pequeño, la aproximación permite tender al resultado
continuo lo cual garantiza precisión. Al discretizar la E.D.E. en un espacio
anual es posible que se generen diferencias en el resultado.
Se construirá el crédito usando BDT 1 con paso anual y mensual para
verificar si estas diferencias son significativas. En los modelos restantes se
tratará el crédito de forma anual. Si los resultados indican que
efectivamente BDT 2 o Hull y White son los modelos a recomendar y se
pierde mucha precisión usando un paso anual, entonces como trabajo futuro
quedará la posibilidad de efectivamente implementar estos modelos con
paso mensual.
4.1.2. Base 100
Existe una complicación adicional. La cuota y el saldo insoluto
dependen de la trayectoria pasada de la tasa a través del árbol por lo que en
este caso se debe realizar un ajuste ya que no es posible determinar esta
trayectoria, sin que el árbol mantenga su formato de recombinación En
efecto, las cuotas generadas en un nodo de tasas que suben y luego bajan
serán diferentes si la trayectoria de tasas resultara ser que primero bajan y
luego suben.
El supuesto que se hace es que para cada instante i, el banco presta
una base, que en este caso se define en 100. Es decir, en cada año, el banco
presta 100 unidades monetarias y por lo tanto, la cuota estará siempre bien
definida como una anualidad que dependerá del saldo insoluto (siempre se
prestan 100) que es igual a la base, el plazo residual y la tasa asociada a la
fecha de repricing que define la cuota. Análogamente el saldo insoluto de
cada nodo corresponderá a los 100 que se prestan menos el capital
amortizado. (Cuota calculada menos los intereses sobre el saldo insoluto ó
la base 100)
Finalmente, lo que se hace es definir período a período la ganancia
que se obtiene por cada 100 unidades monetarias prestadas, y devueltas. Lo
anterior se hace para cada nodo, y luego todas estas ganancias se traen a
valor presente y con ello se obtiene la ganancia total del crédito.
La analogía con el cálculo de la ganancia de un crédito, por ejemplo,
mediante tasas forward es que período a período el saldo insoluto de la
fecha de otorgamiento va disminuyendo a medida que se paga el crédito y
la cuota de cada período está en función de ese saldo insoluto. Es decir, lo
único que cambia es que en cada período el banco presta X unidades
monetarias (en vez de 100).
Como el resultado final es proporcional al valor prestado, basta
ponderar el saldo insoluto efectivo del crédito por el valor del saldo
insoluto base 100 (y dividido por 100) para recuperar el saldo insoluto de
cada período. En el caso del árbol, es lo mismo, solo que acá se está
ponderando de manera inversa en función del saldo insoluto calculado.
4.2.
Construyendo la Dinámica Del Crédito
A partir de esta sección se detalla el proceso que genera los outputs,
es decir, se muestran los cálculos necesarios para valorizar la opción y las
sensibilidades (griegas) para un crédito hipotecario mixto con tasa techo
móvil. A continuación de este capítulo, se asume que la dinámica del activo
subyacente ya ha sido determinada mediante cualquiera de los modelos
detallados en el capítulo anterior. Incorporando la información financiera
del crédito hipotecario se podrán conocer los árboles de cuotas, saldos
insolutos y ganancias en cada nodo que permitirán finalmente valorizar en
valor presente la opción y las griegas (Delta, Gamma y Vega). Para ello, se
desarrollará la siguiente metodología:
1. Construir el árbol de cuotas, saldos insolutos de un crédito
hipotecario mixto sin techo. Este crédito es el mismo que el definido
en la sección 1.2 solo que la tasa que determina los pagos en la etapa
variable está determinada netamente por la tasa variable más el
spread, o sea, no considera la tasa techo. En función del árbol de
cuotas y saldos insolutos, determinar el valor presente de la ganancia
de este crédito. Esta ganancia se denomina valor presente de la
ganancia financiera del crédito sin opción (VPSO).
2. Construir los mismos 3 árboles de las partes 1 y 2, pero incorporando
la tasa techo. Es decir, la tasa variable que determina los pagos será
la mínima entre la tasa variable más el spread versus la tasa techo
para cada momento de fijación de tasa. En este caso, la ganancia
financiera se denomina valor presente de la ganancia financiera del
crédito con opción (VPCO).
3. Determinar el valor de la opción (VO) mediante la transformación de
la resta entre VPSO y VPCO desde la base 100 a la base original.
El VO representará entonces, el valor presente del costo de
oportunidad para el banco en términos de lo que hubiese recibido si el pago
fuese en función de la tasa de mercado relevante de cada fecha de repricing
más el spread (VPSO) y lo que realmente recibe (VPCO) debido a que esta
tasa de mercado está acotada por un techo.
La forma en que se construye el crédito difiere si el paso es anual o
mensual. En la sección 4.2.1 se desarrolla esta metodología considerando
un paso anual, es decir, los flujos son anuales considerando una cuota anual
como aproximación de las 12 cuotas mensuales descritas. En la sección
4.2.2 se muestra el mismo cálculo anterior, pero esta vez mediante el
modelo BDT 1 con paso mensual y con flujos mensuales determinados por
cuotas mensuales tal como se describe en la sección 1.2. A partir de los
cálculos realizados en estas secciones, en la sección 4.2.3 se explica el
cálculo de las griegas, que es independiente del paso escogido.
En la valorización usando paso anual, todas las tasas expresadas son
anuales, base anual 30/360, compuestas anualmente, a menos que se
indique lo contrario. En la valorización usando paso mensual, todas las
tasas expresadas son mensuales, base anual 30/360, compuestas
anualmente, a menos que se indique lo contrario.
La siguiente figura muestra un esquema general de los inputs, el
proceso y los outputs que generan los modelos.
Figura 4-1: Esquema general del proceso de valorización de la opción y griegas para un
crédito particular.
4.2.1. Valor presente de la opción usando paso anual
Se define:
- i: número entero entre 0 y n. i está expresado en años. i = 0
representa la fecha de valorización de la opción (hoy) y n es el plazo
residual del crédito. n puede ser cualquier número entre 1 y 30 años.
Cuando el crédito se encuentra en su etapa a tasa variable, i se
interpreta también como la fecha de repricing. Notar que en cada
fecha de repricing i, en el caso binomial habrán (i+1) estados j, en
los cuales se fijará la tasa. En el caso trinomial, no se puede
-
-
-
-
determinar a priori debido a que el árbol ramifica de manera no
estándar, pero de seguro más de (i+1) estados j.
j: estado del árbol j asociado al instante i. En conjunto, conforman el
nodo (i,j).
x: número entero mayor a cero expresado en años. Es igual al plazo
residual de pagos a tasa fija desde i = 0 hasta el próximo repricing.
Siempre se cumple que x es menor que n. El caso límite implica x
igual a n, lo cual es irrelevante ya que no hay opción. Típicamente es
igual a 3 ó 5 años al momento de emisión del crédito.
r(i,j): Tasa cero cupón (tasa corta) anual, con composición anual o
continua dependiendo del modelo22, vigente para el estado de la
naturaleza (i,j) y por lo tanto, desconocida hoy en el caso en que i es
positivo, pero calculada por el árbol de la tasa corta para cada nodo
(i,j).
fix: Tasa fija residual. Esta puede ser igual al plazo residual de pagos
a tasa fija o el plazo residual de la tasa variable fijada para la
próxima fecha de repricing.
sp: Spread crediticio del deudor a cobrar por sobre la tasa cero
cupón.
K: Tasa techo o tasa cap.
C(i,j): Cuota anual (Aproximación de 12 cuotas mensuales) del
crédito definida en el nodo (i,j) y pagadera al final de i (un año
después), en base 100. Esta cuota se define en función de las 100
unidades monetarias (u.m) prestadas al inicio de i, la tasa corta
vigente en (i,j) compuesta anualmente y el plazo residual del crédito
n-i.
SI(i,j): Saldo o capital insoluto al final de i, definido en (i,j) en base
100 correspondiente a las 100 unidades monetarias prestadas al
inicio de (i,j).
G(i,j): Ganancia en valor presente a recibir al final de i, en base 100
y definida en (i,j).La ganancia financiera del banco son los intereses
que genera el banco por sobre el capital prestado en función del
spread financiero que se le cobra al deudor por sobre su costo,
representado por la tasa variable.
La cuota, el saldo insoluto y la ganancia de cada nodo (i,j) dependen
exclusivamente del nodo (i,j) donde se generó el pago, ya que en cada
nodo, se prestan 100 unidades monetarias (u.m) al inicio, que son devueltas
al final del instante i. Esto es debido a la dependencia en la trayectoria
pasada de la tasa23.
22
Es compuesta anualmente para todos los modelos menos para Hull y White donde la tasa corta es
continua. Ver sección 3.2.2.
23
Ver Sección 4.1.2.
En esta tesis, al considerar un modelo anual se ha decidido que
siempre x será un entero positivo24. Luego, siempre va a existir por lo
menos un año de pagos a tasa fija.
Primero, se calculará el árbol de cuotas, saldos insolutos y ganancias
considerando un crédito mixto sin tasa techo.
La cuota anual a pagar durante el período a tasa fija x se determina
considerando una anualidad con respecto a la maduración del crédito y el
saldo insoluto inicial (100), es decir:
100 =
C (i, j )
C (i, j )
1
−
n −i
fix
fix
(1 + fix)
(4.1)
Despejando C (i, j ) , se obtiene:
C (i, j ) =
100 fix(1 + fix) n −i
[(1 + fix) n −i − 1]
(4.2)
Las cuotas a tasa fija debieran ser las mismas para todo el período a
tasa fija. Si x es igual a 1, entonces solo habrá una cuota para el período
(0,0). Pero si x es mayor a 1, las cuotas se deben reajustar debido a la
incerteza de la trayectoria, por eso el plazo residual de la anualidad cambia
(depende de i en (4.2)).
Notar que esta cuota es anual. Ya que la tasa está compuesta
anualmente y el tiempo está en años, esta cuota es una aproximación de 12
cuotas mensuales. Esta aproximación es válida para todo el caso anual.
A partir de i = x los pagos dejan de ser conocidos ya que estos
dependen ahora de r(i,j) por lo cual se redefine la cuota anual, es decir:
C (i, j ) =
100 * (r (i, j ) + sp)(1 + (r (i, j ) + sp )) n −i
[(1 + (r (i, j ) + sp )) n −i − 1]
(4.3)
24
Recordar que en la práctica, los flujos y por lo tanto los inputs, son mensuales. El modelo anual asume
x menor a 1 año como 1 año cerrado. Por ejemplo, si le quedan 0,3 o 0,7 años para la próxima fecha de
repricing, el modelo asume que le queda 1 año para el próximo repricing. Con esto, siempre la tasa fija o
la variable fijada a un año vendrán determinadas como inputs del modelo de forma estándar para todos los
créditos. En cambio si x es mayor a 1, significa que el crédito se encuentra todavía en su etapa a tasa fija.
En este caso el redondeo es hacia el número entero más cercano.
(4.3) es válida para todo i, tal que i está entre x ≤ i ≤ n-1 y para todo j
asociado a i. Recordar que al utilizar base 100, al comienzo de cada
instante i, el saldo insoluto es siempre 100 u.m.
Para el cálculo del saldo insoluto se requiere la siguiente lógica. Sin
considerar el árbol, para algún inicio de período i+1 (o fecha de repricing),
el saldo insoluto es:
SI (i + 1) = SI (i ) − A(i )
(4.4)
donde A(i) es la amortización de capital en i.
I (i) = (r (i ) + sp) * SI (i)
(4.5)
e I (i) es el interés total a pagar en i.
Y finalmente, la cuota anual, que es fija en ese período es igual a:
C (i) = I (i) + A(i)
(4.6)
Remplazando I(i) en (4.6) según la expresión de (3.11) y usando A(i)
en (4.5) se llega a que el saldo insoluto en i+1 se puede expresar como:
SI (i + 1) = SI (i)(1 + (r (i) + sp)) − C (i)
(4.7)
Haciendo la analogía con el árbol se razona de la siguiente manera;
El saldo insoluto al comienzo de cada nodo (i,j) es igual a las 100 unidades
monetarias prestadas y con ello se determina el saldo insoluto al final de i
asociado al nodo (i,j) que, en términos del árbol de tasas, se escribe como:
SI (i, j ) = 100 * (1 + (r (i, j ) + sp)) − C (i, j )
(4.8)
Como condiciones de borde, en el último período, la última cuota
debe ser igual al saldo insoluto del período anterior ya que es lo que resta
por pagar, es decir C(n,j) = SI(n-1,j) = 100 para todo j y dado que en el
período de maduración, el crédito se paga en su totalidad, SI(n,j)=0 para
todo j.
Además, el cálculo del saldo insoluto para cualquier nodo (i, j)
perteneciente al período de pagos a tasa fija es igual a sustituir en (4.8)
(r(i,j) + sp) por fix.
Recordar que en Hull y White, el árbol construido es en función de
la tasa compuesta continuamente rc. Sin embargo, la cuota y el saldo
insoluto se fijan con la tasa compuesta anualmente. Basta aplicar a la tasa
corta anual rc de Hull y White la siguiente relación para poder usar (4.3) y
(4.8):
r (i, j ) = exp(rc (i, j )) − 1
(4.9)
Finalmente, el cálculo del valor presente de la ganancia G(i,j) del
C.H. mixto sin techo móvil se determina mediante la técnica de valoración
neutra al riesgo. Del capítulo II se sabe que cualquier flujo de caja futuro
puede ser valorizado en valor presente descontando el valor esperado de
sus flujos a la tasa libre de riesgo, luego para cada nodo (i,j), se tendrá que
la ganancia respectiva acumulada en ese nodo es igual a (caso binomial
válido para Ho Lee, BDT 1 y BDT 2) la siguiente recurrencia:
C (i, j ) + S (i, j )
− 100
(1 + r (i, j ))
SI (i, j ) 0.5(G (i + 1, j + 1) + G (i + 1, j − 1))
+
100
(1 + r (i, j ))
G (i, j ) =
(4.10)
Como condición de borde de la ganancia, en el período n no hay
ganancia ya que se está pagando el capital en forma instantánea (se presta y
se devuelve en el mismo instante) 25 , por lo que G(n,j) = 0, para todo j.
Los primeros 2 términos a la izquierda del lado derecho de la igualdad
en la ecuación (4.10), tienen relación al interés que se obtiene en el nodo
(i,j) como ganancia financiera debido a las 100 u.m. prestadas al inicio del
período.
Tal como se explicó, la cuota se recibe al final de i (también se puede
interpretar como al principio de (i+1), por lo que el valor presente de la
ganancia del nodo (i,j) es igual a esta cuota descontada a la tasa corta anual
del nodo (i,j) menos la amortización del capital que corresponde.
El tercer término, corresponde a las ganancias de nodos futuros que se
traen a valor presente de manera recursiva como el valor esperado de sus
flujos, período a período. Nuevamente, se hace notar que al ser el resultado
final proporcional al valor prestado, basta ponderar el saldo insoluto del
crédito en base 100 y dividirlo por 100 para recuperar el nivel del saldo
insoluto de cada período. Finalmente, G(0,0) representará el VPSO en base
25
Ver las condiciones de borde de la cuota y el saldo insoluto.
100. De manera ilustrativa, se muestran los flujos de un árbol de ganancias
de 3 períodos. El sentido de la fecha apunta hacia donde van estos flujos
dados por (4.10).
Figura 4-2: Sentido de la recurrencia en los flujos que definen la ganancia del crédito.
En el caso de Hull y White, la ganancia procede la misma lógica,
solamente que la tasa corta es continua, por lo tanto, (4.10) se rescribe
como:
G (i, j ) =
C (i, j ) + S (i, j )
− 100
exp(rc )
SI (i, j ) p k −1G (i + 1, k − 1) + p k G (i + 1, k ) + p k +1G (i + 1, k + 1)
+
*
100
exp(rc )
(4.10b)
En este caso k = j-1 ó k = j ó k = j+1 dependiendo de la ramificación
con la que se generó el árbol.
Ya se tiene entonces el VPSO del crédito. Para calcular VPCO,
simplemente se debe reemplazar en el cálculo de la cuota y el saldo
insoluto, r(i,j)+sp por el mín{r(i,j)+sp, K} en las ecuaciones (4.3) y (4.8).
Notar que el descuento en los flujos siempre se realiza usando el
árbol de tasas. Esto tanto en el caso con y sin opción, sin contar el spread
del deudor, ya que se ve el cálculo desde la perspectiva del costo de
oportunidad del instituto emisor del crédito.
Finalmente, la diferencia entre VPSO menos VPCO determinarán el
valor de la opción en base 100. Para obtener el valor de la opción en
función del saldo insoluto vigente al momento de la valorización se debe
ponderar por el saldo insoluto original (nocional) y dividir por 100. Luego,
el valor de la opción será igual a:
VO = (VPSO– VPCO) * nocional / 100
(4.11)
4.2.2. Valor presente de la opción usando paso mensual
A continuación se proceden a explicar los cálculos necesarios para
calcular el VO usando flujos mensuales, por lo que el árbol de la tasa corta
usando BDT 1, está construido con paso mensual. En este caso, la
representación de los flujos es tal como se da en la práctica, pero
desafortunadamente, el tratamiento se hace más complejo.
El árbol de la tasa corta ya ha sido calculado, por lo que ya se
conocen las tasas mensuales para cualquier nodo. Se deben obtener las
tasas anuales para todos los nodos en donde haya una fecha de repricing
para poder calcular el árbol de cuotas, saldo insolutos y ganancias para
cualquier estado de la naturaleza (i,j). La complejidad está en encontrar
estas tasas anuales y que sean consistentes, a su vez, con las estructuras de
mercado.
En este contexto, el instante de tiempo i, a diferencia de la sección
anterior, se expresa en meses. Por lo que el paso ∆t es igual a 1/12.
4.2.2.1. Búsqueda de tasas a un año plazo
Se desean obtener las tasas anuales que permitan determinar todas
las cuotas mensuales válidas por un año a partir de cada fecha de repricing.
Esta tasa debe obtenerse a partir del árbol de la tasa corta mensual que
representa la dinámica de tasas usando el modelo BDT 1. A continuación,
se muestra cómo encontrar la tasa a cualquier plazo, y en particular a un
año, para cualquier estado (i,j) recalibrando el árbol de precios elementales.
Para ello, recordar del capítulo III la ecuación (3.19) que se rescribe a
continuación:
P (i) = ∑ Qi , j
j
(4.12)
Lo que dice (4.12) es que situando la valorización hoy (nodo (0,0)), y
dado que P(i) es el precio spot del bono cero cupón de mercado con
maduración en i, entonces es posible reencontrar todos los factores de
descuento ( bonos cero cupón de mercado) para cualquier plazo i a partir de
la suma de precios contingentes sobre todos los estados j generados a partir
de este estado inicial determinado y por lo tanto, reobtener el vector de
tasas spot. Esto es ciertamente válido al ser BDT un modelo que se ajusta a
la estructura de tasas.
Recordar que Q(i,j) representa el valor presente de un bono cero
cupón que paga $1 si se llega al nodo (i,j) y $0 si no. Por lo tanto, fijando
Q(i,j) = 1 para algún nodo (i,j) y recalculando todos los precios
elementales26 del árbol que se genera a partir de (i,j) mediante las
ecuaciones (3.13), (3.14) y (3.15) hasta el plazo posterior a i que se
requiera, será posible calcular la estructura de tasas asociada a ese nodo
futuro (i,j) y además, de manera consistente con las estructuras de mercado.
La ecuación (4.12) es válida solamente para el caso en que se desee
obtener la estructura de tasas spot de mercado, ya que esta parte del nodo
(0,0). De manera genérica, para obtener la estructura de tasas asociada a
cualquier nodo (i,j) del árbol, se debe rescribir (4.12) de la siguiente
manera:
Pi , j (k − i ) =
j + ( k −i )
∑Q
l = j − ( k −i )
(4.13)
k ,l
Con 0 ≤ i < k ≤ n.
Además, sea Y(k-i) la tasa al plazo k-i asociada al nodo (i,j). Luego,
de (4.13) y, asumiendo tasas compuestas, se tiene que:
1

 ( k −i )* 1
1
12 − 1

Y(i , j ) (k − i ) = 
 P (k − i) 
i
j
(
,
)


(4.14)
Imponiendo la condición inicial de Q(i,j) = 1 y recalculando todo el
árbol de precios elementales hasta el instante k, lo que quiere decir (4.13)
es que si se requiere encontrar para un nodo (i,j) la tasa a un plazo k-i,
entonces, se deben sumar todos los estados l generados a partir del nodo
(i,j). Es decir, los estados pertenecientes al instante k que van desde l = j 26
Se recalculan solo los precios contingentes. El árbol de la tasa corta según BDT es consistente con las
estructura de tasas, luego r(i,j) y en consecuencia d(i,j) permanecen intactos.
(k-i) hasta l = j + (k-i) con l el salto de estado a paso doble27. Luego, se
aplica (4.14) y con ello se encuentra la tasa a ese plazo. En el anexo D se
puede encontrar un ejemplo.
Por lo tanto, aplicando (4.13) y (4.14) para el caso particular k-i =
12, será posible obtener la tasa anual en cada nodo (i,j) donde i sea una
fecha de repricing tal que estas tasas permitan calcular los valores de cada
cuota mensual válida por un año a partir del momento de fijación (y en
consecuencia, el saldo insoluto al final de estos 12 meses).
4.2.2.2. Cálculo de la cuota mensual y el saldo insoluto usando
tasas anuales
Una vez que se obtiene la tasa anual al recalibrar los precios
contingentes, el cálculo de la cuota y el saldo insoluto difieren en ciertos
aspectos de la metodología anual.
En este caso, se debe calcular la cuota como una anualidad con respecto
a la maduración del crédito pero divide la tasa anual por 12 para obtener
una cuota mensual.
Se sigue utilizando la notación de la sección 4.2.1, pero se redefinen las
siguientes variables:
- r(i,j): Tasa compuesta cero cupón (tasa corta) mensual, compuesta
anualmente, vigente en i y asociada al nodo (i,j) y por lo tanto,
desconocida hoy para el instante futuro i pero predicha por el árbol
de tasas para cada nodo (i,j).
- C(i,j): Cuota mensual del crédito definida en el nodo (i,j) a pagar
mensualmente durante los próximos 12 meses a partir de i. Está
expresada en base 100.
- SI(i,j): Saldo o capital insoluto vigente un año después de (i,j) en
base 100, con SI(0,0) = 100. Es decir, SI(i,j) es el saldo insoluto 12
meses después de la fecha de repricing, una vez que se han pagado
las 12 cuotas correspondientes a ese repricing28.
27
28
Recordar la notación del árbol usada para esta tesis en donde j va de dos en dos (Ver figura 3-2).
También se puede interpretar como el saldo insoluto vigente al momento del próximo repricing.
En este caso i, x están expresados en meses. A diferencia del caso
anual, en donde i en el período igual o posterior a x, es siempre una fecha
de repricing, en esta ocasión, al ser un modelo con granularidad mensual,
se hace hincapié entre un mes cualquiera i, y un mes en donde hay fijación
de tasa i*.
Además, se agrega la tasa anual necesaria para definir los árboles de
cuotas y saldos insolutos:
- Y(i*,j): Tasa anual, compuesta anualmente, vigente en cada nodo
(i*,j) donde i* es una fecha de repricing. Obtenida del árbol de la
tasa corta mensual.
Por lo tanto, en el cálculo de la cuota en el período a tasa fija, el
razonamiento es análogo al caso anual, solo que en este caso, la cuota es
mensual. Luego, el valor de ésta es:
C (i, j ) =
100 * fix / 12(1 + fix / 12) n −i
[(1 + fix / 12) n −i − 1]
(4.15)
Pero cuando finaliza x y comienzan las fechas de repricing, el flujo
temporal en el árbol de las 12 cuotas generadas desde un nodo (i*,j) se
dificulta al ser imposible determinar la trayectoria de las tasas, por lo que
se realiza el siguiente análisis:
Las 12 cuotas son iguales, solamente cambian al ser descontadas. Por lo
tanto, si se recalcula la estructura de tasas usando la metodología descrita
en la sección 4.2.2.1 mediante la ecuación (4.13) para el nodo (i*,j) hasta
un año, se pueden obtener los factores de descuento que permitan descontar
las 12 cuotas de manera consistente con el mercado y con ello, eliminar el
problema de la dependencia en la trayectoria.
Por lo tanto, los nodos en los cuales se debe calcular la cuota son todos
tales que i = i*. En el resto, las cuotas son cero. A continuación se presenta
la solución de este problema de manera ilustrativa para un caso particular.
Tomando un extracto de un árbol de cuotas, gráficamente esto se ve así:
Figura 4-3: Árbol de cuotas mensuales.
En este caso, se muestra un árbol de cuotas sin tasa techo de un crédito
con n = 38 meses y x = 2 meses. Luego, el repricing ocurre en i* = 14, 26.
El nodo (i*,j) muestra el valor de la cuota en base 100 que se deberá pagar
por los próximos 12 meses. Pero detrás de eso, haciendo un zoom para el
nodo (14,14) en la figura 3-4, en donde la cuota definida es igual a 4,47, el
flujo real es el siguiente:
Figura 4-4: Flujos de las cuotas mensuales.
La figura 4-4 dice que cualquier nodo en donde se generen las cuotas
mensuales positivas, será mostrado en el árbol de cuotas como una cuota
única. Sin embargo, cuando se quiera valorizar la ganancia en el crédito,
estas cuotas estarán descontadas por los factores de descuento asociados a
ese nodo (i*,j) de manera temporalmente correcta, y de forma consistente
con las estructuras de mercado.
Sea:
(4.16)
Ψ (i, j ) = (Y (i, j ) + sp ) / 12
Luego, el cálculo de cuotas es el siguiente:
100 * Ψ (i, j )(1 + Ψ (i, j )) n −i

[(1 + Ψ (i, j )) n −i − 1]

C (i, j ) = 

0 si no


si i = i *
tal que i ≥ x
(4.17)
Para calcular el saldo insoluto se razona de la siguiente forma. Sin
tomar en cuenta el árbol de tasas, y dado que el proceso es mensual, se
puede readaptar la ecuación (4.8) tal como se indica a continuación:
SI (i + 1) = SI (i)(1 + (r (i) + sp) / 12) − C (i)
(4.18)
Luego, en el primer mes se tiene SI(0).
En el segundo mes,
SI (1) = SI (0)(1 + (r + sp) / 12) − C (i)
En el tercer mes, el saldo insoluto es igual a:
SI (2) = SI (1)(1 + (r + sp ) / 12) − C = [ S (0)(1 + (r + sp ) / 12) − C ](1 + (r + sp ) / 12) − C
Y así sucesivamente, hasta el último mes previo a la próxima fecha
de repricing en donde resolviendo la recurrencia se puede escribir el saldo
insoluto al final de los 12 meses en función del saldo insoluto inicial:
 (r + sp ) 
SI (12) = SI (11)1 +
−C
12 

(4.19)
12
11
 (r + sp ) 
 (r + sp ) 
SI (12) = S (0)1 +

 − C ∑ 1 +
12 
12 

i =0 
i
El último término puede expresarse de manera más simple ya que la
sumatoria converge29, luego, SI(12) puede expresarse como:
  (r + sp ) 12 
 
1 − 1 +
12
12  
 
 (r + sp ) 
SI (12) = SI (0) * 1 +
 −C
(r + sp )
12 

12
(4.20)
Haciendo la analogía con el árbol de tasas, interesa conocer el saldo
insoluto justo antes del próximo período de repricing, es decir 12 meses
después del último repricing. La justificación es la misma que se usó para
definir la cuota mensual para poder eliminar el problema de dependencia en
la trayectoria30. Luego, la cuota positiva definida en (4.17) será el
parámetro que permitirá determinar el saldo insoluto 12 meses después de
la fijación ocurrida en el nodo (i*,j):

C (i, j ) * {[1 + Ψ (i, j )]12 − 1}
12
100
(
1
+
Ψ
(
i
,
j
))
−
si i = i *

Ψ
(
i
,
j
)

SI (i, j ) = 
tal que i ≥ x

0 si no


(4.21)
Como condiciones de borde, en el último período, la última cuota
debe ser igual al saldo insoluto del año anterior ya que es lo que resta por
pagar, es decir C(n,j) = SI(n-12,j) = 100 para todo j y dado que en el
período de maduración, el crédito se paga en su totalidad, SI(n,j) = 0 para
todo j.
29
Recordar que la sumatoria:
n
∑ ai =
30
i =0
a n +1 − 1
a −1
No olvidar que implícitamente, la razón de fondo es que se está aplicando base 100, luego, los
períodos se ven de manera “independiente” como si en cada fecha de repricing, el banco prestara 100
unidades monetarias.
Si se está en período a tasa fija entonces, para un estado j, el saldo
insoluto al final de cada mes i (al comienzo de i + 1) es igual a:
SI (i, j ) = 100 * (1 + fix ) / 12 − C (i, j )
(4.22)
La ganancia en el caso de BDT 1 mensual difiere de la ganancia con
paso anual. Primero, en los casos que i es distinto a i* solo se descuentan
los flujos futuros de cada fecha i*. Sin embargo, cuando i = i* se deben
descontar la ganancia recibida de esa fecha y las futuras. Por lo tanto, la
ganancia mensual es igual a:
C (i, j ) fd (i, j ) + S (i, j ) fd12 (i, j ) − 100
 SI (i, j ) 0.5(G (i + 1, j + 1) + G (i + 1, j − 1))
+
si i = i *
(1 + r (i, j ))1 / 12
 100

tal que i ≥ x
G (i, j ) = 

0.5(G (i + 1, j + 1) + G (i + 1, j − 1))
si no

(1 + r (i, j ))1 / 12


(4.23)
con fd(i,j) los factores de descuento asociados a la estructura de tasas
del nodo (i,j) para poder descontar las doce cuotas y poder valorizarlas en
valor presente del nodo (i,j) tal como se muestra en la figura 4-4.
fd (i, j ) =
12
∑P
k −i =1
i, j
(k − i )
(4.24)
Y en particular, fd12(i,j) el factor de descuento a un año del saldo
insoluto asociado al nodo (i,j):
fd12 (i, j ) = Pi , j (12)
(4.25)
En el caso de nodos a tasa fija, es decir, i menor que x, la ganancia
sigue la misma lógica que (4.10) pero con paso mensual:
C (i, j ) + S (i, j )
− 100
(1 + r (i, j ))1 / 12
SI (i, j ) 0.5(G (i + 1, j + 1) + G (i + 1, j − 1))
+
100
(1 + r (i, j ))1 / 12
G (i, j ) =
(4.26)
G(0,0) será igual al VPSO. Nuevamente,
simplemente se debe reemplazar en el cálculo
insoluto, r(i,j)+sp por el mín{r(i,j)+sp, K} en
(4.21). Y en consecuencia, el valor de la opción
(4.11).
para calcular el VPCO,
de la cuota y el saldo
las ecuaciones (4.17) y
será igual al definido en
4.2.3. Cálculo de griegas
Para medir la sensibilidad del crédito, se realizan 3 tipos de análisis:
4.2.3.1. Delta
Mide la sensibilidad en el valor de la opción al aumentar en ε puntos
base el valor de la estructura de tasas vigente (input).
Sea:
VO(z): Valor de la opción en función de z que representa el vector
de estructura de tasas vigente.
Luego, Delta se puede calcular como:
∆(ε ) =
VO( z + ε *10 −4 ) − VO( z )
ε
(4.27)
ε como argumento de la función VO debe ir multiplicada por 10-4 ya
que z está expresada en puntos porcentuales.
4.2.3.2. Gamma
Mide la sensibilidad en el valor de la opción al aumentar en 2 veces ε
puntos base el valor de la estructura de tasas vigente (input).
Por lo tanto, gamma es igual a:
Γ(ε ) =
∆(2ε ) − ∆(ε )
ε
(4.28)
(4.28) También se puede ver como:
Γ=
VO( z + 2ε *10 −4 ) − VO( z + ε *10 −4 )
ε2
−
VO( z + ε *10 −4 ) − VO( z )
ε2
(4.29)
ε como argumento de la función VO debe ir multiplicada por 10-4 ya
que z está expresada en puntos porcentuales.
4.2.3.3. Vega
Mide la sensibilidad en el valor de la opción al aumentar en lambda
puntos base la estructura de volatilidades (ó la volatilidad promedio)
vigente (input)
Por lo tanto:
ν (λ ) =
VO(σ + λ *10 −4 ) − VO(σ )
λ
(4.30)
λ como argumento de la función VO debe ir multiplicada por 10-4 ya
que σ está expresada en puntos porcentuales.
Los valores escogidos para ε y λ se muestran en el capítulo VI.
Puede existir la posibilidad del cálculo de griegas spot (este caso) ó
cálculo de griegas forward (en función de la estructura de tasas y
volatilidades forward)31. En esta tesis se decide realizar un cálculo de
griegas spot para todos los modelos de manera de hacer comparables los
resultados entre ellos.
Las griegas deben ser calculadas numéricamente dado que no hay
tratamiento analítico para el cálculo de la opción. Intuitivamente, Delta es
el valor de la variación lineal en el valor de la opción cuando las tasas de
mercado fluctúan. Gamma es la variación cuadrática en el valor de la
opción ante un mismo evento. Vega identifica en cuanto varía la opción al
31
Por ejemplo, por requerimientos de la SBIF.
haber una fluctuación en la volatilidad de mercado. Por definición, en este
caso las 3 griegas debiesen ser siempre positivas32.
Tal como se mencionó en la introducción, mediante el cálculo de
griegas es posible tomar posiciones en determinados instrumentos
financieros con el fin de inmunizar la exposición al riesgo de fluctuación de
tasas. En esta tesis, no se aborda el análisis de coberturas de riesgo en
detalle. Sin embargo, es necesario tener una noción más interpretativa de
las griegas de forma tal de poder guiar posteriormente el análisis de
resultados y así poder obtener alguna conclusión interesante. Una revisión
más detallada se puede apreciar en Hull (2005).
Sin embargo, las griegas que se calculan acá están en función de
tasas y no de precios por lo que se debe hacer una transformación33 de
manera que el activo subyacente refleje un instrumento financiero, como
por ejemplo, un Forward Rate Agreement (FRA). De todas formas, se
revisa el marco teórico obviando esta particularidad ya que la noción
intuitiva que hay por detrás es la misma.
Al ser Delta, la proporción en la cual varía el valor de la opción al
variar el subyacente, entonces es posible crear una estrategia de cobertura
en la cual se tome una posición en el activo subyacente tal que anule el
efecto contrario que genera la variación en el valor de la opción. En este
caso, la posición sobre la opción se denomina Delta neutral. No obstante,
esto puede ser muy costoso en la práctica, ya que ante cualquier cambio en
las condiciones de mercado, la posición debiese ser reajustada.
Una vez que se está en una posición Delta neutral, es posible en el
caso de Gamma, crear una posición Gamma neutral usando el mismo
razonamiento anterior. De esta forma, al realizar la cobertura mediante
Gamma, es posible anular el riesgo tomando en cuenta también la curvatura
de la opción. Si Gamma es pequeño, los cambios en Delta son menos
frecuentes y la posición que logre un Delta neutral debe ser reajustada
menos frecuentemente. En el caso contrario, si Gamma es grande, entonces
Delta es altamente sensible a la variación en el subyacente, por lo que es
altamente peligroso dejar la posición Delta neutral sin reajustar.
Desafortunadamente, Delta y Gamma no toman en cuenta la
variación de la volatilidad del subyacente. Por lo tanto, si es necesario
inmunizar la cartera ante la variación en la volatilidad del subyacente, se
32
El valor de la opción debiese ser igual o mayor ante inputs de mercado más elevados ya que el techo se
mantiene.
33
Matemáticamente, usando regla de la cadena.
debe entonces crear una posición Vega neutral. Si Vega es alto, la cartera
es más sensible a variaciones en la volatilidad que en el caso de Vegas más
pequeños.
Es importante notar que no es factible, tener una cartera que sea
Gamma y Vega neutral a menos que se tengan más de dos derivados que
dependan del mismo activo subyacente.
CAPÍTULO V
5.
BLACK
En esta sección se procederá a introducir el marco teórico del modelo
de Black (1976). Este modelo es una extensión del clásico modelo de Black
y Scholes (1973) que permite valorizar instrumentos derivados de la tasa de
interés como caps, opciones sobre swaps ó bonos, entre otros. En particular
se adaptará la fórmula de Black (1976) para valorizar el conjunto de caplets
que se generan a partir de cada fecha de repricing con el fin de valorizar la
opción de un crédito hipotecario con techo móvil. La valorización en este
caso también será anual. Se mantiene la convención de tasas utilizada
anteriormente.
La simpleza del modelo de Black (1976) radica en que no estudia
directamente la fuente de incertidumbre. Es decir, no es necesario simular
la dinámica de tasas de interés ya que el modelo asume que estas son
determinísticas.
Los dos supuestos de fondo radican en que bajo una medida de
probabilidad neutra al riesgo forward el valor presente de cualquier activo
es su valor esperado en T multiplicado por el precio de un bono cero cupón
R que madura en T y segundo, el valor esperado de la tasa de interés entre t
y T (con t<T) es igual a la tasa forward.
ET ( R (T − t )) = f (t , T )
(5.1)
Si además, se asume que esta tasa se distribuye Log Normal al
momento de ejercicio, entonces, la fórmula de Black para valorizar el
caplet en el caso de un crédito hipotecario mixto con techo móvil para un
instante i (fecha de repricing) donde el pago ocurre en i + 1 es igual a:
Caplet (i) = [( f c (i) + sp ) * N (d1 ) − K * N (d 2 )]* fd (i + 1) * SI (i )
(5.2)
Además, recordar que al igual que Black y Scholes (1973), la
fórmula de Black (1976) para determinar el caplet es un modelo continuo.
Luego, la tasa forward fc entre t y T al momento del pago, se calcula como:
f c (t , T ) =
Rc (T ) * T − Rc (t ) * t
T −t
(5.3)
En donde Rc es la tasa spot compuesta continuamente.
La notación de (5.2) es la siguiente:
-
Caplet (i): valor de la opción asociado a la fecha de repricing i.
fc(i): tasa forward continua en el instante i.
sp: spread crediticio del deudor.
N: Distribución normal estándar acumulada
d1:
 f (i ) + sp 
2
Ln
 +σi *i / 2
K


d1 =
σi * i
(5.4)
En donde σi es la volatilidad de la tasa forward continua para
el plazo i.
- K: Strike. En este caso es la tasa techo.
- d2:
d 2 = d1 − σ i i
(5.5)
- fd(i+1): Factor de descuento en i+1 asociado a la tasa spot
compuesta anualmente R(i+1)34:
fd (i + 1) =
1
(1 + R(i + 1)) i +1
(5.6)
- SI(i): Saldo insoluto35 calculado para el período i, igual a:
SI (i ) = SI (i − 1) * (1 + {min f (i ) + sp ), K }) − C (i )
(5.7)
C(i) representa la cuota anual.
C (i ) =
SI (i − 1) * {min f (i ) + sp), K }(1 + {min f (i ) + sp), K }) n −i
[(1 + {min f (i ) + sp ), K }) n −i − 1]
(5.8)
Para ser consistentes con los otros modelos hay que recordar que la
tasa de mercado que define la cuota y el saldo insoluto es una tasa anual
compuesta anualmente, en consecuencia, para calcular estos valores se usan
34
35
Es análogo a descontar el flujo a la tasa spot continua. Basta aplicar (1 + Z(i)) = exp(R(i)).
En este caso, al ser la trayectoria única, no es necesario trabajar en base 100.
tasas forward compuestas anualmente en desmedro de tasas forward
continuas. Solo la tasa forward del caplet es continua. Recordar que a partir
de la ecuación (3.32) es posible calcular la tasa spot con composición
continua de la tasa spot compuesta anualmente y usando la misma base.
Tal como se estableció en la sección 4.2.1 en esta tesis siempre se
asume que va a haber como mínimo un año a tasa fija en la valorización
anual. En consecuencia, el valor del caplet está bien definido ya que i es
siempre mayor que cero. En el caso de haber períodos a tasa fija, el valor
del caplet es cero ya que no hay opción.
En conclusión, el valor de la opción se calcula como:
n
VO = ∑ Caplet (i)
(5.9)
i= x
En donde x y n son los plazos residuales a tasa fija y del crédito
respectivamente.
Las griegas se calculan de la misma manera que la descrita en la sección
4.2.3.
Dado su carácter analítico, Black presenta 2 ventajas. La primera es su
simpleza de uso al tener una forma funcional en vez de un modelo
desarrollado algorítmicamente y sus supuestos son más sencillos que los
modelos de no arbitraje, lo que lo hace ser más fácil de entender. Segundo,
es más eficiente que un modelo consistente con las estructuras de mercados
que debe calcular toda la dinámica de tasas en base a procedimientos
iterativos bastante más complejos y por lo tanto, ocupa más tiempo en
computar los resultados.
La mayoría de las instituciones financieras afectas a las normativas
enunciadas en el capítulo I, han adoptado Black para valorizar la opción.
Es por ello que también se implementa este modelo, para usarlo como
referente de mercado y compararlo con estos modelos de arbitraje más
complejos de implementar.
CAPÍTULO VI
6.
INPUTS NECESARIOS PARA LA VALORIZACIÓN
6.1.
Cartera Hipotecaria
La cartera de créditos hipotecarios mixtos con tasa techo móvil
pertenece a un banco local y corresponde a información del 11 de Octubre
del 2006. Estos créditos están en UF. Esta cartera consta de 15.643
créditos36 y tiene un valor en capital insoluto igual a 32.610.693 de UF. A
continuación, se muestran los valores mínimos, máximos y promedios de
los inputs necesarios para poder realizar la valorización asociados a esta
cartera:
Input
Mínimo
Promedio
Máximo
Plazo residual a tasa fija
0,1 años
2,49 años
4,5 años
Plazo residual del crédito 1,1 años37 13,6 años
29,1 años
Saldo Insoluto
23 UF
2.085 UF 190.629 UF
Spread
0,09%
1,82%
6,9%
Tasa fija
1,4%
4,13%
6,77%
Tasa Techo
5,5%
6,65%
7%
Tabla 6-1: Resumen inputs de la cartera de créditos hipotecarios mixtos con tas techo
móvil necesarios para valorizar la opción.
6.2.
Inputs de mercado
Hasta este momento se han considerado las estructuras de mercado,
coeficiente de reversión a la media y parámetros de griegas como
conocidas. En esta sección se establecerán criterios para definir cada una de
éstas.
De ahora en adelante, se trabajará exclusivamente con estructuras de
mercado en UF ya que la cartera de créditos hipotecarios está en UF. En
este caso, la tasa variable de mercado es la tasa TAB en UF a 360 días. En
36
Esta cantidad es después de eliminar los créditos que venían con algún error en la base de datos. Por
ejemplo, saldo insoluto nulo, o sin tasa fija.
37
Claramente, si el plazo residual de un crédito es 1, no se incluye en la valorización ya que no hay
opción residual debido a que la tasa ya está fijada.
el caso de trabajar con cartera de créditos en pesos, se deben utilizar
estructuras de mercado en pesos.
6.2.1. Estructura de tasas
A continuación se define la metodología para obtener la estructura de
tasas spot para realizar la valorización anual. Lo primero, es retomar el
problema del capítulo II en el cual el objetivo era conseguir estructuras de
mercado libres de riesgo como proxy de la tasa corta. Sin embargo, al ser la
tasa TAB en UF la tasa variable de mercado, la estructura de mercado
relevante es la TAB en UF. Esto presenta dos inconvenientes:
• En la práctica no es posible construir una estructura de tasas TAB en
UF ya que esta tasa tiene un plazo máximo de un año.
• La tasa TAB no es libre de riesgo, ya que para determinados plazos
de la TAB, existen otros instrumentos que entregan menores
retornos.
Se plantea la siguiente metodología para corregir este problema:
Considerar una curva libre de riesgo en UF, por ejemplo, de papeles
emitidos por el Banco Central. De aquí es posible obtener la estructura de
tasas a un plazo largo. Luego se compara la tasa TAB en UF a un año con
la tasa a un año de esta curva libre de riesgo y la diferencia entre estas dos
tasas generará un spread que es el diferencial de la tasa variable de mercado
y la tasa libre de riesgo. Este spread se suma a todos los plazos de la curva
libre de riesgo y con ello se obtiene la curva TAB teórica38.
Esto es una simplificación, ya que en estricto rigor, este spread
debiese ser variable en función de los distintos plazos. La ventaja de este
enfoque es que al no considerar el spread como estocástico, la curva TAB
en función de los supuestos que subyacen el cálculo de la dinámica de la
tasa, es libre de riesgo.
Para obtener la curva libre de riesgo en UF inicial, se ha establecido
utilizar una serie diaria de curvas cero pertenecientes al banco local que
extraen información de manera comparable de todos los papeles en UF
emitidos por el Banco Central.
38
Este es un enfoque particular, hay otros más interesantes como estimar un intervalo de confianza para
el apead más que la comparación en un punto. Sin embargo, se recalca que el objetivo de esta tesis no
radica en este análisis.
Cabe constatar la aparición de tasas negativas a un año en algunas
series diarias de esta curva cero, lo cual es contraproducente con la tasa
TAB, que es una tasa activa. Empíricamente, la existencia de tasas
negativas en esta serie es factible, debido a ajustes en las expectativas de
inflación en la parte corta de la curva cero real39. Sin embargo, al usar esta
base de datos, se han podido constatar estructuras de tasas para ciertos días
con tasas negativas incluso para tasas a un año. Esto se debe posiblemente
al enfoque de construcción utilizado para construir esta curva cero. Ante
determinada situación, se ha establecido dejar la curva intacta como input
del modelo de tasas para respetar la consistencia con las otras curvas
diarias utilizadas.
Otro problema que se ha podido apreciar, es que en muy pocos casos,
existen días en que la tasa TAB a un año en UF es menor que la tasa real de
la curva libre de riesgo para el mismo plazo. Esto también puede deberse a
algún problema de construcción de alguna de estas 2 tasas. Ante este caso,
se ha decidido dejar este spread igual a cero.
Finalmente, se tendrá el siguiente input de tasa para el caso anual:
• Paso anual: Estructura de tasas spot TAB en UF a 30 años40 ,
compuestas anualmente, base 30/360, a un plazo igual al plazo
residual del crédito y con intervalos anuales.
Y con ello es posible determinar el input de tasas para Hull y White
mediante (3.32) y Black, usando las ecuaciones (3.32) y (5.3).
En el caso de valorización usando un paso mensual, la estructura de
tasas anterior debe ser construida en intervalos mensuales. Para ello se
realiza una interpolación usando también el método de Nelson y Siegel
(1987).
6.2.2. Volatilidad
El objetivo es calcular la volatilidad relevante de cada uno de los
modelos a implementar. Se deben usar volatilidades históricas en desmedro
de volatilidades implícitas ya que estas opciones incrustadas en créditos
hipotecarios no son transables en el mercado.
39
40
Aproximadamente un mes.
Ya que el mayor plazo residual de un crédito perteneciente a la cartera es igual a 29,1 años.
Para el cálculo de la volatilidad se utiliza la metodología propuesta por
Longerstaey y Spencer (1996) que proponen estimar la volatilidad de la
tasa usando un modelo de suavización exponencial de medias móviles41.
Luego la volatilidad σ en una fecha o instante t+1 se puede expresar como
la raíz de la siguiente fórmula:
∞
σ (i)12,t +1 / t = (1 − β )∑ β j ρ (i )12,t − j
(6.1)
j =0
En donde:
• i representa el plazo de la volatilidad.
• El subíndice 1 quiere decir que se está calculando la volatilidad
diaria.
• El subíndice t+1/t indica que se está estimando la volatilidad en
t+1 condicionada a la información conocida hasta el instante t.
• ρ(i) es el retorno de la tasa spot R al plazo i, observada en t,
obtenida de la estructura de tasas TAB en UF.
• β es el factor de decaimiento y los autores sugieren fijarlo igual a
0,94 en el caso de volatilidades diarias.
Por consistencia estadística, proponen una serie histórica de al menos
550 observaciones. En esta tesis se consideran una muestra de 1.256
observaciones diarias de la curva cero anual, TAB42 en UF a 30 años más
un período43 desde el 1 de Octubre del 2001 hasta el 11 de Octubre del
2006.
En este caso, se desea estimar la volatilidad spot44 asociada a la fecha
de valorización correspondiente a la estructura de tasas TAB en UF.
Considerando entonces una muestra grande, es posible expresar (6.1)
de la siguiente forma:
σ (i)12,t +1 / t = 0.94 * σ (i )12,t / t −1 + 0.06 * ρ (i)12,t
(6.2)
Con lo que la volatilidad anual, será igual a:
σ 360,t +1 / t (i ) = 360 * σ 360,t +1 / t (i )
41
(6.3)
Más conocido como exponentially weighted moving average model (EWMA).
Obtenidas de una base de datos del banco local y corregidas por spread para obtener la curva TAB,
según la metodología vista en la sección 6.2.1.
43
Debido a ecuación (3.19).
44
Notar que la volatilidad conserva las convenciones de tasas mencionadas en la sección anterior.
42
En donde el número dentro de la raíz en (6.3) simboliza el número de
días en un año dada la convención de tasas utilizada.
El principal supuesto de esta metodología es que ρ en un tiempo t
sigue el siguiente proceso estocástico:
ρ t (i ) = σ t (i)η t (i)
(6.4)
Donde ηt es una variable aleatoria independiente idénticamente
distribuida con distribución normal de media cero y varianza 1. El cálculo
de ρ va a depender de la distribución y de la convención de tasas del
modelo utilizado. Esto se ve un poco más adelante.
Con esta metodología, es posible obtener la estructura de
volatilidades spot para cualquier fecha asociada a la estructura de tasas, con
las restricciones comentadas anteriormente.
Sin embargo, no es necesario obtener la estructura de volatilidades
spot para todos los modelos, ya que varios de ellos toman en cuenta la
volatilidad como constante. En ese sentido, es interesante analizar el marco
metodológico de volatilidades spot y planas45 que puede ser visto en Hull
(2005).
La volatilidad spot es la volatilidad asociada a la maduración del
caplet, por lo tanto, es necesario construir una curva de volatilidades spot.
La volatilidad plana es la volatilidad spot asociada a la maduración
del cap46, por lo que la volatilidad se fija para cada caplet, y por ende se
construye una estructura de volatilidad constante. Este es el caso de BDT 1,
Ho Lee y Hull y White.
Desafortunadamente, pueden haber diversos plazos residuales
dependiendo de cada crédito por lo que la cantidad de cálculos aumentaría
bastante47. Por un tema de eficiencia, se considera la volatilidad plana igual
al plazo residual promedio de la cartera de créditos. Con ello es posible
considerar un solo input de volatilidades en estos modelos lo que implica la
construcción de solo un árbol de tasas. Esto es una simplificación, pero se
gana eficiencia y la volatilidad empleada se mantiene consistente entre
modelos.
45
Flat volatilities.
Igual al plazo residual del crédito.
47
En el caso anual habría que calcular como máximo 29 árboles. En el caso mensual, 29*12.
46
Es importante notar que el input de plazo residual del crédito viene
expresado en fracciones de años ya que considera los meses. Por lo tanto,
para el paso anual, el plazo residual promedio de la cartera se redondea al
entero más cercano, que de la tabla 6-1 es posible apreciar igual a 13,6
años. En el caso del paso mensual, se usa también este enfoque48. Es decir,
en el caso de estos modelos, se usará la volatilidad a 14 años asociada a la
fecha t de valorización.
En el caso de BDT 2, el enfoque debiera ser usar una estructura de
volatilidades spot, ya que el modelo se ajusta no solo a la estructura de
tasas, si no también a la estructura de volatilidades. Sin embargo, las
volatilidades obtenidas a partir de la serie histórica son tan altas en la parte
corta de la curva (en algunos casos, volatilidades a un año del orden de
1.000%) que no es posible construir el árbol ya que la búsqueda de raíces
diverge. Este problema ya es constatado por Boyle et al. (2001) que
muestran como para ciertos niveles de volatilidad, BDT 2 colapsa. Por lo
tanto, se decide también usar el enfoque de una estructura de volatilidad
plana para este modelo. Por lo tanto, se tendrá una estructura de
volatilidades spot constante, igual que en el caso de volatilidad plana. Esto
no implica que bajo ese contexto BDT 2 sea igual a BDT 1, ya que al
ajustarse a la estructura de tasas y de volatilidad, la volatilidad de la tasa
corta no tiene por que ser constante. De hecho, dependerá de la forma de la
estructura de tasas, con lo cual los resultados pueden ser diferentes.
El concepto de volatilidad plana también puede aplicarse a Black, tal
como se señala en Hull (2005). La razón del por que se decidió usar
volatilidad plana en desmedro de volatilidad spot es debido a que los
resultados usando el primer enfoque se asemejan más a los otros modelos
de no arbitraje. Tal como se señaló, la volatilidad spot es mucho más
grande en los primeros años de la curva, por lo que este modelo tiende a
sobre valorar la opción con diferencias altísimas en comparación a los otros
modelos. Por lo tanto, en las ecuaciones (5.4) y (5.5), se debe fijar σi, en
base al criterio de volatilidad plana.
A continuación, se muestra como obtener el retorno para el cálculo
de la volatilidad a 14 años para cada uno de los modelos. Se omite i para no
abusar de notación, pero se asume igual a 14.
48
Para estos plazos, la curva es más suave, por lo que no existe una pérdida de precisión relevante.
• BDT
En el caso de Black Derman Toy (1990), hay que recordar que la
volatilidad depende del retorno logarítmico de las tasas compuestas
anualmente, por lo tanto ρ es igual a:
 R
ln t
R
ρ t =  t −s
δt



(6.5)
En donde R es la tasa spot al plazo i. δt es la diferencia entre el número
de días entre t y t-s. Típicamente s es igual a 1, pero se deben considerar las
diferencias de días en la muestra debido a festivos y fines de semana.
Sin embargo, es posible que en la parte corta de la curva puedan existir
tasas negativas por lo que (6.5) podría indefinirse en el caso de que el
producto Rt/Rt-s sea menor que cero. En ese caso, dado que:
d ln R ≈
dR
R
(6.6)
Se utiliza:
Rt − Rt −1
Rt −1
ρt =
δt
(6.7)
• Ho Lee
En este caso, se deben considerar las diferencias absolutas ya que el
incremento de tasas se distribuye normal. De esta forma, ρ es igual a:
ρt =
Rt − Rt − s
δt
• Hull y White
(6.8)
En este caso, se deben considerar ρ calculado en (6.8) asumiendo
tasas continuas, mediante la siguiente relación49:
(6.9)
ln(1 + R) = Rc
También, se puede obtener de manera directa la volatilidad de este
modelo a partir de la volatilidad calculada en Ho Lee. Para ello se debe
diferenciar (6.9)
dR
= dRc
1+ R
(6.10)
Por otro lado, se tiene que la varianza absoluta condicionada este
proceso estocástico es igual a:
σ c2 (i) = σ c2 = V [dRc ]
(6.11)
De igual forma, la varianza absoluta condicionada de la misma tasa,
bajo el mismo proceso, pero compuesta anualmente es igual a:
σ c2 (i ) = σ 2 = V [dR ]
(6.12)
Usando (6.11) y (6.12) en (6.10), es posible encontrar una fórmula para
el cálculo de la volatilidad a usar en Hull y White:
σc =
σ
(6.13)
(1 + R)
• Black
En este caso, ρ es igual al calculado en la ecuación (6.5) con la salvedad
de que la tasa es continua por lo que se debe utilizar (6.9). Al igual que en
Hull y White, es posible obtener la volatilidad de Black de manera directa a
partir de la volatilidad plana de BDT 1. Para ello, notar que la varianza
logarítmica condicionada de este proceso se puede aproximar a:
 dRc 

 Rc 
σ c2 (i) = σ c2 = V [d ln Rc ] ≈ V 
(6.14)
49
Se considera la misma base para las 2 tasas y al mismo plazo i igual al plazo residual promedio de la
cartera .
Usando (6.9) y (6.10) en (6.14) se obtiene:

1

2
 V [dR ]
σ c2 (i ) = σ c2 ≈ 
 (1 + R) ln(1 + R ) 
(6.15)
Multiplicando y dividiendo dentro de la varianza por R y usando la
misma lógica anterior:
 dR 
σ 2 ≈V 
R
(6.16)
σc puede expresarse en términos de R y σ, usando (6.16) en (6.15):

R

σ
σ c ≈ 
 (1 + R) ln(1 + R) 
(6.17)
6.2.3. Coeficiente de reversión α
En esta tesis no se aborda la estimación puntual de este parámetro.
Por referencia, se usa un coeficiente de reversión igual a un 10%, debido a
Pelsser (2000) y Clewlow y Strickland (1998) que usan este valor como
ejemplos, para construir el árbol trinomial.
6.2.4. Griegas
En esta tesis se determinarán Griegas spot a partir de la variación de
las estructuras de mercado enunciadas en la secciones 6.2.1y 6.2.2. Es
decir, una variación en las estructuras de mercado spot con base 30/360 y
composición anual. Esta variación determinará como fluctúan las estructura
de tasas con convención continua y la estructura de tasas forward.
Definir ε no es directo. Debido probablemente a errores numéricos,
la obtención de Gammas negativos en ciertos créditos implica un proceso
iterativo de búsqueda de un ε que reduzca la posibilidad de valores
negativos para esta griega. Eligiendo ε igual a 40 puntos base se han podido
reducir los créditos en los cuales aparecen Gammas negativos. No ha sido
posible obtener gammas positivos para todos los créditos y casos. La
cantidad de puntos base no es relevante, ya que el resultado es por cada un
punto base. (Está dividido por ε, tal como se muestra en la sección 4.2.3).
En el caso del cálculo de Vega, se utiliza un λ igual a 100 puntos
base por convenciones de mercado. Este valor de λ se utiliza típicamente
en modelos en donde la tasa se distribuye Log Normal.
Desafortunadamente, el valor de λ como argumento de la función VO en
(4.30) va a cambiar si la tasa se distribuye Normal. Por lo tanto, se debe
encontrar un λ equivalente a los 100 puntos base para el argumento de la
función VO, en el caso de incremento de tasas con distribución Normal. Es
decir:
ν (λ ) =
VO(σ + λ ′ * 10 −4 ) − VO(σ )
λ
(6.18)
En donde:
λ ′ = λ ′(λ )
(6.19)
Para ello basta realizar la siguiente aproximación. Sea σ1 y σ2 la
volatilidad de un modelo en el cual el incremento de tasas se distribuye Log
Normal y Normal, respectivamente. Recordar además, que cada varianza a
un plazo i se puede obtener de la siguiente relación:
σ 12 (i ) = σ 12 = V [d ln R1 ]
(6.20)
σ 22 (i) = σ 22 = V [dR2 ]
(6.21)
En el caso de Ho Lee, R1 y R2 son iguales ya que es la misma
estructura de tasas spot y, usando la aproximación descrita en (6.14) se
tiene:
 dR 
σ 12 ≈ V  1  =
 R1 
V [dR1 ] V [dR2 ] V [dR ] σ 22
=
=
= 2
R12
R12
R2
R
(6.22)
Y por lo tanto, de (6.22) la volatilidad de las diferencias absolutas en
el retorno se puede expresar en términos de la tasa spot y la volatilidad del
retorno logarítmico a ese plazo:
σ 2 ≈ σ1 * R
(6.23)
Luego, es posible asociar la volatilidad logarítmica con la volatilidad
en diferencias y con ello encontrar un λ´ equivalente mediante la siguiente
ecuación:
σ 2 + λ ′ *10 −4 ≈ (σ 1 + λ *10 −4 ) R
(6.23)
Despejando λ´ de (6.23) se obtiene una forma analítica para (6.19):
λ ′ = ((σ 1 + λ *10 −4 ) * R − σ 2 ) *10.000
(6.24)
En el caso de Hull y White, basta reemplazar σ por σ + λ´ en la
ecuación (6.13).
CAPÍTULO VII
7.
METODOLOGÍA Y RESULTADOS DE LA VALORIZACIÓN
7.1.
Validación de los modelos
En le caso de los modelos de no arbitraje, la primera forma de
comprobar que los modelos estén correctamente construidos es usar la
ecuación (3.19)50 para comprobar que efectivamente, el valor esperado de
los precios contingentes para cada instante i sea igual a la tasa spot
correspondiente.
La segunda forma, y que en estricto rigor, es una consecuencia de la
primera, es notar que si se valoriza una demanda no contingente51, como
por ejemplo, un bono, el resultado que se obtiene al valorizar este
instrumento, mediante el valor presente del valor esperado de los flujos
descontado a la tasa corta usando el árbol debe ser igual al resultado de
valorizarlo usando la estructura de tasas spot.
La tercera forma, es una consecuencia de la teoría de la valoración
neutra al riesgo. Dado que el valor esperado de la tasa en un intervalo de
tiempo futuro es igual al valor promedio de la tasa corta, que no es más que
la tasa forward en ese período, el resultado del VPSO de cada modelo de no
arbitraje debe ser similar al resultado del VPSO usando tasas forward. El
cálculo del VPSO usando tasas forward se puede apreciar en el anexo E. En
el caso del árbol, VPSO se debe multiplicar por el saldo insoluto vigente al
momento de la valorización y dividir por 100 para pasar de la base 100 a la
base original y hacer los resultados comparables. Los resultados indican
una diferencia promedio menor al 1%.
Por otro lado, notar que si se fija el coeficiente de reversión en cero,
el resultado del VO en Hull y White debería ser el mismo que en Ho Lee.
Mediante pruebas realizadas, los resultados entre estos 2 modelos en
promedio, no difieren del 5% al fijar alfa en cero. Esta diferencia puede
deberse a errores numéricos. En Hull y White además, se debe comprobar
que el árbol no haya generado probabilidades de transición negativas.
50
51
En el caso de BDT 2, es necesario usar (3.21) para llegar a (3.19).
Non Contingent claim.
En el caso de Black, el chequeo es trivial, ya que por su simpleza
analítica, su desarrollo es fácilmente desplegable en una planilla Excel.
7.2.
Metodología
La implementación de todos los modelos y la valorización se han
efectuado en Excel 2000, programándolos mediante el editor de Visual
Basic v6.0.
Tal como se ha mencionado, la cartera de créditos corresponde a un
banco local, que por razones de confidencialidad no es posible nombrar.
Las estructuras de mercado libres de riesgo en UF han sido obtenidas de
la información contenida en la base de datos del banco local. Las tasas
TAB en UF a un año han sido obtenidas de la página Web de la asociación
de bancos e instituciones financieras52 (ABIF) y han sido convertidas a la
curva TAB en UF mediante la metodología explicada en el capítulo
anterior.
La metodología para realizar la valorización anual y la comparación
entre modelos consiste en tomar la estructura de mercado spot vigente a la
fecha de la cartera, correspondiente al 11 de Octubre del 2006 y
parametrizarla usando Nelson y Siegel (1987) con el objetivo de realizar un
análisis de sensibilidad sobre la forma de la curva y ver como se adaptan
los modelos en términos de su estabilidad, valor de la opción y griegas.
Con respecto a la estabilidad, pueden existir determinadas estructuras de
mercado que hagan que el modelo colapse. Esto puede entenderse por que
el proceso de búsqueda de raíces diverge, existen precios contingentes o
probabilidades de transición negativas.
Suponiendo que el modelo no colapsa, y cumple las condiciones de
validación para cierta estructura de mercado, es interesante ver cuales son
las diferencias en los resultados entregados por cada uno de los modelos.
Para determinar las estructuras de tasas diversas se ha parametrizado la
curva usando la metodología recomendada por Nelson y Siegel (1987).
Variando los distintos parámetros de la forma funcional que rige la curva
será posible realizar el análisis anterior. En el caso de la volatilidad, al ser
esta constante, la variación se hará solo en nivel.
52
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A continuación se presenta un gráfico de esta estructura de tasas
teórica correspondiente a esta fecha y su detalle:
Figura 7-1: Estructura de tasas asociada a la fecha de valorización.
Fecha 11-10-2006
Vol. Log. 8,36%
Vol. Abs. 0,32%
4,47%
1
4,00%
2
3,76%
3
3,66%
4
3,64%
5
3,65%
6
3,68%
7
3,71%
8
3,75%
9
3,79%
10
3,83%
11
3,86%
12
3,89%
13
3,91%
14
3,93%
15
3,96%
16
3,97%
17
3,99%
18
4,00%
19
4,02%
20
4,03%
21
4,04%
22
4,05%
23
4,06%
24
4,07%
25
4,08%
26
27
28
29
30
31
4,08%
4,09%
4,10%
4,10%
4,11%
Tabla 7-1: Detalle de la estructura de mercado correspondiente a la valorización.
Tal como se dijo, para variar la estructura de tasas se parametrizará
la estructura anterior usando el modelo estático de Nelson y Siegel (1987).
La forma funcional de la curva cero viene dada por la siguiente función:
i
R NS (i ) = β 0 + ( β1 + β 2 )(1 − exp(−i / τ )) * − β 2 exp(−i / τ )
τ
(7.1)
β0, β1, β2, y τ son parámetros a estimar. i es el plazo. Notar que al
haber una forma funcional, es posible interpolar la curva para intervalos
mensuales. Típicamente, estos parámetros se escogen de tal forma que
estos minimicen la suma del error cuadrático medio entre la tasa estimada
por este modelo y la tasa verdadera:
30
min π = ∑ ( R NS (i, π ) −R (i)) 2
(7.2)
i =1
Con π el vector de parámetros formado por:
π = π ( β 0 , β 1 , β 2 ,τ )
(7.3)
Este modelo fue construido para replicar las curvas que por lo
generalmente se ven en la práctica, como monotónicas, con montes o
valles, o en forma de S. La gran ventaja es que dada su forma exponencial,
las curvas generadas son suaves.
La interpretación de cada parámetro es la siguiente:
• β0: Es el valor asintótico de la curva cuando la madurez tiende al
infinito. Se interpreta como la tasa a largo plazo. Notar que también
representa la componente fija de la curva.
• β1: Es el valor inicial de la curva con respecto a la desviación de la
asíntota. Al tender el plazo a cero, β0 + β1 entrega el intercepto
vertical. Este se puede interpretar como la tasa corta.
• τ: Parámetro positivo que determina la posición del primer monte o
valle.
• β2: Determina la dirección y posición del monte o valle de la curva.
Si es positivo, se genera un monte y si es negativo, un valle.
Siguiendo la metodología de Nelson y Siegel (1987), los parámetros
obtenidos para la estructura de tasas anterior se presentan en la siguiente
tabla, aproximados en 2 decimales:
Parámetro
β0
β1
β2
τ
Valor
4,27%
1,09%
-3,64%
2,00
Tabla 7-2: Resultados de la estimación de parámetros de la curva usando Nelson
Siegel.
De esta forma, realizando un análisis de sensibilidad “ceteris paribus”
sobre cada uno de los coeficientes, será posible variar la curva en función
de 3 características: nivel, pendiente y curvatura. Además, se realiza un
análisis de sensibilidad sobre la volatilidad. Los rangos en los cuales se
varían estos parámetros, serán en función aproximada de la data histórica
de la serie de curvas y volatilidades construidas. Para cada caso, se utilizan
21 estructuras de mercado distintas.
• Análisis sobre β0
La variación de β0 implicará un cambio en el nivel de la curva. β0 es
variado desde 1,47% en incrementos de 0,3% hasta 7,47%. La siguiente
figura muestra las estructuras de tasas a utilizar:
Figura 7-2: 21 Estructuras de tasas a utilizar en función de β0.
• Análisis sobre β1
La variación de β1 implicará un cambio en la curvatura y pendiente de la
estructura. La parte larga de la curva se mantiene relativamente invariable
con una diferencia máxima de 0,53% en la tasa a 30 años. β1 es variado
desde –5,95% en incrementos de 0,4% hasta 2,05%. La siguiente figura
muestra las estructuras de tasas a utilizar:
Figura 7-3: 21 Estructuras de tasas a utilizar en función de β1.
• Análisis sobre β2
La variación de β2 implicará un cambio en la curvatura y pendiente
de la estructura. β2 es variado desde –6,14% en incrementos de 0,5% hasta
3,86%. La parte larga de la curva se mantiene relativamente invariable,
pero menos que en el caso anterior, con una diferencia máxima de 0,67%
en la tasa a 30 años. De esta forma, se parten con estructuras con un valle
para pasar a estructuras con un monte. La siguiente figura muestra las
estructuras de tasas a utilizar:
Figura 7-4: 21 Estructuras de tasas a utilizar en función de β2.
• Análisis sobre τ
La variación de τ implicará un cambio en el nivel, curvatura y
pendiente de la estructura. τ es variado desde aproximadamente el año 0
para lograr una estructura plana en incrementos de 0,5 años hasta 10. Se
varía τ en estas magnitudes para generar la mayor diversidad posible en las
curvas. A medida que se varía τ se va desde una estructura plana, a una
creciente cóncava, a una curva con valle hasta llegar a una estructura
decreciente convexa. La siguiente figura muestra las estructuras de tasas a
utilizar:
Figura 7-5: 21 Estructuras de tasas a utilizar en función de τ.
• Análisis sobre volatilidad
La variación de σ se realiza mediante un cambio lineal en el nivel de
la volatilidad. σ es variado desde 5,05 % en incrementos de 2% hasta
45,05% en el caso de incrementos de tasas con distribución Log Normal.
Para hacer consistente esta variación con incrementos de tasas con
distribución Normal se utiliza la ecuación (6.23) y luego, se utilizan las
otras ecuaciones vistas en la sección 6.2.2 para hacer la volatilidad válida
para cada modelo.
En el caso de la valorización anual vs. valorización mensual, se
realiza la comparación de los resultados del primer caso vs. el segundo
utilizando las observaciones 1,6,11,16 y 21 de todos los casos anteriores.
Finalmente, ya establecidos los inputs, es posible correr el programa
que valoriza la cartera. En el caso de los modelos de no arbitraje con paso
anual, se puede apreciar en la siguiente figura un diagrama de flujo con el
resumen del proceso de valorización:
Figura 7-6: Diagrama de flujo que resume el proceso de valorización anual de los
modelos de no arbitraje en función de los capítulos anteriores.
Para BDT mensual, el proceso es el mismo solo que posterior a la
construcción del árbol de la tasa corta mensual, se deben reconstruir las
tasas anuales.
Para el caso de Black, este es el resumen del proceso de valorización:
Figura 7-7: Diagrama de flujo con el resumen del proceso de valorización mediante
Black. La letra k simboliza la griega utilizada. 1: Delta, 2: Gamma, 3: Vega.
En todos los casos anteriores, se asume en el diagrama que los inputs
de mercado son consistentes con las convenciones de tasas acordadas para
cada modelo.
CAPÍTULO VIII
8.
CONCLUSIONES
8.1.
Resultados Obtenidos
8.1.1. Valorización anual
• Análisis sobre β0
La siguiente figura muestra como varía el valor de la opción al aumentar
el nivel de la estructura de tasas:
Figura 8-1: Valor de la opción en función de β0.
Para niveles bajos de estructura de tasas, el valor de la opción para
Black es extremadamente alto en comparación a los otros modelos. A
medida que aumenta el nivel, BDT 1 y BDT 2 tienden a aumentar el valor
de la opción e incluso, sobrepasar a Black. Ho Lee es el que tiene el
segundo valor más alto a niveles bajo de estructuras de tasas, pero después
es sobrepasado por los otros tres modelos. Pero cuando el nivel de tasas es
muy alto, Ho Lee tiende a entregar los mayores valores de la opción. En el
caso de Hull y White, el modelo no es válido ya que para las primeras 8
estructuras de tasas, el modelo entrega precios contingentes negativos por
lo que el procedimiento iterativo para construir el árbol colapsa y en las
últimas 13 observaciones entrega probabilidades de transición negativas. El
detalle de los resultados puede ser vistos en el anexo F.1.
En el caso de Delta se aprecia el mismo comportamiento. Esto se
aprecia en la siguiente figura:
Figura 8-2: Delta en función de β0.
El caso de Gamma es más incierto. Para niveles muy bajos y muy
altos de tasas, los mayores gammas son entregados en orden decreciente
por Black, BDT 2, BDT 1 y Ho Lee. Pero para niveles intermedios, el
orden es el contrario. Tal como se aprecia en la siguiente figura:
Figura 8-3: Gamma en función de β0.
La aparición de Gammas negativos para niveles altos se debe a que el
VCO es negativo, ya que la estructura se encuentra muy cercana a la tasa
techo.
En el caso de Vega, Black entrega los valores más altos. BDT 2 entrega
valores más altos que BDT 1 por el efecto de la volatilidad. Ho Lee entrega
valores mayores a estos 2 últimos niveles para estructuras bajas y menores
a medida que aumenta el nivel.
Figura 8-4: Vega en función de β0.
• Análisis sobre β1
La siguiente figura muestra como varía el valor de la opción al
aumentar el nivel, la pendiente y la curvatura de la curva. Esta variación se
ve principalmente reflejada en las tasas hasta 15 años. La parte a más largo
plazo de la curva prácticamente permanece inalterada:
Figura 8-5: Valor de la opción en función de β0.
Se aprecia que el valor de la opción es relativamente insensible a
grandes variaciones en las tasas hasta 15 años. Aunque a medida que la
parte corta de la curva se acerca a la tasa techo, comienza a aumentar de
manera considerable el valor de la opción. Sin embargo, entre modelos, las
magnitudes en las diferencias son grandes. Black sigue entregando el valor
de la opción más alto, seguido por BDT 2, BDT 1, Ho Lee y finalmente
Hull y White. Este último modelo solo entrega valores para 3
observaciones, esto es aproximadamente para curvas relativamente planas.
En la vecindad a estas, tanto por arriba y por abajo, entrega probabilidades
negativas y para los valores extremos de β0, entrega precios contingentes
negativos con lo que el árbol no puede ser construido. El detalle de los
resultados puede ser vistos en el anexo F.2.
Para los Delta calculados, se observa el mismo comportamiento que
en el caso del valor de la opción.
Figura 8-6: Delta en función de β1.
En el caso de Gamma, los resultados se invierten con respecto al VO
y Delta, siendo Hull y White el que entrega los Gammas más altos y Black
los más pequeños.
Figura 8-7: Gamma en función de β1.
Vega sigue el mismo patrón que el VO. Black entrega el Vega más alto,
independiente de β1 y de manera estable, seguido por BDT 2, BDT 1, Ho
Lee y Hull y White.
Figura 8-8: Vega en función de β1.
• Análisis sobre β2
La siguiente figura muestra como varía el valor de la opción al
modificar el nivel, la pendiente y la curvatura, principalmente, en la parte
de la curva de tasas hasta 15 años y en menor magnitud, en las tasas a
plazos más largos:
Figura 8-9: Valor de la opción
en función de β2.
Los resultados muestran el mismo patrón que en el caso de β0.
Mientras más cerca esté la curva de la tasa techo, mayor es la convexividad
en el valor de la opción, en particular, de los modelos de no arbitraje que
tienden a superar a Black. En el caso de Hull y White, para las primeras 5
observaciones (estructuras bajas, con valle) entrega precios contingentes
negativos, con lo que no es posible construir el árbol. Para las siguientes 6
observaciones, entrega probabilidades negativas. Solo se comporta bien
para estructuras más planas y con montes. El detalle de los resultados
puede ser vistos en el anexo F.3.
En el caso de las griegas, se puede apreciar un comportamiento
combinado de β1 y β0, aunque principalmente, influenciado por este último,
ya que el aumento de nivel en la parte larga de la curva hace que si uno
extrapola, Ho Lee, y en menor medida Hull y White, BDT 2 y BDT 1,
tiendan a entregar Deltas más grandes que Black. En el caso de Gamma, se
observa la forma de campana, tal como en β0, pero más atenuada, siendo
Hull y White el que entrega los Gammas más altos. El mismo
comportamiento de β0, pero de manera más atenuada, se observa en los
resultados de Vega.
Figura 8-10: Delta en función de β2.
Figura 8-11: Gamma en función de β2.
Figura 8-12: Vega en función de β2.
• Análisis sobre τ
A medida que se varía τ, se va desde una estructura plana, a una
creciente cóncava, luego de una curva con valle a una creciente cóncava
con un valle hasta llegar a una estructura decreciente convexa. La siguiente
figura muestra como varía el valor de la opción:
Figura 8-13: Valor de la opción en función de τ.
Sustentado en los casos anteriores y en este, es posible apreciar que
nuevamente el valor de la opción está dado principalmente por el nivel de
las tasas largas de la curva (tasas a un plazo entre 15 a 30 años). La
estructura plana, entrega el mayor valor de la opción. A medida que
aumenta τ, la curva pasa a ser cóncava creciente, para finalmente ser
convexa decreciente. En este caso, las tasas largas disminuyen al mínimo, y
las tasas cortas son más altas, por lo que en este caso, el valor de la opción
está explicado principalmente por la curva de tasas hasta 15 años. En
promedio, está curva tiene un nivel parecido a la curva plana, pero el valor
de la opción en la segunda es bastante más alta, lo que avala en hecho de
que el nivel de la parte larga de la curva aporta bastante más en el valor de
la opción que la parte corta.
Notar nuevamente, que Black entrega el valor de la opción más alto,
seguido por BDT 2, BDT 1, Ho Lee y Hull y White. Este último modelo,
solo funciona para la curva plana. En esta vecindad, entrega probabilidades
negativas para las próximas 4 observaciones y el resto, precios contingentes
negativos. El detalle de los resultados puede ser vistos en el anexo F.4.
En el caso de la griega Delta, al haber en un comienzo un nivel alto
de la estructura de tasa, sobretodo en la parte larga, dado por la estructura
plana, BDT 2 y BDT 1 entregan los valores más altos de Delta, sin
embargo, el nivel no es tan alto para que Ho Lee entregue el nivel más alto
de Delta. Al bajar el nivel de tasas en la parte larga, se vuelve al caso en
que el mayor Delta es entregado por Black, luego BDT 2, BDT 1, Ho Lee y
Hull y White.
Figura 8-14: Delta en función de τ.
En el caso de Gamma, a medida que aumenta τ, se forma la campana
invertida ya que baja el nivel de las tasas largas. Nuevamente, el Gamma de
Ho Lee es el más sensible al nivel de tasas.
Figura 8-15: Gamma
en función de τ.
Finalmente, para Vega, los valores de éste obtenidos por Black son
los más altos, seguido por BDT 2 y BDT 1. Aunque Ho Lee es un poco
mayor que este último, en la parte mediana, donde el nivel promedio de la
curva es mayor.
Figura 8-16: Vega en función de τ.
• Análisis sobre volatilidad
En este caso, se deja constante la curva parametrizada por el método
de Nelson y Siegel (1987) y se procede a variar de forma lineal la
volatilidad. En los siguientes gráficos, se muestra solamente, la volatilidad
logarítmica en el eje X, pero hay que notar que tal como se explicó en las
secciones anteriores se utilizó una aproximación análoga de esta volatilidad
para los otros modelos de manera de hacer comparables los resultados.
Al aumentar la volatilidad, la diferencia entre el valor de la opción en
Black y el resto de los modelos tiende cada vez más a ser mayor. De la
misma manera, Ho Lee a niveles de volatilidad del 37% entrega un mayor
valor de la opción que BDT 2 y BDT 1. Ho Lee, siempre entrega el valor
más bajo.
En el caso de BDT 2, a partir de la curva número 8, es decir, a partir
de una volatilidad plana de aproximadamente un 18%, el modelo no es
capaz de construir el árbol ya que diverge en la búsqueda de raíces dada
por Newton Raphson. En el caso de Hull y White, para volatilidades muy
bajas, entrega precios contingentes negativos. A medida que aumenta la
volatilidad, entrega probabilidades negativas para finalmente, a partir de
volatilidades del orden del 17%53 entregar los resultados de manera válida.
El detalle de los resultados pueden ser vistos en el anexo F.5.Gráficamente,
esto se aprecia en la siguiente figura:
Figura 8-17: Valor de la opción en función de la volatilidad.
A diferencia de los casos anteriores, el mayor nivel de la volatilidad,
no hace que el Delta de Ho Lee sea mayor que el de los otros. En este caso,
los modelos con distribución logarítmica del incremento de tasas, tienen un
Delta mayor, que Ho Lee y Hull y White. Aunque a mayor volatilidad,
BDT 1 y BDT 2, tienden a superar a Black.
53
La analogía en diferencias absolutas es de aproximadamente un 0,67%.
Figura 8-18: Delta en función de la volatilidad.
En el caso de Gamma, Ho Lee entrega valores más altos para niveles
en torno al 27%. Black entrega los valores más bajos de Gamma. Hull y
White entrega nuevamente los mayores valores de Gamma. Black y Hull y
White, entregan créditos con Gamma negativos. A medida que aumenta la
volatilidad, Black entrega Gammas negativos y una proporción de
aproximadamente el 33% de los créditos entrega Gammas negativos con un
valor total promedio igual a menos 2 UF. En este caso, Black y BDT 1 se
comportan de manera similar a mayor volatilidad. Lo mismo, en el caso de
Ho Lee y Hull y White.
Figura 8-19: Gamma en función de la volatilidad.
Finalmente, para Vega, a mayor nivel de volatilidad, notar que Black
y BDT 1, se comportan de manera similar, siendo el primero el que entrega
el valor de Vega más alto. Aunque para niveles muy altos de volatilidad,
Ho Lee sobrepasa a todos los modelos. Hull y White se comporta de
manera similar que Ho Lee, pero entrega Vegas más chicos.
Figura 8-20: Vega en función de la volatilidad.
8.1.2. Valorización mensual
En el caso de β0, El valor de la opción usando BDT 1 mensual es más
grande que usando BDT 1 anual para niveles bajos y altos de estructuras de
tasas. Para niveles intermedios, BDT 1 anual es mayor que BDT 1 mensual.
Sin embargo, las diferencias en los resultados son bastante pequeñas salvo
cuando el nivel de la estructura es muy baja, éstas no superan el 10%. Esto
se puede apreciar en la siguiente figura que muestra el valor de la opción
para este caso y en el detalle de los resultados entregados en el anexo G.1 y
G.2, donde se visualizan las griegas:
Figura 8-21: BDT 1 anual vs. BDT 1 mensual variando β0.
Con β1 la variación es aún menor, donde las diferencias en los
resultados del valor de la opción y griegas no superan el 4% con respecto a
BDT 1 mensual vs. BDT 1 anual. A medida que la estructura de tasas se
hace más convexa y aumenta su nivel, pasando de una curva creciente a
decreciente, la valorización anual se asemeja a la mensual. Pareciera ser
que al aumentar aún más β1, BDT 1 mensual sería mayor al anual. Esto es
consecuente con la parte anterior, ya que en el fondo, la curva se está
acercando cada vez más a la tasa techo. Esto se puede apreciar en la
siguiente figura que muestra el valor de la opción para este caso y en el
detalle de los resultados entregados en el anexo G.1 y G.3, donde se
visualizan las griegas:
Figura 8-22: BDT 1 anual vs. BDT 1 mensual variando β1.
En el caso de β2 se tiene que al aumentar este parámetro, la pendiente
promedio se hace cada vez mayor y por lo tanto, BDT 1 mensual supera a
BDT 1 anual. Cuando las curvas son relativamente planas y decrecientes
convexas, se dan los valores más parecidos. Para curvas relativamente
planas con valle, BDT 1 mensual es menor. Es mayor cuando las curvas
tienen un monte. Sin embargo, en este caso, las tasas largas también han
aumentado de nivel, por lo que es posible que parte de esta alza sea
explicada por este factor. La diferencia promedio en el valor de la opción
no supera el 4%. Las mayores diferencias se dan en las griegas, aunque en
términos de diferencias absolutas, son muy bajas. Cuando las curvas son
relativamente planas y decrecientes convexas, delta y vega tienden a tener
los valores más cercanos. Por el contrario, en el caso de Gamma, se
observan las mayores diferencias. Vega mensual es siempre menor. Esto se
puede apreciar en la siguiente figura que muestra el valor de la opción para
este caso y en el detalle de los resultados entregados en el anexo G.1 y G.4,
donde se visualizan las griegas:
Figura 8-23: BDT 1 anual vs. BDT 1 mensual variando β2.
En este caso, se da también que para curvas decrecientes convexas y
con montes, tanto BDT 1 mensual es mayor que BDT 1 anual y viceversa.
Una explicación posible es que el mayor valor de una con respecto a la otra
esté dado en gran parte por el nivel de la estructura de tasas, en particular,
de las tasas largas. Eventualmente, en algún punto el valor de la opción
para estos 2 casos es el mismo, para un τ entre el año 4 y 5. Las diferencias
en el valor de la opción en promedio son aproximadamente un 7%. Las
griegas no difieren en promedio de un 3%. Vega mensual es siempre
menor. Esto se puede apreciar en la siguiente figura que muestra el valor de
la opción para este caso y en el detalle de los resultados entregados en el
anexo G.1 y G.5, donde se visualizan gráficamente las griegas:
Figura 8-24: BDT 1 anual vs. BDT 1 mensual variando τ.
A medida que aumenta la volatilidad, BDT 1 mensual se hace mayor
a BD1 anual. El caso contrario se da para volatilidades bajas, por lo que
eventualmente, para volatilidades alrededor de un 30% estos 2 modelos
entregan el mismo valor de la opción. La diferencia promedio en el valor
de la opción es de un 3%. En el caso de las griegas, se da también que para
valores altos de la volatilidad, las griegas mensuales son mayores. Para
volatilidades pequeñas, las griegas anuales son mayores. Las diferencias no
superan el 6% promedio.
Figura 8-25: BDT 1 anual vs. BDT 1 mensual variando la volatilidad.
8.2.
Conclusiones
En esta tesis se han revisado algunos de los modelos más importantes de
la corriente de los modelos de no arbitraje para valorizar opciones
incrustadas sobre tasas de interés y sus respectivas griegas en una cartera
de créditos hipotecarios mixtos con tasa techo móvil. Además, se ha
implementado Black, que es el principal modelo utilizado en la banca
chilena para valorizar estas opciones.
El objetivo principal, es contrastar cada uno de estos modelos en
términos del valor de la opción y griegas suponiendo una variada gama de
estructuras de mercado y realizar un análisis costo beneficio para ver si
estos compensan el costo de su implementación en función de la diferencia
en los resultados.
Lo primero que se ha podido comprobar, es que los resultados
entregados por los distintos modelos dependiendo de ciertos inputs de
mercado, pueden llegar a ser muy distintos entre si. En muchos casos, la
diferencia en las magnitudes de los resultados entregados es muy grande.
En el mercado, este tipo de opciones no son transables, por lo que es
imposible establecer un criterio de elección del modelo basado en
transacciones de mercado.
Afortunadamente, el análisis realizado en la sección anterior permite
concluir en base a los objetivos específicos anteriormente planteados, la
ventaja de ciertos modelos con respecto a otros. En ese sentido, es posible
apreciar que el grado de dificultad o la complejidad del modelo no es
sinónimo de un modelo más robusto o que se ajuste de mejor forma a la
data chilena de mercado.
Sin embargo, un cierto grado de complejidad es aceptable y de esta
forma se concluye que el modelo BDT 1 presenta varias ventajas con
respecto a los otros modelos. Esto de alguna forma está avalado por la
evidencia empírica en donde este modelo es uno de los más utilizados en la
práctica en mercados más desarrollados.
A continuación se detallas algunas de las razones por las cuales este
modelo presenta más beneficios que los otros:
• Estabilidad y ajuste
En forma global, se puede decir que los modelos son bastante
estables y presentan patrones de comportamiento relativamente
parecidos, lo que permite hacer más fácil la comparación entre éstos. No
se observa una tendencia caótica en los resultados, aunque existen
algunos resultados extraños como el Gamma de Hull y White al
aumentar la volatilidad.
El hecho de modelar la reversión a la media o ajustar a la curva de
volatilidades presenta características deseables que en un principio
pueden parecer sumamente tentadoras. Sin embargo, se ha podido ver
que el grado de ajuste de Hull y White y BDT 2 es muy pobre y solo es
posible obtener resultados en algunos pocos casos. En particular,
pareciera ser que Hull y White se comporta bien para niveles altos de
volatilidad y estructuras relativamente planas. En el caso de BDT 2, el
modelo es deficiente en el caso de volatilidades altas. Hay que recordar
que bajo el enfoque de una estructura de volatilidades spot, el modelo
siempre divergía haciendo imposible construir el árbol ya que las
volatilidades calculadas eran muy altas. Al usar una estructura de
volatilidades planas, el problema se aminora, pero en ese caso los
resultados son muy parecidos entre BDT 1 y BDT 2, lo que no
compensa implementar el segundo modelo.
Black, BDT 1 y Ho Lee han mostrado ajustarse bien a todos los
inputs de mercado lo cual presenta una ventaja con respecto a los dos
modelos anteriores.
• Sensibilidad y cobertura
Los modelos con distribución Normal en el incremento de tasas
presentan los mayores valores de Gamma. Esto implica que para el tema
de cobertura, la posición que inmuniza el riesgo de la cartera ante
fluctuaciones de tasas debe ser reajustada de forma más seguida que en
los modelos con distribución Log Normal en el incremento de tasas.
Esto queda claramente apreciado al aumentar el nivel de las tasas largas.
Eso si, al haber un nivel más bajo, Black es el que debe ser reajustado
de manera más frecuente.
Un modelo más robusto es BDT, que de alguna forma u otra, siempre
tiende a estar en un punto intermedio de entre los valores de la opción y
griegas de los otros modelos. Lo cual involucra menor sensibilidad ante
los inputs de mercado y por ende un menor reajuste en la posición de
inmunización.
En el caso de la volatilidad, es posible apreciar que para valores
empíricos de la volatilidad calculada, Black es altamente sensible a
cambios en la volatilidad. Esto se puede ver en todos los casos de Vega
al variar los parámetros de la curva parametrizada y una notable
diferencia en el valor de la opción al aumentar la volatilidad. Esto es
sumamente crítico ya que el cálculo de la volatilidad es uno de los temas
más complejos que revisten hoy en día las finanzas y los enfoques para
el cálculo pueden muchos por lo que es esencial poder contar con un
modelo que intente ser muy insensible a este parámetro. Otro punto
agravante, es que acá se está usando el enfoque de volatilidades planas,
ni siquiera el de una estructura de volatilidad spot. En este sentido los
modelos de no arbitraje presentan una ventaja ya que tienen un Vega
más pequeño.
• Forma de la estructura de tasas spot
El valor de la opción está principalmente explicada por el nivel de las
tasas largas a un plazo de entre 15 a 30 años. Típicamente, esta es la
parte más suave y plana de la curva. Ha sido posible apreciar que la
pendiente y curvatura del modelo no son factores relevantes para la
elección de un modelo ya que ha sido posible notar que al variar β2 y τ,
el patrón sigue siendo siempre el mismo en cuanto al valor de la opción.
Sin embargo, si se observan las griegas, es posible ver que Ho Lee, Hull
y White y Black, presentan una mayor variabilidad ante cambios en la
pendiente y curvatura.
Sin embargo, si se analiza netamente el valor de la opción, al haber
un nivel de tasas largas bajo, el mayor valor va a estar dado por Black,
BDT2, BDT 1, Ho Lee y Hull y White. En el caso contrario, los
modelos de no arbitraje tienden a superar a Black en el valor de la
opción al haber un nivel de tasas largas altas. De este modo, Ho Lee
entrega los mayores valores, seguidos por Hull y White, BDT 2, BDT 1
y Black. Notar que BDT 1 se encuentra siempre en un nivel intermedio.
El cambio en la pendiente y curvatura, (ver β2 y τ), prácticamente no
influyen en cambios en el orden de magnitud en los resultados del valor
de la opción en los modelos.
• Volatilidad
La volatilidad es un factor crítico, ya que a medida que esta aumenta,
las diferencias en el valor de la opción entre uno y otro modelo, pueden
llegar a ser extremadamente grandes. En particular, Black, que es muy
sensible a la volatilidad, entrega valores altísimos de la opción relativos
a los otros modelos. Por otro lado, Hull y White, entrega valores
bajísimos. BDT 1 tiene la ventaja de presentar una tendencia menos
pronunciada en las griegas que los otros modelos, lo cual para
volatilidades extremadamente altas, es una ventaja. En particular, esto
se aprecia en Vega. Además, hay que recordar que BDT 2 falla para
volatilidades altas y lo mismo pasa con Hull y White en el caso de
volatilidades bajas.
Como dato aparte, se deja constancia la existencia de Gammas
negativos, a medida que aumenta la volatilidad. Esto sin embargo,
ocurre para valores bastante extremos. Aunque pueden haber Gammas
negativos, aún cuando VPCO sea positivo, se ha podido constatar que
escogiendo los valores ε igual a 40 puntos base y λ igual a 100 puntos
bases prácticamente se elimina la existencia de Gammas negativos y en
comparación del Gamma total, la suma de los créditos con Gamma
negativos son bajos. Sin embargo, para una volatilidad muy alta, Black
entrega Gammas negativos como total.
• Tasas negativas
Los modelos de Ho Lee y Hull y White presentan tasas negativas.
Tal como se dijo, esto es inconsecuente con la evidencia empírica. Hay
que recordar que la tasa TAB es una tasa activa, por lo tanto, tener una
dinámica de tasas en donde la probabilidad de encontrar tasas negativas
sea positiva, presenta un problema que es corregido por los modelos de
arbitraje con distribución Log Normal.
En el caso de la valorización usando paso anual vs. paso mensual, se
tienen las siguientes conclusiones. La implementación de BDT 1 anual con
respecto a BDT 1 mensual genera diferencias en promedio en torno al 5%
de una con respecto a la otra en términos del valor de la opción y sus
griegas y en caso de que estas diferencias sean grandes, como en el caso de
un nivel de tasas largas bajas, las diferencias absolutas son pequeñas. Esto
es bastante más pequeño que las diferencias entre los resultados de los
modelos de no arbitraje. Se cree que establecer un error de tolerancia del
orden del 5% no es para nada grotesco. Luego, al ser las diferencias
bastante pequeñas, se recomienda utilizar la valorización anual en
desmedro de la mensual. De esta forma se genera una mayor eficiencia ya
que los tiempos de computación son mucho menores54.
En consecuencia, el modelo que mejor se comporta es BDT 1. Sin
embargo, la SBIF promueve la implementación de cualquier modelo lo que
va acorde a las características de Basilea. Sin embargo, es posible notar que
la elección de un modelo en desmedro de otro, implicará donde deberán
estar asignados de mejor forma los recursos.
En particular, la focalización debiera estar en donde se producen las
mayores variaciones. La forma de la curva spot en cuanto a su curvatura y
pendiente no es tan relevante como el nivel de la parte larga de la curva.
Por lo tanto, los recursos no debiesen estar focalizados en determinar una
curva spot mediante un método muy complejo.
La volatilidad ha demostrado ser muy importante, ya que los modelos
son altamente sensibles a ésta. En particular, Black, que es un modelo
altamente utilizado en la industria local. Es por ello necesario reforzar los
métodos de estimación para el cálculo de volatilidad incorporando nuevas
metodologías y estudios.
Se ha podido apreciar, que a veces, la complejidad de los modelos no se
traduce en modelos más robustos y con mejor ajuste. Sin embargo, es
interesante profundizar en particular dados los resultados vistos, en el
modelo de Black y Karasinski (1991) a volatilidad constante, que es la
versión de BDT 1 con reversión a la media. En el caso de Hull y White,
este modelo demostró tener un pobre ajuste a la data chilena al igual que
BDT 2.
BDT 1 y Ho Lee en ese sentido presentan las mayores ventajas, aunque
BDT 1 es menos sensible a los inputs de mercado en casos más extremos y
presenta la ventaja de tasas positivas. A pesar de que este tipo de créditos
son relativamente nuevos y las opciones no son transables, una forma
futura de analizar en la práctica cual modelo se comportó mejor es
realizando pruebas de back testing para poder establecer como se ajustaron
los modelos al escenario real.
Se recalca que este trabajo radica en una serie de varios otros supuestos
que son dignos de ser analizados. Dentro de éstos, están la forma de
construir la curva TAB teórica, la estimación de la volatilidad, la fijación
54
El cálculo del valor de la opción y las griegas demora aproximadamente 15 minutos utilizando un paso
anual y aproximadamente tres horas y media mediante paso mensual. Para ello, se utilizó un computador
con un procesador Intel Celerón de 1.8 Ghz y 256 MB de RAM.
del coeficiente de reversión, entre otros. Como trabajos complementarios,
se sugiere el estudio de otros métodos para poder redefinir y contrastar los
supuestos anteriormente señalados a lo largo de esta tesis.
Finalmente, se sugiere la variación de inputs financieros asociados al
crédito para poder establecer políticas para la fijación de la tasa techo o el
spread crediticio, por ejemplo. O también, la incorporación de otros
modelos para valorizar derivados de la tasa de interés para poder
contrastarlos con los modelos ya implementados.
El campo de estudio revisado en esta tesis es muy amplio y requiere de
varios supuestos y escenarios que perfectamente pueden ser redefinidos y
analizados. Este trabajo intenta otorgar una línea de partida.
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ANÉXOS
A.
A.1.
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
Newton Raphson unidimensional
Este método iterativo sirve para encontrar U(i) usando BDT ajustado por
rendimiento.
El método de Newton Raphson consiste geométricamente en extender la
línea tangente de la función hasta un punto xi que cruce cero para luego
elegir xi+1 como la abscisa del punto que cruza cero. Más claro se puede
apreciar en el gráfico A-1.
El método de Newton extrapola la derivada local para encontrar la
siguiente estimación de la raíz. En este ejemplo, se encuentra la raíz y converge
cuadráticamente.
Figura A-1:
Algebraicamente, el objetivo es encontrar la raíz de f(x), x* por lo tanto,
usando una expansión de Taylor en torno a x0, de forma tal de encontrar:
x * tal que f ( x * ) = 0
Aplicando Taylor sobre f:
(A.1)
f ( x) = f ( x0 ) + f ´(x)( x − x0 ) +
1
f ´´(x)( x − x0 ) 2 + ...
2
(A.2)
Considerando solo los términos lineales, se obtiene:
f ( x) = f ( x0 ) + f ´(x)( x − x0 ) = 0
(A.3)
Lo que implica:
f ( x0 )
f ´(x)
x = x0 −
(A.4)
Luego, el algoritmo a aplicar es:
1) Escoger x0
2) Encontrar x1 tal que
x1 = x0 −
f ( x0 )
f ´(x0 )
(A.5)
3) Si
( x1 − x0 ) 2 < ε tal que ε → 0
(A.6)
Parar. Se ha encontrado la solución de la ecuación.
4) Si no, volver al paso 2 para encontrar x2, luego la iteración k-ésima es:
x k +1 = x k −
f ( xk )
f ´(x k )
(A.7)
Por lo tanto, usando BDT1, sea k cierta iteración del período i:
f k (i ) = P (i + 1) − ∑
j
Q(i, j )
[1 + U k (i ) * exp(σ * j * dt )] dt
(A.8)
y la derivada de f(i) con respecto a U es:
f k´ (i ) = ∑
j
Q(i, j ) * exp(σ * j * dt ) * dt )
[1 + U k (i ) * exp(σ * j * dt )] dt +1
(A.9)
En consecuencia, el algoritmo a aplicar es:
U k +1 (i ) = U k (i ) −
f k (U k (i ))
f k´ (U k (i ))
(A.10)
si
(U k +1 (i ) − U k (i )) 2 < ε tal que ε → 0 entonces se ha encontrado la solución,
si no volver a iterar usando (*), donde U k +1 (i) = U k (i) .
Sin embargo, es importante notar que para cierto tipo de funciones, Newton
Raphson puede no converger. Al menos, en el caso de BDT1, al escoger
para cada U0(i) el punto de partida UK(i-1), donde UK representa El valor
escogido en i-1, no ha habido problemas. En el caso de UK(1) se utiliza
R(0).
El cálculo es análogo en el caso de Ho Lee, sólo que recordar que el
incremento de tasas es normal en vez de lognormal, luego (A.8) se escribe
como:
f k (i ) = P(i + 1) − ∑
j
Q (i, j )
[1 + U k (i ) + σ * j * dt ] dt
(A.11)
A.2.
Newton Raphson bidimensional
Este método iterativo sirve para encontrar las raíces de U(i) y de σ(i)
usando BDT2 ajustado por rendimiento y volatilidad.
El razonamiento es el mismo que en el caso unidimensional, no es objetivo
de este trabajo profundizar más en el tema. Para más información ver Press,
Teukolsky, Vetterling y Flannery (1992)
Nuevamente, el objetivo es encontrar la raíz de f(x), x*, donde x es un
vector de la forma:
 x (t ) 
x(t ) =  1  y
 x 2 (t )
 f (x )
f ( x) =  1 t 
 f 2 ( xt )
(A.11)
Por lo tanto, usando el mismo razonamiento anterior en base a una
expansión de Taylor en torno a x0, se obtiene:
f ( x) = f ( x0 ) + ∇f ( x)( x − x0 ) +
1
H ( x)( x − x0 ) 2 + ...
2
(A.12)
Considerando solo los términos lineales, se obtiene:
f ( x) = f ( x0 ) + ∇f ( x)( x − x0 ) = 0
x = x 0 − ∇f
−1
( x) f ( x0 )
(A.13)
(A.14)
Luego, el algoritmo a aplicar es:
1) Escoger x0=(y0,z0)
2) Encontrar x1 tal que
x1 = x0 − ∇f
−1
( x0 ) f ( x0 )
3) Si
( y1 − y 0 ) 2 + ( z1 − z 0 ) 2 < ε tal que ε → 0
(A.15)
Parar. Se ha encontrado la solución de la ecuación.
4) Si no, volver al paso 2 para encontrar x2, luego la iteración k-ésima es:
x k +1 = x k − ∇f
−1
(A.16)
( xk ) f ( xk )
donde
 ∂f1
 ∂x1
∇f ( x t ) = 
∂f 2
 ∂x
1

∂f1

 ∂f 2
1
∂x 2 
∂x 2

−1
 → ∇f ( xt ) = ∂f

∂f 2
−
∂
f
∂f 2
∂f 2

2
1
− ∂f1
∂x 2 
∂x1
∂x 2
∂x 2
∂x1  
 ∂x1
− ∂f1
Luego, usando BDT2, sea k cierta iteración del período i:
 fU [U (i ), σ k (i )]
f k ( x k (i )) =  k k

 fDk [U k (i ), σ k (i )]
U (i ) 
x k (i ) =  k  y
σ k (i ) 
(A.17)
tal que:
fU k (i ) = PU [i + 1] − ∑
j
QU [i, j ]
[1 + U k (i ) * exp(σ k (i ) * j * dt )]dt
(A.18)
y
fDk (i ) = PD [i + 1] − ∑
j
QD [i, j ]
[1 + U k (i ) * exp(σ k (i ) * j * dt )]dt
(A.19)
Tomando las derivadas:
∂fU k (i )
∂fU k (i )
∂fDk (i )
∂fDk (i )
QU [i, j ] * exp(σ k (i ) * j * dt ) * dt
∂U k
=∑
∂σ k
=∑
QU [i, j ] * U k (i ) * exp(σ k (i ) * j * dt ) * dt * j * dt
∂U k
=∑
Q D [i, j ] * exp(σ k (i ) * j * dt ) * dt
∂σ k
=∑
j
j
j
j
[1 + U k (i ) * exp(σ k (i) * j * dt )]dt +1
[1 + U k (i ) * exp(σ k(i ) * j * dt )] dt +1
[1 + U k (i ) * exp(σ k (i ) * j * dt )] dt +1
Q D [i, j ] * U k (i ) * exp(σ k (i ) * j * dt ) * dt * j * dt
[1 + U k (i ) * exp(σ k (i ) * j * dt )]dt +1
(A.20)
(A.21)
(A.22)
(A.23)

∂x 2 

∂f1
∂x1 
Ya se conocen todas las formas funcionales. Basta aplicar Newton
Raphson para encontrar las raíces del sistema de ecuaciones no lineales.
Sin embargo, es importante notar que para cierto tipo de funciones,
Newton Raphson puede no converger. Al menos, en el caso de BDT2, al
escoger para cada U0(i) y σ0(i-1) el punto de partida UK(i-1) y σK(i-1),
donde UK y σK representa el valor escogido en i-1, no ha habido
problemas. En el caso de UK(1) y y σK(1) se utiliza R(0) y la volatilidad al
plazo de la tasa corta respectivamente.
B. SOLUCIÓN ANALÍTICA PARA HO LEE
Se requiere determinar la tasa continua R en un tiempo T futuro asociada a
un bono cero cupón P que madura en un s futuro con 0≤T<s suponiendo
que la tasa corta r se comporta según el proceso descrito a continuación:
dr = θ (t )dt + σdz
(B.1)
En donde σ es la volatilidad de la tasa y Ө(t) es el drift dependiente del
tiempo con la siguiente forma funcional:
θ (t ) =
∂f (0, t )
+ σ 2t
∂t
(B.2)
En donde f es la tasa forward instantánea y t es un instante del tiempo
cualquiera tal que 0≤t<T.
Se puede demostrar que R se puede expresar como:
R (T , s) = −
ln P(T , s)
s −T
(B.3)
En donde P(T,s) es la solución de la ecuación (B.1) y se escribe como:
P(T , s) = A(T , s) * exp(− B(T , s) * r (T ))
(B.4)
Donde r(T) es el nivel de la tasa corta en T. B(T,s) y A(T,s) se escriben
como:
B(T , s ) = ( s − T )
ln A(T , s ) = ln
(B.5)
∂ ln P (t , T ) σ 2
P (t , s )
− B (T , s )
−
(t − T ) B 2 (T , s )
∂T
P(t , T )
2
Al no depender el drift del nivel de la tasa corta, en este modelo la
volatilidad es constante tanto para todas las volatilidades spot y forward:
σ R (t , s ) = σ
(B.6)
C. SOLUCIÓN ANALÍTICA PARA HULL & WHITE
Se requiere determinar la tasa continua R en un tiempo T futuro asociada a
un bono cero cupón P que madura en un s futuro con 0≤T<s suponiendo
que la tasa corta r se comporta según el proceso descrito a continuación:
dr = [θ (t ) − αr ]dt + σdz
(C.1)
En donde α es el coeficiente de reversión a la media, σ la volatilidad de la
tasa y Ө(t) es el drift dependiente del tiempo con la siguiente forma
funcional:
θ (t ) =
σ2
∂f (0, t )
+ αf (0, t ) +
(1 − e − 2αt )
∂t
2α
(C.2)
En donde f es la tasa forward instantánea y t es un instante del tiempo
cualquiera tal que 0≤t<T.
Se puede demostrar que R se puede expresar como:
R (T , s) = −
ln P(T , s)
s −T
(C.3)
En donde P(T,s) es la solución de la ecuación (B.1) y se escribe como:
(C.4)
P(T , s) = A(T , s) * exp(− B(T , s) * r (T ))
Donde r(T) es el nivel de la tasa corta en T. B(T,s) y A(T,s) se escriben
como:
B (T , s) =
1
α
(1 − exp(−α (s − T )))
ln A(T , s ) = ln
(C.5)
P(t , s )
∂ ln P(t , T ) σ 2 −α ( s −t )
− B (T , s )
−
e
− e −α (T −t ) e 2α (T −t ) − 1
3
P (t , T )
∂T
4α
(
)(
)
Además, está formulación analítica permite obtener la estructura de
volatilidades spot a partir de:
σ R (t , s ) =
σ
α (s − t )
(1 − e
−α ( s −t )
)
(C.6)
D. OBTENCIÓN DE TASAS A DISTINTO PLAZO VÍA BDT1
MENSUAL
Sea el siguiente árbol mensual calculado mediante BDT 1 y el
respectivo árbol de precios contingentes:
Figura D-1: Árbol de tasas mensuales usando BDT 1.
Figura D-2: Árbol respectivo de precios contingentes.
Se ha escogido arbitrariamente el nodo (3,1) para encontrar su
respectiva tasa a 8 meses plazo55. Para ello se debe recalibrar todo el árbol
de precios contingentes a partir del árbol generado en el nodo (3,1), hasta el
instante i = 11 usando (3.13), (3.14) y (3.15), con la condición inicial
Q(3,1) = 1, tal como se aprecia en la siguiente figura de manera ilustrativa:
Figura D-3: Ejemplo de recalibración del árbol de precios elementales para encontrar
tasas a un determinado plazo consistentes con el mercado para cualquier nodo (i,j).
El árbol recalibrado de precios elementales se puede apreciar en la
siguiente figura:
55
Además, al usar base anual se debe tomar ∆t =1/12.
Figura D-4: Árbol recalibrado. Aplicar (3.11) para obtener la tasa requerida.
Por lo tanto, (i,j) = (3,1) y (k-i) = 8, luego k = 11 y l va desde -7
hasta 9, que son todos los estados l para el instante k = 11 que se generan
desde (3,1). De este modo, para encontrar el precio del bono cero cupón
para el nodo (3,1) se usa (4.13) tal que:
P3,1 (8) =
1+ (11−3)
∑Q
11,l
l =1− (11−3)
= 0,98
(D.1)
Y mediante (D.1) junto con (4.14) encontrar la tasa a 8 meses:
1
 1  8*(1 / 12 )
Y(i , j ) (8) = 
− 1 = 0,030768

 0,98 
(D.2)
Es decir, la tasa a 8 meses es igual a 3,08% aproximadamente para el
nodo (3,1).
Repitiendo este cálculo para cualquier nodo y a cualquier plazo es
posible obtener las tasas requeridas. En particular, tasas anuales para todo
nodo en cada fecha de repricing.
E. VP CRÉDITO SIN TECHO USANDO FORWARD
Sea:
- ∆t: paso o granularidad escogida. Puede ser anual o mensual. Si es
anual ∆t es igual a 1, si es mensual ∆t es igual a 1/12.
A continuación el instante de tiempo i dependerá de la granularidad
escogida. Si es anual entonces está expresado en años. Si es mensual, i está
expresado en meses.
- R(i): tasa cero cupón de mercado del bono que madura en el instante
i. La convención de esta tasa deberá ser consecuente con la del
modelo elegido y del paso utilizado.
- Sp: spread crediticio del deudor.
- f(i): Tasa forward entre el instante i e i+1/∆t tal que i es fecha de
repricing.
- fix: Tasa fija a pagar durante el período residual a tasa fija.
- x: Plazo residual con pago a tasa fija.
- n: Plazo residual del crédito.
- SI(i): Saldo insoluto del crédito en el año i. SI(0) es la deuda actual.
- C(i): Cuota a pagar en el instante i.
- VPCSOF: Ganancia en valor presente del crédito sin opción
calculado mediante tasas forward.
Lo primero es calcular la tasa forward a un año relevante para cada fecha
de repricing, es decir:
f (i ) =
(1 + R (i + 1 / ∆t ) ( i +1 / ∆t )*∆t
−1
(1 + R (i )) i*∆t
(D.1)
Por lo tanto, ahora se tienen 2 casos. Siguiendo la lógica de la sección 3.3,
si i está entre 1 y x56 entonces el pago de cada cuota en i se calcula como:
C (i ) = SI (i − 1) * fix * ∆t *
(1 + fix * ∆t ) n +1−i
(1 + fix * ∆t ) n +1−i − 1
(D.2)
Y el saldo insoluto como queda determinado por la siguiente expresión:
56
donde x es como mínimo igual a 1 en el caso anual.
SI (i ) = SI (i − 1) − C (i ) + SI (i − 1) * fix * ∆t
(D.3)
Notar que en este caso i parte de 1 ya que a diferencia del árbol, la
trayectoria de la tasa es única y conocida. No hay incertidumbre, luego es
posible situar el instante de pago efectivamente donde ocurre el flujo de
caja.
En el segundo caso, es decir cuando i está entre x+1 y N-1/∆t+1 se tienen a
su vez 2 diferencias. Si ∆t es anual entonces la cuota y el saldo insoluto son
iguales a:
C (i ) = SI (i − 1) * ( f (i ) + sp )
(1 + ( f (i ) + sp )) N +1−i
(1 + ( f (i ) + sp )) N +1−i − 1
(D.4)
Y el saldo insoluto como queda determinado por la siguiente expresión:
SI (i ) = SI (i − 1) − C (i ) + SI (i − 1) * ( f (i ) + sp )
(D.5)
Sin embargo si el pago es mensual se tendrá la misma cuota para cada mes
a partir de la fecha de repricing i hasta i+11 (12 cuotas iguales dadas por la
siguiente expresión:
C (i ) = SI (i − 1) *
( f (i ) + sp ) (1 + ( f (i ) + sp ) / 12) N +1−i
12
(1 + ( f (i ) + sp ) / 12) N +1−i − 1
(D.6)
Y el saldo insoluto se irá actualizando mes a mes como:
SI (i ) = SI (i − 1) − C (i ) + SI (i − 1) *
( f (i ) + sp )
12
(D.7)
Finalmente, para calcular la ganancia del crédito se trae a valor presente
todas las cuotas que al restárseles el capital prestado en la fecha vigente,
determinan la ganancia (interés) del crédito sin opción:
N
VPCSOF = ∑
i =1
C (i )
− SI (0)
(1 + R(i )) i*∆t
(D.8)
El método de calcular la ganancia del crédito sin opción usando tasas
forward es sencillo y permite realizar comparaciones entre los resultados de
este y los de los modelos de tasas.
F. RESULTADOS ANÁLISIS – PASO ANUAL F.1.
Valor de la opción en función de β0.
curva
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
β0
1,47
1,77
2,07
2,37
2,67
2,97
3,27
3,57
3,87
4,17
4,47
4,77
5,07
5,37
5,67
5,97
6,27
6,57
6,87
7,17
7,47
Black
2.281
4.472
8.420
15.126
25.926
42.518
66.979
101.749
149.598
213.522
296.567
401.559
530.673
684.737
862.981
1.063.293
1.282.477
1.516.497
1.760.942
2.011.361
2.263.784
BDT 1 Hull & White
7
X
53
X
267
X
1.032
X
3.121
X
8.117
X
18.464
X
37.439
X
69.415
X
119.551
X
193.518
X
296.890
X
435.030
X
610.228
X
821.005
X
1.063.668
X
1.331.543
X
1.616.533
X
1.911.705
X
2.211.131
X
2.509.251
X
BDT 2
288
414
756
1.769
4.391
10.334
22.074
43.130
77.715
131.071
208.379
315.021
456.127
633.642
845.444
1.088.060
1.354.671
1.637.850
1.930.614
2.227.896
2.523.360
Ho Lee
577
937
1.596
2.823
5.091
9.208
16.520
29.083
50.140
83.998
136.686
215.161
327.097
479.693
676.722
917.190
1.195.599
1.500.235
1.819.597
2.142.349
2.460.421
Tabla F-1: Valor de la opción para los distintos modelos en función de β057.
F.2.
Valor de la opción en función de β1.
curva β1
1 -7,04
2 -6,64
3 -6,24
4 -5,84
5 -5,44
6 -5,04
7 -4,64
8 -4,24
9 -3,84
10 -3,44
11 -3,04
12 -2,64
13 -2,24
14 -1,84
15 -1,44
16 -1,04
17 -0,64
18 -0,24
19 0,16
20 0,56
21 0,96
Black
231.400
231.059
230.776
230.554
230.397
230.309
230.295
230.360
230.511
230.755
231.103
231.566
232.160
232.908
233.839
234.993
236.421
238.183
240.353
243.023
246.309
BDT 1 Hull & White
137.685
X
137.405
X
137.175
X
137.011
X
136.906
X
136.820
X
136.754
X
136.777
X
136.845
X
136.997
X
137.166
X
137.356
35.181
137.595
37.829
137.890
37.520
138.275
X
138.841
X
139.765
X
140.902
X
142.300
X
144.329
X
147.046
X
BDT 2 Ho Lee
150.442 95.633
150.120 95.509
149.868 95.404
149.687 95.310
149.523 95.261
149.389 95.245
149.325 95.244
149.350 95.261
149.432 95.294
149.532 95.363
149.649 95.458
149.787 95.602
150.014 95.814
150.302 96.091
150.704 96.470
151.345 96.922
152.254 97.721
153.381 98.761
154.863 99.939
156.892 101.662
159.674 104.029
Tabla F-2: Valor de la opción para los distintos modelos en función de β158.
57
La cruz en rojo indica probabilidades de transición negativas. La cruz en negro indica precios
contingentes negativos.
F.3.
Valor de la opción en función de β2.
curva
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
β2
-6,14
-5,64
-5,14
-4,64
-4,14
-3,64
-3,14
-2,64
-2,14
-1,64
-1,14
-0,64
-0,14
0,36
0,86
1,36
1,86
2,36
2,86
3,36
3,86
Black
204.903
209.959
215.761
222.472
230.285
239.430
250.177
262.834
277.742
295.262
315.749
339.529
366.882
398.014
433.011
471.854
514.444
560.590
610.041
662.486
717.614
BDT 1
119.212
122.260
126.054
130.353
135.399
141.717
149.611
159.571
172.124
187.750
208.359
232.014
261.271
296.339
336.526
382.614
433.010
488.157
548.123
610.563
676.569
Hull & White
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
101.562
119.736
146.806
179.777
220.599
266.716
316.889
372.324
437.494
504.658
BDT 2
130.569
133.922
137.866
142.371
147.633
154.235
162.459
172.844
185.830
202.008
223.120
247.257
277.450
313.014
353.649
400.205
450.968
506.132
566.305
628.793
694.762
Ho Lee
82.928
85.370
87.999
91.034
94.712
99.450
105.389
112.742
122.014
133.785
148.785
168.387
191.564
220.363
255.042
295.443
341.950
394.431
451.278
513.723
579.174
Tabla F-3: Valor de la opción para los distintos modelos en función de β259.
F.4.
Valor de la opción en función de τ.
curva
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
τ
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
9,5
10,0
Black
345.312
342.724
315.303
276.179
239.362
208.504
183.969
165.151
151.209
141.324
134.775
130.959
129.378
129.624
131.368
134.337
138.310
143.103
148.567
154.575
161.024
BDT 1 Hull & White
235.092
100.021
231.022
X
205.356
X
171.995
X
141.663
X
116.981
X
97.722
X
83.237
X
72.507
X
64.697
X
59.339
X
56.196
X
54.864
X
55.329
X
56.694
X
58.908
X
62.230
X
66.223
X
70.793
X
75.747
X
81.174
X
BDT 2
250.903
246.884
220.449
185.830
154.177
128.199
107.901
92.412
80.833
72.356
66.494
62.932
61.400
61.609
62.805
64.964
68.330
72.431
77.038
82.161
87.741
Ho Lee
170.007
165.920
145.478
120.920
99.411
82.497
69.761
60.365
53.815
49.142
46.224
44.669
44.381
45.163
46.935
49.190
52.066
55.213
58.535
62.243
66.214
Tabla F-4: Valor de la opción para los distintos modelos en función de τ60.
58
La cruz en rojo indica probabilidades de transición negativas. La cruz en negro indica precios
contingentes negativos.
59
La cruz en rojo indica probabilidades de transición negativas. La cruz en negro indica precios
contingentes negativos.
F.5.
Valor de la opción en función de la volatilidad61.
curva VOL LOG VOL ABS Black
1
5,05%
0,20%
79.726
2
7,05%
0,28% 168.450
3
9,05%
0,35% 280.445
4
11,05%
0,43% 408.528
5
13,05%
0,51% 547.777
6
15,05%
0,59% 694.799
7
17,05%
0,67% 847.210
8
19,05%
0,75% 1.003.299
9
21,05%
0,82% 1.161.810
10
23,05%
0,90% 1.321.794
11
25,05%
0,98% 1.482.521
12
27,05%
1,06% 1.643.416
13
29,05%
1,14% 1.804.014
14
31,05%
1,21% 1.963.935
15
33,05%
1,29% 2.122.863
16
35,05%
1,37% 2.280.530
17
37,05%
1,45% 2.436.709
18
39,05%
1,53% 2.591.203
19
41,05%
1,61% 2.743.841
20
43,05%
1,68% 2.894.477
21
45,05%
1,76% 3.042.980
BDT 1 Hull & White
44.593
X
97.485
X
167.660
X
250.221
X
342.346
X
439.547
X
540.849
247.332
645.454
308.896
750.576
374.040
855.487
442.314
960.604
513.089
1.064.135
585.805
1.166.423
660.016
1.266.932
735.421
1.365.332
811.812
1.461.451
889.029
1.555.201
966.939
1.646.471
1.045.428
1.735.286
1.124.401
1.821.667
1.203.782
1.905.623
1.283.506
BDT 2
48.402
105.786
183.092
275.438
381.190
496.734
622.058
Ho Lee
33.443
72.242
127.617
195.953
275.143
361.780
456.146
554.728
657.973
763.403
873.094
983.390
1.095.156
1.208.377
1.323.340
1.439.257
1.555.876
1.672.886
1.790.993
1.909.856
2.028.760
Tabla F-5: Valor de la opción para los distintos modelos en función de la volatilidad 62.
60
La cruz en rojo indica probabilidades de transición negativas. La cruz en negro indica precios
contingentes negativos.
61
Para Black, la volatilidad logarítmica se transforma a volatilidad continua. Para Hull y White, la
volatilidad en diferencias absolutas se transforma a volatilidad continua.
62
La cruz en rojo indica probabilidades de transición negativas. La cruz en negro indica precios
contingentes negativos.
G. RESULTADOS ANÁLISIS – PASO MENSUAL –
G.1.
Resultados de BDT 1 Mensual vs. BDT 1 Anual
parámetro
1,47%
2,97%
4,47%
5,97%
7,47%
-7,04%
-5,04%
-3,04%
-1,04%
0,96%
-6,14%
-3,64%
-1,14%
1,36%
3,86%
0,00
2,50
5,00
7,50
10,00
5,05%
15,05%
25,05%
35,05%
45,05%
β0
β0
β0
β0
β0
β1
β1
β1
β1
β1
β2
β2
β2
β2
β2
τ
τ
τ
τ
τ
σ
σ
σ
σ
σ
curva
1
6
11
16
21
1
6
11
16
21
1
6
11
16
21
1
6
11
16
21
1
6
11
16
21
BDT MENSUAL
VO
Delta Gamma Vega curva
281
5
8.777
370
185.062 3.513
1.050.087 9.292
2.550.973 10.210
129.482 2.431
128.871 2.457
129.329 2.516
131.608 2.656
144.698 3.097
112.551 2.165
135.502 2.829
203.021 4.401
386.303 6.568
705.065 8.027
227.034 4.784
112.947 2.443
63.192 1.835
66.160 2.192
89.362 2.812
43.336 1.673
424.183 4.571
945.293 6.150
1.472.579 7.150
1.971.308 7.898
0
10
40
19
-8
26
27
29
33
40
25
36
48
40
25
49
35
35
41
44
39
27
16
9
5
0
60
426
627
293
350
349
351
357
374
312
364
466
556
549
499
321
212
211
250
225
495
534
514
479
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
23
24
25
26
27
BDT ANUAL
VO
Delta Gamma Vega
7
2
8.117
386
193.518 3.643
1.063.668 9.030
2.509.251 9.728
137.685 2.589
136.820 2.612
137.166 2.673
138.841 2.818
147.046 3.141
119.212 2.522
141.717 3.131
208.359 4.243
382.614 6.423
676.569 7.749
235.092 4.901
116.981 2.525
59.339 1.811
58.908 2.128
81.174 2.737
44.593 1.754
439.547 4.700
960.604 6.093
1.461.451 6.732
1.905.623 7.137
0
11
39
17
-9
27
28
30
33
41
20
26
31
37
24
45
35
36
41
43
40
25
14
9
4
0
61
442
630
264
367
367
365
372
390
327
380
477
574
563
515
335
216
215
256
240
504
520
472
411
Tabla G-1: Resumen comparación resultados BDT 1 anual vs. BDT 1 mensual.
G.2.
Gráfica de Griegas caso β0 anual vs. mensual
Figura G-1: Delta anual vs. Delta mensual variando β0.
Figura G-2: Gamma anual vs. Gamma mensual variando β0.
Figura G-3: Vega anual vs. Vega mensual variando β0.
G.3.
Gráfica de Griegas caso β1 anual vs. mensual
Figura G-4: Delta anual vs. Delta mensual variando β1.
Figura G-5: Gamma anual vs. Gamma mensual variando β1.
Figura G-6: Vega anual vs. Vega mensual variando β1.
G.4.
Gráfica de Griegas caso β2 anual vs. mensual
Figura G-7: Delta anual vs. Delta mensual variando β2.
Figura G-8: Gamma anual vs. Gamma mensual variando β2.
Figura G-9: Vega anual vs. Vega mensual variando β2.
G.5.
Gráfica de Griegas caso τ anual vs. mensual
Figura G-10: Delta anual vs. Delta mensual variando τ.
Figura G-11: Gamma anual vs. Gamma mensual variando τ.
Figura G-12: Vega anual vs. Vega mensual variando τ.
G.6.
Gráfica de Griegas caso Volatilidad anual vs. mensual
Figura G-13: Delta anual vs. Delta mensual variando la volatilidad.
Figura G-14: Gamma anual vs. Gamma mensual variando la volatilidad.
Figura G-15: Vega anual vs. Vega mensual variando la volatilidad.